Matura 2021 Ciąg geometryczny

an+1 = an  q dla n  1 dla q 1 1− qn q = an+1 1− q Sn = a1  an an = a1  qn−1 dla q = 1 Sn = an  n Matura 2021 zakres podstawowy Sprawdź swoje umiejętności z rozwiązywania zadań dotyczących ciągu geometrycznego CZĘŚĆ XVIII luty 2021

MATURA 2021 Szczegółowe wymagania egzaminacyjne 2021 Zakres prezentacji 5. Ciągi. Zdający: 4) stosuje wzór na ������-ty wyraz i na sumę ������ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Pracuj z tablicami – WYBRANE WZORY !!!!!! Tablice matematyczne – WYBRANE WZORY strona 3

Przypomnij sobie:: Ciąg geometryczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej q razy.. an+1 = an  q q = an+1 Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego an Przykłady ciągu geometryczny. a1 = 2 q = 3 2, 6, 18, 54, 162, ,... a1, a1 = −5 q = 2 − 5, −10, −20, −40, −80, −160,,...a2 = a1  q a1 = 3 q = −2 3, −6, 12, −24, 48, −96, 192,...a3 = a2  q = a1  q2 , a1 = 7 q = 1 7, 7, 7, 7, 7, ,... a4 = a3  q = a2  q2 = a1  q3, itd. Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego an = a1  qn−1 dla n  2

Ciąg geometryczny Zadanie 1. Zadanie 2. W ciągu geometrycznym (an), dane są Liczby 6 i 3 są dwoma początkowymi a5=10 i a6=20 . Wyznacz pierwszy i ósmy wyraz tego ciągu. wyrazami ciągu geometrycznym (an), Wyznacz wzór ogólny tego ciągu oraz szósty wyraz. an = a1  qn−1 a5 = a1  q5−1 a1 = 6 q = a2 = 3 = 1 a2 = 3 a1 6 2 a5 = 10 a1  24 = 10 an = a1  qn−1 a6 = 20 a1 = 10 = 5  1 n−1 6   1 n  1 n q = a6 = 20 = 2 16 8  2   2   2  a5 10 an = 6  = = 12  1 a8 = a1  q8−1  1 6 2 1 3 5  27 5 a6 = 12   2  = 12  64 = 16 8 8 a8 = = 128 = 80 Odp. Wzór ogólny tego ciągu an = 12   1 n  2  Odp. a1=5/8 i a8=80. wyraz szósty 3 a6 = 16

Staraj się rozwiązywać zadania samodzielnie, koniecznie w zeszycie.

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 3. q = a2 = 12 = 2 a4 = 2  63 = 2  216 = 432 a1 2 Zadanie 4. an = a1  qn−1 a4 = a1  q3 32  q3 = −4 q3 = −1 q=−1 8 2 Zadanie 5. a4 = a3  q −2 = 4  q q = −1 an = a1  qn−1 a3 = a1   − 1 3−1 4 = a1   − 1 2  2   2  2 a1 = 16

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 6. Zadanie 7.

Zadanie 6. Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania a5 = a3  q2 Zadanie 7. a3  q2 = 1 q2 = 1 q=1 a3 9 9 3 q = a2 = 2 2 = 2 a1 2 22 n 2n 2 2 an = a1  qn−1 an = 2  2n−1 an = an =

Przypomnij sobie: Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego– zachodzi zależność an2 = an−1  an+1 a2 = a3 a1 a2 Zadanie 8. a1 = x x + 4 = 16 x2 + 8x +16 = 16x a1 = 4 a2 = x + 4 x x+4 x2 − 8x +16 = 0 a2 = 8 a3 = 16 (x − 4)2 = 0 a3 = 16 (x + 4)2 = 16x x=4

Przypomnij sobie: Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: dla q  1 Sn = a1 1− qn dla q = 1 1− q Sn = an  n Zadanie 9. Oblicz sumę 9 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wzorze ogólnym an = 2n dla n  1 a1 = 21 = 2 a2 = 22 = 4 S9 = 2 1− 29 = 2 1− 512 = 2  −511 = 1022 1− 2 −1 −1 q = a2 = 4 = 2 Odp. Suma dziewięciu pierwszych wyrazów ciągu a1 2 geometrycznego wynosi 1022.

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 10. Zadanie 11.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 10. Sn = a1 1− qn S10 = 5 1− (−2)10 = 5  1 − 1024 = 5 (−341) = −1705 1− q 1− (−2) 3 Zadanie 11. an = a1  qn−1 q3 = − 1 1 −  − 1 4 −1 15 8  2  16  1   1  1 3  1  16  1   15 2 −5 q=−1  2   2   2  3  2  16 3 16 a4 = 1 2 S4 = −  = −  = −  = −  = 16 1−  − 1  2 2  2   − 1   q3 = 1  2  16

Zadania otwarte matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 12. Zadanie 13. Zadanie 14.

Zadanie 12. Zadania otwarte matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania an2 = an−1  an+1 Dwa ciągi spełniają warunek ciągu geometrycznego a2 = a3 x =4 64, 16, 4 64, −16, 4 a1 a2 64 x Ciąg g. malejący Ciąg g. niemonotoniczny a1 = 64 x2 = 256 q = 16 = 4 = 1 64 16 4 a2 = x x1 = 16 lub x2 = −16 a5 = a1  q4 = 64   1 4 = 43  4−4 = 4−1 = 1 a3 = 4  4  4 Zadanie 13. Odp. Piąty wyraz tego ciągu geometrycznego wynosi ¼. an = 7  3n+1 a1 = 7  32 = 7 9 = 63 a2 = 7 33 = 7  27 = 189 q = a2 a1 q = 7  27 = 3 7  9 Odp. Iloraz tego ciągu geometrycznego wynosi 3.

Zadanie 14. Zadanie otwarte - matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Dla trzech kolejnych wyrazów ciągów zachodzą zależności: Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny a2 − a1 = a3 − a2. a2 = a3 y = 12 x(x − 3) = 0 a1 a2 a1 = 1 xy x1 = 0 lub x2 = 3 a2 = x a1 = x 2x = 12 a3 = y −1 a2 = y y1 = 2  0 = 0 y2 = 2 3 = 6 a3 = 12 x −1= y −1− x x 2x Ciąg nie geometryczny 2x = y 4x2 = 12x 0, 0, 12, y = 2x x2 − 3x = 0 Ciąg geometryczny 3, 6, 12, Odp. x1=0 lub x2=3 oraz y1=0 lub y2=6. Tylko ciąg 3,6,12 jest geometryczny.

Zapraszam wkrótce do kolejnej prezentacji funkcje trygonometryczne Opracowała Lucyna Sosnowska – nauczycielka matematyki w Zespole Szkół nr 1 w Goleniowie