มหัศจรรย์เลขคู่คี่

โครงงานคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง มหศั จรรยเ์ ลขคู่คี่ โดย เดก็ หญงิ พชั รมยั คะสาน เด็กหญิงศภุ ัฏชา หอมจู เดก็ ชายจิรเมธ ชมชยั ครูที่ปรกึ ษา คุณครู ปยิ าภรณ์ แก้วคำมา คณุ ครู วชิ ชุลดา โพธสิ วา่ ง โรงเรียนอนบุ าลบงุ่ คลา้ กลุม่ โรงเรยี นบ่งุ คลา้ สำนักงานเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษาประถมศกึ ษาบึงกาฬ

รายงานฉบบั น้เี ปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ งทฤษฎแี ละคำอธบิ ายทางคณติ ศาสตร์ ระดับชนั้ ประถมศกึ ษา เนื่องในงานศลิ ปหตั ถกรรมนักเรยี นครง้ั ท่ี 70 ประจำปกี ารศึกษา 2565 คณะผู้จดั ทำ

สารบญั หนา้ ก บทคดั ย่อ ข กติ ติกรรมประกาศ ค สารบญั ตาราง 1 บทท่ี 1 บทนำ 1 1 ทมี่ าและความสำคัญ 1 วตั ถปุ ระสงค์ของการศึกษาค้นควา้ 1 สมมติฐานของการศกึ ษา 1 ขอบเขตของการศึกษา 1 ตวั แปรทศ่ี กึ ษา 2 นิยามศัพทเ์ ฉพาะ 3 ประโยชนท์ ่ีคาดวา่ จะได้รบั 3 บทท่ี 2 เอกสารทเ่ี ก่ียวขอ้ ง 3 การดำเนนิ การทางคณติ ศาสตร์ (math operations) 3 จำนวน (number) 5 ภาวะคูห่ รือค่ี (parity) 5 บทท่ี 3 วิธีการดำเนนิ การ 5 ขน้ั ตอนการดำเนินการศกึ ษาคน้ คว้า 6 ขั้นตอนการพสิ จู น์ 6 บทที่ 4 ผลการดำเนนิ งาน 24 ผลการศกึ ษา 24 บทท่ี 5 สรปุ ผล อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ 25 สรุปผลการดำเนนิ งาน 25 อภปิ รายผล 26 ขอ้ เสนอแนะ 27 บรรณานกุ รม 28 ภาคนวก 29 ภาคผนวก ก แบบบันทึกการปฏิบตั กิ จิ กรรม ภาคผนวก ข ผลงานนกั เรียน

ก บทคดั ย่อ ชือ่ โครงงาน : มหศั จรรยเ์ ลขคู่คี่ ชื่อผู้จัดทำ : 1.เด็กหญิงพชั รมัย คะสาน 2.เดก็ หญิงศุภัฏชา หอมจู 3.เดก็ ชายจิรเมธ ชมชยั คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันของทุกคน โดยคนส่วนใหญ่มักจะมีความคิดว่า คณิตศาสตร์เป็นเรื่องยากต่อการทำความเข้าใจและไม่อยากศึกษาต่อ อันเนื่องจากความคิดที่ว่า คณิตศาสตร์ เปน็ เรอ่ื งของหลักการทฤษฎีมีความซบั ซ้อน และไม่น่าสนใจ ทางคณะผู้จัดทำมีความคิดว่าทำไม จำนวนคู่ คูณ กับ จำนวนคู่ ถึงได้จำนวนคู่ และทำไมจำนวนคี่ คูณกับ จำนวนคี่ แล้วได้จำนวนคี่ พวกเราจึงต้องการพิสูจน์ และศึกษาค้นคว้าเพิ่มเติม เกี่ยวกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ว่าคำตอบจะสามารถออกมาเป็นรูปแบบ ไหนได้บ้าง โครงงานฉบับนี้มีวัตถุประสงค์ 3 ประการ 1) ต้องการศึกษาค้นคว้าเรื่องจำนวนคู่และจำนวนค่ี 2) เพื่อศึกษาคำตอบที่เกิดจากกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 3) เพื่อให้ข้อมูลในการศึกษามีประโยชน์ต่อผู้ ศึกษา เนื้อหาในการศึกษาจำนวนคู่และจำนวนคี่ โดยใช้โปรแกรม Microsoft Excel ในการดำเนนิ งานเพื่อหา รูปแบบที่มหัศจรรย์ของจำนวนคู่และจำนวนคี่ โดยทางคณะได้ศึกษาค้นคว้าแล้ว พบว่า ได้โมเดลอยู่ 3 แบบ ขนาด 2×2 ซึ่งแต่ละแบบจะทำการแทนค่าลงไป แล้วสังเกตว่าผลลัพธ์จะออกมาเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ ซงึ่ สรปุ แล้วผลลัพธ์ออกมานน้ั ทำให้เราไดศ้ กึ ษาเรื่องทฤษฎจี ำนวนมากขน้ึ รูปแบบที่ 1 ถ้าใหต้ ัวแปร x ทอี่ ยูใ่ นตาราง แสดงเปน็ จำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถ้าให้ x เปน็ 2 และ ถ้าให้ x เปน็ 4 จะเห็นไดว้ ่า นำมาดำเนินการทางคณติ ศาสตร์แล้วจะได้ผลลพั ธเ์ ปน็ จำนวนค่เู สมอ รปู แบบท่ี 2 ถ้าใหต้ วั แปร x ทอี่ ยู่ในตาราง แสดงเปน็ จำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถ้าให้ x เป็น 2 และ ถา้ ให้ x เปน็ 4 จะเหน็ ได้ว่า นำมาดำเนินการทางคณติ ศาสตร์แล้วจะได้ผลลัพธ์เปน็ จำนวนคเู่ สมอ รูปแบบที่ 3 ถ้าให้ตัวแปร x ที่อยู่ในตาราง แสดงเป็นจำนวนคี่ (เลขโดด) เช่น ถ้าให้ x เป็น 1 ถ้าให้ x เป็น 3 จะเห็นได้ว่า นำมาดำเนินการทางคณิตศาสตร์แล้วจะได้ผลลัพธเ์ ป็นจำนวนคู่เสมอ ถึงแม้จะ x เปน็ จำนวนคก่ี ต็ าม

