CONTOH SOAL 8 = lim ������������������ ������ − ������ − lim ������ 4 ������ lim ������������������ 1 − ������ − 5������ = … ������ →0 ������ →0 ������ 4 ������→∞ Susbtitusi u = 0 maka diperoleh : 1 1 Misalkan u = ������ x = ������ ������ ������ 4 ������ Untuk x → ∞ maka 1 → 0 atau u → 0 = lim ������������������ ������ − − lim ������ ������ →0 ������ →0 sehingga bentuk limit dapat diubah ke dalam lim ������������������ − ������ −∞ 4 variable u seperti berikut ini = ������ →0 Sin (− α) = − sin α lim ������������������ ������ − ������ − ������ = … −∞ 4 ������ ������ →0 ������ 4 = lim − ������������������ ������ →0 Fungsi trigonometri Fungsi aljabar 1 Sin ������ = sin 450 = ������ ������ Harus dipisah 2 ������ ������ − 2 −∞ = = −∞ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 9 lim ������������������2 ������ = … Untuk soal yang tidak bisa menggunakan permisalan berikut maka ������2 −5 kita akan menggunakan rumus limit tak hingga ������ →∞ ������������ − ������������ = (a + b)(a – b) a = θ b = ������ Arakan ke bentuk rumus limit tak hingga sin ������ lim ������ =0 sehingga harus dikalikan dengan : 1ൗ������ sin ������ ∙ sin ������ 1ൗ������ ������→∞ ������+ 5 ������ − 5 = lim ∙ Maka setiap suku kita bagi dengan θ ������ →∞ a=1 sin ������ ∙ sin ������ a=1 n=m maka R = ������ = 1 = 1 ������ ������ ������ 1 = lim p=1 ������ + 5 ������ − 5 ������ →∞ ������ ������ 0 ∙0 0 n=1 n=1 = 11 = 1 =0 m=1 m=1 p=1 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 10 Untuk soal yang tidak bisa menggunakan permisalan lim 3������+ ������������������2 3������+1 = …. berikut maka kita akan menggunakan rumus limit tak 7−4������ hingga ������→∞ Arakan ke bentuk rumus limit tak hingga 1ൗ������ lim cos ������ =0 sehingga harus dikalikan dengan : 1ൗ������ ������ lim 3������+ ������������������2 3������+1 ∙ ������→∞ = 7−4������ ������→∞ Maka setiap suku kita bagi dengan x a=3 n=1 = lim 3������������+ cos 3������+1 ∙cos 3������+1 ������ ������ 7−4������ ������→∞ ������ n=1 m=1 a = −4 m=1 p=1 p=1 n=m maka ������ = 3 = 3 3+ 0 0 3+0 − ������ 1 −4 −4 ������ R = ������ = = = n=m maka ������ = −4 = −4 1 R = ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
◼ Turunan Trigonometri bentuk 1, yaitu penjumlahan dan pengurangan y = f(x) = u(x) ± v(x) maka ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ ± ������′ ������ atau ������ ������ ± ������ = ������′ ± ������′ ������������
RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI Turunan Fungsi Trigonometri: ������ ������ = sin ������ → ������′ ������ = cos ������ ������ ������ = cos ������ → ������′ ������ = − sin ������ ������ ������ = tan ������ → ������′ ������ = ������������������2������ ������ ������ = ctg x → ������′ ������ = − cosec2 x ������ ������ = sec x → ������′ ������ = sec x. tg x ������ ������ = cosec x → ������′ ������ = − cosec x cotg x Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 : Turunan pertama dari : f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 y = 4x –5 + sin 3x + cos 4x ������′ = 4(–5) x –5 – 1 + cos 3x ( 3 ) + (−sin 4x)( 4 ) ������′ = –20x –6 + 3 cos 3x − 4 sin 4x ������−������ = ������ ������������ ������′ = −20 + 3 cos 3x − 4 sin 4x ������6 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 : Jika y = cos 3 , maka ������������ =… ������ ������ ������������ ������−������ = ������ ������ ������ 3 = ������������������ ������ → ������′ ������ = − ������������������ ������ ������ 3������−1 f(x) y = cos = cos = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 ������′ = − sin ������x –1 −������x –2 ������ f(x) = ������������−������maka ������′ ������ = 3.(−������)x –1 – 1 = −������x –2 ������ ������′ = ������������−������ ∙ ������−������ = ������′ = ������ ∙ ������������������ ������ = 7 cos (2x3 – x2) ������������������ ������x –1 ������������ ������ CONTOH SOAL 3 maka : Turunan pertama dari f(x) adalah ������′(x) = ….. f(x) = 7 cos (2x3 – x2) ������ ������ = ������������������ ������ → ������′ ������ = − ������������������ ������ f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 ������′(x) = 7 (−sin (2x3 – x2)) ( 6x2 – 2x ) f(x) =2x3 – x2 maka ������′(x) = − 7 sin (2x3 – x2)(6x2 – 2x ) ������′ ������ = 2.