Matura 2021 Ciąg arytmetyczny

an = an−1 + an+1 dla n  1 Sn = a1 + an n 2 2 an = a1 + (n −1)  r Sn = 2a1 + r (n + 1) n 2 Matura 2021 zakres podstawowy Sprawdź swoje umiejętności z rozwiązywania zadań dotyczących ciągu arytmetycznego CZĘŚĆ XVII luty 2021

MATURA 2021 Szczegółowe wymagania egzaminacyjne 2021 Zakres prezentacji 5. Ciągi. Zdający: 3) stosuje wzór na ������-ty wyraz i na sumę ������ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

Pracuj z tablicami – WYBRANE WZORY !!!!!! Tablice matematyczne – WYBRANE WZORY strona 3

Przypominajka: Ciąg arytmetyczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r. an+1 = an + r r = an+1 − an Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Przykłady ciągu arytmetycznego:. a1, a2 = a1 + r a1 = 2 r = 3 2, 5, 8, 11, 14, 17,... a1 = −5 r = 2 − 5, −3, −1, 1, 3, 5, 7,... a3 = a2 + r = a1 + 2r, a1 = 7 r = −4 7, 3, −1, −5, −9, −13, −17,... a4 = a3 + r = a1 + 3r, itd. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego an = a1 + (n −1)  r dla n 1

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 1. a4 = 3 r = 5 a4 = a1 + 3r = a1 + 3 5 = 3 a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1 + r + a1 + 2r + a4 = 3 (−12) + 3 5 + 3 = −18 a1 +15 = 3 a1 = −12 a2 a3 Zadanie 2. an = a1 + (n −1)  r 2 + (n −1)  7 = 79 r = a2 − a1 = 9 − 2 = 7 Zadanie 3. 2 + 7n − 7 = 79 7n = 84 n = 12 a14 = a1 + 13   − 3  = 8 a1 = 27 1 a7 = 27 1 + 6   − 3  = 18 1 = 37  2  2 2  2  2 2

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 4. r = a2 − a1 = −1− 2 = −3 an = a1 + (n −1)  r an = 2 − 3n + 3 = −3n + 5 Zadanie 5. an = 2 + (n −1)  (−3) r = a2 − a1 = (−2  2 +1) − (−2 1+1) = −3 − (−1) = −2 Zadanie 6. a11 = a3 + 8  r = 34 r = 20 r=5 8 2 14 + 8 r = 34

Przypominajka: Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego – zachodzi zależność an = an−1 + an+1 a2 − a1 = a3 − a2. 2 Zadanie 7. a1 = 6 a2 − a1 = a3 − a2. a2 = 2x + 4 (2x + 4) − 6 = (x + 26) − (2x + 4) a3 = x + 26 2x + 4 − 6 = x + 26 − 2x − 4 a1 = 6 3x = 24 a2 = 2 8 + 4 = 20 x=8 a3 = x + 26 = 8 + 26 = 34 Odp. Różnica tego ciągu r = a2 − a1 = 20 − 6 = 14 arytmetycznego wynosi 14.

Przypominajka: Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: Sn = a1 + an n Sn = 2a1 + r (n −1) n 2 2 Zadanie 8. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, który wyraża się wzorem an = 2n − 3 dla n  1 n = 10 Sn = a1 + an n a1 = 2 1− 3 = −1 2 a10 = 2 10 − 3 = 17 S10 = a1 + a10 10 = −1 + 17 10 = 80 2 2 Odp. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego wynosi 80

Zadania testowe matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 9. Zadanie 10. Zadanie 11.

Zadania testowe matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 9. Sn = a1 + an n Zadanie 10. 2 S8 = a1 + a8 8 = 7 + (−49) 8 = −21 8 = −168 2 2 S10 = a1 + a10 10 = 35 3 + a10 10 = 35 (3 + a10 ) 5 = 35 3 + a10 = 7 2 2 a10 = 4 Zadanie 11. a1 = 6  (1−16) = −90 S10 = a1 + a10 10 = −90 + (−36) 10 = −126 5 = −630 a10 = 6  (10 −16) = −36 2 2

Zadania otwarte matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 15. Zadanie 16.

Zadania otwarte matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Zadanie 15. a12 = 30 S12 = a1 + a12 12 = a1 + 30 12 = 162 S12 = 162 2 2 a1 + 30 12 = 162 6a1 +180 = 162 Zadanie 16. 2 6a1 = −18 Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu (a1 + 30)  6 = 162 a1 = −3 arytmetycznego wynosi -3. an = 2016 − 3n 2016 − 3n  0 a1 = 2016 − 31 = 2013 an  0 −3n  −2016 a671 = 2016 − 3 671 = 3 n  672 Ciąg an ma dodatnie wyrazy od a1 do a671 a1 + a671 2013 + 3 2 2 S671 =  671 =  671 = 1008 671 = 676368 Odp. Suma dodatnich wyrazów tego ciągu arytmetycznego wynosi 676368.

Zadania otwarte matura 2021 Rozwiąż samodzielnie. Na kolejnym slajdzie odpowiedzi i rozwiązania Zadanie 17. Zadanie 18.

Zadanie 17. Zadania otwarte matura 2021 Odpowiedzi i przykładowe rozwiązania Kolejne liczby naturalne, które przy an = a1 + (n −1)  r dzielenie przez 5 dają resztę 2. 2, 7, 12, 17, 19, … an = 2 + (n −1)  5 a15 = 5 15 − 3 = 75 − 3 = 72 an = 2 + 5n − 5 r = a2 − a1 = 7 − 2 = 5 Odp. Piętnasty wyraz tego an = 5n − 3 ciągu jest równy 72. Zadanie 18. Dane: a1 + 8r = 34 8(34 − 8r) + 28r = 110 a1 = 34 − 8  4, 5 a1 = 34 − 8r 272 − 64r + 28r = 110 a1 = −2 Sn = 2a1 + r (n −1) n 272 − 64r + 28r = 110 2 2a1 + r  7 8 = 110 2 S8 = 110 (2a1 + 7r)  4 = 110 a9 = 34 8a1 + 28r = 110 −36r = −162 a9 = a1 + 8r r = 4,5 Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi -2, a różnica 4,5.

Zapraszam wkrótce do kolejnej prezentacji ciąg geometryczny Opracowała Lucyna Sosnowska – nauczycielka matematyki w Zespole Szkół nr 1 w Goleniowie