คู่มือครูหนังสือเรียนคณิตพื้นฐาน_เลขยกกำลังม.5

คูมอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 5 141 15 − 15 + 15 = 53 25 3 135 6 25 9 125 5 = 3 25 14) เน่ืองจาก ( ) 1   1 2  3  21083  = 22 × 33 2  = 2 23 × 3  5 = 3 23  3 3 =1 1 ( )24 × 33 3 4323 =3 4 23 ×3 1 =4 23 ( )1 1 และ 2883 = 25 × 32 3 2 2 ( )243 23 × 3 3 52 23 × 33 =2 22 × 33 5−2 = 23 −1 = 23 1 =1 23 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

142 คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 ดงั นั้น 1  2 1  3 − 1  = 1   5  − 1 − 1   1083  −   3   23  1 2883  23  23 4 1      4323 2 23 23 24 3  1+5  1−4 1−1 = 3 23 3  − 23 3 − 23 3 ( )= 3 22 − 2−1 − 20 6. 1) 3 4x5 − 5x 36x3 = 12 − 1 −1 2 = 21 2 ( ) ( )= 3 2x2 x − 5x 6x x = 6x2 x − 30x2 x ( )= 6x2 − 30x2 x = −24x2 x ( ) ( )2) x 3 8x − 43 27x4 + 3 675x6 = x 23 x − 4 3x 3 x + 3x2 3 25 3 25x2 3 25x2 = 2x 3 x −12x 3 x + 3x2 3 x2 = 2x3 x −12x 3 x  3x2 × 3 x  +  3 x2 3 x  = 2x 3 x −12x 3 x + 3x2 3 x x = 2x 3 x −12x 3 x + 3x 3 x = (2 −12 + 3) x 3 x = −7x 3 x 22 3)  27x3 3 =  33 × x3 3      y6   y6  = 32 × x2 y4 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 143 2  27x3 3 = 32 x2   y4  y6  11  53 × x3−(−6) y4−1 3 4)  125x3 y4 3 =   5)   6)  27x−6 y  33 7. 1) 1 =  53 × x9 y3 3    33  = 5x3 y 3 ( )( ) 1 −2  1 2  6x2 y   3xy 2  = 6−2 x−1 y−2 32 x2 y = 9 x−1+2 y−2+1 36 = 1 xy−1 4 = x 22 y  −2 − 3 − 2  x−2−1 − 3 − 1 − 2  2 3  2 2 3 x y  = y   1  33   27xy 2     x−3 y−2 − 2 3 =  33    4 = x2 y3 3−2 4 = 32 x2 y 3 432a3b5 = 432a3b5 144ab2 144ab2 = 3a3−1b5−2 = 3a2b3 = ab 3b สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

144 คูม ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 2) 5a3 = 3 5a3 × b2 27b b2 3 27b = 5a3b2 3 33 b3 = a 3 5b2 3b 40x2 y5 ( )22 ×10 x2 y5 3) = 3a2b5 3a2b5 = 2xy2 10 y ab2 3b = 2xy2  10 y × 3b  ab2  3b 3b  2xy2 30by = 3ab3 4)  11a3b   22x2 y  =  11a3b  22x2 y          2xy3  25ab   2xy3  25ab  = 121 a3−1b1−1x2−1 y1−3 25 = 121 a2b0 xy−2 25 = 121a2 x 25 y2 = 11a x 5y 8. 1) เนือ่ งจาก 2 2 < 3 ดงั นัน้ 2 2 5 < 3 5 ( )( )2) เนือ่ งจาก 3 −56 3 −49 =3 (−56)(−49) =3 (56)(49) =3 23 × 73 =14 ( )( )และ 3 48 3 36 = 3 (48)(36) = 3 26 × 33 = 12 ดังนั้น ( 3 −56 )( 3 −49 ) > ( 3 48)( 3 36 ) สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 145 3) เน่ืองจาก 2 = ( 1 2 =( −2 )2 =4 และ 1  ( −8) 3 −8)3 (−64)3 =−4  ดังนนั้ 21 (−8)3 > (−64)3 4) เนื่องจาก 2 =3  ( −27 ) 1 2 =3 ( −3)2 =27  3  3 ( −27 ) 3  และ 3  1 3 =−2(3)3 =−54 =−2 92  −2 ( 9 ) 2 ดังนั้น 23 3(−27)3 > − 2(9)2 5) เน่อื งจาก 1 =2(−2) =−4 และ 1 ≈ −4.24 2 ( −8) 3 −3 ( 2 ) 2 ดังน้ัน 11 2(−8)3 > −3(2)2 1 6) เนอื่ งจาก 13 = 1  13  และ 42 13 2   2−14 2 8 2 4282 −3 = 4282 82 1 ดังนนั้ 13 < 42 2−14 2 8 2 −3 82 ( ) ( )1 1 3 1 1 1 4 54 4 6 33 × 2 4 2×3 4 =34 24 2434 3+1 1+1−1 = 1 เน่ืองจาก ( )7) 1 22 =34 4 × 24 4 2 =3 6 8 23 6 ดงั น้ัน 32 4 54 4 6 313 2 3 3 > 68 9. จาก=n n0 (1+ r )t ในที่น้ี =n0 7.4=, r 1=.13 0.0113 และ t = 27 100 จะได n = 7.4(1+ 0.0113)27 = 7.4(1.0113)27 ≈ 10.02 ดงั นัน้ ใน พ.ศ. 2586 โลกจะมจี ํานวนประชากรประมาณ 10.02 พันลา นคน สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

146 คมู อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 10. จาก t และ t = 10 n = 10000(1.3)10 จะได 10 n = 10000(1.3)10 = 10000(1.3) = 13000 ดงั นน้ั ในอีก 10 ปขา งหนา จะมีจาํ นวนประชากรในเมืองน้ี 13,000 คน 11. จาก S = (0.1091)( )wh 0.5 ในทนี่ ี้ w = 180 และ h = 64 จะได S = (0.1091)(180 × )64 0.5 1 = (0.1091)(180 × 64)2 ≈ 11.71 ดงั น้นั คนทส่ี งู 5 ฟุต 4 นวิ้ และหนัก 180 ปอนด จะมีพืน้ ท่ผี ิวหนงั ประมาณ 11.71 ตารางฟตุ 12. จาก A =10(0.8)t และ A = 1 จะได 1 = 10(0.8)t น่นั คือ (0.8)t = 0.1 เนอื่ งจาก (0.8)10 ≈ 0.107 และ (0.8)11 ≈ 0.086 ดังนนั้ ถา ตองการใหป รมิ าณยาที่เหลืออยูในรา งกายนอยกวา 1 มิลลกิ รมั จะตองใชเ วลา อยางนอย 11 ช่วั โมง 13. จาก 2 และ p = 165 a = p3 2 จะได a = 1653  1 2 = 1653  ≈ 30.08 ดังนน้ั ระยะทางเฉลย่ี จากดาวเนปจนู ไปยงั ดวงอาทิตยประมาณ 30.08 AU 14. 1) ในท่นี ี้ P = 100000, n = 50 และ=r =4 0.04 100 จากทฤษฎีบท 7 จะมีจาํ นวนเงนิ ฝากเมื่อสน้ิ ปท ี่ 50 คือ 100,000(1+ 0.04)50 ≈ 710,668.33 บาท ดังน้นั เมื่อฝากครบ 50 ป กรจะไดร บั เงินทั้งหมดประมาณ 710,668.33 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 147 2) ในทน่ี ้ี n = 30=, r =4 0.04 100 และเงนิ รวมในบญั ชีเมื่อส้ินปที่ 30 เทา กับ 10,000,000 บาท ให P คอื เงนิ ตน จากทฤษฎีบท 7 จะได P (1+ 0.04)30 = 10,000,000 P = 10,000,000(1.04)−30 ≈ 3,083,186.68 จะไดวา ถา ตองการใหมีเงินในบญั ชเี มื่อส้ินปที่ 30 เปน จํานวนเงิน 10,000,000 บาท แลวจะตองฝากเงนิ ตน อยางนอย 3,083,187 บาท 15. ในทีน่ ี้ P = 50,000 และ n = 10 เงนิ รวมเม่ือสนิ้ ปท ี่ 10 เทากบั 67,195.82 บาท ใหอ ตั ราดอกเบี้ยทธ่ี นาคารกําหนด คอื i% ตอ ป และ r = i จากทฤษฎบี ท 7 จะได 100 50,000(1+ r )10 = 67,195.82 (1 + r )10 = 67,195.82 50, 000 (1 + r )10 = 1.3439164 1 1 + r = (1.3439164)10 1 + r ≈ 1.03 r ≈ 0.03 น่นั คือ i ≈ 3 ดงั น้นั อัตราดอกเบ้ียท่ธี นาคารกําหนดสาํ หรับเงินฝากนปี้ ระมาณ 3% 16. จากโจทย สามารถใชแนวคดิ เดยี วกบั การคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตน โดยใช P แทน เงนิ เดอื นเรมิ่ ตน i แทนรอ ยละของเงนิ เดือนของแพทยทเี่ พิ่มข้ึนตอ ป และ r = i 100 จะได= r =6 0.06 100 1) พจิ ารณาเงนิ เดอื นของนายแพทยศ ุภกุล ในทนี่ ี้ P = 17,920 และ n = 30 − 24 =6 จากทฤษฎีบท 7 จะไดวา เมอื่ นายแพทยศุภกลุ มีอายุ 30 ป จะไดร ับเงนิ เดอื น ประมาณ 17,920(1+ 0.06)6 ≈ 25,419.86 บาท พจิ ารณาเงินเดอื นของแพทยหญิงวฒั นา ในทน่ี ี้ P = 20,000 และ n = 30 − 27 =3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

