บทที่ 2 ความน่าจะเป็น

หนา้ 1 บทที่ 2 ทฤษฎีความนา่ จะเปน็ บทนา เมนเดลสามารถนาความรู้ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น (Probability, P) มาอธิบายผลการทดลองของเขาซ่ึงเป็นส่วนสาคัญท่ีทาให้เมนเดล ประสบความสาเร็จในการอธิบาย การถ่ายทดลักษณะพนั ธกุ รรมของถ่ัวลนั เตา 2.1 ความน่าจะเป็น โอกาสหรือความน่าจะเป็น (P) คือ สัดส่วนของจานวนครั้งที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หน่ึงจะ เกิดข้ึนได้จากจานวนเหตุการณ์ท้ังหมด เช่น ถ้าเหตุการณ์ A สามารถเกิดได้ m ครั้งจากจานวน เหตุการณ์ท้ังหมด n คร้ัง โอกาสที่เหตุการณ์ A จะเท่ากับ m ดังนั้นความน่าจะเป็นหรือโอกาส n สามารถคานวณได้ดังน้ี ความน่าจะเปน็ หรอื โอกาส = จานวนเหตกุ ารณ์ทเี่ กิดขึน้ ตัวอย่างที่ 1 จานวนเหตกุ ารณท์ ง้ั หมดท่ีเป็นไปได้ การทอดลูกเตา๋ 1 ลกู โอกาสท่จี ะออกหนา้ 4 เท่ากับเทา่ ไร วธิ คี ิด จานวนเหตกุ ารณท์ ้ังหมดที่เป็นไปได้ในการทอดลูกเตา๋ 1 ลกู = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 จานวนเหตุการณ์ทลี่ ูกเตา๋ จะออกหน้า 4 = {4} = 1 โอกาสทลี่ ูกเตา๋ จะออกหน้า 4 (P(4)) = จานวนเหตกุ ารณท์ ีเ่ กิดหนา้ 4 ตวั อยา่ งท่ี 2 จานวนเหตุการณท์ ้งั หมดที่เป็นไปได้ =1 6 สมมุติว่าในถุงใบหน่ึงมีลูกบอลอยู่ 12 ลูก เป็นสีเหลือง 4 ลูก สีเขียว 2 ลูก และสีขาว 6 ลูก ถ้าหากเราจะล้วงลูกบอลมาหนง่ึ ลกู อยากทราบวา่ จะมโี อกาสเท่าไรท่ีมนั จะเป็นสเี หลอื ง จานวนเหตุการณท์ ง้ั หมดทเ่ี ปน็ ไปได้ในการหยิบลกู บอล = 12 จานวนเหตุการณ์ทจ่ี ะหยบิ ลูกบอลได้ลูกบอลสเี หลือง = 4 โอกาสทจ่ี ะได้ลูกบอลสเี หลือง = จานวนลูกบอลสเี หลอื ง จานวนจานวนลกู บอลทั้งหมด =4 12 ในทางพันธุศาสตรเ์ ราจะสนใจโอกาสที่ลูกจะเกิดขนึ้ จากการผสมระหว่างพอ่ แม่ เช่น เมื่อเรา

หนา้ 2 ผสมเฮเทอโรไซกัสของถ่วั ลันเตาตน้ สูง (Tt) อตั ราสว่ นฟีโนไทปข์ องลูกผสมคือ ต้นสงู : ต้นเตยี้ = 3 : 1 จากข้อมูลดังกล่าวเราสามารถคานวณหาโอกาสท่จี ะเกดิ ลกู ทั้งสองลักษณะนไ้ี ด้ โอกาสทีจ่ ะไดล้ กู ต้นสงู = จานวนเหตกุ ารณท์ ีเ่ กิดตน้ สงู จานวนเหตกุ ารณท์ ัง้ หมดทีเ่ ปน็ ไปได้ =3 4 จานวนเหตกุ ารณท์ เี่ กิดต้นเตย้ี โอกาสทีจ่ ะได้ลกู ต้นเตยี้ = จานวนเหตกุ ารณท์ ัง้ หมดทเี่ ปน็ ไปได้ =1 4 ดงั น้ันโอกาสท่จี ะได้ลูกต้นสงู เท่ากบั 3 (75%) และโอกาสทจี่ ะได้ลูกต้นเต้ีย เท่ากบั 1 (25%) 44 เมื่อเรานาโอกาสของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เปน็ ไปได้มาบวกกันจะมีค่าเท่ากับ 1 (100%) เสมอ (3/4 + 1/4 = 1) (75% + 25% =100%) ซ่ึงจากสูตรความน่าจะเป็นทาให้ความน่าจะเป็นมีค่าอยู่ในช่วง ต้ังแต่ 0 ถึง 1 โดย 0 คือค่าของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีไม่มีโอกาสเกิดข้ึน และ 1 คือค่าของ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ่ีเกดิ ขึน้ เสมอ 2.2 กฎความนา่ จะเปน็ อัตราส่วนทางพันธุศาสตร์ คือ อัตราส่วนฟโี นไทป์และจีโนไทป์ หาได้จากกฎความนา่ จะเป็น 2 