МАТЕМАТИКИЙН БАГШ Б.ОЮУНГЭРЭЛ ЗААВАРЧИЛГАА :ХИЧЭЭЛ 2 УНШИЖ, ОЙЛГОЖ, БОДЛОГУУДЫГ ДЭВТЭР ДЭЭРЭЭ ТЭМДЭГЛЭЭРЭЙ. АЖЛЫН ХУУДАС №1, 2, 3, 4 БОДООРОЙ. /ДАСГАЛ БОДЛОГЫГ ГҮЙЦЭТГЭХДЭЭ ХИЧЭЭЛ 1 АШИГЛАН БОДООРОЙ. ХИЧЭЭЛ 1. ИЛТГЭГЧ ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Тодорхойлолт: Тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийн үл мэдэгдэх нь зэргийн илтгэгч байх илэрхийлэлд орсон тэгшитгэл (тэнцэтгэл биш)-ийг илтгэгч тэгшитгэл (тэнцэтгэл биш) гэнэ. ( ) ( )a f (x) = a g(x), a f (x) a g(x), a f (x) a g(x) Үүнд a 1, a 0 тоо f x , g x -нь функц Дээрх дүрсийг тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийг хялбар илтгэгч тэгшитгэл,тэнцэтгэл биш гэнэ. Илтгэгч тэгшитгэл тэнцэтгэл бишийг адил чанартай хувиргалт хийж эцэстээ дээр өгүүлсэн хялбар илтгэгч тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишид шилжүүлж бодно. Иймээс эхлээд хялбар илтгэгч тэгшитгэл бодох тухай авч үзье. ( ) ( )a f (x) = a g(x) тэгшитгэл зэргийн чанар ёсоор f x = g x тэгшитгэлд шилжинэ. Үүнийг бодож ( ) ( )өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийдийг олно. f x ба g x -ийн хэлбэрээс хамаарч тэгшитгэл нь рациональ ,тригонометр, иррациональ тэгшитгэл дахиад илтгэгч мөн логарифм гэх мэт тэгшитгэл байж болно Үндсэн санааг жишээгээр тайлбарлая. 12 1-р жишээ: 4 x+1 = 4 x тэгшитгэлийг бод. 1 2 x 0 x 0 x +1 0 x −1 4 4x+1 = 4x Иймээс x=-2 өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд болно.∆ x = 2x + 2 x = −2
2-р жишээ; 5x = 3x тэгшитгэлийг бод. ▼аливаа ч- аргументад 3x 0 тул 5x = 3x -ийг 3−x − ээр үржүүлбэл 5ч =1 5 ч = 1 болно. 1 = 5 0 тул 5 ч = 5 0 Иймээсx = 0болно. 3ч 3 3 3 0 ▲3-р жишээ; a x = b(b − бодиттооa 1, a 0тоо)тэгшитгэлийг бод.(жишээлбэл 2x = 3,3x = −2 гэх мэт) ( )▼ a x 0 билээ.Иймээс ч b<0 үед a x = b шийдтэй.шийд нь x = loga b болно. a x = b -г а сууриар логарифмчлав. Тухайлбал 2x = 3 -аас x = log2 3. ▲ Илтгэгч тэгшитгэлийг орлуулах аргаар хялбар тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно. 4-р жишээ; 9x − 8 3x − 9 = 0 тэгшитгэлийг бод. ( )▼ 9x = 32x тул3 2ч − 8 3ч − 9 = 0 3x = гэвэл z2 − 8z − 9 = 0 ) ( ) (z1= −1, z−2 = 9) 3x = −1,3x = 9 x = 2,3x = −1шийдгүй.▲ 5-р жишээ; 4x − 5 6x + 6 32x = 0 тэгшитгэлийг бод 2 2x − 5 2 x +6 = 0 2 x = z, гэвэл, z2 − 5z +3 = z2 = 3 2 x = 3 3 3 0 z1 = 2, 3 2, буюу 2 x =3 x1 = log 2 2 =1 3 ; x2 = log3 3 = 1; 3 1 − log 2 2 log3 2 −1 log 2 2 3 log3 3 x1баx2 өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд болно.▲ a f (x) a g(x) буюу a f (x) a g(x) дүрсийн хялбар илтгэгч тэнцэтгэл биш бодох тухай авч үзье. Илтгэгч тэнцэтгэл биш бодох нь эцэстээ a f (x) a g(x) буюу a f (x) b эсвэл a f (x) b дүрсийн тэнцэтгэл биш бодоход шилжинэ. Санааг жишээгээр тайлбарлая 1-р жишээ: 2 2 x тэнцэтгэл бишийг бод 3 ▼ y = 2, y = 2 x функцүүдийн график байгуулъя (2.11-р зураг) Графикийг сайн ажигла, B цэг 3 дээр уг 2 функцийн график огтлолцох тул b-гийн ординат 2,абцисс х нь 2 = 2 x тэгшитгэлийн 3