148 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 จากทฤษฎีบท 7 จะไดว า เมอ่ื แพทยห ญิงวฒั นามอี ายุ 30 ป จะไดร บั เงนิ เดอื น ประมาณ 20,000(1+ 0.06)3 ≈ 23,820.32 บาท ดังนน้ั เมอื่ ทั้งสองคนมีอายุ 30 ป นายแพทยศ ุภกุลจะมีเงินเดือนมากกวา แพทยหญงิ วฒั นา และมากกวาประมาณ 25,419.86 − 23,820.32 =1,599.54 บาท 2) จากโจทย อัตราเงนิ เดือนสงู สุดของแพทยจะไดรับ คือ 76,800 บาท พจิ ารณาเงินเดือนของนายแพทยศ ุภกุล ในทน่ี ้ี P = 17,920 จากทฤษฎบี ท 7 จะได 17,920(1+ 0.06)n = 76,800 (1.06)n = 76,800 17, 920 ≈ 4.2857 เนอ่ื งจาก (1.06)24 ≈ 4.0489 และ (1.06)25 ≈ 4.2919 จะได 17,920(1.06)24 ≈ 72,556.91 และ 17,920(1.06)25 ≈ 76,910.32 น่นั คือ เมื่อนายแพทยศุภกุลทํางานไปแลว 24 ป เงนิ เดือนจะยงั ไมถ ึง 76,800 บาท แตเมื่อนายแพทยศภุ กุลทํางานไปแลว 25 ป จงึ จะไดร ับเงินเดือนสูงสดุ ของแพทย คือ 76,800 บาท จะไดว า นายแพทยศุภกลุ จะไดรับเงินเดอื นสูงสดุ เมือ่ อายุ 24 + 25 =49 ป พิจารณาเงินเดอื นของแพทยหญิงวฒั นา ในท่นี ้ี P = 20,000 จากทฤษฎบี ท 7 จะได 20,000(1+ 0.06)n = 76,800 (1.06)n = 76,800 20, 000 = 3.84 เนอ่ื งจาก (1.06)23 ≈ 3.8197 และ (1.06)24 ≈ 4.0489 จะได 20,000(1.06)23 ≈ 76,394.99 และ 20,000(1.06)24 ≈ 80,978.69 น่นั คือ เมอ่ื แพทยหญิงวฒั นาทํางานไปแลว 23 ป เงนิ เดือนจะยงั ไมถึง 76,800 บาท แตเมอื่ แพทยหญิงวัฒนาทาํ งานไปแลว 24 ป จึงจะไดรับเงินเดอื นสงู สดุ ของแพทย คือ 76,800 บาท จะไดวา แพทยห ญิงวฒั นาจะไดร ับเงินเดือนสูงสุดเม่ืออายุ 27 + 24 =51 ป ดังนั้น นายแพทยศภุ กลุ จะไดรับเงินเดือนสูงสุดเมื่ออายุ 49 ป และแพทยห ญิงวฒั นา จะไดรับเงนิ เดอื นสงู สดุ เมอ่ื อายุ 51 ป สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 149 บทที่ 2 ฟง กชนั แบบฝกหดั 2.1 1. 1) เนื่องจาก สมาชิกตวั หนาของคอู นั ดับใน A ไมมีตัวใดซ้าํ กนั เลย ดงั น้ัน A เปนฟง กช ัน 2) เนื่องจาก มคี ูอันดบั ใน B ที่มสี มาชิกตวั หนาเหมือนกัน แตสมาชิกตวั หลังตา งกัน คอื ( p, 1) และ ( p, 3) ดังน้ัน B ไมเปน ฟงกช นั 3) วธิ ีที่ 1 เขยี นกราฟแสดงความสัมพนั ธ {(x, y) =x y2 + 7} ไดดังน้ี จากกราฟ สงั เกตวา มีเสน ตรงทขี่ นานกับแกน Y ท่ตี ัดกราฟสองจุด เชน เสน ตรง x = 8 ตัดกราฟสองจุด คือ (8, 1) และ (8, −1) ดงั นน้ั C ไมเ ปนฟง กชนั วิธที ี่ 2 เนื่องจากมคี ูอันดับใน C ท่มี สี มาชิกตวั หนา เหมอื นกัน แตสมาชิกตัวหลัง ตางกนั เชน (8, 1) และ (8, −1) ดังนั้น C ไมเ ปน ฟง กชนั สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

150 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 4) เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ {(x, y) =y x2 + 7} ไดด งั นี้ จากกราฟ สังเกตวา ไมมีเสน ตรงทข่ี นานกบั แกน Y เสนใดตัดกราฟมากกวา 1 จดุ ดังนนั้ D เปน ฟงกชัน 2. 1) f (a) = 2 f (b) = 4 f (c) = 3 f (d) =1 2) f (a) = 1 f (b) = 4 f (c) = 2 f (d) = 3 3. 1) จาก f ( x) = x2 และ Df ={−2,−1, 0, 1, 2} จะได f (−2) =(−2)2 =4 f (−1) =(−1)2 =1 f (0=) 0=2 0 f (1=) 1=2 1 f (2=) 2=2 4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 151 ดังนั้น f ={(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} 2) จาก f ( x=) x + 2 และ Df ={−2, −1, 0, 1, 2} จะได f (−2) = (−2) + 2 = 0 = 0 f (−1) = (−1) + 2 = 1 = 1 f (0) = 0 + 2 = 2 f (1) = 1+ 2 = 3 f (2) = 2 + 2 = 4 = 2 { }ดงั น้นั (f =(−2, 0), (−1, 1), 0, 2 ), (1, )3 , (2, 2) 4. เน่ืองจาก −2 <1 จะได f (−2) =1 เนอ่ื งจาก 0 <1 จะได f (0) =1 เนอ่ื งจาก 1≤1≤ 3 จะได f (1) =1 เนอ่ื งจาก 1 < 1 จะได f  1  = 1  2  2 เนื่องจาก 1≤ 3 ≤ 3 จะได f ( 3) = 3 เน่อื งจาก 9 > 3 จะได f (9) = 2 เนอ่ื งจาก h > 0 จะได 3 + h > 3 นัน่ คือ f (3 + h) − f (3) =2 − 3 =−1 5. 1) แทน x ในสมการ y =−x + 2 ดว ย 0, 1 และ 2 จะไดคูอันดบั ซ่ึงเปนสมาชิกของ เซต r ดังตาราง x0 1 2 y2 1 0 ( x, y) (0, 2) (1, 1) (2, 0) ซึง่ เขยี นกราฟของคูอ ันดับในตาราง ไดจดุ (0,2), (1,1) และ (2,0) และเม่ือให x เปน จาํ นวนจริง จะเขยี นกราฟของ r ไดด ังน้ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

