บทที่ 4 การใช้ไบนารีลอจิกเกต และ KnaughMap

บทท่ี 4 การใชไบนารีลอจิกเกตวตั ถปุ ระสงค หลงั จากไดศ กึ ษาในบทที่ 4 นีแ้ ลว จะสามารถ 1. เขียนวงจรลอจิกจาก Boolean expression ตา ง ๆ ได 2. ออกแบบวงจรลอจกิ จากตารางความจริงโดยใช Boolean expression ชว ยยุบละเขียนวงจรดว ย AND-OR ลอจิก 3. ลดความซาํ้ ซอ นของ Boolean expression โดยใช NAND เกตแทนได 4. แกไ ขปญหาลอจิกโดยใชต วั เลือกขอมูลได 5. แกไขปญ หาลอจกิ โดยใชต ัวเลือกขอ มูลได ในบทที่ 3 เราไดรจู ักสญั ลกั ษณ ตารางความจรงิ และ Boolean expression ของไบนารลี อจิกเกตมาแลว เกตตาง ๆ นั้น สามารถนาํ มาสรางวงจรดิจติ อลไดทุกวงจร ในบทท่ี 4 น้ี จะไดเรียนรูวาสัญลกั ษณ ตารางความจริงและ Boolean expression สามารถนาํ มาแกปญ หาในงานอเิ ลก็ ทรอนิกสไดจรงิ เราจะตอเกตโดยใชวงจรลอจกิ เชงิ จัดหมู (combinational logic circuits) และเกตตา ง ๆ รวมทงั้ ตวั อินเวอรเตอรในการแกปญหาทางลอจิก ละใช “tools of the trade” ในการแกปญหาทางลอจิกถาหากตอ งการทราบสัญลักษณข องเกต ตารางความจริง และ Boolean expression สามารถอางไดใ นบทสรุปของบทท่ี 3 ไดแ กร ูปที่ 3.51 ซง่ึ ไดส รุปลอจกิ เกตทส่ี ําคัญๆท่ีตอ งใชไวแลว ผูท ่อี ยูในงานดจิ ิตอลอิเล็กทรอนกิ สจะตองสามารถจัดหมเู กตได วงจรเชงิ จัดหมสู ามารถใชก บั ไอซไี ดท้งั แบบ TTL หรอื CMOS4.1 โครงสรา งของวงจรจาก Boolean expression เราใช Boolean expression ในการสรางวงจรลอจิกได สมมตวิ าเรามี Boolean expressionA+B+C =Y (อานวา “A or B or C เทากบั เอาตพุต Y ”) และสรางวงจรขนึ้ มา โดยใชฟ ง กช ั่นลอจิก ซึง่จะพบวาอินพุตทัง้ 3 อนิ พตุ นนั้ จะเขาสู OR เกต และไดเ อาตพ ุตเปน Y ซึ่งแสดงไดด ังรปู ท่ี 4.1 รปู ที่ 4.1 แสดงภาพของลอจิกไดอะแกรม จากสมการบลู ิน A+B+C = Y สมมติวา เรามี Boolean expression เปน ( A B + AB + B C = Y ) (อา นวา not A and Bor A and B or not B and C เทากับเอาตพุต Y) ขน้ั ตอนแรกเราจะรูท นั ทเี ลยวา โครงสรา งของวงจรจะตองเปน OR เกต 3 อินพุตโดยแตล ะอนิ พตุ คอื A B B A B C ดงั รปู ที่ 4.2 a) ซึง่ แสดง เกต 3อินพตุ เอาตพ ุตท่ไี ดจ ะเปน Y และเขยี นใหมไดดงั รูปที่ 4.2 b) 73

รปู ท่ี 4.2 แสดงขั้นที่ 1 ของโครงสรา งวงจรลอจิก ขัน้ ตอนตอ ไปเขียนวงจรดจิ ติ อลทง้ั หมดของ Boolean expression ( A B + AB + B C = Y )โดยรูป 4.3 b) จะแสดงเหน็ วา อินพตุ ทเี่ ปน B C จะสรา งจาก AND เกต 2 ระหวา งอนิ พุต C กับอนิ พตุB ทผี่ านมาจากอนิ เวอรเตอรแ ลว สว นรูปที่ 4.3 b) จะเพม่ิ AND เกต 3 ซง่ึ แจะเปนสวนของ ABเอาตพ ตุ ที่ได จะเปน อินพุตของ OR เกต สว นรปู ท่ี 4.3 c) จะเพม่ิ AND เกต 4 และอนิ เวอรเ ตอร 6 เขาไป เพ่ือใหเปน A B และเปน อนิ พตุ ของแอนดเกตตอไป นีค่ อื โครงสรางของวงจรทงั้ หมดโดยสรางจากBoolean expression ( A B + AB + B C = Y ) รปู ที่ 4.3 แสดงข้ันตอนท่ี 2 ของโครงสรา งวงจรลอจกิ 74

