เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 50 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 1,200 1,035 วธิ ที า 1200 +200 × ข้ันที่ 1 คา่ เบยี่ งฐานพันของ 1200 คือ +200 1035 +035 ค่าเบ่ยี งฐานพันของ 1035 คอื +035 1200 +200 × ขนั้ ที่ 2 เตมิ / เพอ่ื แบง่ ผลคูณออกเป็นสองสว่ น 1035 +035 / 1200 +200 × ข้ันที่ 3 200 035 = 7000 1035 +035 / 7000 1200 +200 × 1035 +035 ข้นั ที่ 4 1200 + 035 = 1235 และ 1035 + 200 = 1,235 1235 / 7000 ดังนั้น 1,200 × 1,035 = 12357000 = 1,242,000 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่าของ 986 995 × ขนั้ ที่ 1 ค่าเบยี่ งฐานพันของ 986 คือ –014 × ค่าเบย่ี งฐานพนั ของ 995 คอื –005 วิธที า 986 –014 995 –005 ขนั้ ท่ี 2 เตมิ / เพอ่ื แบ่งผลคูณออกเปน็ สองส่วน 986 –014 995 –005 / 986 –014 × ขั้นที่ 3 (–014) (–005) = 070 995 –005 / 070 986 –014 × ขั้นท่ี 4 986 + (–005) = 981 และ 995 + (–014) = 981 995 –005 981 / 070 ดังนั้น 986 × 995 = 981,070
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 51 4. ผลคูณของจานวนท่ีมีคา่ ใกล้เคียงฐานยอ่ ยอ่ืนๆ ในกรณที ่ีตัวต้งั และตวั คูณ มีค่าเบย่ี งฐานมากจะใช้ฐานย่อยเข้าช่วยซง่ึ ฐานย่อยจะอยใู่ นรปู พหคุ ณู ของ 10, 100, 1000, ... ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ 32 34 +2 × ข้นั ที่ 1 คา่ เบยี่ งฐานยอ่ ยสามสบิ ของ 32 คือ +2 +4 ค่าเบีย่ งฐานยอ่ ยสามสบิ ของ 34 คอื +4 วิธีทา 32 โดยใชฐ้ านอ้างอิงคอื 10 34 ขน้ั ที่ 2 เตมิ / เพ่ือแบ่งผลคณู ออกเป็นสองส่วน 32 +2 × 34 +4 / 32 +2 × ข้ันที่ 3 2 4 = 8 34 +4 ขัน้ ที่ 4 32 + 4 = 36 และ 34 + 2 = 36 / 8 ผลลัพธด์ ้านซ้ายของ / คูณด้วย 3เนอื่ งจาก ฐานย่อย 30 32 +2 × เกิดจาก ฐานอา้ งองิ 10 คูณดว้ ย 3 +4 34 36×3 / 8 = 108 ดงั นัน้ 32 × 34 = 1,088
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 52 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 53 48 +3 × ข้นั ที่ 1 คา่ เบย่ี งฐานย่อยหา้ สบิ ของ 53 คอื 3 –2 ค่าเบี่ยงฐานย่อยหา้ สบิ ของ 48 คือ –2 วธิ ีทา 53 โดยใช้ฐานอา้ งองิ คอื 10 48 +3 × –2 ขัน้ ท่ี 2 เตมิ / เพอ่ื แบ่งผลคูณออกเป็นสองส่วน 53 48 / 53 +3 × ข้นั ที่ 3 3 (–2) = –6 48 –2 / 6̅ 53 +3 × ข้ันที่ 4 53 + (–2) = 51 และ 48 + 3 = 51 48 –2 51 / 6̅ ×5 = 255 ผลลพั ธ์ด้านซ้ายของ / คูณด้วย 5 เนื่องจาก ฐานยอ่ ย 50 เกิดจาก ฐานอ้างองิ 10 คณู ดว้ ย 5 ดงั น้ัน 53 × 48 = 2556̅ = 2,544 ***แปลงโดยใช้นิขลิ มั สตู ร
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 53 ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่าของ 185 192 วิธีทา 185 –15 × ขนั้ ท่ี 1 ค่าเบย่ี งฐานยอ่ ยสองรอ้ ยของ 185 คือ –15 192 –08 ค่าเบยี่ งฐานยอ่ ยสองรอ้ ยของ 192 คือ –08 โดยใช้ฐานอา้ งอิงคือ 100 185 –15 × 192 –08 ขั้นที่ 2 เตมิ / เพอ่ื แบ่งผลคณู ออกเปน็ สองสว่ น / ข้ันที่ 3 (–15) (–08) = 120 185 –15 × ขนั้ ท่ี 4 185 + (–08) = 177 และ 192 + (–15) =177 192 –08 ผลลพั ธ์ด้านซ้ายของ / คูณดว้ ย 2เนือ่ งจาก ฐานยอ่ ย / 120 200 เกิดจาก ฐานอา้ งองิ 100 คูณดว้ ย 2 185 –15 × ***โดยวิธเี วทคณติ 192 –08 177×2 / 120 354 = ดงั น้นั 185 × 192 = 354120 = 35,520
1) 18 x 17 เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 54 แบบฝกึ หดั เรื่อง การคูณโดยวิธีเบ่ียงฐาน 5) 992 x 993 2) 12 x 13 6) 28 x 26 3) 96 97 7) 394 x 389 4) 92 103 8) 789 × 805
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 55 การหารแบบเวทคณติ
