ใบความรู้ เวกเตอร์

บทที่ 2 เวกเตอร์ (Vector) เนอ้ื หาประกอบดว้ ย 2.1 ระบบพกิ ดั 2.2 เวกเตอร์ 2.3 สว่ นประกอบของเวกเตอร์ 2.4 การบวกเวกเตอร์ 2.5 เวกเตอรต์ าแหน่ง 2.6 การคณู เวกเตอร์ เวกเตอรเ์ ป็ นเครอ่ื งมอื ทางคณติ ศาสตรอ์ ยา่ งหนงึ่ ซง่ึ ดเู หมอื นไม่มคี วามจาเป็ นแตเป็ น เครอ่ื งมอื อยา่ งแรกทต่ี อ้ งใช ้ อย่างไรกต็ ามในการศกึ ษาทางฟิสกิ สเ์ วกเตอรเ์ ป็ นเครอื่ งมอื ทม่ี ี ความสาคญั เพอื่ ชว่ ยในอานวยความสะดวกในการคานวณ 2.1 ระบบพกิ ดั (แกนอา้ งองิ ) ระบบพกิ ดั มคี วามสาคญั เพอื่ ชว่ ยในการวดั มคี วามหมาย เชน่ อกี 800 m ถงึ อาคาร วทิ ยาศาสตรเ์ ป็ นการบอกทไ่ี มส่ มบูรณ์ เน่อื งจากไม่ทราบวา่ เรมิ่ ตน้ ทตี่ าแหน่งใด ดงั นัน้ ในการกาหนดระบบพกิ ดั ตอ้ งทราบ ก. จุดเรม่ิ ตน้ ข. ชนดิ ของระบบพกิ ดั (พกิ ดั ฉาก ; พกิ ดั เชงิ ขวั้ ; พกิ ดั ทรงกระบอก) ค. ทศิ ตามแกน ระบบพกิ ดั แบบมาตรฐานใน 2 มติ ิ ไดแ้ กร่ ะบบพกิ ดั ฉาก (Cartesian) และ ระบบพกิ ดั เชงิ ขวั้ (Polar) รปู ท่ี 2.1 แสดงระบบพกิ ดั ใน 2 มติ ิ

ตวั อยา่ งท่ี 2.1 จงหาระบบพกิ ดั เชงิ ขวั้ ของจดุ 3m,4m ดงั รปู ที่ 2.2 วธิ ที า จากทฤษฎพี ธิ ากอรสั r= x2  y2 = 3m2  4m2 = 5m  = tan 1 3m   4m  = 53.10 รูปที่ 2.2 ระบบพกิ ดั แบบมาตรฐานใน 3 มติ ิ ระบบพกิ ดั ทรงกระบอก (Cylindrical) และ ไดแ้ กร่ ะบบพกิ ดั ฉาก (Cartesian) และ ระบบพกิ ดั ทรงกลม (Spherical) รูปที่ 2.3 ระบบพกิ ดั ฉากใน 3 มติ ิ 2.2 เวกเตอร์ สเกลาร์ : ปรมิ าณทม่ี เี ฉพาะขนาดอยา่ งเดยี ว เวกเตอร์ : ปรมิ าณทม่ี ที งั้ ขนาดและทศิ ทาง

