การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ บทท่ี 2 การวเิ คราะห์ข้อมูลเบื้องต้น จากท่ีกล่าวมาแลว้ วา่ สถิติ หมายถึง ศาสตร์ท่ีวา่ ดว้ ยระเบียบวิธีการทางสถิติ (Statistical Method) ซ่ึง ประกอบดว้ ย การเก็บรวบรวมขอ้ มูล (Collection of Data) การนาเสนอขอ้ มูล (Presentation of Data) การวเิ คราะห์ขอ้ มูล (Analysis of Data) และการตีความหมายขอ้ มูล (Interpretation of Data) ดงั น้นั ใน การศึกษาหรือการทาวจิ ยั เก่ียวกบั เร่ืองใดๆ เร่ืองหน่ึงที่สนใจ ข้นั แรกตอ้ งมีการเก็บขอ้ มูลเพื่อทาการศึกษา ในเร่ืองน้นั ๆ ขอ้ มูลท่ีเก็บรวบรวมไดเ้ ราเรียกวา่ “ขอ้ มูลดิบ” เม่ือไดข้ อ้ มูลมาแลว้ เราจะทาการนาเสนอ ขอ้ มูล โดยการนาเสนอขอ้ มูล มีหลายวธิ ี เช่น การนาเสนอดว้ ยบทความ การนาเสนอดว้ ยตาราง หรือการ นาเสนอดว้ ยกราฟต่างๆ เป็ นตน้ ซ่ึงในหวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงการนาเสนอขอ้ มูลดว้ ยตารางแบบหน่ึงซ่ึงจะ แสดงการแจกแจงความถี่ของขอ้ มูล ดงั น้ี 2.1 การแจกแจงความถ่ี (Frequency Distribution) คือการนาขอ้ มูลดิบที่เก็บไดม้ าแบ่งออกเป็ นกลุ่มๆ โดยอาจจาแนกตามลกั ษณะต่างๆ หรือจดั ให้ ขอ้ มูลท่ีมีค่าใกลเ้ คียงกนั หรือซ้ากนั อยูด่ ว้ ยกนั เพื่อสรุปลกั ษณะของขอ้ มูลและทาให้การวเิ คราะห์ขอ้ มูล ง่ายข้ึน การแจกแจงความถี่ทาได้ 2 แบบ คือ 1. การแจกแจงความถี่ของข้อมูลเชิงคุณภาพ การแจกแจงความถี่แบบน้ีจะใชก้ บั ขอ้ มูลท่ีอยใู่ นมาตรวดั นามบญั ญตั ิและมาตรวดั เรียงลาดบั ท่ีมี จานวนกลุ่ม หรือประเภทของขอ้ มูลไม่มากนกั เช่น จาแนกตามเพศ จาแนกตามความคิดเห็น จาแนกตาม สาขา หรือจาแนกตามเกรด เป็นตน้ ตัวอย่าง 1 จากการสารวจผลการเรียนรายวิชาสถิติ ในภาคเรียนที่ 2 ปี การศึกษา 2554 ของนกั ศึกษากลุ่ม หน่ึง จานวน 260 คน ไดผ้ ลการสารวจดงั ตาราง วิธีทา เกรด A B+ B C+ C D+ D F รวม จานวน (คน) 20 27 39 46 30 22 41 35 260 ~ 15 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 2. การแจกแจงความถข่ี ้อมูลเชิงปริมาณ การแจกแจงความถ่ีแบบน้ีจะใชก้ บั ขอ้ มูลที่อยูใ่ นมาตรวดั อนั ตรภาคและมาตรวดั อตั ราส่วน ที่มี จานวนมาก เช่น น้าหนกั ส่วนสูง รายได้ คะแนนสอบ เป็ นตน้ โดยจะทาการแบ่งค่าขอ้ มูลออกเป็ นช่วงๆ ที่ต่อเน่ือง แต่ละช่วงท่ีทาการแบ่งจะประกอบดว้ ย ขอ้ มูลหลายๆ ค่า เรียกว่า “อนั ตรภาคช้นั ” (Class interval) และเรียกตารางท่ีไดว้ า่ “ตารางแจกแจงความถี่” โดยจะมีองคป์ ระกอบที่สาคญั ดงั น้ี 1. ช้ัน (Class) หมายถึง จานวนช้นั หรือจานวนกลุ่มของขอ้ มูลที่จดั ในตารางแจกแจงความถ่ี โดยการกาหนดจานวนช้นั จะพิจารณาตามความเหมาะสมของขอ้ มูลในแตล่ ะชุด 2. ขีดจากดั (Class limit) หมายถึง ตวั เลขที่แสดงช่วงของขอ้ มูล บอกใหท้ ราบวา่ มีตวั เลขอะไร อยใู่ นช้นั น้นั ขีดจากดั ล่าง (Lower class limit) คือ ขอ้ มูลท่ีมีค่าต่าสุดในแต่ละช้นั ขีดจากดั บน (Upper class limit) คือ ขอ้ มูลที่มีคา่ สูงสุดในแตล่ ะช้นั น้นั การหาขีดจากดั ล่างของช้นั แรก = คา่ ต่าสุด - [(ความกวา้ งช้นั  จานวนช้นั ) - พิสยั ] 2 3. ขอบเขตช้ัน (Class boundary) เป็นค่าที่แบ่งแยกอาณาเขตของแตล่ ะช้นั ซ่ึงเป็ นค่าต่อเนื่องในช้นั ท่ีอยูต่ ิดกนั หรือเป็ นค่าก่ึงกลาง ระหวา่ งขีดจากดั ช้นั บนกบั ขีดจากดั ช้นั ล่างที่ติดกนั โดยปกติจะหาจาก ขอบเขตช้นั บน = ขีดจากดั บนช้นั น้นั + ขีดจากดั ล่างของช้นั ถดั ข้ึนไป 2 ขอบเขตช้นั ล่าง = ขีดจากดั ล่างช้นั น้นั + ขีดจากดั บนช้นั ลงไป 2 หรืออาจหาไดจ้ าก การบวกและลบขีดจากดั บนและล่างดว้ ย ค่าคงที่ 0.5 , 0.05 หรือ 0.005 ซ่ึง การจะเลือกใชค้ า่ คงท่ีใดน้นั ข้ึนอยกู่ บั ลกั ษณะของขอ้ มูลดิบ ตัวอย่าง 2 การปรับค่าขีดจากดั ช้นั เป็นของเขตช้นั เมื่อขอ้ มูลเป็นจานวนเตม็ ขีดจากดั ขอบเขตช้นั 1 – 5 0.5 – 5.5 6 – 10 5.5 – 10.5 11 – 15 10.5 – 15.5 ~ 16 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ เมื่อขอ้ มูลเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง ขีดจากดั ขอบเขตช้นั 1.0 – 5.9 0.95 – 5.95 6.0 – 10.9 5.95 – 10.95 11.0 – 15.9 10.95– 15.95 4. ความกว้างของอนั ตรภาคช้ัน (Class interval ; c ) หมายถึง ช่วงห่างของขอ้ มูลในแตล่ ะช้นั ซ่ึงหาไดจ้ าก ความกวา้ งช้นั (c) = ขอบเขตช้นั บน – ขอบเขตช้นั ล่างของช้นั น้นั หรือ ความกวา้ งช้นั (c) = ผลตา่ งของขีดจากดั ช้นั ของช้นั ท่ีอยตู่ ิดกนั 5. จุดกง่ึ กลาง (Midpoint) เป็นค่าตรงจุดก่ึงกลางของแตล่ ะช้นั ซ่ึงหาจาก จุดกลางช้นั = ขีดจากดั ล่าง + ขีดจากดั บน 2 หรือ จุดกลางช้นั = ขอบเขตช้นั ล่าง + ขอบเขตช้นั บน 2 การสร้างตารางแจกแจงความถี่ 1. หาคา่ ต่าสุด (minimum value) และค่าสูงสุด (maximum value) ของขอ้ มูล 2. คานวณคา่ พสิ ัยของขอ้ มูล (Range ; R) ซ่ึงหาไดจ้ าก พสิ ัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่าสุด 3. กาหนดจานวนช้นั ของขอ้ มูลท่ีตอ้ งการ (number of class ; k) การตดั สินใจวา่ ควรใหม้ ีขอ้ มูลกี่ ช้นั น้นั จะพจิ ารณาจากจานวนขอ้ มูล ถา้ ขอ้ มูลมีจานวนมาก จานวนช้นั ควรมากดว้ ย อยา่ งไรกต็ าม โดยทว่ั ไปตารางแจกแจงความถ่ีจะมีอยา่ งนอ้ ย 5 ช้นั แตไ่ ม่เกิน 15 ช้นั - กรณีท่ีไมท่ ราบวา่ ควรกาหนดจานวนช้นั เทา่ ไร อาจคานวณไดจ้ ากสูตร k = 1+ 3.3logN เม่ือ N คือ จานวนขอ้ มูลที่มี 4. คานวณหาความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั (c) สามารถคานวณไดจ้ ากสูตร พสิ ยั c= จานวนช้นั - ถา้ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ที่คานวณไดเ้ ป็นเลขที่มีทศนิยม ตอ้ งปัดข้ึนเป็ นจานวนเตม็ เสมอ ถึงแมเ้ ลขทศนิยมจะนอ้ ยกวา่ 0.5 ตาม - ถา้ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ที่คานวณไดเ้ ป็นเลขจานวนเตม็ ใหบ้ วกดว้ ย 1 เสมอ ~ 17 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 5. จดั ขอ้ มูลเป็นช้นั ๆ โดยเรียงลาดบั จากคะแนนต่าไปหาคะแนนสูง หรือ เรียงลาดบั จากคะแนน สูงไปหาคะแนนต่ากไ็ ด้ โดยการจดั ช้นั ตอ้ งครอบคลุมท้งั คะแนนต่าสุด และคะแนนสูงสุดดว้ ย 6. จดั ทาความถ่ีสะสม(Cumulative frequency) คือ ผลรวมความถี่ของช้นั ท่ีต่ากวา่ ต่อเน่ืองจนถึง ความถี่ของช้นั ที่ตอ้ งการ ความถี่สะสมแบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ ก. ความถ่ีสะสมชนิดนอ้ ยกวา่ (less than) คือ ความถี่สะสมท่ีหาไดจ้ ากการรวมความถ่ีจาก ช้นั ของขอ้ มูลที่มีคา่ นอ้ ยไปหาช้นั ของขอ้ มูลท่ีมีคา่ มาก ข. ความถ่ีสะสมชนิดมากกวา่ (more than) คือ ความถี่สะสมที่หาไดจ้ ากการรวมความถ่ีจาก ช้นั ของขอ้ มูลท่ีมีค่ามากไปหาช้นั ของขอ้ มูลที่มีคา่ นอ้ ย 7. ความถี่สัมพทั ธ์ (Relative frequency) ความถ่ีสัมพทั ธ์ของช้นั ใดๆ คือสัดส่วนของความถ่ีแตล่ ะช้นั เทียบกบั ความถ่ีท้งั หมด ความถี่สมั พทั ธ์ของแตล่ ะช้นั = ความถี่ของแต่ละช้นั จานวนความถ่ีท้งั หมด หมายเหตุ นิยมเขียนความถี่สัมพทั ธ์ในรูปร้อยละ โดยการคูณ 100 ตัวอย่าง 3 แสดงค่าขีดจากดั ขอบเขตช้นั ค่ากลาง ความถ่ีสะสม และความถี่สะสมสัมพทั ธ์ของขอ้ มูล ขีดจากดั ขอบเขตช้นั จุดก่ึงกลาง ความถี่ ความถ่ีสะสม ความถ่ีสมั พทั ธ์ (ร้อยละ) 1.00 - 1.49 0.995 - 1.495 1.245 3 3 10.00 1.50 – 1.99 1.495 – 1.995 1.745 5 8 16.67 2.00 – 2.49 1.995 – 2.495 2.245 8 16 26.67 2.50 – 2.99 2.495 – 2.995 2.745 8 24 26.67 3.00 – 3.49 2.995 – 3.495 3.245 4 28 13.33 3.50 – 3.99 3.495 – 3.995 3.745 2 30 6.67 รวม 30 100.01 100 ~ 18 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 4 จากผลการสอบวชิ าสถิติ 1 ของนกั ศึกษาจานวน 30 คน ไดค้ ะแนน ดงั น้ี 52 67 56 97 68 76 85 69 88 86 50 89 74 95 60 81 72 79 81 80 65 58 93 61 92 80 84 99 82 90 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ใหม้ ีจานวนช้นั เทา่ กบั 5 ช้นั วิธีทา 1. พสิ ยั 2. ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ดงั น้นั ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั คือ จะไดต้ ารางแจกแจงความถี่ดงั น้ี ขีดจากดั ขอบเขตช้นั จุดก่ึงกลาง รอยคะแนน ความถ่ี ความถี่สะสม ความถี่สมั พทั ธ์ 50 – 59 49.5-59.5 54.5 |||| 4 4 13.33 60 – 69 59.5-69.5 64.5 |||| | 6 10 20.00 70 – 79 69.5-79.5 74.5 |||| 4 14 13.33 80 – 89 79.5-89.5 84.5 |||| |||| 10 24 33.33 90 – 99 89.5-99.5 94.5 |||| | 6 30 20.00 รวม n = 30 99.99  100 ตัวอย่าง 5 อตั ราการแลกเปล่ียนเงินเยนของญี่ป่ ุนไดเ้ พม่ิ สูงข้ึนมากในช่วง 3-4 ปี ที่ผา่ นมา เน่ืองจากสภาพ เศรษฐกิจของประเทศญ่ีป่ ุนแข็งข้ึนมาก อตั ราแลกเปล่ียนเงินเยนต่อเงินดอลล่าร์สหรัฐในช่วง 40 เดือนท่ี ผา่ นมาเป็นดงั น้ี 129 114 139 141 137 144 123 134 132 105 118 134 140 139 129 124 131 120 142 137 105 113 137 139 125 138 137 111 145 146 129 121 109 103 128 130 135 124 105 113 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ ~ 19 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ วธิ ีทา 1. กาหนดจานวนช้นั จากสูตร จานวนช้นั = 1 + 3.3 log N = 1 + 3.3 log 40 = 1 + 3.3(1.6) = 6.29  7 ช้นั 2. หาพิสยั จาก พิสัย = คา่ สูงสุด – ค่าต่าสุด = 146 – 103 = 43 3. คานวณหาความกวา้ งของช้นั จาก ความกวา้ งช้นั = พิสัย จานวนช้นั = 43/7 = 6.13  7 4. หาขีดจากดั ช้นั ค่าต่าสุด – [(ความกวา้ งช้นั  จานวนช้นั ) - พิสยั ] ขีดจากดั ช้นั แรก = 2  103 [(7  7)  43] 2 = 103 – 3 = 100  ขีดจากดั ของช้นั แรก คือ 100 – 106 และขีดจากดั ช้นั ท่ี 2 คือ 107 – 113 จะไดต้ ารางแจกแจงความถ่ีดงั น้ี ขีดจากดั ช้นั ขอบเขตช้นั รอยขีด ความถี่ จุด ความถ่ี ความถี่สมั พทั ธ์ ก่ึงกลาง สะสม (ร้อยละ) 100 – 106 99.5 – 106.5 107 – 113 106.5 – 113.5 |||| 4 103 4 10 114 – 120 113.5 – 120.5 121 – 127 120.5 – 127.5 |||| 4 110 8 10 128 – 134 127.5 – 134.5 135 – 141 134.5 – 141.5 ||| 3 117 11 7.5 142 - 148 141.5 – 148.5 |||| 5 124 16 12.5 รวม |||| |||| 9 131 25 22.5 |||| |||| | 11 138 36 27.5 |||| 4 145 40 10 40 40 100 ~ 20 ~

99.5 บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ 106.5 113.5กราฟแสดงการแจกแจงความถี่ 120.51. ฮีสโตแกรม (Histogram) เป็ นการนาเสนอขอ้ มูลที่ไดจ้ ากการแจกแจงความถ่ีมาแสดงเป็ นภาพซ่ึง 127.5 134.5ประกอบดว้ ยแท่งส่ีเหล่ียมผนื ผา้ จากตวั อยา่ งท่ี 5 นามาเขียนกราฟดงั แสดง 141.5 148.5ความถี่ 12 10 8 6 4 2 อตั ราแลกเปล่ียนเงินเยน 2. รูปหลายเหลย่ี มความถ่ี (Frequency Polygon) เป็ นการนาเสนอขอ้ มูลใหเ้ ห็นเด่นชดั ข้ึน ซ่ึงแสดงได้ โดยลากเส้นตรงเชื่อมระหวา่ งจุดก่ึงกลางช้นั ของฮีสโตแกรม แต่ตอ้ งเพ่ิมช้นั ค่าต่าสุดและค่าสูงสุดอีก 2 ช้นั ซ่ึงมีความถ่ีเป็นศูนย์ ดงั แสดง 3. โค้งความถี่ (Frequency Curve) เป็นโคง้ ซ่ึงเกิดจากการปรับรูปหลายเหล่ียมความถี่ใหเ้ ป็ นโคง้ เรียบ โดยใหพ้ ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ความถี่เท่ากบั พ้นื ที่ในรูปหลายเหลี่ยมความถ่ี ดงั แสดง 3.1 โคง้ ปกติ หรือ โคง้ สมมาตร ( Normal or Symmetrical Curve) เป็นโคง้ มีลกั ษณะคลา้ ยรูประฆงั ควา่ จุดยอดของโคง้ แสดงถึงคา่ ความถี่สูงสุดของขอ้ มูล ~ 21 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 3.2 โคง้ เบ้ (Moderately Asymmetrical or Skewed Curve) มี 2 ชนิด คือ 3.2.1 โคง้ เบท้ างบวก หรือโคง้ เบข้ วา (Positive Skewed Curve) 3.2.2 โคง้ เบท้ างลบ (Negative Skewed Curve) 3.3 โคง้ รูปตวั J (J-Shaped curve) ความถี่ คะแนน 2.4 โคง้ รูปตวั J กลบั (J-Reversed Shaped Curve) ความถี่ คะแนน ~ 22 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 3.5 โคง้ รูปตวั U (U-Shaped Curve) ความถ่ี คะแนน 3.6 โคง้ สองยอด (Bimodal Curve) ความถ่ี คะแนน แต่ถา้ มีขอ้ มูลสูงสุดหลายแห่งเรียกวา่ โคง้ หลายยอด (Multimodal Curve) ความถี่ คะแนน 4. โคง้ ความถี่สะสม (Ogive or Cumulative Frequency Curve) เป็นโคง้ แสดงถึงความถี่สะสมของขอ้ มูล โดยแกนนอนเป็ นขีดจากดั บนท่ีแทจ้ ริงของช้นั คะแนน ส่วนแกนต้งั เป็นความถี่สะสม แลว้ ลงจุดโดยแต่ละจุดมาจากขอบเขตช้นั กบั ความถี่สะสมของขอ้ มูลในแต่ ละจุดท้งั หมดแลว้ ปรับใหเ้ ป็นเส้นโคง้ เรียบ ใชใ้ นการหาตาแหน่งและเปรียบเทียบของขอ้ มูลมี 2 ชนิด คือ 4.1 โคง้ ความถี่สะสมจากมากไปหานอ้ ย 4.2 โคง้ ความถ่ีสะสมจากนอ้ ยไปหามาก ซ่ึงเป็นท่ีนิยมใช้ ~ 23 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ การอ่านข้อมูลจากตารางแจกแจงความถ่ี ตัวอย่าง 6 จากตวั อยา่ งที่ 4 จะไดต้ ารางแจกแจงความถี่แสดง ผลการสอบวชิ าสถิติ 1 ของนกั ศึกษา จานวน 30 คน ไดค้ ะแนน ดงั น้ี คะแนนสอบ จานวนคน 50 – 59 4 60 – 69 6 70 – 79 5 80 – 89 9 90 – 99 6 รวม 30 จากตารางจงหา ก. นกั ศึกษาที่มีคะแนนสอบมากกวา่ 69 คะแนนมีกี่คน ข. นกั ศึกษาที่มีคะแนนสอบนอ้ ยกวา่ 60 คะแนนมีกี่เปอร์เซ็นต์ ค. นกั ศึกษาที่มีคะแนนสอบระหวา่ ง 60 – 89 คะแนนมีก่ีคน วิธีทา ก. นกั ศึกษาที่มีคะแนนสอบมากกวา่ 69 คะแนนมีกี่คน นักศึกษาท่ีมคี ะแนนสอบมากกว่า 69 คะแนน คือ นักศึกษาที่มคี ะแนนสอบอย่ใู นช้ัน 70 – 79 ถึง ช้ัน 90 – 99 ซ่ึงเท่ากับ 5 + 9 + 6 = 20 คน ข. นกั ศึกษาท่ีมีคะแนนสอบนอ้ ยกวา่ 60 คะแนนมีก่ีเปอร์เซ็นต์ นกั ศึกษาท่ีมคี ะแนนสอบน้อยกว่า 60 คะแนน มี 4 คน จากนักศึกษาทั้งหมด 30 คน คิดเป็น (4 / 30) * 100% = 13.33% ค. นกั ศึกษาที่มีคะแนนสอบระหวา่ ง 60 – 89 คะแนนมีกี่คน นกั ศึกษาท่ีมคี ะแนนสอบระหว่าง 60 – 89 คะแนน คือ นักศึกษาท่ีมคี ะแนนสอบอย่ใู นชั้น 60 – 69 ถึง ช้ัน 80 – 89 ซึ่งเท่ากบั 6 +5 + 9 = 20 คน ~ 24 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 2.2 การวเิ คราะห์ข้อมูลเบือ้ งต้น หลงั จากการเก็บรวมรวบขอ้ มูลและทาการนาเสนอขอ้ มูลเบ้ืองตน้ ไปแลว้ น้นั ในการศึกษาหรือ การทาวจิ ยั ยงั ตอ้ งมีการวิเคราะห์ขอ้ มูลดว้ ย โดยในการวิเคราะห์ขอ้ มูลชุดหน่ึง นกั วิเคราะห์จะตอ้ งทราบ ถึงลกั ษณะเบ้ืองตน้ ของขอ้ มูล เช่น ค่ากลางเป็ นอยา่ งไร การกระจายมากนอ้ ยแค่ไหน ลกั ษณะโคง้ ความถ่ี ความเบเ้ ป็นอยา่ งไร เป็ นตน้ เพ่ือเป็ นประโยชน์ในการตดั สินใจในเบ้ืองตน้ และบางคร้ังอาจมีการนาผลท่ี ไดไ้ ปวเิ คราะห์ในข้นั สูงตอ่ ไป ซ่ึงการศึกษาถึงลกั ษณะเบ้ืองตน้ ของขอ้ มูลจะประกอบดว้ ยค่าสถิติ ดงั น้ี - การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง (Measure of Central Tendency) - การวดั ตาแหน่ง (Measure of Position) - การวดั การกระจาย (Measure of Dispersion) - การวดั เก่ียวกบั รูปทรง (Measure of Shape) ไม่กล่าวถึงในท่ีน้ี 2.2.1 การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (Measure of Central Tendency) การนาเสนอขอ้ มูลท้งั หมดท่ีเก็บรวบรวมมา หากขอ้ มูลมีจานวนมากอาจทาให้ผูอ้ ่านเขา้ ใจยาก และไม่สะดวกในการนาไปใชป้ ระโยชน์ ดงั น้นั จึงตอ้ งหาว่าโดยภาพรวมแลว้ ค่าที่ใช้เป็ นตวั แทนของ ขอ้ มูลคือค่าใด สาหรับการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางสามารถทาไดห้ ลายวธิ ีดงั น้ี การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง คา่ เฉล่ีย (Mean) มธั ยฐาน (Median)* ฐานนิยม (Mode)* ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean)* คา่ เฉล่ียเรขาคณิต (Geometric Mean) ค่าเฉล่ียฮาร์โมนิค (Harmonic Mean) จะเห็นวา่ การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางมีหลายวธิ ี แตท่ ่ีนิยมใชม้ ี 3 วธิ ี คือ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) 2. มธั ยฐาน (Median) 3. ฐานนิยม (Mode) ~ 25 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ (1) ค่าเฉลยี่ (Mean) ค่าเฉล่ียถือเป็ นค่ากลางของข้อมูลแบบหน่ึง เราจะใช้ค่าเฉล่ียเป็ นตวั แทนของข้อมูลที่นามา คานวณ เช่น คานวณหาตน้ ทุนสินคา้ เฉล่ียตอ่ ชิ้นทาให้ทางผผู้ ลิตสามารถวางแผนการผลิต การตลาด และ ต้งั ราคาขายได้ การคานวณค่าเฉลี่ยทาได้ 3 วธิ ี คือ - ค่าเฉล่ียเลขคณิต (Arithmetic Mean : x ) เป็ นค่าเฉล่ียที่นิยมใชก้ นั มากที่สุด การคานวณหา ค่าเฉล่ียสามารถแบ่งเป็น 2 กรณี คือ ก. ขอ้ มูลไมม่ ีการแจกแจงความถ่ี (Ungrouped data) เป็นการหาผลรวมของขอ้ มูลท่ีรวบรวมไดห้ ารดว้ ยจานวนขอ้ มูลท้งั หมด ถา้ ให้ xi แทนค่าสังเกตของขอ้ มูล จานวน N คา่ ประกอบดว้ ย x1, x2,...,xN N x  x1  x2  ...  