จะเห็นวาในการสรางวงจร เราจะเรมิ่ พิจรณาวงจรจากเอาตพตุ กอ น แลวเขยี นวงจรออกมาจากนั้นจึงคอย ๆ มองไปทางอินพตุ จะเหน็ วา วงจรลอจกิ เชงิ จดั หมูสามารถสรางจาก Booleanexpression ได Boolean expression ที่พบตอไปสองรปู แบบคือ แบบ sum-of-product ซึง่ แสดงไดในรูปท่ี 4.2 หรืออีกตัวอยา งหนึ่ง เชน สมการ (AB)+(B.C) = Y สําหรบั Boolean expression อกี แบบหน่ึง คือ product-of-sums เรยี กวา Maxterm form เชน สมการ (A+B)(B+C) = Yโจทยทดสอบ จงตอบคําถามตอ ไปน้ี1. จงขียนโครงสรา งของวงจรดิจติ อลโดยใช AND OR NOT เกต จาด Boolean expressionตอไปน้ี a) (A + B)(A + B) = Y ) b) (A + B)(C + B)(B + D) = Y )2. minterm Boolean expression ใชเ รียกรูปแบบ.............................................3. maxterm Boolean expression ใชเ รยี กรปู แบบ.............................................4.2 การเขียนวงจรจาก maxterm Boolean expression สมมตวิ าเรามี maxterm Boolean expression (A + B + C)(A + B ) = Y ) ถาหากเขียนวงจรดจิ ิตอลขน้ั แรกมองเปน AND เกต 2 อินพตุ โดยอนิ พตุ แตล ะคาคือ (A + B + C) และ (A + B )โดยเอาตพุตทีไ่ ดคือ Y ดังแสดงดงั รปู ที่ 4.4 a) หรือเขียนใหมไ ดด งั รูป 4.4 b) รปู ท่ี 4.4 แสดงข้ันตอนท่ี 1 ของโครงสรางแบบ product-of-SUM ข้นั ตอนตอ ไปเขยี นวงจรดงั รูปที่ 4.5 โดยเทอม (A + B ) จะนาํ มาจาก OR เกต2 และอนิ เวอรเตอร 3 และ 4ดังแสดงในรูป 4.5 a) สาํ หรบั เทอม (A+B+C) ทีจ่ ะเปน อินพุตหนง่ึ ของ AND เกตจะนาํ มาจากเอาตพ ุตของ OR เกต5 ดังรปู ที่ 4.5 b) จะเปน วงจรท่เี ขยี นจาก maxterm Booleanexpression (A + B + C)(A + B ) = Y 75

รูปที่ 4.5 แสดงข้ันตอนท่ี 2 ของโครงสรา งแบบ product-of-SUM สรปุ ไดวาถา หากเราตอ งการแปลง Boolean expression เปนวงจรดจิ ติ อลหําจากขวาไปซา ย(เอาตพตุ ไปอนิ พตุ ) โดยใชเ กตพ้ืนฐานตางๆ ไดแ ก AND OR และ NOT เกต รวมกับวิธกี ารจัดหมขู องวงจรลอจิกซึง่ จะพบวา ทั้ง maxterm และ minterm Boolean expression สามารถเขียนเปนวงจรลอจิกได โดย minterm expression จะสรา งจากวงจร AND-ORลอจิก ดังรปู 4.3 c) สําหรับmaxterm expression สรา งจากวงจร AND-ORลอจิก ดงั รปู 4.5 b) จะเห็นวา เราสามารถพิสจู น minterm และ maxterm Boolean expression แล แปลงBoolean expression เปน วงจรดจิ ติ อลเชงิ จดั หมูท่สี รางจาก AND OR และ NOT เกตไดโจทยท ดสอบ จงตอบคําถามตอ ไปน้ี 4. จงเขียนลอจกิ โดยใช AND OR และ NOT เกตจาก Boolean expression ตอ ไปน้ี A. (A + B)(A + B ) = Y B. (A + B)(C) = Y C. (A + B)(C + D )(A + C ) = Y 5.จากคาํ ถามขอ 4 Boolean expression คอื ........... (maxterm minterm) 6. จากคาํ ถามขอ 4 Boolean expression เปน รปู แบบ........ (products-of-sums ,sums-of-products) 7. Maxterm Boolean expression จะสรา งโดยใชว งจรลอจกิ ............... (AND-OR,OR-AND) 76

4.3 ตารางความจริง และ Boolean expression พีชคณิตบลู นี สามารถนาํ มาเขยี นในรูปวงจรลอจิกได ตารางความจริงกเ็ ปนอีกวิธีหนง่ึ ท่นี าํ มาเขยี นเปนวงจรลอจิกได การออกแบบวงจรในงานอเิ ล็กทรอนกิ สจ ะแปลงตารางความจรงิ เปน Booleanexpression พจิ ารณาตารางความจรงิ จากรปู ที่ 4.6 a) จะพบวามี 2 กรณที ีแ่ ปลงจาก 3 ทอี่ ินพตุ A,B และ Cท่ีทําใหเกิดเอาตพตุ เปน ลอจิก “1” ซึ่งไดแ ก (CBA) และ (CBA) รูปที่ 4.6 แสดงรูปแบบของสมการบูลีน ที่ไดม าจากตารงความจริง ในรูปที่ 4.6 b) เปนการแสดงการจัดหมเู ขาดว ยกนั โดยใชวิธีการ OR จาก Truth table รปู ท่ี4.6 a) และ Boolean expression ในรปู ที่ 4.6 b) จะนํามาใชในการสรา งวงรจลอจกิ บางคร้ังเราจะตองแปลง Boolean expression ใหเปนตารางควาจริง กส็ ามารถทําไดพิจารณา Boolean expression ใน จะเห็นวามีสองสว นของคาอินพุต A,B และ C ที่จะทาํ ใหเ อาตพุตเปนลอจิก “1” ในรปู ท่ี 4.7 b) จะเขียนตารางความจริงใชคา A,B และ C คา ตารางตาง ๆ ลงไป สําหรับผลลพั ธของเอาตพ ุตใหใสคาทไ่ี ดจาก Boolean expression ใสคา ”1” ลงไปสําหรบั คาตวั แปรอืน่ ๆใหเปนลอจกิ “0” ทง้ั หมดท้ัง Boolean expression ในรูปที่ 4.7 a) และตารางความจรงิ ในรูปที่ 4.7 b)สามารถนาํ มากําหนดแบบของวงจรลอจิกได 77