ขอ้ คือ กฎการบวก และกฎการคณู 1. กฎการบวก (the rule of addition หรือ sum rule) กฎการบวกใช้ในกรณีท่ีเหตุการณ์ท่ีไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อม ๆ กันได้ คือ เมื่อเกิด เหตกุ ารณห์ น่งึ แลว้ เหตกุ ารณอ์ ื่น ๆ จะไมเ่ กิดขึน้ (mutually exclusive events) ดงั นั้น โอกาสที่จะ เกดิ เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนง่ึ จะเท่ากับผลบวกของโอกาสท่จี ะเกิดแต่ละเหตุการณ์ เชน่ กาหนดให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดข้ึนพร้อม ๆ กันได้ แล้วกาหนดให้ P(A) คือ โอกาสที่จะเกดิ เหตกุ ารณ์ A และ P(B) คือโอกาสทีจ่ ะเกิดเหตกุ ารณ์ B ดังน้ันโอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณ์ A หรือ B อย่างใดอย่างหนึ่งจะเท่ากับผลบวกของโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A และโอกาสท่ีจะเกิด เหตกุ ารณ์ B เมื่อเขียนเป็นสามการจะได้ดังน้ี โอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณ์ A หรอื B = P(A) + P(B)

หนา้ 3 2. กฎการคณู (the rule of multiplication หรอื product rule) กฎการคูณใช้ในกรณีท่ีเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ หรือมากกว่าที่สามารถเกิดขึ้นพร้อม ๆ เหตกุ ารณเ์ หลา่ นีเ้ ป็นเหตกุ ารณอ์ ิสระ (independent event) ดงั น้นั โอกาสทจ่ี ะเกิดเหตกุ ารณต์ า่ ง ๆ พร้อมกัน จะเท่ากับผลคูณของโอกาสที่จะเกิดแต่ละเหตุการณ์ เช่น กาหนดให้ A และ B เป็น เหตุการณอ์ ิสระ 2 เหตุการณ์ คือ เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B สามารถเกิดขึ้นพร้อม ๆ กันได้ แล้ว กาหนดให้ P(A) คือโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A และ P(B) คือโอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณ์ B ดังน้ัน โอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณ์ A และ B พร้อม ๆ กัน จะเท่ากับผลคูณของโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A และโอกาสท่ีจะเกดิ เหตุการณ์ B เมือ่ เขียนเปน็ สมการจะได้ดงั น้ี โอกาสท่ีจะเกิดเหตุการณ์ A และ B = P(A) x P(B) กฎของความน่าจะเป็นสามารถนามาใช้อธิบายอัตราส่วนต่าง ๆ ของการถ่ายทอดลักษณะ ทางพันธุกรรมได้ดังน้ี ตามกฎของเมนเดล เม่ือพ่อแม่ที่มีจีโนไทป์ Tt จะสร้างเซลล์สืบพนั ธ์ุได้ 2 ชนิด คอื เซลล์สืบพันธุช์ นดิ T (ตน้ สูง) และเซลลส์ ืบพนั ธช์ุ นดิ t (ตน้ เตยี้ ) เม่อื มกี ารผสมตัวเอง ลูกผสมที่ ได้มีจีโนไทป์ได้ 3 แบบ คือ TT, Tt และ tt ซ่ึงอัลลีล T ข่ม t ได้สมบูรณ์ ฟีโนไทป์ของลูกผสมจึงมี 2 แบบคือ ตน้ สูง และต้นเต้ยี อัตราสว่ นจโี นไทป์และฟโี นไทป์ของลูกผสมทีไ่ ด้มาจากกฎความน่าจะเป็น 2 กฎ คือ กฎการบวกและกฎการคูณน้ันเอง กล่าวคือ พ่อแม่มีจีโนไทป์ Tt แต่ละฝ่ายมีโอกาสสร้าง เซลล์สบื พนั ธุ์ T เท่ากบั 1 และโอกาสสรา้ งเซลล์สืบพันธุ์ t เทา่ กบั 1 จีโนไทปข์ องลกู เปน็ ผลมาจาก 22 เซลล์สืบพันธุ์ฝ่ายพ่อและฝ่ายแม่มารวมกัน แต่เน่ืองจากการสร้างเซลล์สืบพันธุ์ของพ่อและแม่เป็น อิสระต่อกัน ดังน้ัน จีโนไทป์ของลูกท่ีเกิดขึ้นจึงได้มาจากผลคูณของโอกาสสร้างเซลล์สืบพันธ์ุของพ่อ และแม่ท่ีเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นจีโนไทป์ของลูกที่เกิดข้ึนจึงได้มาจากผลคู่ของโอกาสสร้างเซลล์ สบื พันธุ์ T กบั t ของพอ่ และแม่ ดังแผนภาพการผสมดงั นี้

หน้า 4 พอ่ แม่ (P) ต้นสงู X ต้นสูง จีโนไทป์ Tt Tt เซลล์สืบพนั ธ์ุ Tt Tt โอกาสของเซลล์ สืบพันธ์ุ 11 11 22 22 t พอ่ T โอกาส = 1 แม่ โอกาส = 1 2 T 2 Tt โอกาส = 1 TT โอกาส = 1 x 1 2 โอกาส = 1 x 1 22 t 22 โอกาส = 1 =1 =1 2 4 4 Tt Tt โอกาส = 1 x 1 โอกาส = 1 x 1 22 22 =1 =1 4 4 โอกาสทลี่ กู ผสมจะมจี ีโนไทป์ TT = 1 4 โอกาสทล่ี กู ผสมจะมีจโี นไทป์ Tt = 1 + 1 = 1 442 โอกาสทล่ี ูกผสมจะมีจโี นไทป์ tt = 1 2 การเกิดลูกผสมแต่ละครั้งเป็นเหตุการณ์ท่ีไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อม ๆ กันได้ คือ ลูกผสมมี จีโนไทป์เป็นอย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว จะมีจีโนไทป์เป็นอย่างอื่นอีกไม่ได้ หรือลูกแต่ละตัวจะมีจีโนไทป์ เป็น TT, Tt และ tt ในเวลาเดียวกันไม่ได้ ดังน้ันโอกาสท่ีลูกผสมจะมีจีโนไทป์ TT หรือ Tt จึงเท่ากับ ผลบวกของโอกาสท่ีลูกผสมจะมีจีโนไทป์ TT และโอกาสที่ลูกผสมจะมีจีโนไทป์ Tt ซ่ึงจะเท่ากับ 1 +1=3 4 24 2.3 การกระจายไบโนเมยี ล (expansion of binomial) การกระจายไบโนเมียล คอื การกระจายพจน์ของ (p+q)n เมื่อ n เปน็ จานวนเตม็ บวกหรือศนู ย์ เช่น (p+q)2 = (p+q) x (p+q) = p2+2pq+q2 แต่ถ้าการกระจายน้ันมีค่า n มาก ๆ ก็จะทาให้หาค่า ได้ยากขนึ้ ดงั น้ัน เราจึงต้องใช้ทฤษฎีบททวนิ ามชว่ ยในการกระจาย โดยปกตใิ นการขยายไบโนเมยี ล มี ขั้นตอนการกระจายดังนี้ ขั้นท่ี 1 กระจายพจน์ต่าง ๆ โดยจานวนพจน์ท่ขี ยายได้จะมากกว่ากาลังของ

หน้า 5 n อยู่ 1 พจน์ คือจะมีพจน์ต่าง ๆ เท่ากับ n+1 พจน์ และขึ้นที่ 2 ค่าสัมประสิทธ์ิของพจน์ต่าง ๆ คานวณได้ 3 วธิ ี ข้ันท่ี 1 การกระจายพจน์ต่าง ๆ โดยให้เลขยกกาลังของตัวแรก (p) จะมีเลขยกกาลังลดลง เชน่ (p+q)4 = p4 + p3 + p2 + p1 + p0 จากนั้นให้เลขยกกาลงั ของตวั ท่ีสอง (q) มเี ลขยกกาลงั เพม่ิ ขนึ้ (p+q)4 = p4q0 + p3q1 + p2q2 + p1q3 + p0q4 (q0 = 1 และ p0 = 1) (p+q)4 = _p4 + _p3q1 + _p2q2 + _p1q3 + _q4 เมอ่ื กระจายพจนไ์ ด้แล้วให้หาสัมประสทิ ธ์ทิ ี่อยูห่ นา้ พจน์ต่าง ๆ ตามขัน้ ตอนที่ 2 ขัน้ ท่ี 2 คา่ สมั ประสิทธข์ิ องพจนต์ า่ ง ๆ คานวณได้ 3 วิธีคอื 1. สตู รในการหาสัมประสทิ ธ์ิ สมั ประสทิ ธิ์ของพจน์ถัดไป = เลขยกกาลังของตัวแรกของพจน์หน้า x สัมประสทิ ธิของพจน์หนา้ ตาแหน่งของพจน์หน้า ซงึ่ ทาไดโ้ ดย ข้ันท่ี 1 กระจายพจนต์ ่าง ๆ ออกมา เช่น (p+q)4 ในกรอบส่เี หล่ยี ม คือ พจน์ ซงึ่ มจี านวนเทา่ กับ เลขยกกาลงั + 1 ซ่ึงจากตัวอย่าง (p+q)4 มีเลขยกกาลังเทา่ กบั 4 ดงั นั้นจึงมีจานวนพจนเ์ ท่ากับ 4+1 = 5 พจน์ พจนท์ ี่ 1 2 3 45 (p+q)4 = P4 + p3q1 + p2q2 + p1q3 + q4 ซึ่งสัมประสิทธ์ิของพจน์ท่ี 1 จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ และสัมประสิทธ์ิของพจน์ที่ 2 คือพจน์ p3q1 มคี ่าเทา่ 4 ซึง่ หาได้จากผลคูณของเลขยกกาลงั ของตวั แรกของพจนแ์ รกคอื 4 คณู กบั สัมประสทธ์ิ ของพจนแ์ รกคอื 1 หารด้วยตาแหน่งของพจนแ์ รกคือ 1 จะมคี ่าเทา่ กับ 4×1 = 4 1 สัมประสิทธ์ิของพจน์ท่ี 3 คือพจน์ p2q2 มีค่าเท่ากับ 6 ซึ่งหาได้จากผลคูณของเลยยกกาลัง ของตัวแรกของพจนท์ ี่สอง คือ 3 คูณกับสัมประสทธิ์ของพจน์ท่ีสองคือ 4 หารด้วยตาแหนง่ ของพจน์ท่ี สองคือ 2 จะมีคา่ เทา่ กบั 3×4 = 6 ส่วนสัมประสิทธ์ขิ องพจน์ท่ี 4 และ 5 หาได้จากสตู รเชน่ เดยี วกนั 2 (p+q)4 = 1p4 + 4p3q1 + 6p2q2 + 4p1q3 + 1q4

หน้า 6 2. สามเหลย่ี มพาสคาล (Pascal’s triangle) นาคา่ สมั ประสิทธ์ิของแต่ละพจน์จากการขยายไบโนเมียลที่มีเลขยกกาลังต่าง ๆ กนั มาจดั เรียงจะไดร้ ูปสามเหลี่ยมขนึ้ มาเรยี กว่า สามเหลีย่ มพาสคาล กาลงั ของ สัมประสทิ ธขิ์ องพจน์ต่าง ๆ n 01 1 11 2 121 3 1331 4 14 6 41 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 เช่นถา้ ขยายไบโนเมยี ลของ (p+q)5 = _p5 + _p4q1 + _p3q2 + _p2q3 + _p1q4 + _q5 นา ตัวเลขของแถวที่กาลังของ n = 5 มาใส่เป็นสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ คือ (p+q)5 = 1p5 + 5p4q1 + 10p3q2 + 10p2q3 + 5p1q4 + 1q5 3. สูตรการหาคา่ คอมบเิ นชนั กรณีการขยายไบโนเมียล กาลัง n มีค่ามาก ๆ การหาค่าสัมประสิทธ์ิของพจน์ ต่าง ๆ จะย่ิงยากมากถ้าใช้ 2 วิธีที่กล่าวมาแล้ว จึงมีวิธีการหาค่าสัมประสิทธิของพจน์ต่าง ๆ โดยใช้ สูตรการหาค่าคอมบิเนชนั คือ nCr =r!(nn−! r)! n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 1 0! = 1 n = กาลังของ p + q r = กาลังของ p n-r = กาลังของ q ตัวอยา่ ง 3 การหาสมั ประสทิ ธ์ขิ องพจน์ p8q2 n = กาลังของ p + q r = กาลังของ p n-r = กาลังของ q

หน้า 7 ดงั น้นั สมั ประสทิ ธิข์ องพจน์ p8q2 = n! r!(n−r)! = (8+2) ! 8!((8+2)−8)! = 10 ! 8!(2)! = 45 การกระจายไบโนเมยี ลเป็นวธิ กี ารคานวณความนา่ จะเปน็ ท่ีเกีย่ วข้องกับเหตกุ ารณท์ ี่เปน็ ไปได้ 2 เหตุการณ์ที่จะเกิดข้ึนรวมกันในหลาย ๆ แบบของเหตุการณ์โดยไม่มีการพิจารณลาดับของ เหตกุ ารณท์ เี่ กิดขึ้น ตัวอย่าง 4 เมอื่ โยนเหรียญบาท 2 เหรียญพร้อมกัน โอกาสทจ่ี ะเกดิ หวั 1 เหรยี ญและกอ้ ย 1 เหรียญ เราสามารถใชก้ ารกระจายไบโนเมียลมาคานวณหาความนา่ จะเปน็ หรอื โอกาส โดยกาหนดให้ p = โอกาสที่จะเกิดหวั = 1 2 q = โอกาสทีจ่ ะเกิดก้อย = 1 2 (p+q)2 = p2 + 2pq + q2 โดย p2 = โอกาสทีจ่ ะเกดิ หัวทั้ง 2 เหรยี ญ = (1)2 =1 2 4 2pq = โอกาสท่ีจะเกดิ หวั 1 เหรียญ กอ้ ย 1 เหรียญ = 2(1) (1) = 2 = 1 2 2 42 q2 = โอกาสที่จะเกิดก้อยท้งั 2 เหรียญ = (1)2 = 1 24 ตัวอย่าง 5 สามภี รรยาคู่หนึง่ มบี ุตร 5 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่จะมีบตุ รเป็นชาย 1 คน เปน็ หญิง 4 คน กาหนดให้ p = โอกาสท่จี ะเกดิ บุตรชาย = 1 2 q = โอกาสท่ีจะเกดิ บตุ รหญงิ = 1 2 (p+q)5 = 1p5 + 5p4q1 + 10p3q2 + 10p2q3 + 5p1q4 + 1q5 โดยแต่ละพจน์มคี วามหมายดงั นี้ 1p5 = โอกาสทจี่ ะไดบ้ ุตรชาย 5 คน 5p4q1 = โอกาสทีจ่ ะได้บตุ รชาย 4 คน บุตรหญงิ 1 คน

หน้า 8 10p3q2 = โอกาสท่จี ะไดบ้ ตุ รชาย 3 คน บตุ รหญิง 2 คน 10p2q3 = โอกาสทจ่ี ะได้บตุ รชาย 2 คน บตุ รหญิง 3 คน 5p1q4 = โอกาสทจ่ี ะไดบ้ ุตรชาย 1 คน บตุ รหญงิ 4 คน 1q5 = โอกาสทีจ่ ะไดบ้ ตุ รหญงิ 5 คน ดงั น้นั ความนา่ จะเป็นท่จี ะมบี ุตรเปน็ ชาย 1 คน เปน็ หญิง 4 คน = 5p1q4 แทนคา่ p และ q = 5(1)1 (1)4 22 =5 32 เพราะฉะนัน้ ความน่าจะเป็นท่จี ะมบี ุตรเปน็ ชาย 1 คน เป็นหญงิ 4 คน เท่ากับ 5 หรือ 0.15625 32 จากโจทย์ตัวอย่างนี้ไม่ได้กาหนดลาดับในการเกิดของบุตรจึงสามารถหาค่าความน่าจะเป็น โดยใช้การกระจายไบโนเมียล แต่ถ้ามีการกาหนดลาดับของบุตรต้องใช้กฎการคูณในการคานวณค่า ความนา่ จะเป็น เช่น บุตรคนแรกเป็นชาย ที่เหลอื เป็น 4 คน จะเทา่ กับ (12) (21) (12) (12) (12) 1 = 32 จากตัวอย่างที่ไม่มีการกาหนดลาดับการเกิดของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นอาจคานวณได้ จากการใช้กฎการคณู และกฎการบวกร่วมกันแทนการใช้วธิ กี ารกระจายไบโนเมียล คือ เกิดจากการวม ค่าความน่าจะเป็นที่เป็นได้ 5 เหตุการณ์ที่สามีภรรยาจะมีบุตรหญิง 4 คน บุตรชาย 1 คน ซึ่งเท่ากับ ผลรวมของความน่าจะเป็นท่ีมีบุตร ช-ญ-ญ-ญ-ญ, ญ-ช-ญ-ญ-ญ, ญ-ญ-ช-ญ-ญ, ญ-ญ-ญ-ช-ญ และ ญ- ญ-ญ-ญ-ช ซงึ่ จะเท่ากบั ( 1 )+( 1 )+( 1 )+( 1 )+( 1 ) = ( 5 ) 32 32 32 32 32 32 2.4 การทดสอบด้วยไคสแควร์ การตรวจสอบว่า อัตราส่วนจากการสังเกต (observed) และอัตราส่วนคาดหมาย (expected) แตกต่างกันหรือไม่ โดยการทดลองต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องอะไรก็ตาม ผลการทดลองท่ี ได้จริง ๆ กับผลตามทฤษฎีมักจะไม่เท่ากันหรือไม่เหมือนกันแม้ว่าทฤษฎีน้ันจะถูกต้องแน่นอน ท้ังน้ี เพราะการทดลองของเราจะมีความผิดพลาดโดยบังเอิญจากกรรมวิธีการสุ่มเกิดขึ้นเสมอ หรือเป็น ความผิดพลาดที่เกิดข้ึนจากการสุ่มตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ 1 อัน 100 คร้ัง ผลตาม ทฤษฎีเหรียญควรจะเกิดด้านหัว 50 ครั้ง และด้านก้อย 50 คร้ัง เพราะว่าความน่าจะเป็นของการท่ี เหรยี ญจะข้ึนด้านหวั และก้อยเทา่ กันคอื เท่ากับ 50% แต่เม่อื ทดลองโดยเหรียญจริง ๆ ผลทไี่ ดจ้ ากการ ทดลองอาจเปน็ ค่าอ่นื ๆ เช่น อาจเปน็ หวั 54 ครั้ง, ก้อย 46 คร้ัง และถ้าทาการทดลองใหมอ่ กี อาจได้

หน้า 9 ค่าไม่เหมอื นเดมิ ถ้าค่าท่ีได้จากการทดลองกับค่าตามทฤษฎีต่างกันไม่มาก เราอาจยอมรับได้ว่าค่าท้ังสอง เท่ากัน โดยถือว่าความแตกต่างระหว่างค่าท้ังสองน้ันเกิดข้ึนโดยบังเอิญจากกรรมวิธีการสุ่ม แต่ถ้าค่า ทั้งสองนั้นแตกตา่ งกันมากเรากอ็ าจไมย่ อมรบั ว่าค่าทั้งสองเท่ากัน ซง่ึ ทาใหต้ อ้ งยอ้ นกลับไปพจิ ารณาผล การทดลองของเราผดิ พลาดหรอื วา่ ทฤษฎีผดิ พลาด การกาหนดความแตกต่างระหว่าง “คา่ สังเกต” (observed vale; คา่ ที่ไดจ้ ากการสังเกตหรือ การทดลอง) กับ “ค่าคาดหมาย” (expected value; ค่าท่ีควรได้ตามทฤษฎี) มากเท่าใดจึงจะถือว่า เปน็ ความแตกตา่ งที่เกิดขึ้นโดยบงั เอิญจากกรรมวธิ กี ารสุ่มถูกกาหนดโดยค่า “ความนา่ จะเปน็ ของการ เกดิ ความแตกต่างขนาดนนั้ ๆ” สมมุตวิ ่า ในการผสมระหว่างถว่ั ลันเตา Tt x Tt เมอื่ สังเกตลกู จานวน 400 ตน้ ตามทฤษฎี อัตราสว่ นของถว่ั ตน้ สูง : ต้นเตีย้ ต้องเป็น 300 : 100 (คือ 3 : 1) แต่ค่าสังเกตที่ ได้อาจเป็น 330 : 70 มีความคลาดเคล่ือนขนาด 30 ต้น จะจัดว่าความคลาดเคล่ือนขนาด 30 ต้นนี้ เป็นความคลาดเคล่ือนท่ีเกิดโดยบังเอิญจากกรรมวิธีการสุ่ม หรือเกิดจากอัตราส่วนน้ีมีค่าคาดหมาย เป็นแบบอ่ืน (ทฤษฎีผิดพลาด) จะต้องพิจารณาจาก “โอกาสหรือความน่าจะเป็นของการเกิดความ แตกต่างน้ัน” กล่าวคือ ถา้ หากว่าอตั ราส่วนระหว่าง ต้นสงู : ตน้ เตย้ี เป็น 3 : 1 จริง เมือ่ ทดลองซา้ ๆ โดยใช้จานวนสังเกตเท่ากัน จะมีความคลาดเคลื่อนสูงถึงขนาด 30 ต้น สักกี่ครั้ง ถ้าได้ความ คลาดเคลือ่ นขนาดนน้ั มากคร้ัง เชน่ 70 คร้งั ในการทดลอง 100 ครั้ง ก็จัดได้ว่าคาดความคลาดเคลื่อน ขนาด 30 ต้น เปน็ คา่ ความคลาดเคลือ่ นที่เกิดขนึ้ เสมอโดยบังเอิญจากกรรมวธิ กี ารสุ่ม กส็ รุปได้ว่าการ ท่ีตั้งสมมติฐานว่าอัตราส่วนของการผสมถั่วลันเตา Tt x Tt จะมีอัตราส่วนของลูกเป็นต้นสูง : ต้นเต้ีย เทา่ กบั 3 : 1 นน้ั ถูกตอ้ ง ในทางตรงกันข้าม ถ้าอัตราส่วนตน้ สูง : ต้นเต้ีย เทา่ กับ 3 : 1 เมื่อทดลองซ้า ๆ หลายครง้ั กลับมโี อกาสพบเพยี ง 1 คร้ัง ในการทดลอง 100 คร้ัง จงึ ได้ความคลาดเคลื่อนขนาด 30 ต้น ก็แสดงว่าความคลาดเคล่ือนขนาด 30 ต้น นี้สูงผิดปกติ คือ ไม่สามารถกล่าวได้ว่าความ คลาดเคล่ือนน้ีเกิดโดยบงั เอิญจากกรรมวิธีการสุ่ม แตค่ งจะเกดิ ขึ้นเพราะประชากรควรมีค่าคาดหมาย เป็นแบบอืน่ ในกรณีน้ีกลา่ วได้ว่าการตัง้ สมมติฐานว่าอตั ราส่วน ตน้ สงู : ต้นเตี้ย เทา่ กบั 330 : 70 เปน็ อตั ราส่วน 3 : 1 ไมถ่ ูกต้อง ในทางสถิติ การที่จะตัดสินว่าอัตราส่วนที่สังเกตจัดเป็นอัตราส่วนเดียวกับอัตราส่วน คาดหมายหรือไม่น้ัน เราถือหลักดังนี้ ถ้าขนาดความแตกต่างระดับน้ันสามารถปรากฏข้ึนมากกว่า 5 ครั้ง ในการทดลองซ้า 100 ครั้ง ก็ถือว่าเป็นความแตกต่างที่มีสาเหตุจากการบังเอิญจากกรรมวิธีการ สุ่ม ดังนั้น เรายอมรับว่าอัตราส่วนท้ังสองสอดคล้องกัน แต่ถ้าปรากฏข้ึน 5 ครั้ง หรือน้อยกว่า ใน จานวน 100 คร้ัง (0.05 หรือ 5%) ก็ถือว่ามีนัยสาคัญ (significant) คือ มีอิทธิพลชนิดอื่นที่

หน้า 10 นอกเหนือจากการบังเอิญจากกรรมวิธีการสุ่มเกี่ยวข้องอยู่ ถ้าปรากฏเพียง 1 ครั้ง 100 ครั้ง (0.01 หรือ 1%) ก็ถือว่ามีนัยสาคัญย่ิง (highly significant) คือความแตกต่างระหว่างค่าสังเกตและค่า คาดหมายไมไ่ ดเ้ กดิ ขนึ้ โดยบงั เอญิ จากกรรมวิธีการสุ่มเลย การหาความน่าจะเป็นของการเกิดความแตกต่างระหว่าง “ค่าสังเกต” กับ “ค่าคาดหมาย” ทาได้โดยการคานวณหาค่า ไคแสควร์ (chi-square, X2) ซึ่งเป็นค่าท่ีแสดงถึงความคลาดเคลื่อน ระหว่างค่าสังเกตและค่าคาดหมาย แล้วจึงนาค่าไคสแควร์ทค่ี านวณได้ ไปเปรียบเทียบกับคา่ ไคสแควร์ ในตาราง ไคสแควร์ (chi-square table, ตารางที่ 2.1) เพื่อหาคา่ ความน่าจะเป็น วิธีดังกล่าวเรียกว่า การทดสอบไคสแควร์ (chi-square test) ค่า ไคแสควร์ หรอื X2 คานวณไดจ้ ากสตู ร X2 = ∑ [(O−E)−12]2 เมือ่ df = 1 E ∑ (O−E)2 X2 = E เมือ่ df > 1 เมือ่ O = ค่าสงั เกต (observed number) E = ค่าคาดหมาย (expected number) ∑ = ผลรวม ตัวอยา่ งท่ี 6 การทดลองโดยเหรียญ 1 อนั 100 ครง้ั พบวา่ เหรียญขึน้ ด้านหัว 55 ครง้ั และข้นึ ด้านก้อย 54 ครั้ง (ค่าสังเกต, O) ซ่ึงตามทฤษฎีแล้วเหรียญควรจะขึ้นด้านหัว 50 คร้ัง ขั้นด้านก้อย 50 ครั้ง (ค่า คาดหมาย, E) ถ้าต้องการหาว่าค่าความแตกต่างระหว่างค่าสังเกต กับค่าคาดหมายต่างกันอย่างมี นยั สาคญั หรอื ไม่ สามารถหาไดโ้ ดยวธิ ที ดสอบไคสแควร์ ดังน้ี 1. หาค่า X2 ทค่ี านวณจากสูตร ดังแสดงในตารางต่อไปน้ี ลกั ษณะ คา่ ที่ได้จริง คา่ คาดหวงั O-E (O-E)-1 [(O-E)-1]2 [(O − E) − 21]2 (O) (E) 2 2 E หวั 55 50 5 4.5 20.25 0.405 ก้อย 45 50 -5 -4.5 20.25 0.405 รวม 100 100 0 0 40.50 X2 = 0.810 2. หาค่าองศาแหง่ ความอสิ ระ องศาแห่งความอิสระ (degree of freedom, df) หาไดจ้ ากสูตร df = n – 1 เม่ือ n คือ จานวนเหตกุ ารณท์ งั้ หมดทีเ่ กดิ ขึน้ (จานวนลกั ษณะ) ดังนั้น จากตัวอย่างการโยนเหรียญซึ่งมีเหตุการณ์ (จานวนลักษณะ) 2 ชนิด คือ เหตุการณ์ท่ี

หนา้ 11 เหรยี ญขึน้ ดา้ นหวั และดา้ นก้อย ค่า n จึงมีคา่ = 2 ดังนัน้ df = 2-1 =1 3. หาความนา่ จะเป็น ใช้ตารางไคสแควร์ หาค่าความน่าจะเป็น โดยค่าดังกล่าวน้ีไม่จาเป็นต้องเป็นตัวเลข แน่นอน อาจเป็นเพียงค่าโดยประมาณว่าอยู่ในช่วงใดเพราะต้องการทราบว่าค่านี้มากกว่าง 0.05 หรอื ไมเ่ ทา่ นั้น ในทางสถิติได้สร้างตารางไคสแควร์ขึ้นมา โดยในตารางไคสแควร์จะมีค่าต่าง ๆ ของไคส แควร์ ค่าความน่าจะเป็นและค่าระดับความอสิ ระ (ตารางที่ 2.1) วิธีการสรุปผลวา่ ผลการทดลองทไ่ี ด้ จะแตกต่างจากอัตราส่วนทางทฤษฎีอย่างมีนัยสาคัญทางสถิติหรือไม่นั้น จะต้องนาค่าไคสแควร์ท่ี คานวณได้ (คานวณได้จากข้อ 1) มาเปรียบเทียบกับค่าไคสแควร์ในตาราง (ตารางที่ 2.1) ที่ความ นา่ จะเป็น 0.05 ทีร่ ะดับความเปน็ อสิ ระคา่ หน่ึง (คานวณไดจ้ ากข้อ 2) ถ้าคา่ ไคสแควรท์ ค่ี านวณได้ มคี ่ามากกวา่ คา่ ไคสแควร์ของตารางท่ีความนา่ จะเป็น 0.05 แต่ ไม่มากกว่าค่าไคสแควร์ของตารางท่ีความน่าจะเป็น 0.01 ก็สรุปว่า ผลการทดลองท่ีได้แตกต่างจาก อัตราสว่ นในทางทฤษฎีหรอื สมมตฐิ านทีต่ ัง้ ไว้อยา่ งมนี ยั สาคัญทางสถิติ ถา้ ค่าไคสแควรท์ คี่ านวณได้ มีคา่ มากวา่ คา่ ไคสแควร์ในตารางทีค่ วามน่าจะเป็น 0.01 ก็สรปุ ได้ว่า ผลการทดลองท่ีได้แตกต่างจากอัตราส่วนทางทฤษฎีหรือสมมติฐานที่ต้ังไว้อย่างมีนัยสาคัญย่ิง ทางสถิติ ถ้าค่าไคสแควร์ท่ีคานวณได้ มีค่าน้อยกว่าค่าไคสแควร์ในตารางที่ความน่าจะเป็น 0.05 ก็ สรปุ ได้วา่ ผลการทดลองที่ได้สอดคล้องกับอัตราสว่ นทางทฤษฎีหรอื สมมติฐานทีต่ ้งั ไว้ จากตวั อยา่ งท่ี 6 เมอื่ ค่า X2 ทีค่ านวณไดเ้ ท่ากบั 0.81 ซ่ึงมคี ่านอ้ ยกวา่ คา่ ไคสแควรใ์ นตาราง ท่ีความน่าจะเป็น 0.05 ที่ระดับความเป็นอิสระ (df) เท่ากับ 1 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 3.841 ก็สรุปได้ว่าผล การทดลองที่ได้ไมแ่ ตกต่างจากอัตราส่วนทางทฤษฎหี รอื สมมติฐานที่ต้ังไว้ จะได้อัตราส่วน หัว : ก้อย เทา่ กบั 50 : 50 หรอื 1 : 1

หน้า 12 ตารางที่ 2.1 ตารางไคสแควร์ ความนา่ จะเป็น 0.05 0.01 0.80 0.50 0.20 3.841 6.635 df P=0.99 0.95 0.0642 0.455 1.642 5.991 9.210 1 0.000157 0.00393 0.446 1.386 3.219 7.815 11.341 2 0.020 0.103 1.005 2.366 4.642 9.488 13.277 3 0.115 0.352 1.649 3.357 5.989 11.070 15.086 4 0.297 0.711 2.343 4.351 7.289 12.592 16.812 5 0.554 1.145 3.070 5.348 8.558 14.067 14.475 6 0.872 1.635 3.822 6.346 9.803 15.507 20.090 7 1.239 2.167 4.594 7.344 11.030 16.919 21.666 8 1.646 2.733 5.380 8.343 12.242 18.307 23.209 9 2.088 3.325 6.179 9.342 13.442 10 2.558 3.940 ตัวอย่าง 7 จากตวั อยา่ งการทดลองของเมนเดลผลจากการผสมตัวเองของถั่วในรุ่น F1 พบวา่ ลกู F2 เป็น เมล็ดเรียบ 5,474 เมล็ด และเมล็ดย่น 1,850 เมล็ด สามารถต้ังสมมุติฐานได้คือ อัตราส่วนของลูก F2 เมล็ดเรียบ : เมล็ดย่น เท่ากับ 3 : 1 ดังนั้นจากจานวนเมล็ดทั้งหมด 7,324 เมล็ด ค่าคาดหมายตาม สมมุติฐานคือ เมล็ดเรียบ เท่ากับ 5,493 เมล็ด เมล็ดย่น เท่ากับ 1,831 เมล็ด ค่าเบี่ยงเบนท่ีเกิดข้ึน ระหว่างค่าสงั เกตจากค่าดาดหมายจะยอมรับได้หรอื ไมค่ านวนจากค่า X2 ได้ดงั น้ี ลกั ษณะ คา่ ทไ่ี ดจ้ ริง คา่ คาดหวงั O-E (O-E)-1 [(O-E)-1]2 [(0 − E) − 21]2 (O) (E) 2 2 E เมลด็ เรยี บ 5,474 5,493 -19 -18.5 342.25 0.006 เมลด็ ยน่ 1,850 1,831 19 18.5 342.25 0.180 รวม 7,324 7,324 0 0 3762.5 X2 = 0.186 1. ค่าไค-สแควร์ที่คานวณได้เท่า กับ 0.186 2. คา่ df = n – 1 = 2 – 1 = 1

หนา้ 13 3. ค่าไค-สแควรข์ องตารางที่ P(0.05) = 3.841 และ P(0.01) = 6.635 สรุปไดว้ า่ ค่าไค-สแควรท์ ่คี านวณไดเ้ ท่ากับ 0.186 มคี า่ นอ้ ยกวา่ ค่าไค-สแควร์ของตาราง ทค่ี วามน่าจะ เปน็ 0.05 ท่ี degree of freedom (df) เทา่ กบั 1 ซึ่งมคี ่าเทา่ กบั 3.841 ดงั น้นั ค่าทไี่ ดจ้ ากการทดลอง จงึ ไมแ่ ตกตา่ งจากคา่ ทางทฤษฎี คอื ได้อัตราส่วน เมล็ดเรียบ : เมลด็ ยน่ = 3 : 1 การทดลองของเมนเดลอัตราส่วนฟีโนไทป์เป็นค่าที่ได้จากการสังเกตจากการทาการทดลอง (observe number) ซึ่งผลการทดลองที่ได้จะมีค่าเบี่ยงเบนหรือคลาดเคลื่อนไปจากค่าคาดหมาย (expected number) ท่ีตั้งสมมุติฐาน (hypothesis) ไว้ เช่น ผลจากการผสมตัวเองของถั่วในรุ่น F1 พบว่าลูก F2 เป็นเมล็ดเรียบ 5,474 เมล็ด และเมล็ดย่น 1,850 เมล็ด ซึ่งตัวเลขดังกล่าวได้จากการ สังเกตจากการทาทดลอง ซ่ึงมีอัตราส่วนที่เบียงเบนจากอัตราส่วนเมล็ดเรียบ : เมล็ดย่น = 3 : 1 ซึ่ง ตัวเลขดงั กล่าวคือค่าคาดหมายทีไ่ ด้จากการคดิ โดยใช้กฎขอ้ 1 ซง่ึ เปน็ สมมุตฐิ านทตี่ ง้ั ไวก้ อ่ นทาการ