احصاء الوحدة الثانية

‫أ‪.‬د‪ .‬يوسف محمد السوالمه جامعة اليرموك‬ ‫الموضوع الأول‪ :‬مفاهيم أساسية في الإحصاء ‪2‬‬ ‫‪ .1‬مراجعة مقاييس النزعة المركزية ‪Measures of central tendency‬‬ ‫تستخدم مقاييس النزعة المركزية لوصف موقع التوزيع الإحصائي لمجموعة من البيانات‪.‬‬ ‫وفي العادة تتجمع البيانات حول نقاط متوسطة تمثل مركز التوزيع وتسمى بالمتوسطات أو مقاييس‬ ‫النزعة المركزية‪ .‬وهناك عدة مقاييس للنزعة المركزية‪ ،‬ومن أهم تلك المقاييس وأوسعها انتشاراً‬ ‫الوسط الحسابي والوسيط والمنوال‪.‬‬ ‫أ‪ .‬المنوال ‪Mode‬‬ ‫يعرف المنوال لمجموعة من البيانات بأنه القيمة الأكثر تكراراً‪ .‬فالقيمة ذات أعلى تكرار هي‬ ‫المنوال‪ .‬فالمنوال لمجموعة القيم (‪ ) 5, 6, 8, 4, 9, 6, 7, 7, 6‬هو القيمة ‪ 6‬لأن تكرارها يساوي‬ ‫‪ 3‬وهو أعلى تكرار‪ .‬ويتميز المنوال بأنه من أسهل مقاييس النزعة المركزية سواء في فكرته أو في‬ ‫إيجاد قيمته‪ .‬كما أنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة أو الشاذة وهو الوحيد من مقاييس النزعة المركزية الذي‬ ‫يمكن استخدامه في وصف البيانات التي تقاس بمقياس اسمي‪.‬‬ ‫ب‪ .‬الوسيط ‪Median‬‬ ‫يعرف الوسيط بأنه القيمة التي تنصف التوزيع أي هو القيمة التي تقع في منتصف القيم بعد‬ ‫ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً‪ .‬فالوسيط هو القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها‪ .‬ولمعرفة الوسيط‬ ‫لمجموعة من القيم لا بد من ترتيب تلك القيم ثم تحديد القيمة التي تقع في المنتصف‪ .‬وستكون هناك‬ ‫قيمة واحدة في المنتصف عندما يكون عدد القيم فردياً وتكون تلك القيمة هي الوسيط‪ .‬وستكون هناك‬ ‫قيمتان في المنتصف عندما يكون عدد القيم زوجياً ويكون الوسيط هو ناتج جمعهما مقسوماً على ‪. 2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ما الوسيط للبيانات ‪ 10, 15, 12, 18, 19, 20, 16 :‬؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫أولاً‪ :‬يتم ترتيب البيانات‪10, 12, 15, 16, 18, 19, 20 :‬‬ ‫ثانياً‪ :‬يلاحظ أن عدد القيم يساوي ‪ 7‬وهو عدد فردي‪ ،‬وأن هناك قيمة واحدة في المنتصف‬ ‫هي ‪ 16‬وهي الوسيط‪ ،‬وأن عدد القيم التي تزيد على ‪ 16‬يساوي عدد القيم التي تقل عن ‪. 16‬‬ ‫ويتميز الوسيط بأنه لا يتأثر بالقيم المتطرفة أو الشاذة لذلك هو مقياس النزعة المركزية‬ ‫المناسب في حالة وجود قيم متطرفة‪.‬‬ ‫ج‪ .‬الوسط الحسابي ‪Mean‬‬ ‫يعد الوسط الحسابي أكثر مقاييس النزعة المركزيةة اسةتخداماً وأهميةة‪ ،‬لأنةه يتمتةع بكثيةر مةن‬ ‫المزايا ويدخل في حساب مقاييس إحصائية أخرى‪ .‬ويعرف الوسط الحسابي لمجموعةة مةن البيانةات‬ ‫بأنه مجموع تلك البيانات مقسوماً على عةددها‪ ،‬ويرمةز لةه بةالرمز ‪ X‬إذا حسةب مةن بيانةات العينةة‬ ‫وبالرمز ‪ μ‬إذا حسب من بيانات المجتمع‪ .‬أي أن‬ ‫مجموع القيم‬ ‫الوسط الحسابي لمجموعة من القيم =‬ ‫عدد القيم‬ ‫‪1‬‬