รปู ท่ี 4.7 แสดงการเขียนตารางความจริงจากสมการบูลีน สมมติวาเรามี Boolean expression ดงั แสดงในรปู ที่ 4.8 a) ขัน้ แรกถา พิจารณาดูจะพบวา มี 2อินพุตทีจ่ ะใหล อจกิ “1” จากนั้นเขียนตา ง ๆ ลงในตารางความจริง เทอมทมี่ อี ยใู น Boolean expressionA.B+A.B.C = Y จะเห็นเทอมท่ไี ดคาลอจกิ “1” ซงึ่ มอี ยูดว ยกัน 3 คา ตรงนต้ี องระมัดระวัง โดยเทอมC.A จะให 2 คา คอื คา B เปน “0” และ B เปน “1” ซึ่งอธบิ ายไดในรปู ที่ 4.8 สว นเทอมอ่นื ๆ จะเปน“0” ทง้ั หมด ดังน้นั Boolean expression ในรูปท่ี 4.8 a) สามารถเขยี นเปนตารางความจริงได ในรูปท่ี 4.8 b) ซ่งึ สามารถนาํ ไปเขียนลอจิกไดเ ชนกัน รูปที่ 4.8 แสดงการเขยี นตารางความจรงิ จากสมการบลู นี ถงึ ตรงนี้เราไดร ูวธิ ีแปลงตารางความจริงเปน Boolean expression และแปลง Booleanexpression เปน ตารางความจรงิ แลว 78

โจทยทดสอบ จงตอบคําถามตอไปน้ี 8. จากรูป 4.6 a) สมมตวิ า 2 บรรทัดสุดทายของตารางความจริง มีเอาตพตุ เปน “1” (นอกนัน้ เปน “0” ทัง้ หมด) sums-of-products Boolean expression 9. จากรูป 4.6 b) ถา Boolean expression (CBA ) + (CB A) = Y ตารางความจรงิ จะมี เอาตพตุ เปน High ใน 2 บรรทัดใด 10. จงเขียนตารางความจรงิ สําหรับ Boolean expression (CBA ) + (CB A) = Y4.4 โจทยต ัวอยาง ในหัวขอที่ 4.1 ถึง 4.3 ควรจะตองฝกใหชาํ นาญถาหากจะทํางานดา นดิจิตอลอิเล็กทรอนิกสตวั อยา งตอไปนีจ้ ะเปน การแปลงจากตารางความจริง เปน Boolean expression และแปลงเปนวงจรดจิ ติ อล ดงั แสดงในรูปที่ 4.9 รปู ที่ 4.9 แสดสงถึงระบบอเิ ล็กทรอนิกสล็อก (Electronics Lock) a) สมการบูลีน b) วงจรลอจิก สมมติวาเราจะออกแบบระบบ electronic lock อยา งงา ย (คลา ยๆ กับการกดรหัสตวั เลขจากกระเปา เดนิ ทาง) ระบบ lock น้ี จะเปด lock ไดก ต็ อเมื่อมีการกดสวิตซ 3 ตัวอยา งเหมาะสม โดยถาใหเอาตพ ตุ เปน “1” ระบบ lock จะเปด ถาเราออกแบบใหการกดสวิตชเปนลกั ษณะตารางความจรงิ ในรปู 79

ท่ี 4.9 a) โดยมรี หสั เปดสองคา จะเหน็ วา ระบบ lock จะเปดได ก็ตอ เมอื่ อินพุตจากสวิตช A BและC ใหเอาตพตุ ออกมาเปน “1” ในรูป 4.9 b) จะเขยี น minterm Boolean expression ของวงจรระบบelectronic lock ที่เราออกแบบจากตารางความจริง สาํ หรับวงจรลอจกิ จะแสดงไดในรปู ท่ี 4.9 c) ซึ่งเขียนออกาจาก Boolean expression จากตัวอยางของระบบในรูปที่ 4.9 น้ี จะเห็นวาเราสามารถแปลงตารางความจรงิ ใหเ ปนBoolean expression และแปลงตอไปใหเ ปน วงจรทางลอจิกได ซงึ่ จะพบวา ถา เราตอ งการการออกแบบอะไรสกั อยาง สามารถแกปญ หาได โดยการเขยี นในลกั ษณะตารางความจริงออกมากอนจากนนั้ จงึ สรางเปนวงจรลอจกิ ไดโจทยทดสอบ จงตอบคําถามตอไปน้ี 11. จงใชตารางความจริงของระบบ electronic lock เขียน minterm Boolean expression จาก ตารางความจริงน้ี รูปท่ี 10 12. จากโจทยในขอ 11 ถาหากวงจรลอจิกจาก Boolean expression ของระบบ electronic lock จะเขยี นไดอยางไร4.5 การลดความซา้ํ ซอน (Simplifying) เพ่อื ทําสมการบลู นี ใหอ ยใู นรปู ท่ีงายและประหยัด วงจรดจิ ติ อลหากวงจรมีความซํา้ ซอนและใชเกตเปนจาํ นวนมาก จะทาํ ใหไ มประหยดั จะตอ งนําสทการบูลนี นัน้ มาลดรูป ใหไ ดสมการอยูในรูปแบบท่งี ายกอนทจี่ ะนําไปสรางเปน วงจรตอไป พจิ ารณาBoolean expression (A B) + (AB ) + (AB) = Y ในรูปท่ี 4.10 a) ถาเรานําไปเขยี นเปนวงจรลจิกจะตองใช AND เกต 3 ตวั อนิ เวอรเตอร 2 ตวั และ OR เกต 3 อินพุตอกี 1 ตัว ซงึ่ แสดงไดดังรปู ที่ 4.11b) หากนําBoolean expression ในรปู ที่ 4.11 a) และวงจรลอจิกในรปู 4.11 b) ถา นํามาเขียนเปนตารางความจริง จะไดดงั รูป 4.11 c) ซ่ึงจะพบวาตารางความจริงนี้ สอดคลองกบั ตารางความจรงิ ของ OR เกต 80

