1.เคอร์ชอฟ

สรุปเนื้อหาคาํ บรรยายจากวดิ ีโอ เรื่อง เคอร์ชอฟ (Kirchhoff) เคอร์ชอฟ เป็ นกระบวนวธิ ีหน่ึงที่ใชส้ าํ หรับแกป้ ัญหาวงจรตาข่าย (Network) โดยเคอร์ชอฟจะมีกฎท่ี ใช้ 2 ขอ้ คือ 1. ผลรวมแรงดนั ในวงจรปิ ด (loop) ใดๆ จะมีคา่ เป็น 0 ดงั รูปที่ 1 E – (I × R1) – (I × R2) – (I × R3) จะมีค่า = 0 หรือ (I × R1) + (I × R2) + (I × R3) – E = 0 รูปท่ี 1 10 2+3+5 จากรูปท่ี 2 จะมีคา่ I = = 1 A. และมีแรงดนั ตกคร่อม R 2 โอห์ม = 2 V. R 3 โอห์ม = 3 V. R 5 โอห์ม = 5 V. เม่ือพิจารณาการเสริมหรือหกั ลา้ งกนั ของข้วั แรงดนั ไฟฟ้า จะพบวา่ 10 – 2 – 3 – 5 มีคา่ เทา่ กบั 0 พอดี รูปท่ี 2 2. ผลรวมของกระแสท่ีจุดใดๆ ในวงจร จะมีค่าเป็น 0 ดงั รูปที่ 1 รูปท่ี 3 I2 + I3 – I1 = 0 อาจกล่าวไดว้ า่ กระแสไหลเขา้ = กระแสไหลออก I1 = I2 + I3

จากรูปท่ี 4 เมื่อคาํ นวณตามกฎของโอห์ม จะได้ I1 = 1 A. I2 = 0.6 A. I3 = 0.4 A. รูปท่ี 4 เมื่อพจิ ารณาตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟ จะได้ I2 + I3 – I1 = 0 จะพบวา่ ...เป็นจริงตามกฎของเคอร์ชอฟ 0.6 + 0.4 – 1 = 0 การแก้ปัญหาของวงจรตาข่าย (Network) ด้วยกฎของเคอร์ชอฟ ตัวอย่างที่ 1 วงจรน้ีมีสภาพเป็ นวงตาข่าย (Network) เนื่องจากมี แหล่งจ่าย 2 ตวั และวงจรมีการเช่ือมโยงแบบอิสระ ความต้านทานแต่ละตัวไม่จําเป็ นต้องอนุกรมหรือ ขนานกนั รูปท่ี 5 การคาํ นวณหาค่ากระแส/แรงดนั ในวงจร มีความจาํ เป็นตอ้ งใชก้ ารแกส้ มการเพือ่ แกป้ ัญหา ดงั น้ี • กาํ หนดกระแสในวงจรให้ครบทุกสาขา โดยมี ทิศทางอย่างไรก็ได้ โดยใช้ตวั แปรให้น้อยที่สุด ดงั รูปที่ 6 จะไม่ใช้ I1, I2, I3 แต่จะใช้ I1, I2 และ (I1 + I2) เขียนตามสภาพความสัมพนั ธ์ของกระแส ร่วมกบั I1 และ I2 • เขียนข้วั +/- ที่เกิดข้ึนที่ตวั ตา้ นทานแต่ละตวั ตาม รูปท่ี 6 ทิศทางการไหลของกระแสที่ไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน ตวั น้นั ๆ • กาํ หนดชื่อจุดตอ่ แต่ละจุด เพ่ือใชเ้ รียกชื่อขอบเขต ของการพิจารณา • พิจารณาต้งั สมการแรงดนั ตามกฎแรงดนั ของ เคอร์ชอฟ ทีละลูพ (Loop)