xN   xi i1 nn เมื่อ x คือ คา่ เฉลี่ยเลขคณิต  x คือ ผลรวมของขอ้ มูล n คือ จานวนขอ้ มูลท้งั หมด ตัวอย่าง 7 จงหาค่าเฉล่ียของขอ้ มูลต่อไปน้ี 72, 86, 90, 65, 72 วิธีทา =x 72  86  90  65  72 5 = 385  77 5 นน่ั คือ ค่าเฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้ีเท่ากบั 77 หน่วย ตัวอย่าง 8 จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของผลการสอบของนกั ศึกษา 6 คน ซ่ึงไดค้ ะแนนดงั น้ี 29, 32, 42, 25, 30, 22 วิธีทา x = 29  32  42  25  30  22 6 = 180 = 30 6 นนั่ คือ ผลการสอบของนกั ศึกษา 6 คน โดยเฉลี่ย เทา่ กบั 30 คะแนน ~ 26 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 9 ขอ้ มูลหน้ีต่างประเทศของประเทศท่ีมีหน้ีต่างประเทศมาก 10 อนั ดบั แรก ประเทศ หน้ีตา่ งประเทศ ประเทศ หน้ีตา่ งประเทศ (พนั ลา้ น U.S.$) (พนั ลา้ น U.S.$) บราซิล ฟิ ลิปปิ น เมก็ ซิโก 107.8 ไนจีเรีย 28.1 อาร์เจนตินา 102.0 22.1 อินโดนีเซีย 53.0 ชิลี 21.2 เวเนซุเอลา 43.9 เปรู 14.7 34.1 โคลมั เบีย 14.7 จงคานวณหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต วธิ ีทา คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของจานวนหน้ีสินต่างประเทศของท้งั 10 ประเทศ คือ n x  i1 x i  107.8 102.0  53.0  43.9  34.1 28.1 22.1 21.2 14.7 14.7 n 10  44.16 นน่ั คือ หน้ีต่างประเทศสูงสุด 10 อนั ดบั แรก โดยเฉลี่ยเทา่ กบั 44.16 พนั ลา้ น U.S.$ ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถ่ี (Grouped data) ในกรณีท่ีขอ้ มูลมาก และขอ้ มูลแจกแจงความถี่แลว้ สามารถหาคา่ เฉล่ียไดด้ งั น้ี N x f1x1  f2x2  ...  fNxN   fixi i1 nn โดยท่ี xi คือ จุดก่ึงกลางช้นั ที่ i และ fi คือ ความถี่ของช้นั ท่ี i ตัวอย่าง 10 ขอ้ มูลแสดงเกรดของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 2 จานวน 30 คน ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี จงคานวณหา เกรดเฉลี่ยของนกั ศึกษากลุ่มน้ี เกรดเฉล่ีย ความถ่ี ( fi ) จุดก่ึงกลางช้นั ( xi ) fixi 3 1.245 1.00 – 1.49 5 1.745 3  1.245 = 3.735 1.50 – 1.99 8 2.245 5  1.745 = 8.725 2.00 – 2.49 8 2.745 8  2.245 = 17.96 2.50 – 2.99 4 3.245 8  2.745 = 21.96 3.00 – 3.49 2 3.745 4  3.245 = 12.98 3.50 – 3.99 2  3.745 = 7.49 ~ 27 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ รวม n=30 ∑ fixi = 72.85 วธิ ีทา N  fixi x  i1 n  72.85  2.43 30 ดงั น้นั เกรดเฉล่ียของนกั ศึกษากลุ่มน้ี โดยเฉลี่ยเทา่ กบั คือ 2.43 ตัวอย่าง 11 จากขอ้ มูลแสดงจานวนชว่ั โมงการทางานต่อสัปดาห์ของคนงานบริษทั แห่งหน่ึง ไดต้ าราง แจกแจงความถี่ดงั น้ี ชวั่ โมงการทางาน ความถ่ี( fi ) 10 – 14 5 15 – 19 12 20 – 24 10 25 – 29 6 30 – 34 2 รวม n = 35 จงคานวณหาจานวนชว่ั โมงการทางานโดยเฉล่ียต่อสัปดาห์ของคนงานบริษทั น้ี ........... วิธีทา N  fixi x  i1 n  710  2 0.29 35 นนั่ คือ จานวนชวั่ โมงการทางานโดยเฉลี่ยต่อสัปดาห์ของคนงานบริษทั น้ี คือ 20.29 ชวั่ โมง ~ 28 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ - ค่าเฉล่ียเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนกั (Weighted Arithmetic Mean, x w ) การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลท่ีมีน้าหนกั ไม่เท่ากนั จะถือวา่ ขอ้ มูลแต่ละตวั ถ่วงน้าหนกั ไม่ เทา่ กนั เช่น ในการวดั ผลการเรียนระบบเกรด A, B, C, D, F กาหนดให้ค่าของแต่ละเกรดเป็ น 4, 3, 2, 1, 0 ตามลาดบั และให้ความสาคญั ตามหน่วยกิตของแต่ละวิชา ดงั น้นั ในการหาค่าเฉล่ียจะตอ้ งเอาหน่วยกิต เป็นตวั ถ่วงน้าหนกั ซ่ึงมีหลกั เกณฑด์ งั น้ี ถา้ xi  x1, x2,...,xk คือ ขอ้ มูลหรือคะแนน และ wi  w1, w2,...,wk คือ น้าหนกั ของขอ้ มูลแต่ละตวั ดงั น้นั คา่ เฉล่ียแบบถ่วงน้าหนกั k wixi i1 xw  k wi i1 ตัวอย่าง 12 ถา้ อาจารยส์ อนวชิ าสถิติใหน้ ้าหนกั คะแนนสอบปลายภาคเป็น 3 เท่าของคะแนนสอบยอ่ ยแต่ ละคร้ัง ถ้านกั ศึกษาคนหน่ึงสอบปลายภาคได้คะแนน 85 คะแนน และสอบย่อย 2 คร้ังได้ คะแนน 70 และ 90 คะแนน จงหาคะแนนเฉล่ีย วิธีทา ให้ xi คือ คะแนนสอบคร้ังท่ี i , i 1, 2, 3 wi คือ น้าหนกั ของการสอบแต่ละคร้ัง เนื่องจากใหค้ ะแนนสอบปลายภาคเป็น 3 เทา่ ของคะแนนสอบยอ่ ย ดงั น้นั w1  3 ; w2  w3  1 xw  w1x1  w2x2  w3x3 w1  w2  w3  3(85) 1(70) 1(90) 311  83 คะแนน ดงั น้นั คะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษาคนน้ีเทา่ กบั 83 คะแนน - คา่ เฉล่ียเลขคณิตรวม (Combined Mean, xC ) ถา้ มีขอ้ มูล k ชุด โดยชุดที่ i ประกอบดว้ ยค่าสังเกต ni ค่า ค่าเฉลี่ยของแต่ละชุดเท่ากบั xi , i  1, 2,...,k แลว้ k xC  n1x1  n2x2  ... nkxk  nixi n1  n2  ... nk i1 k ni i1 ~ 29 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 13 ตาบลหน่ึงประกอบดว้ ย 4 หมู่บ้าน คือ หมู่บา้ น ก, ข, ค และ ง แต่ละหมู่บา้ นประกอบด้วย ครัวเรือน 100, 80, 120 และ 50 ครัวเรือน รายได้เฉล่ียสุทธิต่อครัวเรือนต่อปี เท่ากบั 15,000 18,000 20,000 และ 100,000 บาท ตามลาดบั จงหารายไดส้ ุทธิเฉล่ียต่อครัวเรือนต่อปี ของตาบล k xC  วิธีทา nixi  nAxA  nBxB  nCxC  nDxD nA  nB  nC  nD i1 k ni i1  (10015, 000)  (8018, 000)  (120  20, 000)  (50 100, 000) 100  80 120  50 = 29,542.86 ดงั น้นั รายไดส้ ุทธิเฉลี่ยตอ่ ครัวเรือนตอ่ ปี เทา่ กบั 29,542.86 บาท สมบัตขิ องค่าเฉลยี่ เลขคณติ 1. ถา้ นาจานวนคงท่ีไปบวกหรือลบจากขอ้ มูลทีละจานวน คา่ เฉลี่ยเลขคณิตใหม่จะเท่ากบั ผลบวก หรือผลลบของจานวนคงท่ีน้นั กบั คา่ เฉล่ียเลขคณิตเดิม 2. ถา้ นาจานวนคงท่ีไปคูณหรือหารจากขอ้ มูลทีละจานวน คา่ เฉล่ียเลขคณิตใหม่จะเทา่ กบั ผลคูณ หรือผลหารของจานวนคงที่น้นั กบั คา่ เฉล่ียเลขคณิตเดิม (2) ค่ามธั ยฐาน (Median : Me) เป็ นค่าท่ีแสดงตาแหน่งที่อยู่ตรงกลางของข้อมูล ท้งั ชนิดเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ (ข้อมูล เรียงลาดบั ) มธั ยฐานของขอ้ มูลชุดใดชุดหน่ึง คือ ค่าของขอ้ มูลท่ีมีตาแหน่งอยูต่ รงกลางของชุดขอ้ มูล เมื่อนา ขอ้ มูลน้นั เรียงลาดบั จากน้อยไปหามาก ดงั น้นั จะมีขอ้ มูลอยูค่ ร่ึงหน่ึงที่น้อยกว่ามธั ยฐานและมีขอ้ มูลอีก คร่ึงหน่ึงท่ีมากกวา่ ค่ามธั ยฐาน วธิ ีการหามธั ยฐานมีดงั น้ี ก. ขอ้ มูลไมม่ ีการแจกแจงความถ่ี (Ungrouped data) - เรียงขอ้ มูลท้งั หมดจากนอ้ ยไปมาก หรือ จากมากไปนอ้ ย - หาตาแหน่งมธั ยฐานจากขอ้ มูลชุดน้นั โดยท่ีตาแหน่งมธั ยฐาน คือ ขอ้ มูลในตาแหน่งที่ n 1 2 - หาคา่ มธั ยฐาน คือ ค่าของขอ้ มูลในตาแหน่งที่คานวณได้ ~ 30 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 14 ถา้ รายไดข้ องพนกั งาน 5 คน ซ่ึงทางานในบริษทั แห่งหน่ึงเป็ น 2,520 3,960 3,280 9,200 และ 3,750 บาท จงหาค่ามธั ยฐานของรายไดข้ องพนกั งาน 5 คนขา้ งตน้ วธิ ีทา เรียงลาดบั ขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามากไดด้ งั น้ี 2,520 3,280 3,750 3,960 9,200 หาตาแหน่งมธั ยฐาน เนื่องจากมีขอ้ มูล 5 ตวั คือ รายไดพ้ นกั งาน 5 คน ; n = 5 ตาแหน่งมธั ยฐาน = n 1 5 1  3 22 หาค่ามธั ยฐาน คือ ขอ้ มูลท่ีอยใู่ นตาแหน่งท่ี 3 ดงั น้นั ค่ามธั ยฐานของรายไดพ้ นกั งาน เท่ากบั 3,750 บาท ตัวอย่าง 15 ถา้ สอบถามรายไดข้ องคน 10 คน ไดข้ อ้ มูลดงั น้ี 2,610 2,034 735 1,730 1,162 2,401 2,169 2,117 1,407 1,409 1,730 จงหาคา่ มธั ยฐานของรายไดข้ องคนกลุ่มน้ี 2,610 วิธีทา เรียงลาดบั ขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามากไดด้ งั น้ี 735 1,162 1,407 1,409 2,034 2,117 2,169 2,401 หาตาแหน่งมธั ยฐาน จานวนขอ้ มูลท้งั หมด 10 คน ; n = 10 ตาแหน่งมธั ยฐาน = n 1 10 1  5.5 22 หาคา่ มธั ยฐาน คือ ขอ้ มูลท่ีอยใู่ นตาแหน่งท่ี 5.5 Me  1, 730  2, 034  1,882 2 ดงั น้นั ค่ามธั ยฐานของคนกลุ่มน้ี คือ 1,882 บาท ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถี่ (Grouped data) เน่ืองจากขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถี่แล้วจะเป็ นขอ้ มูลที่เรียงลาดบั จากน้อยไปหามากอยู่แล้ว ดงั น้นั ค่ามธั ยฐานหาไดต้ ามข้นั ตอนดงั ต่อไปน้ี - หาความถ่ีสะสมของขอ้ มูลแตล่ ะอนั ตรภาคช้นั - หาช้นั ท่ีมธั ยฐานตกอยู่ โดยช้นั มธั ยฐานคือ ช้นั ท่ีมีขอ้ มูลในตาแหน่งท่ี n ปรากฏอยู่ 2 ~ 31 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ - คานวณหาค่ามธั ยฐานของขอ้ มูลจากสูตร Me  L  I  n  F f  2 กาหนดให้ L คือ ขอบเขตล่างของช้นั ที่มีมธั ยฐาน f คือ ความถี่ของช้นั ที่มีมธั ยฐาน F คือ ความถ่ีสะสมของช้นั ก่อนช้นั ที่มีมธั ยฐาน I คือ ความกวา้ งอนั ตรภาคช้นั n คือ จานวนขอ้ มูลท้งั หมด ตัวอย่าง 16 จากตารางแจกแจงความถี่ขอ้ มูลน้าหนกั ของนกั ศึกษา 100 คน จงหามธั ยฐานของน้าหนกั นา้ หนัก(ก.