ZADANIA - PLANIMETRIA - MATURA 2021 PP

jeżeli  = 90 ZADANIA – PLANIMETRIA zakres podstawowy Przykładowe ZADANIA na jedną lekcję + propozycje rozwiązań

Zadania do rozwiązania – rozwiąż samodzielnie i sprawdź Zad. 1. Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 3 Zad. 2. Oblicz pole zacieniowanego wycinka koła oraz oblicz długość łuku ograniczonego przez zacieniowany wycinek koła Zad. 3. Koła o polach 2π oraz 8π są styczne zewnętrznie. Oblicz odległość między środkami tych okręgów. Zad. 4. Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 2 cm. Odległość punktu A od środka okręgu wynosi 4cm. Oblicz odległość punktu A od punktu styczności. Zad. 5. (2p) Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S a dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku Zad. 6. Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie miedzy nimi o mierze 60◦. Zad. 7. W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych jest równy 2 3 a .przeciwprostokątna ma długość 6. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadania do rozwiązania – rozwiąż samodzielnie i sprawdź Zad. 9. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 2. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. Zad. 9. Punkty A= (− 2, 4) , B =( 6, 2), są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Oblicz długość wysokości tego trójkąta. Zad. 10. Punkty B = (−2, 4) i C = (5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Oblicz pole tego kwadratu. Zad. 11. Punkt A = (−4, 5) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie S = (−1, 2). Podaj współrzędne wierzchołka C. Zad. 12. Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Zad. 13. W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB.

Zadanie 1 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku 3 Dane : Szukane : a=3 Po =  R2 Rozwiązanie : 2R = a 2 przekątna kwadratu = a 2 2R = 3 2 R=3 2 2 PO =  R2 = 3 2 2 =  92 = 9 = 4, 5  2   4  2 Odp. Pole koła opisanego na kwadracie o boku 3 jest równe 4,5π

Zadanie 2 Oblicz pole zacieniowanego wycinka koła oraz oblicz długość łuku ograniczonego przez zacieniowany wycinek koła Dane : Szukane : r =3 Pwycinka =  r2  360  = 360 −120 = 240o Ł =  2 r 360 Rozwiązanie : Pwycinka =   r2 = 240o   32 = 2  9 = 6 360 3 360 Ł = 240o  2 r = 2  2 3 = 4 360 3 Odp. Pole zacieniowanego wycinka koła wynosi 6π, a długość łuku ograniczonego zacieniowanym wycinkiem 4π

Zadanie 3 Koła o polach 2π oraz 8π są styczne zewnętrznie. Oblicz odległość między środkami tych okręgów. Dane : Szukane : | S1S2 |= R + r PS1 = 2 PS2 = 8 Rozwiązanie :  R2 = 8 | S1S2 |= R + r = 2 2 + 2 = 3 2  r2 = 2 R2 = 8 R= 8=2 2 r2 = 2 r= 2 Odp. Odległość między środkami tych okręgów wynosi 3√2

Zadanie 4 Przez punkt A poprowadzono styczną do okręgu o promieniu 2 cm. Odległość punktu A od środka okręgu wynosi 4cm. Oblicz odległość punktu A od punktu styczności. S Dane : Szukane : O | OS |= 2 | AS |= ? | OA |= 4 A Wiem, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu w punkcie styczności. Rozwiązanie : | AS |2 + | OS |2 =| OA |2 | AS |2 +22 = 42 | AS |2 +4 = 16 | AS |2 = 12 | AS |= 12 = 2 3 Odp. Odległość punktu A od punktu styczności wynosi 2√3

Zadanie 5 Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku. Dane : Okrąg podzielony na 10 równych częsci Szukane : BGE = ? Rozwiązanie : Obliczam miarę kąta środkowego opartego na 3/10 okręgu | BSE |= 3 z360 = 3 360 = 108 10 10 Kąt wpisany BGE oparty jest na tym samym łuku co kąt środkowy, zatem: | BGE |= 1 z108 = 1 108 = 54 22 Odp. Kąt BGE ma miarę 54o

Zadanie 6 Oblicz pole trójkąta o bokach długości 4 oraz 9 i kącie miedzy nimi o mierze 60◦ . a= Dane : Szukane : a=4 P = 1 ab sin 2 b=9 b =  = 60o Rozwiązanie : Znam wzory na pole trójkąta i potrafię je stosować. P = 1 ab sin 2 P = 1  4 9 sin 60 = 18 3 =9 3 2 2 Odp. Pole trójkąta jest równe 9√3

Zadanie 7 2 W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych jest równy 3 a przeciwprostokątna ma długość 6. Oblicz pole tego trójkąta. Dane : Szukane : c=6 sin = 2 P = 1 ab 2 3 Rozwiązanie : sin = a a2 + b2 = c2 42 + b2 = 62 c b2 = 36 −16 P = 1 ab = 1 42 5=4 5 2=a b2 = 20 2 2 36 3a = 12 b = 20 = 2 5 a=4 Odp. Pole trójkąta jest równe 4√5

Zadanie 8 Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 2. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. Dane : Szukane : a=2 b=4 Po =  r 2 Wiem, że promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej. Rozwiązanie : Po =  r2 =  5 = 5 a2 + b2 = (2r )2 22 + 42 = 4r2 4r2 = 4 +16 r2 = 5 Odp. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe 5π.

Zadanie 9 Punkty A= (− 2, 4) , B =( 6 2), są wierzchołkami trójkąta równobocznego Oblicz długość wysokości tego trójkąta. Dane : Szukane : A = (−2, 4) B = (6, 2) h = a 3 = | AB | 3 Rozwiązanie : 22 A = (−2, 4) B = (6, 2) Obliczam długość odcinka |AB| | AB |= (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 | AB |= (6 − (−2))2 + (2 − 4)2 = 82 + (−2)2 = 64 + 4 = 68 | AB |= 68 = 4 17 = 2 17 h = | AB | 3 = 2 17  3 = 51 22 Odp. Wysokość tego trójkąta wynosi √51.

Zadanie 10 Punkty B = (−2, 4) i C = (5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami D C kwadratu ABCD. Oblicz pole tego kwadratu. Dane : Szukane : P = a2 =| BC |2 B = (−2, 4) C = (5,1) A B Rozwiązanie : Obliczam długość boku kwadratu (odcinka |BC|) B = (−2, 4) C = (5,1) | BC |= (xC − xB )2 + ( yC − yB )2 | BC |= (5 − (−2))2 + (1− 4)2 = 72 + (−3)2 = 49 + 9 = 58 P = a2 =| BC |2 = 2 = 58 58 Odp. Pole tego kwadratu jest równe 58

Zadanie 11 Punkt A = (−4, 5) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie S = (−1, 2). Podaj współrzędne wierzchołka C. Dane : Szukane : A = (−4,5) S = (−1, 2) C = (xc , yc ) Rozwiązanie : Korzystam ze wzoru na środek odcinka i obliczam współrzędne punktu C. =  xA + xc yA + yc  xS = xA + xc yS = yA + yc  2 2  2 2 S ; −1 = −4 + xc 2 = 5 + yc 2 2 −2 = −4 + xc 4 = 5 + yc xc = 2 yc = −1 Odp. C = (xc , yc ) = (2, −1)

Zadanie 12 Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Dane : Szukane : a = 10 b = 6 x Ptrapezu = a +b h tg = 3 2 Rozwiązanie : tg = h a +b 10 + 6 2 2 x = a − b = 10 − 6 = 4 x 3= h Ptrapezu = h = 12 = 96 4 h = 12 Odp. Pole trapezu jest równe 96

Zadanie 13 W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta ACB. Boki trójkąta są styczne do okręgu, zatem wykorzystując 3 własności stycznych do okręgu tworzę rysunek x 3 pomocniczy. 2 Dane : Szukane : 2 x | AC |= 5 r = 2 P = | AC |  | AB | 2 Rozwiązanie : | AB |= x + 2 (x + 2)2 + 52 = (x + 3)2 | AB |= 12 | BC |= 13 | BC |= x + 3 x2 + 4x + 4 + 25 = x2 + 6x + 9 −2x = −20 P = | AC |  | AB | = 512 = 30 x = 10 22 Odp. Pole trójkąta ACB jest równe 30

Grafika w prezentacji nie spełnia warunków dla praw autorskich i dlatego jest dostępna jako domena publiczna, gdyż nie zawiera oryginalnego wzornictwa, lecz jedynie kształty używane powszechnie, lub jest na licencji creativiecommons zero Opracowała nauczycielka matematyki Lucyna Sosnowska ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 1 W GOLENIOWIE