การเคลื่อนที่ SHM

เอกสารประกอบบทเรียน รายวิชาฟิสกิ สเ์ พิ่มเติม2 ระดบั ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 การเคล่อื นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ชื่อ ................................................................................................................. ช้นั ....................................เลขที่ .................................................

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หน้า 1 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พ่ิมเติม 2 ระดบั ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ผลการเรียนรู้ 1. ทดลอง และอธิบายการเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่ายของวัตถตุ ิดปลายสปริงและลูกต้มุ อยา่ งงา่ ย รวมทง้ั คำนวณปริมาณต่างๆ ท่เี กยี่ วขอ้ ง 2. อธบิ ายความถ่ีธรรมชาตขิ องวัตถุและการเกิดการสนั่ พ้อง การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ตัวอย่างการเคล่อื นทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ยท่ีพบในชวี ติ ประจำวัน (simple harmonic motion) เป็นการเคลื่อนที่แบบ มคี าบ สามารถพบไดจ้ ากการเคลื่อนทข่ี องสิ่งของต่างๆ ในชีวิตประจำวัน เชน่ การแกวง่ กวัดของลูกตุ้มนาฬิกา ในนาฬิกาโบราณ การแกว่งของชิงช้า การสั่นของวัตถุ ที่ติดปลายสปริง หรือแม้กระทั่งเสียงดนตรีที่เกิดจาก แคลริเน็ต การเคลื่อนที่กลับไปกลับมาของลูกสูบใน เครื่องยนต์ ทั้งหมดน้ีเป็นการเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ผ่านตำแหน่งเดิม ซึ่งความเข้าใจการเคลื่อนแบบฮาร์ มอนกิ อยา่ งงา่ ยน้เี ป็นพื้นฐานสำคญั ในการศึกษาฟิสิกส์ เร่ืองอืน่ ๆ เชน่ คลื่น ไฟฟา้ กระแสสลับ วัตถุที่เคล่อื นท่ีแบบมีคาบจะมตี ำาแหนง่ สมดลุ เสมอ เช่น เม่อื ยา้ ยวัตถจุ ากตำาแหน่งหนงึ่ แลว้ ปล่อย วตั ถุจะเกดิ แรง หรอื ทอร์กเพอื่ ดงึ วัตถุนนั้ ให้กลับมายังจุดสมดุล แต่ในจังหวะท่ีกลบั มายังจุดสมดลุ ถ้าวตั ถไุ ด้รับพลงั งานจลน์ค่าหน่ึงวตั ถุจะ เคล่ือนท่ีเลยตำาแหนง่ สมดลุ น้ันไปและจะถกู ดงึ กลบั มาด้วยแรงเดิมอีกคร้ัง เหมอื นกบั การกล้งิ ของลูกบอลในลอดรูปตัวยู ซงึ่ ในบทเรียนน้ีจะสนใจเพยี งระบบเบอื้ งต้นของการเคลื่อนทีแ่ บบมีคาบ คือ ระบบของมวลตดิ สปริงและลกู ตุม้ อยา่ งง่าย 1. การเคลอ่ื นทขี่ องวัตถตุ ิดสปรงิ แนวคิดสำคญั พิจารณาระบบของการเคล่อื นท่ีแบบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย แนวคิดสำคัญ การเคลื่อนที่แบบฮาร์ ท่ีมวี ตั ถุมวล m ผกู ติดกบั สปรงิ เบาและเคล่อื นทีอ่ ยบู่ นรางลื่นใน มอนิกอย่างง่ายที่เห็นได้ชัดเจนที่สุด คือ การ แนวระดับ แรงลพั ธท์ กี่ ระทำตอ่ วตั ถใุ หเ้ กดิ การเคลื่อนทจ่ี ะมเี พียง เคลอื่ นที่ของมวลติดสปรงิ ซ่ึงคา่ คงตัวของสปริงและ แรงสปรงิ เพียงแรงเดยี ว ม ว ล ข อ ง ว ั ต ถ ุ จ ะ ม ี อ ิ ท ธ ิ พ ล ส ำ ค ั ญ ต ่ อ ร ะ บ บ นี้ เน่ืองจากแรงจากสปรงิ จะเป็นแรงท่ีทำาให้วตั ถุ เกิดการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาได้ และขนาดของ มวลมีผลต่อความถ่ีและคาบของการเคลอ่ื นท่ี

