การเคลื่อนที่แนวโค้ง

เอกสารประกอบบทเรียน รายวชิ าฟิสกิ สเ์ พมิ่ เตมิ 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 การเคลือ่ นที่แนวโคง้ ช่อื ................................................................................................................. ช้นั ....................................เลขที่ .................................................

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลือ่ นทแี่ นวโค้ง หน้า 1 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ ส์เพิ่มเติม 2 ระดับช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 การเคล่ือนท่ีแนวโค้ง ผลการเรยี นรู้ 1. อธิบาย วิเคราะห์ และคำนวณปรมิ าณต่าง ๆ ทีเ่ กย่ี วข้องกบั การเคลอื่ นทแี่ บบโพรเจกไทล์ และทดลองการ เคลอ่ื นท่ีแบบโพรเจกไทล์ 2. ทดลองและอธิบายความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งแรงสศู่ นู ย์กลาง รศั มีของการเคล่ือนท่ี อัตราเรว็ เชิงเสน้ อตั ราเรว็ เชิงมมุ และมวลของวัตถุในการเคล่อื นทแ่ี บบวงกลมในระนาบระดับ รวมทั้งคำนวณปรมิ าณตา่ ง ๆ ทีเ่ ก่ียวขอ้ ง และประยุกต์ใชค้ วามรกู้ ารเคลอื่ นทแี่ บบวงกลม ในการอธิบายการโคจรของดาวเทยี ม แนวคดิ หลกั ในชวี ติ ประจำวันนอกจากจะพบเห็นการเคลอ่ื นทแ่ี นวตรงของวตั ถุแลว้ ยงั พบว่าวตั ถตุ ่างๆ มรี ูปแบบการเคลือ่ นที่ ลักษณะอนื่ อกี เชน่ การเคลอื่ นทแ่ี บบโพรเจกไทล์ การเคลื่อนท่แี บบวงกลม ซงึ่ การเคลือ่ นทแี่ บบโพรเจกไทลเ์ ป็นการเคลอื่ นที่ ในแนวโค้ง ประกอบด้วยการเคลื่อนท่ใี นแนวดง่ิ และแนวระดับพร้อมกนั สว่ นการเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม วตั ถุจะเคล่ือนทเ่ี ป็น วงกลมหรือสว่ นหน่ึงของวงกลม โดยมแี รงกระทำในทิศเขำ้ สศู่ ูนย์กลางของวงกลม เรียกว่า แรงสู่ศูนย์กลาง 1. การเคล่ือนทีแ่ บบโพรเจกไทล์ แนวคิดสำคญั การเคลื่อนที่ของวัตถุบางอย่างที่พบในชีวิตประจำวันมี การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น เส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแนวโค้ง เช่น การขว้างลูกบอลออกไปใน การเคลื่อนที่ใน 2 มิติ มีแนวการเคลื่อนที่เป็นเสน้ อากาศ การยิงหนังสติ๊ก การพุ่งของน้ำพุ การเคลื่อนที่ลักษณะน้ี โค้งรูปพาราโบลา โดยเกิดการเคลื่อนที่ทั้งใน เรียกวา่ การเคลือ่ นทแี่ บบโพรเจกไทล์ (projectile motion) แนวดิง่ และแนวระดับไปพรอ้ ม ๆ กนั การเคล่ือนท่ี ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง g ส่วน การเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นการเคลื่อนที่ด้วย ความเร็วคงตัว (ความเร่งเป็น 0 ) ซึ่งการเคลื่อนท่ี ในแนวระดบั และแนวดง่ิ จะเปน็ อิสระตอ่ กนั

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลื่อนทแี่ นวโค้ง หน้า 2 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกส์เพิม่ เตมิ 2 ระดบั ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 การเคลือ่ นทีแ่ บบโพรเจกไทลจ์ ึงเปน็ การเคลอ่ื นที่ตามแนวเสน้ โคง้ พาราโบลา ซ่ึงวตั ถจุ ะมกี ารกระจัดทง้ั ในแนวระดับและแนวดิง่ พรอ้ ม ๆ กนั จึงเป็น การเคล่อื นที่ใน 2 มติ ิ ในแนวระดับ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวค่าหนึ่ง ส่วนในแนวดิ่ง วัตถุจะเคล่ือนที่ด้วยความเร่งโน้มถว่ งของโลก (g) การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์จึง ถอื เป็นการตกอยา่ งอสิ ระรปู แบบหนึ่งและความเร็วที่เกิดขึ้นท้งั สองแนวมกี ารรวมกัน แบบเวกเตอร์ จึงส่งผลให้เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุมีลักษณะเป็นวิถีโค้งตาม ทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ ดังรูป ลองทำดู ให้นักเรียนทดสอบการตกของเหรียญโดยใช้เหรียญขนาดเท่ากันสองเหรียญ นำ เหรยี ญแรกวางทข่ี อบโต๊ะ ส่วนอีกเหรยี ญหน่ึงวางบนไมบ้ รรทดั แล้วกดปลายดา้ นหน่ึงของไม้ บรรทดั ไว้ แล้วใช้มือปดั ปลายไมบ้ รรทดั ส่วนทย่ี ื่นออกมาจากขอบโตะ๊ อยา่ งรวดเร็ว ดงั รูป สงั เกตการเคลือ่ นท่ขี องเหรยี ญทั้งสอง แลว้ ตอบคำถามตอ่ ไปนี้ 1. เหรียญทัง้ สองตกถงึ พ้ืนพรอ้ มกนั หรือไม่ อย่างไร 2. เมอ่ื ลองใช้แรงปัดที่แตกต่างกัน ผลที่เกดิ ข้ึนแตกต่างกันหรือไม่ อยา่ งไร การปดั เหรยี ญใหเ้ หรียญทัง้ สองเคล่อื นท่จี ากระดับ ความสูงเท่ากนั ภายใตแ้ รงโนม้ ถ่วงของโลก จากกิจกรรม ลองทำดู จะเห็นได้ว่า เหรียญทั้งสองจะใช้เวลาตกถึงพื้นเท่ากัน ไม่ว่าจะใช้แรงปัดเท่าไรก็ตาม และ แนวการเคลื่อนที่ของเหรียญที่อยู่บนไม้บรรทัดจะตกลงสู่พื้นในแนวดิ่ง ในขณะที่เหรียญที่อยู่บนขอบโต๊ะจะเคลื่อนที่แบบ โพรเจกไทล์ จากการทดลองถ่ายภาพลกู บอลสองลกู ทีม่ ีขนาดเทา่ กันเคลอ่ื นที่พรอ้ ม ๆ กันจากระดบั ความสูงเท่ากนั โดยให้ลูกหนึ่งตกลงมาในแนวดิ่ง สว่ นอีกลูกหนึง่ ดีด ออกไปในแนวระดับ แลว้ บันทึกภาพโดยใชแ้ สงแฟลชท่ีสว่างเป็นจงั หวะ แต่ละ จงั หวะใช้เวลาเท่ากัน ภาพท่บี นั ทกึ ได้มีลักษณะดังรูป จะเห็นได้ว่า ในแต่ละชว่ งการ เคลอ่ื นที่ลูกบอลทัง้ สองจะใช้เวลาเทา่ กัน เมื่อเปรียบเทียบการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสองแนวจะพบว่า วัตถุที่ตกใน แนวดิ่งจะมีการกระจัดในแนวดิ่งเพียงแนวเดียว ส่วนวัตถทุ ี่เคลื่อนที่ในแนวโค้งจะมี การกระจัดทั้งแนวดิ่งและแนวระดับไปพร้อมๆกัน โดยวัตถุทั้งสองเคลื่อนที่ภายใต้ แรงโน้มถ่วงของโลกจึงมีความเร่งโนม้ ถ่วงของโลกกระทำตอ่ วตั ถใุ ห้เคลือ่ นที่ตกถึงพ้ืน พร้อมกันและมีการกระจัดในแนวดิ่งเท่ากันการพิจารณาการเคลื่อนที่แบบโพรเจก ลูกบอลสองลูกทีเ่ คล่อื นที่พรอ้ มกันจากระดบั สูงเท่ากนั ไทล์จะพิจารณาการเคล่ือนที่ในแต่ละแนวแยกจากกัน เนื่องจากการเคลื่อนท่ีในแนว ท่มี า : demo.webassign.net ระดับและแนวดิ่งน้นั เปน็ อิสระต่อกัน

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคล่ือนทแ่ี นวโคง้ หน้า 3 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพ่มิ เตมิ 2 ระดับชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 1.1 การเคลื่อนที่ในแนวระดบั และแนวดิง่ เมอ่ื วัตถุถกู ขว้างออกไปดว้ ยความเร็วในแนวระดบั (���⃑���x) คงตัวคา่ หนง่ึ ความเรว็ ต้นในแนวด่งิ (���⃑⃑���x) จะมคี า่ เป็นศูนย์ ตัวอย่างเชน่ การท้ิงระเบดิ จากเครือ่ งบิน การเคลื่อนทใี่ นแนวระดับ จากรูป พิจารณาทแ่ี กน x ซ่งึ เป็นการเคล่ือนที่ของวตั ถุในแนวระดบั ความเร็ว ต้นในแนวระดับ ���⃑⃑��� = ���⃑⃑���x = ���⃑⃑���y และ ���⃑��� คอื การกระจดั ของวตั ถใุ นแนวระดับ โดยขนาดของการกระจัดของวัตถใุ นแนวระดับท่ชี ว่ งเวลาหนึง่ หาได้จากสมการ ������������ = ������������ ������ = ������������ ������ การเคลื่อนท่ใี นแนวดงิ่ การเคลอื่ นท่ีในแนวดง่ิ จะเหมือนกบั การตกแบบอิสระภายใต้สนามโนม้ ถ่วงของโลก ดังนั้น ขณะทวี่ ัตถอุ ยู่กลาง อากาศจะมีแรงโน้มถ่วงของโลก (mg) กระทำต่อวัตถุ ทำใหว้ ัตถุเคลอ่ื นที่ในแนวดง่ิ ดว้ ยความเรง่ คงตวั เทา่ กับความเรง่ โนม้ ถว่ งของโลก (g) จากรูป พจิ ารณาที่แกน y ซงึ่ เป็นการเคลอ่ื นท่ขี องวตั ถใุ นแนวดิ่ง การหาปรมิ าณต่าง ๆ จงึ ใชส้ มการการ เคล่ือนทข่ี องวัตถุในแนวดง่ิ ตามทีไ่ ด้ศึกษามาแลว้ ดงั น้ี ������ = ������������ + ������������ เน่ืองจากการเคลอ่ื นท่ีในแนวด่งิ เป็นการตกอย่างอสิ ระ จงึ มคี วามเร็วตน้ ในแนวดิง่ เปน็ ������������ = ������������������ + 1 ������������ 2 ศนู ย์ (���⃑⃑���y = 0) และปรมิ าณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกบั การเคล่อื นทีแ่ บบโพรเจกไทล์เปน็ 2 ปรมิ าณเวกเตอร์ การกำหนดทศิ ทางจะกำหนดให้ ปริมาณทม่ี ีทิศข้นึ มเี คร่ืองหมายเปน็ ���������2��� = ���������2��� + 2������������������ บวก ส่วนปรมิ าณทม่ี ีทศิ ลงมเี ครือ่ งหมายเป็นลบ การกระจัดลพั ธ์ของวตั ถุ ขณะทว่ี ัตถเุ คลอ่ื นท่แี บบโพรเจกไทล์ วัตถจุ ะมี ความเรว็ ทง้ั ในแนวระดบั และแนวดิง่ เกดิ ข้ึนพรอ้ ม ๆ กัน โดยจะเคลื่อนท่ไี ปตามแนวของความเร็วลพั ธ์แลว้ ตกสู่พนื้ ในท่ีสดุ จดุ ท่ีวัตถุตกบนพน้ื เป็นผลรวมของการกระจดั ท่ี เกดิ ขน้ึ จากการเคลอ่ื นท่ีท้งั ในแนวระดบั และแนวด่ิง เม่อื รวมการกระจัดในแตล่ ะแนวจะไดก้ ารกระจัดลพั ธข์ อง วัตถทุ เี่ คลือ่ นท่แี บบโพรเจกไทล์ จากรปู จะหาขนาดของการกระจดั ลพั ธ์ได้จากสมการ ������ = √���������2��� + ���������2��� ถ้าให้มุมทก่ี ารกระจัดลัพธ์กระทำกับแกน x เท่ากับ α จะหาทิศทางของการกระจัดลพั ธไ์ ด้จาก ������������������ ������ = ������������ ������������

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอ่ื นท่ีแนวโคง้ หน้า 4 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพิ่มเตมิ 2 ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ความเร็วลัพธ์ของวัตถุ ความเรว็ ลัพธข์ องวตั ถทุ เ่ี คลอื่ นทแ่ี บบโพรเจกไทล์จะอยู่ในแนวเสน้ สัมผัสบนเส้นโคง้ ตามแนวการเคลอ่ื นท่ี โดย สามารถหาความเรว็ ลพั ธ์ของวัตถุได้เช่นเดยี วกบั การหาการกระจัดลพั ธ์ จากรปู จะหาขนาดของความเรว็ ลัพธไ์ ด้จากสมการ ������ = √���������2��� + ���������2��� เม่ือ ������x คอื ขนาดของความเร็วในแนวระดับ ������y คอื ขนาดของความเร็วในแนวด่งิ ������ คอื ขนาดของความเร็วลัพธ์ ความเรว็ ของวัตถใุ นแนวระดับ ถา้ ใหม้ มุ ที่ความเรว็ ลัพธ์กระทำกบั แกน x เทา่ กับ β จะหาทิศทางของความเร็วลัพธไ์ ด้จาก และแนวดิง่ และความเรว็ ขณะหนึ่ง ������������������ ������ = ������������ ������������ หรอื ความเรว็ ลัพธ์ 1.2 วัตถทุ ม่ี ีความเรว็ ต้นทำามุมกบั แนวระดบั การเคลื่อนทีข่ องวัตถใุ นกรณนี ้ี วตั ถจุ ะถกู ขว้างออกไปด้วยความเรว็ ต้นในทศิ ทางทำมมุ ใด ๆ กับแนว ระดับความเร็วต้น (������) จะแยกออกเปน็ ความเรว็ ต้นในแนวระดบั (������������) และความเรว็ ตน้ ในแนวดิง่ (������������) ดังรูป การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทลข์ องวตั ถุท่ีมคี วามเร็วตน้ ทำมมุ กบั แนวระดบั สำหรับการเคลอื่ นท่ใี นแนวระดับ จากรูป จะได้ขนาดของความเร็วตน้ ในแนวระดับ (������������) ดงั สมการ จาก ������������ = ������ cos ������ เม่ือ ������������ คอื ขนาดของการกระจดั ในแนวระดับ ������������ = ������������ ������ ������ คือ ขนาดของความเร็วตน้ จะได้ ������������ = ������ cos ������ ������ ������ คือ เวลาที่ใช้ในการเคลอ่ื นท่ีทั้งหมด

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลื่อนทแ่ี นวโคง้ หน้า 5 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกส์เพิ่มเติม 2 ระดับชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 สำหรบั การเคลือ่ นท่ีในแนวดิ่ง จะได้ขนาดของความเรว็ ต้นในแนวดงิ่ (������������) ดังสมการ ������������ = ������ sin ������ เม่ือพิจารณาการกระจัดในแนวดง่ิ (������������) • วตั ถุทต่ี กที่ตำแหน่งสูงกว่าจุดเร่มิ ตน้ ������������ จะมีเครอื่ งหมายเปน็ บวก เนือ่ งจากการกระจัดมีทิศข้นึ ดงั รปู ก • วัตถทุ ต่ี กท่ีตำแหนง่ ต่ำกว่าจุดเร่มิ ตน้ ������������ จะมีเครอ่ื งหมายเปน็ ลบ เนือ่ งจากการกระจดั มีทศิ ลง ดงั รูป ข สำหรบั การเคลอ่ื นทขี่ องวตั ถุท่ีมีจดุ เร่ิมตน้ และจุดสดุ ทา้ ยของการเคลื่อนทีอ่ ยู่ในระดับเดียวกนั แนวการเคลื่อนทข่ี อง วตั ถุจะเปน็ เสน้ โค้งพาราโบลาคว่ำ ดงั รูป ตวั อย่างเชน่ การพงุ่ แหลน การท่มุ น้ำหนัก การตกี อล์ฟ การกระโดดไกล แนวการเคล่อื นทแ่ี บบโพรเจกไทลท์ ี่มจี ุดเรมิ่ ตน้ และจดุ สดุ ทา้ ยอยู่ท่ีระดบั เดียวกัน เม่ือพจิ ารณาการเคลอื่ นทีข่ องวตั ถตุ งั้ แต่จดุ เร่ิมตน้ จนถงึ จุดสุดท้าย จะพบวา่ วตั ถุข้ึนไปในอากาศได้สงู สุดระยะหน่งึ แลว้ จะตกโค้งลงมาสู่พน้ื ในระดับเดียวกัน การกระจดั ในแนวด่งิ ของการเคล่ือนทน่ี จี้ ึงมขี นาดเท่ากับศูนย์ ดังนน้ั การคำนวณหาระยะทวี่ ตั ถุขนึ้ ไปไดส้ ูงสุดจะตอ้ งแทนค่าเวลาเพยี งคร่ึงหนึ่งของเวลาท่ีวตั ถุใช้ในการเคล่ือนที่ ท้ังหมด โดยปรมิ าณต่าง ๆ ท่เี กี่ยวขอ้ งกบั การเคล่ือนท่ีสามารถหาได้ดังน้ี 1. การหาเวลาท่ีวัตถุใชใ้ นการเคลอื่ นท่ีทั้งหมด จากรูป แนวการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ท่มี จี ุดเร่ิมตน้ และจุดสุดทา้ ยอยู่ท่ีระดบั เดียวกนั เม่อื แยกความเรว็ ต้น ������ ใหอ้ ยใู่ นแนวระดบั และแนวดิ่ง จะได้ว่า ������������ = ������ cos ������ และ ������������ = ������ sin ������ วตั ถุมีจุดเรม่ิ ต้นและจดุ สุดทา้ ยทจ่ี ุดเดยี วกนั จะมีขนาดของการกระจัดในแนวดงิ่ เท่ากับศนู ย์ จะไดว้ า่ ������������ = ������������������ + 1 (−������)������ 2 2 0 = ������ sin ������ ������ + 1 ������������2 2 1 2 ������������ 2 = ������ sin ������ ������ ดังนน้ั ������ = 2 ������ sin ������ ������

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคล่ือนทแ่ี นวโค้ง หน้า 6 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกสเ์ พม่ิ เติม 2 ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 2. การหาระยะท่วี ัตถขุ ้นึ ไปได้สูงสดุ ก่อนจะตกลงมา ขณะทีว่ ัตถุขึ้นไปไดส้ ูงสุด ขนาดของความเรว็ ในแนวดิ่งจะเทา่ กบั ศนู ย์ จาก ���������2��� = ���������2��� + 2������������������ 0 = (������ sin ������)2 + 2(−������)������������ 2������������������ = (������ sin ������)2 ������2 ������������������2������ ������������ = 2������ 3. หาการกระจัดในแนวระดบั หรือระยะท่วี ตั ถุเคลือ่ นท่ไี ด้ไกลทีส่ ดุ ในแนวระดับ จาก ������������ = ������������ ������ จะได้ ������������ = ������ cos ������ (2 ������ sin ������) ������ ������������ = ������2 2 sin ������ cos ������ ������ เม่อื sin 2������ = 2 sin ������ cos ������ จะได้ ������������ = ������2 sin 2������ ������ และหามุมในการขว้างวัตถทุ ่ีทำให้วตั ถุเคล่อื นท่ีไดไ้ กลทส่ี ดุ ไดด้ งั น้ี จากสมการ ������������ = ������2 sin 2������ เมอื่ ขวา้ งวตั ถดุ ้วยความเร็วต้นคงตวั ค่า ������������จะมากท่สี ดุ เมอื่ ค่าของ sin 2������ ������ มากทสี่ ดุ คือ sin 2������จะต้องเท่ากบั ������������������ 90° ดงั นน้ั มุม ������ ท่ีทำใหค้ ่า sin 2������มีคา่ มากท่ีสุด คอื มุม 45° ดงั รปู ระยะทางในแนวระดับของวัตถุที่เคล่ือนทีด่ ้วยความเรว็ ต้นคา่ หน่ึงทม่ี มุ ต่างกัน

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นท่แี นวโคง้ หน้า 7 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ ส์เพ่มิ เตมิ 2 ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 จะเห็นไดว้ ่ากจิ กรรมหลายอยา่ งท่เี ห็นในชวี ติ ประจำวนั นนั้ เก่ยี วข้องกบั การเคล่อื นที่แบบโพรเจกไทล์ เชน่ การโยน มะพรา้ วและแตงโมของชาวสวน การโยนและรบั ถงั ปูนของชา่ งก่อสร้าง การปลอ่ ยถงุ เสบยี งจากเครื่องบินลงในถิ่นทรุ กันดาร รวมถงึ การเลน่ กฬี าหลายชนิด เช่น วอลเลยบ์ อล ฟุตบอล เทนนสิ พุ่งแหลน สมการตา่ ง ๆ ทีไ่ ด้ศึกษาผา่ นมานัน้ เป็นการพิจารณาเฉพาะกรณีท่ไี มม่ ีแรงต้านอากาศเข้ามาเกย่ี วขอ้ ง ซ่ึงสามารถใช้ อธบิ ายการเคลอ่ื นท่ีของวัตถุทมี่ ีความหนาแนน่ มาก ๆ ไดด้ ี เพราะเป็นการเคล่ือนท่ีในระยะสั้น ๆ และมีผลจากแรงต้านของ อากาศกระทำไม่มากนกั แต่ถา้ เป็นการเคลอ่ื นทีข่ องวตั ถขุ นาดเล็ก ๆ ในระยะไกล เช่น ลกู ปนื ลูกกอลฟ์ แรงต้านอากาศจะมี ผลมากขึ้น เมื่อวิเคราะหด์ ้วยสมการท่ีผ่านมาอาจให้ผลไม่ ถูกต้องนัก ถ้าต้องการให้เกิดความถูกต้องมากขึ้น จะต้อง เพิ่มความสัมพันธ์ของแรงต้านกับความเร็วของวัตถุ นอกจากน้ี ความถูกตอ้ งของสมการยังข้นึ อยู่กบั รูปทรงของ วัตถุและการหมุนรอบตัวเองของวัตถุด้วย ตัวอย่างการ เคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ที่พอจะสังเกตผลของแรงต้าน อากาศที่มีต่อการเคลื่อนที่ได้อย่างชัดเจน เช่น การ เคลอื่ นทีข่ องลำน้ำท่ถี กู ฉีดออกจากสายยางหรือน้ำพุ ความ โคง้ ของลำนำ้ ขณะฉีดขน้ึ กบั ขณะที่ตกลงมามีความแตกต่าง กันซึ่งไม่เป็นเส้นโค้งพาราโบลา ทั้งนี้เพราะน้ำมีความ หนาแน่นน้อยจึงมีผลจากแรงต้านอากาศมากระทำให้เกดิ ความโคง้ ของลำนำ้ พทุ ถ่ี ูกแรงตา้ นอากาศกระทำ รูปแบบการเคลอื่ นที่แบบโปรเจกไทล์ ท่ไี ม่สมบรู ณ์ ดังรูป CT ศกึ ษาวิดโี อ เรื่อง กจิ กรรมการเคลือ่ นที่แบบ โพรเจกไทล์ วทิ ยาศาสตร์ ม.4-6 (ฟิสกิ ส)์ จากเวบ็ ไซต์ youtube CT CT CT CT CT การเคลอื่ นท่แี บบ การเคล่ือนที่แบบ การเคลอ่ื นทีแ่ บบ การเคลอ่ื นทแ่ี บบ การเคล่ือนทแ่ี บบ โพรเจกไทล์ 01 โพรเจกไทล์ 02 โพรเจกไทล์ 03 โพรเจกไทล์ 04 โพรเจกไทล์ 05

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลือ่ นที่แนวโคง้ หน้า 8 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพิม่ เตมิ 2 ระดบั ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 แบบฝกึ หัด การเคล่ือนท่แี บบโปรเจกไทล์ 1. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ก. การเคลอื่ นที่แบบโพรเจกไทล์มแี นวการเคลอ่ื นทีเ่ ช่นเดยี วกบั การปลอ่ ยใหว้ ัตถตุ กอย่างอสิ ระ ข. การเคล่ือนทแี่ บบโพรเจกไทล์มีแนวการเคล่ือนทีเ่ ชน่ เดียวกับการขวางวัตถไุ ปขา้ งหนา้ ค. การเคลื่อนทแ่ี บบโพรเจกไทล์มีแนวการเคลอื่ นทเี่ ชน่ เดยี วกบั การยงิ จรวดขวดนำ้ ง. การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ วัตถุจะเคลื่อนทอี่ ย่างอสิ ระภายใตแ้ รงโน้มถว่ งของโลก ข้อใดถูกตอ้ ง 1. ก ข และ ค 2. ก ค และ ง 3. ข ค และ ง 4. ถกู ตอ้ งทกุ ข้อ 2. A และ B เป็นทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน แต่มวลของ A เป็น 2 เท่าของ B ถ้าปลอ่ ยให้ A ตกลงในแนวดง่ิ พร้อมๆ กบั ขวา้ ง B ออกไปในแนวระดบั ดังรูป ขอ้ ใดถกู ต้อง AB 1. A ตกถึงพ้ืนก่อน B 2. A และ B ตกถงึ พ้ืนดว้ ยอตั ราเรว็ เทา่ กัน 3. A ตกถึงพืน้ พรอ้ มกับ B แต่ A มอี ัตราเรว็ ขณะกระทบพ้นื มากกวา่ B 4. A ตกถงึ พ้นื พร้อมกับ B แต่ A มีอตั ราเรว็ ขณะกระทบพืน้ น้อยกว่า B 3. ผลักวัตถจุ ากดาดฟ้าตึกสูง 45 เมตร ด้วยความเรว็ ต้น 5 เมตรต่อวินาทีในแนวระดบั วัตถุจะตกถึงพื้นที่ระยะหา่ งจากฐาน ตึกกี่เมตร 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 4. ขว้างก้อนหินทำมุมเงย 30 องศากับแนวระดับด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที จากตึกสูง 40 เมตร ก้อนหนิ จะตกหา่ งจากฐานตึกในแนวระดับเท่าไร 1. 20 2. 20 3 3. 40 4. 40 3 5. นักบาสเกตบอลยิงลกู จากระยะท่หี า่ งจากห่วงในแนวราบ 5 เมตร โดยทำมุม 60 องศากบั แนวราบ ขณะที่ลกู เขา้ หว่ งจะมี ความเรว็ 10 เมตรตอ่ วนิ าที จงหาเวลาทีล่ กู บาสเกตบอลใช้ในการเคลอ่ื นท่ีมาถงึ ห่วง 1. 1 s 2. 2 s 3. 3 s 4. 2 s 2 3

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลอื่ นทีแ่ นวโคง้ หน้า 9 รายวิชา ว31206 ฟิสิกสเ์ พ่มิ เติม 2 ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 6. ชายคนหนึง่ ขว้างก้อนหินลงจากยอดตกึ สงู 75 เมตร โดยทำมุมเอียง 30 องศากับแนวระดับ ด้วยความเร็ว 30 เมตรต่อ วนิ าที ก้อนหนิ จะตกถงึ พน้ื ท่รี ะยะหา่ งจากฐานตกึ ตามแนวระดบั กเ่ี มตร 1. 15 3 2. 20 3 3. 25 3 4. 30 3 7. ขวา้ งวตั ถขุ ึน้ จากพน้ื ด้วยความเร็ว 40 เมตรตอ่ วินาที ในทิศทำมุม 60 องศากับแนวระดับ วตั ถจุ ะลอยอยู่ในอากาศนาน เท่าไรจึงจะตกถงึ พ้นื 1. 2 2 s 2. 2 3 s 3. 4 2 s 4. 4 3 s 8. ถา้ การเคล่ือนทแี่ บบโพรเจกไทล์ของวตั ถชุ ้ินหนึง่ มรี ะยะการกระจดั สงู สุดในแนวดงิ่ เทา่ กบั 30 เมตร และการกระจัดสูงสุด ในแนวระดบั เทา่ กับ 160 เมตร จะต้องขวา้ งวัตถุทำมมุ ก่ีองศากับแนวระดบั 1. 30 2. 37 3. 45 4. 53 9. ถา้ โพรเจกไทล์มกี ารกระจัดสูงสุดในแนวดงิ่ 10 เมตร และการกระจัดไกลสดุ ในแนวระดับเท่ากับ 30 เมตร โพรเจกไทล์นี้ จะถูกยิงออกไปด้วยมมุ เท่าไรเทียบกับแนวระดับ 1. 37° 2. 45° 3. 53° 4. 60° 10. . คนู ้ำกวา้ ง 10 เมตร มีลกั ษณะดงั รูป นักขจี่ กั รยานยนต์คนหน่งึ ตอ้ งการจะข่ีขา้ มคนู ้ำ จงหา ก) ความเร็วที่น้อยท่ีสดุ ของจักรยานยนตท์ ่จี ะข้ามคูนำ้ ได้พอดี ข) ความเรว็ ท่ถี ึงฝั่งตรงขา้ มพอดี 11. เคร่ืองบนิ เครือ่ งหน่ึงบินในแนวระดบั ด้วยความเร็ว 100 เมตรต่อวินาที ท่ีความสูง 2,000 เมตร ตอ่ มานกั บินได้ปล่อยลูก ระเบดิ ลงมาหน่ึงลกู จงหา ก) นานเทา่ ไรลูกระเบดิ จึงจะตกถงึ พน้ื ดนิ ข) ลกู ระเบิดตกหา่ งจากจุดปล่อยในแนวระดบั เท่าไร ค) ลกู ระเบิดกระทบพ้นื ด้วยความเร็วเท่าไร

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคล่ือนท่ีแนวโคง้ หน้า 10 รายวิชา ว31206 ฟิสิกสเ์ พ่มิ เติม 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 12. เครื่องบินท้ิงระเบิดลำหนึ่งกำลงั บนิ ในแนวระดบั ด้วยความเรว็ คงตวั 340 เมตรตอ่ วินาที และอยสู่ ูงจากผวิ น้ำ 1,000เมตร โดยเครื่องบนิ ไล่ตามเรอื พฆิ าตลำหนึ่งซึง่ แล่นด้วยความเรว็ คงตวั 80 เมตรตอ่ วินาที ถ้านักบินตอ้ งการปล่อยระเบิดให้ กระทบเรอื พฆิ าตพอดี จะตอ้ งเริ่มปลอ่ ยระเบดิ ขณะทอี่ ยหู่ า่ งเรือพฆิ าตเป็นระยะทางเทา่ ไรในแนวระดบั 13. นกั กีฬาคนหนึ่งยิงธนจู ากหนา้ ผาสูง 90 เมตร ด้วยความเรว็ 25 เมตรต่อวนิ าที ในทศิ ทำมุม 37 องศา กบั แนวระดบั ลกู ธนจู ะตกถงึ พืน้ หา่ งจากจดุ ทเ่ี ขายิงเป็นระยะทางเทา่ ไร 14. ชายคนหน่ึงขว้างลูกบอลขน้ึ ไปจากพืน้ ในทิศทำมุม  กบั แนวระดบั ทำใหล้ กู บอลลอยอยใู่ นอากาศนาน 3 วนิ าที จงึ ตก ถึงพ้ืน เม่อื ไมค่ ิดแรงเสยี ดทานของอากาศและกำหนดคา่ g = 10 m/s2 จงหา ก) ลกู บอลจะขน้ึ ไปไดส้ ูงสดุ เทา่ ไร ข) ถ้าลกู บอลตกทีร่ ะยะ 90 เมตรจากจดุ ท่ีขว้าง ความเรว็ ตามแนวระดบั ที่จดุ เร่ิมตน้ มีคา่ เทา่ ไร

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นท่แี นวโคง้ หน้า 11 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พม่ิ เติม 2 ระดบั ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 2. การเคลื่อนที่แบบวงกลม แนวคดิ สำคญั การเคลื่อนท่แี บบวงกลม (circular motion)เปน็ การ การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็นการ เคลื่อนทอ่ี ีกรปู แบบหนึ่งทพ่ี บเหน็ ไดบ้ ่อยใน ชีวิตประจำวนั เชน่ การ เคล่ือนที่ของรถไฟเหาะตีลงั กาการเคล่อื นท่ขี องรถบนทางโคง้ การ เคลื่อนที่ของวัตถุในแนววงกลมหรือส่วนหนึ่งของ เคลื่อนทข่ี องดาวเทยี มโดยวตั ถุจะมีแนวการเคลอ่ื นทีเ่ ปน็ วงกลมหรือ เป็นส่วนโคง้ ของวงกลม วงกลมด้วยความเร่งคงตัว เรียกว่า ความเร่งสู่ ภาพ การเคล่อื นทแ่ี บบวงกลมท่ีพบไดใ้ นชวี ิตประจำวัน ศูนย์กลาง มีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม มี สมการเป็น ���⃑��������� = ������2 วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วย ������ ความเร็วคงตัวแต่ทิศทางของความเรว็ เปล่ียนแปลง โดยแรงที่ทำาให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมมีทิศทาง เดียวกับความเร่งสู่ศูนย์กลาง เรียกว่า แรงสู่ ศูนย์กลาง มีสมการเปน็ ���⃑��������� = ������������2 โดยแรง ������ นี้อาจเป็นแรงโนม้ ถว่ ง แรงดึงในเส้นเชอื ก หรือแรง เสียดทานขณะรถท่ีกำลังเล้ียวโค้ง การเคลือ่ นทีแ่ บบวงกลมเปน็ การเคล่ือนทีด่ ้วยความเร่ง เน่ืองจากวัตถุจะเคล่ือนทด่ี ้วยความเรว็ ในแนวเส้นสัมผัสของ วงกลมซึ่งมีการเปลยี่ นแปลงทิศทางตลอดเวลา ถึงแมว้ า่ วตั ถุจะเคลื่อนทด่ี ว้ ยความเรว็ ทม่ี ีขนาดคงตัวแต่มกี ารเปลี่ยนแปลง ทิศทาง จงึ ทำใหว้ ตั ถมุ ีการเปลีย่ นแปลงความเรว็ การเคล่ือนท่แี บบวงกลมจงึ ถอื เป็นการเคล่อื นท่ีด้วยความเร่ง ซึง่ เรียกวา่ ความเร่งสูศ่ ูนย์กลาง (centripetal acceleration : ���⃑���������) มที ิศทางพุ่งเข้าหาจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม และขนาดของความเรง่ ส่ศู ูนย์กลางจะขึ้นอยูก่ ับขนาดของความเร็ว (������) และรศั มีในการเคลือ่ นท่ี (������)ของวัตถุ CT CT ให้นักเรียนศึกษาวิดีโอเรื่อง การเคลื่อนที่แบบวงกลม การเคล่อื นท่ี วทิ ยาศาสตร์ ม.4-6 (ฟสิ ิกส)์ จากเวบ็ ไซต์ youtube แบบวงกลม 01 CT การเคลอ่ื นที่ แบบวงกลม 02

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลอ่ื นที่แนวโค้ง หน้า 12 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกส์เพมิ่ เติม 2 ระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 การแกว่งวัตถใุ หเ้ คลือ่ นทใี่ นแนววงกลมในแนวระดับ จากรูป เมื่อนำวัตถุผูกกับปลายเชือกแล้วแกว่งวัตถุให้เคลือ่ นท่ีแบบ การเคลอ่ื นท่ขี องวตั ถเุ มือ่ เชอื กขาด วงกลมในแนวระดับ ดว้ ยรศั มคี งตัวค่าหน่งึ จะรสู้ กึ วา่ เม่ือแกว่งวตั ถใุ หเ้ ร็วมาก เมอ่ื มองจากดา้ นบน ขึ้น จะต้องใช้มือออกแรงดงึ เชือกที่ผูกกับวตั ถุมากขึ้นดว้ ย แสดงว่าการแกวง่ วัตถุให้เคล่อื นท่ีเปน็ วงกลมจะต้องใชแ้ รงดึงเชอื ก ในการเคลื่อนที่แบบวงกลม จะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางที่พอเหมาะ กระทำกบั วัตถุ จงึ จะทำให้วตั ถุน้นั เคลอื่ นที่ในแนวโค้งของวงกลมได้ด้วยรัศมีท่ี คงท่คี ่าหน่ึงและอัตราเรว็ ท่ีคงที่ค่าหนึ่ง แต่ถา้ แรงสศู่ นู ย์กลางที่กระทำกับวัตถุ หายไปวัตถทุ ่เี คยเคล่ือนท่เี ปน็ วงกลมน้นั จะหลุดออกไปจากวงกลมในแนวเส้น สัมผสั วงกลมทันที (ทิศทางการเคล่อื นทจี่ ะตงั้ ฉากกับรัศมีของวงกลม) ซึง่ เปน็ ไปตามกฎการเคลือ่ นทขี่ ้อท่ี 1 ของนิวตนั เนื่องจากการเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม วัตถุจะมีการเปลย่ี นตำแหน่งซ้ำรอยเดมิ ซึง่ ถือเป็นการเคล่ือนทีแ่ บบคาบ โดย เวลาทวี่ ัตถใุ ช้ในการเคล่อื นท่ีครบ 1 รอบ เรยี กวา่ คาบ (period : ������) มหี นว่ ยเปน็ วินาที และจำนวนรอบที่วตั ถุ เคลอ่ื นท่ไี ด้ ใน 1 วนิ าที เรียกวา่ ความถ่ี (frequency : ������) มหี น่วยเป็น รอบตอ่ วินาที หรือ เฮิรตซ์ (hertz : Hz) คาบ และความถม่ี ี ความสมั พันธ์กัน ดังสมการ คาบ = จำนวนเวลา ������ = 1 ถ้ากำหนดอตั ราเรว็ และรศั มีของการเคลอ่ื นทค่ี งตวั จะไดว้ ่า จำนวนรอบ แรงเขา้ สู่ศนู ย์กลางมีค่ามาก คาบมีค่ามาก  ความถี่มีค่าน้อย ������ แรงเขา้ ส่ศู ูนยก์ ลางมคี ่านอ้ ย คาบมีคา่ น้อย ความถี่มีคา่ มาก ความถี่ = จำนวนรอบ จำนวนเวลา ������ = 1 ������

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลื่อนท่ีแนวโค้ง หน้า 13 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกสเ์ พมิ่ เติม 2 ระดับช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 พจิ ารณาวัตถุทเ่ี คล่ือนท่แี บบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั (v) และมรี ัศมีของการเคล่อื นทแี่ นววงกลม เท่ากบั r ดังรูป ความรเู้ พิ่มเตมิ ระยะทางเชงิ เส้น (������) หมายถงึ ระยะทางตาม เสน้ รอบวงทวี่ ตั ถเุ คลือ่ นทไ่ี ด้หน่วยเป็นเมตร (m) ระยะทางเชงิ มมุ (������) หมายถงึ มมุ ทก่ี วาดไปได้ หรือขนาดของมมุ ระหว่างทิศทาง 2 ทิศทาง การ วัดระยะห่างระหวา่ งดวงดาวหรอื วตั ถุทอ้ งฟ้าจะวัด เปน็ ระยะทางเชิงมุม) วัตถุเคลื่อนท่ีแบบวงกลมด้วยอัตราเรว็ คงตวั อัตราเร็วเชงิ เสน้ (������) หมายถงึ ระยะทางตาม จากรูป วัตถเุ คลื่อนทีแ่ บบวงกลมรัศมี ������ จากตำแหน่ง A ไป เส้นรอบวงท่วี ตั ถุเคล่อื นท่ีไปไดใ้ น1หนว่ ยเวลา มหี น่วยเป็นเมตรต่อวนิ าที (m/s) ตำแหนง่ B ด้วยอตั ราเรว็ คงตัว ซึง่ กวาดมมุ ไปไดเ้ ท่ากบั ������ ระยะทางท่ี อตั ราเร็วเชิงมมุ (������) หมายถึง มุมท่กี วาดไปได้ใน วัตถุเคล่อื นที่ได้จรงิ คือ เส้นโคง้ AB ซงึ่ มขี นาดเท่ากับ S เรียกว่า 1 หน่วยเวลา มีหนว่ ยเปน็ เรเดียนต่อวนิ าที (rad/s) ระยะทางเชิงเสน้ (������) และเรียกมุมท่ีกวาดไปไดว้ ่า ระยะทางเชงิ มุม (������) เม่อื วตั ถเุ คลื่อนที่ไดค้ รบ 1 รอบ ระยะทางเชิงเสน้ จะมขี นาดเท่ากบั เส้นรอบวงของวงกลม ซึง่ มีค่าเทา่ กบั 2������������ และระยะทางเชิงมมุ จะเท่ากบั 360 องศา หรอื 2������ เรเดียนระยะทางเชงิ เส้นกับระยะทางเชิงมมุ จะมคี วามสมั พนั ธ์กัน ดงั สมการ ������ = ������ ������ จะเห็นไดว้ ่า ระยะทางท่ีวัตถุเคลอื่ นทไ่ี ด้ครบ 1 รอบ คือ ความยาวของเสน้ รอบวง และช่วงเวลาทใ่ี ช้ในการ เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ คือ คาบ (������) ดงั น้ัน ระยะทางเชงิ เสน้ ทีว่ ัตถุเคลอ่ื นทีไ่ ด้ใน 1 รอบ เทียบกับเวลาท่ีใช้ในการ เคล่ือนที่เรียกวา่ อตั ราเรว็ เชงิ เส้น (������) เขยี นเป็นสมการได้ดังน้ี ������ = ������ = 2������������ ������ ������ และระยะทางเชิงมมุ (������) ทวี่ ัตถุเคลอ่ื นทไ่ี ด้ใน 1 รอบ เทียบกับเวลาท่ใี ช้ในการเคลอื่ นที่ เรยี กวา่ อัตราเร็วเชงิ มุม (������) เขยี นเป็นสมการไดด้ ังนี้ ������ = ������ ������ เมอื่ ������ คอื อัตราเรว็ เชงิ มุม มีหนว่ ยเป็น เรเดยี นต่อวินาที (rad/s)  คอื มุมท่ีกวาดไปได้ มีหน่วยเปน็ เรเดยี น (rad) ������ คอื เวลาที่ใชใ้ นการเคลอื่ นท่ี มีหน่วยเป็น วนิ าที (s)

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลอื่ นที่แนวโค้ง หน้า 14 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พิ่มเตมิ 2 ระดับชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เมอ่ื พจิ ารณาการเคลือ่ นแบบวงกลมของวตั ถุครบ 1 รอบ จะไดว้ า่ ������ = 2������ หรอื ������ = 2������������ ������ ความสมั พันธ์ระหว่างอตั ราเร็วเชงิ เส้น (������) และอตั ราเรว็ เชงิ มุม (������) ของการเคล่ือนทแ่ี บบวงกลม พจิ ารณาได้จาก ความสมั พันธ์ของคาบกบั ความถี่ ตามสมการ ������ = 1 และสมการของอตั ราเร็วเชิงเสน้ ������ = ������ = 2������������ ������ ������ ������ จะได้วา่ ������ = ������������ ถ้ารัศมีของการเคลื่อนที่แบบวงกลมคงตัว เมื่อแรงดึงในเส้นเชือกซึ่งเป็นแรงสู่ ศูนย์กลางมีค่าเพิ่มขึ้น เวลาในการเคลื่อนที่ครบรอบของจุกยางจะลดลง และถ้าแรงสู่ ศนู ยก์ ลางคงตวั เมื่อรศั มขี องการเคลอ่ื นท่ีเพม่ิ ข้ึน เวลาในการเคลอ่ื นท่ีครบรอบของจุกยาง จะเพิ่มขึ้นด้วยเช่นกนั โดยกราฟระหวา่ งแรงดึงในเส้นเชือก (������) กับส่วนกลับของคาบยก กำลังสอง(������12) และกราฟระหว่างรศั มีของการเคลื่อนท่ี (������) กับคาบยกกำลังสอง (������2) มีลกั ษณะดังนี้ จากกราฟ 1 พบว่า ส่วนกลบั ของคาบยกกำลงั สอง(������12) แปรผันตรงกับ ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชอื ก (������) หรอื แรงสศู่ นู ย์กลาง จะได้วา่ 1 ∝ F T2 หรือ T2 ∝ 1 F กราฟ 1 ความสมั พันธ์ระหว่าง 1 และ F ������ 2 จากกราฟ 2 พบวา่ คาบยกกำลังสองแปรผันตรงกบั รัศมีของการเคลื่อนท่ี จะได้ วา่ T2 ∝ ������ และ จากความสมั พันธ์ของกราฟทง้ั สอง จะไดว้ า่ T2 ∝ ������ ������ และจากสมการ ������ = 2������������ จะไดว้ ่า ������ 2 = 4������2������2 ������2 ������ กราฟ 2 ความสมั พันธ์ระหว่าง ������2และ F ดังน้นั ������ 2 ∝ ������2 และ ������ ∝ ������2 ������2 ������ ������2 ดังนนั้ ������ ∝ ������2 ������

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลอ่ื นทีแ่ นวโคง้ หน้า 15 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกส์เพิม่ เตมิ 2 ระดบั ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 สรปุ ได้วา่ ขนาดของแรงดงึ ในเส้นเชือกแปรผนั ตรงกับอัตราเรว็ ของวัตถุยกกำลังสอง และแปรผกผันกบั รศั มี ของการเคล่ือนที่ โดยขณะที่วตั ถเุ คล่ือนทแี่ บบวงกลมในระนาบระดับ เส้นเชือกจะไม่ได้อยูใ่ นแนวระดับ ทง้ั น้ีเพราะน้ำหนกั ของวตั ถทุ ำให้เส้นเชอื กเอียงทำมุมกับแนวระดับเล็กนอ้ ย ดงั รปู จากรปู องคป์ ระกอบในแนวดิง่ ของแรงดึงในเสน้ เชือก คอื ������ ������������������ จะเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ mg และมี ทิศทางตรงขา้ มกนั ส่วนองค์ประกอบในแนวระดบั ของแรง ดงึ ในเสน้ เชอื ก คือ ������ ������������������ ทำหน้าทเ่ี ป็นแรงเขา้ สู่ ศนู ยก์ ลางของการเคลื่อนท่ขี องวตั ถุ เมอ่ื วตั ถุ เคล่ือนทดี่ ้วย อตั ราเรว็ คงตัวในแนวระดับ มมุ  จะเปลีย่ นแปลงไป เล็กนอ้ ย แต่ค่าของ ������������������ จะใกลเ้ คียงกนั จนถือไดว้ า่ มีค่า คงตวั นน่ั คอื ขนาดของแรงส่ศู ูนยก์ ลาง ������������ แปรผนั ตรงกับ ขนาดของแรงดงึ ในเสน้ เชือก ������ ในทำนองเดียวกัน รัศมี การแกวง่ วัตถุใหเ้ คลอื่ นทีแ่ บบวงกลมในแนวระดับ ของการเคลื่อนที่ ������ จะเท่ากบั ������ ������������������ เม่อื ������������������ มี ค่าคงตัว รศั มีการเคล่ือนที่ของวัตถุ จงึ มีคา่ ใกลเ้ คียงกบั ความยาวของเสน้ เชอื ก ดงั น้นั ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งขนาดของแรงเขา้ สู่ศูนย์กลาง อัตราเรว็ และรศั มขี องการเคล่ือนท่ีได้ เป็นไปตามสมการ ������2 ������������ ∝ ������ 2.1 ความเร่งส่ศู นู ยก์ ลาง วตั ถทุ ี่มีการเคลื่อนทแ่ี บบวงกลมจะมีความเร็วขณะหนึง่ อยู่ในแนวของเสน้ สมั ผัส และความเร็วของวัตถจุ ะมีทิศทาง เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา จงึ ถอื เป็นการเคลื่อนท่ีท่ีมคี วามเรง่ โดยความเร่งน้ีก็คือความเรง่ สูศ่ ูนยก์ ลาง จะมวี ธิ ีการในการหา ขนาดและทศิ ทางของความเรง่ ทเ่ี กิดขึน้ ได้อย่างไร ให้นักเรียนพิจารณารูปต่อไปน้ี

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลือ่ นที่แนวโคง้ หน้า 16 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ สเ์ พ่มิ เตมิ 2 ระดบั ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 จากรปู วตั ถเุ คล่อื นท่ีจาก A ไป B ในชว่ งเวลาส้ัน ๆ ������������ ตามแนวโค้งของวงกกลมรัศมี ������ ดว้ ยความเรว็ คงตัว ���⃑��� ความเรว็ ของวัตถุทต่ี ำแหน่งตา่ ง ๆ จะมีทศิ ทางตามแนวเสน้ สมั ผัสกับส่วนโคง้ ของวงกลมทีต่ ำแหนง่ น้ัน นนั่ คอื ทีจ่ ุด A วตั ถจุ ะ มีความเรว็ ���⃑���0 สว่ นทจี่ ดุ B วตั ถุจะมีความเรว็ ���⃑��� ดังน้ัน ความเร็วทเี่ ปลีย่ นไปในระหว่างทว่ี ัตถเุ คลอ่ื นท่ีจากจุด A ไปยังจุด B จะหาได้จาก ���������⃑��� = ���⃑���– ���⃑���0 ดังรปู ข ถา้ วตั ถุเคลอ่ื นท่ีจาก A ไป B โดยใชเ้ วลาน้อยมาก ๆและ ������ มีค่านอ้ ย ๆ ���������⃑��� จะต้ังฉากกบั ทศิ ทางของ ���⃑��� และมที ิศทางสู่ศนู ย์กลางของวงกลมเสมอ ซึง่ จากนิยามของความเรง่ ⃑���⃑⃑���⃑ = ∆���⃑⃑��� ความเร่ง ���⃑��� ∆������ จะมที ศิ ทางเดียวกบั ความเรว็ ที่เปลีย่ นไป Δ���⃑��� เมือ่ Δ���⃑��� มีทิศทางเข้าสู่ศนู ยก์ ลางของวงกลม ดงั นัน้ ความเร่งของวตั ถทุ ่ี ตำแหนง่ ใด ๆ บนส่วนโคง้ ของวงกลมจงึ มที ิศพุ่งเข้าหาจุดศูนยก์ ลางของวงกลมดว้ ย พจิ ารณา ก จะเหน็ ว่า OA ตั้งฉากกบั ���⃑���0 และ OB ต้งั ฉากกับ ���⃑��� โดยมมี ุม ������ เปน็ มุมระหว่างOA และ OB ซ่ึง จะเท่ากบั มมุ ระหว่าง���⃑���0กบั ความเรว็ ���⃑��� ด้วย และจากรูป ข เปน็ รูปสามเหลย่ี มคล้ายกับรูปสามเหล่ียม OAB จากสมบัติ ของสามเหลย่ี มคล้าย จะไดว้ า่ ������0 = ������ = ∆������ ������������ ������������ ������������ เนื่องจากวตั ถเุ คล่ือนท่ีด้วยความเร็วคงตัว ดังน้ัน ขนาดของความเร็วขณะหนึง่ จะมีค่าเท่ากบั ขนาดของความเร็ว หรอื อตั ราเร็วนี้ จะไดว้ ่า ������0 = ������ = ������ใดๆ ถ้าวตั ถุเคล่ือนที่จากจดุ A ไปยังจดุ B ใชเ้ วลา ������������ ซ่งึ มคี า่ น้อย ๆ ดังน้นั จดุ A และจดุ B จะอยู่ใกลก้ ันมาก อาจถือ ไดว้ า่ ความยาวของเส้นตรง AB เทา่ กบั ความยาวของสว่ นโคง้ AB ซึง่ มีคา่ เทา่ กับ ������������������ จะไดว้ า่ ������ = ∆������ ถา้ กำหนดให้ ������������ เป็นขนาดของความเร่งสศู่ นู ย์กลางจะไดว้ า่ ������2 ������������ ������������ ������������ = ������ ������ = ∆v เมอ่ื ������������ คอื ขนาดของความเรง่ สู่ศนู ยก์ ลาง มหี น่วยเป็น เมตรตอ่ วนิ าที2 ������ ������∆������ ������ คือ ขนาดของความเรว็ หรอื อตั ราเรว็ ของวัตถุท่ีเคล่ือนที่แบบวงกลม ∆v ������2 มหี น่วยเป็น เมตรตอ่ วินาที ∆������ = ������ ������ คือ รัศมขี องวงกลม มีหน่วยเป็น เมตร ������2 ������ = ������ จากกฎการเคลือ่ นที่ข้อที่สองของนวิ ตัน แรงลพั ธท์ ี่กระทำตอ่ วตั ถจุ ะมที ิศทางเดยี วกับความเรง่ ดังนน้ั วัตถทุ ี่ เคล่อื นทแี่ บบวงกลมในระนาบระดบั ดว้ ยอตั ราเร็วคงตัวจะมแี รงส่ศู นู ย์กลางในทศิ ทางเข้าหาศนู ย์กลางของวงกลม จากสมการ ������������ = ������������ เม่ือกำหนดให้ ������������ เปน็ แรงสู่ศนู ย์กลางท่กี ระทำกับวัตถมุ วล ������ ให้เคลื่อนท่ีแบบวงกลมด้วยความเร่ง ������������ จะได้วา่ ������������ = ������������2 ถ้าแทนค่า ������ ด้วย ������ = ������������จะไดว้ า่ ������������ = ������������2������ ������

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นทีแ่ นวโคง้ หน้า 17 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพม่ิ เติม 2 ระดบั ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 2.2 การเคลอ่ื นที่บนทางโค้ง การเคล่ือนท่ีบนทางโค้งของยานพาหนะตา่ ง ๆ ถอื เปน็ การเคลือ่ นท่แี บบวงกลมอย่างหนง่ึ เน่ืองจากมแี นว การเคลอ่ื นท่ีเปน็ สว่ นหน่งึ ของวงกลม ซ่ึงขณะทเ่ี ล้ียวโคง้ จะต้องมแี รงสศู่ นู ยก์ ลางกระทำกบั รถ จึงจะทำให้เลย้ี วโคง้ ได้ อยา่ งปลอดภยั การเคลอ่ื นทบ่ี นทางโค้งจะมี 2 ลักษณะ คือ การเล้ยี วรถบนถนนราบและการเลยี้ วรถบนถนนเอยี ง การเล้ียวรถบนถนนราบ โดยปกติแล้ว รถยนต์หรือรถจักรยานยนตท์ ่ีวงิ่ บนถนนราบตรงจะมีแรงเสียดทานระหวา่ งยางรถกับพื้นถนน ซง่ึ ชว่ ย ใหร้ ถเคล่อื นทไ่ี ปขา้ งหนา้ ได้ แตถ่ ้าขณะทร่ี ถกำลังเลีย้ วโค้ง นอกจากจะมแี รงเสยี ดทานในแนวเดียวกับการเคลอ่ื นที่แลว้ ยงั มี แรงเสียดทานระหว่างยางรถกบั พนื้ ถนนท่มี ีทิศทางพงุ่ เขา้ สู่ศูนย์กลางของทางโคง้ ซึ่งเปน็ แรงเสยี ดทานสถิต แรงน้จี ะทำหน้าท่ี เป็นแรงส่ศู ูนยก์ ลาง และตอ้ งมีขนาดมากพอทจี่ ะทำให้รถไมไ่ ถลออกนอกทางโค้ง แรงเสยี ดทานสถิต = แรงสูศ่ ูนย์กลาง ������������ = ������������ ถา้ ตอ้ งการรถเลี้ยวด้วยอัตราเร็วสูงสดุ ให้ปลอดภัย แรงกระทำต่อรถขณะกำลังเลยี้ งโคง้ บนทางโค้งราบ ������������ = ������������ ������������2 เม่อื ������������ คือ สัมประสิทธ์คิ วามเสียดทานสถิตระหวา่ งลอ้ รถกบั ถนน ������ คอื อตั ราเรว็ สงู สุดขณะเลี้ยวรถไดอ้ ย่างปลอดภัย ������������������ = ������ ������������2 ������������������������ = ������ ������2 ������������ = ������������ ������ คอื รัศมีความโค้งของถนน ส่วนการเลี้ยวรถจักรยานหรือจักรยานยนต์บนถนนราบนั้นมีแรงกระทำต่อรถแตกต่างจากรถยนต์ โดยขณะท่ี กำลังเลี้ยวโค้งจะต้องเอียงตัวด้วยเพื่อให้เลี้ยวได้อย่างปลอดภัย เหตุใดจึงต้องทำเช่นนั้น และถ้านักเรียนไม่เอียงตัวจะ สามารถเลี้ยวโคง้ ไดอ้ ย่างปลอดภัยหรือไม่ พจิ ารณารปู ต่อไปน้ี จากรปู ขณะเล้ียวรถจะมแี รงกระทำต่อรถ ไดแ้ ก่ น้ำหนกั (���������⃑���) แรง ปฏิกิริยาที่พื้นดันรถ (���⃑⃑���) และแรงเสียดทานที่ล้อรถกับพื้นถนน (���⃑���������) ซึ่งทั้ง 3 แรง จะรวมกันได้เป็นแรงลัพธ์ (���⃑⃑���) ซึ่งไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของคนกับ รถจกั รยาน ถา้ เล้ียวโค้งโดยที่ไม่เอียงรถ จะทำให้เกิดโมเมนต์รอบจุดศูนย์กลาง มวล จงึ เปน็ สาเหตทุ ำใหร้ ถลม้ ขณะเล้ยี วได้ ผ้ขู ับข่ีจึงต้องเอียงรถให้แรงลพั ธ์ผ่าน จดุ ศนู ยก์ ลางมวลขณะเล้ียว เพือ่ ให้เล้ียวโค้งไดอ้ ยา่ งปลอดภยั แรงกระทำตอ่ รถจกั รยานขณะเล้ียวบนถนนโค้ง ราบ

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคล่อื นทแี่ นวโคง้ หน้า 18 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกส์เพ่ิมเติม 2 ระดบั ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 จากรูป พิจารณาการเลี้ยวรถดว้ ยอัตราเร็วสูงสุด จะไดว้ า่ ทีแ่ นวระดบั ������ ������������������ = ������������ = ������������2 ………… (1) ������ ………… (2) ที่แนวดิ่ง ������ ������������������������ = ������ = ������������ (1) จะได้ tan ������ = ������2 ������ ������������������ (2) ������������ เมือ่ ������ คือ มุมท่รี ถจกั รยานเอยี งจากแนวด่ิง แรงก���ร���ะท���ำ������ต������่อ���รถจกั รยานขณะเลี้ยว ������ คอื อัตราเร็วสูงสุดขณะเลยี้ วรถไดอ้ ย่างปลอดภัย ������ คือ รัศมคี วามโค้งของถนน บนถนนโคง้ ราบเมอ่ื เอียงตัว การเลีย้ วโค้งบนถนนเอียง จากการศึกษาการเลี้ยวรถบนถนนโค้งราบ พบว่า รถจะเลี้ยวได้อย่างปลอดภัยหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ ความเสียดทานสถิตระหว่างพืน้ ถนนกับล้อรถ กล่าวคือ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตมีค่ามาก รถจะสามารถเลี้ยว ได้อย่างปลอดภัย แต่ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตมีค่าน้อย เช่น ในขณะที่ฝนตกจะทำให้ถนนลื่น อาจมีความเสี่ยง ทจ่ี ะทำใหร้ ถพลิกคว่ำได้ ดังนัน้ จงึ มกี ารแก้ไขโดยทำพ้นื ถนนใหเ้ อียงบริเวณทางโค้ง เพื่ออาศยั แรงปฏกิ ริ ยิ าที่พ้ืนกระทำต่อรถ เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง โดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน โดยถนนจะถูกยกขอบด้านนอกให้สูงกว่าด้านใน เพื่อให้เกิดความ ปลอดภัยมากขนึ้ และยงั ทำให้รถสามารถเลย้ี วโค้งได้ดว้ ยอัตราเร็วที่มากกวา่ เดิมได้ ลกั ษณะของรถท่เี ลี้ยวโคง้ บนถนนเอยี ง

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอื่ นท่ีแนวโค้ง หน้า 19 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พิ่มเติม 2 ระดับช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 พิจารณารูป ขณะทีร่ ถเลี้ยวโคง้ บนพน้ื ถนนเอียง แรงปฏกิ ิรยิ าท่ีผวิ ถนนกระทำตอ่ รถ (���⃑⃑���) จะอยู่ในทิศทางตั้ง ฉากกบั พื้นเอยี ง ทำใหเ้ กิดความปลอดภัยในการเลี้ยวโค้งสูง กวา่ แรงเสียดทาน เมื่อไม่คิดแรงเสยี ดทานทพี่ ืน้ ถนนกระทำ ตอ่ ด้านข้างล้อรถ องคป์ ระกอบของแรง (���⃑⃑���) ในแนวระดบั จะทำหนา้ เปน็ แรงสู่ศูนย์กลางในการเลี้ยวรถได้ แนวระดับ ������ ������������������ = ������������ = ������������2 ………… (3) ������ ทแี่ นวดง่ิ ������ ������������������������ = ������������ ………… (4) (3) จะได้ tan ������ = ������2 (4) ������������ เมื่อ ������ คือ มมุ ที่พน้ื ถนนเอียงจากแนวระดับ ������ คือ อัตราเรว็ สูงสดุ ขณะเลี้ยวรถไดอ้ ย่างปลอดภัย ������ คือ รัศมคี วามโคง้ ของถนน จากสมการ tan ������ = ������2จะเหน็ ไดว้ ่า การสรา้ งถนนชว่ งทางโคง้ ให้เอียงทำมุมกบั แนวระดับจะตอ้ งคำนึงถึง ������������ อตั ราเรว็ ของรถขณะเล้ียวโคง้ และรศั มขี องทางโคง้ เพือ่ ใหเ้ กดิ ความปลอดภัยในการขบั รถ 2.3 การเคลือ่ นที่ของดาวเทยี ม การโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์หรือการโคจรของ ดวงจันทรแ์ ละดาวเทยี มต่าง ๆ รอบโลกจะมีลกั ษณะเป็นแนวโค้งแบบ วงกลมหรอื วงรี ซงึ่ ถอื เป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมอยา่ งหน่งึ ถ้าพิจารณาลักษณะการเคลื่อนที่ของดาวเทียมโดยอาศัยความรู้ เกยี่ วกับการเคลอื่ นท่แี บบวงกลมและกฎความโนม้ ถว่ งสากลของนิวตัน จะพบว่า แรงดงึ ดดู ระหวา่ งมวลที่โลกกระทำต่อดาวเทยี มจะทำหน้าที่ เปน็ แรงสูศ่ นู ยก์ ลาง ดังรปู จะได้วา่ ������������ = ������������ เม่ือ ������ คือ ค่าคงที่โน้มถว่ งสากล มคี ่าเท่ากับ6.67 × 10–11N.m2/kg2 ������������������ = ������������2 ������ คอื มวลของโลก ������2 ������ ������ คอื มวลของดาวเทียม ������2 = ������������ ������ คอื อัตราเร็วในการโคจรของดาวเทียม ������ ������ คอื รศั มวี งโคจรของดาวเทียม ������ = √������������ ������

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ หน้า 20 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ ส์เพิม่ เตมิ 2 ระดับชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 จากสมการ ������ = √������������จะสามารถคำนวณหาอตั ราเรว็ ของดาวเทียมท่ีโคจรรอบโลกได้ การสง่ ดาวเทียมขึ้นไปโคจรรอบ ������ โลกนน้ั จะตอ้ งมีการกำหนดระดับวงโคจรของดาวเทียมกอ่ น แล้วจึงคำนวณหาแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำกับดาวเทียมและ อัตราเรว็ เชงิ เสน้ ในวงโคจรน้ัน ๆ เม่อื ยิงดาวเทียมขน้ึ ไปจนถงึ ระดับความสูงของวงโคจรตามที่ต้องการแลว้ จึงปรับทิศทาง และอัตราเร็วของดาวเทียมใหต้ รงกับท่ีคำนวณไว้เพอื่ ใหด้ าวเทียมโคจรรอบโลกได้ ขณะท่ีดาวเทยี มโคจรรอบโลกจะมคี วามเร่ง ในทิศทางเขา้ สูศ่ ูนย์กลางของโลกตลอดเวลา ซึ่งความเรง่ นีจ้ ะมีค่าเท่ากับความเร่งโนม้ ถ่วงของโลก (���⃑���) จึงทำให้วตั ถุที่โคจร รอบโลกมีสภาพเหมือนกับตกอย่างอิสระอยู่ตลอดเวลา มนุษย์อวกาศที่อยู่ในดาวเทียมหรือสถานีอวกาศจึงไม่มีแรงที่เท้า กระทำตอ่ พ้ืนทำใหอ้ ยูใ่ นสภาพไร้น้ำหนัก ในปัจจบุ ันดาวเทียมท่ีโคจรรอบโลกมีจำนวนมาก ดาวเทียมแต่ละดวงจะทำหน้าทต่ี ่างกัน ตวั อยา่ งเช่น ดาวเทียม อุตุนิยมวทิ ยา ดาวเทยี มสำรวจทรพั ยากรธรรมชาติ ดาวเทียมส่ือสาร ซึ่งดาวเทียมแต่ละประเภทจะมรี ะดับความสูงของวง โคจรตา่ งกัน จงึ มีอัตราเร็วในวงโคจรแตกต่างกนั ด้วย ส่วนดาวเทียมค้างฟ้าจะโคจรด้วยอัตราเร็วเท่ากับอัตราเร็วที่โลก หมุนรอบตวั เอง จะมีตำแหนง่ ในวงโคจรทแ่ี นน่ อนเมอื่ เทยี บกับพน้ื โลก จงึ อยูต่ รงกับตำแหน่งทก่ี ำหนดไวบ้ นพ้นื โลกตลอดเวลา วงโคจรนี้เรียกว่า วงโคจรค้างฟา (geostationary orbit) การหาคาบของดาวเทียมที่ระดับความสูงต่าง ๆสามารถทำได้ ดงั น้ี ความรู้เพม่ิ เติม แรงดึงดูดระหวา่ งมวลจะทำหน้าทเ่ี ป็นแรงสู่ วงโคจรของดาวเทยี ม ศนู ยก์ ลาง จะได้วา่ ดาวเทยี มแต่ละดวงจะมีวงโคจรที่ระยะห่างจากโลกไมเ่ ท่ากนั ซึ่ง ������������ = ������������ ข้นึ อยู่กับประเภทและลักษณะการใช้งานของดาวเทียมน้ันๆ วงโคจรของ ดาวเทียมจะแบง่ ออกเป็น 3 ระดบั ตามระดบั ความสงู จากพืน้ โลก ดังนี้ ������������������ = ������������2 1. วงโคจรประจำที่ (geosynchronous earth orbit : GEO) ������2 ������ อยู่ท่รี ะยะความสูงจากพ้ืนโลก 35,786 กิโลเมตร เปน็ วงโคจรทอ่ี ยูไ่ กลโลก มากท่สี ดุ มีเสน้ ทางโคจรอยูใ่ นแนวเสน้ ศนู ยส์ ูตร และโคจรรอบโลกดว้ ย ������������������ = ������������2������ ความเรว็ เชิงมมุ เท่ากับโลกหมุนรอบตวั เอง ทำใหด้ ูเหมือนลอยนงิ่ อยู่เหนอื ������2 จุดหนึง่ ของโลกตลอดเวลา จึงเรียกว่า ดาวเทยี มคา้ งฟา้ และเรยี กวงโคจร นีว้ า่ วงโคจรคา้ งฟา้ มีคาบการโคจรเทา่ กับโลกโคจรรอบตวั เองคอื ������������������ = ������ (2������)2 ������ ประมาณ 24 ชัว่ โมง ������2 ������ 2.วงโคจระดับปานกลาง (medium earth orbit : MEO) เป็นดาวเทยี มท่ไี มไ่ ดห้ ยดุ น่งิ เม่อื เทียบกบั พ้ืนโลก โคจรทีร่ ะดับความสงู ������2 = (2������)2������3 ������������ ������ = 2������√ ������3 ประมาณ 2,000-35,000 กิโลเมตรจากพ้ืนโลก ส่วนใหญ่เป็นดาวเทียม ส่อื สารและนำทาง เช่น ดาวเทยี มจีพีเอส (GPS) ������������ 3. วงโคจรระดบั ต่ำของโลก (low earth orbit : LEO) โคจรทร่ี ะยะความสงู จากพืน้ โลกประมาณ 120-2,000กิโลเมตร เปน็ จากสมการ จะเห็นได้ว่า คาบของการโคจรนั้นจะ ดาวเทียมสงั เกตการณแ์ ละสำรวจสภาวะแวดล้อม โครงสร้างของช้ันหิน การถ่ายภาพทำแผนท่ีดาวเทยี ม ด้านอุตุนยิ มวทิ ยา รวมถึงการคน้ หาและ ขนึ้ อยู่กบั รัศมขี องวงโคจร ยิ่งวงโคจรอยู่ห่างจากโลก กู้ภัย ดาวเทียมประเภทน้ีไมส่ ามารถใช้งานในบรเิ วณใดบรเิ วณหนงึ่ ได้ มาก เวลาทีด่ าวเทียมใช้ในการโคจรรอบโลก 1 รอบ ก็จะย่ิงมคี ่ามากดว้ ยเช่นกนั ตลอดเวลาเน่อื งจากมคี วามเร็วในการเคลอ่ื นท่ีสงู ดาวเทียมบางดวงใน ระดับวงโคจรน้สี ามารถมองเหน็ ไดด้ ว้ ยตาเปลา่ ในเวลาค่ำหรือกอ่ นสวา่ ง โดยจะมองเหน็ เป็นจดุ สวา่ งจดุ เลก็ ๆ เคล่ือนท่ีค่อนขา้ งเร็ว

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่แี นวโคง้ หน้า 21 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ ส์เพมิ่ เตมิ 2 ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ความรู้เพิม่ เติม การเคล่ือนทแี่ บบวงกลมในกรณตี ่าง ๆ ทีไ่ ดเ้ รียนมาแล้วนนั้ เป็นการเคล่ือนที่ด้วยอัตราเร็วคงตวั แตย่ ังมีการเคล่ือนที่ แบบวงกลมอกี กรณหี นง่ึ ที่มอี ตั ราเรว็ ไมค่ งตวั นน่ั คือ การเคล่อื นท่ีแบบวงกลมในแนวดิ่ง ซง่ึ ในชวี ติ ประจำวัน อาจพบเห็นได้ จากการเคลื่อนที่ของรถไฟเหาะ หรือการผูกเชอื กกับวัตถุแล้วแกวง่ เปน็ วงกลมในแนวดง่ิ การเคลอื่ นที่ลกั ษณะนี้เป็นการเคล่ือนท่ีดว้ ยอัตราเร็ว เชิงมุมที่มีคา่ ไม่สม่ำเสมอ และแรงที่กระทำต่อวัตถุจะเป็นแรงลัพธ์ซ่งึ ได้ จากการรวมแรงในแนวเสน้ สัมผัสวงกลมและแรงสู่ศูนย์กลางเข้าดว้ ยกัน สว่ นความเรง่ ในการเคลอ่ื นที่ของวัตถุจะเกดิ จากการรวมความเร่งในแนว เส้นสมั ผสั วงกลมและความเร่งเขา้ สู่ศูนย์กลางของวัตถุ เมื่อพจิ ารณาความเร่งของวตั ถุหนง่ึ ท่ผี กู ติดกับเชือกแลว้ แกวง่ เป็นวงกลมในแนวดิง่ ดงั รูป การเคลอื่ นท่ีเป็นวงกลมในแนวด่ิงของรถไฟเหาะ ขณะท่ีวัตถุเคล่ือนที่จะมแี รงกระทำตอ่ วตั ถุ 2 แรง คอื แรงตึงเชือก (���⃑⃑���) และแรงเนือ่ งจากน้ำหนักของวตั ถุ (m���⃑���) จะสามารถหาแรงตึงเชือกท่ี ตำแหน่ง A, B, C, D และ E ได้ ดงั นี้ จาก ������������ = ������������������ = ������������2 ������ ท่ี A : ������������ − ������������ = ������������2 ������ ท่ี B : ������������ − ������������ cos ������ = ������������2 ������ ท่ี C : ������������ = ������������2 ������ ท่ี D : ������������ + ������������ cos ������ = ������������2 ������ ท่ี E : ������������ + ������������ = ������������2 ������

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคล่ือนทแ่ี นวโค้ง หน้า 22 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พมิ่ เตมิ 2 ระดับช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 แบบฝกึ หดั การเคล่อื นที่แบบวงกลม (1) โจทยเก่ยี วกบั แรงดันพืน้ และแรงดงึ เชอื ก ความรูพ้ นื้ ฐาน เก่ียวกับปรมิ าณการเคลือ่ นทแี่ บบวงกลม 1. วัตถชุ ้ินหนงึ่ เคลือ่ นที่เป็นรปู วงกลมด้วยอัตราเรว็ 20 รอบในเวลา 4 วนิ าที จงหา ก) ความถี่ ข) คาบ ค) ถา้ รศั มีของการเคลือ่ นที่เป็น 2 เมตร จงหาอตั ราเรว็ 2. วัตถหุ นึ่งเคล่ือนท่ีเป็นวงกลมของพบว่า ช่วงเวลา 2 วินาที เคล่อื นที่ได้ 10 รอบ ถ้ารศั มี การเคลื่อนทม่ี ีค่า 0.2 เมตร อัตราเรว็ เชงิ เส้นของวัตถุนจ้ี ะเป็นเท่าไร 3. จงหาความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางวัตถุทเ่ี คลอื่ นทีเ่ ป็นรูป วงกลมรศั มี 16 เมตร ด้วยอัตราเร็ว 40 เมตรต่อวนิ าที โจทยเกย่ี วกบั แรงดันพ้นื (N) 4. เคร่อื งบินไอพ่น บินเป็นวงกลมในแนวด่งิ รศั มี 100 เมตร และอตั ราเร็วคงท่ี 100 เมตร/วินาที นักบินมมี วล 50 กโิ ลกรมั อยากทราบว่า แรงปฏกิ ิริยาทเ่ี บาะนงั่ กระทาํ ต่อนกั บินเป็นเท่าไร ขณะเครอ่ื งบนิ อยู่ที่จดุ สูงสุด 5. วตั ถกุ ลมเล็กอันหนึ่งมมี วล m วางอยู่จุดบนสดุ ของครึ่งทรงกลมตนั ซึง่ มมี วล m รัศมี R จงหาอัตราเร็วในแนวระดบั ทีน่ ้อย ทส่ี ุดท่จี ะทาํ ให้วตั ถหุ ลดุ ออกผวิ ทรงกลมโดยไม่มีการเลอื่ นไถลลงมาตามผิว และให้ N เปน็ แรงที่ทรงกลมกระทาํ ต้อวัตถุใน แนวต้ังฉากกบั ผิวทรงกลม 6. รถยนตอ่ มวล 1200 กโิ ลกรมั กาํ ลังวิ่งด้วยอัตราความเร็ว v เมตรต่อวินาที ข้ามสะพานท่จี ุดสงู สุดของสะพานซ่งึ มรี ัศมี ความโคง้ ในระนาบดง่ิ 12 เมตร จงหาอัตราเรว็ v ทพ่ี อดที าํ ให้รถยนต์เรม่ิ หลดุ จากความโค้งของสะพาน โจทยเกยี่ วกับ แรงดึงเชือก (T) 7. มวล m ผกู กบั เชอื กเบาวางบนโต๊ะล่นื ตรงกลางโต๊ะเจาะรูเอาเชอื กคล้องผ่านรูแล้วไปผกู กบั มวล M มวล m เคลอ่ื นที่เปน็ วงกลมด้วยอตั ราเร็ว 10 เมตร/วินาที โดยมีรัศมกี าร เคล่ือนท่ี 0.2 เมตร ถามว่าถ้ามวล M ไม่เคลื่อนข้นึ ลง มวล M จะสัมพันธ์กับ m อย่างไร 8. ลูกบอลมวล 0.1 กิโลกรัม แขวนด้วยเชือกเบาทาํ มุม 30o กับแนวด่งิ แกว่งให้เป็นวงกลมรัศมี 0.4 เมตร ด้วยความเร็วเชิง เสน้ 6 เมตร/วินาที แรงตึงของเส้นเชือกมคี ่ากนี่ วิ ตนั 9. ผกู เชือกเบาติดกับลูกบอลมวล 1 กโิ ลกรัม แกว่งเชอื กให้เป็นวงกลมในแนวด่ิงรศั มี 0.2 เมตร ด้วยความเร็วเชงิ เส้น 4 เมตร/วินาที จงหาแรงตงึ ของเชอื กขณะทลี่ ูกบอลอยู่ทต่ี ําแหน่งสูงสดุ 10.วัตถุมวล 1.0 กโิ ลกรมั ผูกติดกบั เชอื กยาว 5 เมตร ถ้าถอื วัตถอุ นั นใ้ี ห้เชือกตงึ และอยู่ในแนวระดับก่อนแล้วจึงปล่อยให้ วัตถุตกลงมาอยากทราบว่า ก) เมือ่ วัตถุแกว่งถึงจุดต่ำสุดจะมอี ัตราเร็วเท่าใด ข) ทีจ่ ุดต่ำสุดเชอื กมแี รงตึงเท่าใด

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอื่ นท่ีแนวโค้ง หน้า 23 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พมิ่ เติม 2 ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 11. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผกู ไว้ด้วยเชือกเส้นหน่ึงแล้วแกว่งให้หมุนเป็นวงกลมในแนวดิง่ มรี ัศมี 10 เมตร เมอ่ื วตั ถุถกู แกว่งขึน้ มาถึงจุดสูงสดุ วัตถตุ ้องมคี วามเรว็ น้อยท่สี ุดเทา่ ไร วตั ถจุ ึงจะยังคงเคล่อื นทเ่ี ป็นวงกลมได้ 12. นาํ วตั ถมุ วล m ผกู ตดิ เชือกแล้วแกว่งเป็นวงกลมในระนาบด่ิง มีรศั มี R อัตราเร็วที่น้อยทส่ี ุดในวงกลมท่ีวัตถุจะเคลอื่ นทมี่ ี วิถีเปน็ วงกลมสมบูรณ์ได้จะมคี ่าเท่าใด 13. วตั ถมุ วล 0.5 กิโลกรมั ผกู ตดิ กบั เชอื กยาว 1.0 เมตร แกว่งเป็นวงกลมในแนวด่ิง เมอื่ เชือกทํามุม 60o กบั แนวด่ิง จาก ตาํ แหน่งตำ่ สุดของวถิ ีทางโคจรของวตั ถุ จงหาความตึงในเส้นเชือก ถ้าขณะน้นั อตั ราเร็วในการเคลอื่ นที่ทตี่ ําแหน่งเป็น 3.0 เมตร/วินาที 14. แขวนมวล m ด้วยเชอื กยาว L แล้วทําให้แกว่งขณะท่เี ชือกทํามุม θ กับแนวดงิ่ ซงึ่ วตั ถุหยุดพอดี จงหาความตงึ เชือก ขณะน้ัน การเคล่อื นที่แบบวงกลม (2) โจทยเกี่ยวกับแรงเสียดทานและแรงดงึ ดูดระหวางมวล โจทยเกย่ี วกับ แรงเสยี ดทาน (f) 15. แผนเสยี งแผนหนง่ึ วางอยใู นแนวระดบั เม่ือเอาเหรียญอนั หนึง่ มาวางไวหางจาก จดุ ศูนยกลางของแผนเสยี งเปนระยะ 11 เซนตเิ มตร ปรากฏวาเหรยี ญอันนี้จะหมนุ ติดไปกบั แผนเสียงไดโดยไมไถลหลดุ จากโตะ ถาอตั ราการหมนุ ของแผน นอยกวา 5/6 รอบตอวินาที จงหาสัมประสทิ ธ์ิความเสยี ดทานสถิตระหวางเหรยี ญกบั แผนเสียง 16. เหรียญวางอยูที่ระยะ 20 cm จากศนู ยกลางแผนเสียง ถาสมั ประสิทธิ์ความเสยี ดทานสถิตยระหวางเหรียญและแผน เสยี งเปน 0.125 จงหาจํานวนรอบท่ีมากทีส่ ดุ ใน 1 วินาที ทแ่ี ผนเสียงแลวเหรยี ญยังคงอยูนงิ่ เทียบกบั แผนเสยี ง 17. ตามรปู เปนการแสดงคนไตถงั ซ่ึงหาชมไดตามงานท่วั ไป โดยจะมีถงั ขนาดใหญเปนรปู ทรงกระบอก หมนุ แลวผูแสดงทงั้ เดก็ และผูใหญสามารถติดท่ีผนงั ดานในของถังแลวเดนิ ขน้ึ ลงไดสมมติคนมีมวล m โดยที่ r เปนรัศมีของถังและขณะนัน้ ถังหมุนจนทําใหคนมีอัตราเร็วเชิงเสน v คาสัมประสิทธ์ิ ของความเสียดทานสถิตระหวางคนกับถงั เทาไร 18. จากขอท่ี 17 ถา µ เปนสัมประสิทธิ์ระหวางคนกับผนังดานในของถัง จงคํานวณความถี่ต่ําสุดที่ถังหมุนแลวคนยังคง คดิ อยไู ด้ 19. กําหนดใหรถจักรยานยนตเล้ียวโคงบนถนนรัศมีความโคง 0.1 km ดวยอตั ราเรว็ 36 km/hr ไดอยางปลอดภัย แมฝนตก ทางล่ืน คนขับตองเอียงตวั ทํามุมกบั แนวด่ิงเทาใด 20. ผขู บั ข่ีรถจักรยานยนตเลยี้ วโคงบนถนนราบทมี่ รี ัศมีความโคง 40 เมตร คนขับตองเอียงรถทํามุม 37o กบั แนวด่ิง ขณะนั้น ผูขบั ขขี่ ับรถในอตั ราเรว็ กี่เมตร/วนิ าที 21. รถยนตคันหนง่ึ แลนดวยความเร็ว 60 กิโลเมตร/ชวั่ โมง เมอ่ื รถคันนเ้ี ล้ียวโคงบนถนนมีรัศมคี วามโคง 150 เมตร พ้ืนถนน ควรเอียงทาํ มุมกบั แนวระดับเทาใด รถจงึ จะเล้ยี งโคงอยางปลอดภัย

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคล่อื นท่ีแนวโคง้ หน้า 24 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ ส์เพม่ิ เติม 2 ระดับชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 โจทยเก่ียวกับ แรงดึงดดู ระหวางมวล (FG) 22. จงหาแรงดึงดดู ระหวางโลกกบั ดวงอาทติ ยในหนวยนวิ ตัน ถาโลกมีมวล 5.98 x 10 24 kg อยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ 1.5 x 108 km และหมุนรอบดวงอาทติ ย 1 รอบใชเวลา 365 วนั 23. ดาวเทยี มมวล 6 kg หมุนรอบโลกเปนวงกลมรศั มี 7000 km และท่ีความสงู ระดับนีแ้ รง ดึงดูดของโลกมีคาเทากับ 7 N/kg จงคํานวณหาความเรว็ และคาบการหมุนของดาวเทยี มนี้ 24. ดาวเทยี มดวงหนึ่งโคจรรอบโลกที่ความสูง 600 กโิ ลเมตร จากผิวโลกและมีอตั ราเรงเนอ่ื งจากความโนมถวงเปน 8.2 เมตรตอ(วินาท)ี 2 จงหาอตั ราเรว็ ของดาวเทียม (รศั มขี องโลกคอื 6,400 กโิ ลเมตร) 25. ถายานอวกาศลําหน่ึงสามารถปรับใหวิ่งวนเปนวงกลม รอบดวงจันทรทรี่ ะยะรศั มี 1.8 x106 เมตร จงหาคาบของการ โคจรครบรอบของยานอวกาศลํานี้ เมอ่ื ความเรงเนือ่ งจากแรงโนมถวงที่บริเวณน้ันของดวงจนั ทรมีคาเปน 1/6 เทาของ ความเรงท่ีผิวโลก 26. ดาวเทียมเคลื่อนท่ีเปนวงกลมรอบโลก โดยมีระยะหางจากผวิ โลกเทากบั รัศมีของโลก อตั ราเร็วของดาวเทียมมีคา กเ่ี มตรตอวนิ าที (มวลโลก = 6 x1024 kg , รัศมโี ลก = 6.4 x 106 m) 27. ถาวงจรของโลกรอบดวงอาทิตยเปนวงกลม และ ถารศั มีของวงโคจรเพิม่ ข้ึนเปน 2 เทา อยากทราบวาคาบของการโคจร จะเพมิ่ เปนกเ่ี ทา โจทยเก่ียวกับ อตั ราเร็วเชงิ มุม 28. การหมนุ รอบตัวของโลกรอบละ 24 ช่วั โมง กําหนด รัศมีโลกเทากับ 6.37 x 106 เมตร จงหา ก) อตั ราเรว็ เชิงมุมทผี่ วิ โลก ข) อตั ราเร็วของวตั ถุท่ผี วิ โลก ค) ความเรงสูศนู ยกลางทีเ่ สนศนู ยสูตร 29. วตั ถมุ วล m วางบนจานกลมที่กาํ ลงั หมุน ดวยอัตราเร็วเชิงมมุ 2π เรเดยี น/วินาที ถาวตั ถวุ างอยูหางจากศูนยกลางของ จานเปนระยะ r และขณะทีห่ มนุ วัตถไุ มมีการไถลแรงเสยี ดทานทีก่ ระทําตอวัตถเุ ทากับเทาไร 30. ถาในการทดลองเกี่ยวกบั การเคลื่อนท่เี ปนวงกลม ขณะทีว่ ัตถุมวล M เคลอื่ นทีด่ วยรัศมีความโคง 0.8 เมตรนนั้ น้ำหนักของวัตถทุ ําใหวตั ถุ 0.2 m อยตู ำ่ กวาปลายเชอื กท่ีแกนหมุน 0.2 เมตร ดังรูป อตั ราเร็วเชิงมมุ ของการเคล่อื นที่จะตองเปนเทาไรในหนวยเรเดยี น/วินาที 31. วัตถผุ กู ตดิ ปลายเชอื กแลวแกวงเปนวงกลมสม่ำเสมอตามแนวราบ แบบฐานกรวย ถารัศมีของการแกวงเปนวงกลม 30 เซนตเิ มตร และมวลของวตั ถุ 0.5 กิโลกรมั เชือกยาว 50 เซนตเิ มตร อัตราเรว็ เชิงมมุ ของการแกวงเปนก่ีเรเดยี นตอวินาที **************************************************

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคลอ่ื นที่แนวโคง้ หน้า 25 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พิม่ เตมิ 2 ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 แบบฝกึ หัด การเคลื่อนท่ีแบบวงกลม 1. นำเชือก 2 เมตร ผูกกับวัตถุมวล 0.2 กิโลกรัม แล้วจับปลายเชือกอกี ด้านหนึ่งเหว่ียงวตั ถุให้เคล่ือนที่เปน็ วงกลมใน ระนาบระดบั ดว้ ยอตั ราเรว็ 3 เรเดียนตอ่ วนิ าที แรงตึงเชอื กขณะเหวีย่ งวัตถุมคี ่าเทา่ ไร 1. 1.5 N 2. 2.7 N 3. 3.2 N 4. 3.6 N 2. แผ่นกลมรัศมี 20 เซนติเมตร อยู่ในระนาบระดับและกำลังหมุนรอบจุดศูนย์กลางด้วยอัตราเร็ว 0.5 รอบต่อวินาที มมี วลรปู ลกู บาศกเ์ ลก็ ๆ วางท่ีขอบของแผ่นกลม สัมประสิทธค์ิ วามเสยี ดทานระหวา่ งมวลกบั ผิวของแผ่นกลมจะต้อง มคี ่าอยา่ งน้อยเท่าไร มวลนี้จงึ จะไม่ไถลบนแผนกลม 1. 0.2 2. 0.4 3. 0.6 4. 0.8 3. ดาวเทียมดวงหนึง่ โคจรรอบโลกที่ความสูง 600 กิโลเมตรจากผิวโลก และมีอัตราเร่งจากแรงโน้มถว่ ง 8.2 เมตรต่อ วินาที2 จงหาอัตราเรว็ เชิงเส้นของดาวเทียม เม่อื กำหนดให้รศั มขี องโลกเทา่ กบั 6,400 กิโลเมตร 1. 6.6 m/s 2. 7.6 m/s 3. 8.6 m/s 4. 9.6 m/s 4. รถคันหน่งึ มีมวล 1,000 กโิ ลกรมั เคล่อื นทีบ่ นรางโค้งตีลังกาท่ีมีรัศมี10 เมตร ดว้ ยคงามเร้วคงที่ 20 เมตรต่อวินาที แรงปฏิกิริยาท่ีรางกระทำต่อรถขณะท่ีรถอยู่ทีต่ ำแหน่งตรงกับศูนยก์ ลางของรางในแนวระดับจะมีค่าเท่าไร 1. 30,000 N 2. 37,000 N 3. 40,000 N 4. 48,000 N 5. ดาวเทยี มหมนุ รอบโลกเป็นวงกลมโดยอยู่สูงจากผวิ โลก 300 กิโลเมตร และรัศมีของโลกเทา่ กับ 6,380 กิโลเมตร จง หาความเรว็ ของดาวเทียม กำหนดใหม้ วลของโลกเทา่ กบั 5.981024 กิโลกรัม 1. 7.73 km/s 2. 8.94 km/s 3. 9.43 km/s 4. 10.0 km/s

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลอ่ื นทแ่ี นวโคง้ หน้า 26 รายวิชา ว31206 ฟิสิกสเ์ พม่ิ เตมิ 2 ระดบั ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 6. กำหนดให้ถนนราบโค้งมีรัศมีความโค้ง 20 เมตร ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างยางรถกับถนนมีค่าเท่ากับ 0.4 รถจะเลย้ี วโคง้ ไดด้ ว้ ยความเร็วสงู สดุ เทา่ ไรจึงจะไม่ไถลออกนอกโค้ง 1. 6 m/s 2. 7 m/s 3. 8 m/s 4. 9 m/s 7. อาทิตยข์ ี่รถจักรยานยนต์เลย้ี วโค้งบนถนนราบท่ีมรี ัศมีความโค้ง 40 เมตร จะต้องเอียงรถทำมมุ 37 องศากับแนวดิ่ง ขณะเลีย้ วโค้งอาทิตย์ขี่รถด้วยอัตราเรว็ เทา่ ไร 1. 14.14 m/s 2. 15.24 m/s 3. 17.32 m/s 4. 18.16 m/s 8. ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างล้อรถกับพื้นถนนลดลงครึ่งหนึ่ง ความเร็วสูงสุดของรถขณะเลี้ยวโค้งอย่าง ปลอดภัยจะเปล่ยี นแปลงอย่างไร 1. เพิม่ ขน้ึ 30% 2. ลดลง 30% 3. ลดลง 70% 4. ไมเ่ ปลย่ี นแปลง 9. วตั ถเุ คล่อื นทเี่ ป็นวงกลมดว้ ยอตั ราเรว็ ตามเสน้ รอบวงคงท่ี จะมีความเร่งเป็นอยา่ งไร 1.ไมม่ คี วามเรง่ 2.มีความเร่งในทิศออกไปจากจดุ ศนู ย์กลาง 3.มีความเรง่ ในทศิ เข้าสู่จุดศูนย์กลาง 4.มีความเร่งในแนวเสน้ สมั ผสั กับวงกลม 10. วตั ถสุ องกอ้ นมีมวลเท่ากนั เคลือ่ นในแนววงกลมมคี าบการเคล่อื นท่เี ท่ากัน แต่รัศมีความโคง้ ไมเ่ ท่ากัน ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง 1. วัตถทุ ัง้ สองมอี ัตราเร็วเชงิ มมุ เท่ากัน 2. วตั ถุท้งั สองมีอัตราเรว็ เชงิ เส้นเทา่ กนั 3. วัตถุทั้งสองมีความเรง่ สูศ่ ูนยก์ ลางความโค้งเท่ากัน 4. วัตถุทัง้ สองมีแรงสศู่ นู ยก์ ลางความโค้งเท่ากนั 11. เข็มวินาทขี องนาฬกิ ามีอัตราเร็วเชิงมมุ ในหนว่ ย เรเดยี น/วินาทเี ทา่ ใด 1. ������ 2. ������ 60 30 3. ������ 4. 2������ 12. วตั ถุหนง่ึ เคล่อื นทีแ่ บบวงกลมในแนวระดบั ด้วยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ คงที่ เมือ่ เวลาผา่ นไป 2 วินาที ถ้าวตั ถุกวาดทำมุม ได้ 60 o จงคำนวณหาคาบของการเคลอื่ นที่ 1. ������ วินาที 2. 15 วนิ าที 15 3. ������ วินาที 4. 12 วนิ าที 12

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลอ่ื นท่แี นวโคง้ หน้า 27 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พม่ิ เตมิ 2 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 13. มวล 1.5 กโิ ลกรัม เคลื่อนท่ไี ปตามเสน้ รอบรัศมี 2.5 เซนตเิ มตร ดว้ ยอตั รา 2 รอบ/วินาที จงหาวา่ อตั ราเร็ว เชงิ เสน้ ของมวลนีใ้ นหนว่ ย เมตร/วินาทมี ีคา่ เท่าใด 1. ������ 2. ������ 8 10 3. 100 4. 1250 14. การเคลอ่ื นที่ของวัตถเุ ปน็ วงกลมดว้ ยอัตราเรว็ สมำ่ เสมอ ถ้าอตั ราเร็วของการเคล่ือนที่เพิ่มขน้ึ เป็น 2 เท่า โดยที่รศั มี ยังคงเทา่ เดมิ แรงเข้าสศู่ ูนยก์ ลางจะเป็นอย่างไร 1. เทา่ กบั คร่งึ หนงึ่ ของคา่ เท่าเดมิ 2. เท่าเดิม 3. เพิ่มขน้ึ เป็น 2 เท่า 4. เพ่มิ ขึน้ เป็น 4 เท่า 15. รถยนตม์ วล 1000 kg ว่ิงด้วยอัตราเร็ว 36 กโิ ลเมตร/ช่วั โมง บนทางโค้งรัศมี 100 m แรงที่ทำให้รถวงิ่ โค้งจะ มคี า่ เทา่ ใด 1. 360 นิวตัน 2. 1000 นวิ ตนั 3. 3600 นวิ ตนั 4. 10000 นิวตัน 16. ถ้าสมั ประสทิ ธ์ิของความเสยี ดทานระหวา่ งยางกบั ถนนเปน็ 0.20 รถจะใชค้ วามเร็วสูงสุดเท่าใด เม่อื ต้องการเลย้ี ว โคง้ รัศมี 200 m ได้โดยไม่ลืน่ ไถล เม่ือถนนอย่ใู นแนวระดบั 1. 20 เมตร/วินาที 2. 20√2 เมตร/วินาที 3. 40 เมตร/วินาที 4. 400 เมตร/วนิ าที 17. ดาวเทยี มมวล m โคจรรอบโลก โดยมีวงโคจรอย่สู งู จากพื้นโลกไมม่ ากนกั ถ้า R เป็นรัศมขี องวงโคจรของ ดาวเทียมดวงนี้ และ v เป็นอตั ราเรว็ ของดาวเทยี ม ความสัมพันธ์ของตวั แปรตามตวั เลอื กตอ่ ไปน้ี ข้อใดถูกตอ้ ง 1. ������ = ������ℎ 2. ������2 = ������ 3. ������2 = ������������ ������ 4. ������2 = ������������ ������ 18. ถ้าดาวเทยี มเคล่อื นที่เปน็ วงกลมรอบโลกให้นกั เรยี นพจิ ารณาวา่ ในขอ้ ต่อไปน้ี ก.ความเร่งของดาวเทยี มมีค่าคงท่ี ข.ดาวเทยี มมีความเร่งสู่โลกเสมอ ค.เวลาท่ีดาวเทยี มเคลอื่ นท่คี รบรอบคงท่ี ข้อใดบ้างที่ เปน็ จรงิ 1. ข้อ ก เท่านนั้ 2. ขอ้ ข เท่านนั้ 3. ขอ้ ค เทา่ นน้ั 4. ทง้ั 3 ขอ้ เป็นจริง

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลือ่ นท่แี นวโคง้ หน้า 28 รายวิชา ว31206 ฟิสิกส์เพิ่มเตมิ 2 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 19. นำวตั ถุมวล m ผกู ติดเชอื กแล้วแกวง่ เปน็ วงกลมในระนาบดง่ิ มรี ัศมี R อตั ราเรว็ ทนี่ ้อยท่สี ุดในวงกลมท่วี ัตถุจะ เคลื่อนทมี่ ีวถิ เี ป็นวงกลมสมบรู ณไ์ ด้จะมคี ่าเท่าใด 1. √3������������ 2. √2������������ 3. √������������ 4. √������2������ 20. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกไวด้ ้วยเชอื กเส้นหน่ึงแลว้ แกวง่ ให้หมนุ เป็นวงกลมในแนวดงิ่ มีรศั มี 10 เมตร วัตถุตอ้ งมี ความเรว็ นอ้ ยที่สุดเท่าไร จงึ จะยังคงเคลือ่ นที่เปน็ วงกลมได้ 1. 20 เมตร/วินาที 2. 15 เมตร/วนิ าที 3. 10 เมตร/วินาที 4. 5 เมตร/วนิ าที **************************************************