ข กิตติกรรมประกาศ โครงงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มสาระการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นโครงงานประเภททฤษฎี ช่วยเสริมสร้างความรู้ความเข้าใจและพัฒนาความคิดรวบยอดทางคณิตศาสตร์อีกทั้งยังช่วยให้มีเจตคติที่ดีต่อ วิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย คณะทำงานมีความเห็นว่าการเรียนรู้คณิตศาสตร์ด้วยรูปธรรมจะมีความชัดเจนและ เข้าใจได้มากกว่าการเรียนรู้บนกระดานดำเพียงอย่างเดียวจึงเสนอโครงกา รนี้เพื่อศึกษาและรวบรวมแบบรูป ตา่ งๆเทา่ ทที่ ำได้เพือ่ ทำให้เยาวชนไทยสนใจในการเรียนคณติ ศาสตร์เพ่ิมข้นึ จงึ ตดั สนิ ใจนำเสนอโครงงานชดุ น้ี ในการดำเนินการโครงงานได้รับความร่วมมือเป็นอย่างดีจากท่านผู้อำนวยการโรงเรียน อนุบาลบุ่งคล้า นายเด่นชัย โพธิสว่าง ครูที่ปรึกษาโครงงาน ครูปิยาภรณ์ แก้วคำมา ครูวิชชุลดา โพธิสว่าง คณะครูและ บุคลากร โรงเรียนอนุบาลบุ่งคล้า ตลอดจนนักเรียนโรงเรียนอนุบาลบุ่งคล้า ผู้ปกครองนักเรียน ที่ให้ความ ร่วมมอื เปน็ อยา่ งดีจนโครงงานประสบความสำเรจ็ ท้ายสุดนี้ ทางคณะหวังว่าโครงงานฉบับนี้คงมีประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจศึกษารายละเอียดของ จำนวนคู่และจำนวนคอี่ ย่างแท้จรงิ ตอ่ ไป

สารบญั ตาราง ค ตารางท่ี 1 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคู่ + จำนวนคู่ หน้า ตารางท่ี 2 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคี่ + จำนวนค่ี ตารางที่ 3 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคู่ + จำนวนค่ี 6 ตารางที่ 4 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนคู่ – จำนวนคู่ 7 ตารางที่ 5 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนค่ี – จำนวนคี่ 8 ตารางท่ี 6 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนคู่ – จำนวนค่ี 9 ตารางท่ี 7 ตารางแสดงผลการคูณ จำนวนคู่ × จำนวนคู่ 10 ตารางที่ 8 ตารางแสดงผลการคณู จำนวนค่ี × จำนวนค่ี 11 ตารางท่ี 9 ตารางแสดงผลการคูณ จำนวนคู่ × จำนวนคี่ 12 ตารางที่ 10 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนคู่ ÷ จำนวนคู่ 13 ตารางที่ 11 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนค่ี ÷ จำนวนคี่ 14 ตารางที่ 12 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนคู่ ÷ จำนวนค่ี 15 16 17

