Primera Parte Treybal - Difusión y Transferencia de Masa

PRIMERA PARTE DIFUSIÓN Y TRANSFERENCIA DE MASAYa se dijo que la mayoría de las operaciones de transferencia de masa que se utili-zan para separar los componentes de una solución, logran hacerlo al poner la so-lución que va a separarse en contacto con otra fase insoluble. Como se verá, la ra-pidez con la cual un componente se transfiere de una fase a otra depende de uncoeficiente llamado de transferencia de masa, o de rapidez, y del grado de del sistema del La transferencia termina cuando se alcanza elequilibrio.Ahora bien, los coeficientes de rapidez para los diferentes componentes enuna fase dada difieren entre sí en mayor grado bajo condiciones en donde preva-lece la molecular, pero aun en este caso la diferencia no es muy grande.Por ejemplo, los gases y vapores que se difunden a través del aire mostrarancoeficientes de transferencia cuya relación máxima de 3 o 4 a 1. Esto mismoes cierto cuando varias sustancias se difunden a través de un líquido como elagua. En condiciones de turbulencia, en que la difusión molecular carece relativa-mente de importancia, los coeficientes de transferencia vuelven mas parecidospara En consecuencia, aunque en principio se puedelograr cierta separación de los componentes aprovechando sus distintos coeficien-tes de transferencia, es el grado de separación. que se logra de estaforma. Lo anterior es especialmente significativo cuando’ se considera que fre-cuentemente se desean productos que son sustancias apenas impuras, en donde larelación entre los componentes puede ser de 1 000 o 10 000 a 1 o mayor.Por tanto, para lograr una separación, se depende casi completamente de lasdiferencias de concentración que existen en el equilibrio y no de la diferencia encoeficientes de transferencia de masa.No obstante, los coeficientes de transferencia de masa tienen mucha impor-tancia, porque al regular la rapidez con la cual se alcanza el equilibrio, controlan 21

22 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MAtambién el tiempo que se necesita para lael costo del equipo por utilizar. Los coeficson importantes para gobernar el equiporentes, como la realización de reaccionesque se efectúa una química entrestá frecuentemente determinada por la racia la superficie del catalizador y por la rapalejarse del catalizador. En la Primera Parte, se van a tratarsus relaciones con el fenómeno de difusióncoeficientes de transferencia comocalor.

SAseparación y, por lo tanto, el ycientes de transferencia de masa tambiénutilizado con fines completamente dife-s químicas. Por ejemplo, la rapidez conre dos gases sobre un catalizador sólido,apidez de transferencia de los gases ha-pidez de transferencia de los productos para los coeficientes de transferencia de masa,n, el movimiento de los fluidos y con loso los que describen la transferencia de

DOS DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOSEn la difusión molecular se trabaja con el movimiento de las moléculas indivi-duales a través de una sustancia debido a su energía térmica. La teoría cinética delos gases proporciona una forma de imaginar lo que sucede; de hecho, esta teoríafue rápidamente aceptada gracias a la adecuada descripción en términos cuantita-tivos del fenómeno difusional.De acuerdo con una teoría cinética simplificada, se puede imaginar que unaviaja en línea recta con una velocidad uniforme, que choca con otra mo-lécula y que entonces su velocidad cambia tanto en magnitud como en dirección.La distancia promedio que viaja la molécula entre cada choque es su trayectorialibre promedio; su velocidad promedio depende de la temperatura. Como la mo-lécula viaja en una trayectoria en zigzag, la distancia neta en la dirección en lacual se mueve durante cierto tiempo -rapidez de difusión-, sólo es una pequeñafracción de la longitud de su trayectoria real. Por esta razón, la rapidez de difu-sión es muy aunque podría aumentar con un descenso de presión, quereduciría el número de choques y un incremento de temperatura, que aumentaríala velocidad molecular.La importancia de la barrera que presenta la colisión molecular frente al mo-vimiento difusional es profunda. Así, por ejemplo, mediante la teoría cinética sepuede calcular que la rapidez de evaporación del agua a 25 en el vacío es aproxi-madamente 3.3 de la interfase del agua. Sin embargo, cuando se colocauna capa de aire estancado a 1 atm de presión y 0.1 mm de espesor sobre la inter-fase del agua, se reduce la rapidez por un factor de aproximadamente 600. Estemismo proceso general predomina también en el estado líquido; empero, como laconcentración molecular es considerablemente mas grande, la rapidez de difusiónes menor que en los gases.El fenómeno de la difusión molecular conduce finalmente a una concentra-ción completamente uniforme de sustancias a través de una solución que inicial-

OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASAmente pudo haber sido no uniforme. por ejemplo, si se coloca una gota desolución de sulfato de cobre azul en un vaso con agua, el sulfato de cobre se re-parte al en todo el liquido. Con el tiempo, el color azul se vuelve uniformeen cualquier parte de la solución y no hay cambios subsecuentes. Sin embargo, al principio debe distinguirse entre la difusión molecular, quees un proceso lento, y el mezclado más que puede lograrse mediante agita-ción y por movimiento de convección del fluido. Imaginese un tanquede 1.5 m de en el cual se ha colocado una salina a una profun-didad de 0.75 m. Supóngase que se ha colocado una capa de 0.75 m de agua purasobre la salmuera, de tal forma que en momento se disturbe esta ultimasolución. Si el contenido del tanque no se perturba, la sal, por difusión molecu-lar, completamente el liquido, y finalmente llegara a tener la mitad dela concentración que tenia en la original. Pero el proceso es muy lento;puede calcularse que concentración de sal en la parte superior del liquido será del87.5% de su valor final después de 10 y del 99% de su valor final desputs de28 Por otra parte, se ha demostrado que un agitador sencillo que gire en eltanque a 22 rpm alcanzará la uniformidad total en aproximadamente 60 segLa agitación mecánica ha producido el movimiento de grandes masas defluido, o remolinos, del flujo turbulento, que acarrean la sal consi-go. Este método de de soluto se conoce como de remolinoo por oposici n a la molecular. Evidentemente, dentro de cadaremolino, por que sea, la uniformidad se alcanza por difusión mo-lecular, que-es ultimo proceso. Se ve entonces molecular es elmecanismo de transferencia de masa en fluidos estancados o en fluidos que se es-tán moviendo mente mediante flujo laminar, aun cuando siempre está pre-sente hasta en el fl4jo turbulento muy intenso. En un sistema de dos fases que no esta en el equilibrio -por ejemplo, en unacapa de amoniaco y como solución gaseosa en contacto con una capa de agualiquida-, sucede una alteración espontánea mediante difusión molecu-lar, que conduce finalmente a todo el sistema a un estado de equilibrio en dondela se detiene. Al final, se puede observar que la concentración de cual-quiera de los componentes es la misma a través de toda una fase, aunque no es ne-cesariamente la misma en las dos fases. Por tanto, la de amoniacoserá uniforme a través de todo el líquido y uniforme, con un valor diferente, entodo el gas. Por otra parte, el potencial químico del amoniaco (o su actividad, sise utiliza el mismo estado de referencia), depende en forma diferente de la fases y será uniforme en cualquier parte del sistema en el uniformidad es la que ha detenido el proceso difusivo. En conclu-sión, la fuerza motriz real para la difusión es la actividad químico yno la concentración. En sistemas de varias fases, generalmente se trata con proce-sos de difusión en cada una de las fases por separado y dentro de una fase gene-ralmente son descritos en función de lo que se observa fácilmente, esto es, delos cambios de concentración.

