ภาคตัดกรวย

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 46 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาสมการของพาราโบลาซ่ึงมีจดุ ยอดอยู่ท่ี (9, 3) แกนของพาราโบลาขนานแกน y และสมการ ของพาราโบลาผ่านจดุ (4, 5) วธิ ีทำ ตวั อยา่ งที่ 3 วงกลม C มีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ีจุดกำเนดิ และผ่านโฟกสั ของพาราโบลาซง่ึ มีสมการเป็น (x − 2)2 = 8y โดยเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาตดั วงกลม C ทจี่ ุด P และจุด Q ถ้าจุด R อยู่บนพาราโบลาและ อยู่หา่ งจากจุดโฟกัสเปน็ ระยะทาง 4 หนว่ ยแลว้ สามเหล่ยี ม PQR มีพ้ืนที่เท่าใด วธิ ที ำ สมบัตกิ ารสะทอ้ นของพาราโบลา แสงจากแหลง่ กำเนดิ ท่โี ฟกสั ของพน้ื ผวิ ทรงพาราโบลา (มีภาคตัดขวางเป็นพาราโบลา) เมอ่ื ตกกระทบ พ้นื ผวิ แสงสะท้อนจะขนานกับแกนของพาราโบลา ดงั แสดงในรูป ดงั นัน้ กระจกเงาทรงพาราโบลาจะสะท้อนแสง เป็นลำแสงขนาน ในทางกลบั กนั แสงที่พุ่งเข้ามายังกระจกเงาพาราโบลาในทิศทางทขี่ นานกบั แกนของกระจกเงา ผวิ กระจกจะสะท้อนแสงไปรวมกนั ที่โฟกสั หลกั การดังกลา่ วนี้ใช้ไดก้ ับคลน่ื เสียงดว้ ย สมบตั กิ ารสะท้อนของ พาราโบลานน้ี ำไปใชใ้ นการออกแบบอุปกรณ์สะท้อนแสง เช่น โคมไฟและกล้องโทรทรรศน์ (telescope)

