2.Mesh Current

สรุปเนื้อหาคาํ บรรยายจากวดิ โี อ เร่ือง กระแสลูพ (Mesh Current) Mesh current เป็ นทฤษฎีท่ีใชส้ ําหรับแกป้ ัญหาวงจรตาข่าย (Network) โดยกาํ หนดให้กระแสไหลเป็ น วงภายในลูพปิ ดของวงจร ซ่ึงการกาํ หนดลูพทาํ ไดห้ ลายลกั ษณะ เช่น รูปท่ี 1 (ก) และ (ข) (ก) (ข) รูปที่ 1 การสรุปคาํ ตอบวา่ ความตา้ นทานแต่ละตวั มีกระแสตวั ใดไหลผา่ น พจิ ารณาไดด้ งั น้ี รูป (ก) กระแสไหลผา่ น R1 คือ I1 รูป (ข) กระแสไหลผา่ น R1 คือ (I1 + I2) กระแสไหลผา่ น R2 คือ I2 กระแสไหลผา่ น R2 คือ I1 กระแสไหลผา่ น R3 คือ (I1 + I2) กระแสไหลผา่ น R3 คือ I2 [เขียนวา่ (I1 + I2) เพราะวา่ ที่ R3 มีกระแส I1 และ I2 ไหลผา่ นทิศทางเดียวกนั ] การคาํ นวณหาคา่ แรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทานแตล่ ะตวั มีกระแสตวั ใดไหลผา่ น พิจารณาไดด้ งั น้ี สมมุติเราเลือกกาํ หนดลูพแบบ (ก) ใหพ้ ิจารณากาํ หนดสมการจากลูพทีละลูพ พจิ ารณาลพู I1 เป็ น + เพราะ I2 ไหลทิศทางเดียวกบั I1 (R1 + R3) I1 + R3 I1 = E1 __________ รูปที่ 2 เป็ นแรงดนั ภายในลูพ I1 เป็ นแรงดนั ส่วนที่เป็ นผลมาจากกระแส I2 ซ่ึงเป็ นลูพขา้ งเคียงที่ไหลผา่ น R3 ดว้ ย เป็ นแรงดนั ที่เกิดจากกระแส I1 ซ่ึงเป็ นลูพท่ีกาํ ลงั พิจารณา ไหลผา่ นความตา้ นทานในลูพ คือ (R1+R3)

พจิ ารณาลพู I2 เป็ น + เพราะ I1 ไหลทิศทางเดียวกบั I2 (R2 + R3) I2 + R3 I1 = E2 __________ รูปท่ี 3 เป็ นแรงดนั ภายในลูพ I2 เป็ นแรงดนั ส่วนที่เป็ นผลมาจากกระแส I1 ซ่ึงเป็ นลูพขา้ งเคียงท่ีไหลผา่ น R3 ดว้ ย เป็ นแรงดนั ที่เกิดจากกระแส I2 ซ่ึงเป็ นลูพท่ีกาํ ลงั พิจารณา ไหลผา่ นความตา้ นทานในลูพ คือ (R2+R3) ตัวอย่างที่ 1 จากรูปที่ 4 แรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 20 โอห์ม มีค่าเทา่ ใด จากรูป สามารถคาํ นวณหาค่าแรงดนั ตกคร่อมความ ตา้ นทาน 20 โอห์ม โดยวธิ ี Mesh ดงั น้ี รูปท่ี 4 • กาํ หนดกระแสในลูพ I1, I2 โดยให้มีทิศทางไหล ออกจากศกั ยบ์ วกภายในลูพ รูปที่ 5 • เขียนสมการแรงดนั จากลูพที่ 1 ไดด้ งั น้ี กระแส I1 ไหลผา่ น R10 และ R20 เกิดแรงดนั ตกคร่อม คือ (10 + 20) I1 กระแส I2 ไหลผา่ น R20 ร่วมดว้ ย เกิดแรงดนั ที่ R20 คือ 20 I1 จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ของแรงดนั ในลูพเป็น (10 + 20) I1 + 20 I1 = 3 __________ กระแส I1 และ I2 ไหลทิศทางเดียวกนั จะเขียน +