152 คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 จากรปู พบวาไมมเี สนขนานกบั แกน Y เสนใดที่ตดั กราฟของ r มากกวา 1 จดุ ดังน้นั r เปนฟงกชนั 2) แทน x ในสมการ y2 =−x + 4 ดวย 0, 3 และ 4 จะได คูอนั ดบั ซง่ึ เปน สมาชิก ของเซต r ดงั ตาราง x0 34 y −2, 2 −1, 1 0 ( x, y) (0,− 2), (0, 2) (3, −1), (3, 1) (4,0) ซง่ึ เขียนกราฟของคอู นั ดบั ในตาราง ไดจ ดุ (0,− 2), (0, 2),(3,−1),(3,1) และ (4,0) และเมื่อให x เปนจาํ นวนจรงิ จะเขียนกราฟของ r ไดดงั น้ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 153 จากรูป สังเกตวา มเี สน ตรงที่ขนานกบั แกน Y ท่ีตัดกับกราฟ r สองจดุ เชน เสนตรง x = 3 ตดั กราฟสองจดุ คอื (3,−1) และ (3,1) ดงั นั้น r ไมเ ปน ฟง กชัน 6. 1) พจิ ารณา f (x=) x2 −1 จะเห็นวา ไมว าแทน x เปน จาํ นวนจริงใดก็จะสามารถ หา f (x) ไดเสมอ ดงั นั้น โดเมนของฟงกช นั f คอื เซตของจาํ นวนจรงิ หรือ Df =  และเมื่อพจิ ารณา =y x2 −1 จะไดวา x =± y +1 เน่ืองจาก จํานวนที่อยูใ นเคร่ืองหมายกรณฑท สี่ องตองไมเ ปนจาํ นวนลบ ดงั นั้น y +1 ≥ 0 นนั่ คอื y ≥ −1 ดังน้ัน Rf= {y ∈ y y ≥ −1} 2) เนอื่ งจากในระบบจาํ นวนจริง จาํ นวนท่อี ยูในเครื่องหมายกรณฑที่สองตองไมเ ปน จาํ นวนลบ ดงั นั้น x − 7 ≥ 0 นนั่ คือ x ≥ 7 จะไดวา โดเมนของฟงกช ัน f คอื เซตของจาํ นวนจริงท่ีมากกวาหรือเทา กับ 7 หรอื Df ={x ∈  x ≥ 7} สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

154 คูม อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 และเมื่อพิจารณา =y x − 7 เน่อื งจาก x − 7 ≥ 0 จะได y ≥ 0 ดังนัน้ Rf ={y ∈ y y ≥ 0} 3) เน่อื งจากในระบบจาํ นวนจรงิ ไมน ิยามเศษสว นที่ตัวสว นเปนศนู ย ดังนนั้ 2x − 3 ≠ 0 นั่นคือ x ≠ 3 2 ดงั นั้น โดเมนของฟงกชัน f คอื เซตของจาํ นวนจรงิ ที่ไมเ ทากบั 3 2 หรอื Df =x ∈  x ≠ 3   2  และเม่ือพจิ ารณา y= 1 2x − 3 จะไดว า 2x − 3 =1 y แสดงวา y เปนจํานวนจริงทไี่ มเทากับ 0 ดังนน้ั Rf ={y ∈ y y ≠ 0} 4) เนอื่ งจากในระบบจาํ นวนจริง จํานวนทอี่ ยใู นเคร่ืองหมายกรณฑท สี่ องตองไมเปน จํานวนลบ ดงั นัน้ x ≥ 0 จะไดวา โดเมนของฟงกช นั f คอื เซตของจาํ นวนจรงิ ทม่ี ากกวา หรอื เทา กับ 0 หรือ Df ={x ∈  x ≥ 0} และเม่ือพจิ ารณา y = − x เนือ่ งจาก x ≥ 0 จะได − x ≤ 0 นั่นคือ y ≤ 0 ดงั นั้น Rf ={y ∈ y y ≤ 0} 7. เนอื่ งจาก −4 < x < 3 จะได 0 ≤ x2 <16 น่ันคอื −6 ≤ x2 − 6 <10 ดงั น้ัน −6 ≤ f ( x) <10 จะไดว า Rf = {y ∈ y − 6≤ y <10} สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 155 แบบฝกหัด 2.2 1. 1) จ 2) ข 3) ง 4) ค 5) ก 2. 1) ให f (=x) 2 x +1 7 หาคา ของฟงกชัน f ที่ 3 จะได f (=3) 2 (3) +=1 13 77 จะได จุด  3, 13  อยูบนกราฟของ f  7  ดงั น้นั จดุ (3, 5) ไมอยูบนกราฟ =y 2 x +1 7 2) ให f ( x) =−2x − 7 หาคา ของฟงกช ัน f ที่ −4 จะได f (−4) =−2(−4) − 7 =1 จะได จดุ (−4, 1) อยูบนกราฟของ f ดังน้ัน จดุ (−4, − 5) ไมอ ยูบ นกราฟ 2x + y =−7 3) เนือ่ งจาก y = −1 เปนกราฟเสนตรงขนานแกน X ผานจดุ (0, −1) ดงั นัน้ จดุ (4, − 5) ไมอยูบนกราฟ y = −1 4) เนื่องจาก x = 2 เปนกราฟเสนตรงขนานแกน Y ผานจดุ (2, 0) ดงั น้นั จดุ (2, 0) อยูบ นกราฟ x = 2 5) ให f ( x) = −x หาคา ของฟงกชัน f ท่ี 1 จะได f (1) = −1 ดังนน้ั จุด (1,−1) อยูบนกราฟ x + y =0 3. 1) ให A(x) เปน ฟง กชนั ของความยาวท่มี ีหนวยเปน เซนตเิ มตร เมื่อ x เปนความยาวทม่ี ี หนวยเปน น้วิ เนื่องจาก ความยาวทีม่ หี นวยเปน นว้ิ เทา กับ 2.54 เทา ของความยาวท่มี หี นวยเปนเซนตเิ มตร ดงั นัน้ A(x) = 2.54x เมอื่ x ≥ 0 และเขยี นกราฟแสดงไดดงั นี้ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

156 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 2) ให B(x) เปน ฟง กชันของคา ขนสงสินคาซึ่งมนี ํา้ หนัก x กิโลกรัม จากกรุงเทพฯ ไปยังจังหวัดที่อยใู นเขตชายแดนภาคใต เนือ่ งจาก คา ขนสงประกอบดวยคาขนสงข้นั ตน 150 บาท กบั คา ขนสงที่คดิ ตาม นํ้าหนกั สนิ คา กโิ ลกรัมละ 5 บาท ดังนน้ั B(x=) 5x +150 เมอื่ x > 0 และเขียนกราฟแสดงไดดงั น้ี สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 157 3) ให C (x) แทนฟง กช ันของรายไดข องพนักงานขายสนิ คาทมี่ ียอดขาย x บาท เน่ืองจาก รายไดของพนกั งานขายสนิ คา ประกอบดว ยเงนิ เดือนประจาํ 6,000 บาท รวมกับคานายหนา 5% ของยอดขายสินคา ดงั น้ัน C=( x) 5 x + 6,000 เมื่อ x ≥ 0 และเขียนกราฟแสดงไดด งั น้ี 100 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