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 47 ตวั อย่างที่ 4 กลอ้ งเทเลสโคปขนาดยกั ษข์ องสถาบนั วิจยั แห่งสหรัฐอเมริกา มีน้ำหนัก 3,450 ตนั เป็นจาน รปู ทรงพาราโบลิก มเี ส้นผ่านศูนยก์ ลาง 300 ฟตุ ลกึ 44 ฟุต จงหา 1) สมการพาราโบลาในรปู ( x − h)2 = 4c( y − k ) 2) ถา้ ตำแหนง่ รบั สัญญาณเป็นจดุ โฟกสั ของพาราโบลา ระยะหา่ งจากจุดนี้ไปจุดยอดยาวเทา่ ใด วธิ ีทำ ตัวอยา่ งที่ 5 ไฟหน้ารถสร้างขนึ้ เปน็ รปู ทรงพาราโบลอยด์ ลึก 4 นวิ้ และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 นิว้ ดงั รูป จงหาระยะ d ซึ่งเปน็ ระยะจากจดุ ยอดไปหลอดไฟ วิธที ำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 48 สมการพาราโบลาทอี่ ยใู่ นรปู ทั่วไป สมการพาราโบลาท่ีอยใู่ นรปู ท่วั ไป 1) สมการของพาราโบลาทีม่ ีแกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y จะอยูใ่ นรูป x2 + Ax + By + C = 0 เมอื่ A, B, C เป็นค่าคงตัวและ B  0 2) สมการของพาราโบลาทีม่ แี กนของพาราโบลาขนานกบั แกน x จะอย่ใู นรปู y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ A, B, C เปน็ ค่าคงตวั และ B  0 ตวั อย่างท่ี 1 จงพิจารณาลกั ษณะของพาราโบลาที่มีสมการดังต่อไปน้ี (1) x2 − 2x + 3y −1 = 0 (2) y2 −10x + 5y − 4 = 0 วธิ ีทำ ตวั อย่างท่ี 2 พาราโบลารปู หนง่ึ มแี กนของพาราโบลาขนานกบั แกน x และผา่ นจุด (3, -5) ถ้าจุดยอดของ พาราโบลาอยทู่ จี่ ุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 − 2x + 2y − 2 = 0 แลว้ จงหาสมการ โฟกสั และสมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา วธิ ีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 49 ตวั อย่างท่ี 3 พาราโบลารปู หนึ่ง มีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x และผา่ นจุด (3, -5) ถ้าจดุ ยอดของ พาราโบลาท่จี ุดศูนย์กลางของวงกลม x2 + y2 − 2x + 2y − 2 = 0 แลว้ จงหาสมการ โฟกสั และสมการ ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา วิธที ำ ตัวอยา่ งท่ี 4 ดาวหางลกู หนึ่งเคลื่อนทีเ่ ป็นรูปเสน้ โค้งพาราโบลาผา่ นดวงอาทติ ย์ในสถานการณน์ ้ี ดวงอาทติ ย์อยู่ท่ี ตำแหน่งจุดโฟกัสของพาราโบลาและดาวหางผา่ นดวงอาทิตยเ์ พยี งคร้งั เดียวและไม่ใช่วงโคจรของดวง อาทิตย์ สมมติวา่ ดาวหางเคล่ือนท่โี ดย y2 =100x หน่วยเป็นล้านไมล์ 1. จงหาพิกดั ของดวงอาทิตย์ 2. จงหาระยะทางทส่ี ัน้ ที่สดุ ระหว่างดวงอาทติ ยก์ บั ดาวหาง วิธที ำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 50 ตัวอยา่ งท่ี 6 เครอ่ื งทำความรอ้ นพลงั งานแสงอาทติ ยซ์ ึ่งมีทอ่ นำ้ อย่ดู ังแสดงในรูป ภาคตดั ขวางของเคร่ืองมีสมการ คอื x2 = ky ซึ่ง k เป็นค่าคงท่ี มหี น่วยเป็นฟุต ถา้ ท่อนีอ้ ยู่หา่ งจากจุดยอด 18 นิว้ จงหาค่า k วิธที ำ มาร้จู ักกบั บุญบ้ังไฟกัน บุญบ้ังไฟ นยิ มทำกันในเดือนหก ถอื เป็นประเพณีสำคัญทจ่ี ะขาดไม่ได้ เพราะตงั้ แตโ่ บราณจนถงึ ปัจจุบัน ชาวอีสานมีความเชื่อว่า ถา้ ปีใดไมจ่ ดั งานบุญบง้ั ไฟ ฟ้าฝนก็จะไม่ตกต้องตามฤดูกาล เกิดความแหง้ แลง้ ไมม่ นี ำ้ ทำ นา แต่ถา้ ปีใดจัดงานประเพณีบญุ บั้งไฟ ฟา้ ฝนก็จะตกตอ้ งตามฤดูกาล เกดิ ความอุดมสมบูรณ์ ปราศจากโรคภัย งานบญุ บ้ังไฟจงึ ถือเป็นงานประเพณี ประจำปีทีส่ ำคญั ของชาวอีสาน พอใกล้ถึงวนั งานชาวอีสานไม่ว่าจะอยู่ที่ไหนก็ จะกลับบ้านไปร่วมงานบญุ บั้งไฟ ซงึ่ เปน็ งานทส่ี ร้างความรกั ความสามคั คีของคนท้องถ่ินเปน็ อย่างดี คำว่า บญุ บ้ังไฟกือ หมายถึง บุญบ้งั ไฟสิบลา้ น ตำนาน ประเพณีบญุ บ้ังไฟตามตำนานเล่าวา่ เมอ่ื ครั้งพระพุทธเจ้าถอื ชาติกำเนดิ เป็นพญาคางคก ได้อาศัยอยใู่ ต้รม่ โพธ์ใิ หญ่ในเมืองพนั ทมุ วดี ด้วยเหตใุ ดไม่แจง้ พญาแถนเทพเจา้ แหง่ ฝนโกรธเคอื งโลกมนุษย์มาก จึงแกลง้ ไม่ให้ฝน ตกนานถึง 7 เดือน ทำใหเ้ กดิ ความลำบากยากแคน้ อยา่ งแสนสาหัสแก่มวลมนษุ ย์ สัตว์และพชื จนกระทัง่ พากนั ล้ม ตายเป็นจำนวนมาก พวกทแ่ี ข็งแรงก็รอดตายและได้พากนั มารวมกลมุ่ ใต้ต้นโพธิ์ใหญ่กบั พญาคางคก สรรพสตั ว์ ทง้ั หลายจึงไดห้ ารือกนั เพ่ือจะหาวิธีการปราบพญาแถน ทีป่ ระชุมไดต้ กลงกันใหพ้ ญานาคียกทพั ไปรบกับพญาแถน แต่ก็ต้องพ่ายแพ้ จากนัน้ จงึ ให้พญาต่อแตนยกทัพไปปราบแต่กต็ ้องพ่ายแพ้อีกเช่นกัน ทำใหพ้ วกสรรพสตั วท์ งั้ หลาย เกดิ ความทอ้ ถอย หมดกำลงั ใจและส้ินหวงั ได้แต่รอวนั ตาย พระยาแถน ในทีส่ ุด พญาคางคกจงึ ขออาสาท่จี ะไปรบกบั พญาแถน จึงได้วางแผนในการรบโดยปลวกทั้งหลายกอ่ จอม ปลวกขนึ้ ไปจนถึงเมืองพญาแถน เพือ่ เปน็ เสน้ ทางใหบ้ รรดาสรรพสตั ว์ทัง้ หลายไดเ้ ดินทางไปสูเ่ มืองพญาแถน ซ่ึงมี มอด แมลงป่อง ตะขาบ สำหรับมอดได้รับหน้าท่ีให้ทำการกดั เจาะด้ามอาวุธทีท่ ำด้วยไม้ทกุ ชนิด สว่ นแมลงป่องและ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 51 ตะขาบใหซ้ อ่ นตวั อยูต่ ามกองฟืนท่ใี ช้หงุ ต้มอาหาร และอยู่ตามเส้อื ผ้าของไพร่พลพญาแถนทำหน้าที่กดั ต่อย หลังจากวางแผนเรียบรอ้ ย กองทัพพญาคางคกก็เดนิ ทางเพือ่ ปฏบิ ัติหนา้ ที่การรบ มอดทำหนา้ ท่ีกดั เจาะด้ามอาวุธ แมลงป่องและตะขาบกัดต่อยไพร่พลของพญาแถนจนเจบ็ ปวด ร้องระงมจนกองทัพระส่ำระสาย ในท่ีสดุ พญาแถน จึงได้ยอมแพแ้ ละตกลงทำสัญญาสงบศกึ กับพญาคางคก ดังน้ี 1. ถา้ มวลมนุษยจ์ ุดบ้งั ไฟขึ้นสู่ทอ้ งฟา้ เมอื่ ใด ให้พญาแถนสง่ั ใหฝ้ นตกในโลกมนษุ ย์ 2. ถา้ ได้ยินเสียงกบ เขียดร้อง ใหร้ ับรู้วา่ ฝนไดต้ กลงมาแล้ว 3. ถ้าได้ยนิ เสียงสนู (เสยี งธนหู วายของว่าว) หรอื เสียงโหวด ให้ฝนหยดุ ตกเพราะจะเข้าสู่ฤดูเก็บเกย่ี วข้าว หลังจากที่ไดส้ ัญญากันแลว้ พญาแถนจงึ ไดถ้ ูกปลอ่ ยตวั ไปและไดป้ ฏบิ ัติตามสญั ญามาจนบดั น้ี ตัวอย่างท่ี 6 ถา้ ในการยิงบั้งไฟกือลำหน่ึง กำหนดด้วยสมการ h = −t2 +8t +16 เมื่อ h แทนความสูงเมื่อบงั้ ไฟอยู่ห่างจากพื้นดนิ หน่วยเป็นเมตร t แทนเวลาเปน็ วนิ าที จงหา 1) บ้งั ไฟขน้ึ ไปสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปกว่ี ินาที 2) เมื่อบงั้ ไฟอยู่เหนือพนื้ ดิน 28 เมตร จะใช้เวลาเทา่ ใด