2 อินพุต ดงั น้ัน Boolean expression (A B) + (AB ) + (AB) = Y จะสอดคลอ งกบั Booleanexpression ของ OR เกต 2 อินพตุ ดังแสดงในรปู 4.10 d) นนั้ หมายความวา วงจรลอจกิ ในรูป 4.11 b)สามารถเขยี นแทนไดดว ย OR เกต 2 อนิ พุตตัวเดียว ดงั รปู ที่ 4.11 e) จากตัวอยางในรปู ท่ี 4.10 จะแสดงใหเปนวา Boolean expression ของด้งั เดิม สามารถทาํ ใหดูงา ยขน้ึ หรอื ยุบลงได ถาเรานํา Boolean expression มาสรางเปนวงจรดิจิตอล การยบุ ใหเลก็ ลง จะทาํใหเ ปน การประหยดั ในการใชเกต ซ่ึงจะทาํ ใหว งจรดจิ ิตอลที่เราออกแบบขน้ึ มีราคาไมแ พง วิธที ี่ใชยุบBoolean expression ใหดงู ายขึ้น ท่ีนิยมใชม ีสองวธิ ี คือ ใชพ ชี คณติ บูลีน (Boolean algebra) และใชKnaugh mapping พชี คณติ บลู นี เกดิ ข้นึ จาก George Boole (1815-1864) ตอมาถกู ดัดแปลงใหเหมาะสมกบั งานทางดา นดิจิตอลในป 1930 การใชพ ชี คณิตบลู นี จะเปนพนื้ ฐานในการทําวงจรใหดงู า ยขนึ้ แตจะใชเวลานานกวาการใช Knaugh mapping ในทนี่ ้จี ะไมกลาวถงึ การใชพ ีชคณิตบูลนี แตจะกลาวถึงวิธีKnaugh mapping ตงั้ แตหวั ขอท่ี 4.6 ถึง 4.10 รปู ท่ี 4.11 แสดงการทําสมการบลู ีนใหอยูในรูปแบบงา ย 81

โจทยท ดสอบ จงตอบคําถามตอ ไปนี้ 13. วงจรลอจกิ ในรปู ที่ 4.11 b) และ e) ผลลพั ธที่ไดจะ..............................(different identical)กยั ตารางความจรงิ 14. สมการบลู ีนสามารถทําใหอ ยใู นรปู งายไดโดยใช. ..............algebra หรอื ................mapping4.6 Karnaugh maps ในป 1953 Maurice Karnaugh ไดอ ธบิ ายการลดรูปสมการบูลีน โดยใชวธิ แี ผนผงั Knaughmap (ในทนี่ ีจ้ ะขอเรียกวา K map) ซง่ึ จะทาํ การแกสมการบลู นี ทาํ ไดง า ยและเร็วข้ึน โดยแผนผัง K Mapนี้ จะประกอบดวยชองตาราง ท่สี ามารถแทนคาของอินพุททุกคา ของสมการทจ่ี ะเปน ไปได ถาใชสมการบูลีน 2 ตัวแปรจะเขียนไดเ ปนตารางแบบ 4 ชอ ง ถา ใชส มการบูลีน 3 ตัวแปรจะเขยี นไดเ ปน ตารางแบบ 8ชอง ถา ใชสมการบูลีน 4 ตวั แปร จะเขยี นไดเปนตารางแบบ 16 ชอง พิจารณารูปที่ 4.12 จากตารางความจริงเอาตพตุ Y ทีเ่ กดิ จากอนิ พตุ A และ B สามารถเขียนเปน K map โดยเขียนเปน สี่เหลย่ี มจัตตุรัส ดังรูปท่ี 4.12 โดยมีชอ งส่ีเหลี่ยม 4 ชองประกอบกนั สาํ หรบั ตัวแปรอนิ พุตสองตวั A และ B ชอ งสี่เหล่ยี มแรก จะเปนของตัวแปร A B ชอ งส่ีเหลี่ยมท่ีสอง จะเปน ของตัวแปร A B ตามลําดบั รปู ที่ 4.12 แสดงถึงความหมายของชองตางใน Knaughmap รปู ที่ 4.13 แสดงการเขียนลอจกิ 1 ลงใน Knaughmap 82

สําหรับปญ หาโจทย ในรปู ท่ี 4.11 เริ่มแรกเรามี Boolean expression เปน(A B) + (AB ) + (AB) = Y ซ่งึ เขยี นได ดังรปู ที่ 4.13 a) จากนั้นเขียนเทอมท่ีเปน 1 ลงไปใน K mapโดยคา ในตารางความจรงิ จะตรงกับคาใน K map ซึง่ เขียนไดดงั รปู ที่ 4.13 b) สาํ หรับการแกสมการเอาตพุตใหเปน สมการท่งี า ยขึ้น จะทําไดโ ดยการรวมเทอมที่เปน 1 เรียกวา การสรา งลูป (looping) ในรปู ท่ี 4.14 จะเปนการสรางลปู โดยรวมชอ งท่ี 1 จํานวนสองชอ งตดิ ตอกนั เรียกวากลุมสอง (groups oftwo) โดยวธิ ีการสรางลปู ท่พี บมากมี 3 ประเภท คือ การสรา งลปู แบบกลมุ 2 การสรา งลูปแบบกลุม 4และการสรางลปู แบบกลุม 8 โดยนํา “1” จาํ นวน 8 ตวั ท่ีอยตู ิดกันมารวมกัน รปู ที่ 4.14 แสดงการทํารวมชองทีเ่ ปน 1 เขา ดวยกันใน Knaughmap รูปที่ 4.15 แสดงการลดรูปตัวแปรสมการบูลีนจาก Knaughmap จากรปู ที่ 4.13 พจิ ารณาลปู ท่ี 2 จะเหน็ วา ในแตละลปู จะเขียนในเทอมของ OR เกตได และในเทอมน้ัน จะกําจดั ตัวแปรได 1 ตัว พิจารณารูปที่ 4.15 ซึ่งจะเขยี นผลลัพธท ่ไี ดแ ตล ะลูป ออกมาจากนน้ันํามา OR กันกจ็ ะไดส มการเอาตพ ุต ในลปู นอนของรปู ท่ี 4.15 จะไดผลลัพธอ อกมาเปน A เนือ่ งจากถานาํ แตล ะชองมาเขยี นเปน สมการบูลนี เทอม B และ B สามารถกาํ จัด (eliminated) ออกไปไดด วยพีชคณติ บลู นี จะเหลอื เพยง A สาํ หรับ ลูปนอน A และ A สามารถจาํ กัดออกไปไดเ ชน กนั จะเหลือเพียง B สําหรับลปู ตั้ง เมอื่ นําสองลูปมา OR กนั จะไดส มการเอาตพตุ เปน A + B = Y จะเหน็ วาBoolean expression ที่ไดจะอยูในรูปงายขึน้ สรปุ ลวขัน้ ตอนในการยุบสมการบูลีนใหอยใู นรปู งายมี 6ขน้ั ตอน คอื a. เรม่ิ ตน เขียนสมการบลู ีนแบบ minterm b. เขยี นคา ที่เปน 1 ลงบน K map c. สรา งลปู เทอมท่เี ปน 1 (ลูป 2 ลปู 4 หรือลูป 8) d. ยบุ ตวั แปรในแตละลูป โดยตวั แปรทม่ี ี complement จะถูกยบุ ไป e. ทาํ การ OR เทอมที่เหลอื อยู (หนง่ึ เทอมตอหน่งึ ลูป) f. เขยี น minterm ของสมการบูลีน 83