บทท่ี 1 บทนำ ทมี่ าและความสำคญั คณติ ศาสตรเ์ ป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกบั ชวี ติ ประจำวนั ของทกุ คน โดยคนสว่ นใหญ่มักจะมีความคิดวา่ คณิตศาสตรเ์ ป็นเรื่องยากต่อการทำความเขา้ ใจและไม่อยากศกึ ษาตอ่ อันเนอื่ งจากความคิดทว่ี ่า คณิตศาสตร์ เป็นเรือ่ งของหลกั การทฤษฎีมีความซบั ซ้อน และไมน่ ่าสนใจ การดำเนินการทางคณิตศาสตรน์ นั้ มมี ากมายไม่วา่ จะเป็นการบวก การลบ การคูณ การหาร รวมไปถงึ แบบรปู และความสมั พนั ธ์ นำมาปรับใชใ้ นโครงงาน พวกเราคณะจัดทำต้องการนำกระบวนการทาง คณติ ศาสตร์มาคดิ ค้นหาคำตอบในโครงงาน ดงั นั้น คณะผูจ้ ัดทำมีความคดิ ว่าทำไม จำนวนคู่ คณู กับ จำนวนคู่ ถึงได้จำนวนคู่ และทำไมจำนวนคี่ คณู กบั จำนวนคี่ แลว้ ไดจ้ ำนวนค่ี พวกเราจึงต้องการพสิ ูจน์และศึกษาคน้ คว้าเพิ่มเตมิ เกี่ยวกบั การดำเนินการ ทางคณิตศาสตรว์ ่าคำตอบจะสามารถออกมาเป็นรูปแบบไหนไดบ้ า้ ง วตั ถุประสงค์ของการศึกษาค้นควา้ 1. ต้องการศึกษาค้นคว้าเรอ่ื งจำนวนคู่และจำนวนค่ี 2. เพ่ือศกึ ษาคำตอบท่เี กิดจากกระบวนการดำเนนิ การทางคณิตศาสตร์ 3. เพ่ือให้ข้อมลู ในการศึกษามปี ระโยชนต์ ่อผูศ้ ึกษา สมมติฐานของการศึกษา เมือ่ ได้ศึกษาแล้วจะทำให้ค้นพบว่าคำตอบที่เกิดจากระบวนการดำเนินการทางคณิตศาตสตร์นน้ั มี หลากหลายรปู แบบเร่อื งระบบจำนวน ขอบเขตของการศึกษา 1. เร่อื งระบบจำนวน(จำนวนคู่และจำนวนคี่) 2. การดำเนนิ การทางคณติ ศาสตร์ ตวั แปรท่ศี ึกษา ตัวแปรตน้ จำนวนคู่และจำนวนค่ี ตัวแปรตาม ผลลพั ธใ์ นรปู แบบตา่ งๆ ตัวแปรควบคุม การดำเนินการทางคณติ ศาสตร์

2 นิยามศัพท์เฉพาะ 1. จำนวน (number) ปรมิ าณในทางคณิตศาสตร์ ซงึ่ แสดงให้ทราบว่ามีมากหรือน้อยเพียงใด เชน่ แสดง ปรมิ าณของ คน สตั ว์ พชื หรือส่งิ ของตา่ งๆ เปน็ ต้น 2. จำนวนค่ี (odd number) คือ จำนวนทหี่ ารดว้ ยสองไมล่ งตวั เหลอื เศษ 3. จำนวนคู่ (even number) คือ จำนวนทหี่ ารด้วยสองลงตวั ไมเ่ หลือเศษ 4. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (math operations) คอื การกระทำหรอื ลำดับขั้นตอนซ่ึงสร้างค่าใหม่ ขึ้นเป็นผลลัพธ์ 4.1 การบวก (addition) 4.2 การลบ (subtraction) 4.3 การคูณ (multiplication) 4.4 การหาร (division) ประโยชน์ทีค่ าดวา่ จะได้รบั 1. ได้ทราบเนือ้ หาเร่ืองจำนวนคูแ่ ละจำนวนค่ี 2. ได้ทราบคำตอบทเ่ี กดิ จากกระบวนการดำเนนิ การทางคณิตศาสตร์ 3. ขอ้ มูลในการศกึ ษามปี ระโยชน์ต่อผ้ศู ึกษา

