แบบเรียนแคลคูลัสช

ชดุ การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง แคลคลู สั เบ้ืองตน้ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ชุดที่ 1 ลิมติ และความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชนั นายไพศาล อมุ้ ทรัพย์ ตำแหนง่ ครผู ูช้ ่วย โรงเรยี นเทพอุดมวิทยา สำนักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 33 สำนกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

คำนำ ชดุ การเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ชุดที่ 1 เรื่องลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟงั กช์ ัน ประกอบดว้ ย - ใบความรูท้ ี่ 1.1 เรอื่ ง ลิมติ ของฟังก์ชัน ➢ แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.1 ➢ แบบฝึกทกั ษะที่ 1.2 ➢ แบบฝกึ ทักษะที่ 1.3 - ใบความรู้ท่ี 1.2 เรื่อง ทฤษฎีบทเกย่ี วกับลิมติ ของฟงั กช์ ัน ➢ แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.4 ➢ แบบฝึกทักษะท่ี 1.5 - ใบความรทู้ ี่ 1.3 เร่ือง ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน ➢ แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.6 ➢ แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.7 ชุดการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6 ชดุ ท่ี 1 เรื่องลมิ ิตและความต่อเนอื่ งของฟังกช์ ัน โรงเรียนโพธสิ ัมพันธ์พิทยาคาร ปกี ารศกึ ษา 2555 จัดทำขึ้นเพ่ือเปน็ แนวทางในการจดั กระบวนการเรยี นร้ทู ี่ มงุ่ เน้นการปฏริ ปู การเรยี นรู้ทเ่ี น้นผเู้ รยี นเป็นสำคัญและให้ความสำคัญกับผู้เรียนในการใช้ทักษะตา่ งๆ ในการ แสวงหาความรู้ ดว้ ยตนเอง ซ่ึงจะทำให้ผู้เรยี นเกดิ ความรู้ ความเข้าใจในเน้ือหาและผ้เู รยี นเกิดความคงทนในการเรยี นรู้ สามารถจดจำนำไปใชแ้ กป้ ัญหาทางคณติ ศาสตร์ได้เป็นเวลานาน ผูจ้ ดั ทำหวงั เปน็ อยา่ งยิ่งวา่ ชดุ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ชุดท่ี 1 เร่ือง ลิมิตและ ความต่อเน่ืองของฟงั กช์ นั โรงเรียนโพธสิ ัมพนั ธพ์ ิทยาคาร จะเปน็ ประโยชนส์ ำหรบั การเรยี นร้ขู องผูเ้ รยี นได้ เป็นอย่างดี นายไพศาล อมุ้ ทรัพย์

สารบัญ หนา้ ก คำนำ ข สารบญั ค จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ง คำแนะนำการใช้ ชดุ การเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ จ แบบทดสอบก่อนเรียน เร่อื ง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟงั กช์ ัน 1 ใบความรทู้ ี่ 1.1 เรื่อง ลิมิตของฟังกช์ นั 6 8 แบบฝึกทกั ษะที่ 1.1 12 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2 14 แบบฝกึ ทักษะที่ 1.3 20 ใบความรทู้ ี่ 1.2 เรอ่ื ง ทฤษฎีบทเกีย่ วกับลิมิตของฟังก์ชนั 24 แบบฝกึ ทักษะที่ 1.4 26 แบบฝึกทักษะท่ี 1.5 31 ใบความรู้ท่ี 1.3 เรอ่ื ง ความต่อเนือ่ งของฟงั กช์ ัน 33 แบบฝึกทักษะท่ี 1.6 35 แบบฝกึ ทักษะที่ 1.7 38 แบบทดสอบหลงั เรียน เร่ือง ลมิ ติ และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ภาคผนวก บรรณานุกรม

ผลการเรียนรู้ทคี่ าดหวงั 1. บอกและอธิบายความหมายของลิมิตของฟังก์ชนั ไดถ้ ูกต้อง 2. หาลมิ ิตของฟงั ก์ชนั ทีก่ ำหนดใหไ้ ด้ 3. บอกและอธบิ ายความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชนั ไดถ้ ูกต้อง 4. บอกไดว้ ่าฟงั ก์ชันทีก่ ำหนดใหเ้ ปน็ ฟังกช์ ันต่อเนือ่ งหรือไม่ 5. สามารถทำแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรยี นได้ถกู ต้อง พร้อมแลว้ .. เปิดหน้าตอ่ ไปเลย...