ตวั อยา่ งท่ี 2.2 นักศกึ ษาคนหนง่ึ เดนิ ทางไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงไปทางเหนือไดร้ ะยะทาง 20m ดงั รปู ท่ี 2.4 ขวามมอื จงเขยี นรปู แสดงการเดนิ ทางในรูปของเวกเตอร์ วธิ ที า เราสามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรปู ของ เวกเตอรไ์ ดด้ งั รปู ท่ี 2.4 ทางซา้ ยมอื เมอื ความยาว ของลกู ศรแทนขนาดของเวกเตอรม์ คี า่ เทา่ กบั 4cm (โดยใชม้ าตราสว่ น 5m :1cm ) หวั ลกู ศรแสดง ทศิ ทางของเวกเตอร์ รปู ท่ี 2.4 ขอ้ สงั เกตุ เวกเตอรส์ ามารถเลอ่ื นออกจากจุดเรม่ิ ตน้ ได ้ โดยขนาดและทศิ ทางคงที่ การเขยี นเวกเตอรด์ งั รปู ท่ี 2x.4ในเปห็ นนกังสารอื ไเมล่สม่ ะนด้จี วะกแเทรานสเาวกมเาตรอถเรขด์ ยีว้ นยใหr มไ่ ดเ้ ป็ น   r 20m ทามมุ 67.50 กบั แกน 2.4 สว่ นประกอบของเวกเตอร์ ตวั อยา่ งที่ 2.3 นักศกึ ษาคนหนง่ึ เดนิ ทางไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงไปทางทศิ เหนอื ได ้ ระยะทาง 20m ดงั รปู ท่ี 2.5 จงหาระยะทางทเี่ ขาเดนิ ทางไดใ้ นทศิ เหนือและทติ ะวันออก วธิ ที า เปลยี่ นจากระบบพกิ ดั เชงิ ขวั้ เป็ นระบบ พกิ ดั ฉากจากรปู ท่ี 2.5 จะได ้ y = r sin = 20msin 67.50  = 18.5m ทศิ เหนือ x = r cos = 20mcos67.50  เรยี กว่า \"สสว่ วน่ นขปองร=เะวกกอเตบอ\"ร7์ ข.r6อ5งบmเนวแกทกเตศิ นอตระx์วrนั แอลอะกy เรา รปู ที่ 2.5

เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย คอื เวกเตอรท์ มี่ ขี นาด 1 หน่วย และมที ศิ ทางตามเวกเตอรท์ พ่ี จิ ารณา เชน่ ให ้ A เป็ นเวกเตอรท์ มี่ ขี นาดเทา่ กับ A และ  a เป็ นเวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย ทม่ี ที ศิ เดยี วกบั เวกเตอร์ A ดงั รปู ท่ี 2.6  =  a = A หรอื เขยี นใหม่ไดเ้ป็ น A A  Aa รูปที่ 2.6 ดงั นัน้ ในรijะบมมบขี ขี พนนกาิ าดดัดแ11กหนหนมน่วมุ ่วยฉยททากศิ ศิ ตตเวาากมมเแแตกกอนนรห์ xyนง่ึ หน่วยแทนดว้ ย k มขี นาด 1 หน่วยทศิ ตามแกน z โดยเวกเจตาอกรตท์ วั งั้ อสยา่ามงตทงั้ ่ี ฉ2า.3กซงคึ่ กานัตแอลบะทกไี่ นั ดสแ้ าลมะาเวรกถเเตขอยี รนท์ ใหงั้ สมาไ่ มดจเ้ ปะ็เนรยี rงกนั ใ7น.6ท5ศิ mทวiนเข1ม็ 8น.า5ฬmกิ าj เป็ นการเขยี นในรปู แบบมาตรฐานซง่ึ มคี วามสะดวกมากเมอ่ื นาไปใชใ้ นการบวกและการคณู เวกเตอร์ รูปแแบบทวั่ ๆxzไขขปออขงงองเrrวกเเ;ปต็ นอryเรวเ์ คกขเอืยี ตสนอว่ไรนดใ์ ปนด้ รงั 3ะนก้ีมอติ rบิ บนrแxiกน ry   เมอื่ rz rx คอื y j  rz k ; คอื สว่ นประกอบบนแกน ของ สว่ นประกอบบนแกน  r สว่ นประกอบของเวกเตอรใ์ น 3 มติ ิ  รูปที่ 2.7 ถา้ A อยบู่ นระบบพกิ ดั ฉาก x ; y ; z โดยท่ี A ทามุม  x ;  y ; z กบั แกน x ;สyว่ นแปลระะกzอตบาขมอลงาดAบั ดงั รูปที่ 2.7 บนระนาบ xy และ z คอื =  A = Axy Az   = Ax  A y  Az Ax  Ay เพราะวา่ Axy แต่ Ax = Acos x Ay = Acos y Az = A cos z