‫أ‪.‬د‪ .‬يوسف محمد السوالمه جامعة اليرموك‬ ‫وبالتالي فإن الصورة العامة للوسط الحسابي بالرموز هي‪:‬‬ ‫في حالة العينة…………… ‪̅X =  X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫والقيمة التقديرية لوسط المجتمع هي…………… ‪μ̂ = ̅X =  X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أحسب الوسط الحسابي للبيانات ‪. 4, 5, 8, 9, 6, 8, 2 :‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫الوسط الحسابي بحسب المعادلة السابقة هو‬ ‫= ‪̅X‬‬ ‫‪4+5+8+9+6+8+2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫=‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ويلاحظ أنه إذا تم استبدال كل قيمة من القيم بالوسط الحسابي لتلك القيم فإنه لا يتغيةر مجموعهةا‪ .‬أي‬ ‫أن مجموع القيم يساوي عدد القيم ضرب الوسط الحسةابي لهةا ‪ .‬كمةا يلاحةظ أن هنةاك قةيم تقةل عةن‬ ‫الوسط وهناك قيم تزيد على الوسط‪ .‬ودائما يكون مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي‬ ‫صفراً‪ .‬لذلك ينظر للوسط الحسابي باعتباره نقطة اتزان او مركز ثقل التوزيع‪ .‬فالانحرافات للقيم فةي‬ ‫المثال السابق عن الوسط الحسابي والذي قيمته ‪ 6‬هي‪ . -2, -1, +2, +3, 0, +2, -4:‬وتتضمن هةذه‬ ‫الانحرافات انحرافات سالبة للقةيم التةي تقةل عةن الوسةط‪ ،‬وانحرافةات موجبةة للقةيم التةي تزيةد علةى‬ ‫الوسط‪ ،‬وبالمحصلة يكون المجموع للانحرافات عن الوسط الحسابي صفراً‪.‬‬ ‫ويعد الوسط الحسابي أكثر مقاييس النزعة المركزية استقراراً‪ .‬فهو الأقل تأثراً بتغيير مفردات‬ ‫العينة‪ .‬وهذا يبرر كثرة استخدامه في البحوث التربوية والاجتماعية على مسةتوى كةل مةن الإحصةاء‬ ‫الوصفي والإحصاء الاستدلالي‪ .‬ويؤخذ علةى الوسةط الحسةابي تةأثره بةالقيم المتطرفةة حية ينجةذب‬ ‫بإتجاه تلك القيم‪ .‬ويؤدي استخدامه في حالة وجود قيم متطرفة إلى إعطاء وصف غير دقيق للبيانةات‬ ‫المدروسة‪ .‬ويقصد بالقيمة المتطرفة تلك التي تزيد بشكل كبير أو تقل بشكل كبير عن بقية القيم‪.‬‬ ‫وبالاعتماد على مفهوم الوسط الحسابي فإنه إذا كان لدينا عينتين‪ ،‬حجم الأولى ‪ n1‬وحجم الثانية‬ ‫‪ n2‬وكان الوسطان لهما هما ‪ X2 ، X1‬فإن الوسط الحسابي للعينتين معاً يحسب من المعادلة التالية‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪= n1‬‬ ‫‪x1 + n2 x2‬‬ ‫‪n1 + n2‬‬ ‫ويسمى الوسط في هذه الحالة \" الوسط الموزون \" ‪. Weighted mean‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي لدرجات ذكاء ‪ 9‬بنات يساوي ‪ ،105‬والوسط الحسابي لدرجات‬ ‫ذكاء ‪ 11‬ولداً يساوي ‪ . 100‬أحسب الوسط للمجموعتين معاً‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫الوسط الحسابي للمجموعتين معاً حسب معادلة الوسط الموزون هو‬ ‫‪2‬‬

‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪(9)(105) +‬‬ ‫)‪(11)(100‬‬ ‫=‬ ‫‪2045 =102.25‬‬ ‫‪9+‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ويلاحظ أن الوسط الموزون أو الكلي (‪ )102.25‬أقرب إلى وسط الأولاد (‪ )100‬منه إلى وسط‬ ‫البنات (‪ ،)105‬وذلك لأن وزن وسط الأولاد أكبر من وزن وسط البنات‪.‬‬ ‫‪ .2‬مراجعة مقاييس التشتت ‪Measures of dispersion‬‬ ‫إن اقتصار وصف التوزيع الإحصائي لمجموعة من البيانات على مقاييس النزعة المركزية‬ ‫لا يعطي صورة كاملة ودقيقة عن التوزيع‪ .‬فالقيم ‪ 5, 10, 15‬أكثر اختلافاً فيما بينها عن القيم ‪9, 10,‬‬ ‫‪ 11‬بالرغم من أن الوسط الحسابي للمجموعتين يساوي ‪ .10‬تعرف المقاييس التي تصف الاختلافات‬ ‫بمقاييس التشتت أو الانتشار‪ .‬وتفيد هذه المقاييس في تحديد مدى تباعد أو تبعثر أو اختلاف القيم‬ ‫بعضها عن بعض‪ .‬فالقيم المتساوية لا تشتت فيها‪ ،‬أي أن القيم لكل مقاييس التشتت تساوي الصفر‪.‬‬ ‫وكلما تباعدت القيم فيما بينها كلما ازداد تشتتها‪ .‬وينظر لمقاييس التشتت باعتبارها مقاييس أبعاد أو‬ ‫مسافات‪ ،‬لذلك قيمها دائماً موجبة‪ .‬وتنعدم مقاييس التشتت عندما تكون جميع القيم متساوية‪.‬‬ ‫وتشيرالقيم المنخفضة لمقاييس التشتت لمجموعة من البيانات إلى تجانس تلك البيانات واقتراب‬ ‫بعضها من بعض‪ .‬أما القيم المرتفعة لمقاييس التشتت فتشير إلى عدم تجانسها وابتعاد بعضها عن‬ ‫بعض‪ .‬وأفضل مقياسين للتشتت هما التباين والانحراف المعياري‪.‬‬ ‫أ‪ .‬التباين ‪The Variance‬‬ ‫يعرف التباين لمجموعة من البيانات بأنه الوسةط الحسةابي لمربعةات انحرافاتهةا عةن وسةطها‬ ‫الحسابي‪ ،‬ويرمز له بالرمز ‪ S2‬إذا حسب من بيانات العينة وبالرمز ‪( σ2‬مربع سيجما) إذا حسب مةن‬ ‫بيانات المجتمع‪ .‬أي أن‬ ‫مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي‬ ‫التباين لمجموعة من القيم =‬ ‫عدد القيم‬ ‫والصورة العامة للتباين هي‪:‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪∑(X‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)̅‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫العينة‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪………………….‬‬ ‫في حالة المجتمع‪σ2 = ∑(X − μ) 2 ………………….‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬

‫أ‪.‬د‪ .‬يوسف محمد السوالمه جامعة اليرموك‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أحسب التباين للبيانات ‪. 4, 5, 8, 9, 6, 8, 2 :‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X-̅X (X - X̅ )2‬‬ ‫يبةين الجةدول المجةاور خطةوات‬ ‫حسةةاب التبةةاين حسةةب المعادلةةة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2 4‬‬ ‫‪ 4.3‬وهةةي‪ )1( :‬حسةةاب الوسةةط‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+2 4‬‬ ‫الحسابي‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+3 9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪00‬‬ ‫̅‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪42‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و(‪ )2‬حساب انحرافات القيم عةن‬ ‫‪∑ X = 42‬‬ ‫الوسط الحسابي‬ ‫‪+2 4‬‬ ‫و(‪ )3‬حسةةةاب مربعةةةات تلةةةك‬ ‫‪-4 16‬‬ ‫الانحرافةات ومعرفةة المجمةوع‬ ‫‪∑(X − X̅) 2 = 38‬‬ ‫لها‪ ،‬وعليه يكون التباين هو‬ ‫‪S2 = 38/7 = 5.43‬‬ ‫وهناك صورة أخرى من قانون التبةاين تعتمةد علةى البيانةات الخةام لا علةى الانحرافةات عةن‬ ‫الوسط الحسابي وهي على النحو‪:‬‬ ‫‪( )S2 = ∑ X2 - ∑ X 2‬‬ ‫‪nn‬‬ ‫ونظةةةرا لكةةةون جميةةةع قةةةيم ‪ S2‬أقةةةل مةةةن ‪ σ2‬فةةةإن القيمةةةة التقديريةةةة لتبةةةاين المجتمةةةع هةةةي‬ ‫‪σ̂2‬‬ ‫)̅‪∑(X − X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫=‬ ‫ويتمتع التباين بدرجة عالية من الاستقرار ولا يتأثر بالتقلبات العينية‪ .‬ويؤخذ عليه أن له‬ ‫وحدات مربعة ولذلك تختلف وحدات التباين عن وحدات القيم الخام‪ .‬ويتم التغلب على هذه المشكلة‬ ‫بالحصول على الانحراف المعياري وهو الجذر التربيعي للتباين‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫ب‪ .‬الانحراف المعياري ‪The Standard Deviation‬‬ ‫يعرف الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات بأنه الجذر التربيعي الموجب لتباينها‪،‬‬ ‫ويرمز له بالرمز ‪ S‬إذا حسب من بيانات العينة وبالرمز ‪( σ‬سيجما) إذا حسب من بيانات المجتمع‪.‬‬ ‫إذا كان التباين ‪ S2‬لمجموعة من البيانات يساوي ‪ ، 9‬فإن الانحراف المعياري لها يساوي ‪ √9‬أي ‪.3‬‬ ‫أي أن معرفة التباين تكفي لمعرفة الانحراف المعياري ومعرفة الانحراف المعياري تكفي لمعرفة‬ ‫التباين‪ .‬وهذا يشير إلى أنه لمعرفة الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات لا بد من استخدام‬ ‫قوانين التباين لمعرفة تباينها وإيجاد الجذر التربيعي لقيمة التباين‪.‬‬ ‫وتجدر الإشارة إلى أن الانحراف المعياري من اهم مقاييس التشتت وله استخدامات إحصائية‬ ‫كثيرة ويتميز على التباين بأن وحداته لا تختلف عن وحدات قياس القيم الخام‪.‬‬ ‫‪ .3‬التوزيع العيني للأوساط الحسابية ‪Sampling Distibutions‬‬ ‫التوزيع العيني للأوساط هو توزيع أوساط جميع العينات المتساوية في الحجم ‪ n‬التي يتم اختيارها من‬ ‫مجتمع وسطه الحسابي ‪ μ‬وانحرافه المعياري ‪ .σ‬أي هو التوزيع الذي يتضمن الأوساط الحسابية‬ ‫… ‪���̅���������, ���̅���������, ���̅���������,‬‬ ‫ويتصف هذا التوزيع بالخصائص التالية‪:‬‬ ‫أ‪ .‬وسطه الحسابي يساوي وسط المجتمع( وهذا يدلل على أن ‪ ���̅���‬تقدير غير متحيز ل ‪μ‬‬ ‫‪���������̅��� = μ‬‬ ‫ب‪ .‬انحرافه المعياري(يعرف بالخطأ المعياري) يساوي الانحراف المعياري للمجتمع مقسوما على‬ ‫الجذر التربيعي لحجم العينة‪.‬‬ ‫‪���������̅���‬‬ ‫=‬ ‫=‪√������������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪√������‬‬ ‫ج‪ .‬يتوزع بصورة طبيعية عندما يكون توزيع المجتمع طبيعيا أو حجم العينة ‪ 30‬فأكثر‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫ليكن المجتمع هو }‪ {4, 8‬فيكون الوسط الحسابي لهذا المجتمع هو‬ ‫‪μ=������+������������ =6‬‬ ‫وانحرافه المعياري هو‬ ‫‪σ=√(������−������)������+(������−������)������=2.‬‬ ‫‪������‬‬ ‫في ما يلي جدول بجميع العينات التي حجمها ‪ 2‬وأوساطها الحسابية وانحرافاتها المعيارية‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫أ‪.‬د‪ .‬يوسف محمد السوالمه جامعة اليرموك‬ ‫الانحراف المعياري لها الوسط الحسابي لها العينة‬ ‫‪4, 4 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4, 8 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8, 4 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8, 8 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وفيما يلي أبرز الملاحظات على الجدول‪:‬‬ ‫• الأوساط الحسابية تتجمع حول وسط المجتمع ‪ 6‬وهذا يجعل وسط العينة تقديرا غير متحيز لوسط المجتمع‪.‬‬ ‫• جميع الانحرافات المعيارية تقل عن أو تساوي الانحراف المعياري للمجتمع ‪ 2‬وهذا يبرر تعديلها للتخلص‬ ‫من التحيز من خلال القسمة على ‪ n-1‬بدلا من ‪.n‬‬ ‫الوسط الحسابي للأوساط الحسابية ‪ 8 ،6 ،6 ،4‬يساوي ‪ 6‬أي وسط المجتمع‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫الانحراف المعياري للأوساط الحسابية ‪ 8 ،6 ،6 ،4‬يساوي ‪ √2‬أي ‪2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي والانحراف المعياري لذكاء ‪ 25‬فرد هما ‪ 100‬و ‪ 15‬على الترتيب‪ .‬ما قيمة‬ ‫الخطأ المعياري للتقدير؟‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫الخطأ المعياري للتقدير هو‬ ‫‪���������̅���‬‬ ‫=‬ ‫‪������‬‬ ‫=‬ ‫=‪√������������������������‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪√������‬‬ ‫وهذا يعني ان القيمة التقديرية لوسط المجتمع هي ‪ 100‬بخطأ تقديري يساوي ‪5‬‬ ‫أي ان احتمال أن يكون وسط المجتمع بين ‪ 95‬و ‪ 105‬هو ‪( 0.68‬من جدول التوزيع الطبيعي)‬ ‫اي أن فترة الثقة للتقدير هي‪:‬‬ ‫)‪���̅��� ± ( ������1−���2��� )( ���������̅���‬‬ ‫علما بأن قيم ‪ Z‬من جدول التوزيع الطبيعي هي ‪ 1‬لفترة ثقة ‪ %68‬و ‪ 1.96‬لفترة ثقة ‪ %95‬و‪2.58‬‬ ‫لفترة ثقة ‪.%99‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي للعلامات في مساق الإحصاء ‪ 80‬بانحراف معياري ‪ . 6‬ما اقل حجم للعينة‬ ‫يجعل الخطا المعياري للتقدير أقل من ‪1‬؟‬ ‫‪���������̅���‬‬ ‫=‬ ‫‪������‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√������ > 6‬‬ ‫‪n >36‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪√������‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫إذا كان الوسط الحسابي والانحراف المعياري لذكاء ‪ 100‬طالب متفوق هما ‪ 110‬و ‪ 15‬على‬ ‫الترتيب‪ .‬احسب فترة ثقة ‪ %95‬للوسط الحسابي لمجتمع المتفوقين‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬فترة ثقة ‪ %95‬هي‪:‬‬ ‫‪���̅���‬‬ ‫‪±‬‬ ‫(‬ ‫‪������1−���2���‬‬ ‫()‬ ‫)‪���������̅���‬‬ ‫=‬ ‫‪������������������‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪(������.‬‬ ‫)‪������������‬‬ ‫) ‪( ������������‬‬ ‫=‬ ‫‪������������������‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪������.‬‬ ‫‪������������‬‬ ‫‪√������������������‬‬ ‫‪6‬‬

‫أي بين ‪ 107.06‬و ‪112.96‬‬ ‫تمارين ومسائل‬ ‫‪ .1‬ع ٍّرف كلاً من المصطلحات الآتية‪ :‬المنوال‪ ،‬الوسيط‪ ،‬الوسط الحسابي‪ ،‬الوسط الموزون‪ ،‬التباين‪،‬‬ ‫الانحراف المعياري‪.‬‬ ‫‪ .2‬احسب الوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري للبيانات‪:‬‬ ‫‪8, 6, 9, 5, 4, 6, 7, 6, 8, 10 ,6 ,5 ,7‬‬ ‫‪ .3‬إذا كان الوسط الحسابي لأعمار مجموعة من طلبة الصف السادس في مدرسة ما هو ‪ 12‬سنة‬ ‫الآن‪ .‬فما هو الوسط الحسابي لأعمارهم قبل سنتين من الآن؟ وما هو الوسط الحسابي لاعمارهم بعد‬ ‫ثلاث سنوات من الآن؟‬ ‫‪ .4‬إذا كان الوسط الحسابي لدرجات ‪ 21‬طالب في امتحان ما يساوي ‪ .80‬فما الوسط الحسابي لهم‬ ‫إذا انسحب احدهم وكانت درجته تساوي ‪60‬؟‬ ‫‪ .5‬إذا كانت انحرافات خمس قيم عن وسطها الحسابي هي‪ +3, -2, -5, -3, d :‬فما قيمة ‪d‬؟‬ ‫‪ .6‬فسر العبارة \"يتميز الوسط الحسابي باعتماده على جميع البيانات ولذلك ايجابيات وسلبيات\"‪.‬‬ ‫‪ .7‬ما المقياس الانسب للنزعة المركزية للبيانات المتوفرة عن مجموعة كبيرة من الطلبة الجامعيين‬ ‫مع تبرير الإجابة إذا كانت البيانات المتوفرة هي‪:‬‬ ‫ا‪ .‬أسماء مناطقهم الجغرافية‪.‬‬ ‫ب‪ .‬درجات الذكاء لهم‪.‬‬ ‫ج‪ .‬أعمارهم‪.‬‬ ‫د‪ .‬الدخل السنوي لاسرهم‪.‬‬ ‫‪ .8‬إذا كان الوسط الحسابي لعشرين درجة يساوي ‪ ،50‬والوسط الحسابي لثلاثين درجة يساوي ‪.40‬‬ ‫أحسب الوسط الحسابي للخمسين درجة‪.‬‬ ‫‪ .9‬إذا كان الانحراف المعياري لدرجات ‪ 10‬طلاب في امتحان ما يساوي ‪ .5‬فما التباين لدرجاتهم؟‬ ‫وما قيمة مجموع مربعات الانحراف للدرجات عن الوسط الحسابي؟‬ ‫‪ .10‬إذا كانت انحرافات خمس قيم عن وسطها الحسابي هي‪+3, -2, -5, -3, d :‬‬ ‫فما قيمة التباين والانحراف المعياري للقيم؟‬ ‫‪7‬‬

‫أ‪.‬د‪ .‬يوسف محمد السوالمه جامعة اليرموك‬ ‫‪ .11‬إذا كان مجموع مربعات ‪ 10‬قيم يساوي ‪ ، 90‬ومجموع تلك القيم يساوي ‪ . 20‬احسب التباين‬ ‫والانحراف المعياري للقيم‪ .‬وما القيمة التقديرية لتباين القيم في المجتمع الذي تمثله هذه القيم؟‬ ‫‪ .12‬في عينة من ‪ 100‬طالب تبين أن الوسط الحسابي لمعدلاتهم في التوجيهي هو ‪ 75‬بانحراف‬ ‫معياري ‪ .10‬أحسب فترة ثقة ‪ %95‬للوسط الحسابي لمعدلات الثانوية العامة‪.‬‬ ‫‪8‬‬