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOSDifusión molecularYa se dijo que si una solución es completamente uniforme con respecto a la con-centración de sus componentes, no ocurre ninguna alteración; en cambio, si no esuniforme, la solución alcanzará la uniformidad por difusión,ya que las sustancias se moverán de un punto de elevada a otro debaja concentración. La rapidez con la cual un soluto se mueve en cualquier puntoy en cualquier dirección dependerá, por tanto, del gradiente de concentración enese punto y esa dirección. Para describir cuantitativamente este proceso, se nece-sita una medida apropiada de la rapidez de transferencia.La rapidez de transferencia puede describirse adecuadamente en función delflujo molar, o ya que el kea se mide en una dirección nor-mal a la difusión. Sin embargo, aunque una solución no uniforme sólo contengados componentes, éstos difundirse, si se quiere alcanzar la uniformidad.Surge entonces la necesidad de utilizar dos para describir el movimiento deun componente: N, el relacionado con un lugar fijo en el espacio, y J, elflux de un compuesto con a la velocidad molar promedio de todos loscomponentes. El primero es importante al aplicarse al de equipo; el segun-do es característico de la naturaleza del componente. Por ejemplo, un pescadorestaría más interesado en la rapidez con la cual nada un pez en contra de lacorriente para alcanzar el anzuelo a la velocidad del pez con relacióna la del arroyo a es de la del pez. la o coeficiente de difusión, de un componente A ensolución en B, que es una medida de la movilidad de se define como larelación de su flux y su gradiente de concentración =que es la primera ley de Fick, en este caso para la dirección El signo negativohace hincapié que la difusión ocurre en el sentido del decremento en concentra-ción. La difusividad es una característica de un componente y de su entorno (tem-peratura, presión, concentración -ya sea en solución liquida, gaseosa oy la naturaleza de los otros componentes).Considérese la caja de la figura 2.1, que esta separada en dos partes mediantela partición P. En la 1 se coloca 1 kg de agua (A) y en la sección II 1 kg deetanol (B) (las densidades de los son diferentes y la partición esta coloca-da de tal forma que la profundidad de los en cada sección sea la misma.N. del E. Aun cuando en otras ramas de e.. Electricidad- se ha traducidocomo “flujo” el término (del en este caso hemos considerado conveniente conser-var este anglicismo. con el fin de evitar confusiones con la de la palabra tan fre-cuente en Ingeniería Química. Flux indica el flujo de una cantidad por unidad de Brea; por ejemplo,flux molar

2 6 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASAInicialmente: II k e kmol 5.55 100 2.45Finalmente: 44.08 0.96 55.92 3.10 Total: 44.08 55.92 4.31 88.16 3.41 Total: Il.84Figura 2.1 Difusión en una binariaImagínese que se elimina cuidadosamente la permitiendo que suceda ladifusión de los líquidos. Cuando se detenga la difusión, la concentración será uni-forme: en toda la caja habrá 50% de masa de cada componente.Se indican en la figura las masas y moles de cada componente en las dos re-giones. Es claro que aunque el agua se difundió hacia la derecha y el etanol hacia laizquierda, hubo un movimiento neto de masa hacia la derecha, de tal forma que sila caja se hubiese equilibrado inicialmente sobre el filo de un cuchillo, al final delproceso se hubiese inclinado hacia la derecha. Si se toma como positiva esa direc-ción hacia la derecha, entonces el flux de A con relación a la posición fija Pseria positivo y el flux de B seria negativo. Por condición del estado estaciona-rio, el flux neto es: +NEl movimiento de A está formado por dos partes: la resultante del movimientototal Ny la fracción de N, que es A y la resultante de la difusión =+ =+

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 2 7El homólogo de la ecuación (2.4) para B es +Sumando estos resultados se tiene = Sic, + = se tiene que = en la concentración ytemperatura predominantes. En todo lo anterior se ha considerado la difusión en un solo sentido; no obs-tante, para gradientes de concentración generales y difusionales, debenconsiderarse todos los sentidos; por ello, existen los homólogos de las ecuaciones(2.1) a (2.6) en los tres sentidos en el sistema de coordenadas cartesianas. En algu-nos sólidos, la difusividad puede ser sensible a la dirección, auncuando no lo es en fluidos, los cuales son soluciones verdaderas.La ecuación de continuidadConsidérese el elemento de volumen del fluido en la figura 2.2, en donde unfluido está fluyendo a través del elemento. Se necesita un balance de materia paraun componente del aplicable a un volumen diferencial del fluido de estetipo. z AxY’ Figura 2.2 Volumen elemental de fluido.La rapidez de masa de flujo del componente A en las tres caras con un común en E + + AY]en donde significa el flux en la dirección x, y donde es su valor en la posición x. En lamisma forma, el flujo de masa fuera de las tres caras con un en G es + AZ +

OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DEEl componente total A en el elemento es Ax Ay y por lo tanto su rapidez de acumulación esA y AZ Si, ademas, A se genera mediante una con la rapidez su rapidez de producción es Ax Ay AZ, Puesto queen general,Rapidez de salida rapidez de entrada + rapidez de acumulación = rapidez de generación AY} + AY Ax Ay AZ (2.7)Dividiendo entre Ax Ay y encontrando el limite cuando las tres distancias se vuelven ceroEn la misma forma, para el componente B + (2.9)El balance total de materia se obtiene sumando los de A y B + (2.10) ++en donde + = la densidad de la puesto que la rapidez de masa para la produc-ción de A y B debe ser igual a cero. en de las masas y en el sentido es + (2.11)Ahora bien, el homólogo de laen donde es la velocidad promedio de masa, tal que + (2.12) +Por lo tanto,Y la ecuación (2.10) se transforma enque es la de continuidad o un balance de masa, para la sustancia total. Si la densidad de la es una constante, se transforma en (2.14)Regresando al balance para el componente A, de la 11) se tiene que

MOLECULAR EN FLUIDOS 2 9La (2.8) se convierte en (2.16)que es la de continuidad para la sustancia A. Para una solución de densidad constante,puede aplicarse la (2.14) a los que multiplican Dividiendo entre se tiene + (2.17)En el especial en que la velocidad es igual a cero y no hay reacción se reduce a la segun-da ley de Fick (2.18)Ésta se puede aplicar con frecuencia a la en en ciertos casos, a la difusión enfluidos.En forma semejante, es posible derivar las ecuaciones para un balance diferencial de energía.Para un fluido de densidad constante, el resultado es at at at at 2 2 2 + Q- (2.19) )en donde = y Q es la rapidez de generación de calor dentro del fluido por unidad de volumendebido a una reacción química. El significado de las similitudes entre las ecuaciones (2.17) y (2.19) seexplicaran en el capítulo 3.DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO ESTACIONARIOEN FLUIDOS SIN MOVIMIENTO Y EN FLUJO LAMINARSi la ecuación (2.4) se aplica al caso de la difusión en el sentido únicamente, cony constantes (estado estacionario), las variables se separan y sies constante, se puede integrar dc, 1 (2.20) +en donde el indica el principio de la trayectoria de elevado) y el 2 elfinal de la trayectoria de difusih bajo). Sea = + (2.21) ++ = + (2.22) +

30 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA es posible integrar en condiciones de estado estacionario, donde el flux no es constante.Considérese, por ejemplo, la radial de la superficie de una esfera sólida a un fluido. Puedeaplicarse la pero el flux es una de la distancia debido a la geometría. Sin em-bargo, la mayoría de los problemas que tratan con este tipo de temas relacionados conla difusión en condiciones de turbulencia; los coeficientes de transferencia que se utilizanbasados en el flux expresado en función de un Brea escogida arbitrariamente, como por ejemplo,la superficie de la esfera. Estos temas se van a tratar en el capitulo 3.Difusión molecular en gasesCuando se puede aplicar la ley de los gases ideales, la ecuación (2.21) puede escri-birse de manera más adecuada para su uso con gases. Entoncesen donde = presión parcial del componente A = presión total = concentración en fracciónAdemás Pt (2.24)de tal forma que la ecuación (2.22) se convierte en = + (2.25) + NB)]0= + (2.26) +Para utilizar estas ecuaciones, debe conocerse la relación entre y Éstageneralmente se fija por otros motivos. Por ejemplo, si se va a fraccionar metanosobre un catalizador, CH, C +en circunstancias que el CH, (A) se difunda hacia la superficie de fracciona-miento y el (B) se difunda al seno del fluido, entonces la estequiometría de lareacción fija la relación = y + = NA = -1 El subíndice del componente, A, en diferencia la fracción mol dey; esto es, la distancia en ladirección

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 31En otras ocasiones, en ausencia de reacción química, la relación puede fijarse porrazones de entalpía. En el caso de las operaciones puramente separacionales, sepresentan con frecuencia dos casos.Difusión en estado estacionario de A a través del no difundente B Esto puedesuceder, por ejemplo, si se fuera a absorber amoniaco (A) del aire (B) en agua.Puesto que el aire no se disuelve apreciablemente en agua y si no se toma en cuen-ta la evaporación del agua, en la fase gaseosa sólo se difunde el amoniaco.ces, = 0, = + =1y la ecuación (2.25) se transforma en (2.27) A A- - (2.28)entonces = (2.30)Esta ecuación se muestra gráficamente en la figura 2.3. La sustancia A se difundedebido a su gradiente de concentración, La sustancia B también se Distancia. Figura 2.3 de A a través de B, estancado

32 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASAfunde con relación a la velocidad molar promedio con un flux que depende de pero al igual que un pez que nada a contracorriente a la misma veloci-dad que el agua que fluye con la corriente, Na = 0 relativo a un lugar fijo en el es- .Contradifusión equimolal en estado estacionario Esta es una situación que sepresenta con frecuencia en las operaciones de destilación. = =La ecuación (2.25) no está determinada, pero puede volverse a la ecuaciónque para gases se transforma en (2.31)0 para este caso (2.32) (2.33)Esto se muestra en forma gráfica en la figura 2.4.Pt Pt z Figura 2.4 Contradifusión equimolal.Difusión en estado estacionario en mezclas de multicomponentes Las expre-siones para la difusión en sistemas de multicomponentes se vuelven muy compli-cadas, pero con frecuencia se pueden manejar utilizando una difusividad efectivaen la ecuación (2.29, en donde la difusividad efectiva de un componente puedeobtenerse a partir de sus difusividades binarias con cada uno otros

MOLECULAR EN FLUIDOS 3 3 Así, en la ecuación (2.29, + puede reemplazar por N,,en donde es positivo si la difusión es en la misma dirección que A y negativo sies en la opuesta; puede reemplazarse por la efectiva YA (2.35) DLos son las difusividades binarias. Esto indica que DA, puede variar consi-derablemente de uno de los lados de la trayectoria de al otro; empero,generalmente se puede suponer una variación lineal con la distancia, para realizar Una situaci6 bastante común es que todas las N exceptosean cero, es decir, cuando excepto uno, estén estanca-dos’, Entonces, la ecuación (2.35) (2.36)en donde la fracción mol del componente i, libre de A. Se han consideradolas limitaciones de la (2.35) y algunas sugerencias para tratar con 2.1 Se esta difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condi-ciones de estado estacionario, con el de carbono sin difundirse. La presión total es y la temperatura es La presión parcial de oxígeno en dos planos separadospor 2.0 mm es, respectivamente, 13 000 y 6 500 La difusividad para la mezcla es Calcular la rapidez de del oxigeno en a de cada metrocuadrado de los dos planos. Se aplica la ecuación (2.30). =1 z = 0.002 m, ==R =8 . = 273 = =6 500, = 10s 6 500 = todas en (87 = (1.87 = 2.97 X . s Respuesta.Ejemplo 2.2 Volver a calcular la rapidez de del oxígeno (A) en el ejemplo 2.1, supo-niendo que el gas que no se esta difundiendo es una mezcla de metano e hidrógeno (C) en la