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 52 ตวั อยา่ งแบบทดสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 1. ถ้าพาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) มแี กน X เป็นแกนของพาราโบลา และผ่านจุดตดั ของ เสน้ ตรง 4x + 3y = 8 กับ 2x + y = 2 แล้ว พาราโบลาจะผ่านจดุ ใดต่อไปนี้ 1.  1 , −2  2.  − 1 , 2  3.  2, − 1  4.  −2, 1  4 4 4 4 2. ข้อใดต่อไปนเ้ี ป็นสมการของเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุด (1, 6) และผ่านจดุ โฟกสั ของพาราโบลา y2 – 4y – 4x = 8 1. 3x – 4y + 21 = 0 2. 4x – 3y + 14 = 0 3. 7x + 2y – 19 = 0 4. 2x + 7y – 44 = 0 3. ให้ C เปน็ วงกลม x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจดุ (h, k) และมรี ัศมี r สมการพาราโบลาซึ่งมี (h, k) เป็นจุดยอด และ x = r เป็นสมการไดเรกตริกซ์ คือข้อใดต่อไปน้ี 1. y2 – 4y + 20x – 16 = 0 2. y2 + 4y – 16x – 12 = 0 3. y2 – 4y + 16x – 12 = 0 4. y2 – 4y + 16x – 14 = 0 4. กำหนดให้ P เป็นพาราโบลา y2 – 2y – 8x – 7 = 0 ซึ่งมี L เปน็ เส้นไดเรกตริกซ์ สมการวงกลมท่มี จี ดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ี่จุดโฟกัสของ P และมี L เปน็ เสน้ สมั ผัสคือข้อใดต่อไปนี้ 1. x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0 2. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0 5. กำหนดให้เส้นไดเรกตรกิ ซแ์ ละแกนของพาราโบลา y2 – 4y + 8x = 20 ตดั กันทจี่ ุด P ถ้าวงกลมวงหนึ่งผา่ นจดุ กำเนิด จดุ P และจุดโฟกัสของพาราโบลาน้แี ลว้ กำลงั สองของรศั มีของ วงกลมวงนเี้ ทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 35 2. 37 3. 143 4. 145 4 4 16 16 6. ให้ P เป็นพาราโบลาทีม่ ีจุด (1, 3) เปน็ จุดโฟกสั และเส้นตรง x = –5 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ ถ้าเส้นตรงซึง่ ลากผ่านจุดโฟกัสขนานกับไดเรกตริกซ์ไปตัด P ที่จุด A และจุด B แล้ว สมการของวงกลมที่มี AB เป็นเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางคอื ข้อใดต่อไปน้ี 1. x2 + y2 – 2x – 6y – 26 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 6y – 39 = 0 3. x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 6y – 6 = 0

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 53 3. วงรี (Ellipse) บทนิยาม วงรคี ือ เซตของจุดบนระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆในเซตน้ีไปยงั จดุ คงทีส่ องจดุ บนระนาบมีคา่ คงตวั เสมอโดยคา่ คงตวั มากกว่าระยะห่างระหวา่ งจดุ คงทที่ ้ัง สอง ขยายบทนยิ าม จุดคงทใ่ี นบทนิยาม เรียกว่า จดุ โฟกัสของวงรี ค่าคงตัวในบทนิยามมีคา่ เท่ากับ 2a ส่วนประกอบของวงรี Ba m V' F' b FV Cc n B' ส่วนตา่ งๆ ของวงรี ถูกเรียกวา่ ระยะ (หน่วย) - V และ V ' จดุ ยอด - F และ F ' จุดโฟกัส - จุดศูนย์กลาง 2a C แกนเอก (major axis) 2b แกนโท (minor axis) a VV ' ครงึ่ แกนเอก b คร่งึ แกนโท c BB ' ระยะโฟกสั CV = CV ' ความยาวลาตัสเรกตมั (LR) 2b2 CB = CB ' CF = CF ' a mn