• เขียนสมการแรงดนั จากลูพที่ 2 ไดด้ งั น้ี กระแส I2 ไหลผา่ น R20 และ R30 เกิดแรงดนั ตกคร่อม คือ (20 + 30) I2 กระแส I1 ไหลผา่ น R20 ร่วมดว้ ย เกิดแรงดนั ที่ R20 คือ 20 I1 จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ของแรงดนั ในลูพเป็น 20 I1 + (20 + 30) I2 = 6 __________ กระแส I1 และ I2 ไหลทิศทางเดียวกนั จะเขียน + จากสมการท่ี 1 และสมการที่ 2 แกส้ มการหาค่า I1 และ I2 อาจเลือกใชว้ ธิ ี Determinant ดงั น้ี 30 20 D= 20 50 = 1500 – 400 = 1100 3 20 I1 = 6 50 = 150 −120 D 1100 = 27.27 mA. 30 3 I2 = 20 6 = 180 − 60 D 1100 = 109.0909 mA. ตอ้ งการหาแรงดนั ตกคร่อม R20 จะหาไดจ้ ากกระแสที่ไหลผา่ นคูณกบั ค่าความตา้ นทาน 20 โอห์ม คือ (I1 + I2) × 20 จะได้ (27.27 + 109.0909) × 10-3 × 20 = 2.7272 V. ตอบ จากโจทย์ วงจรเดิมถา้ เราเลือกกาํ หนดกระแสลูพอีกลกั ษณะหน่ึง ดงั รูป เราสามารถหาคา่ แรงดนั ตกคร่อม R20 ไดจ้ าก UR20 = 20 × I2 ซ่ึงการคาํ นวณจะตอ้ งต้งั สมการอีกลกั ษณะหน่ึง คือ รูปที่ 6

ลพู ท่ี 1 ; I2 ไหลตา่ งทิศทางกบั I1 ในลูพน้ีจึงเขียน - (30 + 10) I1 – 10 I2 = 6 - 3 __________ 40 I1 – 10 I2 = 3 ลพู ท่ี 2 ; I1 ไหลต่างทิศทางกบั I2 ในลูพน้ีจึงเขียน - - 10 I1 + (10 + 20) I2 = 3 __________ -10 I1 + 30 I2 = 3 แกส้ มการ Determinant ; D = 40 −10 = 1200 – 100 −10 30 = 1100 40 3 I2 = −10 3 = 120 + 30 D 1100 = 0.1363636 A. จะไดแ้ รงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 20 โอห์ม = 20 × I2 ตอบ = 20 × 0.1363636 = 2.7272 V. • ลกั ษณะของลูพที่เรากาํ หนดอาจมีผลให้การคาํ นวณหาคาํ ตอบสิ้นสุดลงได้ เช่น การกาํ หนดให้มี กระแสตวั เดียวไหลผ่านความตา้ นทานตวั ท่ีตอ้ งการหาแรงดนั ตกคร่อม เราก็สามารถแกส้ มการหา คา่ กระแสตวั น้นั ตวั เดียว ไม่ตอ้ งหาคา่ กระแสตวั อ่ืนอีก • กระแสท่ีไหลผา่ นความตา้ นทานตวั ใดๆ ถา้ มีกระแส 2 ตวั นาํ คา่ กระแสบวกกนั ถา้ กระแสไหลทิศทาง เดียวกนั และนาํ ค่ากระแสลบกนั ถา้ กระแสไหลสวนทางกนั

ตัวอย่างท่ี 2 จากรูปท่ี 7 แรงดนั ตกคร่อมระหวา่ งจุด A-B มีค่าเทา่ ใด UAB มีค่าเท่าใด ? รูปท่ี 7 แนวคิด ; จะตอ้ งหาค่าแรงดนั ตกคร่อม R1 ใหไ้ ดก้ ่อน (จาก I ที่ไหลผา่ น R1 คูณกบั R1) ซ่ึงจะตอ้ ง คาํ นวณหาค่า I ท่ีไหลผา่ น R1 ใหไ้ ดก้ ่อน ดว้ ยการต้งั สมการตามวธิ ีกระแสลูพ (Mesh) • กาํ หนดใหก้ ระแสออกจากศกั ยบ์ วกในลูพ • กาํ หนดลูพที่ทาํ ให้มีกระแสตวั เดียวไหลผ่าน R1 (อาจไม่จาํ เป็นกไ็ ด)้ • พิจารณาต้งั สมการแรงดนั ทีละลูพ • แกส้ มการหาค่า I1 รูปที่ 8 จากลูพ I1 จากลูพขา้ งเคียงเขา้ มาเสริม (กระแสไหลตามกนั ) มีข้วั เสริมกนั ลพู I1 ; (5 + 1) I1 + 5 I2 = 2 + 3 – 1 6 I1 + 5 I2 = 4 __________ จากลูพ I2 จากลูพขา้ งเคียงเขา้ มาเสริม (กระแสไหลตามกนั ) มีข้วั เสริมกนั ลูพ I2 ; (4 + 3 + 5) I2 + 5 I1 = 6 + 3 – 1 5 I1 + 12 I2 = 8 __________ แกส้ มการดว้ ย Determinant ; D = 6 5 = 72 - 25 5 12 = 47