3 4 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA en volumen Se ha calculado que las difusividades son = = Para este caso la ecuación (2.25) se convierte en la ecuación = z = 0.002 m, R =T = 273 K, = = 6 500, = todas en = + 1) = 0.667,8 314 N . m/kmol . K como en el ejemplo 2.1. En la ecuación= 1 0.667 = 0.333, en donde D (1.86 x 1 (6.99 + = 2.46 xPor lo tanto, la ecuación (2.30) se transforma en (2.46 x 000 6500) = 3.91 x s Respuesta. 200) ADifusividad de gasesLa difusividad, o coeficiente de difusión, es una propiedad del sistema que de-pende de la temperatura, presión y de la naturaleza de los componentes. Unacinética avanzada predice que en mezclas binarias será pequeño el efectodebido a la composición. Sus dimensiones pueden establecerse a partir de su defi-nición, ecuación y éstas son La mayoria de los valoresque aparecen en la bibliografla sobre están expresados en las dimen-siones en el SI sonLos factores de conversión se listan en la tabla 2.1; se puede encontrar unalista más completa en The Chemical Handbook Para un estudiocompleto, la ref. 17.Las expresiones para calcular cuando no se cuenta con datos experimenta-les, están basadas en la teoría cinética de los gases. Se recomienda la modificaciónde Wilke-Lee del método de Hirschfelder-Bird-Spotz para mezclas de gases nopolares o de un gas polar con un no polarD AB = ++ (2.37)en donde = difusividad, T = temperatura absoluta, KDeben utilizarse las unidades listadas en la ecuación (2.37). Para y Ten unidades de ft, h,R y todas las demás cantidades como se listan anteriormente, multipliquese el lado derecho de laecuación (2.37) por 334.7.

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 3 5Tabla 2.1 Difusividad de gases a presión atmosférica 101.3Sistema Temp, Difusividad, x Ref. 3co-o* 0 1.81 3Aire-NH, 0 1.85 3 0 1.39 3Aire-etanol 0 1.98 26Aire-n-butano1 0 2.58Aire-acetato de etilo 25.9 3.05 1Aire-anilina 59.0Aire-clorobenceno 1.02 14Aire-tolueno 0 25.9 0.87 7 7 59.0 1.04 25.9 0.87 59.0 1.06 25.9 0.74 0.90 59.0 0.74 25.9 0.90 59.0 0.86 0.92 25.9 59.0Por ejemplo, = 6.25 x = peso molecular de A y B, respectivamente, kg/kmol = presión absoluta, = separación lma oaltercauclcairóndumraonletecuelal rc=hoqu-e, nm- = + = energía de AB k = constante de Boltzmann = función de choque dada por la figura 2.5 Los valores de r y como los listados en la tabla 2.2, pueden calcularse apartir de otras propiedades de los gases, como la viscosidad. Si es necesario,pueden calcularse empíricamente para cada = (2.38) = (2.39) ken donde v = volumen del líquido en el punto de normal,(calculado de la tabla y = punto de ebullición normal, K. Alutilizar la tabla 2.3, se suman las diferentes contribuciones de los átomos compo-nentes. Así, tolueno, v= 0.015 = 0.1182.

OPERACIONES DE A0.1 a 2 0.4 0.6 1.0 2 4 6 10 2 0 4 0 6 0 100 2 0 0 4 0 0Figura 2.5 Función de choque para la .La difusión a del aire, cuando los componentes del aire permanecen enproporciones fijas, se maneja como si el aire fuese una única sustancia.Ejemplo 2.3 Calcular la difusividad del vapor de etanol, (A), a través del airea 1 atmde presión,Tabla 2.2 Constantes de fuerza de gases determinadas apartir de de viscosidadGas GasAire 78.6 0.3711 344.7 322.7 0.5947 H e 10.22 0.255 1 481.8 0.3626 59.7CH, 148.6 0.3758 809.1 0.2641c o 91.7 0.3690 301.1 0.3623 195.2 0.3941 558.3 0.2900 467 0.4483 N O 116.7 0.3492 215.7 0.4443 71.4 0.3798 237.1 0.5118 232.4 0.3828 412.3 0.5349 4 106.7 0.3467 316 0.4217 335.4 0.4112 Tomado de: R.A. Svehla; NASA R-132, Lewis Research Center, Cleveland, Ohio,1962.

MOLECULAR EN FLUIDOS 3 7Tabla 2.3 Volúmenes atómicos y molecularesVolumen atómico, Volumen molecular, Volumen atómico. Volumen molecular xátomos x xCarbón 14.8 14.3 Oxígeno 1.4 25.8 3.1 18.9Cloro 24.6 4 25.6 Oxígeno en esteres metílicos 9.1 32.9Bromo 27.0 Aire 51.5Iodo 37.0 co 31.2 Oxígeno es superiores 11.0 48.4Azúfre 25.6 53.2 15.6 NO 29.9 Oxigeno en 12.0 71.5Nitrógeno enprimarias 10.5 30.7 Oxígeno en ésteres metílicos 9.9Nitrógeno ensecundarias 12.0 34.0 Oxígeno en esteres superiores 44.8 Anillo benchico: restar 15 aminas Anillo naftalénico: restar 30 aminas 23.6 36.4SOLUCIÓN T = 273 = 101.3 = 46.07, = 29. De la tabla 2.2, para aire setiene, = 78.6, = 0.3711 nm. Los valores para el etanol pueden calcularse mediante lasecuaciones (2.38) y (2.39). De tabla 2.3, = + + 0.0074 = 0.0592,mientras que = = 0.46 nm. El punto de ebullición normal es = K = = 425. , 0.46 + 0.3711 170.7 2 273 1.599 170.7Figura 2.5 0.595 0.237Ecuación (2.37) D AB 1.084 (101.3 x 1.05El valor observado (tabla 2.1) esLa (2.37) muestra que varía como (aun cuando se puede ob-tener una variación más correcta de la temperatura considerando también la fun-ción de choque de la figura 2.5) e inversamente con lo que sirve parapresiones mayores de 1 500 (15El coeficiente de autodifusion, o para un gas que se está difundiendo através de si mismo, puede determinarse experimentalmente mediantecas muy especiales que requieren, por ejemplo, de marcadores radiactivos. Puedeser calculado mediante la ecuación haciendo A = B.

