Matura 2021 Równanie prostej w układzie współrzędnych

y = ax + b Ax + By + C = 0 Matura 2021 zakres podstawowy Sprawdź swoje umiejętności z rozwiązywania zadań dotyczących równań prostych w układzie współrzędnych CZĘŚĆ XXV MARZEC 2021

MATURA 2021 Szczegółowe wymagania egzaminacyjne 2021 Zakres prezentacji 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający: 1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); 4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;

Pracuj z tablicami – WYBRANE WZORY !!!!!! Tablice matematyczne – WYBRANE WZORY strona 5 Zaznaczone wzory mogą Ci się przydać do zadań dotyczących równania prostej– poziom podstawowy

Przykłady: Postać kierunkowa prostej y = 2x − 4 y = ax + b a →współczynnik kierunkowy prostej y = − 3x + 6 y = 0, 7x y = −2 Postać ogólna prostej x −3 = 0 Ax + By + C = 0 Współczynniki A i B nie mogą być jednocześnie zerami. Przykłady: 2x + y − 4 = 0 x − 2y + 6 = 0 y + 6 = 0 W postaci ogólnej można zapisać każdą prostą, a w postaci kierunkowej - prostą, która jest wykresem funkcji liniowej

Ćwiczenie 1. −2x + y − 5 = 0 − 1 x + y + 4 = 0 / (−2) −5x + 3y − 8 = 0 2 Ćwiczenie 2. x−2y−8= 0 5y = −3x + 8 /:5 7y = 2x /:7 5y = 9 /:5 y = −3 x + 8 y=2x y=9 5 55 7

Przypomnij sobie jak wyznaczyć równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty? A = (xA; yA ) B = (xB ; yB ) A = (xA; yA) Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania prostej y = ax + b i zapisujemy układ równań  y A = axA + b  = axB + b  yB B = (xB ; yB ) Rozwiązaniem układu jest para liczb (a, b) , które są współczynnikami szukanej prostej .

Zadanie 1. Wyznacz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B? xA yA y = ax + b 2 = a 1+ b A = (1; 2) 5 = a  (−2) + b xB yB B = (−2; 5) xA yA 2 = 1a + b → 2 = 1a + 3 5 = −2a + b a = −1 B = (−2; 5 ) xB yB 2 = 1a + b / 2 5 = −2a + b A = (1; 2) + 4 = 2a + 2b 5 = −2a + b −−−−−−−−−−−−−−−−−− 9 = 3b b=3 Równanie kierunkowe prostej Równanie ogólne otrzymamy przekształcając równanie y = −1x + 3 kierunkowe do postaci Równanie ogólne prostej x+ y−3=0

II sposób ze wzoru w tablicach xA yA xB yB A = (1; 2) B = (−2; 5 ) Zadanie 1a. Napisz równanie ogólne prostej A=(1;2) i B=(-2;5) ( y − 2)(−2 −1) − (5 − 2)(x −1) = 0 ( y − 2)(−3) − (3)(x −1) = 0 Od Ciebie zależy jakim sposobem −3y + 6 − 3x + 3 = 0 wyznaczysz równanie prostej −3x − 3y + 9 = 0 / : (−3) przechodzącej przez dwa punkty. x + y − 3 = 0 Równanie ogólne prostej Równanie kierunkowe prostej y = − x + 3

Zadanie 2. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (−3; −1) B = (3;5) i zapisz równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej. xB yB xA yA xB yB B = (3; 5) A = (−3; −1) B = (3; 5) y = ax + b y = ax + b −1 = a  (−3) + b 5 = a 3 + b xA yA −1 = −3a + b 5 = 3a + 2 A = (−3; −1) 5 = 3a + b → 5 − 2 = 3a a =1 −−−−−−−−−−−−−−−−−− 4 = 2b b=2 −1x + y − 2 = 0 y = 1x + 2 postać ogólna postać kierunkowa

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnych slajdach odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 3. Zadanie 4.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedź i przykładowe rozwiązanie Zadanie 3. ( y − (−2))(−1− 3) − (6 − (−2))(x − 3) = 0 ( y + 2)(−4) − 8(x − 3) = 0 −4 y − 8 − 8x + 24 = 0 −4 y − 8x +16 = 0 / : (−4) y + 2x − 4 = 0 y = −2x + 4

Zadanie 4. Zadania testowe matura 2021 Odpowiedź i przykładowe rozwiązanie (0; 2) (4; 0) ( y − 2)(4 − 0) − (0 − 2)(x − 0) = 0 ( y − 2)(4) − (−2)(x) = 0 4 y − 8 + 2x = 0 / : (2) 2y−4+ x = 0 x+2y−4 = 0

Zadanie otwarte matura 2021 Zadanie 5. (−2; −1) (7;10) 1. Wyznaczam współrzędne punktu D, który jest środkiem odcinka AB A C xD = xA + xB yD = yA + yB 2 2 yCD = ax + b D D = (xD ; yD ) (6;1) B xD = −2 + 6 = 2 −1 + 1 2 2 yD = = 0 D = (2; 0) 2. Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty D i C D = (2;0) C = (7;10) ( y − 0)(7 − 2) − (10 − 0)(x − 2) = 0 yCD = 2x − 4 ( y − 0)(5) − (10)(x − 2) = 0 5y −10x + 20 = 0 / : 5 y − 2x + 4 = 0

Zadania testowe matura 2021 Współczynnik kierunkowy prostej a = tg Zadanie 6. a = tg30 = 3 3 b=− 3

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA; yA) B = (xB ; yB ) a = yB − yA xB − xA Zadanie testowe matura 2021 Zadanie 7.  yA = axA + b lub a = yB − yA = 7 − 3 = 4 = 1  yB = axB + b xB − xA 8 − (−4) 12 3 

Wyznaczanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych;  y = a1x + b1  A1x + B1 y + C1 = 0  y = a2 x + b2  A2 x + B2 y + C2 = 0   Rozwiązaniem układu równań jest para liczb, które są współrzędnymi puntu przecięcia tych prostych, o ile te proste nie są równoległe ani tożsame.

Zadanie testowe matura 2021 Zadanie 8. 2x − 3y = 4 /  (−2) 5x − 6 y = 7 + −4x + 6 y = −8 x = −1 5x − 6 y = 7 → 5 (−1) − 6 y = 7 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−  y = −2 −5 − 6 y = 7  1x = −1 −6 y = 7 + 5 x = −1 −6 y = 12 P = (−1, −2) y = −2

Zadanie 9. Zadania testowe matura 2021 /  (−3) + −3x − 9 y = 15 x = −2 3x − 2 y = −4 → 3x − 2  (−1) = −4  y = −1 −−−−−−−−−−−1−1−y−−=−−1−1−−−−  3x = −6 y = −1 (−2; −1)

Zapraszam wkrótce do kolejnej prezentacji Prostopadłość i równoległość prostych w układzie współrzędnych Opracowała Lucyna Sosnowska – nauczycielka matematyki w Zespole Szkół nr 1 w Goleniowie