หน่วยการเรียนที่ 1 เรื่อง เซต

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 เรอ่ื ง เซต การจาแนกหมู่เลอื ดด้วยระบบ ABO จะจาแนกได้ 4 หมู่ ได้แก่ เลือดหมู่ A , B , AB และ O ตามชนิด ของแอนตเิ จน (antigen) 2 ชนิด ซ่งึ ปรากฏบนผิวของเซลล์เม็ดเลอื ดแดง ไดแ้ ก่ แอนตเิ จน A และแอนติเจน B ซ่ึงแต่ละคนอาจจะมีหรือไมม่ แี อนติเจนชนดิ ใดชนดิ หน่ึงกไ็ ด้ ถา้ มแี อนตเิ จน A อยา่ งเดยี ว เรียกวา่ หมู่เลือด A ถ้ามี แอนตเิ จน B อยา่ งเดียว เรียกว่าหมูเ่ ลอื ด B ถ้ามีท้ังแอนติเจน A และ B เรยี กว่าหมู่เลือด AB และ ถ้าไม่มีทง้ั แอนติเจน A และ B เรยี กว่าหมเู่ ลือด O สามารถเขียนแผนภาพเพือ่ อธิบายหม่เู ลือดที่ 4 หมู่ดงั กลา่ วไดด้ ังรปู O A AB B แผนภาพการจาแนกหมเู่ ลอื ดดว้ ยระบบ ABO ซึง่ ในชวี ิตประจาวันมกั พบการจัดกลุ่มสงิ่ ของอยู่ท่ัวไป เช่นการจาแนกหมู่เลือดดังทีก่ ลา่ วมาแลว้ ข้างตน้ การจดั กล่มุ ของ หนงั สอื แยกตามประเภทของหนังสือในห้องสมดุ การจัดกลมุ่ สิง่ ของเหล่านี้ ทาใหเ้ กิดความเป็นระเบยี บ ความชดั เจน และมคี วามสะดวกตอ่ การใช้งาน 1.1 เซต ในวิชาคณิตศาสตร์ ใช้คาวา่ เซต (set) ในการกลา่ วถึงกลมุ่ ของสงิ่ ตา่ งๆ และเมื่อกล่าวถงึ กลุ่มใดแล้วเราสามารถ ทราบได้แน่นอนว่าสิง่ ใดอย่ใู นกลุ่มหรือสิง่ ใดไมอ่ ยู่ในกลมุ่ เช่น เซตของวนั ในหนง่ึ สัปดาห์ ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. เซตของคาตอบของสมการ x2  4  0 ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. เราเรยี กสง่ิ ที่อยใู่ นเซต วา่ สมาชกิ (element or member)

ในการพิจารณาหรือศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซตนัน้ จะจากัดขอบข่ายของส่ิงท่กี ล่าวไว้เสมอ และ เรยี กเซตของสมาชกิ ทง้ั หมดในขอบข่ายทีจ่ ากดั ไว้ว่า “เอกภพสมั พทั ธ์” (Relative universe) เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ U ข้อตกลงเกยี่ วกบั เซต เซตของจานวนทีม่ กั จะกล่าวถงึ เสมอ และใช้กันท่วั ๆไปมีดังน้ี I แทนเซตของจานวนเตม็ บวก (positive integer number) I แทนเซตของจานวนเตม็ ลบ (negative integer number) I แทนเซตของจานวนเตม็ (integer number) N แทนเซตของจานวนนบั (natural number) P แทนเซตของจานวนเฉพาะ (prime number) Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ (rational number) R แทนเซตของจานวนจริง (Real number) R แทนเซตของจานวนจรงิ บวก (positive Real number) R แทนเซตของจานวนจริงลบ (negative Real number) วธิ กี ารเขียนเซต ในการเขียนเซตนน้ั เรานยิ มใช้อกั ษรตวั พมิ พ์ใหญใ่ นภาษาอังกฤษ เชน่ A, B,C,... แทนเซต และอกั ษรตวั พิมพเ์ ล็กในภาษาอังกฤษ เช่น a, b, c,... แทนสมาชกิ ของเซต การเขยี นแทนเซต อาจเขยี นได้ 2 แบบ คือ 1) แบบแจกแจงสมาชกิ เขยี นสมาชิกทุกตัวของเซตลงในวงเล็บปีกกา และใช้เครอ่ื งหมายจลุ ภาค (,) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตวั เชน่ เซตของจานวนนับทนี่ อ้ ยกว่า 5 เขยี นได้ดังนี้ ............................................................................................................................................................................................. โดยทั่วไปจะเขียนแทนเซตด้วยตัวอกั ษรภาษาองั กฤษตัวพมิ พใ์ หญ่ เชน่ A, B,C,... และแทนสมาชิก ของเซตด้วยตัวพิมพเ์ ลก็ เช่น a,b,c,... ตวั อยา่ ง เชน่ A  {a,b,c} จะแทนเซต A ที่มสี มาชิก 3 ตวั ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................................................................................. ให้ B แทนเซตของจานวนเต็มที่ยกกาลังสองแลว้ ได้ 16 เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิกไดด้ งั นี้ ..................................................................................... อ่านวา่ ...............................................................................................................................................................................