38 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASADifusión molecular en líquidosSi se quiere integrar la ecuación (2.4) para escribirla en la forma de ecuación debe suponerse que y c son constantes. Esto es adecuado para mezclasgaseosas binarias, pero no lo es en el caso de líquidos, ya que pueden variar consi-derablemente con la concentración. No obstante, en vista del escaso conocimien-to de las se acostumbra utilizar la ecuación junto con una c promedio yel mejor promedio que se tenga de La ecuación (2.22) también se escribeconvenientemente como NA - P- + = + zM +en donde y son la densidad de la y el peso molecular, respectivamen-te. Como en el caso de los gases, debe establecerse el valor de + paralas circunstancias prevalecientes. Para los casos que aparecen más frecuentemen-te, se tiene, como para los gases:1. en estado estacionario de A a través del no difundente = const, = 0, y =D en donde (2.42)2. equimolal en estado estacionario. = = const. == (2.43) 2.4 Calcular la rapidez de difusión del ácido (A) a través de una película de agua, no difusiva, de mm de espesor a 17 cuando las concentraciones en los lados opuestos de la película son, respectivamente, 9 y 3% en peso de La difusividad del acético en la solución es Se aplica la ecuación (2.41). = 0.001 m, = 60.03, = 18.02. A 17 “C, la Por lo tanto densidad de la al es 1 012 =+ 0.0015 0.0288 fracción mol de acético . El del componente en indica la mol A, para distinguirlo de lax que significala distancia en la dirección x.

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 39 = 1 0.0288 = 0.9712 fracción mol de agua = 19.21 1012 = 52.7 19.21En la misma forma, la densidad de la solución 3% es 1 003.2 = 0.0092, =0.9908, = = 54.5. 0.980 = 52.1 54.5 = 53.6 = s Respuesta.Ecuación (2.41): 0.0092) = 1.018 X 0.95 xDifusividad de líquidosLas dimensiones para la difusividad en líquidos son las mismas que para lade gases; Sin embargo, diferencia del caso de los gases,la difusividad varía apreciablemente con la concentración. En la tabla 2.4 se lis-tan unos cuantos datos típicos; se pueden encontrar listados más completosComo no existe una teoría válida completa sobre la estructura de loslíquidos, en ausencia de datos, no pueden hacerse cálculos exactos de ladad, los cuales sí eran posibles respecto a los gases.Para soluciones diluidas de no se recomienda la correlaciónempírica de Wilke y Chang (117.3 xen donde = difusividad de A en una solución diluida en el solvente B, = peso molecular del solvente, kg/mol T = temperatura, K = viscosidad de la solución, .s = volumen mola1 del soluto en el punto de ebullición normal, = 0.0756 para agua como soluto = factor de para el disolvente = 2.26 para el agua como disolvente = 1.9 para el metano1 como disolvente = 1.5 para el etanol como disolvente = 1.0 para disolventes no asociados como benceno y éter etílico.Se deben utilizar las unidades listadas para la (2.44). Para D, y Ten unidades de ft. h,y R con como se lista antes, multipliquese el lado derecho de la (2.44) por

OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASATabla 2.4 Difusividades deSoluto Temp. del soluto Difusividad Disolvente xMetano1 0.12Etanol Agua 16 9 1.26n-Butano1 Agua 0 2 2.7Cloroformo 9 1.8 10 2.5 3.3 0.5 2.5 16 3.5 2.44 5 1.0 1.24 15 0 1.77 10 0 1.46 20 0.05 1.77 18 0.2 1.26 1.0 1.21 Agua 15 3.0 1.24 12.5 5.4 1.36 Agua 0 1.54 Etanol 18.0 1.0 1.28 Etanol 10 0.01 0.82 1.0 0.91 16 3.75 15 0.05 0.50 17 2.0 0.83 20 0 0.90 0 0.77 2.0 3.2 1.25Por D para en agua esEl valor de puede ser el valor verdadero o si es necesario, calculado a partirde los datos de la tabla 2.3, excepto si el agua es el soluto que se difunde, como seantes. El factor de asociación para un disolvente puede calcularse sólocuando se han medido experimentalmente las difusividades en ese disolvente. Sise tiene duda acerca de cierto valor de para calcular se puede utilizar lacorrelación empírica de ScheibelExiste también cierta duda de que la (2.44) sirva para manejar di-solventes de viscosidad muy elevada, digamos 0.1 (100 cp) o más. Sepueden encontrar excelentes trabajos sobre estos temasLa difusividad en soluciones concentradas difieren de la de soluciones di-luidas debido a cambios en la viscosidad con la concentración y también debido acambios en el grado de no idealidad de la

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 4 1 (2.45)en donde = difusividad de A a dilución infinita en B y = difusividad deB a dilución infinita en A. El coeficiente de actividad puede obtenerse, nor-malmente, a partir de los datos de equilibrio vapor-líquido como la relaciónpresiones ordinarias) entre las presiones parciales real a ideal de A en el vapor enequilibrio con un líquido de concentración YA=-=-y la derivada d log log puede obtenerse gráficamente como la pendientede una gráfica de log VS logEn el caso de fuertes disueltos en agua, la rapidez de esla de los iones individuales, que se mueven más rápidamente que las grandes mo-léculas no disociadas, aun cuando los iones cargados positiva y negativamente de-ben moverse con la misma rapidez con el fin de mantener la neutralidad eléctricade la solución. Hay cálculos de estos efectos pero están fuera del área de .de este libro.Ejemplo 2.5 Calcular la difusividad del manitol, en solu-ción diluida en agua a 20 Comparar con el valor observado, A partir de los datos de la tabla 2.3, 0.185 ++Para el agua como disolvente, = 2.26, = 18.02, T = 293 K. Para soluciones diluidas,puede tomarse la viscosidad como la del agua, 0.001005 s. Ecuación (2.44) D AB (117.3 0.001 =Ejemplo 2.6 Calcular la difusividad del manito1 en solución diluida de agua 70 y compararcon el valor observado,SOLUCIÓN A 20 la = observada y = s. . s. La (2.44) in-(Ejemplo 2.5). A 70 la viscosidad del agua esdica que debe ser constante: (0.56 X X 70 + 273 20 + 273 1.62 X a 70

