ลอการิทึม

บทที่ 5 นอกจากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ท่ีพบเป็นเลขยกกำลังฐาน 10 แล้วในทาง คณติ ศาสตร์ยังมเี ลขยกกำลงั ทมี่ ฐี านเป็นตัวเลขอื่น ๆ อกี เช่น 24 53 37 เนือ่ งจากเลข ยกกำลงั เป็นสมการทางคณติ ศาสตร์ จึงมสี ว่ นกลบั ของเลขยกกำลัง ในทางคำนวณของ วชิ าเคมี ส่วนใหญจ่ ะเกยี่ วกบั ตัวเลขทีห่ ลากหลาย โดยเฉพาะการหาค่าลอการทิ ึมจะนำ ไปใช้ในการหาค่าความเข้มขน้ ของสารละลาย ซง่ึ จะกลา่ วถงึ ต่อไป 5.1 ลอการทิ ึม สว่ นกลับของเลขยกกำลงั เรียกวา่ ลอการิทมึ ความสมั พันธร์ ะหว่างเลขยกกำลงั และลอการิทมึ เขียนแสดงด้วยสมการไดด้ งั น ี้ xn = N เมอ่ื x คือ ฐาน และ n คือ เลขชกี้ ำลัง logXN = n เรยี กวา่ ลอการทิ ึม N ฐาน x หรือ ล็อก N ฐาน x เชน่ 32 = 9 ดงั นั้น log 39 = 2 53 = 125 ดงั น้นั log 5125 = 3 ฐานของเลขยกกำลังทพ่ี บบ่อยในวชิ าเคมี คอื 10 และ e โดย e เปน็ คา่ คงทซ่ี ึ่ง มีทศนิยมเป็นอนันต์ คล้ายกับ มีค่าเท่ากับ 2.718 281 828 ... เพ่ือความสะดวก จึงนยิ มเขียนแทนดว้ ย e ลอการิทมึ ที่มีฐานเปน็ 10 เรียกวา่ ลอการทิ มึ สามญั (common logarithm) เขยี นแทนดว้ ย log ส่วนลอการิทึมทมี่ ฐี านเปน็ e เรียกวา่ ลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithm) เขียนแทนด้วย ln อ่านว่า ลอ็ กฐาน e 105

เช่น 103 = 1000 ดังน้นั log 10 1000 = 3 หรือ log1000 = 3 e2.302 = 10 ดังน้นั log e 10 = 2.302 หรอื ln10 = 2.302 5.2 ตารางลอการิทึม การหาคา่ ลอการิทมึ นอกจากหาได้จากการใช้เครอ่ื งคิดเลขแลว้ อาจหาไดจ้ าก ตารางลอการทิ มึ ซงึ่ ตารางลอการิทึมประกอบดว้ ยคา่ ต่าง ๆ ของ log N กลา่ วคือ ค่าใน ตารางคือค่า log N ทางด้านซ้ายของแถวริมสุดคือ ค่า N ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขหลัก หน่วยทม่ี ที ศนิยม 1 ตำแหน่ง ต้งั แต่ 1.0 ถึง 9.9 ส่วนแถวทางด้านบนของตารางเปน็ คา่ ส่วนที่เปน็ ทศนิยมตำแหนง่ ที่ 2 โดยมคี ่าต้ังแต่ 0 ถึง 9 วธิ กี ารใชต้ ารางลอการทิ ึมทำได้ดงั น้ี ถ้าต้องการหาค่า log 1.34 น่ันคือ N มีคา่ เทา่ กบั 1.34 ขนั้ แรกให้หาค่า N ทเ่ี ท่ากับ 1.3 จากแถวทางซา้ ยมอื ของตารางดงั น ้ี N0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1.3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 1.4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 N = 1.3 หมายเหตุ : หาค่าตารางลอการทิ มึ จากภาคผนวก ทศนยิ มตำแหนง่ ท่ี 2 ของ 1.34 คอื 4 เมอื่ พจิ ารณาค่าจากทางซ้ายมือของใน แถวตารางทม่ี ีค่า 1.3 ไปทางด้านขวาจนกระทัง่ ด้านบนของตารางตรงกับเลข 4 คา่ ท่ไี ด้ คือ คา่ ของ log 1.34 ซ่ึงมคี า่ เท่ากับ 1271 ดังตาราง 106

N0123456789 1.0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1.3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 1.4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 loogg11.3.344 คา่ จากตารางลอการิทึมจะไมแ่ สดงจุดทศนิยม แตเ่ ขยี นเป็นตวั เลข 1271 โดย หมายถึงมจี ดุ ทศนยิ มอยูก่ ่อนตัวเลขทง้ั หมด ซ่งึ หมายถงึ 0.1271 5.3 การหาค่าลอการิทึมสามญั การหาคา่ ลอการทิ มึ สามญั ใช้หลักตอ่ ไปน้ ี log 10n = n log 10 log 10 = 1 log MN = log M + log N log MN = log M - log N มวี ิธกี ารดงั น ้ี เปลี่ยนตัวเลขท่จี ะหาคา่ log ให้อยู่ในรูปสญั กรณว์ ิทยาศาสตร์ (a x 10n) โดย a เปน็ เลขหลักหน่วย จากน้ันหาค่า log a โดยใชต้ ารางลอการทิ ึม และหาค่า log 10n ซ่ึง มคี ่าเทา่ กบั n นนั่ เอง แลว้ นำค่า log a และ log 10n มารวมกันจะได้ค่า log ของจำนวน ทต่ี อ้ งการ การหาคา่ log a จะตอ้ งใชต้ ารางลอการทิ มึ โดยให้เปล่ยี นจากค่า N ซ่งึ เปน็ ตัวเลขทศนิยม 2 ตำแหนง่ ตัง้ แต่ 1.00 ถงึ 9.99 ไปเป็นค่าของ log N ซง่ึ มที ศนยิ ม 4 ตำแหน่ง 107

ตัวอยา่ ง 1 จงคำนวณหาคา่ ของ log 2560 วธิ ีทำ log 2560 = log (2.56 x 103) = log 2.56 + log 103 = log 2.56 + 4 log 10 = 0.4082 + 4 = 4.4082 ตวั อย่าง 2 จงคำนวณหาคา่ ของ log 0.00314 วธิ ที ำ log 0.00314 = log (3.14 x 10-3) = log 3.14 + log 10-3 = log 3.14 + (–3 log 10) = 0.4969 + (–3) = –2.503 ตวั อย่าง 3 จว งิธคีทำำน วณl oหgา ค130า่ ข อ ง l o g ==13 0 l0o.4g737 1 - -l o 1g.01 0 = - 0.5 จงคาํ นวณหาคา่ ตอ่ ไปน้ี แบบฝึกหัด 215...1ll oogg 1.53 8.17 3. log 0.0897 จงคาํ นวณจหงคาำคนา่ วตณ่อไคป่านต้ี่อไปน้ี 4. log 0.00000000112 1. log 1.53 5. log 190 2. log 8.17 6. log 9050000 3. log 0.0897 7. log (58.1  104) 4. log 0.00000000112 8. log35.1 5. log 190 6. log 9050000 108 7. log (58.1  104) 8. log 5

5.4 การหาค่าแอนติลอการทิ มึ แอนตลิ อการิทึม เปน็ การหาค่าของ N เม่อื กำหนดค่าของ log N มาให้ หรือ กล่าวไดว้ า่ เป็นสว่ นกลับของการหาค่า log เชน่ log 1.34 = 0.127 ดงั นัน้ Antilog 0.127 = 1.34 log 0.00314 = –2.503 ดังนัน้ Antilog –2.503 = 0.00314 การหาค่าแอนตลิ อการทิ มึ ใช้หลกั ตอ่ ไปน ี้ Antilog (M + N) = (Antilog M) (Antilog N) การหาค่า Antilog ของตวั เลขทศนยิ มมีขั้นตอนย้อนกลบั จากการหาคา่ log N ซึ่งทำได้ดังนี้ ถ้าต้องการหาค่า Antilog 0.1271 นน่ั คอื คา่ log N เท่ากบั 0.1271 ข้ัน แรกใหห้ าคา่ ในตารางใหม้ คี า่ เท่ากบั หรอื ใกล้เคยี งกับค่าของ log N ดังตาราง N0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1.3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 1.4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 lolgogNN==00.12711 N0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 1.1 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 1.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 1.3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 1.4 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 NN==11.3.434 lolgogNN==00.1.122771 109

