Matura 2021 Funkcja kwadratowa

f (x) = ax2 + bx + c f (x) = a(x − x1)(x − x2 ) f (x) = a(x − p)2 + q Matura 2021 zakres podstawowy Sprawdź swoje umiejętności z rozwiązywania zadań dotyczących własności funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c CZĘŚĆ XV LUTY 2021

MATURA 2021 Szczegółowe wymagania egzaminacyjne 2021 Zakres prezentacji 4. Funkcje. Zdający: 8) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);

q = f ( p)

Postać ogólna funkcji kwadratowej f (x) = ax2 + bx + c gdzie a, b, c  R i a  0 Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbór liczb rzeczywistych R y Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, w której punktem charakterystycznym jest wierzchołek W o współrzędnych: = −b q = − p 2a 4a (0, c) c W = ( p, q) =  −b ; −  , gdzie  = b2 − 4ac  2a 4a  x Prosta x = p jest osią symetrii paraboli. Ramiona paraboli skierowane są do góry, W = ( p, q) gdy a > 0 ; do dołu, gdy a < 0. x= p Zabiór wartości funkcji kwadratowej f (x) = ax2 + bx + c jest określony następująco:  q , +), gdy a  0 (−, q , gdy a  0 ZW f =

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej f (x) = a(x − p)2 + q dla a  0 W = ( p, q) y Ze wzoru postaci kanonicznej łatwo odczytać: ➢ Współrzędne wierzchołka paraboli W ➢ Współczynnik a ➢ Równanie osi symetrii x = p ➢ Wartość największą lub najmniejszą funkcji: x funkcja osiąga wartość najmniejszą y = q dla x = p, gdy a  0. W = ( p, q) funkcja osiąga wartość największą y = q dla x = p, gdy a  0. x= p ➢ Zbiór wartości funkcji: ZW f =  q , +), gdy a  0 (−, q , gdy a  0

Co możemy odczytać z wykresu funkcji x kwadratowej na tym rysunku? ➢ Miejsce przecięcia wykresu z osią Y c = −8 ➢ Współrzędne wierzchołka paraboli W −2 1 4 y W = (1, −9) ➢ Współczynnik a a  0 ➢ Miejsca zerowe: x1 = −2 x2 = 4 −8 −9 ➢ Równanie osi symetrii x = 1 W = ( p, q) ➢ Wartość najmniejszą funkcji: x= p ymin = −9 dla x = 1 ➢ Zbiór wartości funkcji: ZWf −9 , +), bo a  0

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania q = f ( p) Zadanie 1. W = ( p, q) =  −b ; −  , gdzie  = b2 − 4ac lub  2a 4a  Zadanie 2. p = −b = −(−2) = 1 2a 21 q = f (1) = 12 − 2 1−11 = −12 f (x) = a(x − p)2 + q Zadanie 3. f (x) = a(x − p)2 + q

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 4. f (x) = a(x − p)2 + q Zadanie 5. Prosta x = p jest osią symetrii paraboli. p = −b 2a Zadanie 6. Prosta x = p jest osią symetrii paraboli.

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 7. f (x) = a(x − p)2 + q Zadanie 8. f (x) = a(x − p)2 + q Zadanie 9. ZW f =  q , +), gdy a  0 (−, q , gdy a  0

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 10. Zadanie 11. Zadanie 12.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 10. f (−1) = (−1)2 + (−1) − 2 = −2 Zadanie 11. ZW f =  q , +), gdy a  0 Zadanie 12. (−, q , gdy a  0 y=3 y =1 y = −1 y = −3

Interpretacja geometryczna i miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c Liczba miejsc zerowych Położenie paraboli i miejsca zerowe dla a0 funkcji kwadratowej RAMIONA W GÓRĘ f (x) = ax2 + bx + c zależy od wyróżnika 0 =0 0  = b2 − 4ac brak m.z. 0 Położenie paraboli i miejsca zerowe dla a  0 x1 = −b −  x2 = −b +  2a 2a RAMIONA W DÓŁ =0 brak m.z. x1 = x2 = −b 2a 0 =0 0 0 brak m.z.