โจทยท ดสอบ จงตอบคําถามตอไปนี้ 15. ใครเปนผูท่พี ัฒนาแผนภาพในรปู ที่ 4.13 16. จงเขยี นขั้นตอนตางๆ หกข้นั ตอนในการทาํ สมการบลู นี ใหอยใู นรูปงาย โดยใชแผนผัง K-map รูปท่ี 4.16 แสดงการลดรูปตวั แปรสมการบูลีนจาก Knaughmap (a) กอ นการลดรูปสมการบลู นี (b) เขยี นเลข 1 ลงใน Map (c) รวมชองที่เปน 1 เขาดว ยกัน (d) ไดส มการบลู นี ทีล่ ดรูปแลว4.7 แผนผัง Karnaugh maps แบบ 3 ตวั แปร สมการบูลีนแบบ 3 ตวั แปร หากเราเขยี นเปน Knaugh Map จะไดแผนผังขนาด 8 ชอ งพิจารณาจากสมการบูลีน (AB C) + (AB C) + (AB C)(ABC ) = Y ซ่งึ เขยี นไวใ นรปู 4.16 a) ในการเขยี น K-map ของสมการตวั แปร จะเขยี นไดดงั รปู ที่ 4.16 b) ซ่ึงจะไดช องสเ่ี หล่ยี มท้งั หมดจํานวน 8 ชอ งสาํ หรบั ตัวแปร A B และ C จากน้นั เขียนเลข 1 ของเทอมทเ่ี ปน ลอจกิ “1” ลงในแผนผงั ซ่งึ มที ัง้ หมด 4เทอม สงั เกตเหน็ ไดว า จะมี 1 สองตัวตดิ กันอยู 2 คู ใหขียนลปู แบบลูปสองลูปลงไป จะไดดังรปู 4.16c) ในลปู ต้ังสามารถยุบ B และ B ได ซึง่ เหลือ A และ C จะไดเ ปนเทอม สําหรับลูปบนสดุ เทอม C 84

และ C สามารถยุบได ซ่งึ จะเหลอื เทอม AB จากน้ันนาํ แตละเทอมมา OR กัน จะไดส มการบูลีนดงั รปูท่ี 4.16 d) คอื (A C) + (A B ) = Y จากรูปท่ี 4.16 สงั เกตการเขยี นเทอมตาง ๆ จากบนลงลางจะเห็นวา แตละเทอมในแตละชองจะมีตัวแปรตา งกนั อยูห น่งึ ตวั แปร โดยเร่ิมจาก (A B ) ชอ งถดั มาจะเปน (A B) เปลย่ี น (B ) เปน (B)จากนัน้ จะถกู เปล่ียนเปน AB ในชองถดั ลงมาซง่ึ จะเปลี่ยนA เปน A ตอมาจะเปล่ียน AB เปน AB ในชอ งถัดลงมาโดยตวั แปรB จะถูกเปล่ยี นเปน การเขียนเทอมตา งๆ ใน K map จะตอ งเขยี นใหถ ูกผิดจะทําใหคาํ ตอบท่ีออกมาผิดโจทยท ดสอบ จงตอบคําถามตอไปนี้17. จากสมการบูลีน (AB C) + (A BC) + (AB C) + (AB C) = Y จงทาํ ตอไปนี้ เขยี นเทอมทเี่ ปน 1 ลงในแผนผัง แบบสามตัวแปร เขยี นลปู ของ 1 แบบกลมุ สองหรอื ส่ี ลดรูปตัวแปรในลูปนนั้ เขยี นสมการบูลีนที่อยูรูปงาย18. จากสมการบูลีน (A BC) + (A BC) + (AB C) + (AB C) + (ABC) = Y จงทําตอไปนี้ เขียนเทอมท่เี ปน 1 ลงในแผนผงั แบบสามตวั แปร เขยี นลูปของ 1 แบบกลมุ สองหรอื สี่ ลดรปู ตวั แปรในลูปนัน้ เขียนสมการบลู นี ท่ีอยรู ูปงาย4.8 Karnaugh Maps แบบ 4 ตวั แปร ตารางความจรงิ ของสมการบูลีนแบบ 4 ตัวแปร จะมีคาเปนไปได 16 คา เราสามารถลดรูปสมการบูลนี แบบ 4 ตัวแปรโดยใชแผนผงั เชนกัน แผนผงั karnaugh สาํ หรับ 4 ตวั แปรจะมี 16 ชอง หาพิจารณาสมการบลู ีน (AB CD ) + (ABCD) + (A B B D) + (B B CD) + (ABCD) + (AB C D) = Yในรปู ที่ 4.17 a จากนน้ั ใหกรอกตวั เลข 1 ลงไปดังรูป 4.17 b จากนนั้ ใหรวมลูป โดยการรวมชอ งทเี่ ปน 1ในชองทีอ่ ยูติดกนั ตามแนวต้ังหรือแนวนอน จะเห็นวาสมารถทาํ ลูปแบบกลุม 4 และกลมุ 2 ไดอ ยางละหนง่ึ ลปู ดังรูปท่ี 4.17 c โดยลปู ลางเปนแบบกลุม 2 สามารถยุบตัวแปรเปน (D ) และ (D) ออกไปไดจะไดผ ลลัพธเปน (ABC ) สาํ หรับลปู บนจะเปนแบบกลมุ 4 ซึ่งสามารถยบุ ตวั แปรออกไปได 2 ตัว ซึ่งในกรณนี ้สี ามารถยบุ ตัวแปร C และ C ตวั แปร B และ B ออกไปได จะไดผ ลลพั ธเ ปน A D จากนน้ัใหน ําเทอม ABC และ AD มา OR กนั จะไดส มการบลู ีนในรปู แบบงา ยเปน ดงั รูปท่ี 4.17 d คอื( AB C) + ( AD) = Y 85