5.4.1 การหาค่าแอนติลอการทิ ึมของจำนวนทเ่ี ปน็ บวก มวี ธิ กี ารดงั นี้ แยกค่าของ Antilog เปน็ 2 สว่ น ได้แก่ ส่วนท่เี ปน็ จำนวนเตม็ และเลขทศนิยม (มักมที ศนยิ ม 4 ตำแหนง่ ) จากนนั้ หาคา่ Antilog ของจำนวนเตม็ ซ่งึ มคี ่าเทา่ กบั 10 ยก กำลงั ดว้ ยตวั เลขนน้ั และหาคา่ Antilog ของตวั เลขทศนิยม โดยใชต้ ารางลอการิทึม แลว้ นำค่า Antilog ทงั้ สองส่วนมาคณู กัน จะไดค้ ่า Antilog ของจำนวน log N นั้น ตวั อย่าง 4 จงคำนวณคา่ ของ Antilog 4.7574 วธิ ีทำ Antilog 4.7574 = Antilog (4 + 0.7574) = (Antilog 4) (Antilog 0.7574) = 104 x 5.720 ตวั อยา่ ง 5 จงคำนวณคา่ ของ Antilog 3.8734 วิธีทำ Antilog 3.8734 = Antilog (3 + 0.8734) = (Antilog 3) (Antilog 0.8734) = 103 x 7.470 หมายเหตุ จากตารางลอการิทมึ ในภาคผนวกพบวา่ ไม่มคี า่ ทเี่ ทา่ กับ 0.8734 จงึ ใชค้ า่ ที่ ใกล้เคยี งกบั 0.8734 มากทสี่ ุด น่ันคือ 0.8733 ซึ่งมคี า่ Antilog เท่ากับ 7.470 5.4.2 การหาคา่ แอนติลอการทิ มึ ของจำนวนท่เี ปน็ ลบ เนอ่ื งจากค่าของ log N ทเ่ี ปน็ ลบไมม่ ีอยู่ในตารางลอการิทึมจงึ ตอ้ งทำให้เป็น บวกกอ่ นแลว้ จงึ หาคา่ ซง่ึ มวี ธิ กี ารดงั นี้ นำเลขจำนวนเต็มท่มี คี ่ามากกว่า log N บวกกบั คา่ ของ log N เพ่ือทำให้ได้ ตวั เลขทศนยิ มท่ีเป็นบวก แต่การทำเช่นนี้จะทำใหค้ ่าเปล่ยี นไป จงึ ตอ้ งลบดว้ ยจำนวนเต็ม 110

จำนวนเดยี วกนั จากนน้ั หาคา่ Antilog ของตวั เลขทศนยิ มทเ่ี ปน็ บวก โดยใชต้ ารางลอการทิ มึ และหาค่า Antilog ของจำนวนเต็มทีเ่ ป็นลบ ซงึ่ มีคา่ เท่ากับ 10 ยกกำลงั ดว้ ยจำนวนเต็ม ท่ีเปน็ ลบนั้น แลว้ นำคา่ Antilog ของท้ังสองสว่ นมาคูณกนั จะไดค้ า่ Antilog ของจำนวน log N ทเี่ ป็นลบ ตวั อยา่ ง 6 จงคำนวณค่าของ Antilog – 2.0101 วธิ ีทำ Antilog – 2.0101 = Antilog (– 2.0101+ 3 – 3) = Antilog (0.9899 – 3) = Antilog 0.9899 + (– 3) = (Antilog 0.9899) (Antilog –3) = 9.770 x 10-3 ตวั อย่าง 7 จงคำนวณค่าของ Antilog – 4.5611 วธิ ีทำ Antilog – 4.5611 = Antilog (– 4.5611 + 5 – 5) = Antilog (0.4399 – 5) = Antilog 0.4399 + (– 5) = (Antilog 0.4399) (Antilog –5) = 2.750 x 10-5 หมายเหต ุ จากตารางลอการทิ ึม พบวา่ ไมม่ ีคา่ ที่เทา่ กับ 0.4399 จึงใชค้ า่ ทใ่ี กลเ้ คยี งกับ 0.4399 มากทส่ี ุด นน่ั คอื 0.4393 ซง่ึ มคี า่ Antilog เทา่ กบั 2.750 แบบฝึกหัด 5.2 จงคำนวณคา่ ต่อไปน้ ี 4. Antilog -5.9973 1. Antilog 6.375 5. Antilog -1.5328 2. Antilog 4.3661 6. Antilog -8.321 3. Antilog 1.5328 111

