Ostrosłupy - rozwiazywanie zadań

NAUKA ZDALNA MATEMATYKA Zadania - OSTROSŁUPY PAŹDZIERNIK 2020

Temat: Rozwiązywanie zadań OSTROSŁUPY Stereometria matura 2021 – zakres podstawowy

Dzisiaj …… ➢ Rozwiążę zadania z tematu OSTROSŁUPY; ➢ Rozwiążę zadania w zeszycie zachowując poprawną formę przy rozwiązywaniu zadań; ➢ Doskonalić będę umiejętności i wiedzę dotyczącą własności ostrosłupów.

Zadanie 1. Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6, a krawędź boczna 8. Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 12, a wysokość bryły jest równa 8. Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym α, dla którego cosα = 3/5. Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego każda krawędź ma długość 9.

Zadanie 5. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość ściany bocznej jest równa 5. Zadanie 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości 6 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zadanie 7. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a krawędź podstawy ma długość 3. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Zadanie 8. Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 320cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 1. Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6, a krawędź boczna 8. Oznaczenia na rysunku: m→ połowa długości przekątnej podstawy k → krawędź boczna a→ krawędź podstawy, H→ wysokość ostrosłupa k Dane : a = 6 k = 8 Szukane : H H m Rozwiązanie: 2. Obliczam H z tw. Pitagorasa a 1. Obliczam m m2 + H 2 = k2 kH m m=1a 2 (3 2)2 + H 2 = 82 2 H 2 = 64 −18 m = 16 2 =3 2 2 H = 46 Odp. Wysokość tego ostrosłupa ma długość √46.

Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 12, a wysokość bryły jest równa 8. Oznaczenia na rysunku: x→ połowa długości krawędzi podstawy; h→ wysokość ściany bocznej a→ krawędź podstawy, H→ wysokość ostrosłupa Hh Dane : a = 12 H = 8 Szukane : PC = Pp + Pb x Rozwiązanie: a 1. Obliczam połowę długości krawędzi podstawy 3. Obliczam pole boczne x = a = 12 = 6 22 Pb = 4 ah = 4 12 10 = 240 2 2 2. Obliczam wysokość ściany bocznej Hh 4. Obliczam pole podstawy h2 = x2 + H 2 h2 = 62 + 82 Pp = a2 = 122 = 144 x h = 10 5. Obliczam pole powierzchni całkowitej Pc = Pp + Pb = 144 + 240 = 384 Odp. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 384 [j2]

Zadanie 3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym α , dla którego cosα = 3/5 . Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Oznaczenia na rysunku: h→ wysokość ściany bocznej x→ połowa długości krawędzi podstawy; H→ wysokość ostrosłupa a→ krawędź podstawy, Dane : cos = 3 , H = 12 Szukane : V = 1 PP H 5 3 H h Rozwiązanie: 2. Obliczam h 3. Obliczam a x a = 2x α 1. Obliczam x h2 = x2 + H 2 a a a = 2x = 2  3h = 2  315 = 18 cos = x h2 =  3h 2 + 122 55 h h h2 = 9 h52  H a = 18 3= x 25 + 144 x 5h h2 − 9h 2 = 144 4. Obliczam V 5x = 3h 25 V = 1 a2  H = 1 182 12 = 1296 x = 3h 16 h2 = 144 33 5 25 h = 144  25 = 15 16 Odp. Objętość ostrosłupa wynosi 1296[J3]

Zadanie 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego każda krawędź ma długość 9. a→ długość krawędzi Dane : a = 9 Szukane : Pc Rozwiązanie: Czworościan ma cztery ściany i są nimi trójkąty równoboczne Pc = 4 a2 3 = a2 3 = 92 3 = 81 3 4 Odp. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 81√3 [j2]