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลอ่ื นที่แบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย หน้า 2 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ สเ์ พ่มิ เติม 2 ระดบั ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลือ่ นที่แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย หน้า 3 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พิ่มเตมิ 2 ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 จากเหตกุ ารณ์ข้างต้นสามารถอธิบายปรมิ าณท่ีควรทราบเพ่ือใช้ในการพจิ ารณาการเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ยได้ดังนี้ 1. แอมพลจิ ดู (amplitude : A) คือ ขนาดสงู สุดของการ ความรู้เพ่มิ เติม กระจัดจากจุดสมดุล มีหน่วยเป็น เมตร (m) โดยการ สั่น 1 รอบ วัตถุจะเคลื่อนที่จากตำแหน่ง A ไปยัง การกระจัด หรือ การขจัด (displacement) คือ การ ตำแหน่งสมดุล และไปยัง 2A จากนั้นกลับมายัง เปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ จัดเป็นปริมาณเวกเตอร์ชนิด ตำแหน่งสมดลุ และกลบั มายงั A หนง่ึ มหี นว่ ยเปน็ เมตร (m) โดยเปน็ ระยะทางทสี่ ้ันทีส่ ุด หรือความยาวของเส้นตรงสมมติท่ีลากจากจุดเริ่มตน้ ไป 2. คาบ (period : T) คือ ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนท่ี ยังจุดส้นิ สุด ครบรอบ 1 รอบ มีหนว่ ยเป็น วนิ าที (s) 3. ความถ่ี (frequency : f) คือ จำนวนรอบต่อหน่วยเวลา มหี น่วยเปน็ รอบต่อวนิ าที หรือ เฮริ ตซ์ (Hz) จากนิยามของความถ่ีและคาบ แสดงวา่ ตวั แปรทงั้ สองเปน็ สว่ นกลับหรอื แปรผกผนั ซ่ึงกันและกนั จะมีความสัมพันธ์ ดงั สมการ ������ = 1 และ ������ = 1 ������ ������ เม่อื ������ คือ ความถี่ มีหนว่ ยเป็น รอบต่อวนิ าที หรอื เฮริ ตซ์ (Hz) ������ คือ คาบ มีหน่วยเปน็ วินาที (s) สำหรับวัตถุติดสปริง เมือ่ ออกแรงดึงวตั ถุออกจากตำแหนง่ สมดุลไปยงั จดุ A จะไดก้ ารกระจดั ของวัตถุเท่ากับA และ เมื่อปล่อยวตั ถุ สปริงจะออกแรงคืนตัวดึงให้วัตถุกลับมาตำแหน่งสมดุล โดยแรงคืนตัวจะมีขนาดเท่ากับแรงท่ีใช้ดึงวัตถุออก จากจุดสมดุล แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน และแรงคืนตัวจึงมีทิศทางตรงข้ามกับการกระจัดของวัตถุซึ่งเป็นไปตามกฎของฮุก (Hooke’s law) ดงั สมการ ���⃑��� = −���������⃑��� เม่อื ���⃑��� คือ แรงดงึ กลับในสปริง ������ คอื ค่าคงตวั ของสปริง ���⃑��� คอื การกระจัดของสปริง วตั ถุมวล ������ เคล่อื นท่ดี ้วยแรงคืนตัวของสปรงิ ด้วยความเรง่ ���⃑��� ซงึ่ จากกฎการเคลื่อนที่ข้อทีส่ องของนิวตัน ���������⃑��� = ���������⃑��� จะได้ −���������⃑��� = ���������⃑��� ������ = − ������ ���⃑��� ������ จากสมการ ������ = − ������ ���⃑��� ได้ว่า ถ้ามวลของวตั ถุมีคา่ คงตัว ความเร่งของการเคล่ือนทีจ่ ะแปรผันตรงกับการ ������ กระจดั ของวัตถแุ ต่มที ศิ ทางตรงกันข้าม

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคลอื่ นท่ีแบบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย หน้า 4 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ ส์เพิ่มเตมิ 2 ระดบั ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 ปริมาณตา่ งๆ ของการเคลือ่ นทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่ายจะอยู่ในฟังก์ชนั ของเวลา x(t) หากเปรียบเทียบ การเคล่ือนท่ี แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายกบั การเคลือ่ นที่ของวตั ถุแบบวงกลมจะมคี วามสัมพันธ์กัน ดังนี้ ถ้าฉายแสงไปยังวัตถุที่ถูกแกว่งให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม จะพบว่า เงาของวัตถุบนฉากที่เกิดขึ้นจะเคลื่อนที่กลับไป กลบั มาซำ้ แนวเดิมในแนวตรง โดยมีตำาแหน่งศนู ยก์ ลางของวงกลมเปน็ แนวสมดุลดังรปู การเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนิกอย่างง่ายของเงาวตั ถุ พจิ ารณาการเคลื่อนท่ขี องลูกบอลเปน็ วงกลมรัศมี A เรมิ่ ต้น ลูกบอลเร่ิมหมนุ จากตำาแหนง่ P ที่เวลา t = 0 เม่ือเวลาผ่านไป t ลูกบอลเคล่อื นท่ีไปยงั ตำาแหนง่ Q จะกวาดมมุ ไปได้ u โดยลูกบอลหมุนดว้ ยอัตราเรว็ เชิงมุมคงตวั v ดงั รูป การกระจดั ของลกู บอลที่เวลา t การกระจดั ของลกู บอลทีเ่ วลา t จากรปู ที่ หาขนาดของการกระจัดบนแกน ������ ของลูกบอลได้ จาก ������������������  = ������ ������ จะได้ ������ = ������ ������������������ ������ และจากการเคลือ่ นท่แี บบวงกลม ������ = ������ ������ จะได้ ������ = ������ ������������������ ������������ เมื่อเวลาผ่านไป เงาของลูกบอลจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ระหวา่ งการกระจัดท่ตี ำาแหน่ง x = +A และ x = -A เมื่อรัศมี A คือ แอมพลิจูดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก อยา่ งงา่ ย ซึ่งเทยี บไดก้ ับคา่ โคไซน์ในการเคลอ่ื นที่แบบวงกลมซึ่งค่าจะ อยู่ระหว่าง +1 และ -1 เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่เป็นวงกลมครบ 1 รอบ เงากจ็ ะเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอย่างง่ายครบ 1 รอบด้วยเช่นกัน

เอกสารประกอบ เรื่อง การเคลอ่ื นท่ีแบบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย หน้า 5 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ ส์เพ่มิ เติม 2 ระดับชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 ความเรว็ ในการเคล่อื นทีเ่ ปน็ วงกลมของวตั ถุ จากรปู ถ้าพจิ ารณาความเรว็ ของลกู บอลบน แกน x ทีเ่ วลา t โดยกำหนดใหด้ ้านขวาเปน็ +x และดา้ นซ้ายเปน็ -x ความเรว็ ของลูกบอลในแกน x จะมที ิศทางไปทาง -x จะหา ขนาดของความเร็วบนแกน x ไดจ้ าก และจาก ������������ = −������ ������������������ ������ ������ = ������������ จะได้ ������������ = −������������ ������������������ ������������ ความเรว็ ในการเคลอ่ื นทเ่ี ป็นวงกลมของวตั ถุ ความเรง่ ในการเคลอื่ นทเ่ี ปน็ วงกลมของวัตถุ จากรูป พิจารณาความเร่งของวัตถทุ เ่ี คลอ่ื นทเี่ ป็น วงกลม จะมคี วามเร่งในทิศเขา้ หาศูนย์กลางของวงกลม ความเร่งของลกู บอลบนแกน x จะมีทศิ ทางไปทาง 2x จะหาขนาดของความเรง่ บนแกน x ได้จาก และจาก ������������ = −������ ������������������ ������ ������ = ������2������ จะได้ ������������ = −������2������ ������������������ ������������ ความเร่งในการเคลื่อนทีเ่ ป็นวงกลมของวัตถุ ขนาดของการกระจดั ความเรว็ และความเร่งของการเคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย จากสมการ ขนาดของการกระจดั ������ = ������ ������������������ ������������ ขนาดของความเร็ว ������������ = −������������ ������������������ ������������ ขนาดของความเรง่ ������������ = −������2������ ������������������ ������������ เม่อื นำไปวาดกราฟฟงั กช์ ันไซน์กบั เวลา จะไดว้ ่า ความเร็ว ������������ มีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง +������������ และ −������������ สว่ นความเร่ง ������������ มีคา่ อยูร่ ะหวา่ ง +������2������ และ −������2������ ดงั รปู