รูปท่ี 4.17 การลดความซับซอนของพีชคณิตบูลีนขนาด 4 ตัวแปรดวย Karnaugh Map การทาํ สมการบูลีนใหงา ยขน้ึ จากสมการบูลนี แบบสองตัวแปรและส่ีตัวแปร สามารถทําไดโดยวิธสี รางลปู ลงบนแผนผงั ดงั แสดงในรปู ท่ี 4.14 ถึงรปู ท่ี 4.16 ทกี่ ลา วมาโจทยท ดสอบ19. จากสมการบูลนี ตอ ไปนี้ (������������̅ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������̅ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������) + (������������ ∙ ������������� ∙ ������������ ∙ ������������� ) = ������������ จงทาํ ใหอ ยูในรปู งา ยขึ้น โดย ก. เขียนเทอมทเ่ี ปน 1 ลงในแผนผงั แบบส่ตี วั แปร ข. ทาํ ลปู ของ 1 แบบกลมุ สองและกลุมสี่ ค. ลดคา ตัวแปรในแตละลปู ง. เขยี นสมการบลู นี ในรูปงา ย20. จากสมการบูลนี ตอไปน้ี (������������̅ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������̅ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������̅ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ �������������) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ) = ������������ จงทาํ ใหอ ยใู นรูปงายขน้ึ โดย จ. เขยี นเทอมทีเ่ ปน 1 ลงในแผนผงั แบบ 4 ตัวแปร ฉ. ทาํ ลูปของ 1 แบบกลมุ สองและกลมุ สี่ ช. ลดคา ตวั แปรในแตละลปู ซ. เขียนสมการบูลนี ในรูปงา ย 86

4.9 Karnaugh Maps แบบอน่ื ๆ ในหวั ขอท่ีจะกลาวถึง Kanaugh Map แบบตาง ๆ ทอ่ี าจพบไดใ นสมการบูลนี ที่ตอ งการจะลดลูปพิจารณาสมการบลู ีนในรูปท่ี 4.18 a ซ่งึ เปน ฟงชนั่ บลู นี แบบสตี่ ัวแปร สี่เทอมและเมือเขียนสวนท่เี ปน 1ลงไปในแตล ะชอง จะไดดงั รปู ที่ 4.18 b จะเห็นวา สว นท่ีเปน 1 จะอยูทางดานซายสุดและขวาสุด เราจะถอื วา อยูติดกัน หรืออาจกลาวไดวาตาราง Kanaugh Map นนั้ สามารถมวนมาตอกันได โดยเชองทีอ่ ยูตดิ กนั จะมคี า ลอจิกตา งกันอยู 1 คา) ดงั น้นั สมการน้ีสามารถสรา งลูปแบบลูปสไ่ี ด สามารถกาํ จัดตัวแปรตางๆ ได คอื (A) และ (A ) ตัวแปร (C) และ (C) ผลลัพธจ ะเปน สมการที่อยใู นรปู งายคือ (BD) ดงัแสดงในรูป 4.18 c รูปท่ี 4.18 แสดงการลดความซับซอนของนิพจนบ ลู ีน โดยพจิ ารณาชองท่ีมีเลข 1 ที่เปน แนวตัง้ ตดิ กนั สองตวั จํานวนสองคู ในลกั ษณะ 1ติดกัน 4 ตัว อกี ตวั อยา งหน่งึ พิจารณารปู ที่ 4.19 a เทอมท่ีเปน 1 จะอยดู า นบนสุดและลางสุดซึ่งก็ถอื วา อยูตดิ กนั สามารถสรา งลูปเปน ลูปแบบกลุม 4 ได จะไดสมการบูลนี ทีล่ ดรูปแลว เปน (B C) = Y ดังรปู4.19 b โดยสามารถกาํ จดั ตัวแปร (A) และ (A ) ตวั แปร และ กําจดั ตวั แปร (D) และ (D) ออกไปได สําหรับรปู ท่ี 4.20 a เทอมทีเ่ ปน 1 จะอยูท ่มี มุ ทั้งสขี่ องแผนผงั ซง่ึ ก็ถอื วา อยูตดิ กนั สามารถสรางลปู แบบกลุม 4 ได และกาํ จดั ตวั แปร (A) และ (A ) และกาํ จดั ตวั แปร (C) และ (C ) ออกไป จะไดสมการบูลนี ทีอ่ ยใู นรปู งา ยเปน (BD) ดังรปู ที่ 4.20 b 87