Zadanie 5. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość ściany bocznej jest równa 5. Oznaczenia na rysunku: h→ wysokość ściany bocznej x→ połowa długości krawędzi podstawy; H→ wysokość ostrosłupa a→ krawędź podstawy, Dane : a = 6, h=5 Szukane : V = 1 PP H 3 Rozwiązanie: H h 2. Obliczam H 3. Obliczam V a 1. Obliczam x x2 + H 2 = h2 V = 1 a2  H x 3 a x = 1 a = 16 =3 32 + H 2 = 52 V = 1  62  4 = 48 22 H 2 = 25 − 9 3 H 2 = 16 h H =4 H Odp. Objętość tego ostrosłupa wynosi 48[J3] x

Zadanie 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości 6 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Oznaczenia na rysunku: h→ wysokość ściany bocznej x→ połowa długości przekątnej podstawy; H→ wysokość ostrosłupa a→ krawędź podstawy, k H Dane : = 30, k =6 Szukane : V = 1 PP H 3 30° a Rozwiązanie: a 2. Obliczam X 3. Obliczam a k H 1. Obliczam H x2 + H 2 = k2 x=1a 2 2 30° sin 30o = H x2 + 32 = 62 1a 2=3 3 x k 2 1=H x2 = 36 − 9 a 2=6 3 26 x2 = 27 a=3 6 H =3 x=3 3 4. Obliczam V V = 1 a2  H 3 ( )V = 1  3 6 2 3 3 = 54 Odp. Objętość tego ostrosłupa wynosi 54[J3]

Zadanie 7. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a krawędź podstawy ma długość 3. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oznaczenia na rysunku: h→ wysokość ściany bocznej r→ 1/3 wysokości podstawy; a→ krawędź podstawy, H→ wysokość ostrosłupa Dane : a = 3, k = 6 Szukane : sin = H hb k Rozwiązanie: α r 1. Obliczam hb 2. Obliczam r 3. Obliczam H  1 a 2 + h2 = k2 r = 1 hp− podstawy r2 + H 2 = h2 H h  2  3 2 r  1  3 2 + h2 = 62 r =1a 3  3  + H 2 = 135  2  32  2 4 9 + h2 = 36 r =13 3 H 2 = 135 − 3 4 32 44 r h2 = 144 − 9 r= 3 H 2 = 132 44 2 4 h2 = 135 H = 33 4 h = 135 = 3 15 22 4. Obliczam sinα sin = H = 33 = 33  2 = 2 33 = 2 33  15 = 2 495 = 2 9 55 = 2 3 55 = 2 55 h 3 15 3 15 3 15 3 15 45 45 45 15 Odp. Sinus kąta nac2hylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 2√55/15

Zadanie 8. Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe 100cm2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 320cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Oznaczenia na rysunku: h→ wysokość ściany bocznej x→ połowa długości krawędzi podstawy; H→ wysokość ostrosłupa a→ krawędź podstawy, Dane : Pp = 100, Pb = 320 Szukane : V = 1 H 3 PP Rozwiązanie: H h 1. Obliczam a 2. Obliczam h 3. Obliczam x x a Pp = 100 Pb = 4 ah = 320 x = 1 a = 1 10 = 5 a 2 22 a2 = 100 4. Obliczam V 2 10  h = 320 3. Obliczam H a = 10 x2 + H 2 = h2 52 + H 2 = 162 h = 16 V = 1 PP H H 2 = 256 − 25 H h 3 x H = 231 V = 1 100  231 = 100  231 33 Odp. Objętość tego ostrosłupa wynosi 100√231/3[J3]

Grafika w prezentacji nie spełnia warunków dla praw autorskich i dlatego jest dostępna jako domena publiczna, gdyż nie zawiera oryginalnego wzornictwa, lecz jedynie kształty używane powszechnie lub jest na licencji creativiecommons zero Lekcję opracowała nauczycielka matematyki Lucyna Sosnowska DZIĘKUJĘ ZA AKTYWNY UDZIAŁ W LEKCJI

NAUKA ZDALNA MATEMATYKA Październik 2020