c14

ใบความรู้ที่ 14 เรื่อง อนุพนั ธ์อนั ดับสูง piboon chomsombat จากการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่ผา่ นมา จะพบวา่ เมื่อเราหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ท่ี x ใดๆ ไดเ้ ป็น f/(x)ซ่ึง f/ เป็นฟังกช์ นั อีกฟังก์ชนั หน่ึง และอาจพิจารณาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f/ ที่ x ไดอ้ ีก ถา้ ให้ f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 2x + 3 จะได้ f/(x) = 5x4 + 8x3 + 9x2 – 2 เรียก f/(x) วา่ อนุพนั ธ์อนั ดบั หน่ึงของ f(x) ถา้ นา f/(x) มาหาอนุพนั ธ์อนั ดบั หน่ึงของ f(x) ใหมว่ า่ เป็นอนุพนั ธ์อนั ดบั สองของ f(x) นน่ั คือ f//(x) = 20x3 + 24x2 + 18x ในทานองเดียวกนั ถา้ นา f//(x) มาหาอนุพนั ธ์ต่อไปเร่ือย ๆ เรากจ็ ะไดอ้ นุพนั ธ์อนั ดบั สาม อนั ดบั ส่ี ตอ่ ไปเรื่อย ๆ และเพ่อื สรุปเป็นหมวดหมู่ เรานิยมใชส้ ญั ลกั ษณ์ตอ่ ไปน้ีแทนอนุพนั ธ์อนั ดบั ต่าง ๆ ดงั น้ี f/(x) = y/ = dy แทน อนุพนั ธ์อนั ดบั หน่ึง y// = f//(x) = y/// = dx f///(x) = y(n) = d2y แทน อนุพนั ธ์อนั ดบั สอง ... f(n)(x) = dx2 d3y แทน อนุพนั ธ์อนั ดบั สาม dx3 dn y แทน อนุพนั ธ์อนั ดบั n dxn ตวั อย่างที่ 1 ให้ f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 จงหา f///(x) วธิ ีทา จาก f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 ดงั น้นั f/(x) = 9x2 + 12x + 2 f//(x) = 18x + 12 f///(x) = 18 ตัวอย่างที่ 2 ให้ y = 5x4 + 2x2 - x + 2 จงหาอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 4 ของ y หรือ d4y dx4 วธิ ีทา จาก y = 5x5 + 2x2 - x + 2 dy = 20x3 + 6x2 - 1 60x2 + 12x dx d2y = dx2

d3y = 120x + 12 dx3 d4y = 120 dx4 ตัวอย่างท่ี 3 จงหา f//(1) เมื่อ f(x) = 4x3 - 3x2 + 5 วธิ ีทา จาก f(x) = 4x3 - 3x2 + 5 ดงั น้นั f/(x) = 12x2 - 6x f//(x) = 24x - 6 f//(1) = 24(1)-6 = 18 piboon chomsombat ตวั อย่างการนาอนุพนั ธ์อนั ดับท่ี 2 ไปใช้ในทางกายภาพ ได้แก่ ความเร่ง ความเร่ง (a) ของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว (v) เทียบกบั เวลา t ใด ๆ ถา้ วตั ถุเคลื่อนท่ีตามสมการเคล่ือนท่ี คือ S = f(t) เมื่อ S คือ ระยะทางที่วตั ถุเคล่ือนที่ไดใ้ นเวลา t จะได้ a = dv และ v = dS dt dt ดงั น้นั a= d  dS = d 2S dt  dt  dt2 นน่ั คือ ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ กค็ ือ อนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ของ S = f(t) ตัวอย่างท่ี 4 เม่ือเวลา t วนิ าที วตั ถุเคลื่อนท่ีไดร้ ะยะทาง S = 4t3 + 2t2 + 3t เมตร จงหา 1) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ 2) ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ 3) ความเร่งขณะเวลา t = 2 วนิ าที วธิ ีทา (1) จาก S = 4t3 + 2t2 + 3t จะได้ v = dS = 12t2 – 4t + 3 เมตร/วนิ าที dt ดงั น้นั ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั 12t2 – 4t + 3 เมตร/วนิ าที (2) จาก v = 12t2 – 4t + 3 จะได้ a = dv = 24t - 4 เมตร/วนิ าที2 dt ดงั น้นั ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั 24t - 4 เมตร/วนิ าที2 (3) จาก (2) จะไดค้ วามเร่งขณะเวลา t = 2 วนิ าที เท่ากบั 24(2) -4 = 44 เมตร/วนิ าที2 หมายเหตุ : ถา้ ความเร่งเป็นจานวนบวก แสดงวา่ เมื่อเวลาเพ่ิมข้ึน ความเร็วจะเพม่ิ ข้ึน และถา้ ความเร่งเป็น จานวนลบ แสดงวา่ เม่ือเวลาเพ่มิ ข้ึนความเร็วจะลดลง ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------