ทศิ ทางของเวกเตอร์  หาไดโ้ ดยใชโ้ คไซนบ์ อกทศิ (direction cosine) โดยท่ี A cos x  Ax ; cos y  Ay ; cos z  Az เมอ่ื A A A cos2  x  cos2  y  cos2 z  Ax2  Ay2  Az2  1  A2 เขยี นใหมไ่ ดเ้ ป็ น ดงั นัน้ สว่ นประกอบของ A บนแกน  x; y และ z  A=    Axi  Ay j  Az k  = Acos xi  Acos y j  Acos z k 2.4  เกวากรเบตอวกร์ เrวกสเาตมอารรถ์ หาไดจ้ ากสว่ นประกอบของเวกเตอรเ์ ขา้ ดว้ ยกนั แสดงดงั รปู ที่ 2.8 เมอ่ื r  rxi  ry j    ทrสี่ ไอดงจ้ าrกกyากjราบรวลตกาอ่ เกวเจขกาาเ้ กตกหอบั ราหท์งวั ขาขไออดงงเโ้เวดวกกยเเกตตาออรรนรอ์ อ์ านั นัหแแารรงกกขไอปงrยxเงัวiหกวัเสตว่อนรต์ วั เวกเตอรต์ วั ทส่ี อง รูปท่ี 2.8 แสดงการบวกเวกเตอร์ ตวั อยา่ งที่ 2.4 จงหาระยะการกระจดั ทงั้ หมดของนักศกึ ษาคนหนง่ึ ซง่ึ เดนิ ทางไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงไปทางเหนอื ไดร้ ะยะทาง A  20m จากนนั้ เดนิ ทางไปทางทศิ ตะวนั ออก B  5m ดงั รูปที่ 2.9 วธิ ที า จากตวั อยา่ งที่ 2.37ร.ะ6ย5ะmกาiรกร1ะจ8ัด.5คmรงั้แj รกคอื A= ระยะการกระจัดครงั้ ที่ 2 R5mซiงึ่ เราเรยี กวา่ ผลลพั ธ์ B= คาตอบทไ่ี ดค้ อื เวกเตอร์ ผลลพั ธท์ ไี่ ดน้ ้ีสามารถหาไดด้ งั นี้ รปู ท่ี 2.9 ก. เขยี นรปู โดยการกาหนดมาตราสว่ นแลว้ นามาเขยี นรปู ผลลพั ธท์ ไี่ ด ้ หาไดโ้ ดยการ วัดดงั รปู ท่ี 2.9  ข. วธิ คี านวณ โดยการแยกองคป์ ระกอบของ A และ B ลงบนบนแกน x และ แกน y จากนัน้ นาองคป์ ระกอบในแตล่ ะแกนมารวมกนั

 องคป์ ระกอบบนแกน x ของเวกเตอร์ R หาไดจ้ ากการนาองคป์ ระกอบบนแกน x ของ A และ B มาบวกกนั Rx = Ax  Bx = 7.65m  5m = 12.7m ในทานองเดยี วกนั องคป์ ระกอบบนแกน y  ของเวกเตอร์ R หาไดจ้ ากการนาองคป์ ระกอบบน แกน y ของ A และ B มาบวกกนั Ry = Ay  By 18.5m  0m = 18.5m = รปู ที่ 2.10 ค. ใชเ้ วกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย  เมอ่ื R =    A B  =  Axi  Ay j  Bxi  By j จัดรูปใหม่  =  1A2x.7mBixi  R  Ay  By j j = 18.5m จากคาตอบทไี่ ดใ้ นขอ้ ข. และ ขอ้ ค. เราสามารถหาผลลพั ธไ์ ดโ้ ดยใชพ้ ธิ ากอรสั และ อาศยั ฟังกช์ น่ั ทางตรโี กณมติ จิ ากสามเหลย่ี มมุมฉากดงั รูปท่ี 2.11 จากวธิ คี านวณจะสงั เกตเุ ห็น ว่าเมอื่ เขยี นอยูใ่ นรูปของเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยทาใหเ้ ราสามารถหาผลลพั ธไ์ ดส้ ะดวกยง่ิ ขนึ้ R= Rx2  R 2 = y = 12.7m2  18.5m2 = 22.4m = = tan 1 Ry  Rx tan 1 18.5m  12.7m  55.50 กบั แกน x รูปที่ 2.11 นอกจากนปี้ รมิ าณเวกเตอรไ์ ดแ้ ก่ การกระจดั ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตมั ทอรค์ น้าหนักเป็ นตน้