ก.) จานวน(คน) ความถ่ีสะสม 60 – 62 5 5 63 – 65 18 23 66 – 68 42 65 69 – 71 27 92 72 – 74 8 100 รวม n = 100 วิธีทา หาช้นั ท่ีมีมธั ยฐาน จาก n  100  50 22  มธั ยฐานอยใู่ นช้นั 66 – 68 แทนสูตร Me  L  I  n  F คาตอบทไี่ ด้ต้องอยู่ในขอบเขตช้ัน f  2 ทเี่ ลือกไว้ (65.5 - 68.5)  65.5  3 50  23 42 = 67.43 ดงั น้นั มธั ยฐานน้าหนกั ของนกั ศึกษาเทา่ กบั 67.43 กิโลกรัม ~ 32 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 17 ในการศึกษารายไดต้ ่อเดือนในการเริ่มบรรจุผสู้ าเร็จการศึกษาสายบริหารธุรกิจในภาคเอกชน ผลการศึกษาบนั ทึกขอ้ มูลไดด้ งั น้ี รายได้ต่อเดือน (บาท) ความถี่ (f) ไมเ่ กิน 5,999 12 6,000 – 7,499 25 7,500 – 8,999 35 9,000 – 10,499 40 10,500 – 11,999 45 12,000 – 13,499 20 13,500 – 14,999 18 15,000 เป็นตน้ ไป 5 รวม 200 จงหาค่ามธั ยฐานของรายไดต้ อ่ เดือนในการเริ่มบรรจุผสู้ าเร็จการศึกษาสายบริหารธุรกิจในภาคเอกชน วธิ ีทา หาช้นั ท่ีมีมธั ยฐาน จาก n  200  100 22  มธั ยฐานอยใู่ นช้นั 9,000 – 10,499 แทนสูตร Me  L  I  n  F f  2 = 10,049.5 ดังน้ันมธั ยฐานของรายได้ต่อเดือนในการเริ่มบรรจุผูส้ าเร็จการศึกษาสายบริหารธุรกิจใน ภาคเอกชนเทา่ กบั 10,049.5 บาท ~ 33 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ (3) ฐานนิยม (Mode : Mo) คือ ค่าของขอ้ มูลท่ีมีความถี่มากที่สุด ขอ้ มูลชุดหน่ึงๆ อาจมีฐานนิยมค่าเดียว หรือหลายค่าก็ได้ หรือถา้ ขอ้ มูลชุดใดมีความถ่ีเทา่ กนั หมด ขอ้ มูลชุดน้นั กไ็ มม่ ีฐานนิยม การหาฐานนิยมทาไดด้ งั น้ี ก. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถ่ี (Ungrouped data) ฐานนิยม คือ คา่ ของขอ้ มูลท่ีเกิดข้ึนบอ่ ยที่สุดหรือมีความถ่ีสูงสุดนน่ั เอง ตัวอย่าง 18 จงหาฐานนิยมของขอ้ มูล ก. 2, 5, 7, 9, 7, 3, 1, 9, 7, 4, 3, 5, 10, 7 จะไดว้ า่ 7 มีความถ่ีสูงสุด ดงั น้นั ฐานนิยม คือ 7 ข. 10, 11, 9, 7, 10, 15, 9, 4, 7, 10, 9, 6, 5 จะไดว้ า่ 9 และ 10 มีความถี่สูงสุด ดงั น้นั ฐานนิยม คือ 9 และ 10 ค. 73, 11, 14 , 16, 17, 18, 20, 24, 26, 37 จากขอ้ มูล 10 คา่ จะพบวา่ ไมม่ ีคา่ ใดซ้ากนั เลย ดงั น้นั ขอ้ มูลชุดน้ีจึงไม่มีฐานนิยม ง. จากคาวา่ “ HAPPY ” จงหาฐานนิยมของตวั อกั ษร ……………………………………………………………………………..……… ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถี่ (Grouped data) สามารถหาฐานนิยมไดจ้ ากสูตร Mo  L  I  d1 d1   d2 กาหนด L คือ ขอบเขตล่างของช้นั ท่ีมีฐานนิยม d1 คือ ความถี่ช้นั ฐานนิยม – ความถี่ช้นั ก่อนฐานนิยม d2 คือ ความถี่ช้นั ฐานนิยม – ความถี่ช้นั หลงั ฐานนิยม I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ~ 34 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 19 จากราคาสินคา้ ชนิดหน่ึง 30 รายการ ดงั ตาราง จงหาฐานนิยม ราคา (บาท) จานวน 46 – 55 3 56 – 65 4 66 – 75 8 76 – 85 9 86 – 95 4 96 – 105 2 รวม 30 วธิ ีทา จากตารางช้นั ที่มีความถี่มากท่ีสุด คือ ช้นั 76 – 85 ดงั น้นั L = 75.5 , I = 10 , d1= 9 – 8 = 1 , d2 = 9 – 4 = 5 Mo  L  I  d1 d1 d      2   75.5  10 1  1 5   77.17 ดงั น้นั ฐานนิยมของราคาสินคา้ เทา่ กบั 77.17 บาท ตัวอย่าง 20 คานวณหาค่าฐานนิยมจากขอ้ มูลในตารางแจกแจงความถี่ขา้ งล่างน้ี คะแนน จานวน 10 – 19 5 20 – 29 19 30 – 39 10 40 – 49 13 50 – 59 4 60 – 69 4 70 – 79 2 ~ 35 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ วธิ ีทา จากตารางช้นั ที่มีความถ่ีมากที่สุด คือ ช้นั 20 – 29 ดงั น้นั L = 19.5 , I = 10 , d1= 19 – 5 = 14 , d2 = 19 – 10 = 9 Mo  L  I  d1 d1 d      2  = 25.59 ดงั น้นั ฐานนิยมของขอ้ มูลชุดน้ี เท่ากบั 25.59 หน่วย ข้อดแี ละข้อเสียของค่าเฉลย่ี มธั ยฐาน และ ฐานนิยม ค่าเฉลย่ี ขอ้ ดี  การเปรียบเทียบขอ้ มูลเชิงปริมาณหลายๆ ชุด เรานิยมใชค้ ่าเฉล่ียในการเปรียบเทียบ  สะดวกในการคานวณ ขอ้ เสีย  ใชก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณเท่าน้นั (ขอ้ มูลในมาตรวดั อนั ตรภาคและมาตรวดั อตั ราส่วน)  ค่าเฉล่ียจะไม่ใช่ค่ากลางท่ีดี ถา้ มีค่าที่ผดิ ปกติไป (ค่าที่สูงหรือต่าเกินไป)  ไมส่ ามารถคานวณหาค่าเฉล่ียไดถ้ า้ ขอ้ มูลอยใู่ นตารางท่ีมีอนั ตรภาคช้นั เปิ ด มัธยฐาน ขอ้ ดี  สามารถใชไ้ ดท้ ้งั ขอ้ มูลเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพแบบเรียงลาดบั  ค่ามธั ยฐานจะไม่ถูกกระทบกระเทือน เมื่อมีขอ้ มูลผดิ ปกติ หรืออนั ตรภาคช้นั เปิ ด ขอ้ เสีย  ไมไ่ ดใ้ ชข้ อ้ มูลทุกคา่ ในการคานวณ ฐานนิยม ขอ้ ดี  ค่านิยมจะไม่ถูกกระทบกระเทือน เมื่อมีขอ้ มูลผดิ ปกติ หรืออนั ตรภาคช้นั เปิ ด  สามารถใชไ้ ดท้ ้งั ขอ้ มูลเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ โดยเฉพาะขอ้ มูลนามบญั ญตั ิ ขอ้ เสีย  ในกรณีที่ไมม่ ีค่าของขอ้ มูลซ้ากนั จะไม่มีค่าฐานนิยม  กรณีท่ีเป็นขอ้ มูลแจกแจงความถ่ี ฐานนิยมจะเปล่ียนไป หากการจาแนกช้นั เปล่ียนไป  อาจมีฐานนิยมมากกวา่ 1 ค่า สาหรับขอ้ มูล 1 ชุด โดยท่ีค่านิยมอาจจะแตกตา่ งกนั มาก ~ 36 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ความสัมพนั ธ์ระหว่างค่ากลางท้งั 3 ชนิด  การแจกแจงของข้อมูลมลี กั ษณะสมมาตร (Symmetry) คือ ขอ้ มูลท่ีเบี่ยงเบนจากค่ากลางไปในทางบวกและลบพอๆ กนั ขอ้ มูลมีการกระจายสม่าเสมอ  การแจกแจงของข้อมูลมลี กั ษณะเบ้ขวา (Positively skewed) เป็นขอ้ มูลที่ส่วนใหญ่มีคา่ นอ้ ย ดงั น้นั ความสมั พนั ธ์จะเป็นดงั น้ี คา่ เฉลี่ย > ค่ามธั ยฐาน > ค่าฐานนิยม  การแจกแจงของข้อมูลมลี กั ษณะเบ้ซ้าย (Negatively skewed) เป็นขอ้ มูลที่ส่วนใหญม่ ีคา่ มาก ดงั น้นั ความสัมพนั ธ์จะเป็นดงั น้ี ค่าฐานนิยม > ค่ามธั ยฐาน > ค่าเฉลี่ย หมายเหตุ ในกรณีที่ขอ้ มูลไมส่ มมาตร (อาจจะเบซ้ า้ ยหรือเบข้ วา) คา่ กลางจะมีความสมั พนั ธ์กนั ดงั น้ี คา่ เฉล่ีย – ฐานนิยม = 3(คา่ เฉลี่ย - มธั ยฐาน) ~ 37 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 2.2.2 การวดั ตาแหน่งของข้อมูล นอกเหนือจากการศึกษาคา่ กลางของขอ้ มูลในขา้ งตน้ แลว้ ในบางคร้ังเราอาจตอ้ งการเปรียบเทียบ ค่าขอ้ มูลหน่ึงกบั ขอ้ มูลอื่นๆ เช่น ในการรับสมคั รงาน บริษทั มีนโยบายที่จะเรียกผูส้ มคั รซ่ึงไดค้ ะแนน สอบสูงกวา่ เปอร์เซ็นตไ์ ทลท์ ี่ 75 มาสัมภาษณ์ ในกรณีน้ีจาเป็นตอ้ งทราบถึงตาแหน่งของขอ้ มูลต่าง ๆ เพ่ือ สามารถใช้ในการตดั สินใจ ซ่ึงการวดั ตาแหน่งข้อมูลท่ีนิยมใช้ท่ัวไป ได้แก่ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นตไ์ ทล์  ควอร์ไทล์ (Quartile) เป็นการแบง่ ขอ้ มูลออกเป็ น 4 ส่วนเท่าๆ กนั โดยกาหนดให้ Q1 , Q2 และ Q3 และ เป็ นควอร์ไทล์ ในตาแหน่งที่ 1, 2 และ 3 ของขอ้ มูลที่เรียงลาดบั แลว้ เช่น Q1 เป็นคา่ ที่แสดงวา่ มีขอ้ มูลที่ต่ากวา่ หรือเท่ากบั คา่ น้ี อยู่ 1 และสูงกวา่ ค่าน้ีอยู่ 3 ของความถี่ 44  เดไซล์ (Decile) เป็ นการแบ่งขอ้ มูลออกเป็ น 10 ส่วนเท่า ๆ กนั โดยกาหนดให้ D1 , D2 , … , D9 เป็ นค่าเดไซล์ใน ตาแหน่งที่ 1 , 2 , … , 9 ของขอ้ มูลที่เรียงลาดบั แลว้ เช่น D4เป็นค่าที่แสดงวา่ มีขอ้ มูลที่ต่ากวา่ หรือเท่ากบั ค่าน้ีอยู่ 4 และสูงกวา่ ค่าน้ีอยู่ 6 ของความถ่ีท้งั หมด 10 10  เปอร์เซ็นต์ไทล์ (Percentile) เป็นการแบ่งขอ้ มูลออกเป็ น 100 ส่วนเท่าๆ กนั โดยกาหนดให้ P1 , P2 , … , P99 เป็ นค่าเดไซลใ์ น ตาแหน่งที่ 1 , 2 , … , 99 ของขอ้ มูลที่เรียงลาดบั แลว้ เช่น P79 เป็นคา่ ที่แสดงวา่ มีขอ้ มูลที่ต่ากวา่ หรือเท่ากบั คา่ น้ี อยู่ 79 และสูงกวา่ ค่าน้ีอยู่ 21 ของความถ่ีท้งั หมด 100 100 หมายเหตุ จะเห็นวา่ Q2 = D5 = P50 ~ 38 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ การคานวณหาค่าตาแหน่งของข้อมูล ก. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถี่ (Ungrouped data) วธิ ีการหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ มีดงั น้ี - เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปมาก - หาตาแหน่งของค่าท่ีตอ้ งการหา ตาแหน่งควอไทลท์ ี่ r คือขอ้ มูลในตาแหน่ง r (n 1) เม่ือ r = 1, 2, 3 4 เม่ือ r = 1, 2, … , 9 เมื่อ r = 1, 2, … , 99 ตาแหน่งเดไซลท์ ี่ r คือขอ้ มูลในตาแหน่ง r (n 1) 10 ตาแหน่งเปอร์เซ็นตไ์ ทลท์ ่ี r คือขอ้ มูลในตาแหน่ง r (n 1) 100 - เมื่อหาตาแหน่งไดแ้ ลว้ ใหห้ าคา่ ท่ีอยใู่ นตาแหน่งดงั กล่าว ตัวอย่าง 21 จงคานวณหา Q2 , D7 , P75 ของขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี 18 , 12 , 29 , 67 , 31 , 25 , 37 , 56 , 63 , 78 , 91 วิธีทา เรียงลาดบั ขอ้ มูล 12 18 25 29 31 37 56 63 67 78 91 หาตาแหน่งของ Q2 คือ 2 (111) 6 4  ตาแหน่ง 6 คือ 37 ดงั น้นั Q2 = 37 หาตาแหน่งของ D7 คือ 7 (11  1)  8.4 10  ตาแหน่ง 8.4 อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งท่ี 8 และ 9 จะตอ้ งเทียบบญั ญตั ิไตรยางคห์ าตาแหน่งที่ 8.4 ดงั น้ี ตาแหน่งห่างกนั (9-8) = 1 ตาแหน่ง คะแนนห่างกนั 67 – 63 = 4 ตาแหน่งห่างกนั (8.4-8) = 0.4 ตาแหน่ง คะแนนห่างกนั 0.4  4 = 1.6 ดงั น้นั D7 = 63 + 1.6 = 64.6 หาตาแหน่งของ P75 คือ 75 (111) 9 100  ตาแหน่ง 9 คือ 67 ดงั น้นั P75 = 67 ~ 39 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 22 คะแนนสอบวิชาหน่ึงของนกั ศึกษา กลุ่มหน่ึงเป็ นดงั น้ี 13, 16, 26, 30, 35, 19, 21, 15, 18 ถา้ นกั ศึกษาคนหน่ึงสอบได้ 28 คะแนน อยากทราบวา่ คะแนนของนกั ศึกษาคนน้ีอยใู่ นควอร์ ไทลท์ ่ีเทา่ ไหร่ วธิ ีทา เรียงลาดบั ขอ้ มูล 13 15 16 18 19 21 26 30 35 ไดค้ ะแนน 28 คะแนน ค่าตาแหน่งท่ี 7 + คา่ ณ ตาแหน่งที่ 8 2 =28  26  30 2 จะไดต้ าแหน่ง คือ ตาแหน่งท่ี 7.5 ตาแหน่ง Qr  r (n 1) 4 7.5  r  (9 1) 4 r  4  7.5  3 10 ดงั น้นั คะแนน 28 คะแนน จะอยใู่ นควอร์ไทลท์ ี่ 3 ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถี่ (Grouped data) การคานวณหาค่าข้อมูล ณ ตาแหน่งควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นต์ไทล์ ที่กาหนดให้ทาได้ เช่นเดียวกบั มธั ยฐาน โดยหาไดจ้ ากสูตรดงั ตอ่ ไปน้ี Qr  L  I  rn  F  f  4 Dr  L  I  rn  F  f  10 Pr  L  I  rn  F  f  100  เม่ือ L คือ ขอบเขตล่างของช้นั ที่มีตาแหน่งของ Qr = Dr = Pr f คือ ความถ่ีของช้นั ที่มีตาแหน่งของ Qr = Dr = Pr F คือ ความถ่ีสะสมชนิดนอ้ ยกวา่ ของช้นั ที่ถึงก่อนช้นั ท่ีมีตาแหน่ง Qr = Dr = Pr I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั n คือ จานวนขอ้ มูลท้งั หมด ~ 40 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 23 จากตารางแจกแจงความถ่ีของเงินเดือนของพนกั งานบริษทั แห่งหน่ึง เงนิ เดือน ( บาท) จานวนพนักงาน ความถี่สะสม 5,000 – 5,999 8 8 6,000 – 6,999 10 18 7,000 – 7,999 16 34 8,000 – 8,999 14 48 9,000 – 9,999 10 58 10,000 – 10,999 5 63 11,000 – 11,999 2 65 รวม 65 จงหา Q1 , D5 , P75 วิธีทา หา Q1 หาตาแหน่งของ Q1 คือ 1 (65)  16.25 4 Q1 จะตรงกบั ขอ้ มูลของพนกั งานคนที่ 16.25 ซ่ึงอยใู่ นช้นั ที่มีเงินเดือน 6,000 – 6,999 จากสูตร Qr  L  I  rn  F  f  4  เม่ือ L คือ ขอบเขตล่างของช้นั ท่ีมีตาแหน่งของ Q1 = 5,999.5 f คือ ความถ่ีของช้นั ท่ีมี Q1 = 10 F คือ ความถ่ีสะสมชนิดนอ้ ยกวา่ ของช้นั ท่ีถึงก่อนช้นั ท่ีมี Q1 = 8 I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั = 1,000 Q1  5,999.5  1,000 16.25  8 10 = 5,999.5 + 100(8.25) = 5,999.5 + 825 = 6,824.5 ดงั น้นั ควอไทลท์ ่ี 1 จะตรงกบั เงินเดือน 6,824.5 บาท ~ 41 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ หา D5  หาตาแหน่งของ D5 คือ 5 (65)  32.5 10 D5 จะตรงกบั ขอ้ มูลของพนกั งานคนท่ี 32.5 ซ่ึงอยใู่ นช้นั ท่ีมีเงินเดือน 7,000 – 7,999 จากสูตร Dr  L  I  rn  F  f  10  เมื่อ L = 6,999.5 , f = 16 , F = 18 และ I = 1,000 D5  6,999.5  1,000 32.5 18 16 = 6,999.5 + (62.5)(14.5) = 6,999.5 + 906.25 = 7,905.75 ดงั น้นั เดไซลท์ ่ี 5 จะตรงกบั เงินเดือน 7,905.75 บาท หา P75 หาตาแหน่งของ P75 คือ 75 (65)  48.75 100 P75 จะตรงกบั ขอ้ มูลของพนกั งานคนท่ี 48.75 ซ่ึงอยใู่ นช้นั ท่ีมีเงินเดือน 9,000 – 9,999 จากสูตร Pr  L  I  rn  F  f  100  เม่ือ L = 8,999.5 , f = 10 , F = 48 และ I = 1,000 P75  8,999.5  1,000 48.75  48 10 = 8,999.5 + (100)(0.75) = 8,999.5 + 75 = 9,074.5 ดงั น้นั เปอร์เซ็นตไ์ ทลท์ ี่ 75 จะตรงกบั เงินเดือน 9,074.5 บาท ~ 42 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ 2.2.3 การวดั การกระจาย (Measure of Dispersion) การสรุปลกั ษณะของขอ้ มูลโดยทวั่ ๆ ไป นอกจากใชก้ ารวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางแลว้ ยงั อาจ ไม่พอเพียง เพราะเรายงั ไม่ทราบวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายกนั มากนอ้ ยเพียงใด ซ่ึงขอ้ มูลแต่ละชุดอาจมีค่าที่ ไดจ้ ากการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางเท่ากนั แต่การกระจายของขอ้ มูลในแต่ละชุดอาจจะแตกต่างกนั ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี ขอ้ มูลชุดที่ 1 ประกอบดว้ ย 1, 2, 3, 4, 30 จะไดว้ า่ มี =x 1 2  3 4  30 = 8 5 ขอ้ มูลชุดที่ 2 ประกอบดว้ ย 6, 7, 8, 9, 10 จะไดว้ า่ มี x = 6  7  8  9 10 = 8 5 ขอ้ มูลชุดท่ี 3 ประกอบดว้ ย 8, 8, 8, 8, 8 จะไดว้ า่ มี x = 88888 = 8 5 ดงั น้นั ในการสรุปลกั ษณะของขอ้ มูล เพื่อความชดั เจนในการอธิบายลกั ษณะของขอ้ มูล เราตอ้ ง แสดงค่าของการวดั การกระจายของขอ้ มูลประกอบกบั ค่าของการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางดว้ ย การวดั การกระจายของขอ้ มูลแบ่งเป็น 2 วธิ ี คือ 1. การวดั การกระจายสมั บูรณ์ ( Absolute Variation ) 2. การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ ( Relative Variation ) ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มูล ขอ้ มูลกระจายมาก  คา่ ตา่ ง ๆ ในขอ้ มูลชุดน้นั แตกตา่ งกนั มาก ขอ้ มูลกระจายนอ้ ย  คา่ ต่าง ๆ ในขอ้ มูลชุดน้นั มีคา่ ใกลเ้ คียงกนั ขอ้ มูลไมม่ ีการกระจาย  คา่ ตา่ ง ๆ ในขอ้ มูลชุดน้นั ไมแ่ ตกต่างกนั แสดงขอ้ มูลกระจายนอ้ ย แสดงขอ้ มูลกระจายมาก แสดงเส้นโคง้ ของความถ่ีซ่ึงขอ้ มูลกระจาย แสดงเส้นโคง้ ของความถ่ีซ่ึงขอ้ มูลกระจาย นอ้ ยมากตา่ งกนั แตค่ ่าเฉล่ียเลขคณิตเทา่ กนั เท่ากนั แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกนั ~ 43 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 1. การกระจายสัมบูรณ์ เป็นการวดั การกระจายของขอ้ มูลชุดเดียวกนั  พิสยั (Range)  ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)  ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation)  ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)  พสิ ัย (Range; R) คือผลตา่ งระหวา่ งคะแนนสูงสุดกบั คะแนนต่าสุดของขอ้ มูลชุดหน่ึงซ่ึงเป็ น การวดั การกระจายของขอ้ มูลอยา่ งหยาบ ๆ พสิ ยั = ค่าสูงสุดของขอ้ มูล – ค่าต่าสุดของขอ้ มูล พสิ ยั = X max  X min ตัวอย่าง 24 จงหาพิสัยของขอ้ มูลดงั น้ี 335, 232, 183, 268, 282 วิธีทา พิสยั = x max  x min = 335 - 183 = 152 นน่ั คือ พิสัยของขอ้ มูลชุดน้ี เทา่ กบั 152 หน่วย ตัวอย่าง 25 จงหาพสิ ัยของส่วนสูง(ซ.