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 56 การหารแบบเวทคณติ การหารตามแนวเวทคณิตเป็นวิธีการปรับจานวนให้เหมาะสมและอาจใช้จานวนทบสิบ จานวนทบเกา้ และวธิ ีการแปลงจานวน หลักการหารจานวนต่าง ๆ ให้ไดผ้ ลลัพธ์รวดเรว็ มดี งั น้ี 1. ทอ่ งสูตรคูณได้แมน่ ยาอยา่ งน้อยถงึ แม่ 13 2. ฝกึ ฝนวิธกี ารหารดว้ ยวธิ ตี า่ ง ๆ อยู่เสมอ 3. มกี ารตดั สินใจที่แน่นอนและรวดเรว็ 4. มคี วามแมน่ ยาในการบวกและลบได้อยา่ งรวดเรว็ 1. การหารทต่ี วั หารเปน็ เลขโดดที่มคี ่านอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั 5 1.1 การหารด้วย 2 แปลงจานวนคี่ให้เป็นจานวนคู่ โดยลดค่าจานวนคี่ลง 1 แลว้ เขยี น 1 เป็นตวั ทด เย้อื งลงมาจาก จานวนทางขวา สว่ นจานวนคู่คงเดมิ แลว้ ทาการหารจากซา้ ยไปขวา ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้ ตวั อยา่ งท่ี 1 32,456 ÷ 2 จะได้ 32456 ÷ 2 = 2124416 ÷ 2 = 16,228 น่ันคอื 32,456 ÷ 2 = 16,228 ตอบ ๑๖,๒๒๘ ตวั อยา่ งท่ี 2 57,684 ÷ 2 จะได้ 57,684 ÷ 2 = 4161684 ÷ 2 = 28,842 นัน่ คอื 57,684 ÷ 2 = 28,842 ตอบ ๒๘,๘๔๒
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 57 ตวั อย่างท่ี 3 59,377 ÷ 2 จะได้ 59,377 ÷ 2 = 4181216161 ÷ 2 = 29,688 เศษ 1 ตอบ ๒๙,๖๘๘ เศษ ๑ ตัวอยา่ งที่ 4 970,256 ÷ 2 970,256 ÷ 2 = 816102416 ÷ 2 = 485,128 ตอบ ๔๘๕,๑๒๘ ตวั อย่างท่ี 5 1,091,679 ÷ 2 1,091,679 ÷ 2 = 010810166181 ÷ 2 = 545,839 เศษ 1 ตอบ ๕๔๕,๘๓๙ เศษ ๑ แบบฝึกหดั จงหาผลหาร 1. 2560 ÷ 2 6. 201098 ÷ 2 11. 751937 ÷ 2 2. 34058 ÷ 2 7. 910878 ÷ 2 12. 956102 ÷ 2 3. 40786 ÷ 2 8. 4207165 ÷ 2 13. 7777777 ÷ 2 4. 61908 ÷ 2 9. 9706817 ÷ 2 14. 9090915 ÷ 2 5. 394167 ÷ 2 10. 8456708 ÷ 2 15. 4259999 ÷ 2
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 58 1.2 การหารด้วย 3 การหารดว้ ย 3 ดาเนนิ การหารแต่ละหลกั เม่ือเหลือเศษให้เขียนเศษไว้เย้ืองทางด้านลา่ งขวาของหลัก น้ันๆ โดยให้เศษที่ไดเ้ ป็นหลักหนา้ ของหลักถัดไปทางขวา แล้วทาการหารจากซา้ ยไปขวาจนหมด ดงั ตัวอย่าง ต่อไปน้ี ตัวอยา่ งท่ี 1 3,786 ÷ 3 1262 3 30 71 80 6 ดังน้ัน 3,786 ÷ 3 = 1,262 ตอบ ๑,๒๖๒ ตวั อย่างที่ 2 2,967 ÷ 3 989 3 2 92 62 7 ดงั นั้น 2,967 ÷ 3 = 989 ตอบ ๙๘๙ ตวั อย่างท่ี 3 507,891 ÷ 3 169297 3 52 02 7 82 92 1 ดงั น้นั 507,891 ÷ 3 = 169,297 ตอบ ๑๖๙,๒๙๗
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 59 ตวั อย่างที่ 4 716,095 ÷ 3 238698 3 71 12 62 02 92 51 ดังนั้น 716,095 ÷ 3 = 238,698 เศษ 1 ตอบ ๒๓๘,๖๙๘ เศษ ๑ ตวั อย่างท่ี 5 5,079,818 ÷ 3 1693272 3 52 02 7 9 82 1 82 ดังน้นั 5,079,818 ÷ 3 = 1,693,272 เศษ 2 ตอบ ๑,๖๙๓,๒๗๒ เศษ ๒ จงหาผลหาร แบบฝึกหัด 1. 4836 ÷ 3 11. 5600437 ÷ 3 2. 29870 ÷ 3 12. 2911068 ÷ 3 3. 84367 ÷ 3 13. 3057411 ÷ 3 4. 72431 ÷ 3 14. 9015621 ÷ 3 5. 706348 ÷ 3 15. 987654321 ÷ 3 6. 219543 ÷ 3 7. 6513945 ÷ 3 8. 9014623 ÷ 3 9. 16045731 ÷ 3 10. 209710642 ÷ 3
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 60 1.3 การหารดว้ ย 4 ใหด้ าเนนิ การทานองเดียวกันกับการหารดว้ ย 3 ตัวอยา่ งที่ 1 773,684 ÷ 4 193421 4 73 71 31 6 8 4 ดงั นัน้ 773,684 ÷ 4 = 193,421 ตอบ ๑๙๓,๔๒๑ ตัวอย่างที่ 2 125,679 ÷ 4 31419 4 1 2 51 6 73 93 ดังนน้ั 125,679 ÷ 4 = 31,419 เศษ 3 ตอบ ๓๑,๔๑๙ เศษ ๓ ตวั อยา่ งท่ี 3 3,702,806 ÷ 4 925701 4 3 71 02 22 8 0 6 ดังนั้น 3,702,806 ÷ 4 = 925,701 เศษ 2 ตอบ ๙๒๕,๗๐๑ เศษ ๒ ตัวอยา่ งท่ี 4 4,450,981 ÷ 4 1112745 4 4 4 51 0 91 82 11 ดังนน้ั 4,450,981 ÷ 4 = 1,112,745 เศษ 1 ตอบ ๑,๑๑๒,๗๔๕ เศษ ๑
