ชุดเอกสารแนะแนวทาง-เรื่องตรีโกณมิติผลต่าง-ครบ

เอกสารแนะแนวทางที่ 12 เร่ือง ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องผลบวก และผลตา่ งของจานวนจรงิ หรอื มมุ ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรือมุม sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB tan(A + B) = tanA+tanB sin(A - B) = sinA cosB – cosA sinB 1−tanA tanB cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB tan(A - B) = tanA+tanB cos(A – B) = cosA cosB + sinA sinB 1+tanA tanB cotB cotA − 1 cot(A + B) = cotB + cotA cot(A - B) = cotB cotA + 1 cotB − cotA ตวั อย่าง หาค่าของ sin(45° + 30°) ตวั อยา่ ง หาค่าของ cos(3������ − ������) 2 3 ตวั อยา่ ง หาค่าของ tan75° 13

เอกสารแนะแนวทางท่ี 13 เร่ือง ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ขิ องสองเทา่ สามเทา่ และครง่ึ เทา่ ของจานวนจรงิ ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตขิ องสองเทา่ ของจานวนจรงิ sin 2A = 2sin A cos A cos 2A = cos2 A − sin2 A cos 2A = 1−2 sin2 A cos 2A = 2 cos2 A −1 tan 2A = 2tanA 1− tan2 A ตวั อยา่ ง กาหนดให้ sin x = 4 หาค่าของ sin 2x 5 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ cos x = 1 หาคา่ ของ cos 2x 3 ตัวอย่าง กาหนดให้ tan x = 3 หาคา่ ของ tan 2x 7 14

ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตขิ องสามเทา่ ของจานวนจริง sin3A = 3sinA – 4sin3A cos3A = 4cos3A – 3cosA 3 tan A− tan3A tan3A = 1− 3tan2A ตัวอย่าง กาหนดให้ cos 25° = 0.9063 หาค่าของ cos 75° ตัวอย่าง ถา้ cosA = 3 เมือ่ 3π < A < 2π จงหาค่าของ sin3A และ cos3A 5 2 15

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตขิ องสามเท่าของจานวนจรงิ ตัวอยา่ ง ถ้า tanA = 3 เมอื่ 0 < A <π2 จงหาคา่ ของ tan3A 4 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของคร่งึ เทา่ ของจานวนจริง sin A = ± 1−cos A 2 2 cos A = ± cos A+1 2 2 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin 15° ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ cos 9π 8 16

เอกสารแนะแนวทางที่ 14 เร่ือง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของ ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ผลคูณของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ = 2sin A cos B = 2cos A sin B 2sin A cos B = sin A+B + sin A−B = 2cos A cos B 2cos A sin B = sin A+B − sin A−B = − 2sin A sin B 2cos A cos B = cos A+B + cos A−B − 2sin A sin B = cos A+B − cos A−B ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ของ 2 cos105° cos15° ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ 2 sin45° sin15° ตัวอยา่ ง จงหาค่าของ 2 cos51π2 cos1π2 17

ผลบวกและผลต่างของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ sin A + sin B = 2sin A+B cos A−B 2 2 A+B A−B sin A − sin B = 2cos 2 sin 2 cos A + cos B = 2cos A+B cos A−B 2 2 A+B A−B cos A − cos B = −2sin 2 sin 2 ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ sin75° + sin15° ตวั อย่าง จงหาค่าของ cos105° - cos15° ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ sin1172π - sin1112π 18

เอกสารแนะแนวทางที่ 15 เรอ่ื ง ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ผิ กผนั ตัวผกผันของฟงั กช์ นั ไซน์ ตัวผกผนั ของฟังก์ชันโคไซน์ ตวั ผกผันของฟงั กช์ นั แทนเจนต์ 19

ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิผกผนั ตัวอยา่ งที่ 1 หาคา่ ตัวผกผันของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติต่อไปนี้ 1) arcsin 1 = 2) arctan 3 = 2 = = 3) arccos 3 = 4) arcsin (− 1 ) = 2 2 5) arccos (− 3 ) = 6) arccos (− 1 ) 2 2 7) arcsin 3 = 8) arctan (-1) 2 ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ arcsin 1 = A และ arctan (-1) = B แล้ว sin(A - B) เทา่ กบั เทา่ ใด 2 ตวั อยา่ งที่ 3 หาค่าตัวผกผนั ของฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิต่อไปนี้ 1 1) sin arccos 2 2) arcsin sin 2π 3 20

เอกสารแนะแนวทางท่ี 16 เรือ่ ง เอกลักษณแ์ ละสมการตรโี กณมติ ิ เอกลักษณ์ตรโี กณมิติ sin2θ + cos2θ =1 sec2θ - tan2θ =1 cosec2θ - cot2θ = 1 ตวั อยา่ งที่ 1 เขียนจานวนทก่ี าหนดใหใ้ นแต่ละข้อตอ่ ไปน้ใี นรูปอยา่ งงา่ ย 1) sin2A – 1 = ____________________________ = ____________________________ 2) 3sin22θ + 3cos22θ = ____________________________ 3) 1 – cos2θ2 = ____________________________ = ____________________________ 4) 1 − cos23A 1 − sin 23A 5) sin4x + 2cos2x sin2x + cos4x ตวั อยา่ งท่ี 2 เขยี นจานวนทกี่ าหนดให้ในแตล่ ะข้อให้อยใู่ นรปู ของ sinθ 1) cos2θ = ____________________________ 2) sinθ cosecθ – cos2θ = ____________________________ 3) sin2θ (1 – cot2θ) cosecθ = ____________________________ 4) (cos θ + sinθ)(cosθ - sinθ) = ____________________________ 5) 1 - (cos θ − θ )2 = ____________________________ 2 2 21

การพิสจู น์เอกลกั ษณ์ตรีโกณมติ ิ การพสิ ูจนเ์ อกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ เปน็ การแสดงให้เหน็ ว่าจานวนทั้งสองข้างของเคร่ืองหมายเท่ากับเท่ากันจริง โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การพิสูจน์เอกลักษณ์จึงช่วยให้เห็นความสัมพันธ์ต่าง ๆ ระหว่างฟังก์ชัน ตรโี กณมิติ และเอกลักษณท์ พี่ สิ ูจน์แลว้ สามารถนาาไปใชใ้ นการพสิ ูจนเ์ อกลกั ษณอ์ ืน่ ๆ ได้ ตวั อย่างท่ี 1 พิสูจนว์ ่า sin2θ +cosθ = sec θ cosθ ตัวอย่างที่ 2 พสิ ูจนว์ า่ (sinθ + cosθ)2 = 1 + 2 sinθ cosθ ตวั อย่างท่ี 3 พสิ ูจน์ว่า 1 + tanθ = 1 tanθ sinθ cosθ ตวั อย่างที่ 4 พสิ ูจน์วา่ 2 – (sinθ - cosθ)2 = (sinθ + cosθ)2 22

สมการตรโี กณมิติ ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิไมเ่ ป็นฟังกช์ ันหนง่ึ ตอ่ หน่งึ ค่าของฟงั ก์ชันตรโี กณมิตขิ องจานวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้า กัน ถา้ โจทย์ไมไ่ ด้กาหนดใหค้ าตอบอยูใ่ นช่วงใดช่วงหน่ึง ควรตอบในรปู ของคา่ ท่ัวไป 1. คาตอบทว่ั ไปของสมการฟงั กช์ ัน sin, cosec เท่ากบั 2nπ+θ เม่อื θ เปน็ คาตอบท้ังหมดของสมการในชว่ ง [0, 2π) และ n ∈ 2. คาตอบท่ัวไปของสมการฟงั ก์ชัน cos, sec เท่ากบั 2nπ±θ เมอ่ื θ เปน็ คาตอบทง้ั หมดของสมการในชว่ ง [0, 2π) และ n ∈ 3. คาตอบทั่วไปของสมการฟังกช์ นั tan, cot เทา่ กบั nπ+θ เม่อื θ เปน็ คาตอบของสมการทเี่ ป็นจริงท่นี ้อย ทส่ี ุดหรอื ศูนย์ และ n ∈ หมายเหตุ : การเขียนคาตอบท่วั ไปของสมการตรโี กณมติ อิ าจเขยี นไดม้ ากกว่า 1 วธิ ีทใี่ หไ้ ว้ข้างต้น ตัวอย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ sinθ = 1 เมื่อ 0 < θ < ������ 2 2 ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาเซตคาตอบของ (tan x – 1)(4sin2 x – 3) = 0 เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2������ 23

สมการตรโี กณมิติ ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาเซตคาตอบของ cosec2 x – 2cot x = 0 เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2������ ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาเซตคาตอบของ 2sin2 x + sin x = 0 เม่ือ 0 ≤ x ≤ 2������ ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาเซตคาตอบของ sin3x cosx – cos3x sinx = cos x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2������ 24

เอกสารแนะแนวทางที่ 17 เร่ือง กฎของโคไซนแ์ ละไซน์ กฎของโคไซน์ a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC ตัวอยา่ งที่ 1 ใชก้ ฎขอโคไซน์เพ่อื หาความยาวของ a เมื่อ A = 60°, b = 2 และ c = 4 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาขนาดของมุม C เมื่อ a = 12, b = 15 และ c = 10 ตวั อย่างที่ 3 ใช้กฎขอโคไซน์เพอ่ื หาความยาวของ b เมอ่ื B = 120°, a = 4 และ c = 6 25

กฎของโคไซน์ ตัวอยา่ งท่ี 4 ใหร้ ูปสามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นตรงข้ามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c ตามลาดับ ถ้า a = 12, b = 7 และ C = 40° และ cos40° ≈ 0.766 จงหาค่าของ c ตัวอย่างท่ี 6 ในรปู สามเหลยี่ ม ABC ให้ a, b และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มุม B และมุม C ตามลาดบั ตวั อย่างท่ี 5 กาหนดรปู สี่เหลย่ี มดา้ นขนานรูปหนงึ่ มขี นาดของมุมมุมหนง่ึ เท่ากบั 135 องศา และมีด้านประกอบมุมยาว 5 2 และ 7 หนว่ ย หาความยาวของเสน้ ทแยงมุมทงั้ สองเสน้ ของรูปสเี่ หลยี่ มนี้ 26

พื้นท่ีของรูปสามเหลีย่ ม กาหนดใหร้ ปู สามเหลีย่ ม ABC มดี า้ นตรงขา้ มของมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หน่วยตามลาดับ พ้นื ที่ ของรูปสามเหล่ยี ม ABC หาได้ดงั นี้ 1 2 พืน้ ทีส่ ามเหล่ียม ABC = ab sin C = 1 bc sin A 2 1 = 2 ac sin B ตวั อย่างท่ี 1 ในรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C ตามลาดับ หาพื้นที่ของรปู สามเหลีย่ ม ABC จากข้อมูลทก่ี าหนดใหต้ ่อไปนี้ 1) AƸ = 60° , b = 8 และ c = 4 = 1 bc sin A วธิ ีทา จากสูตร พ้นื ที่สามเหลย่ี ม ABC = 21 (8)(4) sin 2 60° = 1 (8)(4) 3 = 2 2 83 ดังนั้น พืน้ ท่ีสามเหลีย่ ม ABC = 8 3 ตารางหน่วย 2) a = 12, b = 10 และ ොC = 60° 1 ab sin C วธิ ที า จากสูตร พืน้ ทส่ี ามเหล่ียม ABC = 2 1 = 2 (12)(10) sin 60° = 1 (12)(10) 3 2 2 = 30 3 ดังน้นั พื้นทส่ี ามเหล่ียม ABC = 30 3 ตารางหนว่ ย 3) AƸ = 60°, Cො = 75°, a = 8 และ c = 3 2 วิธีทา จะได้ BƸ = 180° - (60° + 75°) = 45° 1 ac sin B จากสูตร พ้ืนที่สามเหลี่ยม ABC = 2 1 = 2 (8)(3 2) sin 45° = 1 (8)(3 2) 2 2 2 = 12 ดังนัน้ พ้นื ทีส่ ามเหล่ียม ABC = 12 ตารางหน่วย 27

กฎของไซน์ ใหร้ ูปสามเหลย่ี ม ABC มีดา้ นตรงข้ามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หน่วย ตามลาดบั จะได้ sin A sin B sin C a = b = c ตวั อยา่ งท่ี 1 ใช้กฎของไซน์เพื่อหาขนาดของมมุ B เมอ่ื AƸ = 60°, a = 3 2 และ b = 2 3 ตัวอย่างที่ 2 ใช้กฎของไซน์เพื่อหาความยาวของดา้ น a เมอื่ AƸ = 30°, c =10 และ Cො = 45° ตวั อย่างที่ 3 ใช้กฎของไซน์เพ่อื หาขนาดของมุม B เมื่อ AƸ = 30°, a =4 และ b = 8 28

กฎของไซน์ ตัวอยา่ งที่ 4 AƸ = 60°, ොC = 60°, b = 20 6 กาหนดให้ 6 = 2.449, 3 = 1.732 หาความยาวของ c ตวั อย่างที่ 5 หาความยาวของเสน้ รอบรปู ของสามเหล่ยี มหน้าจั่ว ซ่งึ มฐี านยาว 6 3 หน่วย และมีขนาดของมุมยอด เท่ากบั 20 องศา ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมซึง่ มีสมบตั ิวา่ 6 sin A = 4 sin B = 3 sin C แล้ว cos C มคี ่าเท่ากับ ขอ้ ใด ก. -34 ข. -41 ค. -12 ง. 1 4 29