ม.)ตอ่ ไปน้ี 172 , 155, 153, 162, 155, 150 ,171 วิธีทา พิสยั = x max  x min = 172 - 150 = 22 นน่ั คือ พิสยั ของส่วนสูง เทา่ กบั 22 เซนติเมตร หมายเหตุ ถา้ ขอ้ มูลแจกแจงความถี่เป็นอนั ตรภาคช้นั สามารถหาพสิ ัยไดด้ งั น้ี พิสัย = ขอบเขตบนของคะแนนในอนั ตรภาคสูงสุด – ขอบเขตล่างของคะแนนในอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด และถา้ ขอ้ มูลเป็ นอนั ตรภาคช้นั เปิ ดจะหาพสิ ยั ไม่ได้ ~ 44 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้  ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation; QD) เป็ นการวดั การกระจายเม่ือตอ้ งการทราบการกระจายของค่าสังเกตรอบค่ามธั ยฐาน ซ่ึง เหมาะสาหรับขอ้ มูลท่ีมีอนั ตรภาคช้ันเปิ ด หรืออาจกล่าวไดว้ ่าจานวนข้อมูลคร่ึงหน่ึงหรือ 50% ของ ท้งั หมดจะมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง Q1และ Q3 ซ่ึงหาไดด้ งั น้ี QD  Q3  Q1 2 หมายเหตุ : วธิ ีน้ีไมเ่ ป็นที่นิยมนกั เนื่องจากวธิ ีน้ีไม่มีโอกาสใชข้ อ้ มูลท้งั หมด ตัวอย่าง 26 จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลข์ องขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี 10 12 15 18 23 39 42 50 59 60 62 70 76 85 90 วิธีทา จากสูตร QD  Q3  Q1 2 คานวณหาตาแหน่ง Q1  1(15  1) 4 จะได้ Q1 = 18 4 คานวณหาตาแหน่ง Q3  3(15  1)  12 จะได้ Q3 = 70 4 ดงั น้นั QD  70 18  26 2 ตัวอย่างท่ี 27 จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี อนั ตร 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 - 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 90 – 94 ภาคช้นั f 1 2 11 10 12 21 6 9 4 4 ~ 45 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ วิธีทา f อนั ตรภาคช้ัน 1 2 50 – 54 11 55 – 59 10 60 – 64 12 65 – 69 21 70 – 74 6 75 – 79 9 80 – 84 4 85 – 89 4 90 – 94 95 – 99 n = 80 รวม จาก Qr  L  I  rn  F  และ Q.D.  Q3  Q1 f  4 2 หาตาแหน่ง Q1  n  80  20 4 4 ดงั น้นั Q1  64.5  5 20 14 = 64.5 + (0.5)(6) 10 = 64.5 + 3 = 67.5 # หาตาแหน่ง Q3  3n  380  60 4 4 ดงั น้นั Q3  79.5  5 60  57 = 79.5 + (0.83)(3) 6 = 79.5 + 2.49 = 81.99 # จะไดว้ า่ Q.D.  82  67.5 = 14.5 = 7.25 ................ 22 ~ 46 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้  ส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี (Mean Deviation; MD) เป็ นการวดั การกระจายท่ีบอกขนาดของการเบี่ยงเบนไปจากค่าแนวโน้มเขา้ สู่ส่วนกลาง (ซ่ึง อาจจะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน หรือฐานนิยม หรือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตได้ แต่นิยมใชค้ า่ เฉลี่ย) วธิ ีการน้ี ใชไ้ ดด้ ีกวา่ R และ QD เพราะใชข้ อ้ มูลทุกตวั มาคิดคานวณ ให้ x1,x2,...,xn เป็ นคา่ สงั เกตของขอ้ มูลชุดหน่ึงซ่ึงมี n จานวน ก. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถ่ี หา M.D. โดยใชส้ ูตรดงั น้ี n  xi  x MD  i1 n ตัวอย่าง 28 จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย จากขอ้ มูลต่อไปน้ี ก) 5, 12, 18, 10, 14, 13 วิธีทา M.D. =  xi  x n x = 5 12 18 10 14 13 = 12 6 M.D. = 7  0  6  2  2 1 =3 6 ข) 157, 156, 160, 156, 175, 160, 156 วิธีทา M.D. =  xi  x n  = 157 156 160 156 175 160 156 = 160 7 x M.D. = 3 4  0  4 15  0  4 = 4.29 ................ 7 ~ 47 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถ่ี หา M.D. โดยใชส้ ูตรดงั น้ี  fi xi  x M.D.  n ตัวอย่าง 29 จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปน้ี อนั ตรภาคช้ัน ความถ่ี 1–3 2 4–6 3 7–9 7 10 – 12 5 13 – 15 3 รวม 20 วธิ ีทา อนั ตรภาคช้นั xi fi fixi xi  x fi xi  x 1–3 4–6 2 2 4 6.6 13.2 7–9 5 3 15 3.6 10.8 10 – 12 8 7 56 0.6 4.2 13 – 15 11 5 55 2.4 12.0 14 3 42 5.4 16.2 n = 20 fixi  172  fi xi  x  56.4 หา x   fi xi  172  8.6 จากสูตร ดงั น้นั n 20 M.D. = fi xi  x n M.D. = 56.4 = 2.82 20 ถา้ M.D. มากแสดงวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายมาก แต่ถา้ มีค่านอ้ ยแสดงวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายนอ้ ย เป็ นการวดั การกระจายที่ไดน้ าค่าของขอ้ มูลทุกๆ ค่ามาใช้ในการคานวณ จึงเป็ นการวดั การกระจายท่ี ดีกวา่ การวดั การกระจายโดยใช้พิสัยและส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ แต่ก็ยงั ไม่นิยมใชเ้ น่ืองจากมีการตดั เครื่องหมายออก โดยการติดคา่ สมั บูรณ์ไวห้ รือไม่ไดน้ าเคร่ืองหมายของการเบี่ยงเบนมาใชใ้ นการคานวณ ~ 48 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation ; S.D ; S) คือ รากท่ีสองที่ไม่เป็ นจานวนลบ ของค่าเฉลี่ยของกาลงั สองของผลต่างระหวา่ งค่าของขอ้ มูลกบั คา่ เฉลี่ยของขอ้ มูลน้นั ก. ขอ้ มูลไมม่ ีการแจกแจงความถ่ี (Ungrouped data) ถา้ x1 , x2 , … , xN เป็ นขอ้ มูลจากประชากร ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย เท่ากบั µ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ประชากร หาจากสูตร  N N  (xi  )2  x2 i i1   i1 2 N N ถา้ x1 , x2 , … , xn เป็ นขอ้ มูลจากตวั อยา่ ง ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย เท่ากบั x ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ตวั อยา่ ง หาจากสูตร n n n n 22 n x 2 x i   xi x 2  n (xi  x)2  i  i1 i1 S i1  i1 n(n 1) n 1 n 1 ตัวอย่าง 30 จากการศึกษาขอ้ มูลตวั อยา่ งไดค้ ่าสงั เกต 5, 4, 3, 1, 3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วธิ ีทา จาก S  n (xi  x)2 i1 n 1  หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต n  xi x 5  4  3 1 3  3.2 i1 n5  หาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน S n (xi  x)2 i1 n 1  (5  3.2)2  (4  3.2)2  (3  3.2)2  (1 3.2)2  (3  3.2)2 4  1.82  0.82  (0.2)2  (2.2)2  (0.2)2 4  3.24  0.64  0.04  4.84  0.04 4  8.8  1.48 4 นนั่ คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดน้ี เทา่ กบั 1.48 หน่วย ~ 49 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้  ความแปรปรวน (Variance; Var.) คือ ค่าเฉลี่ยของความแตกต่างระหวา่ งขอ้ มูลแต่ละค่ากบั คา่ เฉล่ียของขอ้ มูลชุดน้นั ยกกาลงั สอง N N  (xi  )2 ความแปรปรวนของประชากร ; 2   x2 i1 i N  i1  2 N ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง ; n n  n n 22 n  x 2 x i   xi x 2  n (xi  x)2  i S2  i1 i1 i1   i1 n(n 1) n 1 n 1 ข. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถ่ี (Grouped data) ถา้ x1 , x2 , … , xN เป็ นขอ้ มูลจากประชากร ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย เท่ากบั µ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ประชากร หาจากสูตร N N 2  fi i  fi (xi  )2 x  i1  i1 N  2 N ถา้ x1 , x2 , … , xn เป็ นขอ้ มูลจากตวั อยา่ ง ซ่ึงมีค่าเฉล่ีย เท่ากบั x ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ตวั อยา่ ง หาจากสูตร n  n n 2 2  n 2 n  f x i   fi xi fi x 2  n x fi (xi  x)2 i i S i1  i1 i1  i1 n 1 n(n 1) n 1 ตัวอย่าง 31 จากการศึกษาระดบั น้าตาลในเลือดของผูป้ ่ วยโรคหน่ึง เม่ือให้งดอาหารคาร์โบไฮเดรตไป ระยะหน่ึงของผปู้ ่ วย จานวน 100 คน บนั ทึกระดบั น้าตาลในเลือดไดด้ งั ตาราง ระดบั นา้ ตาลในเลือด จานวนผู้ป่ วย จุดกงึ่ กลาง 55 – 58 12 56.5 59 – 62 16 60.5 63 – 66 25 64.5 67 – 70 18 68.5 71 – 74 15 72.5 75 – 78 9 76.5 79 – 82 5 80.5 รวม 100 จงคานวณหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ~ 50 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ วธิ ีทา n fi (xi  x)2 จาก S  i1 n 1  หาคา่ เฉล่ียเลขคณิต n  fixi x  (12 56.5)  (16 60.5)  (25 64.5)  ...  (580.5)  66.7 i1 n 100  หาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S  12(56.5  66.7)2 16(60.5  66.7)2  ... 5(80.5  66.7)2 99  4364  6.639 99 ตัวอย่างที่ 32 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใชใ้ นการเดินทางมามหาวทิ ยาลยั ขอ้ มูลดงั ตาราง เวลา (นาท)ี จานวน 2–4 1 5–7 2 8 – 10 3 11 – 13 2 14 - 16 2 วิธีทา เวลา จานวน 2–4 1 5–7 2 8 – 10 3 11 – 13 2 14 - 16 2 รวม 10 ~ 51 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ จาก  S  n n2  2  fi xi n fi x i  i1 i1 n(n 1) 10(1, 062)  962 S 10(10 1) = 10, 620  9, 216 …….….. 99 = 1404 99 = 3.77 สมบตั ิของส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเป็นบวกเสมอ 2. ถา้ ทุกค่าของขอ้ มูลเท่ากนั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีคา่ เป็น 0 แสดงวา่ ขอ้ มูลไมม่ ีการกระจาย 3. หน่วยของส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็นหน่วยเดียวกบั ขอ้ มูล 4. ถา้ จานวนคงท่ีไปบวกหรือลบออกจากขอ้ มูลท่ีละจานวน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหม่ มีค่า เทา่ กบั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเดิม 5. ถา้ จานวนคงท่ีไปคูณหรือหารจากขอ้ มูลทีละจานวนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหม่มีค่าเท่ากบั ผล คูณหรือผลหารของค่าสัมบูรณ์ของจานวนคงที่ กบั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเดิม 2. การกระจายสัมพทั ธ์ เป็นการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูลต้งั แต่ 2 ชุดข้ึนไป วา่ ขอ้ มูล ใดมีการกระจายมากกวา่ กนั ซ่ึงหน่วยหรือมาตรการวดั ของขอ้ มูลท่ีจะเปรียบเทียบกนั อาจจะเหมือนหรือ แตกต่างกนั ก็ได้ ซ่ึงการเปรียบเทียบน้นั เรียกวา่ สัมประสิทธ์ิการกระจาย (coefficient of dispersion) และนิยมทาให้อยู่ในรูปเปอร์เซ็นต์ โดยการคูณด้วย 100 แล้วนาค่าสัมประสิทธ์ิการกระจายน้ีมา เปรียบเทียบกนั ถา้ สมั ประสิทธ์ิการกระจายของขอ้ มูลชุดใดมากกวา่ แสดงวา่ ขอ้ มูลชุดน้นั มีการกระจายสูง การคานวณหาสัมประสิทธ์ิการกระจายมี 4 วธิ ี ดงั น้ี  ส.ป.ส พิสัย  ส.ป.ส ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์  ส.ป.ส ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย  ส.ป.ส ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ~ 52 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้  สัมประสิทธ์ิพสิ ัย (Coefficient of range; CR) CR  xmax  xmin x  xmax min  สัมประสิทธ์ิส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ (Coefficient of quartile deviation; CQ) CQ  Q3  Q1 Q3  Q1  สัมประสิทธ์ิส่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ (Coefficient of mean deviation; CM) CM  MD x  สัมประสิทธ์ิส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (Coefficient of Variation; CV) ถา้ ตอ้ งการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มูล ต้งั แต่ 2 ชุดข้ึนไป ซ่ึงมีคา่ เฉลี่ยเท่ากนั หรือใกลเ้ คียง กนั และมีหน่วยการวดั ที่เหมือนก็อาจนาค่าการกระจายที่คานวณไดโ้ ดยวิธีเดียวกนั มาเปรียบเทียบกนั ได้ แต่ถา้ ขอ้ มูลท่ีตอ้ งการเปรียบเทียบการกระจายมีหน่วยการวดั ที่ต่างกนั หรือค่าเฉล่ียแตกต่างกนั มาก นิยม ใชส้ ัมประสิทธ์ิการกระจาย (Coefficient of Variation) สมั ประสิทธ์ิการกระจายของตวั อยา่ ง (CV) = SD 100 x ตัวอย่าง 33 กาหนดคะแนนสอบวชิ าสถิติ 1 และคะแนนสอบวชิ าแคลคูลสั 2 ของนกั ศึกษากลุ่มหน่ึง ดงั น้ี คะแนนสอบวชิ าสถิติ 1 7432183 คะแนนสอบวชิ าแคลคูลสั 2 9 7 5 3 2 4 5 จงหาวา่ คะแนนสอบของวชิ าใด มีการกระจายมากกวา่ กนั โดยใช้ ก. สัมประสิทธ์ิของพิสัย ข. สัมประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ ค. สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย ง. สมั ประสิทธ์ิของการแปรผนั ~ 53 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ วธิ ีทา ก. สัมประสิทธ์ิของพสิ ัย จาก CR  xmax  xmin x  xmax min จะได้ CRสถิติ 1 = 8 1 = 0.7778 และ CRแคลคลู สั 2 = 92 = 0.6364 81 92 นน่ั คือ วชิ าสถิติ 1 มีการกระจายของคะแนนสอบมากกวา่ วชิ าแคลคูลสั 2 ข. สัมประสิทธ์ิของส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ จาก CQ  Q3  Q1 ตอ้ งทาการหา Q3 และ Q1 ของคะแนนสอบท้งั สองวชิ าก่อน Q3  Q1 วชิ าสถิติ 1 เรียงลาดบั ขอ้ มูล 1 2 3 3 4 7 8 หา1ตาแหน่งของ Q1 คือ 1 (7 1)  2 4  ตาแหน่ง 2 คือ 2 ดงั น้นั Q1 = 2 หาตาแหน่งของ Q3 คือ 3 (7 1) 6 4  ตาแหน่ง 6 คือ 6 ดงั น้นั Q3 = 7 ดงั น้นั CQ สถิติ 1 = 72 = 0.556 72 วชิ าแคลคูลสั 2 เรียงลาดบั ขอ้ มูล 2 3 4 5 5 7 9 หา1ตาแหน่งของ Q1 คือ 1 (7 1)  2 4  ตาแหน่ง 2 คือ 3 ดงั น้นั Q1 = 3 หาตาแหน่งของ Q3 คือ 3 (7 1) 6 4  ตาแหน่ง 6 คือ 6 ดงั น้นั Q3 = 7 ดงั น้นั CQ แคลคูลสั 2 = 73 = 0.4 73 นนั่ คือ วชิ าสถิติ 1 มีการกระจายของคะแนนสอบมากกวา่ วชิ าแคลคูลสั 2 ~ 54 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ ค. สัมประสิทธ์ิของส่วนเบีย่ งเบนเฉลย่ี จาก CM  MD ตอ้ งทาการหา x และ MD ของคะแนนสอบท้งั สองวชิ าก่อน x วชิ าสถิติ 1 จาก x   x จะได้ x  1 2  3  3  4  7  8 = 4 n7 จาก MD   xi  x = 1 4  2  4  ... 8  4 = 14 = 2 n 77 ดงั น้นั CM สถิติ 1 = 2 = 0.5 4 วชิ าแคลคูลสั 2 จาก x   x จะได้ x  2  3  4  5  5  7  9 = 5 n7 จาก MD   xi  x = 2  5  3  5 ... 9  5 = 12 = 1.71 n 77 ดงั น้นั CM แคลคลู สั 2 = 1.71 = 0.342 5 นน่ั คือ วชิ าสถิติ 1 มีการกระจายของคะแนนสอบมากกวา่ วชิ าแคลคูลสั 2 ง. สัมประสิทธ์ิของการแปรผัน จาก CV  SD ตอ้ งทาการหา x และ SD ของคะแนนสอบท้งั สองวชิ าก่อน x วชิ าสถิติ 1 จาก x   x จะได้ x  1 2  3  3  4  7  8 = 4 n7 จาก S  n x2  n  x 2 จะได้  x2 = 12 + 22 + 32 + 32 + 42 + 72 + 82 = 152 i  i1 n 1  152  7 42 = 40 = 2.582 S 7 1 6 ดงั น้นั CV สถิติ 1 = 2.582 = 0.6455 4 วชิ าแคลคูลสั 2 จาก x   x จะได้ x  2  3  4  5  5  7  9 = 5 n7 จาก S  n x2  n  x 2 จะได้  x2 = 22 + 32 + 42 + 52 + 52 + 72 + 92 = 209 i  i1 n 1  209  7 52 = 34 = 2.380 S 7 1 6 ดงั น้นั CV แคลคูลสั 2 = 2.380 = 0.4760 5 นนั่ คือ วชิ าสถิติ 1 มีการกระจายของคะแนนสอบมากกวา่ วชิ าแคลคูลสั 2 ~ 55 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตัวอย่าง 34 สมมติว่าการศึกษาการเจริญเติบโตของเด็กนกั เรียนสาธิตกลุ่มหน่ึง จานวน 200 คน โดย พจิ ารณาจากส่วนสูง และน้าหนกั พบวา่ จากการวดั ส่วนสูงของเด็กกลุ่มน้ีแลว้ วเิ คราะห์เบ้ืองตน้ พบวา่ ส่วนสูง ค่าเฉล่ีย = 142.7 ซม. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = 15.2 ซม. น้าหนกั ค่าเฉลี่ย = 38.8 กก. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน = 6.5 กก. ถ้าต้องการทราบว่า เด็กกลุ่มน้ีมีความแตกต่างกันในส่วนสูง หรือน้าหนักมากกว่ากัน ตอ้ ง พจิ ารณาจากสมั ประสิทธ์ิการกระจายดงั น้ี วิธีทา CV. ของส่วนสูง = SD. = 15.2  0.1065  10.65% x 142.7 CV. ของน้าหนกั = SD. = 6.5  0.1675  16.75% x 38.8 ดงั น้นั จึงสรุปไดว้ า่ น้าหนกั มีการกระจายมากกวา่ ส่วนสูง ตัวอย่าง 35 นกั ธุรกิจคนหน่ึงตอ้ งการลงทุนในบริษทั ใดบริษทั หน่ึงจาก 3 บริษทั ดงั น้ี บริษทั A ไดเ้ งินปันผลเฉลี่ย 16% ตอ่ ปี ความแปรปรวน 4% บริษทั B ไดเ้ งินปันผลเฉล่ีย 12% ตอ่ ปี ความแปรปรวน 2% บริษทั C ไดเ้ งินปันผลเฉล่ีย 19% ต่อปี ความแปรปรวน 9% เม่ือพจิ ารณาจากเงินปันผลที่จะไดร้ ับจากแต่ละบริษทั อยากทราบวา่ นกั ธุรกิจคนน้ีจะเลือกลงทุน กบั บริษทั ใด วิธีทา ~ 56 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ ตวั อย่างท่ี 35 จากการสารวจความพงึ พอใจของผใู้ ชบ้ ริการจานวน 10 คน ในดา้ นการขายและการตลาด ประเดน็ วดั ความพงึ พอใจ มากที่สุด มาก ปานกลาง นอ้ ย นอ้ ยท่ีสุด 54321 1.1 ความรู้ / ความเขา้ ใจในรายละเอียดของสินคา้ 2 5 1 2 - ของพนกั งานขาย 1.2 มารยาทในการติดต่อสื่อสาร 135-1 1.3 การตรงต่อเวลาของพนกั งาน 2611- 1.4 เอกสารประกอบการนาเสนอ / การติดตาม 5 4 1 - - งานขาย ก่อนและหลงั จงหา 1) ค่าเฉล่ียของขอ้ 1.1 2) มธั ยฐานของขอ้ 1.2 3) ฐานนิยมของขอ้ 1.3 4) พสิ ัยของขอ้ 1.1 ~ 57 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 5) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.4 6) เปรียบเทียบการกระจายของระดบั ความพึงพอใจของขอ้ 1.1 และ 1.3 โดยใชส้ มั ประสิทธ์ิการแปรผนั 7) เปรียบเทียบการกระจายของระดบั ความพึงพอใจของขอ้ 1.2 และ 1.4 โดยใชส้ มั ประสิทธ์ิพสิ ยั 0.70 CR  xmax  xmin x  xmax min ~ 58 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ แบบฝึ กหดั บทท่ี 2 1. จากส่วนสูง(เซนติเมตร) ของนกั ศึกษาจานวน 30 คน ดงั น้ี 167 163 168 172 165 161 174 160 171 173 165 160 168 169 172 169 161 171 170 162 173 166 170 168 167 166 170 168 160 174 จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ของส่วนสูงท้งั หมด โดยใหม้ ีจานวนช้นั เท่ากบั 5 ช้นั ในตาราง ประกอบดว้ ยช้นั คะแนน ขอบเขตช้นั จุดก่ึงกลาง รอยคะแนน และความถี่ 2. ในการสารวจอายขุ องผูเ้ ขา้ รับการรักษาในโรงพยาบาลแห่งหน่ึง ในหน่ึงวนั ไดต้ ารางแจกแจง ความถ่ีดงั น้ี อายุ (ปี ) -19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 - รวม จานวน (คน) 13 22 15 21 47 32 150 จงหาขอบเขตล่างและบนในทุกอนั ตรภาคช้นั จุดก่ึงกลางของทุกอนั ตรภาคช้นั สร้างตารางซ่ึง ประกอบดว้ ยความถ่ีสะสมจากนอ้ ยไปหามาก ความถ่ีสัมพทั ธ์(ร้อยละ) และความถี่สะสมสมั พทั ธ์จาก นอ้ ยไปหามาก (ร้อยละ) 3. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ดงั น้ี อนั ตรภาคช้นั 33 – 42 43 – 52 53 – 62 63 - 72 73 – 82 ความถ่ี 3 5 7 3 2 จงเขียนกราฟฮิสโทแกรม รูปหลายเหล่ียมของความถ่ี โคง้ ความถี่ และเส้นโคง้ ความถ่ีสะสม 4. ตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปน้ี เป็นเกรดเฉล่ียของนกั ศึกษา 120 คน เกรดเฉลี่ย จานวน จงหา 1.35 – 1.54 15 ก. ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั 1.55 – 1.74 25 ข. ขอบเขตล่างของช้นั ท่ี 4 1.75 – 1.94 30 ค. ขอบเขตบนของช้นั ท่ี 6 1.95 – 2.14 22 ง. จุดก่ึงกลางของช้นั ที่ 5 2.15 – 2.34 16 จ. มีนกั ศึกษาจานวนเท่าไร ท่ีไดเ้ กรดเฉล่ีย 2.35 – 2.54 12 ต่ากวา่ 1.95 ฉ. มีนกั ศึกษาร้อยละเท่าไร ท่ีไดเ้ กรดเฉลี่ยสูงกวา่ 1.94 ช. มีนกั ศึกษาจานวนเท่าไรท่ีไดเ้ กรดเฉล่ียระหวา่ ง 1.74 กบั 2.15 ~ 59 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มูลเบ้ืองตน้ 5. จากขอ้ มูล 23, 27, 23, 26, 24, 23, 30 จงหา ก. คา่ เฉล่ียเลขคณิต ข. มธั ยฐาน ค. ฐานนิยม 6. จากตารางแจกแจงความถี่ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟ (ชว่ั โมง) ในการสารวจคร้ังหน่ึงเป็นดงั น้ี อายกุ ารใชง้ าน ความถี่ 100 – 104 10 105 – 109 24 110 – 114 112 115 – 119 87 120 – 124 35 125 – 129 202 130 – 134 18 135 – 139 15 503 รวม ก. จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟ ข. จงหามธั ยฐานอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟ 7. นกั ศึกษา 4 กลุ่ม โดยมีจานวน 40, 45, 50 และ 45 คน ตามลาดบั จากการวดั ส่วนสูงของ 3 กลุ่มแรก คานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนสูงแตล่ ะกลุ่มเป็น 165,168 และ 167 เซนติเมตร ตามลาดบั ถา้ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของส่วนสูงของนกั ศึกษาท้งั หมดเท่ากบั 166.06 เซนติเมตร อยากทราบวา่ คา่ เฉล่ีย เลขคณิตของส่วนสูงของกลุ่มสุดทา้ ยเป็นเทา่ ไร 8. ขอ้ มูลชุดหน่ึงมี 10 จานวน มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเป็น 5.6 แต่ผคู้ านวณไดอ้ ่านตวั เลขผิดไป 1 จานวน คือ อ่าน 2.0 เป็น 0.2 จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิตที่ถูกตอ้ ง 9. จากการสารวจรายไดต้ ่อสัปดาห์ของคนงานของโรงงานแห่งหน่ึง 3 กลุ่มดงั น้ี กลุ่มที่ 1 มีจานวน 200 คน รายไดเ้ ฉล่ียสปั ดาห์ละ 500 บาท กลุ่มที่ 2 มีจานวน 150 คน รายไดเ้ ฉลี่ยสปั ดาห์ละ 650 บาท กลุ่มที่ 3 มีจานวน 170 คน รายไดเ้ ฉลี่ยสัปดาห์ละ 600 บาท จงหารายไดเ้ ฉล่ียของคนงานท้งั 520 คน ~ 60 ~

บทที่ 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ 10. ครอบครัวหน่ึงมีบุตร 5 คน ปัจจุบนั คนโตมีอายุ 15 ปี คนรองลงมาอีก 4 คนมีอายุ 12,10,8 และ 6 ปี ตามลาดบั อยากทราบวา่ ก. อีก 3 ปี ขา้ งหนา้ อายเุ ฉล่ียเลขคณิตของอายบุ ุตรท้งั 5 คน เป็นเทา่ ไร ข. เม่ือ 4 ปี ที่แลว้ อายเุ ฉล่ียเลขคณิตของอายบุ ุตรท้งั 5 คน เป็นเทา่ ไร 11. กาหนดตารางแจกแจงความถ่ีสะสมของรายไดข้ องคนงาน 20 คน ดงั น้ี รายได้ 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 200 ความถ่ีสะสม 18 92 152 180 ก. จงหามธั ยฐาน ข. จงหาฐานนิยม 12. สายเคเบิลจากบริษทั แห่งหน่ึง 60 เส้น รับน้าหนกั สูงสุดไดด้ งั น้ี น้าหนกั สูงสุด (ตนั ) 9.3 – 9.7 9.8 – 10.2 10.3 – 10.7 10.8 – 11.2 11.3 – 11.7 11.8 – 12.2 12.3 – 12.7 12.8 – 13.2 จานวน (เส้น) 2 5 12 17 14 6 3 1 จงหาฐานนิยม 13. คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนวชิ าสถิติ 1 ของนกั ศึกษา 10 คน คือ 72 ถา้ คะแนนของนกั ศึกษา 8 คน เป็นดงั น้ี 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 ส่วนคะแนนของอีก 2 คนน้นั มีคะแนนต่างกนั 4 คะแนน จงหามธั ยฐานของคะแนนของนกั ศึกษาท้งั 10 คน 14. ในการสอบวชิ าภาษาองั กฤษของนกั ศึกษาหอ้ งหน่ึง ไดค้ า่ เฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั 53 คะแนน แต่จาก การตรวจสอบพบวา่ มีขอ้ สอบของนกั ศึกษาอีก 2 คน ยงั ไมไ่ ดท้ าการตรวจ เมื่อนามาตรวจ ปรากฏวา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากบั 55 คะแนน และผลรวมของคะแนนสอบ เพิ่มข้ึน 180 คะแนน จงหาจานวนนกั ศึกษาในกลุ่มน้ี 15. จงหาพิสัยของขอ้ มูล 7.882, 6.542, 10.624, 9.628, 8.434, 6.352 16. นกั ศึกษา 19 คน มีน้าหนกั ดงั น้ี 60, 46, 61, 48, 63, 48, 65, 49, 68, 50, 68, 51, 68, 51, 69, 58, 72, 70, 59 กิโลกรัม จงหาส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ 17. จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียของขอ้ มูล 6, 12, 7, 3, 10, 15, 18, 5 18. จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูล 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18 ~ 61 ~

บทท่ี 2 การวเิ คราะห์มลู เบ้ืองตน้ 19. กาหนดขอ้ มูลดงั น้ี 6, 8, 14, 4, 11, 10, 7 จงหา ก. พิสยั ข. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ค. ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย ง. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 20. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของขนาดเส้นผา่ ศูนยก์ ลางของสายเคเบิลชุดหน่ึง ดงั น้ี ขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง (ม.ม.) จานวน 9.3 – 9.7 9.8 – 10.2 2 10.3 – 10.7 5 10.8 – 11.2 12 11.3 – 11.7 17 11.8 – 12.2 14 12.3 – 12.7 6 12.8 – 13.2 3 1 จงหา ก. พสิ ยั ข. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ค. ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย ง. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 22. บริษทั ผลิตสินคา้ แห่งหน่ึง แบง่ คนงานเป็น 2 กลุ่ม ๆ ละ 7 คน จานวนชิ้นของสินคา้ ที่คนงานแต่ละ คนในกลุ่มผลิต ดงั น้ี กลุ่มท่ี 1 ผลิตไดด้ งั น้ี 13, 6, 2, 15, 10, 19, 4 กลุ่มท่ี 2 ผลิตไดด้ งั น้ี 8, 2, 7, 8, 7, 8, 19 จงหาวา่ คนงานกลุ่มใด มีการกระจายของความสามารถในการผลิตสินคา้ มากกวา่ กนั โดยใช้ ก. สัมประสิทธ์ิของพสิ ัย ข. สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ ค. สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ง. สัมประสิทธ์ิของการแปรผนั ~ 62 ~