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 61 ตัวอย่างที่ 5 8,703,561 ÷ 4 2175890 4 8 73 02 33 53 6 11 ดังนั้น 8,703,561 ÷ 4 = 2,175,890 เศษ 1 ตอบ ๒,๑๗๕,๘๙๐ เศษ ๑ 1. 4952 ÷ 4 แบบฝึกหัด 2. 10912 ÷ 4 3. 30950 ÷ 4 9. 550643 ÷ 4 4. 471601 ÷ 4 10. 2930461 ÷ 4 5. 291065 ÷ 4 11. 7509816 ÷ 4 6. 368720 ÷ 4 12. 11110156 ÷ 4 7. 234059 ÷ 4 13. 67543200 ÷ 4 8. 810657 ÷ 4 14. 203456701 ÷ 4 15. 88064573 ÷ 4 1.4 การหารด้วย 5 การหารด้วย 5 คือการคูณดว้ ย 2 แลว้ หารด้วย 10 เพราะ������ = ������ ������ ������������ ตวั อย่างที่ 1 5,435 ÷ 5 5,435 ÷ 5 =5435 5 =5435 × 2 10 = 10870 10 = 1,087 ดังน้นั 5,435 ÷ 5 = 1,087 ตอบ ๑,๐๘๗
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 62 ตวั อย่างที่ 2 2,340 ÷ 5 2,340 ÷ 5 = 2340 ×2 10 = 4680 10 = 468 ดังนัน้ 2,340 ÷ 5 = 468 ตอบ ๔๖๘ ตัวอย่างที่ 3 1,204,895 ÷ 5 1,204,895 ÷ 5 = 1204895 × 2 10 = 2409790 10 = 240979 ดงั นัน้ 1,204,895 ÷ 5 = 240,979 ตอบ ๒๔๐,๙๗๙ ตัวอย่างท่ี 4 83,407,251 ÷ 5 83,407,251 ÷ 5 = 83407251 × 2 10 = 166814502 10 = 16681450.2 ดงั นั้น 83,407,251 ÷ 5 = 16,681,450.2 ตอบ ๑๖,๖๘๑,๔๕๐.๒
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 63 แบบฝกึ หัด 1. 3015 ÷ 5 2. 450790 ÷ 5 3. 115065 ÷ 5 4. 201750 ÷ 5 5. 309176 ÷ 5 6. 261705 ÷ 5 7. 391061 ÷ 5 8. 278019 ÷ 5 9. 561789 ÷ 5 10. 2156042 ÷ 5 11. 309173 ÷ 5 12. 615434 ÷ 5 13. 510341 ÷ 5 14. 6530146 ÷ 5 15. 702517 ÷ 5 16. 820568 ÷ 5 17. 1653469 ÷ 5 18. 6043291 ÷ 5 19. 7160852 ÷ 5 20. 8016523 ÷ 5
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 64 2. การหารทีต่ ัวหารเปน็ เลขโดดท่ีมคี ่ามากกวา่ 5 การหารตามแนวเวทคณิตเป็นวิธีการปรับจานวนให้เหมาะสมและอาจใช้จานวนทบสิบ จานวนทบเก้า และวิธีการแปลงจานวน ในกรณีที่ตัวหารเป็นเลขโดดท่ีมีค่ามากกว่า 5 เม่ือใช้นิขิลัมสูตรผสมกับการหาร สังเคราะห์ จะทาให้การหารน้ันง่ายข้ึน ในท่ีนี้จะนาเสนอวิธีการหาร 2 วิธีคือการหารโดยใช้นิขิลัมสูตร และ การหารแบบพาราวารท 2.1 การหารโดยใชน้ ิขิลัมสูตร ตัวอย่างท่ี 1 จงหาร 34 ด้วย 9 พจิ ารณาตัวหาร โดยการทบสิบ คือ จานวนทบสบิ ของ 9 คอื ขน้ั ตอนท่ี 1 1 ไว้ใตเ้ ลข 9 9)34 1 ข้นั ตอนที่ 2 เสน้ แบง่ จานวนทบสิบท่ไี ดม้ า คอื 1 นาไปใช้ในการหารสังเคราะห์ 9)34 จากนน้ั พิจารณาตัวตัง้ เพื่อแบง่ ตาแหนง่ ของตัวเลขจากขวา 1 ไปซ้าย ให้จานวนตาแหนง่ ของตัวหารจานวนทบสิบท่ีไดม้ า โดยใชเ้ สน้ แบ่งระหว่างผลหารกับเศษ ข้นั ตอนที่ 3 9)34 นบั จานวนบรรทัดต่อจากตัวตงั้ ลงมาให้เทา่ กบั จำนวนของ 1 เลขโดดของตัวต้ังทำงด้ำนซ้ำย ของเสน้ แบง่ แลว้ ขดี เส้นใต้ ข้นั ตอนที่ 4 เขยี นเลขโดดตัวแรกด้านซ้ายสดุ ใต้เสน้ ของขน้ั ตอนที่ 3 9)34 1 3
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 65 ขนั้ ตอนที่ 5 นาจานวนทบ ค้อ 1 ไปคูณกบั 3 ได้ 3 เขียน 3 ในหลักถดั ไป 9)34 13 3 ขนั้ ตอนท่ี 6 บวกเลขโดด ในตาแหน่งที่สอง (4 + 3 = 7) เขียน 7 ลงมาไว้ 9)34 ใตเ้ สน้ ดังตวั อย่าง 13 37 ข้ันตอนท่ี 7 ผลหารคอื 3 เศษ 7 ตรวจคาตอบ นาผลหาร คูณตวั หาร แลว้ บวกดว้ ยเศษ (3 x 9) + 7 = 27 + 7 = 34 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาร 216 ด้วย 89 พจิ ารณาตัวหาร โดยการทบร้อย คอื จานวนทบร้อยของ 89 คอื ขั้นตอนท่ี 1 11 เขยี น 11 ไว้ใตเ้ ลข 89 89)216 11 ขน้ั ตอนที่ 2 จานวนทบร้อยท่ีไดม้ า คือ 11 นาไปใช้ในการหารสงั เคราะห์ 89)216 จากนน้ั พจิ ารณาตัวต้ังเพ่ือแบ่งตาแหน่งของตัวเลขจากขวาไปซา้ ย 11 ใหเ้ ทา่ กับจำนวนตำแหนง่ ของจำนวนทบรอ้ ย ที่ไดม้ าโดยใช้ เส้นแบ่งระหว่างผลหารกบั เศษ ขั้นตอนที่ 3 นบั จานวนบรรทดั ตอ่ จากตัวต้งั ลงมาใหเ้ ท่ากับจานวนของเลขโดด 89)216 ของตวั ต้งั ทางด้านซา้ ยของเส้นแบ่งแล้วขีดเสน้ ใต้ 11 เขียนเลขโดดตวั แรกด้านซ้ายสดุ ลงมาใตเ้ สน้ สดุ ท้าย ขั้นตอนที่ 4 ของขัน้ ตอนท่ี 3 89)216 11 2