(������)x 3 – 1 – 1.(������)x 2 – 1 = 6x2 – 2x ������′(x) = (− 42x2 + 14x )sin (2x3 – x2) Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 : Turunan pertama dari : T(x) = (sin x + 1)(sin x – 2) adalah …(Petunjuk : sin2 x = 1 − 1 cos 2x) 2 2 T(x) = sin2 x – 2 sin x + sin x – 2 = sin2 x – sin x– 2 T(x) = 1 − 1 cos 2x – sin x – 2 = − 1 cos 2x – sin x – 4 + 1 2 2 2 2 2 T(x) = − 1 cos 2x – sin x – 3 f(x) = k maka ������′ ������ = 0 2 2 ������′ ������ = − 1 (−sin 2x)( 2 ) – cos x – 0 2 kali ������′ ������ = sin 2x – cos x Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 5 : Jika f(x) = 3 cot x maka ������′( ���3���) adalah … f(x) = 3 cot x ������′(x) = 3 (– cosec2 x) Cosec a = ������ ������ ′ (���3���) cosec2 (���3���) ������������������ ������ = – 3 ������ = ������������������������ = ������������������ ������ ������ ������′(���3���) = – 3 ∙ ������ ∙ ������ ������������������ ������������������ = ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������′(���3���) = – 3 ∙ ������ ∙ ������ = – 3 ∙ ������ ∙ ������ =–3 ∙ ������ = –4 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ∙ ������ = ������ Tanda bagi jadi kali maka harus dibalik
CONTOH SOAL 6 : f(x) = sin 2x + cos 3x maka ������′ ������ =… 4 f(x) = sin 2x + cos 3x ������′(x) = cos 2x ( 2 ) + (−sin 3x)( 3 ) ������′(x) = 2 cos 2x − 3 sin 3x ������ = ������������������������������= ������������������ ������ ������ ������ ������ ������′ 4 = 2 cos 2 4 − 3 sin 3 4 ������������ = ������ ∙ ������������������������ = ������������������������ ������ ������ ������′ ������ = 2 cos ������������������ − 3 sin ������������������������ ������������������ ������������������ = ������ 4 ������������������ ������������������������ Kuadran II ������ Sin (180 – 45) ������′ ������ = 2(0)− 3( ������ )= 0 – ������ ������ = – ������ ������ Sin ������������������ = ������ 4 ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati dan ������′ ( ������ ) = 3, a+ 4 Jika f(x) = a tan x + bx CONTOH SOAL 7 : ������′( ������ ) = 9 maka a + b = b=3+ (–3) 3 f(x) = a tan x + bx ������ ������ = ������������������ ������ → ������′ ������ = ������������������������������ a+b=3–3 ������ ������ = ������ → ������′ ������ = ������ a+b=0 ������′(x) = a ������������������������������+ b ������ ������������������ ������������������ = ������ Tanda bagi jadi kali ������ sec a = ������������������ ������ maka harus dibalik ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ❖ ������ ′ ( 4 ) = 3 ������′ 4 = a∙ ������������������ ������������������ ∙ ������������������ ������������������ + b = a∙ ∙ + b= a∙ ������ ∙ ������ +b ������ ������ ������ = ������������������������ = ������������������ 3 = a∙ ������ ������ ������ ������ ������ ������ + b 3 = 2a + b ……………… (pers. 1) ❖ ������ ′ ( ������ ) = 9 ������′ ������ = a∙ ������ ∙ ������ + b = a∙ ������ ∙ ������ + b = a∙ ������ ∙ ������ + b 3 3 ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������ ������ = ������������������������ = ������������������ ������ ������ ������������������ = ������ 3=6+b ������ ������ ������ 9 = 4a + b ………(pers 2) ������������������ 3 = 2a + b Eliminasi persamaan (1) dan (2) : 3–6=b 9 = 4a + b – a = −6 =3 3 = 2a + b 3 = 2(3) + b b=–3 – 6 = – 2a −2
◼ Turunan Trigonometri bentuk 2, yaitu Dalil Rantai y = f(x) = u(x) ± v(x) maka ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ ± ������′ ������ atau ������ ������ ± ������ = ������′ ± ������′ ������������
Rumus umum dalil rantai untuk fungsi trigonometri : ❖������ ������ = ������. (������������������ ������)������ ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ ❖������ ������ = (������������������ ������)������ ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ −������������������ ������ ∙ ������′ ❖������ ������ = (������������������ ������)������ ������′ ������ = ������. ������ ������������������ ������ ������������������������������ ∙ ������′ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Turunan pertama dari f(x) = sin4(3x2 – 2) adalah f(x) = sin4(3x2 – 2) f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 k=1 n=4 u = 3x2 – 2 f(x) = k maka ������′ ������ = 0 ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ u = 3x2 – 2 maka ������′ ������ = 3. 2 x2 – 1 – 0 = 6x ������′ ������ = (������). (������) ������������������������ −������ 3x2 – 2 ������������������(3x2 – 2) ∙ ������������ ������′ ������ = ������ ������������������������ 3x2 – 2 ������������������(3x2 – 2) ∙ ������������ ������′ ������ = ������������������ ∙ ������������������������ 3x2 – 2 ∙ ������������������(3x2 – 2) Sin 2a = 2 sin a. cos a ������′ ������ = ������ ∙ ������������������ ∙ ������������������������ 3x2 – 2 ∙ ������������������ 3x2 – 2 ∙ ������������������(3x2 – 2) ������′ ������ = ������������������ ∙ ������������������������ 3x2 – 2 ∙ ������������������ ������ 3x2 – 2 = ������������������ ∙ ������������������������ 3x2 – 2 ∙ ������������������ 6x2 – ������
CONTOH SOAL 2 : Tentukan turunan pertama dari : y = ������ ������������������������(������������+ ������) y = ������ ������−������ = ������ y = 3 sin−2(3x + π) ������������������������(������������+ ������) ������ k = 3 n = – 2 u = 3x + ������ f(x) = x maka ������′ ������ = 1 ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ f(x) = k maka ������′ ������ = 0 ������′ ������ = (������). (– 2) ������������������ −2 −������ 3x + π u = 3x + ������ maka ������′ ������ = 3 + 0 = 3 ������������������(3x + π) ∙ ������ ������′ ������ = –������ ������������������ −3 3x + π ������������������(3x + π) ∙ ������ Cotan a = ������������������ ������ ������′ ������ = + = ������������������ ������ –������������ ∙ ������������������ 3 ������ π ∙ ������−������ = ������ π) −������������ ������������������(3x + π) ∙ 3x ������������������ 2 3x + π ∙ ������������������ 3x + π ������������������(3x ���+��� ������′ ������ = −������������ ������������������������������ (������������ + ������) ������������������ ������ ������������ + ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 : Turunan pertama ������ ������ = ������ ������������������������ ������������������ + ������������ f x = 3 cos2 3x2 + 5x ������ ������������ = ������ f x 2 3x2 + 5x ������ ������ = cos3 k=1 n = 2 u = ������������������ + ������������ f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 3 f(x) = x maka ������′ ������ = 1 ������′ ������ = ������. ������ ������������������ ������−������ ������ −������������������ ������ ∙ ������′ u = ������������������ + ������������ maka ������ ′ ������ 2 2 − ������ ������������������ = 3. 2 x2 – 1 + 5 = 6x + 5 ������′ ������ = (������). 3 ������������������ 3 + ������������ − ������������������(������������������ + ������ ������������������ + ������������) ∙ 6x + 5 = ������ ������′ ������ 2 ������������ ∙ ������������ = ������������+������ ������′ ������ 3 2 ������−������ = − 6x + 5 ������������������ ������������ ������������������ 3 ������������������ + ������������ ∙ ������������������ −������ ������������������ + ������������ 2 6x + 5 ������������������(������������������ + ������������) 2 ������������������ + ������������ Tan a = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ 3 = ������ 3 ������������������ ������������������ + ������������ ������ ������������ = ������ ������ ������′ ������ = − ������ 6x + 5 ������������������ ������������������ + ������������ ������ ������������������������ ������������������ + ������������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 : Jika f(x) = ������ + ������������, maka ������ (������(������������������ x )) = .... ������������ x = ������������������ x ������ ������������ ������ f(x) = ������ + ������������ = u = ������ maka ������′ ������ = 1 ������ ������ ������ f(x) = ������ + ������������������ ������ ������ ������ f(x) = k maka ������′ ������ = 0 k=1 n = 1 u = ������ + ������������������ ������ ������ u = ������ + ������������������ ������ ������ f(x) = x maka ������′ ������ = 1 2 n=2 u=x ������′ ������ = ������. ������ ������ ������−������ ∙ ������′ k=1 ������′ ������ = ������ + ������. ������ ������������������ ������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ ������′ ������ = (������). ������ ������ + ������������������ ������ ������ ������ − ������ ∙ ������������������ ������������ ������′ ������ = (������). ������ ������������������ ������ − ������ ������ ������������������ ������ ∙ ������ ������ ������ ������ −������������ ∙ ������−������ = ������ ������′ ������ = ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������ ������′ ������ = ������ + ������������������ ������ ������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ = ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������′ ������ = ������������������ ������������ ������′ ������ = ������������������ ������������ ������ ������������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ + ������������������ ������ ������ ������ ������′ ������ = ������������������ ������������ ������ ������ + ������������������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 :Jika f(x) = sec2(x + π2) maka tentukan nilai dari ������f+’���2��� (π2) + f’(-45) f(x) = ������������������������(������ + ������������) u = f(x) = x maka ������′ ������ = 1 f(x) = k maka ������′ ������ = 0 k= 1 n=2 ������′ ������ = ������. ������ ������������������ ������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������������������ ������ ∙ ������′ u = ������ + ������ maka ������′ ������ =1+ 0 = 1 2 ������′ ������ = (������). (������) ������������������ ������−������ x + π ������������������ x + π ∙ ������������������ x + π ∙ ������ 2 2 2 π π π = ������������������������������= ������������������ ������′ ������ = ������ ������������������ x + 2 ������������������ x + 2 ∙ ������������������ x + 2 ������ ������������������ ������������������������ = ������ ������ ������������������������ ������′ ������������������ = ������ ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������ ������������������ + ������������������ ∙ ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������ ������′ ������������������ = ������ ������������������ ������������������������ ������������������ ������������������������ ∙ ������������������ ������������������������ ������������������ ������������������������ = ������ ������������������ ������������������������ = ������ = −������ −������ ������′ ������������������ = ������ −������ −������ ������ = ������ ������������������ ������������������ = ������ ������������������ ������������������ ������′ −������������������ = ������ ������������������ −������������������ + ������������������ ������������������ −������������������ + ������������������ ∙ ������������������ −������������������ + ������������������ ������������������ ������������������ = ������ = ������ ������′ −������������������ = ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ∙ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ = ������ ������ൗ������ ������ ������′ −������������������ = ������ ������ ������ (1) = ������ = 4 maka ������′ ������������������ + ������′ −������������������ = 0 + 4 = ������ ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 : f(x) = ������������������������������������ + ������������������������������������ , ������������������������ ������′ ������ adalah…. ������ f(x) = ������������������������������������ + ������������������������������������ f(x) = x maka ������′ ������ = 1 u =3������ maka ������′ ������ = 3 k=1 n=2 u = 3������ k=1 n=2 u = 2������ u =2������ maka ������′ ������ = 2 ������′ ������ = ������. ������ ������������������ ������−������ ������ −������������������ ������ ∙ ������′ + ������. ������ ������������������ ������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ ������′ ������ = (������). (������) ������������������ ������ −������ ������������ −������������������ ������������ ∙ ������ + (������). (������) ������������������ ������−������ ������������ ������������������ ������������ ∙ ������ ������′ ������ = −������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ + ������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������ = ������������������������������= ������������������ ������ ������ ������ ������������������ ������������������ = f ′ ������������������ = −������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ + ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ = 1 ������ f ′ ������������������ = −������ ������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������������������ ������������������ = ������ ������ ������ ������ f ′ ������������������ = ������ + ������ ������ ������ ������������������ ������������������ = 0 ������ ������′ ������������������ = ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