ในกรณีทมี่ สี มาชิกของเซตมีจานวนมาก การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ นัน้ จะใช้จดุ สามจุด (...) เพอื่ แสดงว่ามสี มาชิกอ่ืน ๆ ซ่ึงเป็นท่ีเขา้ ใจกันทัว่ ไปว่ามอี ะไรบา้ งอยูใ่ นเซตน้ัน เช่น เซต {1, 2,3,...,9} สญั ลักษณ์ “...” แสดงวา่ มี 4,5,6,7 และ 8 เปน็ สมาชกิ ของเซตน้ีดว้ ย ให้ C เปน็ เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย เขียนเซต C แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ ............................................................................................................................................................................................. ให้ D เป็นเซตของจานวนคู่ เขียนเซต D แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ ............................................................................................................................................................................................. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก ต้องเขยี นสมาชิกแตล่ ะตวั เพียงครง้ั เดียวเทา่ นน้ั เชน่ ให้ E เปน็ เซตของเลขโดดท่ปี รากฏในจานวน 121 เขียนเซต E แบบแจกแจงสมาชิกไดด้ ังน้ี ............................................................................................................................................................................................. ตวั อยา่ ง จงเขยี นเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ 1. เซตของจานวนเต็มลบทมี่ ากกว่า  6 ............................................................................................................................................................................................. 2. เซตของจานวนนบั ระหวา่ ง 3 และ 10 ............................................................................................................................................................................................. 3. A  {x x  2k 1,k  0,1,2,...} ............................................................................................................................................................................................. 4. C  {x x เปน็ พยญั ชนะในคาวา่ คณิตศาสตร์ } ............................................................................................................................................................................................. 5. F  {x x เปน็ จานวนจรงิ ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ x2  3x  2  0} ............................................................................................................................................................................................. 2) แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก ใช้ตวั แปรแทนสมาชกิ แล้วบรรยายสมบัติหรือเง่ือนไข เช่น F  {x | x เปน็ จานวนนบั ทมี่ ีหลกั เดียว} อา่ นว่า F เปน็ เซตซ่ึงประกอบดว้ ยสมาชกิ x โดยท่ี x เปน็ จานวนนับที่มีหลักเดียว เครอ่ื งหมาย “| ” แทนคาว่า “โดยท่ี” ซ่ึงอาจจะใช้ “ : ” แทน

ตวั อย่าง จงเขียนเซตต่อไปนแ้ี บบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ 1. C  {2, 4, 6,8} ............................................................................................................................................................................................. 2. D  {...,  2, 1, 0,1, 2,...} ............................................................................................................................................................................................. 3. E  {2, 4, 6, ...} ............................................................................................................................................................................................. 4. F  {3, 6, 9, 12, ...} ............................................................................................................................................................................................. 5. I  {1, 4,9,16, 25,36,...} ............................................................................................................................................................................................. ข้อสงั เกต 1. สมาชกิ ในเซตไม่ว่าจะเขียนซา้ กันก่ตี วั กต็ าม จะนับเปน็ สมาชิกเพียงตัวเดียว เชน่ {1,1, 2, 2, 3} เปน็ เซตเดียวกับ {1, 2,3} 2. การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกนนั้ สมาชกิ แตล่ ะตวั สามารถเขียนสลบั กันได้ เช่น {1, 2,3} เปน็ เซต เดียวกบั {3, 2,1} 3. การเขียนเซตแบบบอกเงือ่ นไข เหมาะสาหรับการเขยี นเซตเมื่อมีจานวนสมาชิกมาก ๆ หรอื ไม่สามารถนับ จานวนสมาชิกได้ สมาชกิ ของเซต จานวนสมาชกิ ของเซตและเซตวา่ ง กาหนดให้ A  {2,4,6} ซง่ึ 2, 4 และ 6 ต่างก็เปน็ สมาชิกของเซต A เราใช้สัญลักษณ์ “” แทน “เป็นสมาชิกของ” หรือ “อย่ใู น” ตวั อย่างเชน่ 2 เปน็ สมาชิกของ A หรอื อยใู่ น A เขยี นแทนด้วย 2 A 4 เปน็ สมาชิกของ A หรอื อย่ใู น A เขียนแทนดว้ ย 4 A 6 เป็นสมาชิกของ A หรอื อยูใ่ น A เขียนแทนดว้ ย 6A สว่ นคาว่า “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ” หรอื “ไม่อย่ใู น” เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ “” ตัวอย่างเช่น 1 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือ ไมอ่ ยใู่ น A เขียนแทนด้วย 1 A 3 ไม่เป็นสมาชกิ ของ A หรอื ไม่อยูใ่ น A เขียนแทนด้วย 3A 5 ไม่เปน็ สมาชกิ ของ A หรือ ไมอ่ ยใู่ น A เขียนแทนดว้ ย 5A