ขน้ั ตอนท่ี 5 เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 66 89)216 11 นาจานวนทบไปคูณกับตวั เลขทดี่ งึ มา แลว้ นาผลลพั ธไ์ ปใส่ในหลัก ถดั ไปโดยเขียนให้หลกั ตรงกัน (จากตัวอย่างจานวนทบเป็น 2 จานวนสองตาแหนง่ เขยี นผลคูณให้เปน็ สองตาแหนง่ ของหลัก ถดั ไป) ขนั้ ตอนท่ี 6 89)216+ บวกเลขโดดในตาแหน่งหลงั เสน้ แบ่งด้านขวาทุกตาแหนง่ ท่ีมหี ลกั 11 22 ตรงกนั ลงมาไว้ใต้เสน้ 238 ถ้าผลรวมหลังเส้นแบง่ ด้านขวามือมีคา่ น้อยกว่าตวั หารสรุปไดว้ ่า จานวนท่ีได้คือเศษ จากการหาร ขน้ั ตอนท่ี 7 38 < 89 ดังน้นั ผลหารของการหาร 216 ดว้ ย 89 มคี า่ เทา่ กบั 2 เศษ 38 ตรวจคาตอบ (89 x 2) + 38 = 216
ตัวอย่างท่ี 3 จงหาร 3,124 ดว้ ย 7 เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 67 แนวคดิ เมอื่ ผลรวมหลังเส้นแบ่งด้านขวามือมคี ่ามากกวา่ ตัวหาร ต้องนาตัวเลขท่ีได้มาดาเนนิ การหารตอ่ ไปอกี เม่อื ผลรวมหลงั เสน้ แบ่งดา้ นขวามือมีค่ามากกว่าตวั หารแต่ จานวนตาแหนง่ เท่ากับตวั หาร ใหน้ ามาแปลงให้อย่ใู น รูปแบบนิขิลัมก่อนแลว้ จึงดาเนินการต่อ จาก 9 10 1 การแปลงเลข 9 เป็นนิขิลัม 11
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 68 ผลลพั ธข์ องการหาร 3124 ด้วย 7 คอื 3 10 3 2 1 3 1 เศษ 2 เทา่ กบั 432 13 1 446 เศษ 2 ในกรณีที่ตวั เลขมคี ่ามากกวา่ 5 อยูห่ ลายตัว เราอาจจะแปลงเลขโดดเหล่าน้ันโดยใชข้ ีดดา้ นบน เพอื่ คิด คานวณโดยใช้เลขโดดที่น้อยกว่า 5 จะสะดวกกว่า ดงั นี้ ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาร 98,564,318 ดว้ ย 9,886 แนวคดิ แปลง 98,564,318 โดยใช้นขิ ิลมั สูตร เพราะมีเลขโดดที่มีค่ามากกวา่ 5 อยหู่ ลายตัว จะได้ 98,564,318 =101444322 9886) 9856431 8 0 1 1 4 ) 1 0 1̅ 4̅ 4̅ 4 3 2 2̅ 0114 0000 0000 0 3̅ 3̅ ̅12̅ 000 0 1 0 0 3̅ 0 1 0 ̅10 2̅ ผลหารของการหาร 98,564,318 ด้วย 9,886 คือ 1003̅0 เศษ 101̅02̅ = 11̅02̅ 1003̅0 เศษ 11̅02̅ เทา่ กับ 9,970 เศษ 898 1003̅0 = 10,000 – 30 = 9,970 11̅02̅ = 1,000 – 102 = 898
1. 1,323÷9 เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 69 แบบฝึกหัด เรือ่ ง การหารโดยใชน้ ขิ ลิ ัมสตู ร 2. 1,568 ÷98 3. 54,023 ÷ 89 4. 335,328 ÷ 998 5. 1,340,729÷8,879 6. 1,428÷ 88
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 70 แบบฝึกหัด เร่อื ง การหารโดยใช้นขิ ิลัมสตู ร (ตอ่ ) 7. 3,400 ÷ 89 8. 11,311 ÷ 988 9. 204,351 ÷ 979 10. 324,413 ÷ 989 11. 1,304,351 ÷ 899 12. 79,168 ÷ 99
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 71 แบบฝกึ หดั เร่อื ง การหารโดยใชน้ ขิ ลิ ัมสตู ร (ตอ่ ) 13. 78,479 ÷ 97 14.129,790 ÷ 998 15. 198,073 ÷ 979 16. 997,881 ÷ 889
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 72 2.2 การหารโดยใชว้ ธิ พี าราวารท การหารโดยใช้วิธีพาราวารท มีความเหมาะสมกับตัวหารท่ีอยู่ในรูป 1abc วิธีน้ีจะต่างจากการหาร โดยวิธนี ขิ ิลมั ในข้ันตอนแรกสว่ นขั้นต่อไปคล้ายกัน ซง่ึ ถา้ ตัวหารอยู่ในรูป 1abc ตวั หารปรบั ปรุงใหม่ (MD) คือ a bc หน้าเลขโดดของ ตวั อย่างที่ 1 จงหาร 1,235 ดว้ ย 112 แนวคดิ ตัวหาร คอื 112 จะได้ MD = 1 2 เนอื่ งจาก MD มีเลขโดด 2 ตัว จะเขียน ตัวตั้ง 2 ตัวนบั จากทางขวา 112)1235 1̅ 2̅ 1̅ 2̅ 1̅ 2̅ 1103 ผลลพั ธค์ อื 11 เศษคือ 03 ดังนั้น 1235 ÷ 112 = 11 เศษ 3 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาร 1,354 ด้วย 184 แนวคิด พิจารณาตัวหารคือ 184 ถึงแมว้ ่าจะมี 1 นาหน้า แต่ตวั ตามคือ 8 จะทาใหค้ านวณลาบาก อาจจะใช้ วิธีการดงั นี้1 8 4 = 2 2̅4 1 8 4 = 2 2 4 เมอ่ื นา 2 ไปหารจะได้ 2 ) 2 2 4 = 1 1 2 2 ) 2 2̅ 4 ) 1 3 5 4 1 1̅ 2 1 2̅ 1 2̅ 4 8̅ 1 4 7 4̅ ** เนื่องจากนา 2 ไปหารตัวหารจงึ จะตอ้ งนา 2 ไปหารผลลพั ธ์ แต่ไม่ตอ้ งนา 2 ไปหารเศษที่ได้ดงั น้ี 14 ÷ 2 = 7 จาก 74̅= 70 – 4 = 66 จะได้ผลลัพธ์ คือ 7 เศษคือ 66 ดังนนั้ 1354 ÷ 184 = 7 เศษ 66
