การวัดแนวโน้มข้าสู่ส่วนกลาง

การวัดแนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง Measures of central tendency นางสาวสธุ กิ มล นวลน่มิ

การหาค่ากลางของข้อมลู เพ่ือหาคา่ สถติ หิ รือ คา่ พารามเิ ตอร์ แล้วนาผลทไ่ี ด้มาสรุปและ ตีความหมายของข้อมลู จะช่วยทาใหเ้ กิดการวเิ คราะห์ ข้อมูลถูกต้องดีข้ึน การหาค่ากลางของข้อมลู มีวธิ ีหา หลายวิธแี ต่ละวธิ มี ขี อ้ ดีและขอ้ เสยี และมคี วามเหมาะสม ในการนาไปใชไ้ มเ่ หมอื นกัน แนวโน้มเขา้ ส่สู ว่ นกลาง หรือค่ากลางท่เี ปน็ ตัวแทนของข้อมูลสามารถทาได้ หลายวธิ ี ดงั น้ี - คา่ เฉลี่ยเลขคณิต (Arithmatic Mean) - มธั ยฐาน (Median) - ฐานนิยม (Mode) - คา่ เฉลย่ี เรขาคณิต (Geonetric Mean) - ค่าเฉลยี่ ฮารม์ อนิก (Harmomic Mean)

สมบัตขิ อง  1. n เม่ือ c เปน็ ค่าคงตวั c  nc i 1 2. nn เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั  cxi  c xi i1 i1 n nn  xi  yi   xi  yi   3. i1 i1 i1

คือค่าของผลรวมของคา่ สังเกตของข้อมูลท้ังหมด หาร ดว้ ยจานวนของขอ้ มลู ทัง้ หมด ค่าเฉล่ยี เลขคณิตเหมาะทจี่ ะ นามาเปน็ ค่ากลางของขอ้ มูลเม่ือขอ้ มูลนน้ั ไม่มีคา่ ใดคา่ หนงึ่ สูง หรือต่าผดิ ปกติ คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของประชากรใช้สัญลกั ษณ์แทนด้วย อา่ นว่ามวิ ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของกลุ่มตัวอย่างใช้สัญลกั ษณ์แทน ดว้ ย อา่ นวา่ เอ็กซ์บาร์

ให้ x1, x2, x3,....., xN เปน็ ขอ้ มูลของประชากรชุดหนงึ่ ซงึ่ มี N จานวน คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของ ขอ้ มลู ดงั กล่าว คือ   x1  x2  .....  xN N น่ันคอื ถา้ ข้อมลู ดังกลา่ วมาจากประชากร N  xi คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ()  i1 N

ให้ x1, x2, x3,......, xn เป็นข้อมลู ของกลมุ่ ตวั อย่าง ซง่ึ มี n จานวน คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูล ดงั กลา่ ว คือ x  x1  x2  .....  xn n นน่ั คอื ถ้าข้อมลู ดงั กล่าวมาจากกลุม่ ตัวอย่าง n  xi คา่ เฉลีย่ เลขคณิต (x)  i1 n

N  wi xi ค่าเฉล่ียเลขคณติ ถว่ งนา้ หนักของประชากร   i1 N  wi i 1 n  wi xi คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ถ่วงนา้ หนักของกลุ่มตวั อย่าง i 1 x n  wi i 1

k  ni xi คา่ เฉลี่ยเลขคณติ รวม i 1 xc  k  ni i 1

n n  fi xi  fi xi i 1 x  i1 N N เมอ่ื N = จานวนข้อมูลท้งั หมด =  f c = จานวนชั้น xi = จดุ เกมล่ือางชนั้ , N = จานวนขอ้ มลู ทั้งห i = 1,2,3,…,c c = จานวนชั้น xi = จดุ กลางชนั้ , i = 1,2,3,…, c

สมบตั ิท่สี าคญั ของค่าเฉล่ยี เลขคณิต 1.คา่ เฉล่ียเลขคณิตเม่ือคูณกบั จานวนข้อมูลทง้ั หมด จะมคี ่าเทา่ กับผลรวมขอ้ มลู ทกุ ค่า กล่าวคือ n  Xi  nX i 1 2..ผลรวมของความแตกตา่ งระหวา่ งแตล่ ะค่าของขอ้ มูล จากค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มูลชุดหน่ึงจะเทา่ กับ 0 เสมอ กลา่ วคอื n (Xi  X)  0 i 1

3.ผลรวมของผลต่างกาลงั สองของแต่ละคา่ ของขอ้ มูลกบั จานวน M ใด จะมคี ่านอ้ ยที่สดุ เมอ่ื M เทา่ กบั ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลนั้น กลา่ วคือ n  M )2 นอ้ ยทีส่ ุดเม่ือ M  X (Xi i 1 4. ค่าเฉลีย่ เลขคณติ ของข้อมูลชดุ ใด จะตอ้ งอยู่ระหวา่ งคา่ จากการสังเกตทนี่ อ้ ยท่สี ดุ และคา่ จากการสงั เกตทม่ี ากที่สุดในขอ้ มูลชุดนน้ั กล่าวคือ X min  X  Xmax 5.ถ้าตวั แปร Y สัมพนั ธก์ ับตัวแปร X ในรปู ของ งก์ชันเสน้ ตรงน่ันคอื ถา้ Yi  aXi  b เมอ่ื i = 1,2,3,…, N เมอ่ื a,b เป็นคา่ คงตวั ใด แล้ว Y จะสัมพนั ธ์ X ดังนนั้ Y  aX  b

คือข้อมูลท่ีมตี าแหน่งอยูก่ ึง่ กลางของข้อมลู ทงั้ หมด เมอื่ เรยี งลาดับขอ้ มลู ทงั้ หมดจากนอ้ ยไปมาก หรอื จากมากไปนอ้ ย ซง่ึ ค่า น้จี ะแบง่ ขอ้ มลู ชดุ นัน้ ออกเปน็ 2 สว่ นเทา่ กัน แบง่ ได้ 2 กรณดี งั น้ี กรณที ี่ 1 เม่อื ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถ่ี (Ungrouped data) 1. ถ้า N เป็นจานวนข้อมลู ใหเ้ รียงลาดับข้อมูลทั้งหมดจากนอ้ ย ไปหามากหรอื จากมากไปหาน้อย 2. นับจานวนข้อมลู วา่ เป็นจานวนคู่หรือจานวน กรณที ี่ 2 เมอ่ื ข้อมูลที่แจกแจงความถแี่ ล้ว (grouped data) 1) สร้างตารางแจกแจงความถี่สะสม หาความถ่ีสะสม N 2) หาตาแหน่งที่มธั ยฐานอยู่ 2 3) พจิ ารณาว่าตาแหนง่ ท่มี ธั ยฐานอยตู่ รงกบั ข้อมลู ตวั ใด โดยใช้ สูตร

Median  N  fL   2 fm   L  I      N L I  fL fm

คือข้อมลู ทม่ี คี วามถมี่ ากทส่ี ดุ (มตี วั ซ้ากันมากท่ีสุด) หรือคือ ขอ้ มลู ทม่ี แี นวโนม้ เกดิ มโนภาพมุ่งไปส่คู วามคดิ แบบเดียวกนั ฐานนิยม จะส่อื ความหมายไดเ้ มอ่ื ใช้ขอ้ สรปุ ข้อมูลทเี่ ป็นขอ้ มลู เชิงคุณภาพ เช่น เพศ อาชพี ภมู ิลาเนา เบอรห์ รือขนาดของเสือ้ ความคดิ เห็น ความชอบ เป็นต้น

กรณที ่ี 1 ขอ้ มลู ท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี (ungrouped data) ข้อมลู ท่มี คี ่าซ้ากันมากทีส่ ดุ ข้อมลู น้นั คอื ฐานนิยมตัวอยา่ งท่ี ตวั อย่างท่ี 3.10 จงหาฐานนยิ มของข้อมลู ตอ่ ไปนี้ - ข้อมลู ชุดท่ี1 : 1 , 2 , 4 , 4 , 9 , 7 , 4 ฐานนิยม คือ 4 - ข้อมูลชุดท่ี2 : 2 , 2 , 4 , 4 , 6 , 7 , 9 ฐานนิยม คือ 2 , 4

กรณที ี่ 2 ข้อมูลท่แี จกแจงความถแ่ี ลว้ (grouped data) 1) การคานวณท่ฐี านนยิ มในกรณีทีข่ อ้ มลู แจกแจงความถี่ จะหาโดย คา่ ประมาณที่ไมต่ ้องการ ความละเอยี ดมากนัก ทาไดโ้ ดยใช้จดุ ก่งึ กลางของ อนั ตรภาคช้ันทีม่ ีความถส่ี ูงสดุ (ช้ันฐานนิยมอย)ู่ เป็นคา่ ฐานนิยม 2) โดยใชส้ ูตรเปน็ กรณที ่ตี ้องการความละเอยี ดดังน้ี Mode  L  I  d1 d1    d2    L I

กรณที ี่ 1 ขอ้ มูลทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่ (ungrouped data) G.M.  N x1  x2  x3 .... xN x1, x2 , x3,..., xN log G.M .  1 n log xi n i 1

กรณที ่ี 2 ขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถี่แลว้ (grouped data) 1log G.M . k fi log xi n i 1 xi i i  1, 2,..., k fi i k

กรณที ี่ 1 ขอ้ มูลที่ไม่แจกแจงความถี่ กรณที ี่ 2 ขอ้ มลู ที่แจกแจงความถี่แล้ว (ungrouped data) (grouped data) H.M .  N H.M .  N k fi k fi H.M .  n xi  x1, x2, x3,....., xn xi1 i xi1 i n1 xi i i  1, 2,..., k xi1 i fi xi i k fi k