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคล่อื นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หน้า 6 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พิ่มเติม 2 ระดับชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 กราฟของการกระจดั ความเรว็ และความเรง่ กับเวลาของการเคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย จากกราฟ จะเห็นได้วา่ กราฟรูปไซน์ของการกระจดั ความเร็ว และความเร่งของการเคล่อื นที่มเี ฟส (∅) ไมเ่ ท่ากัน โดยการกระจัดจะมเี ฟสนำความเรว็ อยู่ ������ เรเดียน ความเรว็ จะมเี ฟสนำความเรง่ อยู่ ������ เรเดยี น และกราฟของการกระจดั 22 จะมีค่าขนึ้ กับเฟสเร่มิ ตน้ สมการรูปท่ัวไปของการกระจดั จะเปน็ ดงั นี้ ������ = ������ ������������������ (������������ + ∅) จากสมการ พิจารณาเฉพาะขนาดของการกระจดั และความเรว็ ดงั นี้ ขนาดของการกระจดั ������ = ������ ������������������ ������������ ขนาดของความเรว็ ������������ = ������������ ������������������ ������������ จัดรปู สมการใหม่จะได้ cos ������������ = ������ ������ และ ������������������ ������������ = ������������ ������������

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย หน้า 7 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ ส์เพิม่ เตมิ 2 ระดับชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 จากความสัมพันธ์ในเร่ืองตรีโกณมิติ ������������������ 2������ + ������������������2 ������ = 1 จะได้ ������������������ 2������������ + ������������������2 ������������ = 1 (������������������������)2 + ������ 2 = 1 (������) (������������������������)2 = ������ 2 1 − (������) ���������2��� = ������2 ������2 ������2������2 ������2 − ������2 ���������2��� = ������2 − ������2 ������2������2 ������2 ���������2��� = ������2������2 ������2 − ������2 ( ������2 ) ������������ = ±������√������2 − ������2 สมการ ������������ = ±������√������2 − ������2 เป็นสมการที่ใช้หาความเรว็ ขณะใด ๆ ของวตั ถุทีเ่ คล่ือนทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย เม่ือทราบตำแหน่งหรือการกระจดั ท่ีแนน่ อนของวัตถุ สามารถจัดรปู สมการใหม่ ดังน้ี ������ = ������ cos ������������ แทนคา่ ������ ในสมการ ������������ = −������2������ ������������������ ������������ จะได้ ความเรง่ ������������ = −������2 ( ������ ) cos ������������ และจาก จะได้ cos ������������ ������������ = −������2������ ������ = − ������ ������ ������ ������ −������2������ = − ������ ������ ดังน้ัน ������ = √ ������ ������ จากการเคลื่อนทแี่ บบวงกลม ������ = 2������������ จะได้ 2������������ = √ ������ ������ จะได้ความถ่ีของการเคลือ่ นท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยดังสมการ ������ = 1 √ ������ 2������ ������ และจากความสัมพนั ธร์ ะหว่างความถ่ีและคาบ จะไดค้ าบของการเคล่อื นทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ยดังสมการ ������ = 2������√������������ จากสมการขา้ งตน้ แสดงให้เห็นวา่ สำหรับการเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ยของวัตถุตดิ สปริง ความถี่และคาบของการเคล่อื นท่ีจะขึ้นอย่กู ับคา่ คงตวั ของสปรงิ และมวลของวัตถุ

เอกสารประกอบ เรอ่ื ง การเคล่อื นท่ีแบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย หน้า 8 รายวิชา ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พ่มิ เติม 2 ระดับช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 2. การแกวง่ ของลกู ตมุ้ อยา่ งง่าย ลูกตุ้มอย่างง่าย (simple pendulum) คือ ลูกตุ้มท่ี ประกอบดว้ ยมวลขนาดเล็กผูกหรือแขวนทีป่ ลายเชือกเบา ที่มีมวล แนวคดิ สำคญั นอ้ ยมากและไม่เกดิ การยดื หรอื หด โดยธรรมชาติวตั ถุแขวนห้อยใน แนวดิง่ โดยไม่มกี