ท่ี ABDA; จะพิจารณาต้งั สมการไดด้ งั น้ี จากรูปที่ 7 มีแรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทาน 5 โอห์ม และ 10 โอห์ม เสริมกนั แต่หกั ลา้ งกบั แหล่งจา่ ย 6 V. จะได้ 5I1 + 10(I1 + I2) – 6 = 0 (กฎแรงดนั ของเคอร์ชอฟ) 15I1 + 10I2 = 6 ← สมการที่ 1 รูปท่ี 7 ที่ BCDB; จากรูปที่ 8 มีแรงดันตกคร่อมตวั ต้านทาน 20 โอห์ม เสริมกับ แรงดนั ตกคร่อมตวั ตา้ นทาน 10 โอห์ม แต่จะหกั ลา้ งกบั แรงดนั 3 V. จะได้ 20I2 + 10(I1 + I2) – 3 = 0 (กฎแรงดนั ของเคอร์ชอฟ) รูปที่ 8 10I1 + 30I2 = 3 ← สมการที่ 2 การหาค่า I1 และ I2 จาํ เป็นตอ้ งแกส้ มการ ซ่ึงอาจเลือกใช้ Determinant ได้ Determinant; พจิ ารณาตามหลกั การแกส้ มการดว้ ย Determinant ที่เคยกล่าวมาแลว้ D= 15 10 = 450 – 100 10 30 = 350 6 10 I1 = 3 30 = 180 − 30 D 350 = 0.42857 A. 15 6 I2 = 10 3 = 45 − 60 D 350 = -0.042857 A.

กลบั ไปพจิ ารณาในรูปที่ 6 เราพบวา่ กระแสไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน 5 โอห์ม = I1 = 0.42857 A กระแสไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน 20 โอห์ม = I2 = 0.042857 A. (ติดลบ) (กระแส I2 จริงแลว้ จะไหลจากจุด B ไปยงั จุด C) ตอบ กระแสไหลผา่ นตวั ตา้ นทาน 10 โอห์ม = (I1 + I2) [ตามทิศทางกระแสที่เคยสมมุติไว]้ = 0.42857 + (-0.042857) = 0.3857 A. • ขณะน้ีเราทราบค่ากระแสท่ีไหลผา่ นตวั ตา้ นทานแต่ละตวั ในวงจรแลว้ • ถา้ ตอ้ งการหาค่าแรงดนั ตกคร่อมตวั ตา้ นทานตวั ใด ใหน้ าํ ค่ากระแสท่ีไหลผา่ นตวั ตา้ นทานตวั น้นั คูณกบั ค่าตวั ตา้ นทานตวั น้นั (ตามกฎของโอห์ม) • ถา้ ตอ้ งการหาค่ากาํ ลงั ไฟฟ้า (P) ที่เกิดข้ึนที่ตวั ตา้ นทานตวั ใด ใหน้ าํ กระแสที่ไหลผา่ นตวั ตา้ นทานตวั น้นั ยกกาํ ลงั สอง แลว้ คูณกบั คา่ ตวั ตา้ นทานตวั น้นั (P = I2 × R) • ถา้ ตอ้ งการหาค่าแรงดนั ที่ตกคร่อมจุดท่ีคร่อมตวั ตา้ นทานมากกว่า 1 ตวั ให้นาํ แรงดนั ท่ีตกคร่อมตวั ตา้ นทานแตล่ ะตวั รวมกนั ตามสภาพข้วั ซ่ึงอาจเสริมหรือหกั ลา้ งกนั ก็ได้ ตัวอย่างที่ 2 แรงดนั ตกคร่อมระหวา่ งจุด A-B มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด ; จากรูปที่ 9 จะสามารถหาค่าแรงดนั ตกคร่อมระหวา่ งจุด A-B ได้ การรวมแรงดนั ท่ีตกคร่อมความตา้ นทาน 1 โอห์ม และแรงดนั แหล่งจ่าย 2 V. เขา้ ดว้ ยกนั (ไม่เสริม ก็หกั ลา้ งกนั ) รูปท่ี 9 • เราจะตอ้ งพยายามคาํ นวณหาค่าแรงดนั ท่ีตกคร่อมความตา้ นทาน 1 โอห์ม ให้ไดก้ ่อน โดยจะตอ้ งหา ค่ากระแสที่ไหลในสาขาน้ีใหไ้ ด้ ดว้ ยวธิ ีการของเคอร์ชอฟ ดงั น้ี กาํ หนดใหม้ ีกระแสไหลในแต่ละสาขาของวงจร ดงั รูป