ตวั อยา่ งที่ 2.5 รถยนตค์ นั หนงึ่ วงิ่ ไปทางทศิ เหนอื ดว้ ยความเร็ว 75km/ hr จากนัน้ เลย้ี วไป ทางทศิ ตะวันตกและวง่ิ ดว้ ยความเร็ว 75km/ hr ดงั รูปที่ 2.12 จงหาการเปลยี่ นแปลงความเร็ว ของรถยนต์ วธิ ที า จากรปู ที่ 2.12 เมอื่ นามาเขยี น ในรูปของเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วย  =  75 km   v1 j  hr   = 75 km  i v2  hr  รปู ที่ 2.12 แตvอ่ ัตรา==การเปลย่ี vvน22แปvล1งvค1วามเร็วคอื รูปที่ 2.13 ในทศิ ตรนง่ันกคนั อขื กา้ มารคลอื บเวกv1เตเอมรอื่ ์ นเปา็ นรูปกมาราบเขวยีกนเวใกหเมตไ่ อดร์ ้ ดงั รูปท่ี 2.13 ดงั นั่นอตั ราเรว็ เมอื่ เขยี นอย่ใู นรปู ของ เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วย v =   75 km     75 km i j  hr   hr  =   75 km i   75 km   j  hr   hr  เราสามารถหาขนาดและทศิ ทางของ v ได ้ ดงั น้ี v = vx2  v 2 y =   75 km 2    75 km 2  hr   hr  = 106 km hr รูปที่ 2.14

 = tan 1  v y  v x = tan 1  75km / hr  75km / hr = 450 กบั แกน  x ดงั รูปท่ี 2.14 2.5 เวกเตอรต์ าแหนง่ เวกเตอรต์ าแหน่ง คอื เวกเตอรท์ บี อกตาแหน่งของวตั ถเุ มอื่ เทยี บกบั จุดใดจดุ หนง่ึ ดงั รปู ที่ 2.15 รูปท่ี 2.15 แสดงเวกเตอรต์ าแหน่ง บตนน้ ไตมน้ โไ้ ดมจย้าหเกทรรอืยี ปู บทrก4่ี บั2เต.ป1็วั น5เเอวเงดกก็เเตชผอน่ หู ้ รญบ์r3องิ กเนปต็านายเแพวหกรนเาตน่งอขผรอบ์ูช้งอานยกกตตแาวั ลแทะหนบี่ นกนิ ่งตเขทวั อยที งบบ่ี ผกนิ ชู ้บั าสนยงั กเเทตกวัตยี ทบนุ เ่ีกกกบตั าวนัะทบกนเต่ี กตวั าทน้ะเไ่ีอกมยาบู่้ ะนอยู่ ตาแหน่งของนกทเ่ี กาะอยบู่ นตน้ บนไมจ้ ะอยทู่ ต่ี าแหน่งตา่ งกนั เมอ่ื ผูส้ งั เกต ตา่ งกนั ดงั นัน้ ดงั นัน้ เพอื่ หลกี เลย่ี งปัญหาดงั กลา่ วการบอกเวกเตอรต์ าแหน่ง จงึ กาหนดจดุ ใดจดุ หนง่ึ เป็ นจดุ เปรบี ยเทยี บ ไม่วา่ ใครจะเป็ นผูส้ งั เกตกใ็ หใ้ ชจ้ ดุ เปรยี บเทยี บจดุ เดยี วกนั แสดงดงั รปู ที่ 2.16