◼ Turunan Trigonometri bentuk 3, yaitu Teorema Perkalian y = f(x) = u(x) ± v(x) maka ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ ± ������′ ������ atau ������ ������ ± ������ = ������′ ± ������′ ������������
CONTOH SOAL 1 makaf(x) = ( 3x – 2 ) sin2 (2x + 1) maka nilai dari ������′(x) u = 3x – 2 ������′= 3 f(x) = x maka ������′ ������ = 1 k = 1 n = 2 u = 2x + 1 f(x) = k maka ������′ ������ = 0 v = sin 2 (2x + 1) maka ������′= ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ f(x) = u . v maka ������′= (������). (������) ������������������������−������ ������������ + ������ ������������������(������������ + ������ ∙ ������ ������′= ������ ������������������ ������������ + ������ ������������������(������������ + ������ ∙ ������ ������′(x) = ������′������ + ������������′ sin 2a = 2 sin a cos a ������′= 2 sin 2(2x + 1) = 2 sin (4x + 2) ������′(x) = 3 sin 2 (2x + 1) + (3x – 2 ). 2 sin (4x + 2) ������′(x) = 3 sin 2 (2x + 1) + (6x – ������ ). sin (4x + 2) Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 : Turunan pertama y = x3 tan 3x adalah … makau = x3 ������′= (1)(3)x 3 – 1 f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 ������′= 3x 2 v = tan 3x maka ������′= sec 2 3x . ( 3 ) = 3 sec 2 3x ������′ = ������′������ + ������������′ ������′ = 3x 2 tan 3x + x3 . 3 sec 23x ������′ = 3x 2 tan 3x + 3x3sec 2 3x Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 makaTentukan turunan pertama dari y = cos (2x – 3) sin (3x+ 6) u = cos (2x – 3) ������′= − ������������������ (2x – 3) . ( ������ ) = −������ ������������������ (2x – 3) v = sin (3x+ 6) maka ������′= cos (3x+ 6) . ( 3 ) = 3 cos (3x+ 6) ������′ = ������′������ + ������������′ ������′ = −������ ������������������ (2x – 3) . sin (3x+ 6) + cos (2x – 3) . 3 cos (3x+ 6) ������′ = −������ ������������������ (2x – 3) . sin (3x+ 6) + 3 cos (2x – 3) cos (3x+ 6) Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 : Fungsi ������(������) = (������������������������ ������ − ������ ������)(������ + ������������������ ������) mempunyai turunan … ������������������ ������ ������������������ ������ (sin1 cos xx)(1 ������������������ ������ = Cotan a = ������������������ ������ sin f(x) = x − + cos x) f(x) = (1 −cos x)(1 + cos x) ������������ − ������������ = (a + b)(a – b) sin x cos2 x + sin2 x = 1 f(x) = 1 − cos2 x sin2 x = 1 – cos2 x sin x f(x) = sin2 x = sin x . sin x sin x sin x ������ ������ = sin ������ maka ������′ ������ = ������������������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 5 : y = sin x cos 3x maka ������′ ������ ������ = ������������������������ = ������������������ ������ ������ ������ ������′(x) = cos x u(x) = sin x ������ ������ ������������������) ������������������ ������ ������ u( = sin = ������′( ������������������) = cos ������������������ = ������ V(x) = cos 3x ������′(x)= – sin 3x . ( 3 ) V( ������������������) = cos 3( ������������������) = cos ������������������ = 0 ������′(x)= –������ sin 3x ������′ = ������′������ + ������������′ ������′( ������������������)= –������ sin 3( ������������������) ������′( ������������������)= –������ sin ������������������ ������′ = ������ ������ (0) + ������ (–������ ) ������′( ������������������)= –������ (1) = –������ ������ ������ ������′ = ������ − ������ = − ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 : Diketahui f(x) = (1 + sin x)2 . (1 + cos x)4 dan f’(x) adalah ������������) = ������ ������������������������ u(x) = (1 + sin x)2 turunan pertama f(x). Nilai f’( … ������ = ������ = ������������������ u( ������������������) = 1 (1 + sin ������������������)2 k= n=2 u = ������ + ������������������ ������ u( ������������������) = (1 + 1)2 = 22 = 4 ������′ ������ = ������. ������ ������ ������−������ ∙ ������′ ������′ =������ + ������������������ ������ ������′ = ������������������ ������ V(x) = (1 + cos x)4 ������′(x) = (1)(2) (1 + sin x)2 - 1 (cos x) V( ������������������) = (1 + cos ������������������)4 ������′( ������������������) = 2 (1 + sin ������������������) (cos ������������������) V( ������������������) = (1 + 0)4 = 14 = 1 ������′( ������������������) = 2 (1 + 1) (0) = 0 ������′ = ������′������ + ������������′ k=1 n=4 u = ������ + ������������������ ������ ������′ = ������ (1) + ������ (–������ ) ������′ ������ = ������. ������ ������ ������−������ ∙ ������′ ������′ =������ − ������������������ ������ ������′ =−������������������ ������ ������′ = ������ –������������ ������′(x)= (1)(4) (1 + cos x)4 - 1 (– sin x) ������′ = –������������ ������′( ������������������)= 4 (1 + cos ������������������)4 - 1 (– sin ������������������) ������′( ������������������)= 4 (1 + 0)3 (– 1) Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati ������′( ������������������)= 4 (1)3 (– 1) = – 4
CONTOH SOAL 7 : Jika h(x) = x2 cot x maka h' ( ������������) = … ������ = ������������������������ = ������������������ ������ ������ ������′(x) = (1)(2)x 2 – 1 U(x) = x2 ������′(x) = 2x f(x) = a.xn maka ������′ ������ = a.(n)xn – 1 U(������������) = ( ������������)2 ������′(������������) ������ ������ Cotan ������������������ = ������ = ������ =1 ������ ������ ������������������ ������������������ ������ ������������ = 2 . = v (x) = cot x U(������������) = ������������ v ( ������������������) = cot ������������������ = 1 ������ ������′ = ������′������ + ������������′ ������������ ������′(x) = − cosec 2 x Cosec a = ������������������ ������ ������������ ������′ = ������ (1) + (–������ ) ������′( ������������������) = − cosec 2 ������������������ ������ ������������ ������′( ������������������) = − 1 ������′ = ������ − ������ sin ������������������ ∙sin ������������������ ������ ������������������ ������������������ = ������ ������′ = ������ ������ − ������ ������′( ������������������) = − =1 − 1 ������ ������ ������ ∙ ������ ������ ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati ������′( ������������������) = − 4 = −������ ������
◼ Turunan Trigonometri bentuk 4, yaitu Teorema Pembagian y = f(x) = u(x) ± v(x) maka ������′ = ������′ ������ = ������′ ������ ± ������′ ������ atau ������ ������ ± ������ = ������′ ± ������′ ������������
Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Contoh Soal 1: Tentukan ������ 2 + ������ ������ = ������ 1 makau = 2 + x ������′ = : ������������ sin 2������ makav = sin 2x f(x) = x maka ������′ f(x) = k maka ������′ ������ = ������ ������′= cos 2x ( 2 ) = 2 cos 2x Contoh Soal 2 :������′ =������′���������−���������������������′ =������������������������������������ − ������+������ ������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ − ������+������������ ������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������ ������������������ ������ ������������ = = … ������′ ������ = 1 Tentukan ������ ������������������2 ������ makau = ������������������������ ������ : ������������ ������ makav = x ������′ = ������ ������������������ ������ ������������������ ������ = sin 2x k=1 n=2 u=x ������′= ������ f(x) = x maka ������′ ������ = ������ ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ ������′ =������′���������−���������������������′ = ������������������ ������������ ������ − ������������������������ ������ ������ = ������ ∙ ������������������ ������������− ������������������������ ������ ������ ������ ������������
Contoh Soal 3 : 1+cos ������ Turunan pertama dari fungsi y = sin ������ u = 1 + cos x maka ������′ = − sin x f(x) = cos x maka ������′ ������ = −������������������ ������ v = sin x maka ������′= cos x f(x) = k maka ������′ ������ = ������ ������′ = ������′������−������������′ = −������������������ ������ ������������������ ������ − ������+������������������ ������ ������������������ ������ ������������ ������������������ ������ ������ cos2 x + sin2 x = 1 ������′ = −������������������ ������ ������ − ������������������ ������ +������������������ ������ ������ = −������������������ ������ ������ − ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ sin2 x = 1 – cos2 x ������������������ ������ ������ cos2 x ������������������ ������ ������ + sin2 x = 1 ������′ = − ������������������ ������ ������ +������������������ ������ ������ − ������������������ ������ = −������ − ������������������ ������ = − ������+ ������������������ ������ ������ − ������������������ ������ ������ ������ −������������������ ������ ������+������������������ ������ ������ −������������������ ������ ������+������������������ ������ ������������ − ������������ = (a + b)(a – b) ������′ = − ������ ������ −������������������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Contoh Soal 4 : cos ������ −sin ������ Turunan pertama dari fungsi y = cos ������+sin ������ = ������′������−������������′ ������′ = − sin cos x ������������ makau = cos x – sin x ������′= − sin x − ������′ makav = cos x + sin x x + cos x ������′ = − sin x − cos x cos x + sin x − cos x – sin x − sin x + cos x cos x + sin x ������ ������′ = − sin x + cos x sin x + cos x − cos x – sin x cos x − sin x ������′ = − cos x + sin x ������ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 sin x + cos x ������ − cos x – sin x ������ cos x + sin x ������ ������′ = − ������������������������������+������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ − ������������������������������ − ������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ ������������������������������+������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Lanjutan Contoh Soal 4 : cos2 x + sin2 x = 1 ������′ = − ������������������������������+������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ − ������������������������������ − ������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ ������������������������������+������������������������ ������ ������������������ ������+ ������������������������������ ������′ = − ������+ ������������������������ ������ ������������������ ������ − ������ − ������������������������ ������ ������������������ ������ ������ +������������������������ ������ ������������������ ������ ������′ = −������− ������������������������ ������ ������������������ ������ − ������+ ������������������������ ������ ������������������ ������ 2 sin a cos a = sin 2a ������ +������������������������ ������ ������������������ ������ ������′ = −������ ������ +������������������ ������������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Contoh Soal 5: sin 2������−cos ������ Turunan pertama dari g(x) = cos 4������ u(x) = sin 2x – cos x adalah g'(x). Nilai dari g'(���4���) = ������ = ������������������������ = ������������������ u(������������������) = sin ������ . ������������������ – cos ������������������ ������′ x = ������ ������������������ ������������ + sin ������ ������ x u(������������������) = sin ������������������ – cos ������������������ ������′ . ������������������ = ������ ������������������ ������ . ������������������ + sin ������������������ u(������������������) ������ ������ − ������ ������′ . ������������������ = ������ – ������ ������ = ������ ������′ . ������������������ = ������ ������������������ ������������������ + sin ������������������ = ������ + ������ ������ = ������ ������ ������ ������ v(x)= cos 4x v(������������������)= cos 4 . ������������������ ������′ = ������′������−������������′ = –������������ ������ − ������ − ������ 0 v(������������������)= cos ������������������������ = –������ ������������ ������ ������ –������ ������ ������′(x) = − 4 sin 4x ������′= −������������ ������− ������ = − ������ ������ ������′(������������������) = − 4 sin 4 . ������������������ ������ ������ ������′(������������������) = − 4 sin ������������������������ ������′(������������������) = − 4 (0) = 0 Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Contoh Soal 6:u(x) = cos x ������������������ ������ Nilai f '(���4���) = ������������������������ u(������������������) = cos ������������������ D������������′′i((kxxe)) t==a���h������′������u������������i���+���f������(���x������������′)���������=��� ������������������s+���e���c������x������������=������������������������������������������������������������������. ������������������������������ ������ = ������ = ������������������ ������ u(������������������) = ������ ������ ������′(������������������) = ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ + ������������������ ������������������ ������ ∙ ������ ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������′ x = − sin x ������′(������������������) = ������ ������ 1 + ������ ������ ������ ∙ ������ ������ ������ ������ ������ ������′ ������������������ = − sin ������������������ ������′(������������������) ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������′(������������������) ������ = ������ + ������ ∙ = ������ ������ + ������ ������ = − ������ ������′(������������������) ������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = = v(x) = sin x tan x ������′ = ������′������−������������′ = −������������ ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������ v(������������������) = sin ������������������ tan ������������������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ v(������������������) = ������ ������ ������ −������������ −������������ ������ v(������������������) = ������ ������ ������′= ������ = − ������ ∙ ������ = –������ ������ ������ ������ ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Contoh Soal 7: cos ������ ������ sin ������ +������ Jika y = 5 + sin ������ , jika y' = 5 + sin ������ 2 maka a . b = …. u(x) = cos x v(x) = 5 + sin x ������′ x = − sin x ������′(x) = cos x ������′ = ������′������−������������′ = − sin x 5 + sin x − cos x cos x cos2 x + sin2 x = 1 ������������ 5 + sin x ������ ������′= −������ ������������������ ������ − ������������������������ ������ − ������������������������ ������ = −������ ������������������ ������ − ������������������������ ������ + ������������������������ ������ ������+������������������ ������ ������+������������������ ������ ������ ������ ������ sin ������ +������ −������ ������������������ ������ −������ a=−5 a . b = (− 5)(− 1) ������+������������������ ������ ������ b=−1 a.b=5 5 + sin ������ 2 = Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Contoh Soal 8: Diketahui f(x) = cos 6������ maka nilai ������′ ������ =… 1+ sin ������ 2 u(x) = cos 6x ������ ������������������������ u(������������������) = cos ������ . ������������������ ������ = ������������������������ v(x) = ������ + ������������������ ������ ������ = ������ = ������������������ u(������������������) = cos ������������������������ v(������������������) = ������ + ������������������ ������������������ v(������������������) = ������ + ������ = 2 u(������������������) = cos ������ ∙ ������������������������ + ������������������������ ������′ ������ = ������. ������ ������������������������−������ ������ ������������������ ������ ∙ ������′ u(������������������) = cos ������������������������ = − 1 ������ v(x) = ������ + ������������������ ������ ������ ������′ = ������ ������′ x= − 6 sin 6x k=1 n = ������ u =������ ������ ������ ������′ ������������������ ������ ������ ������′ ������������������ ������−������ = dan ������ ������������ = ������ ������ ������′ ������������������ = − 6 sin ���0������������������������������.���������∙������������������������������������������������������������������=+������������������������������������′������������=������ ������������������′′������(′(′x���(x���������)−���)������������=������=������������)������������′���������=+=������������������������������������������������������������������∙���−������������������������������������������������������������������������������(=−������������������c���()������o���−������������������s���������������−x)=���������=0��������� ∙ cos x . 1 = − 6 sin ������′ ������������������ = − 6 sin ������������������ ������ − 6 sin ������ ������������������ ������ ������′ ������������������ = 6.0 = = = ������ = 0 ������ Matematika Peminatan Kelas XII - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Search