เสริมกนั จะบวกกนั 5I1 + 3 + 1I2 + 2 – 1 = 0 [พิจารณาจากลูพ ABCA] I1 + 1I2 = -4 ← สมการท่ี 1 รูปที่ 10 เสริมกนั เสริมกนั 2 + 1I2 – [4(I1 – I2) + 6 + 3(I1 – I2)] = 0 [พิจารณาจากลูพ ABDA] หกั ลา้ งกนั 2 + 1I2 – 4(I1 – I2) – 6 – 3(I1 – I2) = 0 ← สมการที่ 2 2 + 1I2 – 4I1 + 4I2 – 6 – 3I1 + 3I2 = 0 -7I1 + 8I2 = 4 แกส้ มการ Determinant D= 51 = 40 + 7 −7 8 = 47 นาํ คา่ คงที่แทนในคอลมั ป์ ท่ี 2 เพ่อื หาค่าของ I2 I2 = 5 −4 = 20 − 28 −7 4 47 D = -1.702 A. พจิ ารณาจากรูปท่ี 10 สามารถหาคา่ UAB ไดจ้ ากการรวมแรงดนั ที่ตกคร่อมความตา้ นทาน 1 โอห์ม และแรงดนั แหล่งจ่าย 2 V. ตามสภาพข้วั ซ่ึงเราจะพบวา่ จากสภาพของทิศทางกระแสและข้วั แรงดนั ท่ีเกิดข้ึนท่ีความ ตา้ นทาน จะได้

UAB = 2 + (1I2) ตอบ = 2 + (1 × (-1.702)) = 1.83 V. ตัวอย่างท่ี 3 จากรูปที่ 11 กาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนท่ีความตา้ นทาน 3 โอห์ม มีคา่ เท่าใด แนวคิด ; จากรูปที่ 11 สามารถหาค่าลงั ไฟฟ้าที่ เกิดข้ึนท่ีความตา้ นทาน 3 โอห์ม ได้ โดยนาํ ค่ากระแสที่ไหลผา่ น ความ- ตา้ นทาน 3 โอห์ม ยกกาํ ลงั สอง แลว้ คูณกบั คา่ ความตา้ นทาน 3 โอห์มน้นั รูปที่ 11 • เราจะตอ้ งคาํ นวณหาค่ากระแสที่ไหลผา่ นความตา้ นทาน 3 โอห์ม ให้ไดก้ ่อน ดว้ ยวธิ ีการของเคอร์ชอฟ ดงั น้ี ก ํา ห น ด ใ ห้ มี ก ร ะ แ ส ไ ห ล ใ น แ ต่ ล ะ สาขาของวงจรดงั รูป (พยายามใช้ ตวั แปรใหน้ อ้ ยที่สุด) จากกฎแรงดนั ของเคอร์ชอฟ จะได้ รูปท่ี 12 เสริมกนั [พิจารณาจากลูพ ABFA] 1I1 + 2(I1 – I2) + 2 – 1 = 0 __________ 3I1 – 2I2 = -1 [พิจารณาจากลูพ BCEFB] เสริมกนั เสริมกนั 2 + 2(I1 – I2) – (3I2 + 4I3) = 0 หกั ลา้ งกนั

2 + 2I1 – 2I2 – 3I2 – 4I3 = 0 __________ 2I1 – 5I2 – 4I3 = -2 เสริมกนั [พิจารณาจากลูพ CDEC] 5(I2 – I3) + 5 – 4I3 = 0 __________ 5I2 – 9I3 = -5 แกส้ มการดว้ ย Determinant D= 3 −2 0 = 135 – 36 + 60 2 −5 −4 0 5 −9 = 159 I2 = 3 −1 0 = 54 −18 − 60 2 −2 −4 159 0 −5 −9 D = -0.15094 A. จากรูปท่ี 12 I2 ถูกสมมุติใหไ้ หลผา่ นความตา้ นทาน 3 โอห์ม ดงั น้นั สามารถหาค่ากาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนท่ีความ ตา้ นทาน 3 โอห์ม ไดด้ งั น้ี กาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีความตา้ นทาน 3 โอห์ม = I22 × 3 ตอบ = (-0.15094)2 × 3 = 68.35 mW.