шийд болно. Үүнийг логарифмчилбал x log 2 2 = log 2 2 буюу x = log 2 2 болно.Харин Оx- 3 3 3 3 тэнхлэг дээрх a log 2 2,0 цэгийн зүүн тал дээр орших аливаа С цэг дээрх y = 2 x функцийн 3 3 ординат CD AB = 2 тул С цэгийн абицисс өгсөн тэнцэтгэл бишийг хангана. Иймд шийд − , log 2 2 завсар болно.▲ 3 өгөгдсөн тэнцэтгэл b-ийн Шийдтэй Шийдийн муж биш тэмдэг эсэх 1. a x b b0 + a 1бол − ;loga b b0 + a 1бол loga b;+ 2. a x b b0 + − ; b0 - a 1бол loga b;+ a 1бол − ;loga b 2-р жишээ; 2 x 1,5 тэнцэтгэл бишийг бод. 3 ▼Үүнийг -р жишээний яг адилаар сэтгэнэ, (2.11-р зургийг хар) y = 2 x функцийн график y=1,5 3 шулуунтай К цэг дээр огтололцоно, Тэдний ординат тэнцэх тул 2 x = 1,5 − аас абсцисс ч-ийг 2 3 3 сууриар логарифмчилж олно. x = log 2 1,5 болно. Ox-ийн l log 23 1,5;0 цэгийн баруун тал дээр 3 орших аливаа цэг дээр y = 2 x функцийн утга 1,5 аас бага тул өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн шийд 3 log 2 1.5;+ завсар болно.▲ 3 3-р жишээ; 2 x −1 тэнцэтгэл бишийг бод 3 ▼2.11-р зургийг ажигла. y = 2 x ба y=-1 шулууны график үл огтлолцоно. 2 x 0 тоо тул 3 3 2 x −1тэнцэтгэл биш шийдгүй. 2 x −1 нь − , муж дээр биелэнэ.▲ 3 3
4-р жишээ: 1 x2 −2x 1 тэнцэтгэл бишийг бод 2 8 ▼ 1 = 1 3 тул (2,8,1)-ыг ашиглан бодно 8 2 1 x−2 x 1 3 x 2 − 2 x 3 x 2 − 2 x − 3 0 2 2 (x − 3)(x +1) 0 − ,−1 3, шийдийн олонлог − ,−13, болно.▲ 5-р жишээ: 4 x + 6 9 x 6 x тэнцэтгэл бишийг бод. 22x + 6 (3)2x 5 (2 3)x 2 2x + 6 32x 5 2x 3x 2 2x − 5 2 x +60 3 32x 32x 3 3 2 x = z 3 z 2 − 5z + 6 0
ХИЧЭЭЛ 2 . /ИЛТГЭГЧ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ/ Жишээ 1. . 22������−4 = 4 илтгэгч тэгшитгэлийг бод Бодолт. 4 = 22 тул 22������−4 = 22 → 2������ − 4 = 2 → 2������ = 6 → ������ = 3 болно. Жишээ 2. . 34������+1 = 27 илтгэгч тэгшитгэлийг бод Бодолт. 27 = 33 тул 34������+1 = 33 болж 4������ + 1 = 3 → 4������ = 3 − 1 → 4������ = 2 ������ = 2 = 1 = 0.5 болно. 42 Жишээ 3. . 4������ =1 илтгэгч тэгшитгэлийг бод. 16 Бодолт. 1 = ������−������ чанар ёсоор 1 = 4−2 тул4������ = 4−2 → ������ = −2 болно. ������������ 16 Жишээ 4. . 53−2х = 1 илтгэгч тэгшитгэлийг бод. 125 Бодолт. 1 = 1 = ������−������ чанар ёсоор 1 = 1 = 5−3 тул 53−2х = 5−3 → 3 − 2������ = −3 → 64 8������ 125 53 - 2 ������ = −6 ������ = 3 болно.. Жишээ 5. . (5 ) 3х+5 = (25)������ илтгэгч тэгшитгэлийг бод. 8 64 Бодолт. (������)������ = ������������ чанар ёсоор 25 = 52 = (5 2 тул (5 ) 3х+5 = (5 2������ → 3������ + 5 = 2������ ������������ 64 62 ������ 8 ) 88 ) → ������ = −5 болно. Жишээ 6. (0.7)������+3 = 0.49 илтгэгч тэгшитгэлийг бод Бодолт. 