รปู ที่ 4.19 แสดงการลดความซับซอ นของนพิ จนบ ลู นี โดยเทอมท่เี ปน 1 ตดิ กันทางแนวนอน ทอ่ี ยทู างดานบนและดา นลา ง รปู ที่ 4.20 แสดงการลดความซบั ซอนของนิพจนบลู นี โดยเทอมท่เี ปน 1 ที่อยูท่มี มุ ทัง้ สขี่ องแมป็โจทยทดสอบ จงตอบคาํ ถามตอ ไปนี้ 21. จากสมการบูลีนตอ ไปน้ี (������������̅ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������̅ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ) + (������������̅ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ �������������) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ∙ ������������) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ) + (������������ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������� ) = ������������ จงทาํ ใหอ ยูในรปู งา ย โดยเขยี นเทอมท่เี ปน 1 ลงในแผนผังแบบสีต่ ัวแปร สรา งลูปของ 1 *แบบกลุมสองหรือกลมุ สี่ลดรูปตัวแปรตาง ๆ ที่อยูในลูปเขียนสมการบูลนี ทอี่ ยใู นรปู งาย 88

4.10 Karnaugh Maps แบบ 5 ตัวแปร โดยทัว่ ไปแลว การใชแผนผัง K-Map เพอื่ ยุบสมการทนี่ ิยมทํากัน จะเปน สมการท่ีมีตัวแปรต้ังแตตั้งแต 2 ถงึ 5 ตวั แปร หากมตี ัวแปรมากกวานีก้ ็สามารถทาํ ได แตคอ นขางลาํ บาก ตองใชโปรแกรมคอมพวิ เตอรเ ขา มาชว ย หรือใชว ิธีทางเลขคณิต เชน วธิ ี Tabulation Method หรือ Quine–McCluskey จะสะดวกกวา แผนผัง K-Map อีกหนงึ่ ท่ีจะพบในหัวขอ น้ีจะเปน แบบสามมิติ พจิ ารณาตารางความจรงิ ในรูปที่ 4.21 ซึง่ จะมีคาทางลอจิกทง้ั หมด 32 คา โดยเกิดจากตัวแปร 5 ตวั ขอ มูลในตารางความจรงิ สามารถเขยี นเปน สมการบูลีนได ดังรปู ท่ี 4.21(a) สําหรับแผนผงั สามารถเขียนไดด ังรูป 4.21(b) ซง่ึ เปนแผนภาพแบบสามมิติ โดยแตชัน้ จะแทนได 4 ตัวแปร และชั้นบนจะเปน ตัวแปร Eและชน้ั ลา งจะเปน E จะกลายเปนกลุม 8 สาํ หรบั คา ท่เี ปน 1 เทอมทอี่ ยโู ดยเด่ยี ว ไมสมารถยบุ หรือทาํใหอยูในรูปงา ยได เทอมนีค้ ือ E ,D ,C ,B ,A สาํ หรับลูปกลมุ 8 สามารถยบุ ได 3 ตัวแปรคือE, E ,C,C ,B B กับเทอม D A ในรูปที่ 4.21(b) รูปท่ี 4.21 การใชแผนผังคาโนหขนาด 5 ตวั แปร ในการลดความซ้ําซอนของสการบลู นีโจทยทดสอบ จงตอบคําถามตอ ไปน้ี23 จากสมการบูลนี ตอ ไปนี้ (������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ �������������) + (������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������ ∙ �������������) + (������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������) + (������������ ∙ ������������� ∙ ������������� ∙ ������������ ∙ ������������) + (������������̅ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������) +(������������̅ ∙ ������������� ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������)+= ������������ จงทําใหอ ยใู นรปู งายโดยใชแ ผนผงั K-Map สาํ หรับ 5 ตัวแปรมาลดรปู ตวั แปรตา ง ๆ ในลูป แลวเขยี นสมการบลู ีน 89

4.11 การใชลอจกิ เกต NAND จากบทท่ี 3 ในหัวขอ ท่ี 3.8 เราไดทราบมาแลววาตวั NAND เกตนนั้ สามารถนาํ มาสรางเปนเกตชนดิ ตา งๆ ได ซ่งึ บางครงั้ เรยี กวา Universal gate ในหวั ขอ ทจ่ี ะกลา วการนาํ เกตมาสรา งเปนวงจรลอจิกตา ง ๆ พจิ ารณาสมการบูลีน (������������ ∙ ������������ + ������������ ∙ ������������̅ = ������������) ซึ่งเขยี นไดในรูปที่ 4.22 a ในการเขยี นวงจรลอจกิ ข้นัแรกใหเขียนวงจรลอจิกจากสมการบลู ีนตรง ๆ กอน จะไดดงั ในรูปที่ 4.22 b โดยใช And เกต Or เกตและอนิ เวอรเตอร จะเหน็ วา วงจรทส่ี รา งออกมา จะตองใชไดซีดิจติ อลถงึ สามชนดิ ในงานช้ินนี้ ตอ ไปจะนาํ NAND เกตมาใชใ นวงจรนี้ ซ่งึ จะกลายเปน วงจร Nand–Nand ลอจกิ ดงั รปู 4.21 c)จะทําใหง านช้นิ นี้ ใชไอซีทเี่ ปน Nand เกตเพยี งอยา งเดยี ว วงจรในรปู ท่ี 4.21c) สามารถใชแ ทนสมการบูลนี ได������������ ∙ ������������ + ������������ ∙ ������������̅ = ������������ ถา หากนาํ มาสรา งเปนวงจรอเิ ล็กทรอนกิ สจะทําไดส ะดวกกวา วงจรในรูป4.21b) ซง่ึ จะตองใชเ กตถึง 3 ชนิด รูปที่ 4.22 การใชแนนเกตในวงจรลอจกิ (a) สมการบลู ี (b) วงจรลอจกิ แบบ AND-OR (c) วงจรลอจกิ แบบที่ปรบั มา ใช NAND อยา งเดยี ว จากวงจรในรูป 4.22b) จะเห็นวาตัวอินเวอรเ ตอรจ ะแทนดว ย Nand เกตหน่งึ ตัว สาํ หรับ Andเกตทัง้ 2 ตวั จะใสเครอ่ื งหมายจุดอินเวอรเตอรเขาไปทางเอาตพุต ใสจุดอินเวอรเตอรเขาไปแลว จะตอ งใสทางอินพตุ ของ Or เกตดวย เพ่อื จะไดลบลางกันไป เมือ่ ใสจุดอนิ เวอรเ ตอรใ น And เกตแลว เกตตัวน้ีจะกลายเปน Nand เกต และเมือ่ ใสจุดอินเวอรเ ตอรเ ขาไปท่อี ินพุตท้งั สองของ Or เกตแลวแลวเกตตัวนี้ 90