158 คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 4. 1) ให f (x) แทนฟงกช นั แสดงยอดขายสนิ คา (ช้ิน) เมอื่ เวลาผานไป x ป f ( x) = 12,000 + x(0.1)(12,000) = 12,000 +1, 200x ดงั นั้น ฟงกช ันแสดงยอดขายสินคาเมื่อเวลาผานไป x ป คือ =f (x) 12,000 +1,200x 2) เนอ่ื งจาก f (5) = 12,000 +1,200(5) = 18,000 ดงั นนั้ ใน พ.ศ. 2565 บรษิ ทั นจ้ี ะมียอดขายสินคา 18,000 ชิ้น 5. จากขอมูลในตารางพบวา ทุกๆ ระยะทางทเี่ พิม่ ขึน้ 600 กิโลเมตร จะมคี าใชจ ายเพิ่มขน้ึ 300 บาท นัน่ คือ ทกุ ๆ ระยะทีเ่ พิม่ ข้ึน 1 กิโลเมตร จะมีคาใชจ า ยเพม่ิ ขนึ้ 1 บาท 2 ให f (x) แทนฟง กชนั ของคาใชจ ายในการเดินทาง x กิโลเมตร ดงั น้ัน f (=x) 1 x + 5,000 2 เขียนกราฟของฟงกช นั ไดดงั นี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 159 1) คา ใชจา ยสําหรับการเดินทางประมาณ 400 กโิ ลเมตร คาํ นวณจากการแทน x ใน f ( x) ดว ย 400 จะได f (400) = 1 (400) + 5,000 = 5,200 2 ดงั นั้น ถา เดชตอ งการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปยังจังหวดั ขอนแกน เขาตองเสยี คา ใชจา ยประมาณ 5,200 บาท 2) ระยะทางในการเดนิ ทาง โดยท่มี เี งนิ 5,500 บาท คํานวณหา x ไดจาก 5,500 = 1 x + 5,000 2 x = 1,000 ดังนน้ั ถามีเงิน 5,500 บาท แลวเดชจะเดนิ ทางไดประมาณ 1,000 กโิ ลเมตร 3) คาใชจายสําหรับการเดนิ ทางประมาณ 2,100 กิโลเมตร คาํ นวณจากการแทน x ใน f ( x) ดว ย 2,100 จะได f (2,100) = 1 (2,100) + 5,000 = 6,050 2 นน่ั คอื การเดนิ ทาง 2,100 กโิ ลเมตร จะมคี าใชจ ายประมาณ 6,050 บาท ดังน้ัน ถา เดชมเี งนิ 6,000 บาท เขาจะไมส ามารถเดินทางจากจงั หวดั แมฮองสอน ไปยังจงั หวัดยะลาได โดยทเี่ ขายงั ขาดเงนิ อีกประมาณ 50 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

160 คูม อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 6. 1) ให C (x) แทนฟง กชนั ของตนทุนในการผลติ มะมวงอบแหง x ถุง เนือ่ งจากตนทนุ ประกอบดวยสองสวน คอื ตนทนุ ขั้นต่าํ 100,000 บาท และ ตนทุนในการผลติ ถุงละ 25 บาท ดงั น้ัน C (=x) 25x +100,000 2) ให R(x) แทนฟง กช นั ของรายไดจากการขายมะมวงอบแหง x ถุง เนอื่ งจาก ชบาแกวขายมะมว งอบแหง ในราคาถุงละ 150 บาท ดงั นัน้ R( x) =150x สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 161 3) ตนทนุ สําหรบั การผลิตมะมว งอบแหง 900 ถุง คาํ นวณจากการแทน x ใน C (x) ดวย 900 จะได C (900) = 25(900) +100,000 = 122,500 นนั่ คือ ชบาแกวผลติ มะมว งอบแหง 900 ถุง มีตน ทุน 122,500 บาท และรายไดสาํ หรบั การขายมะมวงอบแหง 900 ถงุ คาํ นวณจากการแทน x ใน R(x) ดวย 900 จะได R (900) = 150(900) = 135,000 นน่ั คอื ชบาแกว ขายมะมวงอบแหง 900 ถุง มรี ายได 135,000 บาท ดังน้นั ชบาแกวไดกําไรทง้ั หมด 135,000 −122,500 =12,500 บาท 4) จุดคุม ทุน คือ จดุ ทีร่ ายไดเ ทา กับตนทุน น่ันคือ R(x) = C(x) 150x = 25x +100,000 125x = 100,000 x = 800 ดังน้ัน ชบาแกวจะตองขายมะมวงอบแหง 800 ถงุ จึงจะคุมทุน 5) เนือ่ งจาก ถา ชบาแกว ขายมากกวา 800 ถุง ชบาแกวจะมรี ายไดม ากกวา ตนทนุ ดงั นน้ั สว นตางของตนทุนกบั รายได คือ R( x) − C ( x) = 150x − (25x +100,000) = 125x −100,000 ซึ่งจะมีสวนตา งที่ เพ่มิ มากขึ้น เมอ่ื ขายมะมวงอบแหงไดม ากขนึ้ 7. 1) ให f (t) แทนฟง กช นั แสดงนาํ้ หนักเน้อื ไกท่คี ัดแยกโดยเครื่องคัดแยกเคร่ืองท่ี 1 เมอ่ื เวลาผา นไป t ชวั่ โมง เนื่องจากเคร่ืองท่ี 1 คัดแยกน้ําหนกั เนือ้ ไกดวยอตั ราเร็วเฉลี่ย 12 ตันตอ ชั่วโมง จะได f (t) =12t เมอ่ื 0 ≤ t ≤10 ให g (t) แทนฟง กชันแสดงนํา้ หนักเน้ือไกทค่ี ัดแยกโดยเคร่ืองคัดแยกเครื่องท่ี 2 เมอ่ื เวลาผา นไป t ช่วั โมง เนอื่ งจากเคร่ืองที่ 2 คัดแยกนํ้าหนักเนอ้ื ไกด ว ยอัตราเร็วเฉล่ีย 16 ตนั ตอช่วั โมง แต เรมิ่ เปด ใชงานชา กวา เครื่องที่ 1 อยู 2 ชว่ั โมง นัน่ คอื g (t) = 16(t − 2) = 16t − 32 เมอ่ื 2 ≤ t ≤10 จะได g ( t ) = 0 − 32 ; 0≤t<2 16t ; 2 ≤ t ≤ 10 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

162 คูม ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 เขยี นกราฟแสดง f (t) และ g (t) ไดด งั นี้ 2) ณ เวลา 12:00 น. จะได t = 5 จะได =f (5) 1=2(5) 60 และ g (5=) 16(5) − 32= 48 ดงั นน้ั ณ เวลา 12:00 น. เครอ่ื งท่ี 1 คัดแยกเน้ือไกไดมากกวา เครอื่ งที่ 2 และ มากกวาอยู 12 ตนั 3) ถา เคร่ืองคดั แยกเครือ่ งท่ี 2 คัดแยกนํา้ หนกั เนื้อไกไดมากกวาเคร่อื งท่ี 1 จะไดวา g(t) > f (t) น่นั คือ 16t − 32 > 12t จะได t > 8 นน่ั คอื เคร่ืองคัดแยกเครื่องท่ี 2 จะสามารถคัดแยกนํา้ หนักเนือ้ ไกไ ดมากกวา เครื่องท่ี 1 หลงั เวลา 15:00 น. สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 163 8. 1) เขียนกราฟของฟงกช นั อปุ สงคแ ละฟง กช นั อปุ ทาน ดงั นี้ จากกราฟ จะเห็นวาจุดท่ีกราฟของฟงกช นั อุปสงคตัดกับกราฟของฟง กช ันอุปทาน คือ จดุ ดุลยภาพ 2) เนอ่ื งจากราคาดลุ ยภาพจะเกิดขึ้นเม่ืออุปสงคเ ทากับอปุ ทาน นั่นคอื D( p) = S( p) 220 − 2 p = p + 90 −3 p = −130 p = 130 3 ดงั นน้ั ราคาดุลยภาพ คือ 130 บาทตอกโิ ลกรัม 3 3) จากกราฟ เมื่อพจิ ารณาราคาขายท่นี อยกวา 130 บาทตอกโิ ลกรัม จะไดว า อุปสงค 3 มากกวา อปุ ทาน นนั่ คือ ปรมิ าณความตองการซอ้ื ยางพารามากกวา ปรมิ าณความ ตองการขายยางพารา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