0.49 = 0.7 2 тул (0.7)������+3 = 0.7 2 болж ������ + 3 = 2 → ������ = −1 болно. Жишээ 7. . 23������ = 1 илтгэгч тэгшитгэлийг бод Бодолт. ������0 = 1 чанар ёсоор 1 = 20 тул 23������ = 20 гэдгээс 3������ = 0 → ������ = 0 → ������ = 0 3 болно. Жишээ 8. . 32х = 3√81 илтгэгч тэгшитгэлийг бод. Бодолт. ���√��� ������������ = ������ чанар ёсоор 3√81 = 3√34 = 4 тул 32х = ������ ������ 33 44 2х = 4 → ������ = 4 → ������ = 4 = 2 болно. 3 3∙2 63 33 гэдгээс 33 гэдгээс Жишээ 9. . 23х−1 =1 илтгэгч тэгшитгэлийг бод. √8
Бодолт. (������)������ 1 ������������ = (1)2 = (2−3)12 −3 ������−������ = 1 ба ������������ = ������ чанар ёсоор 1 тул ������������ √8 8 = (2) 2 26х+3 −3 → 6х + 3 = −3 → 6������ = −3 − 3 → 6������ = −9 → ������ = −9 → ������ = −3 2 ∙2 2 6∙2 = (2) 2 2∙2 ������ = −3 болно. 4 Жишээ 10. . (1)2−������ = 6������−3 илтгэгч тэгшитгэлийг бод 2 Бодолт. ������������ = ������������−������ , 1 = ������−������ , ������������������������������ ������ = ������ чанар ёсоор ������������ ������������ (1)2−������ = 2������−2 = 2������ = 6������ → 2������ = 4 → 3������ = 54 = ������ = log3 54 болно. 2 4 216 2������3������ 216 Жишээ 11. 3������2−4,5 ∙ √3 = 1 илтгэгч тэгшитгэлийг бод 27 Бодолт. ������������ ⋅ ������������ = ������������+������ , ���√��� ������������ ������ , 1 = ������−������ , ������������������������������ ������ = ������ чанар ба ������������ = ������ ������ ������������2+������������ + ������ = 0 эсвэл (������1, ������2- Квадрат тэгшитгэлийн шийд) шийд нь: ������1,2 = −������±√������2−4������������ томъёо ёсоор 2������ . 3������2−4,5+0,5 = 3−3 → ������2 − 4 = −3 → ������2 = 1 → ������ = ±1 болно. Жишээ 12. 122������2+3������ = 144 илтгэгч тэгшитгэлийг бод Бодолт. 144 = 122 тул 122������2+3������ = 122 2x2 + 3x = 2 → 2x2 + 3x − 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийд ёсоор x1 = 1 , x2 = −2 болно. 2 Жишээ 13. 42������ – 5 ∗ 4������ + 4 = 0 илтгэгч тэгшитгэлийг орлуулах аргаар бод Бодолт. Энэ тэгшитгэлд 4������ = ������ гэж орлуулга хийвэл: ������2 − 5������ + 4 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд хувирч квадрат тэгшитгэлийн шийд ёсоор ������1,2 = −������±√������2−4������������ = 5±√25−4∙1∙4 = 5±√25−16 = 5±3 2������ 2 2∙1 2 ������1 = 1 ������2 = 4 гэсэн шийдүүд гарна. Орлуулга ёсоор 4������ = 4 , 4������ = 1 гэсэн 2 хялбар тэгшитгэлд шилжинэ. Тэгшитгэлийн шийдүүдийг зэргийн чанар ашиглаж бодвол 4������ = 4 → 4������ = 41 → ������ = 1 4������ = 1 → 4������ = 40 → ������ = 0 болно. Жишээ 14. 4������ + 2������+3 − 27 = 0 илтгэгч тэгшитгэлийг орлуулах аргаар бод