คำแนะนำการใช้ชุดการเรยี นรู้ ชุดการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ชดุ น้ี เป็นชดุ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลมิ ิตและความต่อเนือ่ งของฟังกช์ ัน นกั เรียนจะตอ้ งปฏบิ ตั ติ ามคำแนะนำอย่างเคร่งครัด โดยส่ิงท่ีควรปฏิบัตใิ นการใช้ ชุดการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์ มีดังนี้ 1. ให้นักเรียนรว่ มกันศึกษาขนั้ ตอนการใชช้ ุดการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์และปฏบิ ตั ิ ตามลำดบั ขน้ั ตอน 2. ตรวจคำตอบแบบฝึกทักษะหรือแบบทดสอบ เม่ือเรยี นจบทีละเร่อื ง รวมคะแนนที่ได้ ในตารางบันทึกผล 3. นกั เรยี นต้องซอ่ื สตั ย์ต่อตนเองและหา้ มเปดิ ดูเฉลยก่อนการทำแบบทดสอบและ แบบฝึกทกั ษะ เพราะจะทำใหน้ กั เรียนไมเ่ กดิ การเรียนรู้ 4. ถา้ ทำแบบทดสอบประจำชดุ การเรียนรู้ไม่ผ่านให้กลับไปอ่านทบทวนชดุ การเรยี นรู้ซำ้ และ ทำแบบทดสอบใหม่อกี คร้ังจนกวา่ จะผา่ นเกณฑ์แลว้ จงึ ไปศึกษาชุดการเรียนรู้ ชดุ อนื่ ๆตอ่ ไป 5. ชุดการเรียนรู้ไม่ใช่ข้อสอบนักเรยี นไม่ต้องกังวลใจ ค่อย ๆศึกษาไปทลี ะหนา้ นักเรยี นจะ ไดร้ บั ความรู้ด้วยตัวเองตามผลการเรยี นรู้ทค่ี าดหวงั 6. ครูคอยให้คำแนะนำช่วยเหลือนักเรียนในการทำงานหรือขณะปฏิบัติกิจกรรมของ นักเรียน อยา่ งใกลช้ ดิ ปฏิบตั ิตามคำแนะนำดว้ ยนะครบั . . .

แบบทดสอบก่อนเรยี น เร่อื ง ลิมติ และความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชนั คำชี้แจง จงเลอื กคำตอบที่ถูกตอ้ งที่สุดเพยี งข้อเดียว 1. lim (x+h)h2 − x2 มีคา่ เท่ากบั ข้อใด h→0 ก ไม่มีลมิ ติ ข0 ค หาค่าไม่ได้ ง 2x 2. คา่ ของ lim x 2 − 2x − 8 คอื ข้อใด x → −2 x +2 ก -2 ข2 ค6 ง -6 3. ค่าของ lim [ x + 1]5 คือข้อใด x →1 x ก 64 ข 32 ค 16 ง8 4. คา่ ของ lim ( x -2)(x2+ 2) คือข้อใด x →−1 ก9 ข -9 ค -6 ง6

5. คา่ ของ lim x 2 − 4 คือข้อใด x→2 x − 2 ก0 ข2 ค4 ง หาคา่ ไม่ได้ 6. จงหา lim x (x2 + x – 5)10 x →−3 ก0 ข1 ค -1 ง หาค่าไม่ได้ 7. กำหนด f(x) = x2 + 2 ค่าของ lim x f (h + 2) − f (2) คอื ขอ้ ใด x →0 h ก4 ข -4 ค5 ง -5 8. ฟังกช์ นั ในข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นฟังก์ชันตอ่ เนือ่ ง ก f(x) = x − 2 ขณะท่ี x = 2 ข f(x) = x ขณะที่ x = 0 x ค f(x) = x 2 − x − 6 ขณะที่ x = 3 x −3 ง f(x) = x − 4 ขณะท่ี x = 4 x 2 − 16

9. กำหนด f(x) = 1 − x จงพจิ ารณาว่าfไมเ่ ป็นฟังกช์ ันตอ่ เนอื่ งที่ x มคี า่ เท่ากับข้อใด 1−x ก0 ข1 ค2 ง4 10. กำหนด f(x) = x 2 − 1 ถา้ f เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอื่ งที่ x = 1 แลว้ ตอ้ งกำหนด f(1) x 3 −1 เป็นเทา่ ไร ก2 3 ข -2 3 ค3 2 ง -3 2

ใบความรูท้ ี่ 1.1 เรือ่ ง ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน ในหัวขอ้ นี้ เราพิจารณาวา่ ค่าของฟงั ก์ชนั y = f (x)ทม่ี โี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเชตของเชต จำนวนจรงิ จะเข้าใกล้ค่าใด ขณะที่ x เข้าใกลจ้ ำนวนจริงจำนวนหน่ึง กอ่ นอนื่ จะเร่ิมดว้ ยการพิจารณาคา่ ของฟังก์ชนั f (x) = x2 − x + 4เม่ือ x เข้าใกล้ 2 แต่ x  2 ดังตารางตอ่ ไปนี้ ตารางที่ 1 แสดงค่าของ f (x) = x2 − x + 4เมอื่ x เข้าใกล้ 2 แต่ x  2 x f (x) 1.0 4.000000 1.5 4.750000 1.8 5.440000 1.9 5.710000 1.95 5.852500 1.99 5.970100 1.995 5.985025 1.999 5.997001 x f (x) 3.0 10.000000 2.5 7.750000 2.2 6.640000 2.1 6.310000 2.05 6.152500 2.01 6.030100 2.005 6.015025 2.001 6.003001

จากตารางจะเหน็ ไดช้ ัดเจนวา่ เมอื่ x มีค่ า่ เพิม่ จาก 1 เข้าใกล้ 2 คา่ ของ f (x) จะมคี ่าเพ่ิมข้ึน จาก 4 และเข้าใกล้ 6 ขณะเดยี วกนั เมื่อ x มีค่าลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่า f (x) จะมีค่า ลดลง จาก 10 และเขา้ ใกล้ 6 ซงึ่ ถ้าพจิ ารณาจากกราฟของฟงั กช์ ัน f จะเหน็ สมบัตินีเ้ ช่นกนั เขียนกราฟของฟังกช์ ัน f (x) = x2 − x + 4 ได้ดังรปู 1.1 ก รูป 1.1 ก จากตารางท่ี 1 และกราฟของฟังก์ชนั f ในรูป 1.1 ก จะเหน็ ว่า ขณะท่ี x เขา้ ใกล้ 2 (นัน่ คอื เม่ือ x < 2 และเม่ือ x > 2) ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้ 6 ในกรณีนจี้ ะกล่าววา่ “ ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั f (x) = x2 − x + 4เม่อื x เข้าใกล้ 2 มีคา่ เท่ากับ 6” เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim f (x) = 6 หรอื (lim x2 − x + 4)= 6 x→a x→2 โดยทัว่ ไป สำหรบั ฟังกช์ ัน f ใด ๆ ทม่ี ีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจรงิ ถ้าค่า ของ f (x) เขา้ ใกลจ้ ำนวนจริง L เมื่อ x มีค่าเขา้ ใกล้ a เรยี ก L วา่ ลมิ ิตของ f ท่ี a และ เขยี น แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ lim f (x) = L x→a แต่ถา้ ไม่มจี ำนวนจรงิ L ซ่ึง f (x) เข้าใกล้ L เม่อื x มีคา่ เข้าใกล้ a แลว้ จะกล่าววา่ f ไมม่ ีลมิ ิตที่ a และเขียนแทนวา่ lim f (x)หาค่าไม่ได้ x→a นอกจากน้ี สัญลกั ษณ์ lim f (x) = L อาจแทนด้วย f (x) → L เม่ือ x→ a ซ่ึงอา่ นว่า x→a “ f (x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a ”