164 คูม ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 แบบฝก หดั 2.3 1. 1) y =( x − 4)2 − 3 เมื่อเทยี บกบั y =( x − h)2 + k จะได= a 1,=h 4 และ k = −3 นัน่ คอื กราฟหงายขึน้ มจี ดุ ยอดทีจ่ ดุ (4,− 3) และคูกบั กราฟ (ง) 2) y =−( x − 4)2 + 3 เมอื่ เทยี บกบั y =( x − h)2 + k จะได a =−1, h =4 และ k = 3 น่นั คอื กราฟควํ่าลง มีจุดยอดทจี่ ุด (4, 3) และคูกบั กราฟ (ช) 3) y =( x + 4)2 − 3 เมอ่ื เทียบกับ y =( x − h)2 + k จะได a = 1, h = − 4 และ k = −3 น่ันคอื กราฟหงายข้นึ มจี ดุ ยอดท่จี ุด (−4,− 3) และคูกบั กราฟ (ญ) 4) y =−( x + 4)2 + 3 เมอื่ เทียบกบั y =( x − h)2 + k จะได a =−1, h =− 4 และ k = 3 นนั่ คอื กราฟควํ่าลง มีจุดยอดท่ีจดุ (−4, 3) และคูกับกราฟ (ก) 5) =y 2( x − 2)2 เมอ่ื เทยี บกับ y =( x − h)2 + k จะได= a 2=, h 2 และ k = 0 นั่นคือ กราฟหงายขน้ึ มีจดุ ยอดที่จดุ (2, 0) และคูกบั กราฟ (ฌ) 6) y =( x + 3)2 − 4 เมอื่ เทียบกับ y =( x − h)2 + k จะได a = 1, h = −3 และ k = − 4 น่นั คอื กราฟหงายขน้ึ มีจุดยอดทจ่ี ุด (−3, − 4) และคูกับกราฟ (ข) สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 165 7) y =− 1 ( x +1)2 − 3 2 เม่ือเทียบกบั y =( x − h)2 + k จะได a =− 1 , h =−1 และ k = −3 2 นั่นคอื กราฟควาํ่ ลง มีจดุ ยอดท่ีจุด (−1, − 3) และคูกบั กราฟ (ค) 8) y =−2( x + 3)2 + 2 เม่อื เทยี บกบั y =( x − h)2 + k จะได a =−2, h =−3 และ k = 2 นั่นคอื กราฟคว่ําลง มีจดุ ยอดที่จดุ (−3, 2) และคูกบั กราฟ (ฉ) 9) y = x2 − 2x + 3 ( )= x2 − 2x +1 + 2 = ( x −1)2 + 2 เมื่อเทยี บกบั y =( x − h)2 + k จะได= a 1,=h 1 และ k = 2 นั่นคอื กราฟหงายขน้ึ มีจดุ ยอดทจ่ี ุด (1, 2) และคูกบั กราฟ (ซ) 10) y = 2x2 − 4x + 5 ( )= 2 x2 − 2x +1 + 3 = 2( x −1)2 + 3 เมอ่ื เทยี บกบั y =( x − h)2 + k จะได= a 2=, h 1 และ k = 3 นั่นคอื กราฟหงายขนึ้ มีจุดยอดที่จดุ (1, 3) และคูกับกราฟ (จ) 2. 1) เขียน f ( x) = x2 − 4x − 5 ใหอ ยใู นรปู f ( x) =( x − h)2 + k ไดด งั นี้ ( )f ( x) = x2 − 4x + 4 − 9 = ( x − 2)2 − 9 จะได =a 1,=h 2 และ k = −9 เนอื่ งจาก a > 0 ดงั นน้ั กราฟของฟงกช นั f หงายขน้ึ และมจี ดุ ยอดทจ่ี ุด (2, − 9) และมคี า ต่าํ สุด คือ −9 หาจดุ ท่กี ราฟตดั แกน X โดยกําหนดให f (x) = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

166 คูม ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 นนั่ คอื x2 − 4x − 5 = 0 ( x − 5)( x +1) = 0 จะได x = 5 หรือ x = −1 ดงั น้ัน กราฟตัดแกน X ท่จี ุด (−1, 0) และ (5, 0) เขยี นกราฟของ f ( x) = x2 − 4x − 5 ไดด งั น้ี จากกราฟ พบวา Df =  และ=Rf {y y ≥ −9} 2) เขยี น f ( x) =−x2 + 6x − 8 ใหอยใู นรูป f ( x) =( x − h)2 + k ไดด ังน้ี ( )f ( x) = − x2 − 6x + 9 +1 = −( x − 3)2 +1 จะได a =−1, h =3 และ k =1 เนือ่ งจาก a < 0 ดังน้ัน กราฟของฟงกชัน f คว่ําลง และมีจุดยอดที่จุด (3, 1) และมคี า สูงสดุ คือ 1 หาจุดทกี่ ราฟตดั แกน X โดยกาํ หนดให f (x) = 0 นน่ั คอื −x2 + 6x −8 = 0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 167 ( )− x2 − 6x + 8 = 0 −(x − 4)(x − 2) = 0 จะได x = 4 หรือ x = 2 ดงั น้ัน กราฟตัดแกน X ท่ีจดุ (2, 0) และ (4, 0) เขยี นกราฟของ f ( x) =−x2 + 6x − 8 ไดดังนี้ จากกราฟ พบวา Df =  และ=Rf {y y ≤1} 3) เขียน f ( x) =−x2 − 2x ใหอยใู นรปู f ( x) = a( x − h)2 + k ไดด ังน้ี ( )f ( x) = − x2 + 2x +1 +1 = −( x +1)2 +1 จะได a =−1, h =−1 และ k =1 เนอื่ งจาก a < 0 ดงั นนั้ กราฟของฟงกชนั f ควํ่าลง และมจี ุดยอดทจ่ี ดุ (−1, 1) และมคี า สูงสดุ คือ 1 หาจดุ ทีก่ ราฟตดั แกน X โดยกาํ หนดให f (x) = 0 นั่นคอื −x2 − 2x = 0 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

168 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 −x(x + 2) = 0 จะได x = 0 หรือ x = −2 ดังนัน้ กราฟตดั แกน X ทจ่ี ุด (−2, 0) และ (0, 0) เขียนกราฟของ f ( x) =−x2 − 2x ไดดงั นี้ -5 จากกราฟ พบวา Df =  และ=Rf {y y ≤1} 4) เขียน f ( x) = x2 − 6x + 8 ใหอ ยูใ นรูป f ( x) = a( x − h)2 + k ไดด งั นี้ ( )f ( x) = x2 − 6x + 9 −1 = ( x − 3)2 −1 จะได=a 1,=h 3 และ k = −1 เนอื่ งจาก a > 0 ดงั นั้น กราฟของฟงกชนั f หงายขน้ึ และมจี ุดยอดที่จุด (3, −1) และมคี าตํา่ สุด คือ −1 หาจดุ ท่ีกราฟตัดแกน X โดยกาํ หนดให f (x) = 0 นนั่ คอื x2 − 6x + 8 = 0 (x − 4)(x − 2) = 0 จะได x = 4 หรอื x = 2 ดังน้ัน กราฟตัดแกน X ทีจ่ ุด (2, 0) และ (4, 0) สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 169 เขยี นกราฟของ f ( x) = x2 − 6x + 8 ไดดงั นี้ จากกราฟ พบวา Df =  และ=Rf {y y ≥ −1} 3. 1) ให y แทนกาํ ไรจากการขายสินคา x ชน้ิ จะได y = x(100 − 0.1x) = 100x − 0.1x2 ดงั นน้ั สมการแสดงกาํ ไรจากการขายสนิ คา x ชิ้น ค=อื y 100x − 0.1x2 2) จาก=y 100x − 0.1x2 เขยี นใหอยูในรปู a(x − h)2 + k ไดด ังนี้ ( )y = −0.1 x2 −1,000x ( )= −0.1 x2 −1,000x + 5002 + (0.1)(500)2 = −0.1( x − 500)2 + 25,000 จะได a =−0.1, h =500 และ k = 25,000 เนื่องจาก a < 0 ดงั นัน้ กราฟของฟงกช นั f คว่ําลง และมจี ดุ ยอดทจ่ี ดุ (500, 25000) ดงั นั้น จะตอ งขายสนิ คา 500 ช้นิ จึงจะไดมีกาํ ไรมากที่สดุ 25,000 บาท สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