รปู ท่ี 2.16 เวกเตอรต์ าแหน่งของจดุ P และจดุ Q จากรปู ท่ี 2.16 ให ้  และ  เป็ นเวกเตอรต์ าแหน่งของจดุ P (ผชู ้ าย) อย่ทู ต่ี าแหน่ง r1 r2 (x1, y1, z1) และ Q (นกเกาะทตี่ น้ ไม)้ อยูท่ ตี่ าแหน่ง (x2 , y2 , z2 ) เมอื่ เทยี บกบั จดุ O (เด็กผหู ้ ญงิ ) อยู่ทตี่ าแหน่ง (0,0,0) จะได ้  =  ( O มอง P ) r1 = = OP 0i   0k y1 0 j  z1  x1  x1i  y1 j  z1k  =  (O0มjอง Q) r2 OQ 0i z2  0k =  y2 x2  = x2i  y2 j  z2k อาศยั การบวกเวกเตอรโ์ ดยการเขยี นรปู จะได ้  =    r2 r1 = PQ  =    i (P มอง Q) k PQ r2 r1  y2  j  z2 ตงั้ ตน้ ) x2  x1  y1   z1 (ตาแหน่งสดุ ทา้ ยลบตาแหน่ง   ตวั อยา่ งที่ 2.6 จากรูปท่ี 2.17 เวกเตอร์ OP มขี นาด 100 หน่วย โดยแนวของเวกเตอร์ OP ผา่ นจดุ 3,4,5 หน่วย เวกเตอร์  x และเวกเตอร์  มขี นาด OR มขี นาด 25 หน่วยบนแกน OQ    50 หน่วยบนแกน z จงหา OP OR OQ

วธิ ที า คานวณโดยใช ้ เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย (unite vector) สมมตใิ ห ้ A อยทู่ จี่ ุด (3,4,5)   และ OAe OA =   OPe OP = รูปที่ 2.17  = (x2   y2  y1    z2  z1 k = x1 )i j OA = 3i  4 j  5k  = OA = 32  42  52 หน่วย OA  50 หน่วย  e 3i  4 j  5k หน่วย แต่ =  = = OA 50 OA   100 3i  4j  5k  ดงั นัน้  50 หน่วย OP = OPe  =  = 25i OR =   50k OQ  300  25i   400     500  50k 50 50 j 50    OP OR OQ คานวณโดยใชโ้ คไซนบ์ อกทศิ (direction cosine) z1 k    (x2  x1 )i y2  y1  j  z2  OA = 3i  4 j  5k =  = 32  42  52 หน่วย OA = OA = 50 หน่วย เมอื่     OA = OA cos xi  OA cos y j  OA cos z k   OP cos xi  OP cos y j  OP cos z k OP =

แต่ cos x = OAx = 3 หน่วย 50 OA cos y = OAy = 4 หน่วย 50 OA cosz = OAz = 5 หน่วย OP = 50 OA  จากโจทย์ 100 หน่วย   ดงั นัน้ OP =  100 3i  4 j  5k  50 หน่วย  =  = 25i OR =   50k OQ  300  25i   400     500  50k 50 50 j 50    OP OR OQ 2.6 การคณู เวกเตอร์ การคณู เวกเตอรม์ ี 2 ชนดิ ไดแ้ ก่ ก. ผลคณู ทไ่ี ดเ้ ป็ นปรมิ าณสเกลาร์ เรยี กวา่ ผลคณู แบบดอท (dot product) หรอื ผล คณู สเกลาร์ (scalar product) ข. ผลคณู ทไ่ี ดเ้ ป็ นปรมิ าณเวกเตอร์ เรยี กว่าผลคณู แบบครอส (cross product) หรอื ผล คณู เวกเตอร์ (vector)   ให ้ A = Ax i  Ay j  Az k     Bxi  By j  Bzk B=   ผลคณู สเกลาร์ : A  B = AB cos =  AxBx  Ay By  Az Bz   (เพราะว่า i  i  j  j k k 1 และ 0   ) i  j  j k k i รูปท่ี 2.18  เมอ่ื A และ B คอื ขนาดของเวกเตอร์ A และ B  คอื มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ A และ B เมอ่ื 00    1800  จากรปู ที่ 2.18 เงาของ A บน B คอื Acos และ เงาของ B บน A คอื B cos น่ัน คอื ผลคณู สเกลารค์ อื การคณู เวกเตอรก์ บั เงาของอกี เวกเตอรห์ นงึ่ ผลคณู เวกเตอร์:   AB = C   = ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax By  Ay Bz )k