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 54 สมการมาตรฐานจุดศูนย์กลางที่จดุ (0,0) ลักษณะของวงรี แบ่งออกเปน็ 2 แบบ ************ วงรีที่มีแกนเอกขนานกบั แกน x วงรที ี่มีแกนเอกขนานกับแกน y รปู y y V สมการมาตรฐาน จุดศูนย์กลางที่จุด BF ( 0, 0 ) V' F' FV B' B C x C x B' F' V' x2 + y2 =1 y2 + x2 =1 a2 b2 a2 b2 ตัวอย่างที่ 1 กำหนดสมการวงรี x2 + y2 =1 จงเขียนกราฟของวงรี 36 81 วิธที ำ ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาสมการของวงรีซึง่ มีโฟกสั อยู่ท่ี (0, 3) และ (0, -3) จดุ A(4, 0) เป็นจดุ ปลายหนง่ึ ของแกนโท วิธที ำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 55 ตวั อยา่ งท่ี 3 จงบอกสมการของวงรจี ากกราฟต่อไปน้ี 2) 1) ...................................................................................................................................................................... ตัวอย่างที่ 4 จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จดุ ยอด จดุ ปลายแกนโท โฟกสั และความยาวของลาตัสเรกตัม ของสมการ x2 + y2 =1 พร้อมท้ังเขยี นกราฟ 93 วธิ ที ำ ตัวอยา่ งท่ี 5 ดาวพลโู ตมคี า่ a = 39.44 และ คา่ e = 0.249 ซึ่งเป็นค่า e ที่มากทีส่ ดุ ของดาวเคราะหใ์ ด ๆ จงหาสมการแสดงวงโคจรของดาวพลูโต วิธที ำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 56 สมการวงรที ม่ี ีจดุ ศูนย์กลางท่ีจดุ (h,k) สมการวงรเี มอื่ จุดศูนย์กลางอย่ทู ี่จดุ (h, k) เรยี กอีกอย่างวา่ สมการวงรรี ูปมาตรฐาน แบ่งเป็น 2 รปู แบบ รูปแบบที่ 1 สมการ (x − h)2 + (y − k)2 =1 จดุ ศนู ย์กลาง a2 b2 (h, k ) จุดยอด (h  a, k ) จดุ โฟกสั (h  c, k ) จุดปลายแกนโท (h, k  b) แกนเอก แกน x ความยาว L.R. 2b 2 a รปู แบบท่ี 2 สมการ (x − h)2 + (y − k)2 =1 ขอ้ สังเกต b2 a2 จดุ ศนู ยก์ ลาง จดุ ยอด (h, k ) จุดโฟกัส จุดปลายแกนโท (h, k  a) แกนเอก (h, k  c) ความยาว L.R. (h  b, k ) แกน y 2b 2 a - c2 = a2 −b2 ,a > b และ a > c - ตวั เลขใต้ตัวแปรใด มีค่ามากแสดงวา่ แกนนัน้ เป็นแกนเอก ตวั อย่างท่ี 1 จงเขยี นกราฟจากสมการ ( x − 4)2 ( y + 4)2 + =1 36 25 วิธีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 57 ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาสมการของวงรีทมี่ จี ดุ ยอดหนงึ่ อยทู่ ี่ (2, 8) โฟกสั จดุ หนึ่งอยู่ท่ี (2, -2) และจุดศนู ย์กลางอยู่ บนเสน้ ตรง 3x − 2y − 2 = 0 วิธีทำ ตวั อยา่ งที่ 3 จากกราฟที่กำหนดใหจ้ งบอกสมการวงรี 1) 2) ตอบ………………………………………….. ตอบ………………………………………………… การหาพน้ื ท่ขี องรปู วงรี กำหนดสมการวงรีในรปู มาตรฐาน ( x − h)2 ( y − k )2 หรอื ( x − h)2 ( y − k )2 a2 + b2 =1 b2 + a2 =1 สามารถหาพน้ื ทีข่ องรปู วงรีได้จากสูตร พ้นื ที่วงรี = ab ตวั อย่างท่ี 4 จงหาพืน้ ทข่ี องรูปวงรจี ากอสมการ x2 + 4y2  4 วิธีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 58 ตวั อย่างท่ี 5 สะพานโคง้ (Arch Bridge) ซงึ่ มโี ครงสร้างเปน็ รูปคร่งึ วงรี ถา้ ระยะห่างระหวา่ งเสาสะพานเท่ากับ 60 ฟุต และจุดที่สูงจากพ้ืนท่ีสดุ สูง 25 ฟตุ จงหาระยะห่างจากจดุ ศนู ย์กลางท่ีทำให้ส่วนโค้งสูงจากพ้นื เท่ากับ 15 ฟุต วิธีทำ สมการวงรีทอี่ ยใู่ นรูปทั่วไป สมการวงรีทอ่ี ยู่ในรูปทัว่ ไป คือ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 ซ่งึ จะเปน็ วงรี กต็ ่อเม่ือ 1. AB > 0 (A, B ตอ้ งมเี ครอ่ื งหมายเหมือนกนั ) 2. A  B โดยที่ |A| > |B| จะเป็นวงรที ี่มีแกนเอกขนานแกน y |A| < |B| จะเปน็ วงรที ่ีมแี กนเอกขนานแกน x 3. (h, k) = (− C ,− D ) 2A 2B ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาจดุ ศูนย์กลาง จดุ ยอด จุดปลายแกนโท โฟกสั และความยาวของลาตสั เรกตมั ของวงรที ่ีมี สมการ x2 + 4y2 − 4x −8y −92 = 0 พรอ้ มท้ังเขยี นกราฟ วธิ ีทำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 59 ตวั อยา่ งท่ี 2 วงรีวงหน่งึ มจี ุดศนู ย์กลางร่วมกบั จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม x2 + y2 −6x + 2y −15 = 0 และ สมั ผัสกับวงกลมนี้ทจี่ ดุ ยอดของวงรี ถ้าแกนเอกของวงรีขนานกบั แกน y และโฟกสั จุดหน่งึ อยูท่ ่ี (3, 3) จงหาสมการของวงรี วธิ ีทำ สมบตั กิ ารสะทอ้ นของวงรี วงรมี ีสมบัติการสะท้อนที่นา่ สนใจ ซงึ่ เม่ือไมน่ านมานีม้ ีการนำไปประยุกตใ์ ชใ้ นวงการแพทย์ ถ้าให้ แหลง่ กำเนดิ แสงอยู่ทโ่ี ฟกสั จุดหนึ่งของพื้นผวิ สะท้อนแสงทรงรที เ่ี กดิ จากการหมุนวงรีรอบแกนสมมาตร แลว้ แสงจะ สะทอ้ นจากพื้นผิวไปตกทีโ่ ฟกัสอกี จดุ หน่ึง ดังแสดงในรปู หลกั การนใี้ ช้ได้กับคลน่ื เสยี งด้วยและนำไปประดษิ ฐเ์ คร่ืองมือสลายนวิ่ ไต (Lithotripsy) คนไข้จะถูกจดั ให้ นง่ั อยู่ในแคปซลู ทรงรีบรรจุนำ้ ให้กอ้ นน่ิวอยู่ในตำแหนง่ โฟกัสจดุ หนง่ึ และแหล่งกำเนิดคล่นื เสียงความเขม้ สงู อยู่ท่ี โฟกัสอีกจดุ หน่งึ พื้นผวิ ของแคปซลู จะสะท้อนคลื่นเสยี งความเข้มสงู จากแหลง่ กำเนิดไปทำลายกอ้ นน่ิวโดยทำให้ เน้ือเย่ือรอบก้อนนิ่วเสียหายเพยี งเลก็ น้อยเทา่ นนั้ คนไข้ไม่ต้องเจ็บทรมานมากและใช้เวลาพักฟ้นื เพียงไม่ก่วี นั แทนที่จะใช้เวลาเปน็ สัปดาห์ ดังเชน่ การผ่าตดั แบบเดิม ตัวอยา่ งท่ี 3 เครื่องสลายนวิ่ มรี ปู รา่ งทเี่ กิดจากการหมุนวงรรี อบแกนเอกของวงรี ถา้ แกนเอกยาว 26 น้ิว แกน โทยาว 10 น้ิว จงหาว่าตำแหนง่ ทเ่ี หมาะสมของผปู้ ่วยอยู่ห่างจากตำแหนง่ ปลอ่ ยรงั สีเท่าใด วิธที ำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 60 ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการวงรี ทม่ี ีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (1,2) โฟกัสอยูท่ ่ี (6,2) และผ่านจุด (4,6) วิธที ำ ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาสมการวงรี ทมี ีจดุ ยอดจุดหนงึ่ อย่ทู ่ี (2,8) โฟกสั จุดหน่ึงอยู่ท่ี (2,-2) และจุดศนู ย์กลางอย่บู น เส้นตรง 3x - 2y -2 = 0 วิธีทำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 61 ตวั อยา่ งแบบทดสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 1. เส้นตรงท่ผี า่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงรี 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 และตง้ั ฉากกบั เส้นตรง 3x + 4y = 5 มีสมการเป็นข้อใดต่อไปน้ี 1. 4x – 3y + 12 = 0 2. 4x – 3y + 12 = 0 3. 4x – 3y – 36 = 0 4. 4x – 3y + 36 = 0 2. ระยะหา่ งระหว่างเส้นคู่ขนานทท่ี ำมุม 45 กบั แกน X และผา่ นจดุ โฟกสั ทั้งสองของวงรี x2 – 4x + 3y2 – 2 = 0 มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 2 2. 4 2 3. 2 4. 4 3. ความยาวของระยะทางทส่ี ั้นที่สดุ จากจุดกงึ่ กลางระหว่างจุด (1, 10) กับจุด (–9, 4) ไปยงั จุดโฟกัสของวงรีที่ มสี มการเป็น 11y2 + 36x2 = 396 จะเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี 1. 2 2 2. 2 3 3. 2 5 4. 2 7 4. วงรมี ีแกน X และแกน Y เป็นแกนสมมาตร ผ่านจดุ N(2 3 , 6 ) และ M(6, 0) ถ้า a เป็นความยาวของคร่งึ แกนเอก และ b เป็นความยาวของคร่งึ แกนโท แลว้ a + b มีค่าเทา่ ไร 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10 5. วงรีวงหน่ึงมีจุดศนู ยก์ ลางท่ี (3, 1) จดุ โฟกัสจุดหนง่ึ ที่ (5, 1) และสมั ผสั แกน Y ที่จดุ (0, 1) สมการของ วงกลมที่มจี ุดศนู ยก์ ลางท่ี (–2, 1) และมีรัศมเี ท่ากบั ความยาวของแกนโทของวงรีคือข้อใดต่อไปนี้ 1. x2 + y2 + 4x – 2y = 0 2. x2 + y2 + 4x – 2y – 1 = 0 3. x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 4. x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0 6. ถ้ากำหนดสมการวงรเี ปน็ 4x2 + 9y2 – 8x + 18y – 23 = 0 แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. วงรสี มั ผัสท้ังแกน X และแกน Y ข. ระยะทางระหว่างโฟกสั ทง้ั สองเท่ากับ 2 5 ข้อใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. และ ข. ผิด 7. กำหนดให้ A และ B เปน็ จุดโฟกัสของวงรี x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 และวงรีนตี้ ัดแกน X ทจ่ี ุด C และ D โดยทำให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลย่ี ม พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ก. ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลี่ยมผืนผา้ ข. พ้ืนทขี่ องรูปส่ีเหล่ียม ABCD เทา่ กบั 4 2 ตารางหน่วย ขอ้ ใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. ก. และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. และ ข. ผิด 8. ให้ C เป็นวงกลมที่มจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู ่ีจุดศูนยก์ ลางของวงรี x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 และผา่ นจุดโฟกสั ของวงรีน้ี ถ้าวงกลม C ตดั เสน้ ตรง y = –x ทจี่ ดุ A และ B แลว้ ระยะ AB ยาวเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ 1. 3 หน่วย 2. 5 หนว่ ย 3. 6 หน่วย 4. 8 หนว่ ย