5.5 การใชล้ อการทิ ึมและแอนติลอการทิ ึมในการคำนวณทางเคมี การคำนวณทางเคมีท่ีใช้คา่ ลอการิทมึ ส่วนใหญ่จะใช้เกีย่ วกบั การหา pH ของสาร ละลายจากความเขม้ ขน้ ของ H3O+ ในสารละลายในหนว่ ย mol/dm3 สว่ นแอนตลิ อการทิ มึ จะใช้ในการหาความเข้มข้นของ H3O+ จากค่า pH ตวั อยา่ ง 8 จงคำนวณ pH ของสารละลายทมี่ คี วามเขม้ ขน้ ของ H3O+ เทา่ กบั 3.2 x 10-5 mol/dm3 วิธที ำ pH = – log [H3O+] = – log (3.2 x 10-5) = – (log 3.2 + log 10-5) = – [log 3.2 + (– 5 log 10)] = – [0.5051 + (–5)] = – (– 4.4949) = 4.49 ดงั น้นั pH ของสารละลายมคี า่ เทา่ กบั 4.49 ตัวอยา่ ง 9 จงคำนวณ pH ของสารละลายทม่ี คี วามเขม้ ข้นของ H3O+ เทา่ กบั 4.2 x 102 mol/dm3 วธิ ีทำ pH = – log [H3O+] = – log (4.2 x 102) = – (log 4.2 + log 102) = – [log 4.2 + (2 log 10)] = – [0.6232 + 2] = – (2.6232) = – 2.62 ดังน้ัน pH ของสารละลายมีคา่ เทา่ กบั – 2.62 112

ตัวอย่าง 10 จงคำนวณความเข้มข้นของ H3O+ ในสารละลายทม่ี ี pH เทา่ กบั 2.2 วิธที ำ [H3O+] = Antilog [– pH] = Antilog (–2.2) = Antilog (–2.2 + 3 – 3) = Antilog (0.8 – 3) = Antilog 0.8 + (– 3) = (Antilog 0.8) (Antilog –3) = 6.3 x 10-3 ดงั นัน้ ความเข้มขน้ ของ H3O+ ในสารละลายมีคา่ เท่ากบั 0.006 mol/dm3 แบบฝึกหดั 5.3 1. จงคำนวณค่า pH ของสารละลายทม่ี คี วามเข้มข้นของ H3O+ ดงั ต่อไปน้ ี 1) 4.208 × 10-1 mol/dm3 4) 2.508 × 10-9 mol/dm3 2) 5.68 × 10-4 mol/dm3 5) 7.3 × 103 mol/dm3 3) 9.876 × 10-6 mol/dm3 6) 5.29 × 108 mol/dm3 2. จงคำนวณความเขม้ ข้นของ H3O+ เป็น mol/dm3 ในสารละลายทม่ี ี pH ดังตอ่ ไปน ี้ 1) 1.863 4) 13.765 2) 7.15 5) – 2.49 3) 10.882 6) – 7.823 113

แบบฝึกหัดทา้ ยบท 1. จงคำนวณคา่ ต่อไปนี ้ 1.1 log 2.45 1.2 log 0.074 1.3 log 0.0000089 1.4 log 210 1.5 log 784000 1.6 log (7.9 x 105) 1.7 lAongt il5o73g 1.8 9.8425 1.9 Antilog -4.126 1.10 Antilog -6.1245 2. จงคำนวณค่า pH ของสารละลายทีม่ คี วามเข้มข้นของ H3O+ ดังตอ่ ไปนี ้ 2.1 5.73 × 104 mol/dm3 2.2 7.79 × 107 mol/dm3 2.3 3.246 × 10-2 mol/dm3 2.4 1.748 × 10-5 mol/dm3 3. จงคำนวณความเข้มขน้ ของ H3O+ เปน็ mol/dm3 ในสารละลายท่มี ี pH ดงั ตอ่ ไปนี้ 3.1 2.121 3.2 11.758 3.3 - 3.56 3.4 - 6.283 114