Zadanie 13. Naszkicuj wykres funkcji f (x) = x2 + 6x + 5 Wyznaczamy: Współrzędne wierzchołka W : W = ( p, q) =  −b ; −  , gdzie  = b2 − 4ac y  2a 4a  y = x2 + 6x + 5  = b2 − 4ac = 62 − 4 15 = 16 5 p = −b = −6 = −3 q = − = −16 = −4 2a 21 4a 41 W = (−3, −4) Miejsca zerowe, bo ∆>0 x x1 = −b −  = −6 − 4 = −5 x2 = −b +  = −6 + 4 = −1 2a 2 1 2a 2 1 W = (−3, −4) f (0) = 5 Ramiona paraboli skierowane są do góry, a=1, czyli a > 0

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje, gdy ∆≥0   0 f (x) = a(x − x1)(x − x2 ) =0 f (x) = a(x − x1)2 Przykład p = x1 + x2 2 f (x) = (x + 2)(x − 6) x1 = −2 x2 = 6 q = f ( p) p = −2 + 6 = 2 W = ( p; q) 2 q = f (2) = (2 + 2)(2 − 6) = −16 W = (2; −16) W = ( p, q) x = p

Zadanie 14 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedź i przykładowe rozwiązanie

Zadanie 14 Odpowiedź x1 = −1 x2 = 3 f (x) = a(x − x1)(x − x2 )

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 15. Zadanie 16. Zadanie 17.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania f (x) = a(x − x1)(x − x2 ) Zadanie 15. Zadanie 16. Zadanie 17.

ZADANIA OTWARTE Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 19. Zadanie 20. Zadanie 21. Zadanie 22.

ZADANIA OTWARTE przykładowe rozwiązania Zadanie 19. f (x) = a(x − x1)(x − x2 ) x1 = 0 x2 = −2 x1 = 5 x2 = −2 x1 = 5 x2 = − 1 2 2 Zadanie 20. W = ( p, q) =  −b ; −  a=2 f (x) = a(x − p)2 + q  2a 4a  W = (4, 0) f (x) = 2(x − 4)2 + 0 f (x) = a(x − p)2 + q f (x) = 2(x2 − 8x +16) f (x) = 2x2 −16x + 32 c = 32 b = −16

ZADANIA OTWARTE przykładowe rozwiązanie Zadanie 21. W = (5,5) x1 = 2 x2 = 8 p = x1 + x2 ZW f =  q , +), gdy a  0 2 (−, q , gdy a  0 g p = 2+8 =5 2 q=5 W = (5,5) g(5) = a(5 − 2)(5 − 8) = 5 g(x) = a(x − x1)(x − x2 ) g(5) = 5 a(5 − 2)(5 − 8) = 5 a  (−9) = 5 g(x) = a(x − 2)(x − 8) a=−5 9 g (x) = − 5 (x − 2)( 8) = x− 9 Odp. g(x) = 5 x2 + 50 x − 80 = − 5 (x2 −10x +16) = 5 x2 + 50 x − 80 9 99 9 9 99

ZADANIA OTWARTE przykładowe rozwiązanie Zadanie 22. 9 W = (6,9) q=9 W = (6,9) ZW f =  q , +), gdy a  0 (−, q , gdy a  0 x1 = 0 x2 = 12 0 12 p = 0 +12 = 6 2 a(6 − 0)(6 −12) = 9 W = (6,9) a  (−36) = 9 f (x) = a(x − x1)(x − x2 ) f (6) = 9 a=−1 f (x) = a(x − 0)(x −12) f − 0)(6 −12) = 9 4 (6) = a  (6 f (x) = − 1 (x − 0)(x −12) = − 1 (x2 −12x) = − 1 x2 + 3x 4 44 a=−1 4 b=3 c=0

Zapraszam wkrótce do kolejnej prezentacji WZÓR OGÓLNY CIĄGU LICZBOWEGO Opracowała Lucyna Sosnowska – nauczycielka matematyki w Zespole Szkół nr 1 w Goleniowie