ารขยับจะอยูท่ ี่ตำแหน่งสมดุล เมือ่ ดึงวัตถุให้ทำมุม หลักการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย เอียงเล็กน้อยกับแนวดิ่งแล้วปล่อยวัตถุจะแกว่งกลับไปมาโดยผ่าน จะคล้ายกบั มวลติดสปริง แต่จะ แตก ต่าง ก ัน ที่ ตำแหน่งสมดุล สามารถพบไดใ้ นชวี ิตประจำาวัน เชน่ การแกวง่ ของ ลักษณะการสั่นของระบบที่เป็นการแกว่งของเชือก ลกู ตุ้มนาฬกิ า การแกว่งของชิงชา้ แทนการสั่นของสปริงซึ่งตัวแปรที่ส่งผลต่อคาบการ แกว่งของลูกตุ้ม คือ ความยาวของเชือกและ ความเร่งโน้มถ่วง การแกว่งของลกู ตุ้มอย่างงา่ ย พิจารณาการแกวง่ ลกู ตุม้ มวล ������ ท่ผี กู ตดิ กบั เชือกเบายาว ������ และ ทำมุม  กับแนวดิง่ ดังรูป จากรูป เมื่อดึงวัตถุออกจากแนวดิ่งด้วยแรง F จะมีแรงดึงกลับที่ ทำใหว้ ัตถุเคลอื่ นทแี่ บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยได้ โดยแรงดงึ กลับมีทิศตรงข้าม กับแรง F เขียนเปน็ สมการไดว้ ่า ������ = −������������ ������������������ ถ้ามมุ  เป็นมุมเล็กๆ จะประมาณไดว้ า่ การเคลือ่ นทีแ่ นวโค้งของ วตั ถจุ ะเปน็ เสน้ ตรง คือ การกระจดั ������ จะได้ sin ������ = ������ ������ จากสมการ จะได้ ������ = −������������ ������ ������ วตั ถุจะเคลื่อนทด่ี ้วยความเรง่ ������ จากกฎการเคล่ือนที่ข้อสองของนิวตนั ������ = ������������ จะได้ −������������ ������ = ������������ จากการเคล่ือนท่ีแบบวงกลม ������ = 2������������ จะได้ และ จาก = −������2������ ������ = −������������2������ 2������������ = √������������ จะได้ความถ่ีในการแกว่งของลกู ต้มุ อย่างง่ายดงั สมการ ������ −������������ ������ ������ จะได้ ������ ������ = ������2������ 1 √������������ ������ 2������ ������ = เม่ือลกู ตุม้ มีการกระจดั ������ เท่ากับ ������ และจากความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความถ่แี ละคาบ จะได้ จะได้ ������ = ������2 คาบการแกวง่ ของลกู ตุม้ อย่างง่ายดังสมการ ������ ดงั น้นั ������ = √������������ ������ = 2������√������������ ดังน้ัน สำหรับการแกว่งของลกู ตุ้มอยา่ งงา่ ย ความถแ่ี ละคาบของการเคล่อื นท่ีจะขนึ้ อยู่กับความยาวเชือก และความเรง่ โนม้ ถ่วง

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคล่อื นท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย หน้า 9 รายวิชา ว31206 ฟิสกิ ส์เพิม่ เตมิ 2 ระดบั ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 ขอ้ ควรทราบ จากสมการ ������ = 2������√������������ จะเหน็ ไดว้ า่ มวลของวตั ถุไมม่ ีผลต่อคาบการแกว่งของลูกต้มุ อย่างงา่ ย ส่วนความยาวเชอื กมีผลต่อคาบการแกว่งของ ลกู ตุม้ อย่างง่าย โดยคาบการแกวง่ จะแปรผนั ตรงความยาวเชอื ก น่ันคอื เมือ่ เชอื กยาว ลูกตุ้มจะแกว่งไดช้ ้า เมอ่ื เชอื กส้ันลง ลกู ตมุ้ จะแกวง่ ได้เร็วข้นึ และเมือ่ เขยี นกราฟระหวา่ งค่า ������2 กบั ������ จะได้กราฟเสน้ ตรงทม่ี ีความชันของกราฟเท่ากับ 4������2 ������ จงึ สามารถหาค่าความเร่งโน้มถว่ ง g จากความชนั ของกราฟระหว่าง ������2 กบั ������ ได้ การส่ันพอ้ งของวตั ถุ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เช่น ดึงวัตถุติดปลายสปริงออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้สั่น หรือดึงวัตถุที่แขวนด้วยเชือกออกจากแนวดิ่งแล้วปล่อยให้แกว่ง วัตถุจะสั่นหรือแกว่งด้วยความถีค่ งตัวค่าหนึ่งเสมอ เรียก ความถ่ีนี้ว่า ความถี่ธรรมชาติ (natural frequency) โดยทั่วไปแลว้ วัตถุทกุ ชนิดจะมีค่าความถ่ีธรรมชาติเฉพาะตัวค่าหน่ึง