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 73 ตวั อย่างท่ี 3 จงหาร 112 ด้วย 89 แนวคดิ กรณนี ี้ตัวหารคือ 89 สามารถแปลงเป็น 11̅1̅จะใช้ 11̅1̅ เปน็ ตัวหาร 1 1̅ 1̅ ) 1 1 2 11 11 123 ผลลพั ธ์ คือ 1 เศษคือ 23 ดังน้ัน 112 ÷ 89 = 1 เศษ 23 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาร 13,254 ดว้ ย 1,132 แนวคิด 1132)13254 1̅ 3̅ 2̅ 1̅ 3̅ 2̅ 2̅ 6̅ 4̅ 1 2 3̅ 3̅ 0 1̅ 6 7 0 13 2 1̅ 7 10 2 80 2 ผลลพั ธ์ คือ 11 เศษคือ 802 ดังน้ัน 13,254 ÷ 1,132 = 11 เศษ 802
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 74 แบบฝึกหัด เรือ่ ง การหารโดยใช้วธิ ีพาราวารท 1. 1,235 ÷ 112 2. 81,937 ÷ 1,102 3. 131,503 ÷ 1,229 4. 13,891 ÷ 1,072 5. 2,253 ÷ 182 6. 14,850 ÷ 198
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 75 แบบฝึกหัด เร่ือง การหารโดยใชว้ ิธีพาราวารท 7. 197,960 ÷ 178 8. 124,312 ÷ 1,918 9. 76,848 ÷ 891 10. 17,885 ÷ 679 11. 3,564 ÷ 297 12. 890,188 ÷ 789
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 76 แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง การหารแบบเวทคณิต 1. 25,654 ÷ 101 2. 153,577 ÷ 1,121 3. 95,687 ÷ 102 4. 191,987 ÷ 1,032 5. 981,887 ÷ 9,889 6. 1,872,695 ÷ 8,821
7. 10,189 ÷ 318 เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 77 แบบฝกึ หัด เร่อื ง การหารแบบเวทคณติ 8. 225,024 ÷ 819 9. 1,753,244 ÷ 8998 10. 8,983,697 ÷ 8877
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 78 เอกสารอา้ งอิง นภิ าพร สัจจปยิ ะนจิ กุล. (ม.ป.ป.). แบบฝกึ ทักษะเวทคณิตพ้ืนฐาน เล่ม 1. กรงุ เทพฯ: บรษิ ทั สานักพมิ พ์ พบี ีซี จากดั . ศักดา บุญโต. (2543). เวทคณิต (Vedic Mathematics) : คณติ คิดลัดจากสตู รพื้นฐาน 16 สูตร. กรุงเทพฯ: ศลิ ปะการพิมพ์. สุทธิ ภิบาลแทน และ ผานติ ทรงสุนทร. (ม.ป.ป.). หลักการคดิ เลขเร็ว (Rapid Calculations). กรุงเทพฯ. (เอกสารอัดสาเนา). สมชาย ศรวี รางกูล. (2559). การลบแบบเวทคณิต. กรุงเทพฯ. (เอกสารอัดสาเนา). สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา. (2554). แบบฝกึ เสริมสร้างทักษะกระบวนการคิดสาหรบั นักเรยี นทม่ี ี ความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา เล่มท่ี 6 : เวทคณติ มหัศจรรย์. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว. Kenneth R. Williams. (2009). VEDIC MATHEMATICS TEACHER’S MANUAL ELEMENTARY LEVEL Published by Inspiration Books. Sri Sathya Sai Veda Pratishtan. (date unknown). Vedic Mathematics - Methods. Retrieved from http://vedamu.org/VedicMathematics.aspx
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 79 คณะทางาน ที่ปรึกษา 1. นายการุณ สกลุ ประดิษฐ์ เลขาธกิ ารคณะกรรมการการศึกษาข้นั พื้นฐาน 2. นายบุญรกั ษ์ ยอดเพชร รองเลขาธิการคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้นื ฐาน 3. นางสกุ ญั ญา งามบรรจง ผอู้ านวยการสานักวิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา รกั ษาการในตาแหน่งที่ปรกึ ษาดา้ นพฒั นากระบวน การเรยี นรู้ ผทู้ รงคณุ วฒุ ิ ข้าราชการบานาญ 1. นายสมชาย ศรีวรางกลู ขา้ ราชการบานาญ 2. นางสาวลัดดาวัลย์ ดา่ นศริ ิวิโรจน์ ผรู้ ับผิดชอบโครงการ กลุ่มพัฒนากระบวนการเรยี นรู้ สานักวชิ าการและมาตรฐานการศึกษา 1. นายธัญญา เรอื งแก้ว ผู้เชย่ี วชาญดา้ นติดตามตรวจสอบการดาเนนิ การบริหาร การจัดการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน 2. นางผาณติ ทวศี ักดิ์ นกั วิชาการศกึ ษา สานักวิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา 3. นางสาววรณนั ขนุ ศรี นกั วชิ าการศกึ ษา สานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา 4. นางบษุ ริน ประเสรฐิ รตั น์ นักวิชาการศกึ ษา สานกั วิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา 5. นางสาวภัทรา ดา่ นวิวัฒน์ นกั วิชาการศกึ ษา สานักวชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา 6. นางสาวอธิฐาน คงชว่ ยสถติ ย์ นักวชิ าการศกึ ษา สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา 7. นางสาววศินี เขยี วเขิน นกั วิชาการศกึ ษา สานักวชิ าการและมาตรฐานการศึกษา 8. นางสาวปรมาพร เรอื งเจริญ พนักงานธรุ การ สานกั วิชาการและมาตรฐานการศึกษา
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 80 คณะทางานพัฒนาเทคนคิ การคิดเลขเรว็ แบบอินเดีย (เวทคณิต) 1. นายปรีชา อรณุ สวัสดิ์ ข้าราชการบานาญ 2. นายประเสริฐ สุภริ ักษ์ ขา้ ราชการบานาญ 3. นายกระจาย คงสง ข้าราชการบานาญ 4. นายวิเชียร นกบิน ข้าราชการบานาญ 5. นางเยาวภา ศานติธรรม ศึกษานเิ ทศก์ 6. นายภัทรวัตฐ์ ซ่ือตรง สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 7. นางสาวประทมุ วนั ดอมไธสง ศึกษานิเทศก์ สานกั งานเขตพ้ืนที่การศึกษาประถมศึกษาสพุ รรณบุรี เขต 1 ศึกษานเิ ทศก์ 8. นางลัดดา ศรีทอง สานกั งานเขตพืน้ ท่ีการศึกษาประถมศึกษานครราชสีมา เขต 6 9. นายสาเรงิ รองในเมือง ศึกษานิเทศก์ 10. นางรัญญาภทั ร อัยรา สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาปทุมธานี เขต 1 ศกึ ษานิเทศก์ สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศกึ ษาตราด ศกึ ษานเิ ทศก์ 11. นายนพิ นธ์ สารถอ้ ย สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาอุทยั ธานี เขต 2 ศึกษานิเทศก์ สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษาน่าน เขต 2 12. นางสาวสาลินี จงใจสรุ ธรรม ศกึ ษานิเทศก์ 13. นางอานิซะห์ ประจนั สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศึกษาพัทลุง เขต 1 ศึกษานิเทศก์ 14. นายนริศ ไชยแกว้ สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษาปตั ตานี เขต 1 ผู้อานวยการโรงเรียนบ้านทา่ มะเด่ือ สานกั งานเขตพ้ืนที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 3 15. นางไพวรรณ นิมิตเกาะ ผ้อู านวยการโรงเรียนบา้ นทงุ่ เสือโทน 16. นางสกลรัตน์ หมน่ั ดี สานกั งานเขตพืน้ ท่ีการศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 3 ผูอ้ านวยการโรงเรยี นบ้านหนองขอน 17. นายกิติคณุ ดิลยานันท์ สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 3 ครูโรงเรียนอนบุ าลกาญจนบรุ ี สานกั งานเขตพนื้ ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 1 18. นางมณฑา ต้นโพธิ์ ครูโรงเรยี นวัดกร่างทองราษฎรบ์ รู ณะ 19. นางประนอม ทิมพทิ ักษ์ สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 1 ครโู รงเรยี นอนบุ าลวัดลูกแกประชาชนทู ิศ 20. นางสาวธานี เซย่ี นมนั่ สานกั งานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 2 ครูโรงเรยี นบา้ นทงุ่ ประทุน สานักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 2
เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 81 21. นายชาตรี อินตะ๊ ครโู รงเรยี นวัดเขาสะพายแรง้ 22. นางสาวสุจติ รา นาคนารี สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 2 23. นางสาวสริ ลิ ักษณ์ หวองเจรญิ พานิช ครูโรงเรียนวดั เบญพาด 24. นางสาววรัญญา เมตตาพล สานักงานเขตพน้ื ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 2 25. นายไพฑูรย์ เสมอตระกูล ครโู รงเรียนวัดดอนชะเอม 26. นายวัชรนิ ทร์ บรุ สั การ สานักงานเขตพืน้ ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 2 27. นายสิริวัสส์ ทัพสพั ครูโรงเรียนวดั ดอนแสลบ 28. นางสาวกงิ่ กาญจน์ สาลี สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 2 29. นางสาวศภุ ัชญา วเิ ชยี รรตั น์ ครโู รงเรยี นอนุบาลไทรโยค 30. นายกรวฒั น์ ภฆู ัง สานกั งานเขตพนื้ ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 3 31. นางสาวชนญั ชดิ า บุญลอย ครโู รงเรยี นวดั ปา่ ถ้าภเู ตย 32. นางนงนชุ กางอ่อน สานักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 3 33. นางสาวภัทรวดี ศรีธญั ญากร ครโู รงเรยี นบ้านบ้องตี้ 34. นางสุนันทา กาญจนภิญพงศ์ สานักงานเขตพนื้ ที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 3 35. นางสาวปาณิสรา ธิษาจารย์ ครโู รงเรียนไทรโยคใหญ่ 36. นางสาวศิราภรณ์ เทวะผลิน สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 3 37. นางธดิ ารตั น์ มุง่ งาม ครูโรงเรยี นบา้ นหาดง้วิ 38. นายไกวลั ย์ ถนอมสนิ สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 3 39. นางรัชกร เรอื นติ๊บ ครูโรงเรยี นบา้ นหนองปลิง สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบุรี เขต 4 ครูโรงเรียนบ้านเสาหงส์ สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศึกษากาญจนบุรี เขต 4 ครูโรงเรยี นบา้ นหนองขอนเทพพนม สานักงานเขตพนื้ ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครูโรงเรยี นบ้านตรอกสะเดา สานกั งานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครูโรงเรยี นป่าไม้อทุ ิศ 15 (บา้ นม่วงเฒ่า) สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครูโรงเรยี นบา้ นพรหมณี สานักงานเขตพ้นื ที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครูโรงเรียนบ้านหนองกระทุ่ม สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศึกษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครโู รงเรยี นบ้านวงั ดง้ สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษากาญจนบรุ ี เขต 4 ครโู รงเรียนบา้ นปิงใน สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษานา่ น เขต 1 ครโู รงเรียนพระพทุ ธบาทวทิ ยา สานักงานเขตพนื้ ที่การศึกษาประถมศกึ ษาน่าน เขต 2
40. นายเศกสรร ภทั รานรุ กั ษ์โยธิน เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 82 41. นางสาวจไุ รรัตน์ เอมสรรค์ 42. นางเครือวัลย์ ศรศี ักดา ครูโรงเรียนบา้ นหชู า้ ง 43. นางสาวสารวย หนูสม สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาอุทัยธานี เขต 2 44. นางสาวปาตียะ๊ มะสารี ครูโรงเรียนชุมชนบา้ นเมืองการุ้งมติ รภาพที่ 52 45. นางสาวดารูณี แวมานะ สานกั งานเขตพ้นื ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาอุทัยธานี เขต 2 46. นางสาวปราณี เชียงทอง ครูโรงเรยี นอนบุ าลควนขนุน 47. นางสาวจันทร์จริ า จิตนาวสาร สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศึกษาพัทลงุ เขต 1 48. นายนพดล ประจกั ษ์โพธา ครโู รงเรยี นวดั โงกน้า 49. นางสาวอษุ า อตชิ าตมิ ณี สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาพัทลงุ เขต 1 50. นางบญุ นาค สุริสาร ครูโรงเรียนบ้านรามง 51. นางสาวณภัทร ใจกลา้ สานักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศกึ ษาปัตตานี เขต 1 52. นายศิรสษิ ฐ์ เชอ้ื ทอง ครูโรงเรยี นบา้ นหนองแรต 53. นางสาวอริสา พงศส์ ุวรรณ สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษาปตั ตานี เขต 1 54. นายบรรหาร เชอ้ื ทอง ครโู รงเรียนบา้ นไม้รดู (วสิ ทิ ธิ์ประชาสรรค์) 55. นายคชานนท์ ธนะสกลุ สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาตราด 56. นางสาวศรญั ญา จินดา ครโู รงเรียนบ้านไมร้ ดู (วสิ ิทธิ์ประชาสรรค์) 57. นางนษิ ฐ์ธรยี ์ ดวงอาทิตย์ สานักงานเขตพน้ื ที่การศึกษาประถมศกึ ษาตราด 58. นางสาวเสาวณ์ ี วงษพ์ ัฒน์ ครโู รงเรยี นอนุบาลสุพรรณบุรี สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาสพุ รรณบรุ ี เขต 1 ครูโรงเรียนวดั หงส์ปทุมาวาส สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาปทุมธานี เขต 1 ครโู รงเรยี นขจรทรัพย์อารงุ สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษาประถมศึกษาปทุมธานี เขต 1 ครโู รงเรยี นวัดประยรุ วงศาวาส สานกั งานเขตพืน้ ท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากรุงเทพมหานคร ครโู รงเรียนวสิ ุทธรังษี สานกั งานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 ครูโรงเรียนร่มเกลา้ สานักงานเขตพ้นื ท่ีการศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 8 ครูโรงเรยี นเลาขวัญราษฎรบ์ ารงุ สานักงานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 8 ครูโรงเรยี นเลาขวญั ราษฎรบ์ ารุง สานกั งานเขตพน้ื ที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 ครูโรงเรยี นท่ามว่ งราษฎรบ์ ารุง สานกั งานเขตพื้นท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 ครูโรงเรยี นทา่ มว่ งราษฎรบ์ ารุง สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 ครูโรงเรยี นพระแท่นดงรงั วิทยา สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 8
59. นางสาวศริ พิ ร วชั รชยั โสภณสิริ เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 83 60. นางบษุ รา ประชากุล ครโู รงเรยี นทา่ มะกาวิทยาคม สานกั งานเขตพ้นื ที่การศึกษามธั ยมศึกษา เขต 8 61. นางพิมพา แพทยว์ งค์ ครโู รงเรียนทองผาภูมิวิทยา สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 8 62. นายปยิ วิทย์ เหลอื งระลกึ ครโู รงเรียนทองผาภูมวิ ิทยา สานักงานเขตพืน้ ท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 63. นายลือชยั ทิพรงั ศรี ครโู รงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรนี ครินทร์ กาญจนบุรี สานกั งานเขตพื้นท่กี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 8 คณะบรรณาธิการกจิ ครูโรงเรยี นหนองฉางวทิ ยา 1. นายสมชาย ศรีวรางกูล สานักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามธั ยมศึกษา เขต 42 2. นางสาวลัดดาวลั ย์ ด่านศิริวิโรจน์ 3. นายปรีชา อรณุ สวัสดิ์ ข้าราชการบานาญ 4. นายประเสรฐิ สุภิรักษ์ ข้าราชการบานาญ 5. นายกระจาย คงสง ข้าราชการบานาญ 6. นายวเิ ชียร นกบิน ขา้ ราชการบานาญ 7. นายภทั รวัตฐ์ ซือ่ ตรง ข้าราชการบานาญ ข้าราชการบานาญ 8. นางสาวประทมุ วนั ดอมไธสง ศกึ ษานิเทศก์ สานกั งานเขตพืน้ ที่การศึกษาประถมศึกษาสุพรรณบรุ ี เขต 1 9. นายลอื ชัย ทิพรังศรี ศกึ ษานิเทศก์ สานักงานเขตพ้นื ท่ีการศึกษาประถมศึกษานครราชสีมา เขต 6 10. นายธญั ญา เรอื งแก้ว ครโู รงเรียนหนองฉางวิทยา สานกั งานเขตพ้ืนท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา 42 11. นางผาณติ ทวศี กั ด์ิ ผู้เชยี่ วชาญดา้ นติดตามตรวจสอบการดาเนนิ การบรหิ ารการ จัดการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน 12. นางสาววรณนั ขุนศรี นกั วชิ าการศึกษา สานักวชิ าการและมาตรฐานการศกึ ษา 13. นางบุษรนิ ประเสริฐรตั น์ นกั วิชาการศึกษา สานกั วิชาการและมาตรฐานการศึกษา 14. นางสาวภทั รา ด่านวิวฒั น์ นักวิชาการศกึ ษา สานักวิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา 15. นางสาวอธฐิ าน คงชว่ ยสถติ ย์ นกั วชิ าการศึกษา สานกั วิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา นกั วชิ าการศกึ ษา สานกั วิชาการและมาตรฐานการศึกษา
ออกแบบปกและจดั ทารปู เล่ม เ ว ท ค ณิ ต V e d i c M a t h e m a t i c s | 84 1. นางสาวณภัทร ใจกลา้ ครโู รงเรียนวัดประยุรวงศาวาส 2. นางสาวศรญั ญา จินดา สานักงานเขตพ้ืนท่ีการศึกษาประถมศกึ ษากรุงเทพมหานคร ครโู รงเรียนท่าม่วงราษฎรบ์ ารุง 3. นายภัทรวตั ฐ์ ซอื่ ตรง สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศึกษา เขต 8 ศกึ ษานเิ ทศก์ 4. นางสาววรณนั ขนุ ศรี สานักงานเขตพื้นท่ีการศึกษาประถมศกึ ษาสุพรรณบุรี เขต 1 นกั วิชาการศกึ ษา สานักวิชาการและมาตรฐานการศกึ ษา
Search
