ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ n ) n = 2 p +1 ﻓﺭﺩﻱ( ﻓﺈﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ n 2 ﻋﻠﻰ 4 ﻫﻭ .1 ﻤﻼﺤﻅﺔﻴﻤﻜﻥ ﺇﻨﺠﺎﺯ ﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﺩﻭل ﻭﺍﻟﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﺠل ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﺈﺘﺒﺎﻉ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ: • ﺍﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ A ﺒﺩﺀ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ A2 ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ 1 ﺇﻟﻰ ) n ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺃﺨﺫﻨﺎ .( n= 8 • ﺍﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ B2 ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ =A2^2 ﺜﻡ ﻋ ﻤﻡ ﺒﺎﻟﺴﺤﺏ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ، B9 ﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺭﺒﻌﺎﺕ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ 1 ﺇﻟﻰ.8 • ﺍﺤﺠﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ C1 ﺍﻟﻌﺩﺩ 4 ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ D2 ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ =MOD(B2;$C$1) ﺜﻡ ﻋ ﻤﻡ ﺒﺎﻟﺴﺤﺏ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻼﻴﺎ B2 , C2 , D2 ﺩﻓﻌﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺴﻁﺭ. 9 . 17 .1 ﺃ( 1999 = 285´7 + 4ﻭﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 1999 ﻋﻠﻰ 7 ﻫﻭ . 4 ﺒ( 2007 = 286´7 + 5ﻭﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 2007 ﻋﻠﻰ 7 ﻫﻭ . 5 .2 ﺃ( ﻟﺩﻴﻨﺎ ، n º 5[7 ] ﻭﻤﻨﻪ n3 º 53 [7 ] ﻭﺒﻤﺎ ﺃ ﻥ 53 º 6[7] ﻓﺈ ﻥ ، n3 º 6[7 ] ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ n 3 ﻋﻠﻰ 7 ﻫﻭ . 6 ﺒ( ﻟﻨﺒﻴﻥ ﺃ ﻥ [ ] n 3 + 1 º 0 7 ﺒﻤﺎ ﺃﻥ n3 º 6[7 ] ﻓﺈ ﻥ ، n3 +1º 6 +1[7 ] ﻭﻤﻨﻪ n3 +1 º 0[7 ] .3 ﻟﺩﻴﻨﺎ m º 4[7 ] ﻭﻤﻨﻪ m3 º 43 [7 ] ﻭﺒﻤﺎ ﺃ ﻥ 4 3 º 1[7] ﻓﺈ ﻥ m3 º 1[7 ]
ﻭﻤﻨﻪ m3 -1 º 1-1[7 ] ﺃﻱ m3 -1º 0[7 ] .4 • ﺒﻴﻨﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ -2 ) ﺒ( ﺃﹼﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ n º 5 7 ﻓﺈﻥ[ ] [ ] n3 + 1 º 0 7 ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ 2007 º 5[7] ﺇﺫﻥ (I) LL 20073 +1 º 0[7] • ﺒﻴﻨﻨﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺯﺀ (3 ) ﺃﻨﹼﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ m º 4 7 ﻓﺈﻥ[ ] [ ] m 3 -1 º 0 7 ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ 1999 º 4[7] ﻓﺈ ﻥ (II) LL 1999 3 -1 º 0[7] ﻤﻥ ) (Iﻭ ) (IIﻭﺒﺎﻟﺠﻤﻊ ﻨﺠﺩ 19993 + 20073 º 0[7] : ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ 19993 + 20073 ﻴﻘﺒل ﺍ ﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ . 7 .18 un +1 = un 2 ﻭﺒﺤ ﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل [ ] ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ) (u n ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺔ u 0 ﺤﻴﺙ . u0 = 0.5 .1 ﻨﺒﺭﻫﻥ ،ﺘﺭﺍﺠﻌﻴﺎ ،ﻋﻠﻰ ﺃﹼﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ. 0 < u n < 1 ، n ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ :1 ﻤﻥ ﺃﺠل n = 0 ﻟﺩﻴﻨﺎ u0 = 0.5 ﻭ 0 < u0 <1 ﻤﺤﻘﻘﺔ. ﺍﻟﻤﺭﺤﻠ ﺔ :2ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ 0 < u n < 1 ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﺤﻴﺙ n ³ 0 ﻭﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ 0 < un + 1 < 1 ﻟﺩﻴﻨﺎ ) 0 < u n < 1 ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ( ﻭﺒﺎﻟﻀﺭﺏ ﻓﻲ u n ﺤﻴﺙ 0 < un ﻨﺠ ﺩ 0 <un ´un < un :ﺃﻱ 0 <[un ]2 < un ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ un+1 = un 2 ﻓﺈﻥ[ ] 0 <un+1 < un ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ 0 < u n < 1 ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﺈﻥ0<un+1 < un <1 0<u <n +1 1 ﻭ ﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ: ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ :ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ0 < u n < 1 ، n
.2 ﺘﻡ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﹼﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ un+1 < un ، n ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ (u n ) ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤ ﺎ. .19 ﺍﻟﻤﺭﺤﻠ ﺔ :1ﻤﻥ ﺃﺠل n = 0 ﻨﺠ ﺩ 23´0 -1= 0 :ﻭ 0 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ 7 ﺍﻟﻤﺭﺤﻠﺔ :2 ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ 23 n -1 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ 7 ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﺤﻴﺙ n ³ 0 ﺃﻱ 23 n -1= 7 k : ﺤﻴﺙ k ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ،ﻭﻤﻨﻪ 23 n = 7k +1 ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ 23( n+1) -1 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ . 7 ﻟﺩﻴﻨﺎ 23(n +1) -1= 23 ´23 n -1 ﻭﺒﻤﺎ ﺃ ﻥ 23 n = 7k +1 ﻓﺈ ﻥ 23( n +1) -1= 8(7k +1)- 1 23( n +1) -1= 8´7k + 7 23( n +1) -1= 7(8k +1) ﻤﻊ 8k +1 ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ. ﻭﻤﻨﻪ 23( n+1) -1 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ . 7 ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ :ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ 23 n -1 ، n ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ . 7 ﻤﻼﺤﻅﺔ :ﺘﻭﺠﺩ ﻋ ﺩﺓ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﻟﺤل ﻤﺜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ،ﺴﻨﻌﺭﺽ ﺍﺜﻨﻴﻥ ﻤﻨﻬﺎ: ﻁﺭﻴﻘﺔ1 ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻭﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ.ﻴﻜﻔﻲ ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ \" ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ\" 23 n -1 º 0[7 ] ، n
ﻤﺭﺤﻠﺔ :1 ﻤﻥ ﺃﺠل n = 0 ﻟﺩﻴﻨ ﺎ 23´0 -1 = 0 :ﻭ 0 º 0[7] ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺤﻘﻘﺔ. ﻤﺭﺤﻠﺔ :2 ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﺤﻴﺙ n ³ 0 ﺃﻱ 23 n -1º 0[7 ] ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل n +1 ﺃﻱ23( n+1) -1º 0[7 ] : ﻟﺩﻴﻨﺎ ) 23 n -1 º 0[7 ] ﻤﻥ ﺍﻟﻔﺭﻀﻴﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ( ﺃﻱ (I)LL 23n º 1[7 ] ﺇﻥ (II)LL 23(n +1) -1 = 23 ´23 n -1 ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ (III)LL 23 º 1[7] ﻤﻥ (III) , (II) , (I ) ﻨﺠﺩ 23 ´23 n -1º 1´1-1[7 ] ﻭﻤﻨﻪ 23( n+1) -1º 0[7 ] ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ\" :ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ.\" 23 n -1 º 0[7 ] ، n ﻁﺭﻴﻘﺔ2 ﻟﻭ ﻟﻡ ﻴﺸﺘﺭﻁ ﺍﻻﺴﺘﺩﻻل ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ،ﻴﻤﻜﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ \"ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ \" 23 n -1 º 0[7 ] ، n ﻜﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ. ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﻟﺩﻴﻨﺎ( ) 23n -1 = 23 n -1 : ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ 23 º 1[7] ﻓﺈﻥ 23 n -1 º (1)n -1[7 ] ﻭﻤﻨﻪ 23 n -1º 0[7 ]
.2 0 n 2 - n .1 ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 2 ﻤﻌﻨﺎﻩ n2 - n º 0[2 ] ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺘﻨﺎ ﺃﻥ ﺃﻱ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n ﻴﻜﻭﻥ ﺇﻤﺎ ﺯﻭﺠﻴﺎ ﺃﻭ ﻓﺭﺩﻴﺎ ﻨﻤﻴﺯ ﺤﺎﻟﺘﻴﻥ .ﻭﺇﻤﺎ n º 1[2 ] •ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻫﻲ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ n ﺯﻭﺠﻴﺎ ﺃﻱ n º 0[2 ] ﻨﺠﺩ n2 º 0[2 ] ﻭﻤﻨﻪ . n2 - n º 0[2 ] • ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻭﻫﻲ ﻟﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ n ﻓﺭﺩﻴﺎ ﺃﻱ ﻟﻤﺎ n º 1[2 ] ﻨﺠﺩ n2 º 1[2 ] ﻭﻤﻨﻪ n 2 - n º 1-1[2 ] ﺃﻱ . n2 - n º 0[2 ] ﻨﻼﺤﻅ ﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺃﻥ n2 - n º 0[2 ] ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ، n ﺃﻱ n2 - nﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ . 2 n n 2 -1 .2 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ 6 ﻤﻌﻨﺎﻩ ( ) ( )n n2 -1 º 0[6 ] ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻨﻭﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺍﻟﺫﻱ ﻨﻠﺨﺼﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ: n º 0 1 2 3 4 5 [6 ] n2 º 0 1 4 3 4 1 [6 ] n2 -1 º - 1 0 3 2 3 0 [6 ] n(n2 -1) º 0 0 0 0 0 0 [6 ] ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﹼﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ، n n2 -1 º 0[6 ] ، n ﻭﻤﻨﻪ ( )n2 - n ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ. 6
.2 1 .1 ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻘﺩﻴﻡ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻤﻥ ﺨﻼل ﺠﺩﻭل ﻜﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ : k 1 2 3 4 5 6 7 8 2 k 2 4 8 16 32 64 128 256 2 4 3 1 2 4 3 1 ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 2 k ﻋﻠﻰ5 ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻟﺘﺴﻬﻴل ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ،ﻓﻤﺜﻼ 2 3 º 3[5] :ﻭﻤﻨﻪ 24 º 2´3[5] ﺃﻱ 24 º 1[5] ﻭ ، 25 º 2[5] ﻭﻫﻜﺫﺍ ... ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻟﻘﺩ ﻁﺒﻘﻨﺎ ﻫﻨﺎ ﺍﻟﺨ ﺎﺼﻴﺔ) 5 ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﻀﺭﺏ( n ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ،ﻭ a ﻭ b ﻭ c ﻭ d ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ. ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ) a º b [n ] ﻭ (c º d [n ] ﻓﺈﻥ .a c º b d [n ] ﻤﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺃﻋﻼﻩ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺨﻤﻴﻥ ﺃﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 2 k ﻋﻠﻰ 5 ﻫ ﻲ . 2 ، 4 ، 3 ، 1 :ﻟﻨﺒﺭﻫﻥ ﺫﻟﻙ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ﻤﺴﺘﻌﻴﻨﻴﻥ ﺒﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ.ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل 24 º 1[5] ﻤﻨﻪ 24 k º 1k [5 ] ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ 6 ﺍﻟﻭﺍﺭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺼﻔﺤﺔ 29 ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ . k ﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ 2 ﻓﻲ ﻜل ﻤ ﺭﺓ ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ: · ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺒﺩﺍﻴﺔ 24 k º 1k [5 ] ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ . k · ﻤﻥ 24 k º 1k [5 ] ﻴﻨﺘﺞ 2´24 k º 2´1k [5 ] ﺃﻱ 24k +1 º 2[5 ] · ﻤﻥ 24k +1 º 2[5 ] ﻴﻨﺘﺞ 2´24k +1 º 2´2[5 ] ﺃﻱ 24k +2 º 4[5 ]
· ﻤﻥ 24k +2 º 4[5 ] ﻴﻨﺘﺞ 2´24k +2 º 2´4[5 ] ﺃﻱ 24k +3 º 3[5 ] ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺅﻜﺩ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗ ﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 2 n ﻋﻠﻰ 5 ﻫﻲ 2 ، 4 ، 3 ، 1 ﻭﺫﻟﻙ ﺘﺒﻌﺎ ﻟﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟ ﻁﺒﻴﻌﻲ. n .2 ﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃ ﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹ ﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 2 4 n ﻋﻠﻰ 5 ﻫﻭ 1 ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃﻥ 24 n º1[5] ﻟﺩﻴﻨﺎ ( ) 24n º 2 4 n ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ 24 º1[5] ﻓﺈﻥ 24 n º(1)n [5] ﺃﻱ 24 n º1[5] ﻭﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 2 4 n ﻋﻠﻰ 5 ﻫﻭ 1 • ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 17 4 n ﻋﻠﻰ : 5 ﻟﺩﻴﻨﺎ 17 º 2[5] ﻭﻤﻨﻪ 174n º 24 n [5 ] ﻭﺒﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺩﻱ ﻨﺠﺩ 174 n º1[5 ] ﻭﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 17 4 n ﻋﻠﻰ 5 ﻫﻭ . 1 .3 ﻟﺩﻴﻨﺎ 24n+3 +174n+2 + 3= 23 ´24n +172 ´174 n + 3 ﻭ 174 n º 4[5 ] ، 172 º 4[5] ، 24 n º 1[5 ] ، 23 º 3[5] ﻭﻤﻨﻪ 24n+3 +174n+2 + 3º 3´1 + 4´1 + 3[5 ] 24n+3 +174n+2 + 3º10[5 ] ﺃﻱ 24n+3 +174n+2 + 3º 0[5 ] ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ 24n+3 +174n+2 + 3 ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ . 5
.VII ﺘﻘﻭﻴﻡ ﺫﺍﺘﻲ: ﺃ .ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺘﻌﺩﺩﻓﻲ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻵﺘﻴﺔ ﺃﺭﺒﻌﺔ ﺍﻗﺘﺭﺍﺤﺎﺕ ،ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﺎ ﻓﻘﻁ ﺼﺤﻴﺢ ﻋﻴﻨﻪ . (1 ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 24 ﻫﻲ: ﺃ( .{0;1; 2;3; 4; 6;8;12; 24} ﺒ( {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12} ﺠ( .{1; 2;3; 4; 6;8;12; 24} ﺩ( {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24} ﺒ( -136 º -60[9] ﺃ( .136 º 36[7] (2 ﺩ( 2008 º 608[100] ﺠ( .17 º 0[-17] ﺒ( . 36 º1[5 ] ﺃ. 100 º 0[4 ] ( (3 ﺩ( . 121 º -1[3] ﺠ(. 21º - 21[6] (4 ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺘﻪ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍ ﻟﻁﺒﻴﻌﻲ 2009 2009 + 2015 2015 ﻋﻠﻰ 8 ﻫﻭ: ﺃ( 1 ﺒ( 0 ﺠ( 7 ﺩ( 3 P n (5 ﺨﺎﺼﻴﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ( ) . n ﺃ( ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ P n ﻤﺤﻘﻘﺔ ﺩﻭﻤﺎ( ) .
ﺒ( ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ n 0 ﺤﻴﺙ P n 0 ﻤﺤﻘﻘﺔ ،ﻓﺈﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ( ) ﻁﺒﻴﻌﻲ ، n ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ P n ﺘﻜﻭﻥ ﺼﺤﻴﺤﺔ ( ).ﺠ( P (3 ) ﻤﺤﻘﻘﺔ ،ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ k ﺤﻴﺙ P ( k +1) ، k ³ 3 ﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ . P ( k ) ﺇﺫﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل P ( n ) ، n ³ 3 ﺼﺤﻴﺤﺔ.ﺩ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺘﺎﻥ P( 0) ﻭ P( 1) ﻓﺈﹼﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ. P(n) ، n ﺏ .ﺼﺤﻴﺢ ﺃﻡ ﺨﺎﻁﺊﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ ﺨﻤﺴﺔ ﻨﺼﻭﺹ ،ﻤﻴﺯ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻨﻬﺎ ﻭﺍﻟﺨﺎﻁﺌﺔ . (1 ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ a = 9720 ﺃ( ﺍﻟﻌﺩﺩ a ﻴﺤﻠﹼل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃ ﻭﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟ ﹼﺸﻜل . 23 ´ 33 ´ 5 ´ 9 : ﺒ( ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ a ﻫﻭ . 40 ﺠ( ﺍﻟﻌﺩﺩ 100 ﻴﻘﺴﻡ .a ﺩ( ﺍﻟﻌﺩﺩ 19440 ﻤ ﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ. a ﻫ( ﺍﻟﻌﺩﺩ 1 ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ a ﻋﻠﻰ . 5 a (2 ﻭ b ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ n ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ 2 ﺤﻴﺙ [ ]a º b n ﺃ( .a -b º 0 [n ] ﺒ( .a + 111 º b +111[ n ] ﺠ( .a 2 º ab [n ] ﺩ( . a º b [n ] nn ﻫ( a = nk + bﻤﻊ k ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ.
(3 ﺃ( a º 4[5 ] ﺇﺫﻥ a - 4 ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ . 5 ﺒ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ a º 1 6 ﻓﺈﻥ a 6 ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ [ ] . 6 ﺠ( ﺒﻤﺎ ﺃﻥ 42 º 0[6] ﻓﺈﻥ 21 º 0[6] ﺩ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ b ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ a ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ . a 2 ﻫ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ r ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ a ﻋﻠﻰ b ﻓﺈﻥ r 2 ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ a 2 ﻋﻠﻰ .b ﺃ .ﺃﺠﻭﺒﺔ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭ ﻤﻥ ﻤﺘﻌﺩﺩ (1 ﺠ. (2 ﺩ. (3 ﺩ. (4 ﺒ. (5 ﺠ. ﺏ .ﺃﺠﻭﺒﺔ ﺼﺤﻴﺢ ﺃﻡ ﺨﺎﻁﺊ ﺍﻟﻨﺼﻭﺹ ﺍﻟﺨﺎﻁﺌﺔ ﺍﻟﻨﺼﻭﺹ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺒ .ﺠ .ﻫ. ﺃ .ﺩ. ﺩ. (1 ﺃ .ﺒ .ﺠ .ﻫ. (2 ﺒ .ﺠ .ﻫ. ﺃ .ﺩ. (3
.VIII ﺍﺴﺘﻌﺩ ﻟﻠﺒﻜﺎﻟﻭﺭﻴﺎ:.1 ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ﺍﻷﻭل ) ﺩﻭﺭﺓ ﺠﻭﺍﻥ 05 ) (2009 ﻨﻘﺎﻁ( ﻟﻴﻜﻥ ﺍﻟ ﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ a = 25 .1 ﺃ( ﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺃﻥa º 1 [3] : ﺒ( ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 2 a 2 + 4 ﻋﻠﻰ. 3 ﺠ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥa -360 5 º 2[3] : .2 ﺃ( ﺍﺩﺭﺱ ،ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ، n ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ 5 n ﻋﻠﻰ . 3 ﺒ( ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ n ﺒﺤﻴﺙ5 n + a 2 º 0 [3] :
ﺍﻟ ﺴﻠﹼﻡ ﺤل 0,5 .1 ﺃ( a = 25 =8´3 + 1 ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈ ﻥa º 1 [3] : ﺒ( ﻟﺩﻴﻨﺎ . a º 1 [3] ﺒﺘﻁﺒﻴﻕ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻨﺠﺩ:4× 0,25 a 2 º 1 [3] ﻭﻤﻨﻪ 2 a 2 º 2 [3] ﻭ 2 a 2 + 4 º 2 + 4 [3] 0,25 ﺃﻱ 2 a 2 + 4 º 0 [3] 0,25 0,5 ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 2 a 2 + 4 ﻋﻠﻰ 3 ﻫﻭ 0 ﺠ( ﻟﺩﻴﻨﺎ a º 1 [3] ﻭﻤﻨﻪ a 360 º 1 [3] 0,5× 3 ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ - 5 º 1[3] ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈ ﻥa -360 5 º 2[3] :0,25× 4 .2 ﺃ( ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ 5 n ﻋﻠﻰ 3 ﻟﺩﻴﻨﺎ5 2 º 1 [3] ، 51 º 2 [3] ، 5 0 º 1 [3] : ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ 5 2 k º 1 [3] : k ﻭ 5 º2k+1 2 [3] ﻭ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 5 n ﻋﻠﻰ 3 ﻫﻲ 1 ﻭ 2 ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴ ﺏ. ﺒ( ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻴﻡ n ﺒﺤﻴﺙ5 n + a 2 º 0 [3] : ﻨﻀﻊ 5 n + a 2 º 0 [3] ﻭﺤﻴﺙ ﺃ ﻥ a 2 º 1 [3] ﺇﺫﻥ 5 n º 2 [3 ] ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺃ( ﻨﺠﺩ n = 2 k + 1 ﺤﻴﺙ k ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌ ﻲ.
.2 ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ) ﺩﻭﺭﺓ ﺠﻭﺍ ﻥ 05 ) (2009ﻨﻘﺎﻁ( .1 ﺍﹸﺩﺭﺱ ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ n ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ 7 n ﻋﻠﻰ 9 .2 ﻋﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ: 1429 2009 + 20081430 ﻋﻠﻰ ( ) . 9 .3 ﺒﻴﻥ ﺃ ﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ A ﺤﻴﺙ A = 7 3n + 7 3n+1 + 7 3n +2 + 6 : ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 9 ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ . n
ﺍ ﻟﺴﹼﻠﻡ ﺤل3×0,5 .1 ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ 7 n ﻋﻠﻰ 30,25 7 3 º 1 [9] ، 7 2 º 4 [9] ، 71 º 7 [9] ، 7 0 º 1 [9] ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ 7 3 k º 1 [9 ] : k ﻭ 7 º3k+1 7 [9 ] + 0,25 ﻭ 7 3k+2 º 4 [9 ] ﻭﻤﻨﻪ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ 7 n ﻋﻠﻰ 3 ﻫ ﻲ 1 :ﻤﻥ ﺃﺠل n = 3k + 0,25 ﻭ 7 ﻤﻥ ﺃﺠل n = 3k +1 0,75 ﻭ 4 ﻤﻥ ﺃﺠل n = 3k + 2 ﻤﻊ k ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ. 0,5 .2 ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ( ) 1429 2009 + 20081430 : 0,5 ﻋﻠﻰ . 9 • 1429º 7 [9] ﻭ 2009 = 3´669 + 2ﺃﻱ 2009=3´k+2 ﻤﻊ k = 669 ﻭﻤﻨﻪ 1429 2009 º 7 3´k + 2 [9 ] ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈ ﻥ 1429 2009 º 4[9] • 2008º 1 [9] ﻭﻤﻨﻪ 20081430 º 1[9] ﺇﺫﻥ 1429 2009 + 20081430 º 5 [9] ﻭﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ 1429 2009 + 20081430 ﻋﻠﻰ 9 ﻫﻭ ( ) 5 .3 ﺒﻴﻥ ﺃ ﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ A ﺤﻴ ﺙ A = 7 3n + 7 3n+1 + 7 3n +2 + 6 : ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 9 ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ . n 0,5 ﻤﻥ ﺍﻟﺴﺅﺍل (1 ﻟﺩﻴﻨﺎ ،ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ، n A º 1+ 7 + 4+ 6 [9 ] ﺃﻱ A º 18 [9 ] ﻭﻤﻨﻪ 0,25 A º 0 [9 ]
0,25 ﺇﺫﻥ A ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 9 .3 ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻊ ﺇﺭﺸﺎﺩ ﺍﺕ .1 ﻋﻴﻥ ﻜل ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟ ﻌﺩﺩ. 6 .2 ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ n ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ n - 4 ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ( ) . 6 .3 ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ n ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ n + 2 ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ( ) . 6 .4 ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻕ a ﺤﻴﺙ . a = n + 2 n - 4 • ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ n ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ.a = 1 + 6 ، 4 n - 4 • ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ n ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ a ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ . .5 ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻕ b ﺤﻴﺙ .b = n - 4 n + 2 • ﺘﺤﻘﻕ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺼﺤﻴﺢ n ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ .b = 1 - 6 ، -2 n + 2 • ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ n ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺠﻠﻬﺎ ﻴﻜﻭﻥ b ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ .
ﺇﺭﺸﺎﺩﺍﺕ ﻟﺤل ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ .1 ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺩﺀ ﺒﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻌﺩﺩ 6 ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ،ﻭﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻤﻭﺠﺒﺔ ،ﻭﻻ ﺘﻨﺱ ﺘﻌﻴﻴﻥ D 6 ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ 6 ﻓﻲ . ¢ ( n - 4 ) .2 ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ 6 ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ( n - 4 ) ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰD 6 ( n + 2 ) .3 ﻗﺎﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ 6 ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ ( n + 2 ) ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰD 6 .4 ﻟﻠﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ n + 2 = 1 + 6 ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻻﻨﻁﻼﻕ ﻤﻥ n - 4 n - 4 ﻁﺭﻑ ﻭﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ،ﺃﻭ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻔﺭﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻭﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺼﻔﺭ ،ﻭﻫﻨﺎﻙ ﻁﺭﺍﺌﻕ ﺃﺨﺭﻯ. ﻴﻜﻭﻥ 1 + 6 ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ n - 4 ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ( ) 6 n - 4 .5 ﻟﻠﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ n - 4 = 1 - 6 ﺍﻨﻅﺭ ﺇﺭﺸﺎﺩ.(4 ) n + 2 n + 2 ﻴﻜﻭﻥ 1 - 6 ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ n + 2 ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ( ) . 6 n + 2
Search