3 บทที่ 2 เอกสารและงานวจิ ยั ทเี่ ก่ยี วข้อง โครงงาน เรื่อง มหัศจรรย์เลขคู่เลขคี่ ในครั้งนี้คณะผู้จัดทำได้ศึกษา ค้นคว้า และจัดทำเอกสารและ งานวจิ ยั ท่เี กยี่ วข้อง ดังน้ี การดำเนนิ การทางคณิตศาสตร์ (math operations) การดำเนนิ การทางคณิตศาสตร์ (math operations) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การกระทำหรือ ลำดับขน้ั ตอนซ่ึงสรา้ งคา่ ใหมข่ ้ึนเป็นผลลัพธ์ โดยการรบั ค่าเข้าไปหนงึ่ ตัวหรอื มากกวา่ การศกึ ษาส่วนใหญ่ใช้การ ดำเนินการทวิภาค (เชน่ การดำเนินการอาริตี 2) ได้แก่ การบวกและการคณู ส่วนการดำเนนิ การเอกภาค (เชน่ การดำเนนิ การอาริตี 1) ได้แก่ ตัวผกผนั การบวกและตวั ผกผันการคณู สว่ นการดำเนนิ การอารติ ี 0 หรือการ ดำเนนิ การศนู ย์ภาคคือค่าคงตัว ผลคูณผสมคอื ตัวอยา่ งของการดำเนนิ การอาริตี 3 ที่เรยี กวา่ การดำเนินการ ไตรภาค โดยท่ัวไปแล้ว อาริตีสามารถมีไดเ้ ปน็ อนนั ต์ การดำเนินการสามารถแบง่ ได้เป็นสองประเภทใหญ่ ๆ ไดแ้ ก่ การดำเนนิ การเอกภาคและการดำเนนิ การทวิภาค การดำเนนิ การเอกภาคจะใช้คา่ ท่ีปอ้ นเข้าไปเพยี ง หนึ่งค่าเช่น นิเสธ ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ ส่วนการดำเนินการทวิภาคจะใชส้ องคา่ เช่น การบวก การลบ การ คณู การหาร การยกกำลงั ส่วนการดำเนนิ การศูนย์ภาค คือค่าคงตวั การดำเนนิ การสามารถเกยี่ วข้องกบั วัตถุทางคณติ ศาสตร์อย่างอนื่ ทนี่ อกเหนือจากจำนวนก็ได้ ตวั อย่างเช่น คา่ เชงิ ตรรกะ จริง และ เท็จ สามารถใช้กบั ตัวดำเนนิ การทางตรรกศาสตร์อยา่ ง and, or, not; เวกเตอร์สามารถบวกและลบกันได้; ฟังกช์ นั ประกอบสามารถใชเ้ ปน็ การหมุนของวัตถุหลาย ๆ ครงั้ ได้; การดำเนนิ การของเซตมีท้งั แบบทวิภาคคอื ยเู นยี น อนิ เตอร์เซกชนั และแบบเอกภาคคือคอมพลีเมนต์ เป็นตน้ การดำเนินการบางอย่างอาจไม่สามารถนยิ ามไดบ้ นทกุ ๆ ค่าท่ีเป็นไปได้ เชน่ ในจำนวนจรงิ เราจะไม่ สามารถหารด้วยศนู ย์หรอื ถอดรากท่ีสองจากจำนวนลบ ค่าเรมิ่ ตน้ สำหรบั การดำเนนิ การไดน้ ยิ ามมาจากเซต เซตหนึง่ ทเ่ี รียกว่าโดเมน และเซตที่เป็นผลลพั ธ์เรียกวา่ โคโดเมน แตค่ ่าที่แทจ้ ริงท่ีเกิดจากการดำเนินการนัน้ อาจ ออกมาเปน็ เรนจ์ อาทิการถอดรากทส่ี องในจำนวนจริงจะให้ผลลพั ธ์เพียงจำนวนท่ีไม่เปน็ ลบ ดังน้นั โคโดเมนคอื เซตของจำนวนจรงิ แต่เรนจค์ ือเซตของจำนวนท่ีไม่เป็นลบเท่านั้น จำนวน (number) ปริมาณในทางคณิตศาสตร์ ซึง่ แสดงให้ทราบวา่ มีมากหรือน้อยเพยี งใด เช่นแสดงปรมิ าณ ของ คน สัตว์ พืช หรือส่งิ ของตา่ งๆ เปน็ ตน้ จำนวนคู่ (even number) จำนวนทห่ี ารดว้ ย 2 ลงตัว (ไม่มเี ศษเหลอื ) จำนวนค่ี (odd number) จำนวนท่หี ารดว้ ย 2 ไม่ลงตวั (มีเศษเหลอื )

4 ภาวะคู่หรือคี่ (parity) จำนวนเต็มใด ๆ จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าจำนวนนั้นเป็น พหุคูณของ 2 มันจะเป็นจำนวนคู่ มิฉะนั้น มันจะเป็นจำนวนคี่ ตัวอย่างของจำนวนคู่ เช่น -4, 8, 0 และ 70 ตวั อยา่ งของจำนวนคี่ เชน่ -5, 1 และ 71 เลข 0 เป็นจำนวนคู่ เพราะ 0 = 0 × 2 สำหรับในระบบเลขฐานสิบ เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นจำนวนคี่หรือคู่ได้โดยดูจากเลขหลักหน่วย กล่าวคือ ถ้าเลขหลักหนว่ ยเป็น 1,3,5,7 หรือ 9 แล้วจำนวนนั้นเป็นจำนวนคี่ มิฉะนั้น มันจะเป็นจำนวนคู่ และ วิธีนี้ยังใช้ไดก้ ับระบบเลขฐานที่ฐานเปน็ จำนวนคู่อีกด้วย เช่น ระบบเลขฐานสอง ถ้าเลขหลักหน่วยเป็น 1 แล้ว จำนวนน้ันเป็นจำนวนค่ี แตถ่ ้าเปน็ 0 มันจะเป็นจำนวนคู่ สำหรบั ระบบเลขฐานที่ฐานเปน็ จำนวนค่ี จำนวนหน่ึง ๆ จะเป็นจำนวนคูห่ รือจำนวนคน่ี น้ั ขนึ้ อยกู่ ับการดำเนินการ จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเป็นจำนวนคี่ ยกเว้นจำนวนเฉพาะ 2 ที่เป็นจำนวนคู่ จำนวน สมบูรณ์ (Perfect number) ที่เคยค้นพบทุกจำนวนเป็นจำนวนคู่ และยังไม่มีใครรู้ว่า มีจำนวนสมบูรณ์ที่เป็น จำนวนคี่หรือไม่ การบวก (addition) มักแทนด้วยเครื่องหมายบวก “+” คือหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน ของตัวเลข นอกจากการบวกยังมีการลบ การคูณ และการหาร การบวกเป็นการนำสองจำนวนมารวมกัน เชน่ 2+2=4 การลบ (subtraction) มักแทนด้วยเครอื่ งหมาย “–” ในคณติ ศาสตรเ์ ป็นหน่ึงในส่ีการดำเนินการพ้ืนฐานของ ตัวเลข เชน่ 5 – 3 = 2 การคูณ (multiplication) คือการดำเนนิ การทางคณิตศาสตร์อย่างหน่ึงทำให้เกดิ การเพ่มิ หรอื ลดจำนวน จำนวนหนง่ึ เปน็ อัตรา การคูณเปน็ หนง่ึ ในสีข่ องการดำเนนิ การพืน้ ฐานของตัวเลข การคูณสามารถนิยามบน จำนวนธรรมชาตวิ า่ เป็นการบวกซำ้ ๆ กัน ตัวอย่างเช่น 3 คูณดว้ ย 4 หมายถงึ การบวก 4 เขา้ ไป 3 คร้ัง ดังน้ี 4+4+4=12 การหาร (division) ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนนิ การเลขคณิตที่เปน็ การดำเนินการผันกลับของการคูณ และบางคร้ังอาจกลา่ วได้ว่าเป็นการทำซำ้ การลบ คือการแบง่ ออกหรอื เอาออกเทา่ ๆ กนั จนกระทง่ั ตัวตัง้ เหลือ ศนู ย์

5 บทที่ 3 วิธกี ารดำเนินงาน การจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์เลขคู่ค่ี ในครั้งนี้ผู้จัดทำมีจุดมุ่งหมาย เพื่อศึกษา วิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับจำนวนคู่และจำนวนคี่ โดยใช้ความรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎี จำนวน และเพ่ือประยกุ ต์ใชค้ วามรู้ เรอ่ื ง ทฤษฎจี ำนวน มาศกึ ษาเกย่ี วกบั โครงงานเร่ืองมหัศจรรย์เลขคคู่ ี่ โดยมี วสั ดอุ ปุ กรณแ์ ละข้นั ตอนในการศกึ ษาคน้ คว้า ดงั นี้ ขัน้ ตอนการดำเนินการศึกษาคน้ คว้า การจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์เลขคู่คี่ ในครั้งนี้ ผู้จัดทำได้มีวิธีการดำเนินการและ ขัน้ ตอนในการจดั ทำโครงงาน ดังน้ี 1. กำหนดหัวขอ้ และขอบเขตท่ีจะศึกษา โดยประชุมวางแผนรว่ มกันเพือ่ กำหนดกรอบในการศึกษา 2. ศกึ ษาเอกสารเกยี่ วกบั เลขคู่ คี่ และวธิ ีการทางคณิตศาสตร์เพ่อื หาคำตอบ 3. รวบรวมข้อมูลท่ไี ดค้ ำตอบจากการพสิ ูจน์ 4. ออกแบบรูปแบบของโครงงาน 5. นำเสนอครูทป่ี รึกษา และปรบั ปรุงแก้ไข 6. สรา้ งโมเดลแสดงรปู แบบมหัศจรรย์ของจำนวนคู่และจำนวนค่ี 7. สรปุ และอภปิ รายผลเรอื่ งมหัศจรรย์เลขค่คู ี่ 8. เขยี นรายงานเคา้ โครง ข้ันตอนการพสิ จู น์ 1 เครื่องคอมพิวเตอร์ เครื่องคอมพิวเตอร์นำมาใช้ในการศึกษาค้นคว้าหาข้อมูลเกี่ยวกับเนื้อหาวิชา คณติ ศาสตร์ 2. Microsoft Excel ใชใ้ นการคดิ คำนวณการบวก ลบ คณู และหาร 3. โมเดลฟวิ เจอร์บอรด์ แสดงรปู แบบทศ่ี ึกษา 3 รูปแบบ 2×2 จำนวน 3 แผ่น

6 บทท่ี 4 ผลการดำเนนิ งาน การจัดทำโครงงานคณติ ศาสตร์ เร่ืองมหัศจรรย์เลขคคู่ ี่ (Amazing of odd and even number) ในครั้งนี้คณะผู้จัดทำได้ทำการศึกษาและดำเนินตามขั้นตอนจนบรรลุวัตถุประสงค์ในที่สุดโดยมีผลการ ดำเนินงานดังน้ี การแสดงผลลัพธ์ในรูปแบบตา่ งๆจากโปรแกรม Microsoft Excel ตารางท่ี 1 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคู่ + จำนวนคู่ จำนวนตัวที่ 1 จำนวนตัวท่ี 2 ผลลพั ธท์ ไ่ี ด้ 2 2 4 2 4 6 2 6 8 2 8 10 4 4 8 4 6 10 4 8 12 6 6 12 6 8 14 8 8 16

7 ตารางท่ี 2 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคี่ + จำนวนค่ี จำนวนตัวท่ี 1 จำนวนตัวที่ 2 ผลลัพธ์ท่ไี ด้ 1 1 2 1 3 4 1 5 6 1 7 8 1 9 10 3 3 6 3 5 8 3 7 10 3 9 12 5 5 10 5 7 12 5 9 14 7 7 14 7 9 16 9 9 18

ตารางท่ี 3 ตารางแสดงผลการบวก จำนวนคู่ + จำนวนค่ี 8 จำนวนตวั ที่ 1 จำนวนตัวท่ี 2 ผลลพั ธท์ ่ไี ด้ 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 9 11 4 1 5 4 3 7 4 5 9 4 7 11 4 9 13 6 1 7 6 3 9 6 5 11 6 7 13 6 9 15 8 1 9 8 3 11 8 5 13 8 7 15 8 9 17

ตารางท่ี 4 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนคู่ – จำนวนคู่ 9 จำนวนตัวที่ 1 จำนวนตัวที่ 2 ผลลพั ธท์ ี่ได้ 30 2 28 28 4 24 26 6 20 24 8 18 22 10 12 20 2 18 18 4 14 16 6 10 14 8 6 12 10 2

10 ตารางท่ี 5 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนคี่ – จำนวนค่ี จำนวนตัวท่ี 1 จำนวนตวั ที่ 2 ผลลพั ธท์ ี่ได้ 31 9 22 29 9 20 27 7 20 25 7 18 23 9 14 21 3 18 19 5 14 17 7 10 15 9 6 13 5 8 11 7 4 9 7 2 7 7 0 5 3 2 3 1 2

ตารางท่ี 6 ตารางแสดงผลการลบ จำนวนคู่ – จำนวนคี่ 11 จำนวนตัวที่ 1 จำนวนตัวท่ี 2 ผลลพั ธท์ ี่ได้ 20 17 3 20 15 5 20 13 7 20 11 9 20 9 11 14 13 1 14 11 3 14 9 5 14 7 7 14 5 9 12 11 1 12 9 3 12 7 5 8 7 1 8 5 3 8 3 5 6 5 1 6 3 3 4 1 3 2 1 1

ตารางท่ี 7 ตารางแสดงผลการคูณ จำนวนคู่ × จำนวนคู่ 12 จำนวนตวั ที่ 1 จำนวนตวั ท่ี 2 ผลลพั ธ์ที่ได้ 2 2 4 2 4 8 2 6 12 2 8 16 4 4 16 4 6 24 4 8 32 6 6 36 6 8 48 8 8 64

ตารางท่ี 8 ตารางแสดงผลการคณู จำนวนค่ี × จำนวนคี่ 13 จำนวนตัวท่ี 1 จำนวนตัวที่ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ 1 1 1 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 9 9 3 3 9 3 5 15 3 7 21 3 9 27 5 5 25 5 7 35 5 9 45 7 7 49 7 9 63 9 9 81

ตารางท่ี 9 ตารางแสดงผลการคณู จำนวนคู่ × จำนวนค่ี 14 จำนวนตวั ท่ี 1 จำนวนตวั ที่2 ผลลัพธ์ที่ได้ 2 1 2 2 3 6 2 5 10 2 7 14 2 9 18 4 1 4 4 3 12 4 5 20 4 7 28 4 9 36 6 1 6 6 3 18 6 5 30 6 7 42 6 9 54 8 1 8 8 3 24 8 5 40 8 7 56 8 9 72

ตารางที่ 10 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนคู่ ÷ จำนวนคู่ 15 จำนวนตวั ท่ี 1 จำนวนตวั ที่ 2 ผลลพั ธท์ ี่ได้ 2 2 1 2 4 0.5 2 6 0.33 2 8 0.25 4 4 1 4 6 0.67 4 8 0.5 6 6 1 6 8 0.75 8 8 1

ตารางที่ 11 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนค่ี ÷ จำนวนค่ี 16 จำนวนตวั ท่ี 1 จำนวนตวั ท่ี 2 ผลลพั ธ์ทไี่ ด้ 1 1 1 1 3 0.33 1 5 0.20 1 7 0.14 1 9 0.11 3 3 1 3 5 0.60 3 7 0.43 3 9 0.33 5 5 1 5 7 0.71 5 9 0.56 7 7 1 7 9 0.78 9 9 1

ตารางที่ 12 ตารางแสดงผลการหาร จำนวนคู่ ÷ จำนวนค่ี 17 จำนวนตัวที่ 1 จำนวนตัวที่ 2 ผลลัพธท์ ่ไี ด้ 2 1 2 2 3 0.67 2 5 0.40 2 7 0.29 2 9 0.22 4 1 4 4 3 1.33 4 5 0.80 4 7 0.57 4 9 0.44 6 1 6 6 3 2 6 5 1.20 6 7 0.86 6 9 0.67 8 1 8 8 3 2.67 8 5 1.60 8 7 1.14 8 9 0.89

18 รปู แบบความมหศั จรรย์ของจำนวนคู่ รูปแบบท่ี 1 รูปแบบตาราง 2 × 2 xx xx จะใหต้ ัวแปร x ท่ีอยู่ในตาราง แสดงเปน็ จำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถ้าให้ x เป็น 2 จะได้รปู แบบดังน้ี ตารางที่ 1 และถา้ ให้ x เป็น 4 จะไดร้ ูปแบบดงั นต้ี ารางที่ 2 เป็นต้น จะเหน็ ได้วา่ ถา้ ตารางที่ 1 นำมา ดำเนินการทางคณิตศาสตรแ์ ลว้ จะไดผ้ ลลัพธ์เปน็ จำนวนคู่เสมอ และตารางที่ 2 นำมาดำเนนิ การทาง คณติ ศาสตร์แล้วจะไดผ้ ลลัพธ์เปน็ จำนวนคู่เสมอ ตัวอยา่ ง จากตารางที่ 1 ถ้า 2+2+2+2=8 จะได้จำนวนคู่ ถา้ 2×2×2×2=16 จะไดจ้ ำนวนคู่ เป็นต้น ตัวอยา่ ง จากตารางที่ 2 ถา้ 4+4+4+4=16 จะไดจ้ ำนวนคู่ ถา้ 4×4×4×4=256 จะไดจ้ ำนวนคู่ เป็นต้น จะเหน็ ไดว้ า่ รปู แบบที่ 1 ดำเนนิ การคณติ ศาสตรแ์ ล้วจะไดจ้ ำนวนคูเ่ สมอ

19 ตารางท่ี 1 22 22 ตารางที่ 2 44 44

20 รูปแบบที่ 2 รูปแบบตาราง 2 × 2 xx 2x 2x จะใหต้ วั แปร x ทอ่ี ยใู่ นตาราง แสดงเปน็ จำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถา้ ให้ x เป็น 2 จะได้รูปแบบดงั น้ี ตารางท่ี 3 และถ้าให้ x เปน็ 4 จะได้รปู แบบดังนต้ี ารางที่ 4 เป็นตน้ ตัวอยา่ ง จากตารางท่ี 3 ถา้ ให้ x เป็น 2 จะไดว้ า่ ถา้ 2+2+4+4=12 จะไดจ้ ำนวนคู่ ถา้ 12 จะได้ 6 จะได้จำนวนคู่ 2 ตัวอยา่ ง จากตารางท่ี 4 ถ้าให้ x เปน็ 4 จะได้ว่า ถา้ 4+4+8+8=24 จะไดจ้ ำนวนคู่ ถ้า 24 จะได้ 12 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 จะเหน็ ไดว้ ่า รปู แบบที่ 2 ดำเนินการคณิตศาสตร์แลว้ จะได้จำนวนคู่เสมอ

21 ตารางที่ 3 22 2(2) =4 2(2) =4 ตารางท่ี 4 44 2(4) =8 2(4) =8

22 รูปแบบความมหศั จรรย์ของจำนวนค่ี รูปแบบที่ 3 รูปแบบตาราง 2 × 2 2x 2x 2x 2x จะใหต้ ัวแปร x ที่อยใู่ นตาราง แสดงเปน็ จำนวนค่ี (เลขโดด) เชน่ ถา้ ให้ x เป็น 1 จะไดร้ ปู แบบ ดังนีต้ ารางท่ี 5 และถา้ ให้ x เป็น 3 จะได้รูปแบบดังนี้ตารางท่ี 6 เป็นตน้ จะเหน็ ไดว้ า่ ตวั อย่าง จากตารางท่ี 5 ถา้ 2+2+2+2=8 จะได้จำนวนคู่ ถา้ 2×2×2×2=16 จะได้จำนวนคู่ ถ้า 8 จะได้ 4 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 ตวั อยา่ ง จากตารางท่ี 6 ถ้า 6+6+6+6=24 จะได้จำนวนคู่ ถ้า 6×6×6×6=1,296 จะได้จำนวนคู่ ถ้า 24 จะได้ 12 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 จะเห็นไดว้ ่า รูปแบบท่ี 3 ดำเนนิ การคณติ ศาสตรแ์ ล้วจะไดจ้ ำนวนคู่เสมอ ถึงแมจ้ ะ x เปน็ จำนวนค่กี ็ตาม

23 ตารางท่ี 5 2(1)=2 2(1)=2 2(1)=2 2(1)=2 ตารางที่ 6 2(3)=6 2(3)=6 2(3)=6 2(3)=6

24 บทท่ี 5 สรปุ ผล อภปิ รายผลและข้อเสนอแนะ การจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรยเ์ ลขคูค่ ี่ (Amazing of odd and even number) ใน คร้ังนค้ี ณะผ้จู ัดทำมีจดุ มงุ่ หมายเพ่อื ต้องการศึกษาคน้ ควา้ เกี่ยวกบั เร่ืองจำนวนค่จู ำนวนคี่และเปน็ ประโยชนใ์ น การศกึ ษา ไดส้ สรปุ ผลและอธิปรายผลการดำเนินการดังตอ่ ไปน้ี สรุปผลการดำเนนิ งาน รูปแบบท่ี 1 ถ้าใหต้ วั แปร x ที่อย่ใู นตาราง แสดงเป็นจำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถา้ ให้ x เปน็ 2 และ ถา้ ให้ x เป็น 4 จะเหน็ ได้ว่า นำมาดำเนนิ การทางคณิตศาสตรแ์ ล้วจะได้ผลลัพธ์เปน็ จำนวนค่เู สมอ ตัวอย่าง จากตารางที่ 1 ถ้า 2+2+2+2=8 จะไดจ้ ำนวนคู่ ถา้ 2×2×2×2=16 จะไดจ้ ำนวนคู่ เปน็ ตน้ ตวั อย่าง จากตารางท่ี 2 ถ้า 4+4+4+4=16 จะได้จำนวนคู่ ถ้า 4×4×4×4=256 จะไดจ้ ำนวนคู่ เป็นต้น รูปแบบท่ี 2 ถา้ ให้ตัวแปร x ที่อยูใ่ นตาราง แสดงเป็นจำนวนคู่ (เลขโดด) เชน่ ถ้าให้ x เป็น 2 และ ถา้ ให้ x เปน็ 4 จะเห็นได้วา่ นำมาดำเนินการทางคณิตศาสตร์แลว้ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ จำนวนค่เู สมอ ตัวอยา่ ง จากตารางท่ี 3 ถ้าให้ x เปน็ 2 จะได้ว่า ถ้า 2+2+4+4=12 จะได้จำนวนคู่ ถา้ 12 จะได้ 6 จะได้จำนวนคู่ 2 ตวั อยา่ ง จากตารางท่ี 4 ถา้ ให้ x เป็น 4 จะไดว้ ่า ถา้ 4+4+8+8=24 จะไดจ้ ำนวนคู่ ถ้า 24 จะได้ 12 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 รปู แบบที่ 3 ถา้ ให้ตัวแปร x ที่อยู่ในตาราง แสดงเป็นจำนวนคี่ (เลขโดด) เช่น ถ้าให้ x เปน็ 1 ถา้ ให้ x เปน็ 3 จะเหน็ ได้วา่ นำมาดำเนินการทางคณติ ศาสตรแ์ ลว้ จะไดผ้ ลลัพธ์เปน็ จำนวนค่เู สมอ ถงึ แมจ้ ะ x เปน็ จำนวนคีก่ ็ตาม ตวั อย่าง จากตารางท่ี 5 ถา้ 2+2+2+2=8 จะได้จำนวนคู่ ถา้ 2×2×2×2=16 จะไดจ้ ำนวนคู่

25 ถ้า 8 จะได้ 4 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 ตวั อยา่ ง จากตารางท่ี 6 ถา้ 6+6+6+6=24 จะได้จำนวนคู่ ถา้ 6×6×6×6=1,296 จะได้จำนวนคู่ ถ้า 24 จะได้ 12 จะไดจ้ ำนวนคู่ 2 อภปิ รายการดำเนินงาน จากการที่ได้ศึกษาทฤษฎแี ละคำอธบิ ายทางคณิตศาสตร์ คณะผจู้ ดั ทำไดศ้ ึกษาเนอื้ หาการเรียน คณิตศาสตร์ชนั้ ประถมศึกษา เรอื่ งจำนวนค่แู ละจำนวนคี่ รวมท้งั ผลลพั ธ์ของการดำเนนิ การทางคณติ ศาสตร์ นำไปสรู่ ปู แบบต่างๆที่ทำให้เห็นถงึ ความมหัศจรรย์ของตวั เลข จากโมเดลทส่ี ร้างมาจำนวน 3 รปู แบบ ข้อเสนอแนะ 1. เพมิ่ รปู แบบโมเดลและขนาดตารางใหม้ ีความหลากหลายมากยิ่งขน้ึ 2. ควรสร้างรูปแบบเป็นเกมสเ์ พ่อื ความสนกุ สนาน ไม่น่าเบอ่ื และใหช้ อบวชิ าคณิตศาสตรม์ ากขน้ึ

26 บรรณานกุ รม วลั ลภ เหมวงษ.์ (2556). ทฤษฎีจำนวน. อดุ รธานี : พมิ พ์คร้ังท่ี1. ชยั ศักด์ิ ลลี าจรัสกลุ . (2542). โครงงานคณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ เดอะมาสเตอรก์ รปุ๊ . ศกึ ษาธิการ,กระทรวง. (2540). 101 โครงงานคณิตศาสตร.์ กรุงเทพฯ : คุรสุ ภาลาดพร้าว. ดำรงค์ ทิพย์โยธา. (2556). โลกทฤษฎจี ำนวน. กรงุ เทพฯ : พิมพค์ ร้งั ท่ี1.

27 ภาคผนวก

28 ภาคผนวก ก แบบบันทกึ การปฏิบัติกจิ กรรม

29 ภาคผนวก ข ผลงานนักเรียน รปู แบบที่ 1 รปู แบบตาราง 2 × 2 รูปแบบท่ี 2 รูปแบบตาราง 2 × 2

30 รูปแบบท่ี 3 รปู แบบตาราง 2 × 2 แผน่ ป้ายตวั เลข