จะกลายเปน Nand เกตเชนกัน ถึงตรงนจ้ี ะเห็นวา ถามี And เกต สองตัวมาตอ เปนอินพุตของ Or เกต เราสามารถเปลี่ยนเปน Nand เกต ไดโ ดยงา ยสรุป การใช NAND เกตมาสรา งเปนวงจรสามารถทําไดตามขั้นตอนตอไปนี้ 1. เรม่ิ ตน เขียน minterm (sum-of-product)ของ Boolean expression 2. เขียนวงจรลอจิกของ AND-OR ลอจกิ โดยใชเกต AND-OR และ NOT 3. นํา NAND เกตมาแทนในเทอมของ AND และ OR เกต 4. นาํ NAND เกตมาแทนอนิ เวอรเ ตอรท กุ ตวั 5. ทดสอบวงจรกบั ตารางความจรงิโจทยทดสอบ จงตอบคาํ ถามตอไปน้ี 24. วงจรในรปู 4.21 b)เรียกวา .........................(AND-OR,NAND-NAND)ลอจิก 25. วงจรในรปู 4.22 b)เรยี กวา .........................(different ,identical) กบั ตารางความจรงิ 26. จงเขยี นขั้นตอนตา งๆหา ข้ันตอนในการแปลงsum-of-productของสมการบูลนี มาเปน NAND-NANDลอจิก4.12 โปรแกรมจําลองสถานการณ Logic Converter ปจจบุ ันเมื่อเรารวู ิธีการบวกลบเลขในชวี ติ ประจําวันแลว เม่ือตอ งการความถกู ตอ งและรวดเร็วเราจึงใชเ คร่อื งคาํ นวณเลขมาชว ย การลดความซํา้ ซอนของสมการพีชคณติ บูลีนนัน้ เราสามารถทาํ ไดโดยทฤษฎตี างๆ หรือ Karnaugh Map แตในทางปฏิบัติ ปจจุบันน้มี โี ปรแกรมจําลองสถานการณ(Simulator) คือโปรแกรม Multisim ของ National Instrument เปนโปรแกรมที่สามารถนาํ มาใชจําลองสถานการณของวงจรอเิ ล็กทรอนกิ สต า งๆ ทัง้ แอนะลอ็ กและดิจติ อลไดอยา งมากมาย ในโปรกรม Multisim มเี ครอ่ื งมอื อยตู วั หนงึ่ คือ Logic Converter มคี วามสามรถในการแปลงพีชคณิตบูลนี ไปเปน ตารางความจรงิ จากตารางความจรงิ ไปเปนพชี คณติ บูลีน ลดความซา้ํ ซอ นได และแปลงตารางความจรงิ พีชคณิตบูลีน ไปเปน วงจรลอจกิ ได รปู ท่ี 4.23 Logic Converter ในโปรแกรม Multisim 91

รปู ที่ 4.24 Logic Converter Screen รปู ที่ 4.25 ขนั้ ตอนท่ี 1 วาดวงจรลอจิกรูปท่ี 4.26 ขั้นตอนที่ 2 และ 3 สรางตารางความจรงิ และพีชคณิตบูลนี ทย่ี ังไมลดความซํ้าซอ น 92

รปู ท่ี 4.27 ข้นั ตอนที่ 4 การใชคาํ สง่ั แปลงจากตารางความจริงไปเปนพีชคณติ บูลนี ท่ลี ดความซาํ้ ซอ น รูปที่ 4.28 ขัน้ ตอนที่ 5 การใชค ําส่งั สรางวงจรลอจิกท่ใี ช NAND เกต รูปที่ 4.29 ทดลองวงจร 93

จากตัวอยา งการใช Logic Converter ที่ผานมาน้ัน เราควรทดลองใหหมดทกุ คําส่ัง เพ่ือความเขาใจเฃน ทดลองกรอกพีชคณติ บูลนี เพ่ือสรางวงจรลอจกิ เปนตนแบบฝก หัดทา ยบท3.1 ใชกฏของ De Morgan's ในการหาสมการที่งา ยขึน้3.2 หาตารางความจริง ตามสมการตอไปนี้3.3 หาตารางความจริง ตามสมการตอไปนี้3.4 จงออกแบบสัญญาณกนั ขโมยโดยมี 4 อนิ พตุ อนิ พุต A เปนตัวควบคมุ สวิตซ อินพุต B เปนตัวตรวจจับวามแี รงกระทําทีป่ ระตตู เู ซฟ อินพตุ C เปน สญั ญาณใชพลังงานแบตเตอรี่ และ อินพตุ Dเปน การติดตอ กับสวติ ซบ นทางเขา ออกของทีเ่ ก็บขอมูล จงเขียนแบบสวติ ซเ พอื่ แสดงสญั ญาณสาํ หรบั กนัขโมยโดยทาํ ใหเกิดเสยี งรอง เม่ือมีการขโมยโยกยาย และควบคมุ สวติ ซใหปด หรือ เม่อื ในทเี่ กบ็ เปดภายหลังท่เี กบ็ ขอมูลหรอื เมื่อท่ีเกบ็ เปดการควบคมุ สวติ ซใหเ ปด3.5 จงใช Karnaugh-map ในการลดรปู ฟง กชันตอไปน้ี ƒ(A,B,C,D) = Σm(2,3,4,5,7,8,10,13,15)3.6 จงใช Karnaugh-map ในการลดรูปฟง กช นั ตอ ไปน้ี 94