60

โครงงานคณติ ศาสตร์ เร่ือง การหาพ้ืนที่รปู n เหล่ียมดา้ นเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม x2  y2  Ax  By  C  0 โดย เด็กหญิงฐดิ าภา ปกครองบ้าน เด็กหญิงเมธาพร ประสพ นางสาววนสั นันท์ ผดั กนั ตยุ้ ครูท่ีปรึกษา นายอาหน่ึง ชูไวย นางรตั ติยา วงศ์วฒุ ิ รายงานฉบับน้ีเปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภท การสรา้ งทฤษฎหี รือคาอธิบาย ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน้ โรงเรียนเทงิ วทิ ยาคม ต.เวียง อ.เทิง จ.เชยี งราย 57160 สานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศึกษามธั ยมศึกษา เขต 36 (เชียงราย – พะเยา) เนอื่ งในงานแข่งขนั ทักษะความสามารถทางวิชาการของนกั เรียน ประจาปีการศึกษา 2561

ก โครงงานประเภทการสรา้ งทฤษฎีหรอื คาอธิบาย เรอื่ ง การหาพนื้ ที่รูป n เหลย่ี มด้านเท่ามุมเท่าท่แี นบในวงกลม x2  y2  Ax  By  C  0 คณะผศู้ กึ ษา 1. เดก็ หญงิ ฐดิ าภา ปกครองบ้าน ครูทปี่ รึกษา 2. เด็กหญงิ เมธาพร ประสพ 3. นางสาววนสั นนั ท์ ผัดกันตยุ้ 1. นายอาหน่งึ ชูไวย 2. นางรัตตยิ า วงศว์ ฒุ ิ ระดับการศึกษา มัธยมศึกษาตอนต้น สถานศกึ ษา โรงเรียนเทิงวทิ ยาคม อาเภอเทงิ จังหวัดเชยี งราย 57160 ปกี ารศึกษา 2561 บทคดั ย่อ การศึกษาในคร้ังนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบใน วงกลมท่ีมีสมการรูปแบบท่ัวไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 ผลการศึกษาพบว่า พื้นที่มีค่าเท่ากับ  1 n  360  และขนาดของมุมแต่ละมุมของรูป เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่ามีขนาด  n  8   A2  B2  4C sin n 1 n  2180 n

ข กิตตกิ รรมประกาศ การศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เร่ือง การหาพ้ืนที่รูป n เหล่ียม ด้านเท่ามุมเทา่ ท่แี นบในวงกลม x2  y2  Ax  By  C  0 เล่มน้ี สาเร็จลุล่วงโดยได้รับความอนุเคราะห์ อย่างดีจากครูอาหนึ่ง ชูไวย และครูรัตติยา วงศ์วุฒิ ซึ่งได้กรุณาให้คาปรึกษาแนะนาแนวคิดวิธีการและสละ เวลาอันมคี า่ แก้ไขข้อบกพรอ่ งของเนอ้ื หา และสานวนภาษาดว้ ยความเอาใจใสอยา่ งดียิ่ง คณะผู้ศึกษาขอกราบ ขอบพระคุณเปน็ อยา่ งสูง ณ โอกาสนี้ ขอขอบพระคุณคณะผูบ้ ริหารโรงเรยี นเทงิ วทิ ยาคมทกุ ท่าน หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และคณะครใู นกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเทิงวิทยาคมทุกท่านท่ีให้การสนับสนุนการดาเนิน การศกึ ษาโครงงานเลม่ น้จี นสาเรจ็ ดว้ ยดี คณุ คา่ และสารัตถประโยชน์ อันพึงมาจากโครงงานคณิตศาสตร์เล่มน้ีในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาขอน้อม เป็นเครอ่ื งบชู าพระคณุ แด่ บิดา มารดา ตลอดจนครูอาจารย์ทุกท่าน ที่ประสิทธิ์ประสาทวิชาความรู้แก่คณะ ผศู้ กึ ษาตลอดมา คณะผู้ศกึ ษา

สารบัญ ค เรอื่ ง หน้า บทคดั ย่อ ก กติ ติกรรมประกาศ ข บทที่ 1 บทนา 1 1 ท่มี าและความสาคญั ของโครงงาน 1 จุดประสงค์ของการศกึ ษา 1 ขอบเขตของการศกึ ษา 2 นยิ ามศัพทเ์ ฉพาะ 2 กรอบแนวคดิ การศึกษา 3 บทท่ี 2 เอกสารและงานวจิ ัยทีเ่ กย่ี วข้อง 6 บทท่ี 3 วธิ กี ารดาเนนิ โครงงาน 7 บทที่ 4 ผลการศกึ ษา 11 บทที่ 5 สรุปผลการศกึ ษาและขอ้ เสนอแนะ 11 ผลการศกึ ษาจากการดาเนนิ โครงงาน 11 ข้อเสนอแนะจากการดาเนินการศึกษาโครงงาน บรรณานกุ รม ภาคผนวก ภาคผนวก ก ประวัตผิ ู้จดั ทา ภาคผนวก ข ประมวลภาพการดาเนนิ การศึกษา

สารบญั ตาราง ง ตาราง หน้า ตารางที่ 1 ตารางการดาเนินงาน 6

สารบญั ภาพ จ ภาพ กรอบแนวคดิ การศึกษา หน้า ภาพท่ี 1 รปู วงกลมตามสมการวงกลมท่ีกาหนดจดุ ศูนย์กลางต่างๆ กนั 2 ภาพท่ี 2 3 กราฟของสมการวงกลมทม่ี จี ดุ ศูนย์กลาง h, k  คือ   A, B และรัศมี R 4 ภาพท่ี 3  2 2  5 7 ภาพที่ 4 ความสมั พนั ธ์ของดา้ นของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากทเี่ กดิ เป็นอตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ ภาพที่ 5 แนวคิดการสรา้ งรปู n เหลี่ยมด้านเทา่ มุมเท่า โดยท่ี n  3 ทแ่ี นบในรปู วงกลมรศั มี R ใดๆ

1 บทที่ 1 บทนำ ท่มี ำและควำมสำคญั คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ท่ีเกี่ยวข้องกับชีวิตประจาวันของทุกคน โดยคนส่วนใหญ่มักมีความคิดว่า คณิตศาสตร์เป็นเรื่องยากต่อการทาความเขา้ ใจและไม่อยากศึกษาต่อ อันเน่ืองจากความคิดท่ีว่า คณิตศาสตร์ เปน็ เรอ่ื งของหลกั การทฤษฎีมีความซับซอ้ น และไม่น่าสนใจ การหาพ้ืนท่รี ปู n เหลยี่ มด้านเทา่ มุมเท่าตา่ งๆ มักเปน็ ปัญหาทน่ี ่าสนใจและนยิ มสรา้ งรปู ทต่ี ้องการหา นั้นแนบในรูปวงกลม เพราะสามารถหาพื้นท่ีจากการประยุกต์แบ่งมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซ่ึงมีขนาด 360 องศา ได้ ดว้ ยเหตนุ ี้คณะผู้ศกึ ษาจงึ มคี วามสนใจศึกษาการหาพ้ืนที่รปู n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่าต่างๆ ท่ีแนบใน สมการวงกลมในรูป x2  y2  Ax  By  C  0 วัตถปุ ระสงค์ 1. เพื่อศกึ ษาสตู รการหาพนื้ ที่รปู n เหลีย่ มด้านเทา่ มมุ เทา่ โดยที่ n  3 ท่ีแนบในวงกลมท่ีมีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 ผลท่คี ำดวำ่ จะไดร้ บั 1. ไดส้ ตู รการหาพ้ืนท่ีรูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเทา่ โดยท่ี n  3 ท่แี นบในวงกลมท่ีมีสมการรูปแบบ ทัว่ ไปเปน็ x2  y2  Ax  By  C  0 2. ได้พัฒนาเจตคตทิ มี่ ตี อ่ วิชาคณติ ศาสตร์ ขอบเขตกำรศกึ ษำ ขอบเขตกำรศกึ ษำดำ้ นเนื้อหำ การศกึ ษาค้นควา้ ในเรอื่ งน้ี ม่งุ ศกึ ษาศึกษาการหาพนื้ ท่ีรปู n เหลี่ยมด้านเท่ามมุ เทา่ โดยที่ n  3 ทแ่ี นบในวงกลมทม่ี ีสมการรปู แบบทั่วไปเปน็ x2  y2  Ax  By  C  0 ขอบเขตดำ้ นระยะเวลำ เดอื นกรกฎาคม 2561 – เดอื นกันยายน 2561

2 นยิ ำมศัพทเ์ ฉพำะและสัญลักษณท์ ีใ่ ช้ในกำรศกึ ษำ สูตรคำนวณ หมายถึง สตู รการหาพน้ื ที่รปู n เหลี่ยมด้านเทา่ มุมเท่า โดยที่ n  3 ท่แี นบในวงกลมทม่ี ี สมการรปู แบบทั่วไปเปน็ x2  y2  Ax  By  C  0 กรอบแนวคิดกำรศึกษำ ศึกษาสูตรการหาพน้ื ทรี่ ูป n เหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เท่าทแี่ นบในสมการวงกลม สมการวงกลมในรูปแบบ ศึกษาความสัมพันธ์ของกำรแบง่ มุมที่จดุ ศูนย์กลำง ขอ้ ค้นพบจากการศึกษา ของวงกลมเพือ่ ใชใ้ นกำรสรำ้ งรูป n เหล่ยี มด้านเท่า มมุ เทา่ ไดค้ วามสมั พนั ธ์ของกำรแบง่ มุมทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลำงของ วงกลมเพ่อื ใชใ้ นกำรสรำ้ งรูป n เหล่ียมด้านเท่ามมุ เท่า ศกึ ษำกำรหำพืน้ ท่ขี องรปู n เหล่ยี มด้านเทา่ มุมเทา่ ที่แนบในวงกลม ในรูป ไดส้ ูตรกำรหำพ้ืนท่ขี องรูป n เหลย่ี มดา้ นเท่ามมุ เทา่ ทแ่ี นบในวงกลม ในรูป ภำพท่ี 1 กรอบแนวคดิ กำรศึกษำ

3 บทท่ี 2 เอกสำรที่เก่ยี วข้อง ในการดาเนนิ การศึกษาโครงงาน เร่ือง การหาพื้นที่รูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า โดยท่ี n  3 ที่ แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 คณะผู้ศึกษาได้ค้นคว้าเอกสารที่ เก่ยี วข้องโดยลาดับเน้ือหาทเี่ ป็นสาระสาคัญดงั ตอ่ ไปนี้ 1. วงกลม 2. อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ซึ่งแตล่ ะหวั ข้อมรี ายละเอยี ด ดงั น้ี 12 1. วงกลม นิยาม วงกลม คือ เซตของจดุ 1ท0 กุ จดุ บนระนาบทอี่ ยหู่ ่างจากจุดคงทจี่ ุดหน่งึ เป็นระยะทางเท่ากัน จดุ คงทคี่ อื จุดศูนยก์ ลางของวงกลม ใช้เป็นพิกดั ( h ,k) 8 8 6 ระยะทางคงท่คี ือรศั มขี องวงกลมใชเ้ ป็น r 6 y4 4y 2 2 5 x 10 10 5x x (h,k) 10 5 5 10 2 15 o 24 46 สมการของวงกลมเมอ่ื จดุ ศูนย6์กลางอยู่ทจ่ี ุด (0 , 0) สมการของวง8กลมเมือ่ จดุ ศูนยก์ ลางอย่ทู จ่ี ุด (h , k) ( 10 ) ( ) 8 ภำพที่ 2 รูปวงกลมตำมสมกำรวงกลมท่ีกำหนดจุดศูนย์กลำงตำ่ งๆ กัน 12 10 เมื่อกระจายเทอม กาลงั สอง จะไดส้ มการวงกลมเป็น ให้ -2h = D ; -2k = E ; F จะไดส้ มการวงกลมรปู แบบทว่ั ไปเป็น โดย

4 จากสมการวงกลมท่ีมรี ปู แบบทว่ั ไป คือ x2  y2  Ax  By  C  0 ซ่งึ จากรปู แบบดงั กลา่ วทาใหไ้ ด้ว่า  x2  Ax   y2  By  C  0  0  x2  2 Ax   A 2    A 2   y2  2By   B 2    B 2  C   2  2    2   2  2    2     x  A 2   y  B 2   A 2   B 2  C  0  2   2   2   2    x  A 2   y  B 2  A 2   B 2  C  2   2   2   2   x  A 2   y  B 2 A2  B2 C  2   2  44  x  A 2   y  B 2 A2  B2  4C  2   2  4  x  A 2   y  B 2  A2  B2  4C 2  2   2   4   x    A8  2   y    B  2   A2  B2  4C 2   2     2    2  6 ซ่งึ จะได้จุดศูนย์กลาง h, k  คอื   A, B และ r  A2  B2  4C  2 2  2 4 ‘y 2 10 5 5x 10 15 (h,k) 2 o 4 ภำพท่ี 3 กรำฟของสมกำรวงกลมทมี่ ีจดุ 6ศนู ย์กลำง h, k  คือ   A, B และรัศมี R  2 2  8 ซ่งึ ในรายงานการศกึ ษาเล่มน้ี จะใหร้ ัศมี r แทนดว้ ย R 10 12

5 2. อตั รำส่วนตรโี กณมิติ ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ที่มมี มุ C เปน็ มุมฉาก B ca A bC ภำพที่ 4 ควำมสมั พันธ์ของดำ้ นของรูปสำมเหลยี่ มมมุ ฉำกที่เกิดเปน็ อัตรำส่วนตรโี กณมิติ จากรปู จะได้ sin A = a , cos B =a c c  sin A = cos B cos A = b , sin B = b cc  cos A = sin B tan A = a , tan B = b ba =1 b a  tan A = 1 tan B กฎของไซน์ (The Law of Sine) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถา้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลาดบั แล้วจะไดค้ วามสาพันธ์ดงั นี้ sin A = sin B = sin C a bc หรือ a= b=c sin A sin B sin C

6 บทท่ี 3 วธิ กิ ำรดำเนินกำรศึกษำ 1. ตำรำงกำรดำเนนิ งำน ตำรำงที่ 1 ตารางการดาเนินงาน ที่ วนั เดือน ปี กจิ กรรม กำรดำเนนิ กำรศึกษำ ผ้รู บั ผิดชอบ 1 3-10 ก.ค. 2561 คัดเลอื กหัวข้อโครงงาน คณะผู้ศกึ ษาทกุ คน 2 11-15 ก.ค. 2561 สง่ หัวข้อโครงงานปรกึ ษาครทู ป่ี รกึ ษา คณะผศู้ ึกษาทุกคน 3 16-20 ก.ค. 2561 กาหนดแนวทางและขอบเขตของการศกึ ษา คณะผูศ้ กึ ษาทกุ คนและ 4 21-23 ส.ค. 2561 รว่ มกับครูท่ีปรกึ ษา ครูที่ปรึกษา ทบทวนความรเู้ บอื้ งตน้ เกี่ยวกบั กาลังสอง คณะผศู้ ึกษาทุกคนและ 5 24-25 ส.ค. 2561 สมบรู ณ์สองตวั แปรและสมการวงกลมในรูป ครูทีป่ รกึ ษา 6 25-26 ส.ค. 2561 7 27-31 ส.ค. 2561 x2  y2  Ax  By  C  0 8 1-5 ก.ย. 2561 ศึกษารปู แบบความสมั พนั ธ์ของการแบง่ รูป คณะผู้ศกึ ษาทกุ คนและ 9 6-10 ก.ย. 2561 n เหล่ียมด้านเทา่ มุมเท่า ครทู ีป่ รกึ ษา 10 11-15 ก.ย. 2561 ทบทวนความรเู้ บ้อื งต้นเก่ียวกบั อัตราสว่ น คณะผู้ศึกษาทกุ คนและ ตรีโกณมติ ิ ครทู ี่ปรึกษา หาสตู รการหาพนื้ ที่ของรปู n เหลยี่ ม คณะผศู้ กึ ษาทุกคนและ ด้านเท่ามุมเทา่ ตา่ งๆ ท่ีแนบในสมการวงกลม ครทู ป่ี รกึ ษา ในรูป x2  y2  Ax  By  C  0 สรปุ การศึกษารวบรวมขอ้ ค้นพบความรู้ คณะผู้ศึกษาทุกคน ทฤษฎี หลักการ แนวคิด ระเบียบวธิ ี และ ผลลพั ธจ์ ากการศกึ ษาต่อครทู ี่ปรกึ ษา เพ่อื รบั การวิพากษ์และแกไ้ ขจากครทู ปี่ รกึ ษา จัดพิมพร์ ูปเลม่ โครงงาน คณะผศู้ กึ ษาทกุ คน จดั ทาบอรด์ นาเสนอโครงงานและแผน่ พับ คณะผศู้ กึ ษาทกุ คน แนะนาโครงงาน ลำดบั กำรดำเนนิ กำรศกึ ษำ 1. ศกึ ษาสตู รการหาพ้ืนท่ีของรปู n เหลีย่ มดา้ นเท่ามุมเทา่ โดยที่ n  3 ทีแ่ นบในรูปวงกลมใดๆ 2. ศึกษาสตู รการหาพนื้ ท่ีของรปู n เหลย่ี มด้านเท่ามมุ เท่า โดยที่ n  3 ทแ่ี นบในรูปวงกลมใดๆ ทม่ี ีสมการรูปแบบทั่วไปเปน็ x2  y2  Ax  By  C  0

7 บทท่ี 4 ผลกำรดำเนินกำรศึกษำ จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เร่ือง การหาพ้ืนท่ีรูป n เ ห ลี่ ย ม ด้ า น เ ท่ า มุ ม เ ท่ า โ ด ย ที่ n  3 ท่ี แ น บ ใ น ว ง ก ล ม ที่ มี ส ม ก า ร รู ป แ บ บ ท่ั ว ไ ป เ ป็ น x2  y2  Ax  By  C  0 ในคร้งั นี้ คณะผ้ศู ึกษาไดผ้ ลการศึกษาแบง่ เป็น 2 ตอน ตามลาดับดงั น้ี ตอนที่ 1 การศึกษาสูตรการหาพ้ืนที่ของรูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า โดยท่ี n  3 ที่แนบใน รูปวงกลมใดๆ ตอนท่ี 2 การศึกษาสตู รการหาพน้ื ที่ของรปู n เหลย่ี มดา้ นเท่ามมุ เทา่ โดยที่ n  3 ที่แนบใน รปู วงกลมใดๆ ที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 ซ่งึ แตล่ ะตอนมรี ายละเอียดดงั ต่อไปนี้ ตอนท่ี 1 กำรศึกษำสูตรกำรหำพ้ืนท่ีของรูป n เหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมเท่ำ โดยท่ี n  3 ที่แนบในรูปวงกลม ใดๆ จากท่ีเราทราบว่าผลรวมของมุมภายในของรูปวงกลมเท่ากับ 360 ซ่ึงถ้าหากเราต้องการสร้างรูป n เหลยี่ มดา้ นเท่ามุมเทา่ โดยที่ n  3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ เราสามารถสร้างไดด้ งั รูป  R R l ภำพท่ี 5 แนวคิดกำรสรำ้ งรูป n เหลยี่ มดำ้ นเทำ่ มมุ เทำ่ โดยท่ี n  3 ท่ีแนบในรปู วงกลมรัศมี R ใดๆ จากภาพท่ี 5 และกฎของไซน์ (หนา้ 5) ทาให้ไดว้ ่า AOB  BOC ซึ่งทาใหไ้ ด้ว่า พ้ืนทีข่ องรูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ AOB  1 OM  AB 2  1 Rsin ABC 2

8  1  R sin Al 2  1 Rl sin A 2 จากสามเหลย่ี ม AOB เปน็ สามเหลี่ยมหนา้ จ่วั และผลรวมของมุมภายในของรปู สามเหลยี่ มใดๆ เป็น 180 ทาใหไ้ ด้วา่ พ้ืนทขี่ องรปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั AOB  1 Rl sin A 2 1  180  360  2  2 n   Rl sin       1 Rl sin  180n  360  2  2n   1 Rl sin  180n  2  2    2n  1  90n  2  ตารางหน่วย  2 Rl sin   n   ซงึ่ จะได้ พน้ื ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่ว AOB  1 Rl  90n  2  ตารางหนว่ ย -----------> 2 sin   n   พ้ืนท่ีของรูป n เหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า โดยท่ี n  3 ท่ีแนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ที่ประกอบด้วย รปู สามเหล่ียมหนา้ จั่วทเี่ ท่ากันทกุ ประการ n รูป  1 nRl sin  90  n 2  ตารางหน่วย -----------> 2  n    จากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BOC ซึ่งเท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว AOB ดังภาพท่ี 5 (หนา้ 8) เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จั่ว 1 รูป ใน n รปู ที่เทา่ กนั ทกุ ประการกบั รปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั รปู อน่ื ๆ ท่เี กิด จากการแบง่ ออกเปน็ n รูป ทแี่ นบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ทาให้เราทราบวา่   360 n และกฎของไซน์ (หน้า 5) ทาใหไ้ ด้วา่ sin B sin R l l sin B  Rsin l  R sin sin B

9 R sin  360   n  l   90n  2  sin    n  ดงั นั้นความยาวของฐานของรปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั ซงึ่ ยาว l หน่วย ท่แี นบในรปู วงกลมท่ีมรี ศั มียาว R หนว่ ย สามารถคานวณได้ดังนี้ R sin  360   n  l หนว่ ย ----------->  90n  2  sin    n  จากสมการท่ี  และ  จะได้วา่ พ้ืนทีข่ องรปู n เหล่ยี มด้านเทา่ มมุ เทา่ โดยที่ n  3 ท่ีแนบในรูปวงกลมรศั มี R ใดๆ ทป่ี ระกอบด้วย รปู สามเหลีย่ มหน้าจวั่ ทีเ่ ท่ากนั ทกุ ประการ n รูป   360     n   1  sin 2   90  n 2  2  n    n  nR 2   sin    n   90   sin      1 nR2 sin  360   90n  2  2  n  sin     90n  2   n  sin  n     1 nR2  sin  360  ตารางหน่วย -----------> 2  n  ตอนท่ี 2 กำรศึกษำสูตรกำรหำพ้ืนที่ของรูป n เหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมเท่ำ โดยที่ n  3 ท่ีแนบในรูปวงกลม ใดๆ ท่ีมี สมกำรรปู แบบท่ัวไปเปน็ x2  y2  Ax  By  C  0 จากวงกลมใดๆ ทม่ี ี สมการรปู แบบทวั่ ไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 ทีม่ รี ศั มี R  A2  B2  4C และจากสมการที่  จะได้ 2

10 พนื้ ทข่ี องรปู n เหลีย่ มดา้ นเทา่ มมุ เท่า โดยที่ n  3 ท่แี นบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ที่ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมหนา้ จัว่ ท่เี ทา่ กนั ทกุ ประการ n รูป  1 n  A2  B2  4C 2  sin  360  2  2   n   2  1n A2  B2  4C  sin  360  2 22  n    1n A2  B2  4C  sin  360  2 4  n    1  360  8 A2  B2  4C n  sin  n   n  360  หรือ  A2  B2  4C  sin  n  8 ตารางหนว่ ย ---------->

11 บทที่ 5 สรปุ ผลกำรศึกษำและขอ้ เสนอแนะ จากผลการดาเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือคาอธิบาย เรื่อง การหาพ้ืนที่รูป n เ ห ล่ี ย ม ด้ า น เ ท่ า มุ ม เ ท่ า โ ด ย ท่ี n  3 ท่ี แ น บ ใ น ว ง ก ล ม ท่ี มี ส ม ก า ร รู ป แ บ บ ทั่ ว ไ ป เ ป็ น x2  y2  Ax  By  C  0 ในครงั้ นี้ คณะผศู้ ึกษาไดข้ ้อสรุปของผลการศึกษาดงั นี้ วัตถปุ ระสงค์ 1. เพอื่ ศกึ ษาสูตรการหาพนื้ ท่ีรปู n เหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเทา่ โดยที่ n  3 ที่แนบในวงกลมท่ีมีสมการ รปู แบบทัว่ ไปเป็น x2  y2  Ax  By  C  0 ผลกำรศกึ ษำ สตู รการหาพื้นที่รปู n เหลีย่ มด้านเท่ามุมเทา่ โดยที่ n  3 ท่แี นบในวงกลมท่มี ีสมการรูปแบบท่ัวไป เป็น x2  y2  Ax  By  C  0 คือ พ้ืนท่ี = 1 A2  B2  4C n  sin  360  ตารางหนว่ ย  n  8  n  360  A2  B2  4C  sin  n  หรือ พนื้ ท่ี = 8 ตารางหนว่ ย ข้อเสนอแนะจำกกำรดำเนนิ กำรศึกษำในครั้งนีแ้ ละคร้งั ตอ่ ไป 1. ควรศกึ ษาการหาพื้นทใ่ี นสมการรูปแบบอ่นื ๆ 2. ควรใชโ้ ปรแกรมทางคณิตศาสตร/์ วิศวกรรมศาสตร์/สถติ ิ ชว่ ยตรวจสอบความถูกตอ้ งแม่นยา ของสตู ร

12 บรรณำนุกรม มานพ ชยั ดิเรก, 2553. รำกฐำนคณิตศำสตร์. ชลบรุ :ี ชลบรุ กี ารพมิ พ์ พรรณี ศลิ ปะวัฒนานนั ท,์ 2521. คณติ ศำสตรฉ์ บบั สมบรู ณ์ ม.3(ฉบบั ปรบั ปรุง 2533). กรุงเทพมหานคร: สานกั พมิ พฟ์ ิสกิ สเ์ ซน็ เตอร์. ฝ่ายวชิ าการ พบี ซี ี 2544. ยอดคณิตศำสตร์ เรอื่ ง พที ำโกรสั และตรีโกณมติ .ิ กรงุ เทพมหานคร: สานักพมิ พ์ พบี ซี ี สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร, 2551.คณติ ศำสตรเ์ พม่ิ เติม 2 ม.4 กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร,2551.คณติ ศำสตร์เพิ่มเตมิ 1 ม.5 กรงุ เทพมหานคร: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

13 ภำคผนวก

14 ภำคผนวก ก ประวัตผิ ศู้ ึกษำ

15 ชอ่ื ประวัติผ้ศู ึกษำ วนั เดือนปีเกดิ ท่ีอยู่ปจั จุบัน เด็กหญงิ ฐิดาภา ปกครองบา้ น วนั อังคาร ที่ 21 เดอื นกนั ยายน พ.ศ. 2547 ประวตั ิกำรศึกษำ บ้านเลขที่ 75 หมู่ 11 บา้ นพระเนตร ตาบลตา้ อาเภอขนุ ตาล จังหวัดเชียงราย รหัสไปรษณยี ์ 57340 จบระดบั ชนั้ ปกี ารศึกษาท่ี 6 จากโรงเรยี นอนบุ าลบา้ นพระเนตร ปัจจบุ นั กาลงั ศึกษาอยใู่ น ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2/11 โรงเรียนเทงิ วทิ ยาคม

16 ช่อื ประวัติผศู้ ึกษำ วันเดือนปเี กดิ ทอ่ี ยู่ปจั จบุ ัน เด็กหญิงเมธาพร ประสพ วนั พฤหสั บดี ท่ี 20 เดือนเมษายน พ.ศ. 2547 ประวตั ิกำรศึกษำ บา้ นเลขท่ี 209 หมู่ 4 บา้ นเวยี งหวาย ตาบลเม็งราย อาเภอพญาเมง็ ราย จังหวัดเชียงราย รหสั ไปรษณีย์ 57290 จบระดับช้ันประถมศึกษาปที ี่ 6 จากโรงเรยี นกฤษณาทวีวิทย์ ปจั จบุ นั กาลงั ศึกษาอย่ใู น ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2/11 โรงเรยี นเทงิ วทิ ยาคม

17 ประวัติผศู้ ึกษำ ชื่อ นางสาววนสั นันท์ ผดั กันตุ้ย วันเดือนปเี กิด วันอาทิตย์ ท่ี 18 เดอื นกรกฎาคม พ.ศ. 2546 ท่อี ยู่ปัจจุบนั บา้ นเลขที3่ 7 หมู่ 2 บ้านตับเตา่ ตาบลตับเต่า อาเภอเทิง ประวัตกิ ำรศกึ ษำ จงั หวัดเชยี งราย รหสั ไปรษณยี ์ 57160 จบระดบั ชนั้ ประถมศกึ ษาปที ่ี 6 จากโรงเรยี นอนบุ าลตับเตา่ (ไคร้สามัคควี ทิ ยา) ปจั จบุ นั กาลงั ศึกษาอยู่ใน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3/10 โรงเรียนเทงิ วิทยาคม

18 ภำคผนวก ข เอกสำรประกอบกำรศกึ ษำ

19

20

21

22

23

เด็กหญงิ ฐิดาภา โรงเรยี นเท ไดร้ บั รางวัลระดับเห กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-น.๗๕๕๙/๒๕๖๑ า ปกครองบา้ น ทงิ วทิ ยาคม หรยี ญทอง ชนะเลิศ งทฤษฎหี รือคำอธบิ ายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ชนั้ ม.๑ - ม.๓

นางสาววนัสน โรงเรยี นเท ไดร้ ับรางวัลระดับเห กิจกรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสร้าง

เลขท่ี สพม.๓๖-น.๗๕๕๘/๒๕๖๑ นนั ท์ ผดั กันตยุ้ ทิงวทิ ยาคม หรียญทอง ชนะเลิศ งทฤษฎีหรอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ชั้น ม.๑ - ม.๓

เด็กหญงิ เมธา โรงเรยี นเท ได้รบั รางวัลระดบั เห กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-น.๗๕๗๐/๒๕๖๑ าพร ประสพ ทงิ วิทยาคม หรียญทอง ชนะเลิศ งทฤษฎีหรือคำอธบิ ายทางคณติ ศาสตร์ ระดบั ชั้น ม.๑ - ม.๓

นางรัตติยา โรงเรยี นเท ครผู ูส้ อนนักเรยี น ได้รบั รางว กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-ค.๑๒๑๘๒/๒๕๖๑ า วงศว์ ุฒิ ทิงวทิ ยาคม วลั ระดับเหรยี ญทอง ชนะเลศิ งทฤษฎหี รอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดับชน้ั ม.๑ - ม.๓

นายอาหน โรงเรียนเท ครูผูส้ อนนักเรยี น ไดร้ บั รางว กจิ กรรม การประกวดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสรา้ ง

เลขที่ สพม.๓๖-ค.๑๒๑๗๘/๒๕๖๑ นง่ึ ชูไวย ทิงวิทยาคม วัลระดบั เหรยี ญทอง ชนะเลศิ งทฤษฎหี รอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดับชน้ั ม.๑ - ม.๓