4 2 OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASAAplicaciones de la difusión molecularMientras que el flux relativo a la velocidad molar promedio siempre significatransferir hacia abajo de un gradiente de no siempre sucede lomismo con el flux N. Por ejemplo, considérese la disolución de un cristal de salhidratada como en agua pura a 20 “C. La solución en contactocon la superficie cristalina contiene y a una concentración que co-rresponde a la solubilidad del en o 0.0353 fracción mol de0.9647 fracción mol de agua. Para el la transferencia es desde la superfi-cie cristalina a una concentración de 0.0353; hacia una con 0 fracción deen el líquido total. Pero el agua de cristalización que se disuelve debetransferirse hacia afuera en la relación de 10 moles desde unaconcentración en la superficie cristalina de 0.9647 hasta 1.0 fracción mol en ellíquido total, o transferir hacia arriba de un gradiente de concentración. Así loconfirma la aplicación de la ecuación (2.40).Por supuesto, las expresiones desarrolladas para la rapidez de transferenciade masa en condiciones en que la difusión molecular define el mecanismo de latransferencia de masa (fluidos estancados o en flujo laminar), también son direc-tamente aplicables y por ello muy usados, en medición experimental de lasEn las aplicaciones prácticas de las operaciones de transferencia de masa, losfluidos están siempre en movimiento, aun en los procesos por lotes; por tanto, nohay fluidos estancados. Aunque a veces los fluidos en movimiento están total-mente bajo el de flujo laminar, con más frecuencia el movimiento esturbulento. Si el fluido esta en contacto con una superficie sólida, en donde lavelocidad del fluido es cero, existirá una región predominantemente en flujolaminar adyacente a la superficie. Por tanto, la transferencia de masa debe, porlo común, suceder a través de una región laminar; aquí, la velocidad depende de ladifusión molecular. Cuando dos fluidos inmiscibles en movimiento en con-tacto y hay transferencia de masa entre ellos, puede no existir una región laminar,aun en la interfase entre los fluidos.En situaciones prácticas similares, se acostumbra describir el flux de transfe-rencia de masa en función de los coeficientes de transferencia de masa. Las rela-ciones dadas en este capítulo se utiliza rara vez para determinar la rapidez detransferencia de masa, pero son particularmente útiles para establecer la formade las ecuaciones de rapidez de transferencia coeficientes de transferencia de ma-sa y para calcular los coeficientes de transferencia de masa para el flujo laminar.TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DE EN RÉGIMEN LAMINAREn el flujo de un fluido a través de una fase límite, como la fase a través de la cualocurre la transferencia de masa, existe-un gradiente de velocidad dentro del

MOLECULAR EN FLUIDOSfluido, que tiene como resultado una transferencia de cantidad de movimiento através del fluido, En algunos casos también existe una transferencia de calor envirtud de un gradiente de temperatura. Los procesos de transferencia de masa,cantidad de movimiento y calor, en estas condiciones están intimamente rela-cionados. Es útil considerar brevemente sus relaciones.Transferencia de cantidad de movimientoConsiderese el perfil de velocidad para el caso de un gas que fluye a de unaplaca plana, como en la figura 2.6. Puesto que la velocidad sobre la superficie delsólido es cero, debe existir una capa (la subcapa laminar) adyacente a la superfi-cie, en donde el flujo sea predominantemente laminar. Dentro de esta sepuede imaginar al fluido como formado por capas delgadas que se deslizan unassobre otras a velocidades mayores, a distancias mayores de la placa. La fuerzapor unidad de área paralela a la superficie, o esfuerzo cortante que se requierepara mantener sus velocidades es proporcional al gradiente de velocidad,en donde es la viscosidad; du d z (2.47) aumenta en la dirección hacia la superficie. Esto 0.6 0.4 0.2 0 = hasta la placa, mm et al.:Figura 2.6 de velocidad, flujo de aire a lo largo de una placa plana.44,424

OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASApuede escribirse como P dz (2.48)en donde es la viscosidad cinemática,La viscosidad cinematica tiene las mismas dimensiones que la difusividad, mientras que la cantidad puede considerarse como una con-centración volumétrica de cantidad de movimiento. La cantidad es la rapidezde la transferencia de cantidad de movimiento por unidad de área o flux dedad de movimiento. Por lo tanto, la ecuación (2.48) es una ecuación de rapidez detransferencia a la ecuación (2.1) para el flux de masa. En la transferenciade cantidad de movimiento, efectuada de esta forma, no hay, por supuesto, flujototal de fluido de una capa a otra en la z. Antes bien, las moléculas enuna capa, durante su movimiento al azar, se moverán de una capa que se mueva a una adyacente que se mueve con mas lentitud; de este modo trans-miten una cantidad de movimiento correspondiente a las diferencias de velocidadde las capas. La difusión en la z ocurre de la misma forma. A elevadasconcentraciones moleculares, como en gáses a presiones altas, 0 más aún enlíquidos, el diámetro molecular se vuelve apreciable en comparación con el movi-miento molecular entre choques; puede deducirse entonces que la cantidad demovimiento esta siendo transmitida directamente a través de las mismas molécu-las Imaginese, por ejemplo, varias bolas de billar colocadas en grupo, enestrecho contacto entre sí, encima de una mesa. Una bola en movimiento quechoque con una de las bolas exteriores del grupo, transmitirá muy rápidamente sucantidad de movimiento a una de las bolas en el lado opuesto del grupo y laarrojará fuera de su posición original. Por otra parte, es que la bola enmovimiento se mueva a través del grupo, debido al gran número dechoques que sufre. Por tanto, a concentraciones moleculares altas se pierde el pa-ralelismo entre la difusividad molecular y la difusividad de la cantidad de movi-miento (o viscosidad cinematica): la es un proceso mas lento. Es intere-sante observar que una teoría relativamente simple es la que predice quetanto la difusividad de la masa como la de la cantidad de movimiento están dadaspor la misma expresión,en donde es la velocidad molecular promedio y es la trayectoria libre media dela molécula. El número de que es la adimensional de las dosfusividades, Sc = debe ser, por esta teoría, igual a la unidad. Una teoríacinética más le da valores de 0.67 a los cuales están dentrodel rango encontrado experimentalmente a presiones moderadas. Para mezclasbinarias de gases, el valor de Sc puede aumentar se esperaría, para