170 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 4. 1) ให f (x) แทนรายไดตอเดือนของเจาของหอพักแหงนี้ เมอ่ื x คอื จํานวนหองวาง จะได f ( x) = (80 − x)(4,000 + 200x) = 320,000 +16,000x − 4,000x − 200x2 = −200x2 +12,000x + 320,000 ดังนน้ั สมการแสดงรายไดของเจา ของหอพกั แหง น้ี คอื f ( x) =−200x2 +12,000x + 320,000 2) จาก f ( x) =−200x2 +12,000x + 320,000 ถาตองการใหมรี ายไดเ ดอื นละ 375,000 บาท น่ันคือ 375,000 = −200x2 +12,000x + 320,000 200x2 −12,000x + 55,000 = 0 x2 − 60x + 275 = 0 ( x − 55)( x − 5) = 0 จะได x = 5 หรือ x = 55 ถา x = 5 เจาของหอพักตองคดิ คาเชาหอ งละ 4,000 + 200(5) =5,000 บาท ถา x = 55 เจา ของหอพักตองคดิ คาเชาหองละ 4,000 + 200(55) =15,000 บาท ดังนั้น ถาตองการใหมีรายไดเดอื นละ 375,000 บาท เจา ของหอพักตองคิดคาเชา หองละ 5,000 บาท หรือ 15,000 บาท 3) จาก f ( x) =−200x2 +12,000x + 320,000 เขยี นใหอยูในรูป a( x − h)2 + k ไดดังน้ี ( )f ( x) = −200 x2 − 60x + 900 + 500,000 = −200( x − 30)2 + 500,000 จะได a =−200, h =30 และ k = 500,000 ดงั นัน้ กราฟของฟง กชนั f มีจดุ ยอดที่จุด (30, 500000) จะไดวา เจาของหอพักตองต้งั ราคาหอ งละ 4,000 + 200(30) =10,000 บาท จงึ ทําใหมีรายไดมากทส่ี ุด 500,000 บาท สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 171 5. ให f (x) แทนฟงกช ันแสดงพื้นท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัส เมื่อความยาวของดานเปน x เซนติเมตร และ g (x) แทนฟงกช ันแสดงพ้ืนท่ีของรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก เมื่อความยาวของดานกวา งเปน x เซนติเมตร และดา นยาวยาวกวาดา นกวา ง 1 เซนติเมตร จะได f ( x) = x2 และ g ( x) = x( x +1) = x2 + x 1) เนอื่ งจากดา นยาวยาว 3.5 เซนติเมตร จะได ดานกวา งยาว 2.5 เซนตเิ มตร จะไดวา รูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากที่มีดานกวา งยาว 2.5 เซนตเิ มตร มพี ้ืนที่ (2.5)2 + 2.5 =8.75 ตารางเซนตเิ มตร ดงั นนั้ รูปสเี่ หลย่ี มมุมฉากท่ีมดี า นยาวยาว 3.5 เซนตเิ มตร จะมีพน้ื ท่ี 8.75 ตารางเซนติเมตร 2) จากรปู สีเ่ หล่ยี มจัตรุ ัสทม่ี ีพืน้ ท่ี 6.25 ตารางเซนตเิ มตร นนั่ คอื จะได x = 2.5 ดงั นน้ั รูปสเี่ หลีย่ มจัตรุ สั ท่มี ีพื้นท่ี 6.25 ตารางเซนติเมตร จะมคี วามยาวดา นเปน 2.5 เซนตเิ มตร 3) ถา พ้ืนท่ีของรูปทง้ั สองตางกัน 3 ตารางเซนตเิ มตร จะได ( x2 + x) − x2 =3 นน่ั คอื x = 3 ดังนนั้ รูปสี่เหล่ียมมมุ ฉาก มพี ้ืนที่ 12 ตารางเซนติเมตร และรปู ส่ีเหลย่ี มจตั ุรสั มี พ้ืนท่ี 9 ตารางเซนตเิ มตร สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

172 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 5 4) ถา ความยาวดา นของรปู สี่เหล่ียมจัตรุ ัสเปน x เซนตเิ มตร แลว ผลตางของพื้นท่ที ัง้ สองรปู เปน ( x2 + x) − x2 =x ตารางเซนตเิ มตร ให h(x) แทนความสมั พนั ธร ะหวางความยาวดานของรปู ส่เี หลยี่ มจัตุรัสและผลตา ง ของพืน้ ท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมท้ังสอง จะไดว า h(x) = x แบบฝกหดั 2.4 1. ให f (x) แทนอตั ราคา บรกิ ารในการสงพัสดขุ องบรษิ ัทแหงหนึ่งมีหนว ยเปนบาท เมื่อ x แทนนํ้าหนกั ของพสั ดุมหี นวยเปน กโิ ลกรัม จะเขียนฟงกชนั ของ f (x) ไดด ังน้ี 20.00 ;0< x ≤1 35.00 ;1< x ≤ 2 f ( x) = 50.00 ;2< x≤3 65.00 ;3< x≤4 80.00 ;4< x≤5  ;5< x≤6 95.00 เขยี นกราฟของฟงกชัน f ไดดงั น้ี สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 173 2. ให f (x) แทนอตั ราคาบรกิ ารในการสง จดหมาย (ไปรษณยี ลงทะเบียน) ของบรษิ ัท แหง หนึง่ มหี นว ยเปน บาท เม่ือ x แทนนํา้ หนักของจดหมายมีหนว ยเปนกรมั จะเขียนฟง กชันของ f (x) ไดด งั นี้ 16.00 ; 0 < x ≤ 20 ; 20 < x ≤ 100 =f ( x) 1282..0000 ;100 < x ≤ 250 ; 250 < x ≤ 500 28.00 ; 500 < x ≤ 1,000 38.00 เขียนกราฟของฟงกชัน f ไดดงั นี้ 1) ถา ตองการสง จดหมายหนัก 700 กรัม ตองเสียคา บรกิ าร 38.00 บาท 2) ถาสง จดหมายหนงึ่ ฉบับเสียคาบริการ 22 บาท จดหมายฉบับน้จี ะหนักเกิน 100 กรมั แตไมเกิน 250 กรัม 3) จดหมายหนกั 500 กรมั จะเสียคาบรกิ าร 28.00 บาท และจดหมาย 230 กรมั จะเสียคา บริการ 22.00 บาท น่ันคอื ทุกเดือนตองเสียคาบริการ 28.00 + 22.00 =50.00 บาท ดงั นั้น เมื่อครบ 1 ป จะเสียคา บริการทั้งหมด 600.00 บาท สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คูม อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 3. ให f (x) แทนคาโดยสารของรถโดยสารประเภทหนึ่งมหี นวยเปนบาท เม่ือ x แทนระยะทางหนวยเปนกิโลเมตร จะเขยี นฟง กช นั ของ f (x) ไดด งั น้ี 20 ;0 < x ≤ 2 23 ;2 < x ≤ 2.3 26 ;2.3 < x ≤ 2.6 29 ;2.6 < x ≤ 2.9 32  ;2.9 < x ≤ 3.2 =f ( x) 35 ;3.2 < x ≤ 3.5 38 ;3.5 < x ≤ 3.8 41 ;3.8 < x ≤ 4.1 44 ;4.1 < x ≤ 4.4 47 ;4.4 < x ≤ 4.7  50 ;4.7 < x ≤ 5.0 เขียนกราฟของฟงกชัน f ไดดังนี้ 2 1) ถา เดินทางดว ยรถโดยสารตง้ั แตตนสายจนสดุ สาย จะตองเสียคา โดยสาร 50 บาท 2) ถา เดนิ ทางไป 3.82 กโิ ลเมตร จะตองเสยี คาโดยสาร 41 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 175 3) ถา จา ยคา โดยสารไป 38 บาท แลว ระยะทางที่เปน ไปไดในการเดนิ ทางคร้งั น้ีเกนิ 3.5 กโิ ลเมตร แตไมเ กิน 3.8 กิโลเมตร 4) ถา มัดหมเ่ี ดินทางจากบา นไปโรงเรียนเปนระยะทาง 4.5 กิโลเมตร จะตอ งเสยี คา โดยสาร 47 บาท แตถ า เดนิ ทางจากบานไปรา นคา เพ่ือซื้ออปุ กรณกีฬาเปน ระยะทาง 2.6 กโิ ลเมตร จะเสยี คาโดยสาร 26 บาท และเดินทางตอจากรานคา ไปโรงเรียนเปนระยะทาง 1.9 กิโลเมตร จะเสียคา โดยสาร 20 บาท จะไดว า เสียคา โดยสารทงั้ หมด 46 บาท ดังนน้ั มัดหม่จี ะเสยี คาโดยสารนอ ยกวาปกติ อยู 1 บาท 4. 1) ให f (t) แทนอัตราคาโทรออกของซิมคยุ คุมมหี นวยเปนบาท เมื่อ t แทนเวลา โทรออกหนวยเปนนาที 0.75 ;0 < t ≤1 1.50 ;1 < t ≤ 2 2.25 ;2<t ≤3 3.00 ;3< t ≤ 4 3.75 ;4<t ≤5  ;5 < t ≤ 6 จ=ะได f (t) 4.50 ;6 < t ≤ 7 5.25 ;7 < t ≤8 6.00 ;8 < t ≤ 9 6.75 ;9 < t ≤ 10 7.50    ให g (t) แทนอตั ราคาโทรออกของซิมคยุ สนุกมีหนว ยเปน บาท เมือ่ t แทนเวลา โทรออกหนว ยเปนนาที สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

