1ใบความรู้เรื่อง ทฤษฎีบทพีทากอรัส

1 ใบความรูเ้ ร่อื ง ทฤษฎบี ทพีทากอรสั รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน ค22101 ภาคเรียนที่ 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 รูปสามเหล่ียม เป็นหนง่ึ ในรปู ร่างพ้ืนฐานในเรขาคณติ คือ รูปหลายเหล่ยี มซึง่ มมี ุม 3 มุมหรือจุดยอด และมดี ้าน 3 ด้านหรือขอบทเ่ี ปน็ สว่ นของเส้นตรง รปู สามเหล่ียมที่มีจดุ ยอด A,B, และ C เขียนแทนด้วย ABC คณุ สมบตั แิ ละการแบง่ ประเภทของรูปสามเหล่ียมตามความยาวของดา้ น 1. รปู สามเหลย่ี มด้านเท่า (equilateral) มดี า้ นทุกดา้ นยาวเทา่ กัน และมมี มุ ทุกมมุ ขนาดเท่ากนั นน่ั คือมุม ภายในทกุ มมุ จะมขี นาดเท่ากนั คือ 60° และเปน็ รูปหลายเหลยี่ มปกติ รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า 2. รปู สามเหลีย่ มหนา้ จั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมมี มุ สองมมุ ขนาดเทา่ กัน คือมุมที่ไมไ่ ด้ ประกอบด้วยดา้ นที่เท่ากันทั้งสอง รปู สามเหล่ยี มหนา้ จวั่ 3.รปู สามเหลีย่ มดา้ นไม่เทา่ (scalene) ดา้ นทุกดา้ นจะมคี วามยาวแตกต่างกนั มุมภายในก็มขี นาดแตกต่างกนั ด้วย รูปสามเหลย่ี มดา้ นไมเ่ ทา่ คุณสมบัตแิ ละการแบ่งประเภทของรปู สามเหลย่ี มตามมุมภายใน 1. รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหน่ึงมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่ อยตู่ รงข้ามกบั มุมฉากเรียกวา่ ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ซ่ึงเป็นดา้ นทีย่ าวทีส่ ดุ ในรูปสามเหลยี่ มอกี สองด้าน เรยี กว่า ดา้ นประกอบมมุ ฉาก ความยาวด้านของรปู สามเหลยี่ มมุมฉากสมั พนั ธ์กนั ตามทฤษฎบี ทพที าโกรสั นั่น

2 คือกาลงั สองของความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก c จะเทา่ กบั ผลบวกของกาลงั สองของด้านประกอบมมุ ฉาก a, b เขยี นอย่างย่อเป็น a2 + b2 = c2 ดเู พ่มิ เตมิ ท่ี รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากพเิ ศษ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก 2. รูปสามเหล่ียมมมุ เฉียง (oblique) ไมม่ ีมุมใดเป็นมมุ ฉาก ซง่ึ อาจหมายถงึ รปู สามเหลยี่ มมมุ ป้านหรอื รปู สามเหลยี่ มมมุ แหลม 2.1 รปู สามเหลย่ี มมุมปา้ น (obtuse) มมี ุมภายในมมุ หนึ่งมขี นาดใหญ่กวา่ 90° (มมุ ปา้ น) 2.2. รูปสามเหล่ียมมุมแหลม (acute) มมุ ภายในทกุ มุมมีขนาดเล็กกวา่ 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยม ดา้ นเท่าเป็นรปู สามเหล่ยี มมุมแหลม แต่รปู สามเหลยี่ มมมุ แหลมทุกรูปไม่ไดเ้ ป็นรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า การหาพืน้ ที่ของรูปสามเหลี่ยม พ้ืนท่ีรปู สามเหล่ยี ม = 1/2 x ฐาน x สงู เชน่ จากสตู ร พนื้ ท่ขี องรปู สามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สงู ตอบ พ้นื ที่รปู สามเหล่ยี ม 160 ตารางหน่วย = 1/2 x 20 x 16 = 160 ตารางหน่วย

3 สมบตั ขิ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ������������������ ท่มี ี ���������̂��������� เปน็ มุมฉาก เรยี ก ������������ วา่ ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เรียก ������������ และ ������������ ว่า ดา้ นประกอบมมุ ฉาก ให้สงั เกตว่า ด้านตรงข้ามมมุ ฉากเป็นดา้ นทยี่ าวที่สุด ตวั อยา่ ง 1 พจิ ารณารูปสามเหลย่ี มมุมฉาก DEF รูป ∆ DEF เปน็ รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก เพราะมี D���̂���D เป็นมมุ ฉาก เรียก ���̅̅���̅���̅��� วา่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก เรียก ���̅̅���̅���̅��� และ ̅���̅���̅���̅��� วา่ ดา้ นประกอบมุมฉาก ตวั อย่าง 2 พิจารณารปู สามเหล่ยี มมุมฉาก JKL รปู ∆ JKL เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก เพราะมี J���̂���L เปน็ มมุ ฉาก เรยี ก ���̅��������� วา่ ด้านตรงข้ามมุมฉาก เรยี ก ̅������̅���̅��� และ ̅���̅���̅���̅��� วา่ ดา้ นประกอบมมุ ฉาก

4 ทฤษฎีบทพที ากอรสั สาหรบั รปู สามเหลีย่ มมุมฉากใดๆ กาลงั สองของความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก เท่ากบั ผลบวกของกาลงั สองของความยาวด้านประกอบมมุ ฉาก สมบตั ขิ ้างต้น เรยี กว่า ทฤษฏบี ทพีทาโกรสั ท่ีพิสูจนโ์ ดยชาวกรีกท่ชี ื่อวา่ พที าโกรัส พสิ ูจน์ พืน้ ทรี่ ูปสเ่ี หลี่ยมจัตุรสั = ดา้ น x ดา้ น = ด้าน2 ให้ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก (ทีอ่ ยู่ตรงขา้ มมุม C) ยาว c หนว่ ย ดา้ นประกอบมุมฉาก (ที่อยู่ตรงขา้ มมมุ A) ยาว a หน่วย ดา้ นประกอบมมุ ฉาก (ที่อยู่ตรงขา้ มมุม B) ยาว b หนว่ ย ดังน้ัน พ้นื ทร่ี ปู จตั รุ ัสบนดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก (ทอ่ี ยตู่ รงขา้ มมุม C) เป็น c2 ตารางหน่วย พ้ืนท่ีรปู จตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก (ที่อย่ตู รงข้ามมมุ A) เปน็ a2 ตารางหนว่ ย พ้ืนที่รูปจตั รุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก (ที่อยตู่ รงขา้ มมุม B) เป็น b2 ตารางหน่วย พิจารณาตารางต่อไปนี้ A bc Ca B กาหนดให้ a,b เป็นความยาวด้านประกอบมมุ ฉาก และ c เปน็ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก เพิ่มเติม เพ่มิ เติม เพิ่มเตมิ เพม่ิ เติม 22 = 2x2 = 4 42 = 4x4 = 16 62 = 6x6 = 36 82 = 8x8 = 64 32 = 3x3 = 9 52 = 5x5 = 25 72 = 7x7 = 42 92 = 9x9= 81

5 โจทย์ a b c a2 b2 c2 a2+ b2 3 4 5 32=9 42=16 52=25 9+6=25 6 8 10 62=36 82=64 102=100 36+64=100 จากตารางขา้ งตน้ สรปุ ไดว้ ่า สาหรบั รูปสามเหลยี่ มมุมฉากใดๆ กาลงั สองของความยาว ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก เทา่ กับผลบวกของกาลังสองของความยาวดา้ นประกอบมมุ ฉาก เขยี นสมการได้เป็น c2 = a2+ b2 จงเขียนสมการแสดงความสมั พนั ธข์ องรูปสามเหลย่ี มมุมฉากตอ่ ไปน้ี ตัวอยา่ ง จะได้ z2 = x2 + y2 จะได้ f2 = d2 + e2 จะได้ 102 = 62 + 82