พิจารณาฟงั กช์ ัน f (x) = xx2 − 255 โดเมนของฟังก์ชนั คือ R − {5} − กลา่ วคอื f (5) จะหาคา่ ไม่ได้ แต่เมื่อพจิ ารณาคา่ f (x) คอื x เขา้ สู่ 5 ไมว่ ่าจะทางดา้ นซ้ายหรือดา้ นขวา f (x) จะมคี ่าเขา้ ใกล้ 10 แสดงว่า f (x) น้มี คี ่าลิมติ แตจ่ ะหาค่า f (5)ไม่ได้ f (x) = xx2 − 255 − x→5− x→5+ รปู 1.1 ข จากรูป 1.1 ข จะเห็นว่า เม่ือ x เข้าใกลจ้ ำนวนจริง 5 ใหพ้ ิจารณา 2 ทศิ ทาง คือ 1.x เขา้ ใกล้ 5 โดยท่ี x  5 เรียกวา่ x เข้าใกล้ 5 ทางด้านซา้ ย 2.x เข้าใกล้ 5 โดยท่ี x  5 เรยี กวา่ x เข้าใกล้ 5 ทางด้านขวา สำหรบั ฟงั กช์ ัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจรงิ 1) x เขา้ ใกล้ a โดยท่ี x  a เรียกวา่ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ x→a- 2) x เข้าใกล้ a โดยที่ x  a เรยี กวา่ x เข้าใกล้ a ทางดา้ นขวา เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ x→a+ - ถา้ ค่าของ f (x) เข้าใกล้จำนวนจรงิ L1เม่ือx เข้าใกล้ a ทางดา้ นซา้ ย (x  a) เรยี ก L1วา่ ลมิ ิตซา้ ยของ f (x) เขียนแทน ด้วย lim f (x) = L1 x→a− - ถ้าค่าของ f (x) เขา้ ใกลจ้ ำนวนจรงิ L2เมือ่ x เข้าใกล้ a ทางดา้ นขวา (x  a) เรยี ก L2วา่ ลมิ ิตขวาของ f (x) เขยี นแทนดว้ ย lim f (x) = L2 x→a+ - ถ้า L1 = L2= L จะไดว้ า่ ฟังก์ชนั f มีลิมติ เท่ากับ L เมือ่ x เข้าใกล้ aเขยี นแทนดว้ ย lim f (x) = L x→a - ถา้ L1  L2 จะไดว้ า่ ฟงั กช์ ัน f ไมม่ ลี มิ ิต เมื่อ x เข้าใกล้ a น่ันคอื lim f (x) หาค่าไม่ได้ x→a

X+1 เมื่อ x  2 ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาค่าของ lim f (x)เม่ือ f (x) = x→2 2 เม่ือ x  2 วธิ ที ำ เขยี นกราฟของฟังกช์ ันได้ดงั น้ี จากกราฟ lim f (x) = 3 x→2− lim f (x) = 2 x→2+ lim f (x)  lim f (x) x→2− x→2+ ดงั นน้ั lim f (x)ไม่มลี ิมิตที่ 2 x→2 x2 +1เม่ือ x3 จงหาค่าของ lim f (x) ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ f (x) = x→3 3x +2 เม่ือ x 3 วิธีทำ จาก f (x) = x2 +1 เม่ือ x3 3x +2 เม่ือ x3 เม่อื x  3 จะได้ lim f (x) = 32 +1=10 x→3− เมอ่ื x  3 จะได้ lim f (x) = 3(3)+ 2 =11 x→3+ เนื่องจาก lim f (x) lim f (x) x→3− x→3+ ดงั นั้น lim f (x)หาคา่ ไม่ได้ x→3

ตัวอย่างที่ 3กำหนดให้ f (x) = x จงหาค่าของ lim f (x) x x→0 วธิ ที ำ จาก f (x) = x x x เม่ือ x  0 x จะได้ f (x) = − x เม่ือ x  0 x 1 เม่ือ x  0 หรอื f (x) = −1 เมื่อ x  0 ดังนน้ั lim f (x) =1 x→0− และ lim f (x) = −1 x→0+ เนื่องจาก lim f (x)  lim f (x) x→0− x→0+ ดังนน้ั lim f (x) หาค่าไม่ได้ x→0 สรุป 1) การหา lim f (x) เม่ือ x เขา้ ใกล้ a โดยที่ x a เรยี กวา่ x เข้าใกล้ a ทาง x→a ด้านซา้ ย เขียนแทนด้วย x → a- และเมอื่ x เข้าใกล้ a โดยท่ี x a เรียกว่า x เขา้ ใกล้ a ทางด้านขวา เขียนแทนด้วย x → a+ 2) lim f (x) กบั lim f (x) ไมจ่ ำเป็นต้องเท่ากัน x→a− x→a+ ถา้ lim f (x)  lim f (x) จะกลา่ วว่า f เปน็ ฟังกช์ นั ท่ีไม่มีลมิ ติ ที่ a x→a− x→a+ เข้าใจแล้ว เราไปทากจิ กรรมกนั ดีกว่านะคะ

แบบฝึ กทักษะท่ี 1.1 ผลการเรียนรูท้ ่ีคาดหวงั หาลมิ ติ ของฟังกช์ ันท่ีกำหนดให้ได้ คำชี้แจง จงหาลิมิตของฟงั ก์ชันต่อไปนี้ โดยอาศยั การหาค่าของฟังกช์ นั เตมิ ในตารางที่กำหนดให้ สำหรบั โจทย์ในข้อ (4) อนญุ าตให้นกั เรียนใชเ้ ครอ่ื งคิดเลขชว่ ยในการคิดคำนวณได้ (1) lim x + 2 1.99 1.999 x 2.001 2.01 2.1 x→2 f(x) x 1.9 f(x) (2) lim x2 − x − 6 x 2.001 2.01 2.1 f(x) x→3 x − 3 x 1.9 1.99 1.999 f(x) (3) lim x −1 x→1 x3 −1 x 0.9 0.99 0.999 x 1.001 1.01 1.1 f(x) f(x) (4) lim ex − 2 -0.01 -0.001 x 0.001 0.01 0.1 f(x) x→0 x x -0.9 f(x)

แบบสังเกตพฤติกรรมการเรยี น เกณฑก์ ารให้คะแนน ดี ให้ 2 พอใช้ ให้ 1 ควรปรับปรงุ ให้ 0 เกณฑ์การประเมิน การผา่ นการประเมินทกุ รายการต้องได้ 1 ขน้ึ ไป ขอ้ รายการประเมิน คะแนน สรปุ ไมผ่ ่าน ท่ีได้ ผา่ น ไมผ่ ่าน 1 การสนใจในการตอบคำถาม 2 ความกระตอื รือรน้ 3 การแสดงความคดิ เห็น รวมคะแนน ข้อเสนอแนะเพิ่มเติม………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….……… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….……… ………………………………………………………………………………………………………… ( ลงช่อื ) ……………………………ผ้ปู ระเมิน ( นายไพศาล อมุ้ ทรัพย์ ) ครผู ้สู อน ……. / …………… / ……….

แบบฝึ กทกั ษะที่ 1.2 ผลการเรียนร้ทู ค่ี าดหวงั หาลมิ ติ ของฟงั กช์ นั ทก่ี ำหนดใหไ้ ด้ คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนตอบคำถามต่อไปน้ีพรอ้ มแสดงวธิ ที ำ 1. กำหนดกราฟของฟังกช์ ัน y = f (x) ให้ดงั รูป จงหา lim f (x) =…………………. 1. =…………………. t→0 =…………………. 2. =…………………. lim f (x) =…………………. 3. t →3− 4. lim f (x) 5. t →3+ lim f (x) t →3 f (3)

2. กำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ให้ดงั รปู จงหา lim f (x) =…………………. 1. t →1− 2. lim f (x) =…………………. 3. t →1+ 4. lim f (x) =…………………. 5. t →1 lim f (x) =…………………. t →5 f (5) =………………….

3. กำหนดกราฟของฟังก็ชนั y = g(t)ให้ดงั รูป จงหา lim g(t) =…………………. 1. =…………………. 2. t→0− =…………………. 3. =…………………. 4. lim g(t) =…………………. 5. =…………………. 6. t →0+ =…………………. 7. =…………………. lim g(t) t→0 lim g(t) t→2− lim g(t) t→2+ lim g(t) t→2 g (2) 8. lim g(t) t→4