( ) ( )Бодолт. 4 x = 22 x = 22x = 2 x 2 ба 2������+3 = 2������ ∙ 23 = 8 ∙ 2������ болох тул өгөгдсөн тэгшитгэл 2������ + 8 ∙ 2������ − 27 = 0 болж Энэ тэгшитгэлд 2������ = у гэж орлуулга хийвэл: өгөгдсөн тэгшитгэл нь у2 + 8 ∙ у − 27 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжих ба у1 = 1 у2 = −9 гэсэн шийдүүд гарна. Тэгшитгэлийн шийдүүдийг зэргийн чанар ашиглаж бодвол 2������ = 1 → 2������ = 20 → ������ = 0 2������ = −9 → 2������ > 0 байх ёстой учир 2������ = −9 шийдгүй байна.. Иймд хариу ������ = 0 болно Илтгэгч тэнцэтгэл биш, түүнийг бодох аргууд Жишээ 1. . 23������ ≥ 8 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. Бодолт. 8 = 23 тул 23������ ≥ 23 гэдгээс 3������ ≥ 3 → ������ ≥ 1 болно. Интервал дээр шийдээ тэмдэглэн тэмдгийг тодорхойлон хариуг бичвэл х ∈ [1; +∞[ болно. Жишээ 2. 42������−3 < 16 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. Бодолт. 16 = 42 тул 42������−3 < 42 болж 2������ − 3 < 2 → 2������ < 5 → ������ < 5 < 2.5 гэдгээс 2 хариуг бичвэл х ∈ ]−∞; 2,5[ болно. Жишээ 3. ( 7 5������−1,5 < ( 7 ������+6,5 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. ) ) 12 12 Бодолт. 7 < 1 тул теорем ������ ёсоор тэмдэг эсрэгээр эргэж 11 5x − 1,5 > x + 6,5 → 4x > 8 → x > 2 Иймд шийд x ∈ ]2; ∞[ болно. . Жишээ 4. . (4 ) 2−х ≥ (16)3������ илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. 3 9 Бодолт. (������)������ = ������������ чанар ёсоор 16 = 42 = (4 2 тул (4 ) 2−х ≥ (4 3������ → 4 > 1 тул ������������ 9 32 ������ 3 ) 33 ) 3 теорем ������ ёсоор тэмдэг хэвээр байж. 2 − х ≥ 3x → −x − 3x ≥ −2 → −4x ≥ −2 Эндээс уг тэнцэтгэл бишийг (−1 ) д − 2 талыг үржүүлбэл бүх тэмдэг эсрэгээр болж 4x ≤ 2 → x ≤ 0,5 Иймд шийд x ∈ ]−∞; 0,5] болно. Жишээ 5. (1)2������−3.5 < 1 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. 3 √3 Бодолт. 1 < (1)0.5 ба ������������ = (������)������ чанар ёсоор 1< (1)0.5 болох ������������ √������ ������ ������ √3 3
тул өгсөн тэнцэтгэл бишийг (1)2������−3.5 < (1)0.5 хэлбэртэй бичих ба 1 < 1 учраас уг 33 3 тэнцэтгэл бишээс 2������ − 3.5 > 0.5 ↔ ������ > 2 болж Хариу: х ∈ ]2; ∞[ . Жишээ 6. 102x2+3x ≤ 100 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. Бодолт. 102x2+3x ≤ 102 → 10 > 1 тул теорем 1 ёсоор тэмдэг хэьээрээ байх ба 2x2 + 3x ≤ 2 → 2x2 + 3x − 2 ≤ 0 x1 = 1 , x2 = −2 Интервал дээр 2 шийдээ тэмдэглэн тэмдгийг тодорхойлон шийдийг бичвэл: x ∈ [1 ; 2] болно 2 Жишээ 7. 0.5������2−3������ ≤ 0.53������−8 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг бод. Бодолт. 0.5< 1 тул → ������2 − 3������ ≥ 3������ − 8 ↔ ������2 − 6������ + 8 ≥ 0 болж квадрат гурван гишүүнтийн язгуурууд нь ������1 = 2, ������2 = 4 байна. Интервалын арга хэрэглэвэл ������2 − 6������ + 8 ≥ 0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь х ∈ ]−∞; 2] ∪ [4; ∞[ болно. Жишээ 8. 22������ – 20 ∙ 2������ + 64 < 0 илтгэгч тэнцэтгэл бишийг орлуулах аргаар бод. Бодолт. Энэ тэнцэтгэл бишид 2������ = ������ гэж орлуулга хийвэл: ������2 − 20������ + 64 < 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд хувирна. Квадрат мэгшитгэлийг бодвол: ������1,2 = −������±√������2−4������������ = 20±√400−4∙1∙64 = 20±√400−256 = 20±12 2������ 2 2 2∙1 ������1 = 16 ������2 = 4 гэсэн шийдүүд гарна. Орлуулга ёсоор 2������ = 16 2������ = 4 гэсэн 2 хялбар тэгшитгэлд шилжинэ. Тэгшитгэлийн шийдүүдийг зэргийн чанар ашиглавал х1 = 4 х2 = 2 болох ба үржвэр хэлбэрээр тэнцэтгэл бишид шилжүүлбэл: (������ − 4)(������ − 2) < 0 болох учир тэнцэтгэл бишийн шийд нь: x ∈ [2; 4] болно.
АЖЛЫН ХУУДАС 1-ИЛТГЭГЧ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Áîäîõ àðãà÷ëàë: • Èæèë ñóóðьòàé èëòãýã÷ áîëãîí ñóóðèóäûã îðõèæ õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýí õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Èëòãýã÷ òýãøèòãýë áà òýíöýòãýë áèøийг тайлбарла. 1. 22������−4 = 4 2. 53−2х = 1 125 3. (5)3������+5 = (25)������ 8 64 4. 32x − 4 3x = 45 5. 23������ ≥ 8 6. 0.52������ > 0.2 7. 102x2+3x ≤ 100 АЖЛЫН ХУУДАС 2-ИЛТГЭГЧ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Áîäîõ àðãà÷ëàë: • Èæèë ñóóðьòàé èëòãýã÷ áîëãîí ñóóðèóäûã îðõèæ õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýí õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Èëòãýã÷ òýãøèòãýë áà òýíöýòãýë áèøийг тайлбарла. 1. 34������+1 = 27 2. (0.7)������+3 = 0.49 3. 23х−1 = 1 √8 4. 9������ − 4 ∙ 3������ + 3 = 0 5. 42������−3 < 16 6. ( 7 5������−1,5 < ( 7 ������+6,5 ) ) 12 12 7. 0.5������2−3������ ≤ 0.53������−8
АЖЛЫН ХУУДАС 3-ИЛТГЭГЧ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Áîäîõ àðãà÷ëàë: • Èæèë ñóóðьòàé èëòãýã÷ áîëãîí ñóóðèóäûã îðõèæ õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýí õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Èëòãýã÷ òýãøèòãýë áà òýíöýòãýë áèøийг тайлбарла. 1. 52������+1 = 125 2. 4������ = 1 16 3. 23������ = 1 4. 62������ − 6������ − 30 = 0 5. 53������−1 > 25 6. 0.22������+1 ≥ 0.0008 7. 122������2+3������ < 144 АЖЛЫН ХУУДАС 4-ИЛТГЭГЧ ТЭГШИТГЭЛ БА ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ Áîäîõ àðãà÷ëàë: • Èæèë ñóóðьòàé èëòãýã÷ áîëãîí ñóóðèóäûã îðõèæ õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýí õÿëáаð òýãøèòãýë òýíöýòãýë áèøèä øèëæ¿¿ëæ øèéäèéã îëíî. • Èëòãýã÷ òýãøèòãýë áà òýíöýòãýë áèøийг тайлбарла. 1. 0.5х+1 = 1 2. 32х = 3√81 1 x−1 = 256 3. 2 4. 4x + 2x+3 − 27 = 0 5. 72x−3.5 ≥ 1 49 6. (1)2x−3.5 < 1 3 √3 7. 32x2 −6 1 81
Search
Read the Text Version
- 1 - 10
Pages: