3.Node Voltage

สรุปเนื้อหาคาํ บรรยายจากวดิ โี อ เรื่อง แรงดันโนด (Node voltage) โนด (Node) ในท่ีน้ีหมายถึง ป่ ุมหรือจุดต่อในวงจรตาข่าย (Network) ท่ีมีต้งั แต่สามสาขาข้ึนไป (principle node) เช่น รูปที่ 1 (ก) พิจารณาไดว้ า่ มี 2 โนด คือ โนด A และโนด B [จะใช้ 1 สมการในการคาํ นวณ] (ก) รูปท่ี 1 (ข) พิจารณาไดว้ า่ มี 3 โนด คือ โนด A, โนด B และโนด C [จะใช้ 2 สมการในการคาํ นวณ] (ข) รูปท่ี 1 (ค) พิจารณาไดว้ า่ มี 4 โนด คือ โนด A , โนด B, โนด C และโนด D [จะใช้ 3 สมการในการคาํ นวณ] (ค) รูปท่ี 1 จาํ นวนสมการท่ีใชใ้ นการคาํ นวณ = จาํ นวนโนด -1

การแก้ปัญหาของวงจรตาข่าย (Network) ด้วยวธิ ีโนด ตัวอย่างท่ี 1 จากรูปท่ี 2 เกิดกาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีความตา้ นทาน 3 โอห์ม เทา่ ใด • กาํ หนดชื่อโนดที่จุดต่อในวงจร โดยจะต้องเลือก ให้โนดใดโนดหน่ึงเป็ นโนดอา้ งอิง (Ground node) ก่อนเสมอ ดงั รูปที่ 3 และจะถือว่าโนดอา้ งอิงมี ศกั ยไ์ ฟฟ้าเป็น 0 V. เสมอ รูปท่ี 2 • อาจเลือกใหโ้ นด B เป็นโนดอา้ งอิง (Ground node) • แรงดนั ตกคร่อมจุด A-B จะเรียกว่า UA ซ่ึง หมายถึงแรงดนั ตกคร่อมท่ีโนด A เทียบไปยงั กราวด์ (B) • กาํ หนดกระแสท่ีโนดที่ไม่ใช่กราวด์ (node A) โดย มีทิศทางอยา่ งไรก็ได้ ในท่ีน้ีกาํ หนดตามรูปที่ 4 รูปที่ 3 • พิจารณาต้งั สมการท่ีโนด A โดยอาศยั กฎกระแส ของเคอร์ชอฟ คือ ผลรวมกระแสท่ีจุด A มีค่าเป็ น ศูนย์ จากรูปที่ 4 จะได้ ไหลเข้าจุด A ไหลออกจากจุด A I1 + I3 – I2 = 0 • อาศยั กฎของโอห์ม เขียน I แต่ละตวั ให้อยใู่ นรูป รูปท่ี 4 ของแรงดนั หารดว้ ยความตา้ นทาน เช่น I1 เขียนแทนดว้ ย กระแสไหลจาก B ไป A จึงเสมือนกับขณะนี้ B เป็ นข้วั + มศี ักย์สูงกว่า A เม่ือ B เสมือนเป็ นขั้ว + กจ็ ะมขี ้ัวเสริมกบั แรงดนั 1 V. (UB − UA +1) ← แรงดนั ในสาขา 2 ← ความต้านทานในสาขา เพราะวา่ UB เป็นโนดอา้ งอิง (Ground node) ใหถ้ ือวา่ มีศกั ยเ์ ป็น 0 เสมอ ; (1− UA ) ดงั น้นั I จะเขียนแทนดว้ ย 2 เขียนท้งั สมการจะได้ ; (1− UA ) + (5− UA ) - UA =0 2 4 3

• จดั สมการและแกส้ มการหาค่า UA 6(1− UA ) + 3(5 − UA ) − 4UA ใช้ ค.ร.น. ; 12 =0 6 – 6 UA + 15 – 3 UA – 4 UA = 0 [ยา้ ย 12 ไปคูณ 0 หมดไป] -13 UA = -21 − 21 UA = −13 = 1.61538 V. จากรูปที่ 4 UA เม่ือพจิ ารณาเทียบไปยงั กราวด์ (B) กค็ ือแรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 3 โอห์ม นน่ั เอง UA2 กาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีความตา้ นทาน 3 โอห์ม = 3 = (1.61538)2 3 = 0.8698 W. ตอบ ตัวอย่างที่ 2 จากรูปที่ 5 มีกระแสไหลผา่ นความตา้ นทาน 2 โอห์มเท่าใด • กาํ หนดช่ือโนดและเลือกโนดหน่ึง ให้เป็ นกราวด์ (โนดอา้ งอิง) ตาม รูปท่ี 5 รูปท่ี 5 • กาํ หนดกระแสที่โนด A และ B โดยมีทิศทางอยา่ งไรก็ได้ เช่น ดงั รูปท่ี 6 • พิจารณาต้ังสมการท่ีโนดแต่ละ โนด โดยอาศัยกฎกระแสของ เคอร์ชอฟ รูปที่ 6

ทโี่ นด A ; I1 + I3 - I2 = 0 [กฎกระแสของเคอร์ชอฟ] (1− UA ) (UB − UA ) UA กระแสไหลจาก B ไป A ถือเสมือนว่าขณะนี้ B มศี ักย์สูงกว่า A 3 2 1 + - =0 2(1− UA ) + 3(UB − UA ) − 6UA =0 6 2 – 2 UA + 3 UB – 3 UA – 6 UA = 0 -11 UA + 3 UB = -2 __________ ทโ่ี นด B ; I3 + I5 + I4 = 0 กระแสไหลจาก B ไป C จึงเสมือนกบั ขณะนี้ B เป็ นขัว้ + มศี ักย์สูงกว่า C เมื่อ B เสมือนเป็ นข้ัว + กจ็ ะมขี ว้ั เสริมกบั แรงดนั 3 V. (UB − UA ) (UB − UC + 3) (UB − UC − 2) 2 + 5 + 4 = 0 (UB − UA ) + (UB + 3) + (UB −2) = 0 [UC เป็นโนดอา้ งอิงมีศกั ยเ์ ป็น 0] 2 5 4 10(UB − UA ) + 4(UB + 3) + 5(UB − 2) = 0 20 10 UB – 10 UA + 4 UB + 12 + 5 UB – 10 = 0 -10 UA + 19 UB = -2 __________ แกส้ มการหาคา่ UA และ UB โดยใช้ Determinant ; D = −11 3 = -209 + 30 −10 19 = -179

UA = −2 3 = − 38 + 6 − 2 19 −179 D = 0.178771 V. UB = −11 − 2 = 22 − 20 −10 − 2 −179 D = -0.011173 V. • จากรูปท่ี 6 กระแสท่ีไหลผา่ นความตา้ นทาน 2 โอห์ม คือ I3 พจิ ารณาจากรูปท่ี 6 จะได้ (UB −UA ) (−0.011173− 0.17877) I3 = 2 = 2 = -0.09497 A. ตอบ [I3 มีคา่ ติดลบ หมายถึง ทิศทางของ I3 ที่เคยสมมุติไวต้ ามรูปท่ี 6 น้นั ตรงขา้ มกบั ความเป็นจริง] ตัวอย่างท่ี 3 จากรูปที่ 7 แรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 3 โอห์ม มีค่าเท่าใด แนวคิด ; ในสาขาท่ีมีแหล่งกาํ เนิดกระแส จะถือว่ามีกระแสใน สาขาน้นั เท่ากบั ขนาดของแหล่งกาํ เนิดกระแสไดเ้ ลย ไม่ ตอ้ งสมมุติตวั แปร I ใดๆ อีก รูปที่ 7 • ถา้ เลือกให้ B เป็นโนดอา้ งอิง (ground node) จะตอ้ งกาํ หนดกระแสท่ีโนด A ใหค้ รบทุกสาขา โดยมี ทิศทางอยา่ งไรก็ได้ ดงั รูปที่ 8

กาํ หนดตามขนาดของแหล่งกาํ เนิดกระแส (Current source) • พิจารณาความสัมพนั ธ์ของกระแสรอบๆ โนด A ตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟ รูปที่ 8 I1 + 1 - I2 = 0 I1 - I2 = -1 แรงดัน เปล่ียนรูปกระแส (I1 และ I2) ใหอ้ ยใู่ นรูปของ ความต้านทาน ตามกฎของโอห์ม จากรูปที่ 8 จะได้ (2− UA ) - UA = -1 [UB เป็นโนดอา้ งอิงมีศกั ยเ์ ป็น 0] 1 3 = -1 3(2 − UA ) − U A 3 6 – 3 UA – UA = -3 UA = −3−6 −4 = 2.25 V. จากรูปท่ี 8 แรงดนั UA กค็ ือแรงดนั ตกคร่อมระหวา่ งจุด A และ B นนั่ คือ แรงดนั ตกคร่อม ตอบ ความตา้ นทาน 3 โอห์ม นนั่ เอง แรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 3 โอห์ม = 2.25 V. คาํ ถาม / คาํ ตอบ คําถาม ในการแกป้ ัญหาวงจรดว้ ยวธิ ีโนด จะตอ้ งกาํ หนดจุดหน่ึงใหเ้ ป็ นโนดอา้ งอิง (ground node) เสมอ ไปหรือไม่ คําตอบ จาํ เป็ นตอ้ งมีโนดอา้ งอิงเสมอ เพราะตอ้ งใช้เป็ นจุดเทียบกบั จุดอื่นๆ ทุกจุดในวงจรตาข่าย เพื่อ กาํ หนดเป็ นค่าแรงดนั ไฟฟ้าตกคร่อมส่วนต่างๆ ในวงจร เช่น จากรูปท่ี 8 UA มีค่า 2.25 V. นนั่

หมายถึงแรงดนั 2.25 V. เป็ นแรงดนั ตกคร่อมระหวา่ งจุด A และ B ซ่ึงครอบคลุมทุกสาขาใน วงจร เสมือนดงั รูปท่ี 9 รูปท่ี 9 คาํ ถาม ควรจะกาํ หนดเลือกจุดใดในวงจรใหเ้ ป็นโนดอา้ งอิง คาํ ตอบ ในหลกั การจะเลือกจุดใดใหเ้ ป็นโนดอา้ งอิงกไ็ ด้ ไมแ่ ตกต่างกนั นกั แต่ถา้ จะลองพิจารณาจากการ กาํ หนดโนดอา้ งอิงตามรูปท่ี 6 เราจะหาแรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 2 โอห์ม จาํ เป็ นตอ้ งแก้ สมการหาคา่ UA และ UB ก่อนจึงจะสามารถหาค่าแรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 2 โอห์ม จาก UB – UA ถา้ กาํ หนดใหจ้ ุด A เป็นโนดอา้ งอิงแลว้ เราสามารถหาคา่ แรงดนั ตกคร่อม ความตา้ นทาน 2 โอห์มไดจ้ ากค่าของ UB เพยี งตวั เดียว