เสมอ หากทำให้วัตถุนั้นสั่นหรือแกว่งด้วยความถี่เท่ากับความถี่ธรรมชาติ จะทำให้วัตถุสั่นด้วยแอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้น เรียก ปรากฏการณ์นี้ว่า การสั่นพ้อง (resonance) เช่น การแกว่งชิงช้า การสั่นของสายกีตาร์ การสั่นของส้อมเสียง แต่วัตถุ บางอย่าง หากเกิดการส่นั พ้องจะทำาให้เกิดความเสยี หายรนุ แรงได้ เช่น การสั่นสะทอื นของตึกสูง เม่ือเกดิ แผ่นดนิ ไหว การ แกว่งของสะพานเมื่อถูกลมพัด หากนักเรียนทดลองนำลูกตุ้มขนาดเล็กแขวนด้วยเชือกยาวต่างๆ กันหลายลูก โดยมีลูกตุ้ม ขนาดใหญ่ 1 ลกู ทแี่ ขวนด้วยเชอื กยาวเท่ากบั ลูกตุ้มขนาดเล็กลูกหนง่ึ ดงั รปู CT ให้นกั เรยี นศึกษาวดิ ีโอ กจิ กรรม: ความถ่ธี รรมชาติ วทิ ยาศาสตร์ ม.4-6 (ฟสิ กิ ส)์ จากเว็บไซต์ youtube ชดุ ทดลองการสน่ั พองของลูกตุม เม่ือนักเรียนแกวง่ ลูกต้มุ ขนาดใหญ่ จะส่งผลให้ลกู ตุ้มขนาดเลก็ ทผี่ ูกด้วยเชอื กยาวเท่ากนั เร่มิ แกวง่ ดว้ ยแอมพลจิ ดู ท่ี เพิม่ มากขน้ึ เนือ่ งจากการแกวง่ ของลกู ต้มุ น้นั ความถใี่ นการแกว่งจะไม่ขึ้นกับมวลของวตั ถุ แตจ่ ะขนึ้ กบั ความยาวของเชือก ลูกตุ้มขนาดใหญ่และลกู ตุ้มขนาดเล็กผกู ดว้ ยเชือกยาวเทา่ กนั จงึ มคี วามถ่ธี รรมชาตเิ ท่ากัน การแกวง่ ของลกู ตุ้มขนาดใหญ่จึง ส่งผลให้ลกู ตุ้มขนาดเลก็ เกิดการส่ันพอ้ งได้

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หน้า 10 รายวิชา ว31206 ฟสิ ิกส์เพิ่มเติม 2 ระดับช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4 ความรเู้ พมิ่ เตมิ ส้อมเสียง (tuning fork) คือ แท่งโลหะที่มีปลาย 2 ก้านขึ้นรูปเป็นตัวยู เมื่อทำให้ส้อมเสียงเกิดการ สั่นสะเทือนด้วยการเคาะหรือตี ส้อมเสียงจะสะท้อนเสียงในระดับความถ่ีเสียงท่ีคงที่ ระดับเสียงที่ปล่อยออกมาจะ ข้นึ อย่กู บั ความยาวของกา้ นโลหะท้ังสอง ซึ่งจะมสี ่วนทไ่ี ม่เกิดการสน่ั สะเทือน 2 จุดใกล้กับแนวโค้งของตวั ยู โดยการ สั่นของส้อมเสียงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เนื่องจากส้อมเสียงสั่นด้วยความถี่เดียวตลอด และไม่ ขึ้นกบั แอมพลจิ ูด จงึ ทำให้นักดนตรนี ยิ มใช้ส้อมเสยี งในการเทียบเสยี งเพ่ือปรบั ระดบั เสยี งของเคร่อื งดนตรี

เอกสารประกอบ เรอื่ ง การเคลอ่ื นท่ีแบบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย หน้า 11 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ สเ์ พ่มิ เตมิ 2 ระดบั ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 กิจกรรม การแกว่งของลกู ตุมอยา่ งงา่ ย จุดประสงค์ 1) เพือ่ ศกึ ษาปัจจยั ทีม่ ีผลต่อการแกว่งของลกู ตุ้มอย่างง่าย 2) เพ่อื หาค่าความเรง่ โนม้ ถว่ งของโลก g จากการแกวง่ ของลกู ตุ้ม วสั ดุอุปกรณ์ 1) เชอื กเบาหรือสายเอ็น 2) นอตขนาด 1.5 เซนติเมตร 3 ตวั 3) ไมบ้ รรทดั วดั มมุ 4) นาฬกิ าจบั เวลา คำาถามก่อนกจิ กรรม ความยาวเชอื กและมวลของนอตจะมีผลต่อคาบการแกวง่ ของนอตที่เคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย หรอื ไม่ อย่างไร ตอนท่ี 1 มวลของนอตกบั คาบการเคล่ือนที่ วธิ ปี ฏิบตั ิ 1) นำนอต 1 ตัว ผกู กบั เชือกยาว 1 เมตร แลว้ จัดอุปกรณ์ ดังรูป 2) ดงึ นอตออกจากตำแหน่งสมดุล โดยทำามมุ 15 องศากับแนวดง่ิ แล้วปลอ่ ยให้นอตแกวง่ ไปและกลบั โดยจับเวลาท่ีนอตเคลื่อนที่จน ครบ 30 รอบ แล้วบนั ทกึ ผลลงในตาราง 3) ทำาการทดลองซำ้ 3 ครงั้ เพอื่ หาค่าเฉลีย่ แลว้ คำานวณหาคาบการเคลอ่ื นท่ีของนอต 4) ทำาการทดลองเช่นเดิมตงั้ แตข่ ้อ 1-3 แต่เพมิ่ มวลของนอตเปน็ 2 ตวั และ 3 ตวั ตามลำาดับ 5) เปรยี บเทียบคาบการเคล่ือนท่ีของนอตเมอื่ มวลของนอตตา่ งกัน ตารางบันทกึ ผลการทดลอง จำนวนนอต เวลาในการเคล่อื นท่ี 30 รอบ (วนิ าท)ี คาบการเคลอ่ื นที่ คร้ังที่ 1 ครัง้ ท่ี 2 ครง้ั ท่ี 3 ค่าเฉล่ีย (วนิ าที่) 1 2 3 .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบ เร่ือง การเคล่อื นท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย หน้า 12 รายวชิ า ว31206 ฟิสกิ สเ์ พมิ่ เตมิ 2 ระดับชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ตอนท่ี 2 ความยาวเชอื กกบั คาบการเคล่อื นที่ วิธีปฏบิ ัติ 1) จดั อปุ กรณ์การทดลองเชน่ เดยี วกบั การทดลองตอนท่ี 1 โดยใชน้ อต 1 ตัว ผูกกบั เชอื กยาว 50 เซนติเมตร 2) ดึงนอตออกจากตำาแหนง่ สมดุล โดยทำามมุ 15 องศากบั แนวด่งิ แล้วปล่อยใหน้ อตแกว่งไปและกลบั โดยจับ เวลาทีน่ อตเคลอ่ื นที่จนครบ 30 รอบ บนั ทกึ ผลลงในตาราง 3) ทำาการทดลองซ้ำา 3 ครง้ั เพื่อหาค่าเฉลย่ี แลว้ คำานวณหาคาบการเคลื่อนทข่ี องนอต 4) ทำาการทดลองเช่นเดมิ ต้ังแตข่ ้อ 1-3 แต่เปลี่ยนความยาวเชือกให้ต่างกันอกี 5 คา่ 5) นำาขอ้ มลู ท่ไี ด้จากตารางไปเขียนกราฟระหวา่ งคาบ (T2) กับความยาวเชือก (l) โดยให้ T2 อยู่บนแกนตง้ั และ l อย่บู นแกนนอน หาความชนั ของกราฟเพ่ือนำาไปหาค่าความเรง่ โน้มถ่วงของโลก g โดยพจิ ารณา ความสมั พนั ธจ์ ากสมการ ความยาวเชอื ก เวลาในการเคลื่อนท่ี 30 รอบ (วนิ าท)ี คาบการเคลอ่ื นที่ T2 (เซนติเมตร) ครั้งท่ี 1 ครงั้ ท่ี 2 ครั้งท่ี 3 ค่าเฉลี่ย (วินาท)่ี (วนิ าที)2 50 60 70 80 90 100 คำถามท้ายกจิ กรรม 1) มวลท่แี ตกต่างกนั ของนอตมีผลต่อคาบการเคลอ่ื นท่หี รอื ไม่ อยา่ งไร 2) ความยาวเชือกที่แตกต่างกันมีผลตอ่ คาบการเคลื่อนท่หี รือไม่ อยา่ งไร 3) กราฟระหวา่ งระหวา่ งคาบ2 (T2) กบั ความยาวเชือก (l) มีลักษณะเปน็ อยา่ งไร 4) คา่ ความเร่งโนม้ ถ่วง g ท่ีคำนวณไดจ้ ากความชันของกราฟเปน็ อย่างไรเมื่อเปรียบเทยี บกับค่าทางทฤษฎที ่มี คี ่า g เท่ากบั 9.8 เมตรตอ่ วนิ าที2 .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคล่ือนท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย หน้า 13 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกส์เพม่ิ เตมิ 2 ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 แบบฝึกหดั ความรูพ้ น้ื ฐานเกี่ยวกบั การเคลือ่ นท่แี บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย 1) สปรงิ เบาตวั หนึ่งมีคานจิ 25 นวิ ตัน/เมตร ผูกติดกับมวล 1 กิโลกรมั ซึง่ วางอยูบนพน้ื เกล้ียง ดังรปู เมือ่ ดงึ สปริง ออกไป 20 เซนติเมตร แลวปลอยมอื มวลกอนน้ีจะมีอัตราเร็วเทาใดเมอ่ื ผานตําแหนงสมดุล 2) วัตถชุ นิ้ หน่ึงตดิ อยูกบั ปลายขางหนึง่ ของสปริงซึง่ ยาว 2 เมตร และมีปลายขางหนึ่งตรงึ อยกู ับที่ ถาวัตถชุ น้ิ นีว้ างอยบู น พนื้ ราบเกล้ยี ง และกาํ ลงั เคลอ่ื นที่แบบซมิ เปลฮารมอนิก โดยมีความเร็วมากทส่ี ุด 2 เมตร/วนิ าที และมกี ารกระจดั จากจุดสมดลุ มากทส่ี ุด 0.5 เมตร อัตราเรว็ เชงิ มุมของการเคลื่อนท่ีน้ีเปนกีเ่ รเดยี นตอวินาที 3) รถทดลองตดิ ปลายลวดสปริงเคลอ่ื นทแี่ บบฮารมอนิกอยางงายดวยแอมพลจิ ดู 15 เซนติเมตร และความถี่ 4 รอบต่อ วินาที จงคํานวณหาความเรว็ สูงสดุ และความเรงสูงสุดของรถทดลอง 4) วัตถุหน่งึ เคลอ่ื นทแ่ี บบฮารมอนกิ อยางงาย มีอมั พลิจูด 10 เซนติเมตร มคี วามถี่ 2 รอบตอวนิ าที วัตถจุ ะมีความเรงสูง สดุ เทาใด 5) แขวนมวล 100 กรมั ท่ปี ลายหน่งึ ของสปริงทีม่ ีมวลนอยมากดงึ มวลจากตําแหนงสมดลุ 10 เซนติเมตร แลวปลอย อตั ราเรว็ เชิงเสน ขณะเคลือ่ นที่ผานสมดุลมคี าเทาใดถาคาบของการส่นั มคี า 2 วนิ าที

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลือ่ นท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย หน้า 14 รายวชิ า ว31206 ฟิสิกส์เพิม่ เติม 2 ระดับช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 6) สปริงวางบนพื้นราบ มคี านิจสปริง (2π)2 N/m ปลายขางหนง่ึ ผูกตรงึ ปลายอกี ขาง หนงึ่ มีมวล 4 kg ติดไว เมอื่ ออก แรงดึงมวลแลวปลอยมวลจะเคลอ่ื นที่แบบ SHM ดวยคาบกว่ี ินาที 7) พิจารณาการเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์อนิกอย่างงา่ ยของวตั ถหุ น่งึ ทม่ี คี วามเร่งสงู สุด 5 เมตร/วนิ าท2ี เม่อื วัตถุมอี ตั ราเรว็ เท่ากับแอมพลิจูด จะมอี ัตราเร็วเทา่ ใด 8) สปรงิ เบาตวั หน่งึ มีค่านจิ 100 นิวตัน/เมตร ผูกติดกับมวล 1 กโิ ลกรมั ซง่ึ วางอยูบ่ นพนื้ ราบเกลี้ยง เม่ือดงึ สปริงออกไป 30 เซนตเิ มตร แลว้ ปล่อยมอื มวลก้อนน้ีจะมีอตั ราเร่งสงู สดุ เทา่ ใด 9) ลูกตมุ้ แขวนดว้ ยเชือกยาว 1 เมตร แกวง่ ไปมาดว้ ยคาบ 2 วินาที ถ้าลูกตุ้มแขวนด้วยเชอื กยาว 9 เมตร จะแกว่งดว้ ย คาบเทา่ ใด 10) แขวนมวล 50 กรัม ที่ปลายลางของสปรงิ ซ่งึ แขวนในแนวดิง่ โดยทปี่ ลายบนถกู ยึดไว ถาดึงมวลลงเล็กนอยเพ่อื ให สปรงิ สนั่ ขน้ึ ลง วดั เวลาในการสน่ั ครบ 10 รอบ ไดเปน 5 วนิ าที หากเปล่ียนมวลทแ่ี ขวนเปน 200 กรมั จะวัดคาบ การสนั่ ไดเทาใด

เอกสารประกอบ เร่อื ง การเคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย หน้า 15 รายวชิ า ว31206 ฟสิ ิกสเ์ พ่มิ เติม 2 ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 11) ความเรว็ สูงสุดของวตั ถทุ กี่ ําลงั แกวงแบบซิมเปลฮารโมนิคดวยคาบของการแกวง 0.2 วนิ าที และแอมพลจิ ดู 2 เซนตเิ มตร จะมีคาเทากับเทา่ ใด 12) จากสมการการเคล่อื นที่แบบ SHM x = 5 cos 6πt จงหาว่าแอมพลิจูดมีค่าเท่าใด และคาบของการเคล่ือนที่เปน็ ก่วี นิ าที 13) อนุภาคมวล 0.1 กรมั เคล่ือนทแี่ บบ SHM ด้วยความถ่ี 50 รอบ / วนิ าที และมแี อมพลิจดู 0.02 เมตร โดยมีเฟส เร่มิ ต้นเปน็ ศูนย์ มสี มการการเคลอ่ื นทด่ี งั นี้ y=A sin ωt จงหา ก) อัตราเรว็ เชงิ มุม ข) การกระจัดและความเร็วท่เี วลา 0.01 วนิ าที ค) อตั ราเรว็ และอัตราเร่งสูงสดุ ง) อัตราเร็วและอตั ราเร่งที่ตำแหน่ง 0.5 cm จากสมดลุ

เอกสารประกอบ เรือ่ ง การเคลือ่ นท่ีแบบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย หน้า 16 รายวชิ า ว31206 ฟสิ กิ ส์เพ่ิมเติม 2 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 14) นำวัตถุมาผูกติดกับสปริงและแขวนในแนวดิง่ เมือ่ ดึงวตั ถุออกจากจุดสมดุลของสปริงแลว้ ปล่อย จะเริม่ เคลอ่ื นทแ่ี บบ ฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย ถา้ กำาหนดใหว้ ัตถุมีมวล 4 กิโลกรมั สปริงมีคา่ คงตัว 162 นวิ ตนั ตอ่ เมตรและความเร่งโนม้ ถว่ ง ของโลกเท่ากบั 2 เมตรตอ่ วินาที2 จงหา ก) คาบของการสนั่ ข) ความถ่ีของการส่ัน ค) ความเร็วเชงิ มุม 15) วตั ถุเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ยตามแกน x โดยเรมิ่ เคลอ่ื นที่ที่ตำแหน่งหา่ งจากตำแหนง่ สมดุล 5 เซนตเิ มตร ไปทางขวามอื หากวตั ถุนี้เคล่อื นทไี่ ดห้ า่ งจากตำาแหน่งสมดุลมากที่สุด 10 เซนตเิ มตร และวตั ถุนเ้ี คลื่อนทด่ี ้วยความถี่ 0.5 รอบตอ่ วินาที จงหา ก) การกระจัดทเี่ วลาใดๆ ข) อัตราเร็วของวตั ถุขณะเคลอื่ นท่ผี า่ นตำาแหน่งสมดุล ค) ระยะทางท่ีวัตถเุ คลอ่ื นที่ได้ระหว่างเวลา t = 1 วนิ าที ถงึ t = 2 วนิ าที ง) กราฟความเรว็ และความเร่งกับเวลา