เมอื่  คอื เวกเตอรผ์ ลลพั ธท์ ศิ ของเวกเตอร์  หาไดโ้ ดยใชก้ ฎมอื ขวาเมอ่ื C C 1800    00 แสดงดงั รูปท่ี 2.19 เพอื่ ความสะดวกในการคานวณเราสามารถหาผลคณู แบบ เวกเตอรไ์ ดโ้ ดยใชเ้ มตรกิ ซ์   AB = i jk Ax Ay Az Bx By Bz รปู ที่ 2.19    AB = i jk ij Ax Ay Az Ax Ay Bx By Bz Bx By =

การพจิ าณาเครอ่ื งหมายผลคณู เวกเตอรพ์ จิ ารณาโดยการตงั้ แกนแบ่งครง่ึ ทงั้ สองขา้ งให ้ เทา่ กนั คา่ ทางซา้ ยเครอื่ งหมายลบ คา่ ทางขวาเครอ่ื งหมายบวกตามระบบแกน หรอื การพจิ าณาเครอ่ื งหมายผลคณู เวกเตอรด์ งั รปู ท่ี 2.20 ทศิ ทวนเขม็ เครอื่ งหมายบวก ทศิ ตามเขม็ เครอื่ งหมาย ลบเมอื่  ;   ;   ;    ; i j  k j k i k i  j i k j k j    i ; j  i  k รปู ท่ี 2.20 ตวั อยา่ งท่ี 2.6 พจิ ารณาเวกเตอร์  และ      จงหา A  40i  20 j B 30i 10 j ก. ผลคณู สเกลาร์ ข. ผลคณู เวกเตอร์ ค. มมุ ระหวา่ งเวกเตอรท์ งั้ สอง วธิ ที า  40i  20 j     10   ก. AB = 30i j = 40 30 2010 = 1000   ข. A  B = i jk Ax Ay Az Bx By Bz       i jk i jk i j = 40 20 0 = 40 20 0 40 20  30 10 0  30 10 0  30 10 =   0   4010  20 30k 0i j  = 1000k  ผลคณู แบบเวกเตอร์ A  B มขี นาด 1000 หน่วย ทศิ ตามแกน z

 ค. A  B = AB cos  cos1 A  B = AB   = cos1 A B Ax2  Ay2 Bx2  B 2 y = cos1 1000 402  202  302  102 = 1350 สรปุ ระบบพกิ ดั ฉาก มคี วามสาคญั และใชใ้ นการระบตุ าแหน่ง เวกเตอร์ แสดงตาแหน่งและทศิ ทาง สว่ นประกอบเวกเตอร์ : Ax  A cos และ Ay  Asin เวกเตอรห์ นง่ึ หน่วย :   A Ax i  Ay j  Az k   การบวกเวกเตอร์ : R  A B เมอ่ื Rx  Ax  Bx และ Ry  Ay  By  ผลคณู สเกลาร์ : A  B  AB cos  Ax Bx  Ay By  Az Bz  i jk   ผลคณู เวกเตอร์ : A B  C = Ax Ay Az Bx By Bz