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 62 4. ไฮเพอรโ์ บลา นิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดบนระนาบซ่งึ ผลต่างของระยะทางจากจดุ เหลา่ นี้ไปยังจดุ คงที่สองจดุ บนระนาบจะมีค่าคงตัวเสมอ ขยายบทนิยาม - จุดคงที่ในนิยามเรียกวา่ จุดโฟกสั ของไฮเปอรโ์ บลา - คา่ คงตัวในนยิ ามมีค่าเท่ากบั 2a เส้นกากบั กราฟ เส้นกากบั กราฟ B F ba F' V' V C c B' ลกั ษณะของไฮเพอรโ์ บลา ********** ไฮเพอรโ์ บลาท่ีมี ไฮเพอรโ์ บลาที่มี รปู แกน x เปน็ แกนตามขวาง แกน y เป็นแกนตามขวาง y=−bx y y=bx y=−ax y a a b y=ax Fb BV F' V' V B' B Fx x V' B' F' สมการ x2 − y2 =1 y2 − x2 =1 มาตรฐาน a2 b2 a2 b2 จดุ จุดศูนย์กลางท่จี ุด (0,0) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ุด (0,0) ศนู ยก์ ลางที่ จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุด V (a,0) และ V '(−a,0) จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ดุ V (0, a) และ V '(0, −a) จุด (0,0) จดุ โฟกัสอย่ทู ีจ่ ุด F (c,0) และ F '(−c,0) จุดโฟกสั อยูท่ ีจ่ ุด F (0,c) และ F '(0, −c) ปลายแกนสังยคุ อยู่ทีจ่ ดุ B (0,b) และ ปลายแกนสังยุคอยทู่ ี่จุด B (b,0) และ B '(0, −b) B '(−b,0)

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 63 ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จุดยอด โฟกสั ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความยาว ลาตัสเรกตัม และสมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาท่ีมีสมการ 16y2 − 25x2 = 400 พรอ้ มทัง้ เขียนกราฟ วธิ ีทำ ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาซ่งึ มจี ุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (0, 0) แกนของตามขวางอยู่บนแกน y และ สมการของไฮเพอร์โบลาผ่านจดุ (4, 6) และ (1, -3) วิธีทำ ตัวอย่างที่ 3 จงบอกสมการของไฮเพอรโ์ บลาจากกราฟต่อไปน้ี 1) 2) ตอบ………………………………………… ตอบ……………………………………………

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 64 ตัวอย่างที่ 4 ดาวหางดวงหน่งึ มีเสน้ ทางการเคล่ือนทเี่ ป็นโคง้ ไฮเพอร์โบลาเขา้ ใกล้ดวงอาทติ ยท์ ่สี ดุ เปน็ ระยะ 90 Gm. เมื่อเสน้ ตรงจากดาวหางไปตั้งฉากกับแกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาตรงตำแหน่งของดวงอาทิตย์ เปน็ 281.25 Gm. จงคำนวณหาคา่ a, b, c และ e พรอ้ มทงั้ หาพิกัดของดวงอาทติ ย์ วิธที ำ สมการไฮเพอร์โบลาที่มจี ุดศูนยก์ ลางท่จี ุด (h,k) ********** ลกั ษณะของไฮเพอรโ์ บลา ไฮเพอร์โบลาที่มี แกน y เป็นแกนตามขวาง ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี ี แกน x เปน็ แกนตามขวาง ( x − h)2 ( y − k )2 ( y − k )2 ( x − h)2 − =1 a2 − b2 =1 a2 b2 สมการ จุดศนู ย์กลางอยทู่ จี่ ดุ (h,k ) มาตรฐานจุด จุดยอดอยู่ท่ีจดุ V (h + a,k ) และ จุดศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (h,k ) ศนู ย์กลาง จุดยอดอยู่ท่จี ดุ V (h,k + a) และ อย่ทู ่จี ดุ V '(h − a,k ) V '(h, k − a) (h, k ) จุดโฟกสั อยูท่ จ่ี ุด F (h + c,k ) และ จุดโฟกัสอยทู่ ี่จุด F (h,k + c) และ F '(h − c, k ) F '(h, k − c) ปลายแกนสงั ยุคอยูท่ ่ีจุด B(h,k + b) และ ปลายแกนสังยุคอยู่ที่จุด B(h + b,k ) และ B '(h, k − b) B '(h − b, k )

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 65 ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด จดุ ปลายแกนสังยคุ โฟกสั และความยาวของลาตัสเรกตัมของ ไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีสมการ ( y + 5)2 ( x − 3)2 พร้อมทงั้ เขียนกราฟ − =1 36 9 วิธที ำ ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาซึง่ มีจดุ ยอดจุดหนึ่งอยทู่ ่ี (3, 3) โฟกสั จุดหน่ึงอยู่ที่ (-4, 3) และ จุดศนู ยก์ ลางอยู่บนแกน y วธิ ที ำ ตัวอยา่ งท่ี 3 จากกราฟท่ีกำหนดให้จงบอกสมการวงรี 1) 2) ตอบ…………………………………………… ตอบ………………………………………………

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 66 สมบัติสะท้อนของไฮเพอรโ์ บลา ไฮเพอรโ์ บลามีสมบตั สิ ะท้อนทนี่ า่ สนใจเชน่ เดยี วกบั พาราโบลาและวงรี คอื แสงที่พ่งุ ไปที่โฟกัสจดุ หน่งึ ของกระจกเงาท่ีมภี าคตดั ขวางเปน็ ไฮเพอรโ์ บลา เมื่อกระทบกบั กระจกเงา กระจกเงาจะสะทอ้ นแสงไปยงั โฟกสั อกี จดุ หน่งึ จากกระจกเงาท่มี ีภาคตดั ขวางเป็นพาราโบลา ทเี่ ข้ามาจากภายนอกอีกทหี นงึ่ แสงสะท้อนจากกระจก เงาพาราโบลามีทศิ ทางพงุ่ ไปยังโฟกสั จดุ หนึ่งของกระจกเงาไฮเพอรโ์ บลาและกระจกเงาไฮเพอร์โบลาจะสะท้อนกบั ไปยังโฟกัสอกี จุดหน่ึงท่ีอยูใ่ นตำแหน่งของนัยน์ตา ดังรปู ตัวอยา่ งท่ี 4 กล้องเทเลสโคปตัวหนึ่งมีพกิ ัดจดุ โฟกสั อยทู่ ี่ F1 (0,5.2) และ F2 (0,−5.2) ถา้ พกิ ัดของจดุ ยอด ตรงกระจกไฮเพอร์โบลา คอื (0,4.1) จงหาสมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา วธิ ีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 67 สมการไฮเพอรโ์ บลาในรูปท่ัวไป Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 สมการนจี้ ะเป็นไฮเพอร์โบลากต็ ่อเมอ่ื สมการท่ีอยใู่ นรปู 1. A กับ B ตอ้ งมเี คร่ืองหมายต่างกัน A > 0, B < 0 แกนตามขวางขนาน ทวั่ ไปของ แกน x ไฮเพอร์โบลา 2. (C 2 + D2 − E)  0 A < 0, B > 0 แกนตามขวางขนาน 4A 4B แกน y 3. (h,k) = (− C ,− D ) 2A 2B ความสัมพันธ์ของ a, b, c : c2 = a2 + b2 , a2 จะอยใู่ ต้ตัวแปรท่ีเปน็ บวกเสมอและเม่ือa2 จะอยูใ่ ตต้ ัวแปรใดแกนตามขวางจะขนานกับแกนนน้ั ตวั อย่างที่ 1 จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จุดยอด จุดปลายแกนสังยคุ โฟกสั ความยาวของลาตสั เรกตัมและสมการ เส้นกำกบั ของวงรีที่มสี มการ 2x2 −3y2 − 20x − 24y −16 = 0 พรอ้ มทั้งเขียนกราฟ วิธที ำ ตวั อย่างท่ี 2 จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาซงึ่ ผลต่างของระยะห่างจากจดุ ใด ๆ บนไฮเพอร์โบลาไปยังจุด A(2, 8) และ B(2, -2) มคี ่าคงตวั เท่ากบั 8 เสมอ วิธีทำ

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 68 ตัวอยา่ งท่ี 3 จดุ P ( x, y) เป็นจดุ หนงึ่ ทเ่ี คลอื่ นท่บี นระนาบ ซ่ึงเคลื่อนทีโ่ ดยทำใหผ้ ลคูณของความชันของ เสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ P และ A(−2,1) กับความชนั ของเส้นตรงที่ผ่าน P และ B (4,5) มคี ่าเทา่ กบั 3 เสมอ จงหาสมการของเส้นโค้งทเ่ี กิดจากการเคล่ือนท่ีของ P พร้อมทง้ั วาดกราฟ วิธที ำ ตวั อย่างที่ 4 กล้องโทรทรรศน์ตัวหนงึ่ มสี ่วนประกอบต่าง ๆ ดังแสดงในรูป จงหาสมการมาตรฐานของ ไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศนู ย์กลางท่จี ดุ กำเนดิ และแกนตามขวางอยบู่ นแกน x วิธีทำ

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 69 สรุปสมการท่ัวไปของภาคตัดกรวย คือ Ax2 + By2 +Cx + Dy + E = 0 เม่ือ A และ B ไม่เป็นศนู ย์พร้อมกัน ซึ่งเป็นภาคตดั กรวยของ 1. วงกลม ถ้า A = B 2. วงรี ถา้ AB > 0 3. พาราโบลา ถ้า AB = 0 4. ไฮเพอร์โบลา ถา้ AB < 0 ตวั อย่างแบบทดสอบเขา้ มหาวิทยาลัย x2 = 1 และจดุ โฟกสั ของวงรี 1. พ้นื ทสี่ เี่ หล่ยี มท่ีมีจดุ ยอดทั้งส่ีอยูท่ จ่ี ดุ โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา y2 9 16 4. 60 x2 y2 = 1 มคี ่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 100 64 1. 30 2. 40 3. 48 2. กำหนดให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลาที่มสี มการเป็น (x 1)2 (y 2)2 = 1 49 ถ้า E เปน็ วงรซี ง่ึ ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บน E ไปยังจดุ ท่กี ราฟของ H ตัดแกนตามขวางทั้งสองจุด เทา่ กับ 8 แลว้ สมการของ E คอื ข้อใดตอ่ ไปน้ี 1. 3(x – 1)2 + 4(y – 2)2 = 48 2. 4(x – 1)2 + 3(y – 2)2 = 48 3. 3(x – 1)2 + 4(y – 2)2 = 64 4. 4(x – 1)2 + 3(y – 2)2 = 64 3. กำหนดให้ E เป็นวงรซี ่ึงมสี มการเปน็ 6x2 + 5y2 + 12x – 20y – 4 = 0 และ H เปน็ ไฮเพอร์โบลาซง่ึ มจี ดุ ศูนยก์ ลางร่วมกับ E มีจดุ ยอดรว่ มกบั จดุ โฟกัสของ E และมีความยาวของแกนสงั ยุคเทา่ กับความยาวแกนโท ของ E ข้อใดต่อไปน้ีคือสมการของไฮเพอร์โบลา H 1. x2 – 5y2 – 2x – 20y + 14 = 0 2. x2 – 5y2 + 2x + 20y – 14 = 0 3. x2 – 5y2 + 2x + 20y – 18 = 0 4. 5x2 – y2 – 2x + 20y + 18 = 0 4. ถ้า F เป็นจดุ โฟกัสของไฮเพอรโ์ บลา 6x2 – 10y2 – 12x – 40y – 94 = 0 อยู่ในควอดแรนตท์ ี่สแี่ ล้ว สมการ ของพาราโบลาทม่ี ีจดุ ยอดอยู่ที่ F และมีแกนสังยุคของไฮเพอร์โบลาเปน็ เส้นไดเรกตรกิ ซ์คอื สมการในข้อใด ต่อไปน้ี 1. y2 + 4y – 4x – 9 = 0 2. y2 + 4y – 4x + 24 = 0 3. y2 + 4y – 16x – 44 = 0 4. y2 + 4y – 16x + 84 = 0 5. ถ้า k เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีมากทสี่ ดุ ทท่ี ำใหเ้ ส้นตรง y = kx + 1 ตัดกบั ไฮเพอร์โบลา x2 y2 =1 แล้ว คา่ k เปน็ จำนวนทอี่ ยใู่ นชว่ งใดต่อไปน้ี 4 − 40 1. (2.5, 5] 2. (5, 7.5] 3. (7.5, 10] 4. (10, 12.5]

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 70 6. ถ้า A เปน็ จดุ ตัดของเส้นตรง 5x – 4y – 15 = 0 และ x + y – 12 = 0 จดุ B และจดุ C เป็น จดุ ยอดของไฮเพอร์โบลา 4y2 – 9x2 – 16y + 18x – 29 = 0 แลว้ สามเหลีย่ ม ABC มพี ื้นทก่ี ต่ี ารางหน่วย 1. 15 2. 16 3. 17 4. 18 7. ผลบวกของระยะทางจากจดุ โฟกสั ท้ังสองของไฮเพอร์โบลา 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 ไปยงั เส้นตรง 3x + 4y – 8 = 0 มคี า่ เทา่ ใด 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 8. ถ้าไฮเพอรโ์ บลา H มีจดุ ศูนย์กลางอยูท่ จ่ี ดุ ศูนย์กลางของวงรี 4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0 จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ุดโฟกัสทั้งสองของวงรีนี้ และผ่านจุด (5, 5) แล้ว จดุ โฟกัสของไฮเพอรโ์ บลา H คือ จดุ ในขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. 1 − 7 , 2  และ 1 + 7 , 2  11  11  2. 1 − 8 , 2  และ 1 + 8 , 2  11  11  3. 1 − 9 , 2  และ 1 + 9 , 2  11  11  4. 1 − 10 , 2  และ 1 + 10 , 2  11  11  รวมข้อสอบ เร่อื ง ภาคตดั กรวย 1. ใหพ้ าราโบลารปู หน่งึ มสี มการ y = x2 + 1 สรา้ งรูปสามเหลย่ี ม ABC โดยทจ่ี ุด A เป็นจุดยอดของพาราโบลา จุด B(x, y) และจดุ C(2, 5) เป็นจุดบนพาราโบลา ถา้ มุม ABˆC เป็นมุมฉาก แลว้ พน้ื ทข่ี องรปู สามเหลย่ี ม ABC เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT 1 : ก.พ. 2562] 1. 2 2 ตารางหน่วย 2. 3 ตารางหน่วย 3. 3 2 ตารางหน่วย 4. 4 ตารางหน่วย 5. 4 3 ตารางหน่วย

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 71 2. วงกลมวงหน่งึ มสี มการเป็น x2 + y2 − 4x − 2y + 1 = 0 และสมั ผสั กบั แกน y ทจ่ี ดุ P ให้ L เป็นเสน้ ตรงผ่านจุดศูนยก์ ลางของวงกลมและขนานกบั เสน้ ตรง 2x – 2y = 1 ระยะระหวา่ งจุด P กบั เสน้ ตรง L เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี [PAT 1 : ก.พ. 2562] 1. 5 5 2. 2 2 3. 2 4. 32 2 5. 5 3. กาหนดให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลา ซง่ึ มสี มการเป็น x2 − 3y2 − 3 = 0 และให้ F เป็นโฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา H ทอ่ี ย่ทู างขวาของจดุ (0, 0) ให้ E เป็นวงรที ม่ี จี ุดยอดอย่ทู ่ี (0, 0)และโฟกสั อย่ทู ่ี F โดยทจ่ี ุด (0, 0) และจดุ F อย่ทู างซา้ ยของจุด ศูนยก์ ลางของวงรี E ถ้าผลต่างของความยาวแกนเอกและความยาวแกนโท เท่ากบั 2 แลว้ ความเยอ้ื งศูนยก์ ลางของวงรี E ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี [PAT 1 : ก.พ. 2562] 1. 0.2 2. 0.3 3. 0.4 4. 0.5 5. 0.6

ครูยพุ นิ พลเรือง : เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตดั กรวย 72 4. ให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนสงั ยคุ อย่บู นเสน้ ตรง x = 1 และมจี ดุ ยอดจดุ หน่ึงอย่ทู ่ี (0, 2) ถา้ H ผ่านจุดศูนยก์ ลางของวงรซี ง่ึ มสี มการเป็น 5x2 − 30x + 9y2 = 0 แลว้ สมการของไฮเพอรฺโบลา H ตรงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT 1 ก.พ. 2561] 1. 4x2 − 3y2 − 8x + 12y − 12 = 0 2. 4x2 − 3y2 − 8x + 12y − 13 = 0 3. 4x2 − 3y2 − 8x − 6y − 12 = 0 4. 3x2 − 4y2 − 6x + 16y − 17 = 0 5. 3x2 − 4y2 − 6x + 8y − 17 = 0 5. ให้ E เป็นวงรรี ปู หน่ึงมจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู จ่ี ุด (1, –2) และโฟกสั ทงั้ สองอย่บู นเสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน x ถา้ (4, 0) เป็นจุดบน E และผลบวกของระยะทางจากจดุ (4, 0) ไปยงั จุดโฟกสั ทงั้ สองเทา่ กบั 8 หน่วย แลว้ วงรี E ผ่านจดุ ในขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT 1 ก.พ. 2561] 1. (4, 2) 2. (2, 4) 3. (2, –4) 4. (–2, –4) 5. (4, –2)

ครูยพุ ิน พลเรือง : เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย 73 6. ให้ P เป็นพาราโบลารูปหน่ึง มโี ฟกสั อยบู่ นเสน้ ตรง x + 2y = 4 และสมการของแกนสมมาตร คอื y = 3 ถา้ P มเี สน้ ไดเรกตรกิ ซเ์ ป็นเสน้ ตรงเดยี วกนั กบั เสน้ ไดเรกตรกิ ซข์ องพาราโบลา y2 + 8y − 24x + 16 = 0 แลว้ พาราโบลา P ผ่านจุดในขอ้ ใดต่อไปน้ี [PAT1 ม.ี ค. 2560] 1. (–7, 1) 2. (–4, 0) 3. (1, –1) 4. (2, –4) 5. (4, –5) 7. ให้ C เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 − 2ky = 0 เมอ่ื k > 0 ให้ T เป็นเสน้ ตรงทผ่ี ่านจุด A(–5, 4) และสมั ผสั วงกลมทจ่ี ุด B โดยระยะทางระหว่างจุด A และ จดุ B เทา่ กบั 1 หน่วย ถา้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลา มจี ุดศูนยก์ ลางอย่ทู จ่ี ุด C แกนสงั ยุคยาว 2k หน่วย และขนานแกน x และเสน้ กากบั เสน้ หน่งึ ผา่ นจุด A และจดุ C แลว้ สมการของ ไฮเพอรโ์ บลา H ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี [PAT1 ม.ี ค. 2560] 1. x2 − 25y2 + 250y − 600 = 0 2. x2 − 25y2 − 250y + 624 = 0 3. x2 − 25y2 − 250y + 650 = 0 4. 25x2 − y2 + 10y + 50 = 0 5. 25x2 − y2 + 10y − 50 = 0

บรรณานุกรม กมล เอกไทยเจรญิ . คณติ ศาสตร์ ม. 4 เล่ม 2 ค 011. ไฮเอ็ดพบั ลิชชง่ิ : กรุงเทพฯ. ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. 1001 TEST IN MATHS 1. แมค็ : กรงุ เทพฯ. ธนวัฒน์ สนทราพรพล. คณติ ศาสตรช์ ่วงชน้ั ท่ี 4 (4 – 6) เล่ม 2 สำหรบั ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 . ไซน์เซ็นเตอร์ : กรงุ เทพฯ. นพพร แหยมแสง. ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ที่เนน้ ผู้เรียนเป็นสำคญั วิชาคณิตศาสตร์ ม. 4. สถาบนั พัฒนาคุณภาพวิชาการ : กรงุ เทพฯ. ศภุ กิจ เฉลมิ วิสตุ มก์ ลุ . เทคนิคการเรยี นคณิตศาสตรใ์ หเ้ กง่ ดว้ ยตนเอง ระบบจำนวนจรงิ . แมค็ : กรุงเทพฯ. สมัย เหลา่ วานิช. คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 2. ไฮเอด็ พับลิชช่ิง : กรงุ เทพฯ. สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี , สถาบัน. หนังสือเรียนสาระ การเรยี นรเู้ พิม่ เติม คณติ ศาสตร์ เลม่ 2. ครุ ุสภาลาดพร้าว : กรงุ เทพฯ.