ตวั อยา่ ง จงพิจารณาเซตตอ่ ไปน้ี 1. ให้ A  {3, 4,5} จะไดว้ า่ 3A , 4  A และ 5A แต่ 1 A 2. ให้ B  {4,{5}} จะไดว้ า่ 4  B และ {5} B แต่ 5 B 3. ให้ C  {{2,3},{4}} จะได้วา่ {2,3} C และ {4} C แต่ 4C ตวั อย่าง กาหนดให้ A  {1,{2},3, {4,5}} จงพจิ ารณาเซตต่อไปน้ี จะไดว้ า่ 1 A , {2} A , 3 A และ {4,5} A แต่ 2  A , 4  A , 5  A ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  {a, b,{c}} แล้วข้อใดต่อไปน้ขี อ้ ใดถกู ข้อใดผดิ 1. a A 2. bA 3. cA 4. {c} A วธิ ีทา ....................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................... จานวนสมาชกิ ของเซต เราจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ n(A) แทน จานวนสมาชิกของเซต A ตวั อยา่ งที่ 5 จงเขยี นสัญลกั ษณ์แทนจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ A  {3, 4,5} เซต A มีจานวนสมาชกิ ทงั้ หมด ................... ตัว ดงั น้นั เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ …………………………. B  {a, b, c,d, e} เซต B มีจานวนสมาชิกทงั้ หมด .................. ตวั ดังนนั้ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ……………………………….. C  {1,{2,3},{4}, 5,6,7} เซต C มจี านวนสมาชกิ ทั้งหมด ............... ตัว เราอาจเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ ………………………………..

เซตวา่ ง (Empty set or null set) เซตว่าง คอื เซตทีไ่ มม่ สี มาชิกอย่เู ลย เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ “{ } ” หรือ “ ” (  เปน็ อักษรกรกี ตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า phi ) ตวั อย่าง ตอ่ ไปน้คี อื ตัวอย่างของเซตว่าง 1. A  {x x เป็นจานวนเตม็ บวกทมี่ ากท่สี ุด } ดังนั้น A   เพราะไมม่ จี านวนเต็มบวกท่มี ากท่สี ุด 2. B  {x  R x2  9} ดังน้นั B   เพราะไมม่ จี านวนจรงิ ใดทย่ี กกาลงั สองแล้วมีคา่ เท่ากับ  9 3. C  {x  I x  x} ดงั นนั้ C   เพราะไมม่ จี านวนเตม็ ใดทแี่ ทนในอสมการ x  x แล้วเปน็ จริง 4. D { } ดงั นน้ั D   เพราะ D ไม่มสี มาชิก ตวั อย่าง จงพจิ ารณาว่าเซตทก่ี าหนดให้ต่อไปน้เี ซตใดบา้ งเปน็ เซตว่าง A คอื เซตของจานวนเต็มท่อี ยรู่ ะหว่าง 1 กบั 2 B  {x x เป็นจานวนนับที่สอดคล้องกบั สมการ 5 - x  6} C  {x  I x เปน็ จานวนเตม็ ลบระหวา่ ง  2 กับ  3} วธิ ีทา ................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................... ตวั อยา่ ง กาหนดใหเ้ ป็นเซตวา่ งหรอื ไมเ่ ปน็ เซตวา่ งเพราะเหตใุ ด 1. A  {x  N x2  1 } 2. B  {x x เป็นเดือนท่มี ี 32วนั } 3. C  {x x เปน็ จานวนเต็มลบระหวา่ ง  5 กบั  7} วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เซตจากดั เซตอนนั ตแ์ ละเซตทเ่ี ทา่ กนั เซตจากดั (finite set) เซตจากัด (finite set) หมายถงึ เซตท่ีสามารถนบั จานวนสมาชกิ ได้ และมีจานวนสมาชกิ เท่ากับจานวน เตม็ บวก หรอื ศูนย์ ขอ้ สงั เกต เซตว่างมีจานวนสมาชกิ เท่ากบั ศูนย์ ดังน้นั เซตว่างถือเปน็ เซตจากัด ตวั อย่าง เซตต่อไปนเ้ี ปน็ เซตจากัด A เซตของประเทศที่เป็นสมาชิกของอาเซียน B  {x x เป็นจานวนจริงท่ีสอดคล้องกับสมการ x2  x 12  0 } C  {5,10,15,20,...,100} ตวั อยา่ ง M เป็นเซตของวนั ในหนง่ึ สัปดาห์ เซต M เป็นเซตจากัดหรอื ไม่ วธิ ีทา M { จนั ทร์ , องั คาร , พุธ ,พฤหัสบดี , ศุกร์ , เสาร์ , อาทิตย์ } เนอื่ งจาก M มสี มาชกิ 7 ตัว ดังนั้น M เป็นเซตจากดั เซตอนนั ต์ (in finite set) เซตอนนั ต์ (in finite set) หมายถึง เซตทีไ่ ม่ใช่เซตจากัด นน่ั คือเราไม่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ หรอื ถ้านบั ได้กม็ สี มาชกิ มากมายจนนับไม่หมด ตวั อย่าง เซตตอ่ ไปน้ีเปน็ เซตอนันต์ {1, 2,3,...} {x x เป็นจานวนเฉพาะ } {x x  1 ;n  N} n 1 ตวั อยา่ ง Y  {1, 3, 5,...} เซต Y เปน็ เซตอนันตห์ รอื ไม่ วธิ ีทา ......................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................

ตวั อย่าง เซตตอ่ ไปน้เี ซตใดเปน็ เซตจากดั และเซตใดเป็นเซตอนนั ต์ 1. A  {1, 2, 5, 7} .......................................................................................................................................................................................................... 2. B  {1, 2, 3,...} …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. C  {x x คือชอื่ เดอื นใน 1 ปี } ........................................................................................................................................................................................................ 4. D  {x R 0  x  1} ........................................................................................................................................................................................................ เซตทเ่ี ท่ากนั ( equal sets or identical sets ) พจิ ารณาเซต A  {0,1, 2, 3} และ B  {1, 0, 2, 3} จะเหน็ ว่าเซตท้งั สองมีสมาชิกเหมือนกันทุก ตัว ถึงแมว้ ่าอนั ดับของสมาชิกในแตล่ ะเซตจะต่างกัน กถ็ อื วา่ เปน็ เซตท่ีเทา่ กันหรือเป็นเซตเดียวกัน หรอื กล่าวได้ว่าเซต A เทา่ กบั เซต B เซต A เทา่ กับเซต B หมายถึงสมาชกิ ทุกตัวของเซต A เปน็ สมาชิกของเซต B และสมาชกิ ทกุ ตัว ของเซต B เปน็ สมาชิกของเซต A เซต A เทา่ กบั เซต B เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A  B เซต A ไม่เท่ากบั เซต B หมายถึงมสี มาชิกอยา่ งน้อยหนึ่งตัวของเซต A ท่ไี ม่สมาชิกของเซต B หรอื มสี มาชกิ อย่างน้อยหนงึ่ ตวั ของเซต B ทไี่ ม่ใชส่ มาชกิ ของเซต A เซต A ไมเ่ ท่ากับเซต B เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ A  B ตวั อย่าง จงพิจารณาว่าเซตท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนีเ้ ทา่ กันหรือไม่ 1. กาหนดเซต A  {5, 6, 7,8} และ B  {5, 7, 6, 8} ....................................................................................................................................................................................................................................... 2. กาหนดให้ A  {1,{1, 2}} และ B  {1, 2} ....................................................................................................................................................................................................................................... ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  {a, b, c}, B  {c,a, b, b}, C  {a, a, b, c,d} จงพิจารณาว่าเซตใดท่ีเท่ากนั และไม่ เทา่ กัน .......................................................................................................................................................................................................................................

เอกภพสมั พทั ธ์ สบั เซต เอกภพสมั พทั ธ์ ( relative universe ) ในการเขียนเซตแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก จะต้องกาหนดเซตขึ้นมาหนึ่งเซต เรยี กว่า เอกภพสมั พทั ธ์ เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ U โดยมีข้อตกลงวา่ เมื่อกลา่ วถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไมก่ ลา่ วถึงส่ิง อ่นื ทีน่ อกเหนอื จากสมาชกิ ในเอกภพสัมพทั ธ์ ตวั อย่าง A เปน็ เซตของจานวนนบั ทน่ี อ้ ยกวา่ 5 สมาชิกในเซต A ต้องเลือกมาจากเซตของจานวน นบั เทา่ นนั้ ซง่ึ ไดแ้ ก่ 1,2,3,4 ดังน้ัน B เปน็ เซตของจานวนเต็มท่ีเป็นคาตอบของสมการ เซตของจานวนนบั ท้งั หมดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ U คอื เซตของจานวนนับ (2x 1)(x  4)  0 สมาชกิ ของ B ตอ้ งเลือกมาจากเซตของจานวนเต็ม เทา่ น้นั ซึง่ ไดแ้ ก่ - 4 ดังน้ัน เซตของจานวนเตม็ ท้งั หมดเปน็ เอกภพสัมพัทธ์ หรือ U คือเซตของจานวนเต็ม ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U คือเซตของจานวนจรงิ และ A  {x x2  4} B  {x x3  1} จะได้วา่ A  { 2,2} และ B  {1} แตถ่ ้ากาหนดให้ U คอื เซตของจานวนเตม็ บวก จะไดว้ ่า A  { 2} และ B   หมายเหตุ ถ้ากลา่ วถงึ เซตของจานวนและไม่ได้กาหนดวา่ เซตใดเปน็ เอกภพสมั พัทธ์ใหถ้ ือว่าเอกภพสัมพทั ธค์ อื เซตของจานวนจริง

สบั เซต ( Subsets ) กาหนดให้ A  {7,8} และ B  {1,3,5,7,8} สมาชกิ ทง้ั หมดของเซต A คอื 7 และ 8 ตา่ งก็เปน็ สมาชกิ ของเซต B ในกรณเี ช่นน้ีเรียก A ว่าเปน็ สบั เซตของ B - เซต A เป็นสับเซตของเซต B กต็ ่อเม่อื สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เปน็ สมาชกิ ของเซต B - เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B เขยี นแทนด้วย A  B - เซต A ไม่เป็นสบั เซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มสี มาชกิ อย่างน้อยหนึง่ ตัวของเซต A ที่ไมเ่ ป็นสมาชิก ของเซต B - เซต A ไม่เปน็ สับเซตของเซต B เขยี นแทนด้วย A  B จากเซต A และ B ในตวั อยา่ งขา้ งตน้ สรปุ ได้วา่ A  B แต่ B  A ตวั อย่าง ถ้า A  {0,1,2} , B  {0,1,2} , C  {3,4,5,6} , D  {0,1,2,3,4,5} จะไดว้ า่ ...................................................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. จากการสังเกต ถา้ A  B แลว้ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B และถ้า สมาชกิ ทุกตวั ของ B เป็นสมาชกิ ของ A เมอ่ื เง่ือนไขทั้งสองเปน็ จรงิ พรอ้ มกนั จะไดว้ ่า A  B นนั่ คือ ถ้า A  B และ B  A แลว้ A  B ตวั อย่าง ให้ X  {a, b, c} และ Y  {c,a, b} จะเห็นวา่ สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต X เปน็ สมาชิกของเซต Y หรอื X  Y และ สมาชกิ ทุกตวั ของเซต Y เป็นสมาชกิ ของเซต X หรือ Y  X จะไดว้ ่า X  Y การหาสบั เซตของเซตทก่ี าหนดให้ ถ้าเซต A มจี านวนสมาชกิ เท่ากับ n ตวั แลว้ จานวนสับเซตท้ังหมดของ A เท่ากับ 2n สับเซต ตวั อย่าง ถา้ กาหนดให้ A  {1,2,3} จงหาสบั เซตที่เป็นไปได้ทง้ั หมดของ A สบั เซตทงั้ หมดของ A คือ ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... จานวนสบั เซตทัง้ หมดของ A เท่ากับ .......................................... สับเซต

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  {1,2}, B  {a, b, c} จงหาสับเซตของ A และ B วธิ ีทา ......................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ขอ้ สงั เกต 1. เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง นั่นคอื A  A เมอื่ A เปน็ เซตใด ๆ 2. เซตว่างเปน็ สบั เซตของทุกเซต นนั่ คือ   A เมอ่ื A เปน็ เซตใด ๆ 3. ทกุ ๆเซตเป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ์ นั่นคือ A  U เมือ่ A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอรเ์ ซต ( Power Set ) เพาเวอร์เซตของเซต A หมายถงึ เซตท่ปี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ที่เป็นสบั เซตของเซต A ท้ังหมด เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(A) ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) จะมี สมาชิก 2n ตัว ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  {5,7,9} B  {a, b,{c}} C  {,{1, 2}} D  จงหาเพาเวอรเ์ ซตของเซต A, B,C และ D วธิ ีทา ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................

แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ( Venn-Euler Diagram ) แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เปน็ แผนภาพทีใ่ ช้แทนเซตเพื่อช่วยใหเ้ ข้าใจถึงความเก่ยี วข้องสมั พนั ธก์ ันระหวา่ งเซต ต่างๆ ได้ง่ายและชัดเจนยิ่งขึ้น ตามปกตนิ ิยมเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ดว้ ยส่ีเหล่ียมมุมฉาก และเซตตา่ งๆที่เป็นสับ เซตของ U จะเขยี นแทนดว้ ยวงรี หรือวงกลม หรอื รปู ปิดใดๆ ถ้า A และ B เป็นสับเซตของ U จะเขียนแสดงแผนภาพแทนความสัมพนั ธร์ ะหวา่ ง A และ B ในกรณตี ่างๆดงั นี้ 1. A และ B ไมม่ สี มาชิกรว่ มกนั 2. A  B U BA U U U 3. A  B

4. A และ B มีสมาชกิ บางตวั ร่วมกัน U ในกรณีที่ไมท่ ราบความสัมพันธร์ ะหวา่ ง A และ B นิยมใชก้ รณที ี่ 4 เปน็ แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ ระหวา่ งเซต A, B ใดๆ ทีเ่ ป็นสับเซตของ U ถ้า A, B,C เปน็ สบั เซตใดๆของ U กรณที ไ่ี มท่ ราบความสัมพันธ์ระหว่าง A, B และ C นิยมเขียน แผนภาพชนดิ ท่ีมสี ว่ นตัด ดังน้ี B CU ตวั อย่าง กาหนดให้ U  {1,2,3,...,10} , A {2, 4, 6} , B {1,3,5, 7,9} จงเขยี นแผนภาพแทนเซตที่กาหนด วธิ ีทา จากเซตที่กาหนดให้ A และ B มไี ม่มสี มาชิกร่วมกนั เขียนแผนภาพแทน A และ B ไดด้ งั นี้

ตวั อย่าง กาหนดให้ U  {1,2,3,..., 6} , A  {1, 2,3, 4} และ B  {3, 4,5, 6} วธิ ที า จงเขยี นแผนภาพแทนเซตทั้งสองนี้ จากเซตที่กาหนดให้ A และ B มีสมาชกิ รว่ มกันคือ ................... และ ……………….. เขียนแผนภาพแทน A และ B ได้ดังน้ี ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U  {1,2,3,...} , A  {1,3,5} และ B  {1,3,5, 7,9} วธิ ีทา จงเขยี นแผนภาพแทนเซตทั้งสองน้ี ตวั อย่าง กาหนด U  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A  {1,3, 5,7,9} B  {2,5,6,9} และ C  {3,5, 6,8} จะเขยี นแผนภาพ แทนเซต A, B,C และ U ได้ดังน้ี B CU

ยเู นยี น อนิ เตอรเ์ ซกชัน การดาเนนิ การระหวา่ งเซต การดาเนินการระหว่างเซตจะเป็นวิธกี ารสรา้ งเซตใหมข่ น้ึ มาจากเซตต่างๆท่กี าหนดมาใหซ้ ่ึง การดาเนนิ การดังกลา่ วนแี้ บง่ เป็น 4 ชนดิ ด้วยกัน 1. ยเู นียน (union) 2. อนิ เตอรเ์ ซกชัน (intersection) 3. คอมพลเี มนต์ (complement) 4. ผลต่าง (difference) 1. ยูเนียน (union) ยูเนียนของเซต A กับเซต B คอื เซตซง่ึ ประกอบด้วยสมาชกิ ทเ่ี ป็นสมาชกิ ของเซต A หรอื เซต B หรือของทง้ั สองเซต ยูเนยี นของเซต A กบั เซต B เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A  B A  B  {x x  A หรอื x  B หรอื x เป็นสมาชกิ ของทงั้ สองเซต} A  B แสดงได้ด้วยแผนภาพ และ ส่วนทแ่ี รเงาแทน A  B ได้ดงั นี้ U UU U

ตวั อย่าง กาหนดให้ A  {1,2,3,4} และ B  {3, 4,5} จงเขียน A  B และ B  A แบบแจกแจงสมาชิก วธิ ที า ตวั อย่าง กาหนดให้ C  {a, b, c,d} และ D  {e,f } จงเขยี น C  D และ D  C แบบแจกแจงสมาชกิ วธิ ที า ข้อสงั เกต การนาเซต 2 เซตมายเู นียนก็เหมอื นกับการเอา 2 เซตมารวมกันน่นั เอง ดงั น้ันเซตทเ่ี กิดจากการ ยูเนียน จะต้องมีจานวนสมาชกิ เพมิ่ ข้นึ หรอื อย่างน้อยเทา่ เดิม 2. อนิ เตอรเ์ ซกชนั (intersection) อนิ เตอรเ์ ซกชันของเซต A และเซต B คอื เซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกทเี่ ปน็ สมาชกิ ร่วมกนั ของท้งั เซต A และเซต B อนิ เตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B A  B  {x x  A และ x  B} A  B แสดงไดด้ ว้ ยแผนภาพ ส่วนทแ่ี รเงาแทน A  B ดังน้ี

UU ตวั อย่าง กาหนดให้ A  {0,1,2,3} และ B  {0,3,5} วธิ ีทา จงเขียน A  B และ B  A แบบแจกแจงสมาชกิ ตวั อย่าง กาหนดให้ E  {0,1,2,3} , F  {7,8,9} จงเขยี น E  F และ F  E แบบแจกแจงสมาชิก วธิ ที า ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U  {0,1,2,3,4,5,6,7,8}, A  {0,1,5,6} , B  {1,3,5,7} และ C  {3,4,5,6} จงเขยี นเซตต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชกิ A  B , A  C , B  C และ (A  B)  C วธิ ีทา

คอมพลเี มนต์ ผลตา่ งระหวา่ งเซต 3. คอมพลเี มนต์ (complement) ถ้า U เปน็ เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ คอมพลีเมนต์เซต A คือเซตทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชิกของ U แต่ ไม่เป็นสมาชิกของเซต A คอมพลีเมนต์เซต A เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ A A  {x x  U แต่ x  A} A เขยี นแสดงได้ดว้ ยแผนภาพ และ ส่วนทแี่ รเงาแทน A ดงั นี้ หมายเหตุ หนงั สอื บางเลม่ อาจใช้สญั ลกั ษณ์อน่ื แทน A เช่น Ac ,A , A(C) เป็นต้น ตวั อย่าง กาหนดให้ U  {1, 2,3,...,10} , A  {x x  2n เมอ่ื n  I และ 1  n  5 } วธิ ที า

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U  {0,1,2,3,4,5}, A  {0,2,4} และ B  {3,4} จงหา A, B วธิ ที า ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U  {1, 2,3, 4,5,6} , A  {3, 4,6} และ B  {5,6} จงหา A  B , (A  B) , A  B และ (A  B) วธิ ที า 4. ผลต่างระหวา่ งเซต ( relative complement or difference of sets ) ถา้ เซต A และ B ต่างกเ็ ปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์เดียวกัน จะหาคอมพลีเมนต์ของเซตหน่งึ เทียบกบั อีกเซตหนึง่ ซึ่งเรียกวา่ ผลตา่ งระหวา่ งเซต( relative complement or difference of sets ) ได้ดงั นี้ ผลตา่ งระหวา่ งเซต A และ เซต B หมายถึง เซตทมี่ ีสมาชิกอย่ใู นเซต A แต่ไมอ่ ยู่ในเซต B ผลต่างของเซต A และ เซต B เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ A  B A  B  {x x  A แต่ x  B} A  B แสดงไดด้ ้วยแผนภาพ และ ส่วนทแ่ี รเงาแทน A  B ดังน้ี

U U ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  {1,2,3,4} และ B  {2,4,5,6} จงหา A  B และ B  A วธิ ที า ตวั อยา่ ง กาหนดให้ U  {1,2,3,...,10} A  {1,3,5,7,9} B  {3,6,9} C  {3,4,8} จงเขียนเซตต่อไปน้แี บบแจกแจงสมาชิก 1) A 2) A  (B  C) 3) A  (B  C) 4) (A  B)  (C  B)

สมบตั ทิ ่สี าคัญ 1. (A)  A 2.   U และU U U   3. (A  B)  A  B (A  B)  A  B 4. A  A   A  A  U 5. A  B  A  B 6. A  B ก็ตอ่ เมอ่ื A  B   สรุปสมบตั ทิ ส่ี าคญั ของการดาเนนิ การบนเซต ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ 1. A  (B C)  (A  B)  C ....................... สมบตั ิการเปล่ยี นหมู่ 2. A  (B C)  (A  B)  C ...................... .สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมู่ 3. A  B  B A ............................................ สมบตั กิ ารสลับท่ี 4. A  B  B A ........................................... .สมบัติการสลับที่ 5. A  (B C)  (A  B)  (A  C) ........... สมบัติการแจกแจง 6. A  (B C)  (A  B)  (A  C) ........... สมบัติการแจกแจง 7. (A  B)  A  B ...................................... กฎเดอร์มอร์แกน 8. (A  B)  A  B...................................... กฎเดอรม์ อร์แกน 9. A  A  U.................................................... กฎสว่ นเตมิ เตม็ 10. A  A   .................................................... กฎส่วนเตมิ เต็ม 11. (A)  A ....................................................... กฎการผกผนั ดว้ ยตัวเอง

การดาเนนิ การของเซต ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  B  (A  B)  (B  A) เม่อื U  {1, 2,3, 4,5,6,7,8} A  {1,2,3,4} และ B {3,5,7} จงหา A  B วธิ ีทา ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A  B  (A  B)  (A  B) วธิ ที า เม่ือ U  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , A  {0,1,3,4,5} , B {0,4,8} และ C  {0,2,4,6,8} จงหา (A  B)  C จานวนสมาชกิ ของเซตจากัด  สตู รท่ี 1 ถา้ A และ B เปน็ เซตจากัดและ A  B   แลว้ A  B  n(A)  n(B)  สตู รที่ 2 ถา้ A1 ,A2,A3,..., Am เปน็ เซตจากดั และเป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่ แลว้ n(A1  A2  A3...Am )  n(A1)  n(A2 )  n(A3 )  ...  n(Am )  สตู รที่ 3 ถ้า A และ B เปน็ เซตจากดั แล้วจานวนสมาชกิ ของเซต A  B หรือ n(A  B) หาได้จาก n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B)  สตู รที่ 4 ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจากัด จานวนสมาชิกของเซต A BC หรอื A BC หาได้จาก n(A  B  C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A  B)  n(A  C)  (B  C)  n(A  B  C)  สตู รท่ี 5 ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตจากัดแลว้ n(A  B)  n(A)  n(A  B) n(B  A)  n(B)  n(A  B)  สตู รท่ี 6 ถ้าเซต A เปน็ สบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ U เป็นเซตจากัดแล้ว n(A)  n( U )  A

ตวั อยา่ ง กาหนดใหเ้ ซต A และเซต B เป็นสับเซตขแองเอกภพสัมพัทธ์ U โดยท่ี n( U )  70, n(A)  30, n(A  B)  34 และ n(A  B)  11 จงหา n(B  A) และ n(A  B) วธิ ีทา ตวั อยา่ ง กาหนดใหเ้ ซต A เซต B และเซต C เป็นสบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ์ U โดยที่ n( U )  50, n(B  A)  20 , n(A  B)  14 , n(A  B  C)  8 , n(A  B  C)  1 และ n(A  B  C)  48 จงหา n(A  B  C)

โจทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั จานวนสมาชกิ ของเซตจากัด ตวั อยา่ งวิธีแกโ้ จทย์ปัญหาเก่ียวกบั จานวนสมาชกิ ของเซตจากดั ตวั อย่างที่ 1 จากการสอบถามนักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 ของโรงเรียนแห่งหน่ึงจานวน 50 คน เกีย่ วกับการ เลอื กเรยี นวิชาเพ่ิมเตมิ วชิ าคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาวิทยาศาสตร์ โดยที่แตล่ ะคนจะเลอื กเรียนอย่างน้อยหนง่ึ วชิ า พบว่า มี 35 คน เลอื กเรยี นวิชาคณิตศาสตร์ 45 คนเลอื กเรียนวชิ าวิทยาศาสตร์ จงหาว่า มีนักเรยี นก่ีคนทีเ่ ลือกเรยี น ทง้ั สองวชิ า วธิ ีทา

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 80 คน นักเรียนแต่ละคนจะต้องเรียนวชิ าฟิสิกส์ เคมี คณติ ศาสตรอ์ ย่างนอ้ ยหนึ่งวชิ า จากการนบั จานวนนกั เรียนทเี่ ลอื กเรียนในแตล่ ะวชิ า ปรากฏว่ามี นักเรียนท่ีเลอื กเรียนวชิ าฟิสิกส์ 50 คน วชิ าเคมี 40 คน วชิ าคณิตศาสตร์ 33 คน ในจานวน ดังกล่าว มีผ้เู ลือกเรยี นสามวชิ า 5 คน วิชาคณิตศาสตรอ์ ย่างเดยี ว 10 คน เคมอี ยา่ งเดยี ว 12 คน วชิ าเคมแี ละคณติ ศาสตร์ 13 คน จงหาจานวนนกั เรยี นทเ่ี รียน 1) วชิ าฟสิ ิกส์หรอื เคมี 2) วชิ าคณิตศาสตร์หรอื ฟิสิกสแ์ ตไ่ มเ่ รยี นเคมี 3) วิชาเคมแี ต่ไมเ่ รียนคณิตศาสตร์

แบบฝกึ หดั ทา้ ยบท