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOS 4 5líquidos es más elevado: aproximadamente 297 para la autodifusibn en agua a25 por ejemplo y puede aumentar a miles para líquidos viscosos epara agua con solutos que se difunden muy lentamente.Transferencia de calorCuando existe un gradiente de temperatura entre el fluido y la placa, la rapidez detransferencia de calor en la región laminar de la figura 2.6 es (2.50)en donde es la conductividad térmica del fluido. También puede escribirsecomo (2.51)en donde es el calor específico a presión constante. La cantidad puedeimaginarse como una concentración térmica y = es lasividad térmica, la cual, al igual que las difusividades de cantidad de movimientoy de masa, tiene dimensiones de Por lo tanto, la ecuación(2.51) es una ecuación de rapidez de transferencia análoga a las ecuaciones corres-pondientes para la transferencia de cantidad de movimiento y de masa. En un gas a presión relativamente baja, la energía calorífica se transfiere deuna a otra mediante las moléculas que viajan de una capa a otra que ten-ga menor temperatura. Una teoría cinética sencilla lleva a la expresiónLas ecuaciones (2.49) y (2.52) dan la relación adimensional = igual aUna teoría cinética más avanzada modifica la magnitud de la relación, co-nocida como el número de Prandtl Pr, que se encuentra en elrangq de 0.65 a 0.9 para gases a baja según la complejidad molecular delgas. A concentraciones moleculares elevadas, se modifica el proceso. Así, para lamayoría de los líquidos, Pr es mayor (Pr = 7.02 para agua a 20 por ejemplo).El tercer grupo adimensional que se forma dividiendo la difusividad térmicaentre la de masa, es el número de Lewis, Le = Sc/Pr; juega un papel im-portante en problemas de transferencia simultánea de calor y de masa, como severá posteriormente.Se puede resumir este breve análisis de la similitud entre las transferencias decantidad de movimiento, calor y masa, de la siguiente forma. La consideraciónelemental de los tres procesos lleva a la conclusión de que ciertas situaciones sen-cillas son directamente análogas entre sí. Generalmente, sin embargo, cuando se

OPERACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASAconsidera una transferencia tridimensional en lugar de una unidimensional, elproceso de transferencia de cantidad de movimiento es lo suficientemente distintopara que la analogía desaparezca. Esa sencilla analogía se modifica, porejemplo, cuando la transferencia de masa y la de cantidad de movimiento sucedensimultáneamente. Por tanto, si hubiese una transferencia neta de masa haciala superficie de la figura 2.6, la transferencia de cantidad de movimiento de laecuación (2.48) debería incluir el efecto de la difusión neta. En la misma forma,la transferencia de masa debe, inevitablemente, modificar el perfil de velocidad.No obstante, aun las limitadas analogías que existen pueden ser de importanteutilidad practica.NOTACIÓN PARA EL CAPÍTULO 2Pueden utilizarse las unidades adaptables a cualquier sistema, excepto en las ecuaciones (2.37). (2.39)Yc capacidad calorífica a presión constante, capacidad calorífica a volumen constante,d operador diferencialD difusividad, difusividad para un soluto a dilución infinita, función factor de flux de difusión relativo a la velocidad molar promedio,k conductividadk constante de Boltzmann, logaritmo naturalLe número de Lewis = adimensional peso molecular, número de moles, adimensional flux molar relativo a una superficie fija,P presión de vapor, presión parcial,P t presión total,Pr número de Prandtl = adimensional4 flux de calor, separación molecular en el choque, nm constante universal de los gases, T rapidez de producción del componente i,Sc numero de Schmidt = adimensionalT temperatura absoluta, T punto de ebullición normal, K velocidad lineal,V volumen molar líquido,V volumen,i v velocidad molar promedio, (sin subíndice) distancia en la x, L concentración en fracción mol del componente i en un líquidoY (sin subíndice) distancia en la L

MOLECULAR EN FLUIDOS 47 concentración en fracción del componente en un gas concentración en fracción mol del componente en ausencia de un soluto que se difunda distancia en la dirección L difusividad térmica, coeficiente de actividad, adimensionala operador diferencial parcialA diferencia energia de la molecular, tiempo trayectoria libre media de una L viscosidad, viscosidad cinemática o difusividad de la cantidad de movimiento =P densidad, esfuerzo cortante, factor de disociación para un disolvente, adimensional .A componenteB componente componente i el último de los componentesm efectivoM mediaX en la dirección xY en y en la z principio de la trayectoria de difusión2 final de la trayectoria deREFERENCIAS1. Bird, R. B., W. E. Stewart y E. N. Lightfoot: Transport Phenomena; Wiley; Nueva York; 1960.2. Bosworth, R. C. L.: Physics the Macmillan; Londres; 1950.3. S. y T. G. Cowling: Mathematical Theory of Non-uniform Gases; Cambridgesity Cambridge, 1939.4. Ertl, H., R. K. Ghai y F. A. L. Dullien: 19, 881 (1973); 20, l(1974).5. Gainer, J. L. y A. B. Metzner: “Transport Phenomena”; Symp. Ser. 6, p. 74; 1965.6. R. K., H. Ertl y F. A. Dullien: Documento 02172; National Auxiliary Publications Service;Microfiche Publications; Nueva York; 1973.7. E. R.: Znd. Eng. Chem., 26 681 (1934).8. Harned, H. S. y B. B. Owen: The Physical Chemistry of Electrolytic 3a. ed.;Reinhold; Nueva York; 1958.9. Hayduck, W. y H. Laudie: 20, 611 (1974).10. Himmelblau, P. M.: Chem. Rev., 64, 527 (1964).ll. Hirschfelder, J. O., R. B. Bird y E. L. Spotz: Trans. 71,921 (1949): Chem. Rev., 44,205(1949).12. Hirschfelder, J. O., C. F. Curtis y R. B. Bird: Molecular Theory of Gases and Wiley;Nueva York, (1954).