45 I1 = 8 12 = 48 + 40 47 47 = 0.1702 A. ∴ แรงดนั ตกคร่อม R1 คือ 1 I1 คือมีคา่ เทา่ กบั 0.1702 V. • I1 ที่คาํ นวณไดม้ ีค่าเป็ นบวก แสดงวา่ กระแส I1 ไหลตามแบบที่เคยสมมุติไว้ แต่แรก ซ่ึงจะทาํ ใหข้ ้วั ของแรงดนั ที่ตกคร่อม R1 เป็นดงั รูปท่ี 9 จะได้ UAB = 2 – UR1 = 2 – 0.1702 ตอบ = 1.83 V. รูปท่ี 9 ตัวอย่างที่ 3 จากรูปท่ี 10 กาํ ลงั ไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนที่ความตา้ นทาน 3 โอห์ม มีค่าเทา่ ใด แนวคิด ; ตอ้ งพยายามหาค่ากระแสท่ีไหลผ่าน ความต้านทาน 3 โอห์มให้ได้ก่อน เพ่ือนําไปคาํ นวณหาค่ากําลังไฟฟ้า รูปที่ 10 ต่อไป • คาํ นวณหาค่ากระแสที่ไหลผา่ นความตา้ นทาน 3 โอห์ม ตามวธิ ีกระแสลูพ (Mesh) ไดด้ งั น้ี • กําหนดให้กระแสไหลออกจาก ศกั ยบ์ วกในลูพ • พจิ ารณาต้งั สมการแรงดนั ทีละลูพ • แกส้ มการหาค่า I2 รูปที่ 11

ลูพ I1 ; กระแส I2 ไหลทิศทางเดียวกบั I1 แรงดนั ผลรวมภายในลูพ (1 + 2) I1 + 2 I2 = 2 – 1 __________ 3 I1 + 2 I2 = 1 ลพู I2 ; (2 + 3 + 4) I2 + 2 I1+ 4 I3 = 2 __________ 2 I1 + 9 I2 + 4 I3 = 2 ลพู I3 ; (5 + 4) I3 + 4 I2 = 5 4 I2 + 9 I3 = 5 __________ แกส้ มการดว้ ย Determinant ; 320 D = 2 9 4 = 243 – 36 + 48 049 = 159 310 224 I2 = 059 = 54 −18 − 60 D 159 = -0.15094 A. จะไดก้ าํ ลงั ไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนที่ความตา้ นทาน 3 โอห์ม ตอบ = I22 × 3 = (-0.15094)2 × 3 = 68.35 mW.

ตัวอย่างท่ี 4 จากรูปที่ 12 แรงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 3 โอห์ม มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด ; ในเส้นทางของลูพที่มีแหล่งกาํ เนิดกระแส สามารถถือได้ วา่ ทราบค่ากระแสท่ีไหลในลูพแลว้ ในที่น้ีคือ 1 A. และ ไม่ควรเลือกกาํ หนดลูพให้มีแหล่งกาํ เนิดแรงดนั รวมอยู่ รูปท่ี 12 กบั แหล่งกาํ เนิดกระแส จะต้งั สมการแรงดนั ไมไ่ ด้ • ต้งั สมการสาํ หรับลูพท่ีมีแหล่งกาํ เนิดแรงดนั • แกส้ มการหาคา่ ตวั แปรกระแส ลพู I1 ; ทราบค่ากระแสที่ไหลผา่ น 3 โอห์มส่วนน้ีแลว้ คือ 1 A. (1 + 3) I1 + 3(1) = 2(2 −3) 4 I1 = = -0.25 A. จะไดแ้ รงดนั ตกคร่อมความตา้ นทาน 3 โอห์ม = (I1 + 1) × 3 ตอบ = (-0.25 + 1) × 3 คาํ ถาม / คาํ ตอบ = 2.25 V. คาํ ถาม ตอ้ งกาํ หนดกระแสในลูพกี่ตวั จึงจะพอ คําตอบ ตอ้ งพจิ ารณาวา่ R ทุกตวั ในวงจรตอ้ งมีกระแสไหลผา่ นแลว้ เป็นพอ คําถาม กระแสที่ไหลในลูพ จะกาํ หนดทิศทางอยา่ งไรกไ็ ด้ หรือไม่ คาํ ตอบ ถา้ กาํ หนดกระแสให้ไหลออกจากศกั ยบ์ วกในลูพ (ผลรวมแรงดนั ภายในลูพ) จะทาํ ให้สามารถ เขียนค่าแรงดนั หลงั เครื่องหมายเท่ากบั ในสมการเป็นบวกไดเ้ ลย คําถาม ในแต่ละสมการ จาํ เป็ นตอ้ งมีการพิจารณาค่าแรงดนั ที่เป็ นผลมาจากกระแสจากลูพขา้ งเคียงเขา้ มาร่วมในสมการดว้ ยเสมอไป หรือไม่ คําตอบ เสมอไป เพราะนอกจากแรงดนั ท่ีตกคร่อมความตา้ นทานภายในลูพ จะเป็ นผลมาจากกระแส ของลูพตนเองท่ีกาํ ลงั พจิ ารณาแลว้ ก็ยงั มีกระแสจากลูพขา้ งเคียงเขา้ มาไหลร่วมดว้ ยเสมอ ซ่ึงนนั่ หมายความวา่ จะมีแรงดนั เกิดข้ึนอีกส่วนหน่ึง ซ่ึงเป็นผลมาจากกระแสลูพขา้ งเคียงนนั่ เอง