ตัวอย่างท่ี 4 จากรูปท่ี 13 มีกระแสไหลผา่ นความตา้ นทาน 8 โอห์ม เท่าใด แนวคิด ; จากรูปท่ี 13 สามารถพิจารณา เ ป ล่ี ย น แ ห ล่ ง ก ํา เ นิ ด ก ร ะ แ ส ใ ห้ เป็ นแหล่งกาํ เนิดแรงดนั ไฟฟ้าได้ ดังรู ปท่ี 14 แล้วกําหนดให้มี รูปที่ 13 กระแสไหลในแต่ละสาขาของ วงจร เราตอ้ งหาค่ากระแสที่ไหลผา่ นความตา้ นทาน 6 โอห์มให้ได้ ก่อน ตามวิธีเคอร์ชอฟที่ผ่านมา แลว้ จึงพิจารณาหาค่ากระแสท่ีไหลผ่านความ ตา้ นทาน 8 โอห์ม โดยพิจารณาตามกฎกระแส ของเคอร์ชอฟอีกคร้ังหน่ึง รูปท่ี 14 1 + 2(I1 – I2) – 4I2 = 0 [พจิ ารณาจากลูพ ABDA] 2I1 – 6I2 = -1 __________ เสริมกนั [พจิ ารณาจากลูพ BCDB] 4I2 + 6I1 + 8I1 – 4 = 0 __________ 14I1 + 4I2 = 4 แกส้ มการ Determinant D= 2 −6 = 8 + 84 14 4 = 92

I1 = −1 −6 = − 4 + 24 44 92 D = 0.21739 A. พิจารณาจากรูปท่ี 15 เป็ นบางส่วนของวงจรในรูปท่ี 13 เมื่อทราบค่าและทิศทางของกระแส I1 สามารถ พิจารณาตามกฎกระแสของเคอร์ ชอฟ เพ่ือหา คา่ กระแสไหลผา่ นความตา้ นทาน 8 โอห์ม ไดด้ งั น้ี รูปท่ี 15 กระแสไหลเขา้ จุด = กระแสไหลออกจากจุด ท่ีจุด C มีกระแสไหลเขา้ จุด C จากแหล่งกาํ เนิดกระแส 0.5 A. แสดงวา่ มีกระแสไหลออกจากจุด C คือ I1 = 0.21739 A. กระแสไหลออกจากจุด C ผา่ นความตา้ นทาน 8 โอห์ม = 0.5 – 0.21739 ตอบ = 0.2826 A. คาํ ถาม / คาํ ตอบ คําถาม จะทราบไดอ้ ยา่ งไรวา่ จะตอ้ งใชก้ ี่สมการในการแกป้ ัญหา Network คาํ ตอบ ใน Network เรามีตวั แปรกระแสกี่ตวั กต็ อ้ งใชจ้ าํ นวนสมการเท่าน้นั คาํ ถาม เราสมมุติอะไรไดบ้ า้ งในการคาํ นวณแบบเคอร์ชอฟ คําตอบ สมมุติลูพท่ีจะพิจารณา, สมมุติกระแสในแต่ละสาขาใหม้ ีทิศทางอยา่ งไรกไ็ ด้ คําถาม จากรูปท่ี 16 เราสามารถกาํ หนดกระแสตามรูปไดห้ รือไม่ รูปที่ 16 คําตอบ เราไม่จาํ เป็ นตอ้ งกาํ หนดกระแสตวั ท่ี 3 เป็ น I3 ก็ได้ แต่เราอาจใชค้ วามสัมพนั ธ์ของกระแสใน กลุ่มโดยพิจารณาวา่ I3 กค็ ือ I1 – I2 ได้ (ตามกฎกระแสของเคอร์ชอฟ)