สื่อ การคิดตามกระบวนการทางคณิตศาสตร์

วิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ือพฒั นาทักษะการคิด เรอ่ื ง การคดิ ตามกระบวนการคดิ ทางคณิตศาสตร์ สอนโดย ครูศิรินนั ท์ เอยี ดเหลอื วิทยาลยั สารพัดช่างสงขลา 1) โครงสรา้ งของคณิตศาสตร์ ธรรมชาติของคณิตศาสตร์มีลกั ษณะเป็นนามธรรม เก่ียวข้องกับการใช้ เหตุผล และมีระบบ โครงสร้างของคณิตศาสตร์จะเป็นไปตามรูปแบบของแผนภาพ ดังภาพที่ 2.10 จะสรุปได้ ว่า มนุษย์พยายามสรุปสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติให้เป็นนามธรรมโดยการสังเกต และการเรียนรู้ แล้วนาไปสร้าง แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ ซ่ึงประกอบด้วยคาอนิยาม นิยาม สัจพจน์หรือข้อตกลงเบื้องต้น แล้วใช้เหตุผล ตามหลักการของตรรกศาสตร์เพ่ือสร้างข้อความจริงใหม่ท่ีสามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งเรียกว่าทฤษฎี จากนั้นจึงนา ทฤษฎีที่ได้กลับไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติ จะมีทฤษฎีบางส่วนที่มนุษย์ไม่ได้คานึงถึงการนาไปใช้ประโยชน์ใน ธรรมชาติ กจ็ ะจัดให้เป็นคณิตศาสตร์บรสิ ทุ ธิ์ ภาพที่ 1 แผนภมู ิโครงสร้างของคณติ ศาสตร์

2) ประโยชน์ของการคดิ ทางคณิตศาสตร์ การคิดทางคณิตศาสตร์ มีขัน้ ตอนเรมิ่ จากการระลกึ ได้ การ คดิ พน้ื ฐาน การคดิ วเิ คราะห์ และการคิดสรา้ งสรรค์ ดงั นนั้ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ มีประโยชน์หลายประการ เช่น o ส่งเสริมความมเี หตุผล o ส่งเสริมความคดิ สร้างสรรค์ o ส่งเสริมความมีสมาธแิ ละความอดทน o มปี ระโยชน์ตอ่ ชีวติ ประจาวัน หรือหน้าท่ีการงานในบางอาชีพ 3) การจาลองแบบทางคณติ ศาสตร์ มีรายละเอยี ดทต่ี ้องรูใ้ นคาต่อไปนี้ ก. คาอนิยาม เป็นคาพ้ืนฐานทไี่ มต่ ้องให้ความหมาย เช่น จานวน จุด ระนาบ เป็นต้น เราจะ เข้าใจคาเหล่าน้ีโดยอาศัยการรับรู้ จากประสบการณ์ หรือจากสามัญสานึกของเราเอง ซ่ึงคาเหล่านี้ถ้าให้ ความหมายแล้วอาจต้องใช้คาอื่นๆมาอธิบาย วกวนไปมา เช่น ถ้าเราให้ความหมายของจุดว่า จุดคือสิ่งที่เกิด จากการตัดกันของเส้น และให้ความหมายของเส้นว่า เส้นคือส่ิงท่ีเกิดจากการเชื่อมจุดสองจุด จะเห็นว่าการ อธิบายจุดใช้คาว่าเส้น และการอธิบายคาว่าเส้นก็ใช้คาว่าจุด วนเวียนกันเช่นน้ี จึงมีความจาเป็นต้องมีคาอนิ ยาม ข. นิยาม คอื คาหรือกลุม่ คาทไ่ี ด้ใหค้ าจากัดความไว้ โดยอาศยั คาอนยิ าม หรือคานิยามอ่นื ๆ มาอธิบายเพื่อให้เกดิ ความเข้าใจความหมายของคาเหล่านไ้ี ดอ้ ย่างถูกต้องตรงกันซงึ่ ภาษาท่ีใช้ต้องชัดเจน รัดกุม เช่น อนิยาม คาวา่ “ แม”่ และ “ นอ้ ง” ทา ให้ เราสามารถนิยามคาวา่ นา้ ได้ โดยน้าคือนอ้ งของแม่ ค. สัจพจนห์ รอื กติกา คือข้อความท่ีเรายอมรับว่าเปน็ จริงร่วมกันโดยไมต่ อ้ งพสิ จู น์ ซง่ึ ขอ้ ความจรงิ นีอ้ าจเป็นผลสรปุ จากการสังเกตจากตวั อย่างหลาย ๆ ตัวอย่าง เช่น “ เส้นตรง 2 เส้นตดั กนั จะเกิด จดุ ตดั 1 จดุ ” หรืออาจเป็นจริงตามข้อเท็จจรงิ ซึ่งเรยี กว่าสง่ิ ท่ีเห็นจริงแล้ว เช่นส่ิงของทงั้ หลายทีต่ า่ งเท่ากับสิ่ง เดียวกันแลว้ ยอ่ มเทา่ กนั บางครั้งเราเรียกขอ้ ความท่ียอมรบั วา่ เปน็ จรงิ นีว้ ่าขอ้ ตกลงเบื้องต้น ง. ทฤษฎี คอื ขอ้ ความทสี่ ามารถพิสจู นไ์ ด้ว่าเป็นจริง การพสิ ูจน์ทฤษฎตี า่ งๆ วา่ เป็นจรงิ ต้อง อาศัยข้อความที่เป็นจริงอยู่ก่อนแล้วมาอ้าง ซ่ึงได้แก่อนิยาม นิยาม และสัจพจน์ หรือข้อตกลงเบ้ืองต้น ประกอบกับกระบวนการใหเ้ หตุผลทางตรรกศาสตร์ มาสรุปวา่ ขอ้ ความ ใหม่ที่พสิ ูจน์ได้วา่ เป็นจริง และเราก็จะ ใช้ทฤษฎีเหล่าน้ีในการอ้างอิง การพิสูจน์ข้อความใหม่ซึ่งจะได้ทฤษฎีใหม่ต่อไป ตัวอย่างของทฤษฎีเช่น “ ถ้า เสน้ ตรง 2 เส้นตัดกันแลว้ มุมตรงข้ามยอ่ มเท่ากัน” 4) ข้ันตอนการคิดทางคณิตศาสตร์ สเตเฟ่น ครูลิก และเจสเส เอ รุดนิก แห่งมหาวิทยาลัยเทมเปิล สหรัฐอเมริกา ได้แบ่งลาดับขั้นตอนการคิดมี 4 ข้ันตอน คือ การระลึกได้ (recall) การคิดพ้ืนฐาน(basic thinking) การคิดวิเคราะห์ (critical thinking ) และการคิดสร้างสรรค์ ( creative thinking) การคิดเป็น กระบวนการซับซ้อน การคิดในแต่ละข้ันตอนต่อเนื่องกัน ทุกระดับข้ันของการคิดจะใช้ทักษะท่ีอยู่ในระดับต่า กวา่ ประกอบในการคิดด้วย

5) กระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ นักศึกษาลองคิดจินตนาการเหตุการณ์ต่อไปน้ี แล้วเดา คาตอบอย่างประมาณ “ นกั ศกึ ษามกี ระดาษพมิ พจ์ ดหมาย ขนาดประมาณ A4 หรือใหญก่ ว่า และมคี วามหนาเท่า ๆ กับท่ีเราใช้อยู่ในชีวิตประจาวัน (70 แกรม) ให้นักศึกษาพับครึ่งกระดาษแผ่นนี้และพับครึ่งไปเร่ือย ๆ สมมติว่า พับได้ท้ังหมด 32 คร้ัง ( ทาไม่ได้ในความเป็นจริง) กระดาษที่พับไว้น้ีจะมีความหนาประมาณเท่าใด กี่ เซนติเมตร กี่เมตร หรือก่ีกิโลเมตร เชื่อว่านักศึกษาคงเดาหน่วยเป็นเซนติเมตร หรอื เมตร อาจคิดเป็นกิโลเมตร กค็ งได้ไม่เกิน 10 กิโลเมตร ( บางคนเรมิ่ หัวเราะแล้ว… เดาไปได้อย่างไร) การคิดท่ีเป็นเรื่องของการเพม่ิ ค่าอย่างทวีคณู นเี้ ปน็ ตัวอยา่ งหนง่ึ ทคี่ วรใชก้ ารคิดแบบ คณิตศาสตร์ คานวณอย่างจริงจัง เป็นอทุ าหรณ์ตอ่ การกาหนดเป้าหมาย หรือข้อกาหนดกฎเกณฑ์ต่าง ๆ ให้ได้ ใกล้เคียงกับโอกาส และความเป็นจริงมากท่ีสุด คานวณเหตุการณ์ท่ีได้ลองเดาคาตอบไปแล้วได้ดังนี้ กระดาษ ขนาด 70 แกรม จะมีความหนาโดยเฉล่ียประมาณไม่น้อยกว่า 0.125 มิลลิเมตรซ่ึงไม่สามารถพับคร่ึงได้ถึง 32 คร้ัง แต่ถ้าสมมติว่าพับได้ ความหนาของกระดาษก็จะทวีคูณข้ึนเรื่อย จากการพับครั้งท่ีหนึ่งกระดาษจะหนา เพิ่มขึ้นเป็น 2 x 0.125 มิลลิเมตร เม่ือพับคร้ังท่ีสอง กระดาษจะหนาเพ่ิมข้ึนเป็น 2 x 2 x 0.125 มิลลิเมตร และเม่ือพบั ครัง้ ท่ีสามกระดาษจะหนาเพม่ิ ขึ้นเป็น 2 x 2 x 2 x 0.125 มลิ ลเิ มตร และจากการคานวณไปถึงการ พบั ได้ 32 ครัง้ จะคิดไดป้ ระมาณ 256 กโิ ลเมตร แบบฝึกหดั ทม่ี สี ถานการณค์ ลา้ ยกับตัวอยา่ ง วิธกี ารหาคาตอบสามารถใช้เทียบเคยี งกบั ตัวอย่างที่เคยมีประสบการณ์ ไม่มีการพลิกแพลง แบบฝึกหัดในลักษณะดังกล่าวน้ีมุ่งฝึกทักษะ ฝึกการนาไปใช้ ไมถ่ ือว่าเป็นปัญหา แต่ถ้าตอ้ งใชป้ ระสบการณ์หรือแนวคิดหลาย ๆ อย่างนอกเหนือไปจากการใช้วิธกี ารทค่ี ล้าย กบั ตัวอยา่ งในการหาคาตอบ แบบฝกึ หัดในลักษณะนีก้ ลา่ วไดว้ ่าเปน็ สถานการณ์ทเี่ ป็นปัญหา กระบวนการแก้ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ ประกอบด้วยขน้ั ตอนสาคัญ 4 ขนั้ ตอนคือ ขัน้ ที่ 1. ขน้ั ทาความเขา้ ใจปัญหา เป็นการพจิ ารณาปญั หาอย่างละเอียด ส่ิงที่ควรได้ในขั้นตอนน้ี คือ 1) ระบุได้ว่าปัญหาต้องการอะไร ปัญหากาหนดอะไรให้บา้ ง 2) มสี าระความร้ใู ดเกีย่ วขอ้ งบา้ ง ขอ้ มลู ท่ีได้มพี อหรือไม่ หรือมนี ้อยเกินไป หรอื มีมากเกินไป คาตอบ ของปัญหาจะอยูใ่ นรปู แบบใด ในข้นั ตอนน้ี อาจทาให้งา่ ยขึ้นด้วยการเขยี นสาระของปัญหาด้วยถอ้ ยคาของ ตนเอง ข้นั ที่ 2. ข้นั วางแผนแกป้ ญั หา เป็นขน้ั ตอนสาคัญที่จะต้องพิจารณาว่าจะแก้ปัญหาด้วยวิธใี ด แกอ้ ยา่ งไร ซง่ึ ตอ้ งมองความสัมพันธข์ องขอ้ มลู ตา่ ง ๆ อย่างมรี ะบบและชัดเจน ทกั ษะที่นามาใช้ในขน้ั นี้ไดแ้ ก่ 1) การเขียนรูป แผนภาพ แผนภูมิ และสรา้ งแบบจาลอง 2) การทาตาราง การจัดหมวดหมู่  การแบง่ เปน็ กรณี  การใชเ้ หตผุ ลทางตรง และกฎเกณฑ์ การใหเ้ หตผุ ลทางอ้อม  การคน้ หารูปแบบ  การคดิ และทาย้อนกลับ  การใช้ตัวแปร

นอกจากนค้ี วรได้พจิ ารณาว่าปญั หาน้ีมีความสมั พันธก์ ับปัญหาท่ีเคยมีประสบการณใ์ นการแกป้ ัญหามาก่อน หรอื ไม่ นาความสมั พนั ธ์ของส่ิงต่างๆในปญั หา กับประสบการณใ์ นการแก้ปญั หาท่มี ีอยู่ มากาหนดแนวทางใน การแก้ปัญหา ข้ันที่ 3. ขน้ั ดาเนินการตามแผน เปน็ ขั้นตอนทล่ี งมือปฏิบัติตามแผนท่ีวางไว้ โดยเร่ิมจากการตรวจสอบความ เปน็ ไปได้ของแผน เพิ่มเติมรายละเอียดต่าง ๆ ของแผนให้ชัดเจน จากนน้ั ลงมือปฏิบตั จิ นกระท่ังสามารถหา คาตอบได้ หรือคน้ พบวิธกี ารแก้ปญั หาใหม่ ซึ่งการแกป้ ัญหาจะเรว็ ข้นึ หากมีทักษะและประสบการณเ์ ดมิ มาก แตใ่ นช่วงแรกอาจดาเนนิ การไดช้ ้า ตอ้ งอาศยั ความอดทน รอบคอบ เพ่ือให้ได้คาตอบที่ถูกต้อง ขัน้ ท่ี 4. ขั้นตรวจสอบ เปน็ ข้ันตอนทผี่ ู้แกป้ ัญหามองย้อนกลับไปทข่ี น้ั ตอนตา่ งๆ ทีผ่ า่ นมา เพ่อื พิจารณาความ ถูกต้องของคาตอบและวิธกี ารแก้ปญั หา พจิ ารณาปรบั ปรุงแก้ไขวิธีแก้ปัญหาใหช้ ดั เจน รัดกมุ ซึ่งข้ันตอนน้ีอาจ แทนส่ิงทีเ่ ปน็ ปญั หาด้วยคาตอบทหี่ าได้ แลว้ ตรวจสอบว่าข้อมูลที่ไดเ้ ป็นจริง สอดคล้องกบั ท่โี จทยก์ าหนดให้ หรอื ไม่ 6) ทักษะท่ีนามาใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เราสามารถแบ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์โดย พิจารณาจากจุดประสงค์ของปัญหาได้เป็น ปัญหาให้ค้นหา และปัญหาให้พิสูจน์ ซึ่งในการแก้ปัญหาน้ีทาได้ หลายวิธี ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ที่ผู้แก้ปัญหามีอยู่ และวางแผนการแก้ปัญหาอย่างไร ในที่น้ีจะเสนอทักษะ ตา่ งๆ ทสี่ ามารถนามาใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เพมิ่ เติมจากทักษะต่างๆท่ไี ดเ้ รียนรู้มาแลว้