176 คูมือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 5 3 ;0 < t ≤ 2 3.5 ;2 < t ≤ 3 4 ;3 < t ≤ 4 4.5 ;4 < t ≤ 5 5 จะได g ( t ) = 5.5 ;5 < t ≤ 6 ;6 < t ≤ 7 6 ;7 < t ≤ 8  6.5 ;8 < t ≤ 9 7 ;9 < t ≤ 10 เขยี นกราฟของ f และ g ไดด งั น้ี 2 4 6 8 10 2) จากกราฟ สําหรบั ผูท ใี่ ชโ ทรศัพทสําหรบั โทรออกไมเกนิ 5 นาที ควรจะใชซ ิมคยุ คุม จงึ จะประหยดั กวา 3) คาโทรออกของท้ังสองซิมจะเทากนั เมื่อโทรออกเปนระยะเวลาเกิน 7 นาที แตไมเกิน 8 นาที 4) ซิมคุยคุมจะประหยัดกวา เมื่อใชโ ทรออกไมเกนิ 7 นาที และซิมคุยสนุกจะประหยดั กวา เมอ่ื ใชเวลาโทรออกมากกวา 8 นาที สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 5 177 แบบฝกหัด 2.5 1. 1) แทน x ใน f ( x) = 3x ดว ย −3, − 2, −1, 0, 1, 2 และ 3 จะได x −3 −2 −1 0 1 2 3 9 27 f (x) 1 1 1 1 3 (2, 9) (3, 27) 27 9 3 ( )x, f ( x)  −3, 1   −2, 1   −1, 1  (0, 1) (1, 3)  27   9   3  เขียนคอู ันดบั ในตาราง และเมื่อให x เปนจํานวนจรงิ จะเขียนกราฟไดด งั นี้ โดเมนของฟงกช ัน คอื เซตของจาํ นวนจรงิ เรนจของฟงกช นั คือ เซตของจํานวนจรงิ บวก สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

178 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 2) แทน x ใน f ( x) =  1 x ดวย −3, − 2, −1, 0, 1, 2 และ 3 จะได  3  x −3 −2 −1 0 1 2 3 f ( x) 27 9 3 1 1 1 1 39 27 ( x, f ( x)) (−3, 27) (−2, 9) (−1, 3) (0, 1) 1, 1   2, 1   3, 1  3   9   27  เขียนคอู ันดบั ในตาราง และเมื่อให x เปน จาํ นวนจริง จะเขียนกราฟไดดังนี้ โดเมนของฟง กช นั คือ เซตของจาํ นวนจริง เรนจของฟงกช นั คือ เซตของจาํ นวนจริงบวก สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 179 3) แทน x ใน f ( x=) 2x +1 ดวย −3, − 2, −1, 0, 1, 2 และ 3 จะได x −3 −2 −1 0 1 2 3 9 f (x) 9 5 3 2 3 5 (3, 9) 8 42 ( )x, f ( x)  −3, 9   −2, 5   −1, 3  (0, 2) (1, 3) (2, 5)  8   4   2  เขยี นคูอันดับในตาราง และเมื่อให x เปน จาํ นวนจรงิ จะเขยี นกราฟไดดงั นี้ โดเมนของฟง กช นั คือ เซตของจาํ นวนจรงิ เรนจของฟง กชัน คือ เซตของจํานวนจรงิ ทีม่ ากกวา 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คูมือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 5 4) แทน x ใน f ( x=) 3x −1 ดวย −3, − 2, −1, 0, 1, 2 และ 3 จะได x −3 −2 −1 0 1 2 3 0 2 8 26 f (x) − 26 −8 −2 27 9 3 (0, 0) (1, 2) (2, 8) (3, 26) (x, f ( x))  −3, − 26   −2, − 8   −1, − 2   27   9   3  เขยี นคูอันดบั ในตาราง และเมื่อให x เปนจํานวนจรงิ จะเขยี นกราฟไดดงั น้ี โดเมนของฟง กชนั คอื เซตของจาํ นวนจรงิ เรนจของฟง กชนั คือ เซตของจาํ นวนจรงิ ทีม่ ากกวา −1 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 181 5) แทน x ใน f ( x) = 2x−1 ดว ย −3, − 2, −1, 0, 1, 2 และ 3 จะได x −3 −2 −1 0 1 2 3 1 2 4 f (x) 1 1 1 1 (1, 1) (2, 2) (3, 4) (x, f ( x)) 16 8 4 2  −3, 1   −2, 1   −1, 1   0, 1   16   8   4   2  เขียนคอู ันดับในตาราง และเม่ือให x เปน จํานวนจริง จะเขยี นกราฟไดด งั นี้ โดเมนของฟงกช ัน คอื เซตของจาํ นวนจริง เรนจของฟงกชนั คือ เซตของจาํ นวนจริงบวก 2. ให x =10 จะได f (10) = 4,000(1.03)10 ≈ 5,375.67 น่ันคือ ใน 10 ปข างหนา เมืองนจ้ี ะมปี ระชากรประมาณ 5,375 คน ให x = 20 จะได f (20) = 4,000(1.03)20 ≈ 7,224.44 นนั่ คอื ใน 20 ปข า งหนา เมืองนีจ้ ะมีประชากรประมาณ 7,224 คน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

182 คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 5 3. 1) เม่ือครบ 3 ป ชายคนนีจ้ ะตองชําระเงินคนื ใหธ นาคารทง้ั หมด f (3) = 850,000(1.08)3 = 1,070,755.2 บาท โดยคิดเปนดอกเบ้ีย 1,070,755.2 − 850,000 =220,755.2 บาท 2) แทน n ใน f (n) = 850,000(1.08)n ดวย 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได คูอนั ดบั ดังตาราง n f (n) 1 918,000 2 991,440 3 1,070,755.2 4 1,156,415.62 5 1,248,928.87 จากตาราง เขียนกราฟไดด ังน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 183 แบบฝกหดั ทายบท 1. 1) เปนฟงกชัน 2) เปนฟง กชนั 3) ไมเปนฟง กช ัน 4) ไมเ ปน ฟงกชนั 2. 1) ไมเ ปนฟงกช ัน เพราะมีคูอับดับทมี่ ีสมาชิกตวั หนาเหมือนกนั แตต ัวหลงั ตา งกนั คือ (4, d ) และ (4, e) 2) ไมเปน ฟง กชัน เพราะมีคอู ันดับที่มสี มาชกิ ตัวหนาเหมือนกนั แตต วั หลังตา งกัน เชน (3, 0) และ (3, 1) 3) เปน ฟง กช ัน 3. จาก f ( x) = x2 + 3x − 5 จะได f (0) = (0)2 + 3(0) − 5 = −5 f (−1) = (−1)2 + 3(−1) − 5 = −7 f (3) = (3)2 + 3(3) − 5 = 13 f (a) = a2 + 3a − 5 4. 1) พจิ ารณา f ( x) =−3x − 4 จะเห็นวา ไมวาแทน x ดวยจาํ นวนจริงใดก็จะสามารถหา f (x) ไดเสมอ ดงั น้นั โดเมนของฟง กช นั f คือ เซตของจาํ นวนจริง หรือ Df =  หาเรนจข องฟง กชัน f โดยให y =−3x − 4 จะไดว า x = − y + 4 ซึ่งเห็นวา ไมวา แทน y เปนจํานวนจริงใดกจ็ ะสามารถหา x 3 ทค่ี กู ับ y ไดเสมอ ดังนั้น เรนจของฟง กช นั f คอื เซตของจํานวนจรงิ หรือ Rf =  สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

184 คูม ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 2) เน่ืองจากในระบบจํานวนจรงิ จาํ นวนในเคร่ืองหมายกรณฑท่ีสองตองไมเปนจํานวนจริงลบ ดังนั้น x − 2 ≥ 0 นั่นคือ x ≥ 2 ดังนัน้ โดเมนของฟง กช นั f คือ เซตของจํานวนจรงิ ท่ีมากกวาหรือเทากับ 2 ให =y x − 2 เนอื่ งจาก x − 2 ≥ 0 จะได y ≥ 0 ดังนน้ั เรนจของฟงกช นั f คือ เซตของจํานวนจริงที่มากกวา หรอื เทา กับ 0 3) พิจารณา f (x) = x2 จะเห็นวา ไมวา แทน x ดวยจาํ นวนจริงใดกจ็ ะสามารถหา 2 f (x) ไดเ สมอ ดงั น้ัน โดเมนของฟงกชนั f คือ เซตของจํานวนจริง และพจิ ารณา y = x2 2 เนือ่ งจาก x2 ≥ 0 จะได y ≥ 0 ดังนั้น เรนจข องฟง กช นั f คอื เซตของจาํ นวนจริงทม่ี ากกวา หรอื เทากับ 0 4) พจิ ารณา f (x) = 2x2 จะเหน็ วา ไมวาแทน x ดวยจํานวนจรงิ ใดก็จะสามารถหา f (x) ไดเสมอ ดงั น้นั โดเมนของฟงกช นั f คือ เซตของจํานวนจริง และพจิ ารณา y = 2x2 เน่ืองจาก x2 ≥ 0 จะได y ≥ 0 ดังนนั้ เรนจของฟงกช ัน f คือ เซตของจาํ นวนจริงทม่ี ากกวาหรอื เทา กับ 0 5. 1) ให f ( x) =−5x + 2 เม่ือแทน x ดวย 0 จะได f (0) = 2 น่ันคอื จดุ ที่กราฟของ f ตดั แกน Y คอื จดุ (0, 2) ถา f (x) = 0 จะได x=2 นั่นคอื จุดท่ีกราฟของ f ตัดแกน X คอื จุด  2, 0  5  5  เขยี นกราฟของ f (x) =−5x + 2 ไดด ังนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 5 185 จากกราฟ จะไดว า โดเมนของฟง กช นั f คือ เซตของจาํ นวนจริง และ เรนจของฟง กช ัน f คอื เซตของจาํ นวนจริง 2) ให f ( x=) 5x + 2 เมือ่ แทน x ดว ย 0 จะได f (0) = 2 นั่นคอื จดุ ท่ีกราฟของ f ตดั แกน Y คือจุด (0, 2) ถา f (x) = 0 จะได x= −2 นน่ั คอื จดุ ท่ีกราฟของ f ตดั แกน X คือจดุ  − 2, 0  5  5  เขียนกราฟของ f (x=) 5x + 2 ไดดังนี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 จากกราฟ จะไดว า โดเมนของฟง กชัน f คอื เซตของจํานวนจรงิ และ เรนจของฟง กชัน f คอื เซตของจาํ นวนจรงิ 3) ให f ( x) =−x2 − 6x −10 เขียนใหอยูในรูป a(x − h)2 + k ไดดังนี้ ( )f ( x) = − x2 + 6x + 9 −1 = −( x + 3)2 −1 จะได a =−1, h =−3 และ k = −1 เนอ่ื งจาก a < 0 ดงั น้ัน กราฟของฟงกชัน f จะคว่ําลงและมีจดุ ยอดทจ่ี ดุ (−3, −1) เขยี นกราฟของ f ( x) =−x2 − 6x −10 ไดด งั นี้ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 187 จากกราฟ จะไดว า โดเมนของฟง กชัน คือ เซตของจํานวนจริง และเรนจของฟงกชนั คือ {y y ≤ −1} 4) ให f ( x) = x2 − 6x −10 เขยี นใหอ ยูในรูป a(x − h)2 + k ไดด ังนี้ ( )f ( x) = x2 − 6x + 9 −19 = ( x − 3)2 −19 จะได =a 1,=h 3 และ k = −19 เนือ่ งจาก a > 0 ดังน้นั กราฟของฟงกชัน f จะหงายข้ึนและมจี ุดยอดที่จดุ (3, −19) เขียนกราฟของ f ( x) = x2 − 6x −10 ไดด ังนี้ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

188 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 จากกราฟ จะไดว า โดเมนของฟง กช ัน คือ เซตของจาํ นวนจรงิ และเรนจของฟงกชนั คือ {y y ≥ −19} 5) แทน x ใน f ( x) =−1 −  1 x ดว ย −3, − 2, −1, 0,1, 2 และ 3 จะไดคอู ันดับดังตาราง  2  x −3 −2 −1 0 1 2 3 f ( x) −9 −5 −3 −2 − 3 − 5 − 9 248 ( x, f ( x)) (−3, − 9) (−2, − 5) (−1, − 3) (0, − 2) 1, − 3   2, − 5   3, − 9  2   4   8  เขยี นกราฟของ f ( x) =−1 −  1 x ไดดังน้ี  2  สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 5 189 จากกราฟ จะไดวา โดเมนของฟงกชัน คือ เซตของจาํ นวนจริง และเรนจของฟงกช ัน คือ {y y < −1} แทน x ใน  1  x ดวย −3, − 2, −1, 0,1, 2 และ 3 จะไดคูอันดับดังตาราง  2  6) f (x)= 1 − x −3 −2 −1 0 1 2 3 f ( x) −7 −3 −1 0 1 3 7 248 ( x, f ( x)) (−3, − 7) (−2, − 3) (−1, −1) (0, 0) 1, 1   2, 3   3, 7  2   4   8  เขียนกราฟของ  1  x ไดด ังนี้  2  f (x)= 1 − สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

190 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 5 จากกราฟ จะไดว า โดเมนของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง และเรนจข องฟงกชนั คือ {y y <1} 6. 1) (ง) 2) (ฉ) 3) (ก) 4) (จ) 5) (ข) 6) (ค) 7. จากกราฟ จะไดวา ศจีขับรถโดยเพม่ิ อัตราเรว็ จาก 0 กโิ ลเมตรตอชัว่ โมง ถึง 80 กิโลเมตรตอ ชว่ั โมง เปน เวลา 1 ชัว่ โมง แลว จงึ ขบั รถดว ยอตั ราเร็วคงที่ 80 กโิ ลเมตรตอช่วั โมง เปน เวลา 3 ชว่ั โมง จากน้ันจงึ ลดอตั ราเรว็ จนรถหยุดในเวลา 4 ชัว่ โมง สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี