ใบความรู้หน่วยที่ 6

ใบความรู้ที่ 14 296 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 บทท่ี 6 การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าด้วยฟูเรียร์ (SIGNAL ANALYSIS BY FOURIER) 6.1 อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) 6.1.1 บทนา สัญญาณ และ/หรือ ฟังก์ชน่ั ต่าง ๆ ที่เกิดข้ึนในปัญหาทางกายภาพ (physical problem) และ ปัญหาทางวิศวกรรม (engineering problem) ที่พบเห็นอยู่เสมอมักจะเป็ นฟังก์ช่ันเป็ นคาบ (periodic function) ซ่ึงฟังก์ชน่ั เหลา่ น้ีสามารถแทนให้อยใู่ นเทอมหรือพจน์ของฟังก์ชน่ั เป็ นคาบของสัญญาณไซน์ (sine wave) และ โคไซน์ (cosine wave) ท้งั น้ีโดยทวั่ ไปแลว้ สญั ญาณท้งั สองจะมีความสาคญั มาก เพราะ เป็ นพ้ืนฐานสาหรับการพิจารณาสัญญาณอื่น ๆ และท้งั น้ีในการแทนแต่ละเทอมของอนุกรม (series) ดว้ ยฟังก์ชั่นไซน์และโคไซน์ เกิดข้ึนจากความคิดของนักฟิ สิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ช่ือ Joseph Fourier ดังน้ัน เพื่อเป็ นเกียรติแก่เขา จึงเรียกฟังก์ช่ันดังกล่าวน้ีว่า อนุกรมฟูเรียร์  (Fourier series) ซ่ึงอนุกรมฟูเรียร์เสมือนเป็นเคร่ืองมืออนั หน่ึงท่ีนามาใชแ้ กป้ ัญหาต่าง ๆ เช่น แกส้ มเชิงอนุพนั ธ์ สามัญ (Ordinary Differential Equation :ODE) และส ม ก ารเชิ งอ นุ พัน ธ์ย่อย(Partial Differential Equation : PDE) (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538:1) ในหน่วยการเรียนที่ 6 น้ี จะพิจารณาแนวคิดเบ้อื งตน้ ความจริง ตวั อยา่ ง และวิธีเกี่ยวกบั อนุกรม ฟูเรียร์ รวมท้ังพิจารณาถึงตวั อย่างการนาไปใช้แกป้ ัญหาทางวิศวกรรม เช่น สัญญาณรูปคลื่น เพื่อเป็ น พ้ืนฐานในการศึกษาในระดบั สูงข้ึนโดยทวั่ ไปทฤษฎีของอนุกรมฟูเรียร์ค่อนขา้ งจะซับซ้อน แต่จะง่าย สาหรบั การนามาใช้ ซ่ึงอนุกรมฟูเรียร์สามารถนามาใชไ้ ดท้ ั่ว ๆ ไป และกวา้ งกว่าอนุกรมเทเลอร์ (talor series) ท้ังน้ีเพราะว่า ในทางปฏิบตั ิบางคร้ังจะเกี่ยวขอ้ งกับฟังก์ชั่นไม่เป็ นคาบ (nonperiodic function) และ/หรือ ฟังกช์ น่ั ไมต่ ่อเน่ือง (discontinuous function) ซ่ึงอนุกรมฟเู รียร์สามารถนามาใชก้ บั กรณีท้งั สอง น้ีได้  Fourier : ฟูริเยร์ ซ่ึงตอ่ ไน้ีจะเรียกวา่ ฟูเรียร์; JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER (168-1830)

ใบความรู้ท่ี 14 297 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังที่ 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 6.1.2 ฟังก์ชั่นเป็ นคาบ (Periodic Function) ฟังกช์ นั่ เป็นคาบ f (x) เรียกว่าเป็นฟังกช์ น่ั ทม่ี คี าบครบรอบ T ถา้ T เป็นคา่ จริงใด ๆ และ ไม่เท่ากบั ศูนย์ (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538:2-40)ดงั น้นั f (x + T ) = f (x) ตลอดทกุ คา่ ของ x ……………………(6.1) เมื่อ T คอื คาบครบรอบของฟังก์ชน่ั f (x) เช่น sinx และ cos x ซ่ึงมีคาบเทา่ กบั 2 (1 รอบวงกลม : ครบ 1 รอบ) f (x) x T รูปที่ 6.1 ฟังกช์ นั่ เป็นคาบ (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 2) จากสมการที่ (6.1) และรูปที่ 6.1 จะเห็นไดว้ ่า สัญญาณมคี าบครบรอบเทา่ กบั T และเกิดข้นึ ซ้า ๆ กบั ทุก ๆ คา่ ของ T ดงั น้นั ถา้ n เป็นเลขจานวนเตม็ สามารถกาหนด ไดเ้ ป็น f (x + nT) = f (x) ตลอดทกุ คา่ ของ x ……………………(6.2) ดงั น้นั ถา้ nT = 2T ,3T ,4T , เป็นคาบของฟังกช์ นั่ f (x) ซ่ึงสญั ญาณกจ็ ะเกิดข้นั ซ้ากนั ตามจานวน รอบหรือค่าของ n ในตอนแรกน้ี จะพจิ ารณาฟังก์ชน่ั ต่าง ๆ ทม่ี คี าบ 2 ในเทอมของฟังก์ ชน่ั ง่าย ๆ ไดแ้ ก่ 1, cos x, sin x, cos2x, sin 2x,, cosnx, sin x, ……………………(6.3)

ใบความรู้ที่ 14 298 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ซ่ึงมีคาบครบรอบเป็น 2 ดงั รูปท่ี 6.2 และอนุกรมจะเกิดข้ึนในรูปแบบ a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin2x +  + an cos nx + bn sinnx ……….(6.4) เมือ่ a0 ,a1 ,a2 ,,b1 ,b2 ,เป็นตวั คงทีจ่ านวนจริง อนุกรมในสมการที่ (6.4) เรียกว่า อนุกรมตรีโกณมติ ิ (trigonometric series) และ an และ bn เรียกว่า สัมประสิทธ์ิ (coefficient) ของอนุกรม สญั ญาณไซนแ์ ละโคไซนท์ มี่ ฮี าร์โมนิค (harmonic) n = 1,2 และ 3 ไดแ้ สดงไวใ้ นรูปที่ 6.2 และเฉพาะสัญญาณไซนท์ ี่ n = 1,2 และ 3 ไดแ้ สดงไวบ้ นแกน x เดียวกนั ดงั รูปท่ี 6.3 0π 2π 0 π 2π 0 π 2π cos x cos 2x cos3x 0 π 2π 0 π 2π 0 π 2π รูปที่ 6.s2inสxัญญาณโคไซน์และไซนค์ าบsคinร2บxรอบเทา่ กบั 2 (นิรนั ดร์ คsาiปn3รxะเสริฐ. 2538:3) f (x) sin x sin2x sin3x n =1 n = 2 n=3 1 0 TX −1 รูปท่ี 6.3 สญั ญาณไซน์ทฮี่ าร์โมนิก n = 1, 2 และ 3 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538:3)

ใบความรู้ที่ 14 299 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 6.1.3 อนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมิติ (Trigonometric Fourier Series) จากหัวขอ้ ที่ 6.1.2 เราไดท้ ราบว่า sinnx และ cos nx มีคา่ ต่าง ๆ ตลอดช่วงท้งั หมด (x0 ,x0 + T ) ไดด้ งั น้ี f (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + an cos nx ……………(6.5) + b1 sin x + b2 sin2x + + bn sinnx + (x0  x  x0 + T ) สมการที่ (6.5) สามารเขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปผลบวก ไดด้ งั น้ีคือ  ………………..(6.6) f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) n=1 เมื่อ (x0  x  x + T ) สมการที่ (6.6) คอื อนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมิติ (Trigonometric Fourier Series) ของฟังกช์ น่ั x ซ่ึงตวั คงท่ี a0 และตวั สมั ประสิทธ์ิ an กบั bn จะตอ้ งถกู กาหนดและคานวณคา่ ออกมาเพอื่ นาไปแทน ในสมการท่ี (6.6) โดยใช้สมการ ดงั น้ี =a0 1  f (x)dx ……………….(6.7) 2 ……………….(6.8) − ……………….(6.9) =an1  f (x)cos nxdx  − =bn1  f (x)sinnxdx  −

ใบความรู้ท่ี 14 300 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 สมการท่ี (6.7) , (6.8) และ (6.9) เรียกวา่ สูตรออยเลอร์ (Euler formular) ซ่ึงฟังกช์ น่ั คาบครบ รอบ f (x) ใด ๆ ท่ีมคี าบเท่ากบั 2 สามารถหาอนุกรมฟเู รียร์ ไดจ้ ากสมการที่ (6.1) หรือ สมการ ที่ (6.2) และค่าสัมประสิทธ์ิต่าง ๆ ในสมการท้งั สองน้ีจะคานวณไดจ้ ากสมการที่ (6.7) – (6.9) เรียกวา่ สัมประสิทธ์ฟิ ูเรียร์ ของ f (x) ท้งั น้ีฟังกช์ น่ั f (x) จะตอ้ งตอ่ เนื่อง (continuous) ตัวอย่างที่ 6.1 จงหาอนุกรมฟเู รียร์ของฟังกช์ นั่ เป็นคาบรูปคล่ืนส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัส (square wave) ดงั รูปท่ี 6.4 ซ่ึงมี f (x) = − k −  x  และ f (x + 2 ) = f (x)  0 x  k f (x) k - π 0 π 2π x −k รูปที่ 6.4 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538:9) วิธที า จากสูตร  หาสมั ประสิทธ์ิฟูเรียร์ จากสูตร f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) n=1 เพราะฉะน้นั a0 , an และ bn จากสมการท่ี (6.7) – (6.9) ไดด้ งั น้ี a0 = 1  f (x)dx 2 − 1  0 (− k )dx +  x 2  0 −  = kd = −k (x) 0 + k (x)  2 − 2 0 = − k 0 − (−  )+ k  − 0 2 2 = − k + k = 0 2 2 a0 = 0

ใบความรู้ท่ี 14 301 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 หา an จากสูตร an = 1  f (x)cos nxdx  − 1  0 (− k )cos  nxdx  =   − 0 nxdx + k cos 1 − k 0  nxdx  0 cos nxdx + k −  = cos = 1 − k 0 cos nxd(nx) + k  cos nxd (nx)  n n − 0 = 1  k (sin nx) 0 + k (sin nx)   − n − n 0   = k − sin(0) − sin(− n )+ sin(n ) − sin(0) n an = k − sin(n ) + sin(n ) = 0 n เพราะฉะน้นั an = 0 และ หา bn จากสูตร bn = 1  f (x)cos nxdx  − 1  0 (− k )sinnxdx +  x   0 −  = k sin nxd 1 − k 0  sin nxdx  0 sinnxdx+ k −  = = 1 − k 0 sin nxd(nx) + k  sin nxd (nx)  n n − 0 = 1  k (− cos nx) 0 + k (− cos nx)    − n − n 0    = k cos(0) − cos(− n )− cos(n ) − cos(0) n

ใบความรู้ที่ 14 302 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 bn = k 1− cos(n )− cos(n ) −1 n = k 1+1− 2cos(n ) n = k 2 − 2cos(n ) n เพราะฉะน้นั bn = 2k 1 − cos(n ) n จากสมการ หาคา่ bn โดยการแทนค่า n = 1,2, 3,4,] ประมาณ 6 ค่า ดงั น้ี เมื่อ n =1 ได้ b1 = 2k (1 − cos ) = 2k (1 − (− 1)) = 4k    เมื่อ n = 2 ได้ b2 = 2k (1 − cos 2 ) = 2k (1 − (1)) = 0 2 2 เมอ่ื n = 3 ได้ b3 = 2k (1 − cos 3 ) = 2k (1 − (− 1)) = 4k 3 3 3 เมอื่ n = 4 ได้ b4 = 2k (1 − cos 4 ) = 2k (1 − (1)) = 0 4 4 เม่อื n = 5 ได้ b5 = 2k (1 − cos 5 ) = 2k (1 − (− 1)) = 4k 5 5 5 เมื่อ n = 6 ได้ b6 = 2k (1− cos 6 ) = 2k (1− (1)) = 0 6 6 ดงั น้นั จึงสรุปไดว้ ่า bn = 4k n ,n = 1,3,5,...  ,n = 2,4,6,...  0  จากสูตร f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) จึงไดว้ ่า n=1  f (x) = (bn sinnx) เม่อื n เป็นเลขค่ี n = 1, 3,5, n=1 เพราะฉะน้นั f (x) = 4k  sin x + 1 sin3x + 1 sin5x +   3 5

ใบความรู้ท่ี 14 303 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ซ่ึงผลบวกแต่ละเทอมแสดงดงั รูปที่ 6.5 f (x) S1 x − k − −k − f (x) S1 S2 k −k  x x f (x) 4k sin3x 3 k S2 S3  − k 4k sin5x 5 รูปที่ 6.5 แสดงผลบวกของแตล่ ะเทอม (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 :9) ตอบ

ใบความรู้ท่ี 14 304 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ตวั อย่างที่ 6.2 จงหาอนุกรมฟเู รียร์จากรูปท่ี 6.6 f (x)  - π 0 π 2π x รูปท่ี 6.6 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 12) วธิ ที า จากรูปท่ี 6.6 จะไดว้ ่าคาบเวลาเทา่ กบั 2 คือในช่วง 0 ถึง 2 ดงั น้นั จะไดฟ้ ังก์ชน่ั f (x) = 0 ท่ีช่วง 0  x   และ f (x) = (x − ) ท่ีช่วง   x  2 จากสมการอนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมติ ิ  เม่ือ x0  x  x + T f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) n=1 หาสมั ประสิทธ์ิอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมติ ิ a0 จากสูตร a0 = 1 2 f (x) dx 2 0 แทนคา่ ได้ a0 = 1  (0)dx + 1 2 (x −  )dx 2 2 0  = 1 2 (x −  )dx 2   = 1 1 2 2 dx 2  2  xdx −  = 1 2  2 xdx − 1 2 2 dx = 1  x2  2 − 1 (x) 2 2 2  2   = 1 (2 )2 − ( )2 − 1 (2 −  ) 4 2

ใบความรู้ที่ 14 305 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3  a0 1 − 1 (2 −  ) = 4 (2 )2 − ( )2 2  = 1 4 2 − ( )2 −  4 2 = 3 2 −  4 2 = 3 −  = 3 − 2 =  42 4 4 เพราะฉะน้นั a0 =  4 หาสัมประสิทธ์อิ นุกรมฟเู รยี ร์ an จากสูตร an = 1 2 f (x)cos nx dx  0 แทนคา่ ได้ an = 1  (0)cos nxdx + 1 2 (x −  )cos nxdx   0  = 1 2 (x −  )cos nxdx    = 1 2 x cos nxdx − 1 2  cos nxdx    = 1  2 2 x cos nxdx − cos nxdx  = 1 1 2 2 cos nxd(nx) x cos nxdx−   n  = 1 2 x cos nxdx− 1 (sin nx) 2  n   = 1 2 x cos nxdx− 1 sin(2n ) − sin(n )  n  an = 1 2 x cos nxdx− 1 sin(2n )− sin(n ) ………………..(6.10)  n 

ใบความรู้ท่ี 14 306 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 จากสมการท่ี (6.10) พจิ ารณาเทอมทหี่ น่ึง เราไมส่ ามารถอนิ ทิเกรทได้ ซ่ึงสามารถหาไดโ้ ดยวิธีอนิ ทิเกรท ทีละส่วน จาก udv = uv −  vdu กาหนดให้ u = x ดงั น้นั du = dx และ dv = cos nxdx หรือ  dv = v =  cos nxdx = 1 sinnx n ดงั น้นั  x cos nxdx = 1x sinnx − 1  sinnxdx nn = 1 x sinnx − 1 (− cos nx) n n2 2 x cos nxdx = 1 x sinnx 2 + 1 2 cos nx   n2  n = 1 2 sin(2n ) − 2 sin(n )+ 1 cos(2n ) − cos(n ) n n2 2 x cos nxdx = 1 2 sin(2n )− 2 sin(n )+ 1 cos(2n )− cos(n ) n n2  แทนค่าลงในสมการท่ี (6.10) ได้ an = 1 1 2 sin(2n ) − 2 sin(n )+ 1 cos(2n ) − cos(n )   n2 n  − 1 sin(2n ) − sin(n ) n = 2 sin(2n ) − 2 sin(n ) + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) n n n2 n 2 − 1 sin(2n ) + 1 sin(n ) n n = 2 sin(2n ) − 2 sin(2n ) − 2 sin(n ) + 1 sin(n ) n n n n + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) n2 n2 =  2 − 2  sin(2n ) −  2 − 1  sin(n ) + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) n n n n n2 n2

ใบความรู้ที่ 14 307 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 14 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 an =  − 2  sin(2n ) −  2 2 − 1  sin(n ) + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) n n n2 n2 an =  − 2  sin(2n ) −  2 2 − 1  sin(n ) + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) …….(6.11) n n n2 n2 จากสมการที่ (6.11) เทอมที่หน่ึงและเทอมทสี่ อง เมื่อ n = 1,2,3, จะมีคา่ เป็นศูนย์ ดงั น้นั สมการท่ี (16.11) จึงเขียนใหมไ่ ดเ้ ป็น an = 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) n 2 n 2 หรือ an = 1 cos(2n ) − cos(n ) …………………(6.12) n 2 จากสมการท่ี (6.12) ทดลองแทนค่า n = 1,2,3, ตามลาดบั ดงั น้นั จะได้ an = 2 n 2 n = 1,3,5,  0 n = 2,4,6,  หาสัมประสิทธ์อิ นุกรมฟเู รยี ร์ bn จากสูตร bn = 1 2 f (x)sinnx dx  0 แทนค่าได้ bn = 1  (0)dx + 1 2 ( x −  ) sin nxdx   0  = 1 2 (x −  ) sin nxdx    = 1 2 x sin nxdx − 1 2  sin nxdx    = 1  2  2 x sinnxdx− sin nxdx  = 1 2 x cos nxdx− 1 2 sinnxd(nx)   n

ใบความรู้ท่ี 14 308 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 bn =1 2 x sinnxdx+ 1 (cos nx) 2   n = 1 2 x sin nxdx + 1 cos(2n ) − cos(n )  n  bn = 1 2 x sin nxdx+ 1 cos(2n )− cos(n ) ………………..(6.13)  n  จากสมการท่ี (6.13) พิจารณาเทอมท่หี น่ึง เราไม่สามารถอินทิเกรทได้ ซ่ึงสามารถหาไดโ้ ดยวธิ ีอินทิเกรท ทลี ะส่วน จาก udv = uv −  vdu กาหนดให้ u = x ดงั น้นั du = dx และ dv = sinnxdx หรือ  dv = v =  sinnxdx = − 1 cos nx n ดงั น้นั  x sinnxdx = − 1x cos nx + 1  cos nxdx nn = − 1 x cos nx + 1 sinnx n n2 2 x sinnxdx = − 1 x cos nx 2 + 1 2 sin nx   n2  n = − 1 2 cos(2n )− cos(n )+ 1 sin(2n )− sin(n ) n n2 2 x cos nxdx = − 1 2 cos(2n ) −  cos(n ) + 1 sin(2n ) − sin(n ) n n2  แทนคา่ ลงในสมการท่ี (6.13) ได้ bn = 1 − 1 2 cos(2n )− cos(n )+ 1 sin(2n )− sin(n )   n n2  + 1 cos(2n )− cos(n ) n = − 2 cos(2n ) + 1 cos(n ) + 1 sin(2n ) − 1 sin(n ) n n n2 n2 + 1 cos(2n ) − 1 cos(n ) nn

ใบความรู้ท่ี 14 309 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 = − 2 cos(2n ) + 1 cos(2n ) + 1 cos(n ) − 1 cos(n ) n n nn + 1 sin(2n ) − 1 sin(n ) n2 n2 bn = − 1 cos(2n ) + 1 sin(2n ) − 1 sin(n ) …………………(6.14) n n2 n2 จากสมการท่ี (6.14) เทอมทีส่ องและเทอมทีส่ าม ทางขวาจะมีคา่ เป็นศนู ยเ์ มอ่ื n = 1,2,3, ดงั น้นั จะไดค้ อื bn = − 1 cos(2n ) = − 1 เม่อื n = 1,2,3, nn จากสมการอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมติ ิ  f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) n=1 เพราะฉะน้นั สมการอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ (x)   2 1  f = 4 + n=1 n 2 cos nx − n sin nx  หรือ f (x) =  +  2 cos x + 1 cos 3x + 1 cos 5x +  4  32 52 −  sin x + 1 sin 2 x + 1 sin3x + 1 sin 4 x +  2 3 4 ตอบ

ใบความรู้ท่ี 14 310 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังท่ี 14 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ตัวอย่างที่ 6.3 จงหาอนุกรมฟเู รียร์จากรูปที่ 6.7 f (x) 1 -π 0π 2π 3π 4π x รูปท่ี 6.7 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 16) วิธีทา จากรูปท่ี 6.7 จะไดว้ า่ คาบเวลาเท่ากบั 2 คอื ในช่วง 0 ถึง 2 ดงั น้นั จะไดฟ้ ังก์ชน่ั f (x) = 1 ที่ช่วง 0  x   และ f (x) = 0 ท่ีช่วง   x  2 จากสมการอนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมติ ิ  เมอ่ื x0  x  x + T f (x) = a0 + (an cos nx + bn sinnx) n=1 ดงั น้นั หาสัมประสิทธ์ิอนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมิติจากสมการที่ (6.6) ไดค้ ือ =a01  f (x)dx 2 0 แทนค่าได้ 1  (1)dx + 1 2 (0)dx ดงั น้นั 2 0 2  = a0 = 1  (1)dx 2 0 = 1 (x) = 1 ( − 0) = 1 2 0 2 2 a0 = 1 2

ใบความรู้ท่ี 14 311 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 หาสัมประสิทธ์ิอนุกรมฟเู รียร์ an= 1 2 f (x)cos nx dx  0 แทนคา่ ได้ 1  (1)cos nxdx + 1 2 (0)cos nxdx  0   an= = 1  cos nxdx 0 = 1  cos nxd(nx) n 0 = 1  sin nx n 0 = 1 sin(n ) − sin(0) = 1 sin(n ) n n ดงั น้นั an = 1 sin(n ) = 0 เม่อื n = 1,2,3,4, n หาสมั ประสิทธ์ิอนุกรมฟูเรียร์ bn = 1 2 f (x)sinnx dx แทนคา่ ได้  0 ดงั น้นั 1  (1)sinnxdx+ 1 2 (0)sinnxdx  0   bn= = 1  sin nxd(nx) n 0 =− 1  cos nx n 0 = 1 cos(n ) − cos(0) = 1 cos(n ) −1 n n bn = 1 cos(n ) −1 n

ใบความรู้ที่ 14 312 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 แทนค่า n = 1,2,3,4, ได้ ที่ n =1 ได้ ที่ n = 2 ได้ bn = 1 cos( ) −1 = 1 (−1−1) = −2 ท่ี n = 3 ได้    ท่ี n = 4 ได้ ดงั น้นั จะไดว้ า่ bn = 1 cos(2 ) −1 = 1 (1−1) = 0 2 2 bn = 1 cos(3 ) −1 = 1 (−1−1) = − 2 3 3 3 bn = 1 cos(4 ) −1 = 1 (1−1) = 0 4 4 bn = − 2 n = 1,3,5,  n  0 n = 2,4,6, เพราะฉะน้นั สมการอนกุ รมตรีโกณมติ ิ คอื f (x) = 1 − 2  sin x + 1 sin 3x + 1 sin5x +  2   3 5  หรือ (x) 1 1   1 sin nx  เม่ือ n = 1,3,5,7, f = 2 −  n=1 n ตอบ

แบบฝึ กหดั ท่ี 14 313 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 คาช้ีแจง 1. ใชว้ ดั จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรมครอบคลุมทุกจดุ ประสงค์ 2. แบบฝึกหดั มที ้งั หมด 2 ขอ้ ใหท้ าทกุ ขอ้ ลงในสมุดแบบฝึกหดั ส่งก่อนเรียนคร้ังตอ่ ไป 2 วนั 3. คะแนนเตม็ 40 คะแนน ********************************** ขอ้ 1. จงหาคาบครบรอบบวก T ทน่ี อ้ ยทีส่ ุดของฟังก์ชน่ั ตอ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ 2 คะแนน) 1.1 cos x 1.2 sin x 1.3 cos2x 1.4 sinx 1.5 cos2x ขอ้ 2. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังกช์ นั่ ตอ่ ไปน้ี (ขอ้ ละ 10 คะแนน) 2.1 f (x) 1 − 0  x 2.2 f (x) 1 − − 2 0  2  x รูปท่ี 6.8 (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 18) 2.3 f (x) = x, (-  x   )

เฉลยแบบฝึ กหดั ที่ 14 314 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 14 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 คาตอบ ขอ้ 1. 1.1 2 1.2 2 1.3  1.4 2 1.5 1 ขอ้ 2. 2.1 1 + 2  sin x + 1 sin 3x + 1 sin 5x +  2  3 5 2.2 2 sin x − 2 sin 2x + 1 sin 3x + 1 sin 5x − 2 sin 6x +   2 3 5 6 2.3 2sin x − 1 sin 2x + 1 sin 5x − 1 sin 4x + − 2 3 4

เอกสารอ้างอิง 315 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังที่ 14 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 นิรันดร์ คาประเสริฐ. คณิตศาสตร์วศิ วกรรมไฟฟ้า 1. กรุงเทพมหานคร : ศูนยส์ ื่อเสริมกรุงเทพ, 2538. พฤทธ์ิ พทุ ธางกลุ และคณะ. วเิ คราะห์วงจรไฟฟ้า 2. พมิ พค์ ร้งั ที่ 4 กรุงเทพมหานคร : si’tech. JOSEPH A. ELECTRIC CIRCUITS. USA : The University of Akron , 1965.

317 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) 6.1.4 อนุกรมฟเู รียร์ของฟังก์ชั่นเป็ นคาบใด ๆ การเปล่ยี นฟังก์ชนั่ เป็นคาบท่ีมคี าบครบรอบเทา่ กบั 2 ให้เป็นคาบ T ใด ๆ หรือคาบไม่ เจาะจง (arbitrary period) สามารถทาไดง้ ่าย ๆ โดยเพยี งแต่เปลี่ยนสเกล (scale ;มาตรา) ของ f (t) ให้ เป็นตวั แปรใหม่ คอื กาหนดใหแ้ กน x = t ดงั น้ี t = T x 2 ดงั น้นั x = 2  t …………………….(6.14) T ท้งั น้ี x =  ซ่ึงเป็นไปตามค่า t = T 2 ซ่ึงหมายความวา่ f เป็นฟังก์ชน่ั ของ x และมีคาบครบรอบเท่ากบั 2 ดงั น้นั ถา้ f มีอนุกรมฟูเรียร์ อนุกรมน้ีจะตอ้ งอยใู่ นรูปแบบ คอื (t) =  Tx   sin nx) …………………….(6.15) f f 2 = a0 + cos nx + bn (an n=1 และสัมประสิทธ์ิ ของอนุกรมฟเู รียร์ในสมการท่ี (6.15) คือ a0 = 1  f  Tx dx …………………….(6.16) 2 − 2 …………………….(6.17) …………………….(6.18) an = 1  f  Tx cos nxdx  − 2 bn= 1  f  Tx  sin nxdx  − 2 จากสมการท่ี (16.14) x = 2t T หรือ dx = 2 dt T และช่วงการอนิ ทเิ กรทบนแกน x จะอยใู่ นช่วง −T tT 22

318 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) ดงั น้นั สัมประสิทธ์ิฟเู รียร์ของฟังก์ชนั่ คาบ f (t) ทีม่ ีคาบเท่ากบั T ใด ๆ คอื a0 = 1T 2 f (t)dt …………………….(6.19) T−T 2 …………………….(6.20) …………………….(6.21) an = 2T 2 f (t)cos(nt)dt T−T 2 bn=2T 2 f (t)sin(nt)dt T −T 2 เมอื่ n = 1,2, และ  = 2f = 2f = 2 T และอนุกรมฟเุ รียร์จากสมการที่ (6.15) คือ  ……………………..(6.22) f (t) = a0 + an cos(nt) + bn sin(nt) n=1 ช่วงของการอนิ ทิเกรทในสมการท่ี (16.22) จะอยใู่ นช่วงเท่ากบั T คือ 0  t  T เม่อื T เป็นช่วงเวลาใด ๆ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อย่างท่ี 6.4 จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคล่ืนส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสคาบครบรอบ ดงั รูปท่ี 6.8 f (t) k −3 − 2 -1 01 x 2 3 T =4 รูปท่ี 6.8 (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 21) วิธีทา จากรูปที่ 6.8 เขียนฟังกช์ นั่ f (t) ไดค้ อื (T = 4) 0, − 2  t  −1 f (t) = k , −1  t  1 0, 1  t  2

319 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) หาสัมประสิทธ์ิฟเุ รียร์ a0 ,an และ bn ตามลาดบั จากสมการ a0 =1 T 2 f (t)dt T −T 2 แทนค่าได้ =1 −1(0)dt + 1 1 kdt + 1 2 (0)dt 4 −2 4 −1 4 1   a0  = 1 1 = k 1 = k (t ) 1 kdt dt 4 −1 4 −1 4 −1 = k 1− (−1) = k 42 ดงั น้นั a0 = k 2 และหาสัมประสิทธ์ิ จากสมการ an = 2 T 2 f (t)cos(nt)dt แทนคา่ ได้ T −T 2 an = 2 −1(0) cos(nt )dt + 2 1 k cos(nt)dt + 2 2 (0)cos(nt )dt 4 −2 4 −1 4 1  = 1 1 k cos(nt)dt = k 1 cos(nt)dt 2 −1 2 −1 = k 1 cos(nt )d (nt ) 2n −1 = k sin(nt) 1 2n −1 = k sin(n ) − sin(− n ) 2n = k sin(n ) + sin(n ) 2n = k 2 sin(n ) 2n = k sin(n ) n

320 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) แต่  = 2 T = 2 4 =  2 ดงั น้นั จะไดเ้ ป็น an = 2k sin(n 2) จากสมการ n an = 2k sin(n 2) แทนค่า n = 1,2,3,4, ตามลาดบั จะ ไดเ้ ป็น n  0, n = 2,4,6,  n = 1,5,9, an =  2k n , n = 3,7,11, − 2k n , หาสัมประสิทธ์ิ bn = 2 T 2 f (t)sin(nt)dt แทนคา่ ได้ T −T 2 bn = 2 −1(0) sin(nt )dt + 2 1 sin(nt)dt + 2 2 (0) sin(nt )dt 4 −2 4 k 1 4 −1  = 1 1 k sin(nt)dt = k 1 sin(nt)dt 2 −1 2 −1 = k 1 sin(nt )d (nt ) 2n −1 = − k cos(nt) 1 2n −1 = − k cos(n ) − cos(− n ) 2n = − k cos(n ) − cos(n ) = 0 2n ดงั น้นั bn = 0 จาก สมการอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ  f (x) = a0 + an cos(nt) + bn sin(nt) n=1 แทนคา่ ได้ f (x) = k + 2k cos t  − 1 cos 3t  + 1 cos 5t  − +  เพราะฉะน้นั 2  2  3  2  5  2    f (x) = k + 2k cos t  − 1 cos 3t  + 1 cos 5t  − +  ตอบ 2  2  3  2  5  2 

321 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) ตัวอย่างท่ี 6.5 จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณเร็คตไิ ฟร์ไซนค์ ร่ึงคล่นื ดงั รูปท่ี 6.9 u(t ) E -π  0 π t T รูปที่ 6.9 (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 :23) วิธีทา จากรูปท่ี 6.9 เขียนฟังก์ชน่ั u(t) ไดค้ อื u(t ) = 0, , −   t  0 (T = 2 ) E sint 0t   เนื่องจาก u(t) = 0 ท่ี −T 2  t  0 ดงั น้นั สมั ประสิทธ์ิฟเู รียร์จากสมการท่ี (6.26a) คือ a0 = 1 T 2 f (t)dt T −T 2 แทนคา่ ได้  0 (0)dt +    E sintdt 2 หรือ −  2 0 หรือ  a0 = ดงั น้นั =   E sintdt 2 0 = E   sintd (t ) 2 0 = E − cos(t)  2 0 a0 = E − cos(t)  2 0 a0 = −E cos(   ) − cos(0) 2 a0 = − E (−1−1) = − − 2E  = E 2 2  a0 = E 

322 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) หาสัมประสิทธ์ิฟูเรียร์จากสมการ an =2 T 2 f (t)cos(nt)dt T −T 2 แทนค่าได้ an = 2 0 (0)cos(nt)dt + 2   E sin(t).cos(nt)dt 2 2 −  0 หรือ an = E   sin(t).cos(nt)dt จากสูตร  ดงั น้นั 0 หรือ sin Acos B = 1 sin(A + B) + sin(A − B) 2 an = E   sin(t + nt) + sin(t − nt )dt 2 0 an = E   sin(t + nt )dt + E   sin(t − nt )dt 2 2 0 0 = E   sin(1 + n)tdt+ E   sin(1 − n)tdt 2 2 0 0 = E  1   sin(1+ n)td (1 + n)t 2 (1+ n) 0 + E  1   sin(1 − n)td ((1 − n)t ) 2 (1− n) 0 = E   sin(1 + n)td (1 + n)t (1+ n)2 0 + E   sin(1 − n)td ((1 − n)t ) (1− n)2 0 = E − cos(1 + n)t  + E − cos(1 − n)t  (1 + n)2 0 (1 − n)2 0

323 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) an =− E cos(1+ n)(  )− cos(1+ n)(  0) (1+ n)2 − E cos(1− n)(  )− cos(1− n)(  0) (1− n)2 = − (1 E cos(1 + n)  − cos(0) + n)2 − E cos(1− n) − cos(0) (1− n)2 = − E cos(1 + n) −1− E cos(1 − n) −1 (1+ n)2 (1− n)2 จากสมการขา้ งตน้ แทนค่า n = 1,2,3,4, ได้ แทน n =1 ได้ an = − E cos(1 + 1) + 1 − E cos(1 − 1) −1 (1 + 1)2 (1 − 1)2 = − E cos(2 )+1− E cos(0)−1 4 (0) = − E 1 + 1 − (E0)1−1 = − 2E = − E 4 4 2 แทน n = 2 ได้ an = − E cos(1 + 2) + 1 − E cos(1− 2) −1 (1+ 2)2 (1− 2)2 = − E cos(3 )+1− E cos(− )−1 6 (−1)2 = − E −1+1− E −1−1 = − E 6 − 2  แทน n = 3 ได้ an = −E cos(1+ 3) + 1 − E cos(1− 3) −1 (1+ 3)2 (1− 3)2 = − E cos(4 )+1− E cos(− 2 )−1 8 (− 2)2 = − E 1 +1− E 1−1 = − 2E = − E 8 − 4 8 4

324 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) แทน n = 4 ได้ an = − E cos(1 + 4) + 1 − E cos(1− 4) −1 แทน n = 5 ได้ (1+ 4)2 (1− 4)2 = − E cos(5 ) +1− E cos(− 3 ) −1 10 − 6 = − E −1 + 1− E −1 −1 = − − 2E = − E 10 − 6 − 6 3 an = −E cos(1+ 5) + 1 − E cos(1− 5) −1 (1+ 5)2 (1− 5)2 = − E cos(6 ) +1− E cos(− 4 ) −1 12 − 8 = − E 1 + 1− E 1−1 = − − 2E = − E 12 − 8 −12 6 เพราะฉะน้นั an = − E (n +1) , n = 1,3,5,...  E (n −1) , n = 2,4,6,... − หาสัมประสิทธ์ิฟเู รียร์ bn = 2 T 2 f (t)sin(nt)dt แทนค่าได้ หรือ T −T 2  bn = 2 0 (0) sin(nt )dt +   E sin(t )sin(nt )dt 2  −  0  bn E   =  sin(t )sin(nt )d t 0 จากสูตร sin A sin B = 1 cos(A − B) − cos(A + B) 2 ดงั น้นั E   cos(t − nt)dt − E   cos(t + nt)dt 2 0 2 0  bn= = E   cos(1− n)tdt − E   cos(1+ n)tdt 2 0 2 0  bn

325 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) หรือ bn = E   cos(1 − n)td (1 − n)t − E   cos(1 + n)td (1 + n)t 2 (1− n) 0 2 (1+ n) 0 = E sin(1− n)t  − E sin(1+ n)t   2 (1− n) 0 2 (1+ n) 0 = 2 E n) sin(1 − n) − sin(0)− 2 E n) sin(1 + n) − sin(0) (1 − (1 + = 2 E n) sin(1 − n) − 2 E n) sin(1 + n)  (1 − (1 + ดงั น้นั bn = E n) sin(1 − n) − E n) sin(1 + n)  2 (1− 2 (1+ แทนค่า n =1 ได้ bn = E sin(1−1) − E sin(1+1)  = 0 2 (1−1) 2 (1+1) แทนค่า n = 2 ได้ bn = E sin(1 − 2) − E sin(1 + 2)  = 0 2) 2) 2 (1− 2 (1+ แทนค่า n = 3 ได้ bn = E sin(1− 3) − E sin(1+ 3)  = 0 2 (1− 3) 2 (1+ 3) ดงั น้นั bn = 0 เมอ่ื n = 1,2,3,4,... จาก สมการอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ  f (x) = a0 + an cos(nt) + bn sin(nt) n=1

326 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) แต่ bn = 0 ดงั น้นั  f (x) = a0 + an cos(nt) n=1 แทนค่าได้ f (x) = E − E  1 cos(t )+ 1 cos(3t ) + 1 cos(5t ) +   2 4 6  เพราะฉะน้นั สมการอนุกรมฟเู รียร์ตรีโกณมิติ คอื f (x) = E − E  1 cos(t ) + 1 cos(3t ) + 1 cos(5t ) +    2 4 6  ตอบ 6.1.5 ฟังก์ช่ันคู่และฟังก์ช่ันค่ี (Even and Odd Functions) จากการพิจารณาอนุกรมฟเู รียร์ทผ่ี า่ นมาน้นั จะเห็นว่าค่อนขา้ งยงุ่ ยากในการอินทิเกรทหาค่า สัมประสิทธ์ิฟูเรียร์ a0 ,an และ bn จากฟังกช์ น่ั บางฟังก์ช่ัน ซ่ึงจะตอ้ งใช้เทคนิคการอินทเิ กรท ดงั เช่น อนิ ทเิ กรททลี ะส่วน ในหวั ขอ้ ที่ 6.1.5 น้ี ถา้ เราทราบวา่ ฟังกช์ นั่ ใดเป็นฟังก์คู่หรือฟังก์ชน่ั คี่ อาจจะหา เฉพาะค่าใดค่าหน่ึง หรือสองค่าเทา่ น้นั ซ่ึงทาให้การคิดคานวณง่ายข้ึน สะดวก และประหยดั เวลา ดงั การพจิ ารณาต่อไปน้ี 1. ฟังก์ช่ันคู่ (Even Function) ใหฟ้ ังก์ชน่ั y = g(x) เรียกวา่ เป็น ฟังก์ชั่นคู่ ถา้ g(− x) = g(x) สาหรับทุก ๆ คา่ ของ x ดงั เช่น f (x) = cos x เป็นฟังก์ชนั่ คู่ พสิ ูจน์ โดยการแทนค่า x ดว้ ย − x ดงั น้นั f (x) = cos(− x) = cos x จึงเรียก cos x ว่าเป็น ฟังก์ช่ันคู่ หรือพจิ ารณาจากรูปท่ี 5.10 เมอื่ เราพบั หนา้ กระดาษตามแนวแกน ต้งั y สัญญาณดา้ นซา้ ยกจ็ ะทบั กบั ดา้ นขวา ดงั น้นั ลกั ษณะน้ีจึงเรียกสญั ญาณใด ๆ หรือฟังกช์ น่ั น้นั ว่า ฟังก์ช่ันคู่

ใบความรู้ที่ 15 327 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 15 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 y = f (x) y = cos x x รูปท่ี 6.10 สัญญาณโคไซน์ (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 28) 2. ฟังก์ช่ันคี่ (Odd Function) ใหฟ้ ังก์ชนั่ h(x) กล่าวว่าเป็น ฟังก์ช่ันค่ี ถา้ h(− x) = −h(x) สาหรับทุก ๆ คา่ ของ x ดงั เช่น f (x) = sin x เป็นฟังกช์ นั่ คี่ พิสูจน์ โดยการแทนคา่ x ดว้ ย − x ดงั น้นั f (x) = sin(− x) = − sinx จึงเรียก sin x ว่าเป็น ฟังก์ชั่นค่ี หรือพิจารณาจากรูปท่ี 5.11 เมือ่ เราพบั หนา้ กระดาษตามแนวแกนต้งั y สญั ญาณดา้ นซา้ ยกจ็ ะอยตู่ รง ขา้ มกบั ดา้ นขวา ดงั น้นั ลกั ษณะน้ีจึงเรียกสัญญาณใด ๆ หรือฟังก์ชนั่ น้นั ว่า ฟังก์ชั่นคี่ y = f (x) y = sin x x รูปท่ี 5.10 สัญญาณไซน์ (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 29)

ใบความรู้ที่ 15 328 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 15 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ฟังก์ชน่ั คูแ่ ละฟังก์ชน่ั คใ่ี ด ๆ อาจจะกาหนดไดด้ งั รูปท่ี 6.11 y y x x (ก) ฟังกช์ นั่ คู่ (ข) ฟังก์ชนั่ คี่ รูปท่ี 6.11 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 30) คณุ สมบตั ิของฟังก์ชั่นค่แู ละฟังก์ชั่นค่ี 1. ฟังกช์ นั่ คู่  ฟังก์ชนั่ คู่ = ฟังก์ชนั่ คู่ 2. ฟังก์ชนั่ คี่  ฟังกช์ นั่ ค่ี = ฟังก์ชนั่ คู่ 3. ฟังก์ชนั่ คู่  ฟังก์ชนั่ คี่ = ฟังกช์ น่ั คี่ 4.  T 2 f (t)dt = 2 T 2 f (t)dt เมอ่ื f (t) เป็นฟังกช์ น่ั คู่ −T 2 0 5. T 2 f (t)dt = 0 เมอื่ f (t) เป็นฟังกช์ น่ั คี่ −T 2 6.1.6 อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชั่นคู่และฟังก์ช่ันคี่ท่มี ีคาบเท่ากบั T 1. อนุกรมฟเู รียร์ของฟังก์ชั่นค่คู าบเท่ากับ T จากสมการ a0 = 1 T 2 f (t)dt T −T 2 เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ช่ันคู่ ตามคุณสมบตั ิขอ้ ท่ี 4 ดงั น้นั a0 = 2 T 2 f (t)dt T −T 2

ใบความรู้ท่ี 15 329 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ หน่วยท่ี 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ สอนคร้ังท่ี 15 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 2. อนุกรมฟเู รียร์ของฟังก์ชั่นคี่คาบเท่ากบั T จากสมการ a0 = 1 T 2 f (t)dt T −T 2 เมอื่ f (t) เป็น ฟังก์ช่ันคี่ ตามคณุ สมบตั ิขอ้ ที่ 5 จะได้ a0 = 0 และจากสมการ an =2 T 2 f (t)cos(nt)dt T −T 2 เมอ่ื เมื่อ f (t) เป็น ฟังก์ช่ันคี่ และเนื่องจาก cos(nt) เป็นฟังก์ชน่ั คู่ ดงั กลา่ วไวข้ า้ งตน้ ดงั น้นั f (t)cos(nt) กจ็ ะเป็นฟังก์ชน่ั คี่ (ตามคุณสมบตั ิขอ้ ที่ 3) ดงั น้นั ตามคุณสมบตั ิขอ้ ท่ี 3 จะได้ an = 0 ในลกั ษณะทีค่ ลา้ ยกนั เมอ่ื f (t) เป็น ฟังก์ชั่นคี่ และ sin(nt) เป็นฟังกช์ นั่ ค่ี ซ่ึงตามคณุ สมบตั ิ ขอ้ ที่ 2 และ 4 จากสมการ bn = 2 T 2 f (t)sin(nt)dt T −T 2 และจากสมการ  f (x) = a0 + an cos(nt) + bn sin(nt) n=1 ดงั น้นั สาหรบั ฟังกช์ น่ั ค่ซี ่ึง a0 = 0 และ an = 0 จะได้ f (x) =  bn sin(nt ) ……………………..(6.22)  n=1

330 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะห์สัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) สมการที่ (6.24) เรียกวา่ อนุกรมฟเุ รียร์ไซน์ (Fourier sine series) จะเห็นว่า ถา้ เราทราบฟังกช์ นั่ f (t) น้นั เป็น ฟังก์ชั่นค่ี ก็ไมต่ อ้ งเสียเวลาหาค่า a0 และ an เพราะ a0 = 0 และ an = 0 อยแู่ ลว้ สาหรบั ฟังกช์ น่ั คู่ 6.1.7 อนุกรมฟเู รียร์ของฟัก์ช่ันค่แู ละฟังก์ชั่นคที่ มี่ ีคาบเท่ากบั 2 1. อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ช่ันค่คู าบเท่ากับ 2 ตามทกี่ ล่าวไปแลว้ ขา้ งตน้ ดงั น้นั จากสมการ  f (x) = a0 + an cos(nx)+ bn sin(nx) n=1 เราจะได้  เม่ือ และ f (x) = a0 + an cos(nx) n =1 a0 = 1  f (x)dx  0 an = 2  f (x)cos(nx)dx  0 2. อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชั่นคี่คาบเท่ากับ 2 ในลกั ษณะเดียวกนั กบั ทีพ่ ิจารณาอนุกรมฟุเรียร์ของฟังก์ชนั่ คีค่ าบเวลา T ดงั ที่ไดก้ ล่าวมาแลว้ ขา้ งตน้ ดงั น้นั สมการ f (x) = a0 +  an cos(nx)+ bn sin(nx) n=1 เราจะได้ f (x) =  bn sin(nx) n=1 เมอื่ bn = 2  f (x)sin(nx)dx  0 พิจารณาตวั อยา่ งท่ี 5.1 ซ่ึงในตอนแรกเราไม่ทราบว่าเป็นฟังกช์ น่ั f (x) เป็นฟังก์ชน่ั คู่หรือฟังก์ชน่ั คี่ ทา ใหเ้ ราเสียเวลาและยงุ่ ยากตอ่ การคานวณหาค่า a0 และ an ในตอนน้ีเม่ือเราทราบว่าเป็น f (x) เป็น ฟังกช์ น่ั คี่ ซ่ึงสมั ประสิทธ์ิฟูเรียร์ a0 = 0 และ an = 0 เราก็ไม่ตอ้ งหาค่าท้งั สองน้ี

ใบความรู้ที่ 15 331 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังท่ี 15 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 ตวั อย่างที่ 6.6 จงหาอนุกรมฟเู รียร์จากรูปที่ 6.12 f (x) 1 − 5 2 − 2 − 3 2 −  − 2 0 2  3 2 2 x 5 2 รูปท่ี 6.12 (นิรันดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 34) วิธที า เน่ืองจากรูปท่ี 6.12 เป็นฟังกช์ น่ั คู่ ดงั น้นั bn = 0 ดงั น้นั จะไดส้ มการอนุกรมฟูเรียร์ คือ f (x) = a0 +  an cos(nx)  n=1 ดงั น้นั จึงหาเฉพาะสมั ประสิทธ์ิฟเู รียร์ a0 และ an เท่าน้นั และจากรูปที่ 6.12 จะไดฟ้ ังก์ชนั่ f (x) คือ (x) = 1, 0 x 2 (คาบเวลา T =  )  f 0,  2  x   จากสูตร a0 = 1  f (x)dx  0  = 1  2 (1)dx + 1  (0)dx  0  2 = 1 (x) 2 = 1   − 0 = 1  2 2 0 ดงั น้นั a0 = 1 2 และ an = 2  f (x)cos(nx)dx  0 = 2  2 (1)cos(nx)dx + 2  (0)cos(nx)dx   0  2 = 2  2 cos(nx)d(nx) n 0

332 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังท่ี 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) an = 2 sin(nx)  2 n 0 = 2 sin(n 2) − sin(0) = 2 sin(n 2) n n ดงั น้นั an = 2 sin n  แทนคา่ n 2  n = 1,2,3,4,... ตามลาดบั ได้  n = 2,4,6,... 0,  2 an =  , n = 1,5,9,...  n n = 3,7,11,...  −2  n , ดงั น้นั สมการอนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ คอื f (x) = 1 + 2  cos x − 1 cos3x + 1 cos5x − 1 cos7x +  ตอบ 2   3 5 7  หมายเหตุ ในบางคร้งั เราไมส่ ามารถรู้ไดว้ า่ ฟังกช์ น่ั f (x) เป็นฟังก์ชนั่ คหู่ รือฟังกช์ น่ั คี่ ซ่ึงกจ็ ะตอ้ ง เสียเวลาและยงุ่ ยากในการหาคา่ สัมประสิทธ์ิฟูเรียร์ท้งั สามคา่ ดงั ไดก้ ล่าวไปแลว้ แต่เราสามารถพจิ ารณา ว่าฟังกช์ น่ั f (x) เป็นฟังก์ชนั่ คู่หรือคี่ไดโ้ ดยพิจารณาจากรูปท่ี 6.13 (ก) และรูปที่ 6.14 (ข) f (x) f (x) 2k k -π 0π 2π 3π 4π x - π 0 π 2π x −k (ก) (ข) รูปที่ 6.13 (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 35)

333 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) จากรูปท่ี 6.13 (ก) เราไมท่ ราบวา่ เป็นฟังกช์ นั่ คูห่ รือคี่ แตเ่ ราสามารถทราบไดโ้ ดยดดั แปลงให้เป็นดงั รูปที่ 6.13(ข) ซ่ึงจะไปเหมอื นกบั ตวั อยา่ งที่ 6.1 ในรูปที่ 6.4 ดงั น้นั ในรูปท่ี 6.13 (ข) ก็จะทราบว่า เป็นฟังก์ชน่ั คี่ ซ่ึง a0 = an = 0 และจะไดอ้ นกุ รมฟูเรียร์ของฟังกช์ น่ั f (x) อยใู่ นรูปสมการ  f (x) = bn sin(nx) n=1 คาตอบทไี่ ดเ้ ท่ากบั คาตอบในตวั อยา่ งท่ี 6.1 คอื f (x) = 4k  sin x + 1 sin 3x + 1 sin 5x +    3 5  และอนกุ รมฟูเรียร์ของ f (x) ในรูปที่ 5.13(ก) คอื f  (x) = k + 4k  sin x + 1 sin 3x + 1 sin 5x +    3 5  สรุป อนกุ รมฟูเรียร์ของ f (x) ใด ๆ ซ่ึงไมท่ ราบว่าเป็นฟังก์คหู่ รือค่จี ะเทา่ กบั ความสูงของ k ของฟังก์ชนั่ ใหม่ (ซ่ึงลดลงเป็นคร่ึงหน่ึงจากฟังก์ชนั่ เดิม) รวมกบั อนุกรมฟเู รียร์ของฟังกช์ น่ั ใหม่ f (x) น้นั ๆ (ซ่ึงทราบว่าเป็นฟังก์ชนั่ คหู่ รือคี่แลว้ ) กล่าวคอื f (x) = k + f (x) เพื่อความเขา้ ใจท่ดี ีย่ิงข้ึน ใหน้ กั เรียนพิจารณาตวั อยา่ งที่ 6.7 ต่อไปน้ี ตวั อย่างที่ 6.7 จงหาอนุกรมฟเู รียร์ของรูปที่ 6.14 (ก) f (t) g(t) 1 1 2 -T 0 T 2T t - T 0 T 2T t −1 2 (ก) (ข) รูปที่ 6.14 (นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. 2538 : 36)

334 ใบความรู้ท่ี 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวิเคราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) วิธีทา เน่ืองจากรูปท่ี 6.14 ไมท่ ราบว่าเป็นฟังก์ชน่ั คู่หรือค่ี เราจึงดดั แปลงใหเ้ ป็นรูปที่ 6.14 (ข) ซ่ึง มคี วามสูงลดลงเป็นคร่ึงหน่ึง และทราบวา่ เป็นฟังกช์ นั่ คี่ ดงั น้นั จากคุณสมบตั ิของฟังก์ชนั่ คี่ เราไดว้ า่ a0 = an = 0 และอนกุ รมฟูเรียร์ คือ  g(t) = bn sin(nt) n=1 เมือ่ bn = 4 T 2 g(t)sin(nt)dt T 0 จากรูปที่ 6.14 (ข) โดยใชส้ ูตรการหาสมการเส้นตรง y จากสูตร y = mx + b b (x1, y1) เม่ือ m = y2 − y1 คอื คา่ ความชนั ของเส้นตรง x x2 − x1 และ b คือจดุ ตดั บนแกน y จากรูปที่ 6.14(ข) จะไดว้ า่ g(t) = −1 2 −1 2 t + 1 = − 1 t + 1 (x2 , y2 ) T −0 2 T 2 g(t) = 1 − t ท่ี 0  t  T 2T ดงั น้นั =4bn T  1 − t  sin(nt )dt หรือ T 0 2 T = 2 T sin(nt )dt − 4 T sin(nt )dt T T2 0 0 t bn = 2 T sin(nt)d(nt) − 4 T t sin(nt )dt nT 0 T2 0 = −2 cos(nt) T −4 T t sin(nt )dt nT T2 0 0 = −2 cos n  2  t  T − 4 T t sin(nt )dt nT T 0 T2 0 = − 2 cos n  2 T  − cos(0) − 4 T t sin(nt )dt nT T T2  0

335 ใบความรู้ที่ 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังท่ี 15 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ คาบรวม 6 ช่ือหน่วย การวเิ คราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เรื่อง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) หรือ bn = − 2 cos(2n ) −1− 4 T sin(nt )dt ……………..(5.25) nT T2 t 0 พิจารณาเทอม T 2 t sin(nt)dt ใชส้ ูตรอินทเิ กรทแบบลดั (ดใู นใบความรู้ท่ี 1) 0 จากสูตร  x sin axdx = 1 (sin ax − ax cos ax) ดงั น้นั a2 T t sin(nt )dt = 1 2 sin(nt ) − nt cos(nt ) T n 2 0 0 = 1  sin n  2 T  − 1  n 2 T cos n  2 T   T n 2 T T  n 2 2 2 - 1  sin(0) − 1 n 2 T  cos(0)  n 2 T  n 2 2 2  = 1 sin(2n )−  cos(2n )+ 2 n 2 2 n 2 n 2 พิจารณาเทอม sin(2n ) แทนคา่ n = 1,2,3,... จะไดว้ ่า sin(2n ) = 0 ดงั น้นั จะไดส้ มการเป็น T t sin(nt )dt = −  2 cos(2n ) + 2 0 n n 2 แทนค่าลงในสมการที่ (6.30) ได้ bn = − 2 cos(2n )−1− 4 −  cos(2n )+ 2  T2  n 2 n 2  2n  = − 1 cos(2n ) −1+ 4 cos(2n )− 4  2 n 4n 2 T 2 n 2 = − 1 cos(2n ) −1+ 1 cos(2n )− 8 n n 4n 2 = − 1 cos(2n ) −1+ 1 cos(2n )− 2 n n n = − 1 cos(2n ) + 1 + 1 cos(2n )− 2 n n n n

ใบความรู้ที่ 15 336 หน่วยที่ 6 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ สอนคร้ังท่ี 15 ชื่อหน่วย การวิเคราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ คาบรวม 6 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) จานวนคาบ 3 ดงั น้นั bn = 1 −2 =− 1 ตอบ เพราะฉะน้นั n n n g(t) =  − 1 sin(nt ) n  n=1  ดงั น้นั จะได้ 1 + g(t) 1−1   1 sin(nt ) 2  2 f (t) = = n=1  n  เพราะฉะน้นั f (t ) = 1 − 1 sin(t ) + 1 sin(2t ) + 1 sin(3t ) +  2  2 3 

337 แบบฝึ กหดั ที่ 15 หน่วยที่ 6 สอนคร้ังท่ี 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวิเคราะห์สญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาชี้แจง 1. ใชว้ ดั จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรมครอบคลมุ ทุกจุดประสงค์ 2. แบบฝึกหดั มที ้งั หมด 4 ขอ้ ใหท้ าทกุ ขอ้ ลงในสมุดแบบฝึกหัด ส่งก่อนเรียนคร้งั ต่อไป 2 วนั 3. คะแนนเตม็ 58 คะแนน ********************************** ขอ้ 1. จงหาอนุกรมฟเู รียร์ของฟังกช์ น่ั คาบ ซ่ึงไดจ้ ากการป้อนแรงดนั v(t) = 2cos(100t) โวลท์ เขา้ วงจรเร็คตฟิ าร์ยคร่ึงคล่ืน (half-wave rectifier) (10 คะแนน) ขอ้ 2. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชนั่ คาบ f (t) ทม่ี คี าบเวลา T ใด ๆ ดงั ต่อไปน้ี (20 คะแนน) 1, (−1  t  1) 2.1  f (t ) =  T =1 0, (1  t  3) t, (0  t  1) 2.2  f (t ) =  T =2 (1− t), (1  t  2) ขอ้ 3. ฟังกช์ นั่ ต่อไปน้ี เป็นฟังก์ชน่ั ค่หู รือฟังกช์ ั่นค่ี หรือไมเ่ ป็นท้งั ฟังก์ชนั่ คู่และฟังก์ชน่ั คี่ (8 คะแนน) 3.1 x cos(nx) 3.2 x2 cos(nx) 3.3 coshx 3.4 sin x + cosx ขอ้ 4. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังกช์ นั่ ตอ่ ไปน้ี ซ่ึงสมมติวา่ มีคาบเป็น 2 (20 คะแนน) 4.1 f (x) =  x, (− 2  x   2) ( 2  x  3 2) ( − x), 4.2 f (x) = (x − ), (0  x   )  (  x  2 )  − x,

338 เฉลยแบบฝึ กหดั ที่ 15 หน่วยท่ี 6 สอนคร้ังที่ 15 วชิ า คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเลก็ ทรอนิกส์ คาบรวม 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ัญญาณไฟฟ้าดว้ ยฟเู รียร์ จานวนคาบ 3 เร่ือง อนุกรมฟเู รียร์ (FOURIER SERIES) คาตอบ ขอ้ 1. 2 + cos100t  ขอ้ 2. 2.1 1 + 2  cost − 1 cos 3t + 1 cos 5t − + 2  2 3 3 5 2 2.2 2  sint − 1 sin 2t + 1 sin 3t − +  2 3 ขอ้ 3. x cos(nx) เป็นฟังกช์ นั่ คี่ 3.1 x2 cos(nx) เป็นฟังกช์ นั่ ค่ี 3.2 coshx เป็นฟังกช์ นั่ ค่ี 3.3 sinx + cosx ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั่ คู่และฟังกช์ น่ั คี่ 3.4 ขอ้ 4. 4 sin x − 1 sin 3x + 1 sin 5x − + 4.1  9 25 4.2 −  − 4  cos x + 1 co3x +  + 2sin x + 1 sin 3x +   9 3

เอกสารอ้างอิง 339 วิชา คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ หน่วยที่ 6 ชื่อหน่วย การวเิ คราะหส์ ญั ญาณไฟฟ้าดว้ ยฟูเรียร์ สอนคร้ังที่ 15 เรื่อง อนุกรมฟูเรียร์ (FOURIER SERIES) คาบรวม 6 จานวนคาบ 3 นิรนั ดร์ คาประเสริฐ. คณิตศาสตร์วศิ วกรรมไฟฟ้า 1. กรุงเทพมหานคร : ศูนยส์ ื่อเสริมกรุงเทพ, 2538. พฤทธ์ิ พทุ ธางกลุ และคณะ. วิเคราะห์วงจรไฟฟ้า 2. พิมพค์ ร้งั ท่ี 4 กรุงเทพมหานคร : si’tech. JOSEPH A. ELECTRIC CIRCUITS. USA : The University of Akron , 1965.