OPERACIONES DE DE MASA13. Hiss, T. E. L. Cussler: AZChE J., 19, 698 (1973).14. Znternational vol. V; Nueva York; 1929.15. Johnson, P. A. y A. L. Babb: Chem. Rev., 56, 387 (1956).16. Leffler, J. y H. T. Znd. Eng. Chem. Fundamentals, 9, 84 (1970).17. T. R. y E. A. Mason: J. Phys. and Chem. Ref. Data, 1, 3 (1972).18. Perry, R. H. y C. H. eds.: The Chemical Handbook; ed.; 3-222-3-225; Nueva York; 1973.19. R. C., J. M Prausnitz y T. K. Sherwood: The Properties of Gases and Liquids; 3a. ed.; Nueva York; 1977.20. Scheibel, E. G.: Znd. Eng. Chem., 46, 2007 (1954).21. Shain, S. S.: AZChE J., 7, 17 (1961).22. Stuel, L. 1. y Thodos: AZChE J., 10, 226 (1964).23. Wilke, C. R.: Chem. Eng. Progr., 45, 218 (1949).24. Wilke, C. R. y P. Chang: AZChE J., 1, 264 (1955).25. Wilke, C. R. y C. Y. Lee: Znd. Eng. Chem., 47, 1253 (1955).26. Wintergeist, E.: Ann. 4, 323 (1930).27. Wood, J. C., E. R. Whittermore y W. L. Badger: Chem. Met. Eng.. 27, 1176 (1922).PROBLEMAS2.1 En una mezcla gaseosa de oxigeno-nitrógeno a atm., 25 las concentraciones del oxigenoen dos planos separados 2 mm son 10 y 20% en vol., respectivamente. Calcular el flux de difu-sión del para el caso en que:a) El nitrógeno no se esta difundiendo.Respuesta: . s.b) Existe una contradifusión equimolar de los dos gases.2.2 Repita los del problema 2.1 para una presión total de 1 0002.3 Calcule las difusividades de las siguientes mezclas gaseosas: +a) Acetona-aire, 1 atm., 0 “C.Respuesta: de carbono, 1 atm., 25 “C. b)c) Cloruro de hidrógeno-aire, 200 25Respuesta: Valor informado [Gilliland: Znd. Eng. Chem., 681 d) Tolueno-aire, 1 atm., 30 = 0.088e) Anilina-aire, 1 atm., 0 “C. Valor observado = 0.0610 (Gilliland, cit.). a 1 atm. std.,2.4 Se informa que la difusividad del dióxido de carbono en helio es [Seager,3.2 “C. Calcule la difusividad a 1 atm., 225 “C. Valor informado =Geertson y Giddings: J. Eng. Data, 8, 1682.5 Se está difundiendo amoniaco a través de una mezcla gaseosa estancada que consta de un terciode y dos tercios de hidrógeno en volumen. La total es 30 (206.8 y la temperatura 130 (54 Calcule la rapidez de difusión del amoniaco a travésde una película de gas de 0.5 mm de espesor cuando el cambio en la a través de lapelícula es de 10 a 5% de amoniaco en volumen.Respuesta: . s.2.6 Calcule las siguientes difusividades líquidas:a) Alcohol etílico en acuosa diluida, 10 “C.

DIFUSIÓN MOLECULAR EN FLUIDOSTetracloruro de carbono en diluida en alcohol metílico, 15 [valor observado=Respuesta:2.7 Según se informa en Crit. la difusividad del bromoformo en diluidaen acetona a 25 es Calcule la difusividad del benzoico en solucióndiluida en acetona a 25 “C. Valor informado [Chang y Wilke, Phys. Chem., 59, 592= 2.62Respuesta:2.8 Calcule la rapidez de difusión de a 18 a de una película de agua estancada de 1mm de espesor, cuando las concentraciones son 20 y respectivamente, en cada lado de lapelícula.Respuesta: . s.2.9 A 1 atm, 100 “C, la densidad del aire es = 0.9482 la viscosidad es =. s; conductividad térmica = 0.0317 . K, y el calor específico a presión constante= 1.047 . K. A 25 “C, la viscosidad = . s.Calcular la viscosidad cinemática a 100b) Calcular la difusividad térmica a 100c) Calcular el número de Prandtl a 100Suponiendo que para el aire a 1 atm, Pr = Sc y que Sc = constante al cambiar la tempera-tura, calcular para el aire a 25 “C. Comparar con el valor de D para el sistema a1 atm std, 25 (tabla 2.1).2.10 Se fraccionando amoniaco sobre un catalizador sólido de con la reacción: +En cierta zona del aparato, en donde la es 1 atm y la temperatura es 200 “C, eldel gas es 33.33% (A), 16.67% (B) y 50.00% (C) en volumen. Las condiciones sonque el se difunde desde la corriente del gas hasta la superficie del catalizador;los productos de la se difunden en sentido contrario, como si hubiese difusiónmolecular a través de una película gaseosa de 1 mm de espesor bajo régimen laminar. Calcularla rapidez local de fraccionamiento, kg de superficie del catalizador s, rapidez que sepresentaría si la reaccibn es controlada por difusibn (velocidad de muy rápi-da) con la concentración de NH, sobre la superficie del catalizador igual a cero.Respuesta: 0.0138 s.2.11 Un cristal de sulfato de cobre, cae en un tanque grande de agua pura aCalcule la rapidez con la cual se disuelve el cristal y calcule el flux de de la superficie delcristal hacia la solución. lo mismo, pero ahora calcúlese el flux del agua. y supo-siciones: La molecular sucede a través de una película de agua uniforme, de 0.0305mm de espesor, que rodea al cristal. En la parte interna de la película, adyacente a la superficiedel cristal, la concentración del sulfato de cobre es su valor de solubilidad, 0.0229 fracción molde (densidad de la solución = 1 193 La superficie externa de la es aguapura. La difusividad del es