Ebook ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โดย ครูชนิดาภา จนั นอ กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนสริ ินธร จงั หวดั สรุ นิ ทร์ สำนกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 33 1

ใบความรทู้ ี 1 การวดั ความยาวสว่ นโคง้ และพกิ ดั จดุ ปลายสว่ นโคง้ การกำหนดค่าของตรีโกณมิตทิ ำได้โดยใช้วงกลม 1 หน่วย ซึง่ มจี ดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่จดุ กำเนดิ เป็นหลักในการกำหนดคา่  ของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ วงกลมน้เี ปน็ กราฟความสมพนั ธ์ (x,y)R R x2 + y2 =1 จะเรยี กวงกลมดังกล่าววา่ “วงกลมหนงึ่ หนว่ ย” วงกลม 1 หนว่ ย เปน็ วงกลมทีม่ รี ศั มี 1 หนว่ ย การวดั มมุ ในหนว่ ยเรเดียนจะเร่ิมวัดที่จดุ (1,0) โดยมเี งอ่ื นไขดงั นี้    0 ( เปน็ บวก) จะวัดสว่ นโคง้ จากจุด (1,0) ในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ า    0 ( เปน็ ลบ) จะวดั สว่ นโค้งจากจุด (1,0) ในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ า ทศิ ทวนเข็มนาฬกิ า  =  เรเดยี น ทิศตามเขม็ นาฬกิ า  = −  เรเดียน 2 2

โดยปกติ ถา้ วนทวนเข็มนาฬกิ าครบ 1 รอบ  = 2 ถา้ วนเพยี งคร่ึงรอบ =  ตวั อยา่ งท่ี 1 รูปตอ่ ไปนเี้ ป็นการแสดงตำแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หน่วย เมอื่ กำหนดคา่ θ ใหม้ ี ค่าต่าง ๆ กนั รูปท่ี 1 θ= 2π รูปที่ 2 θ=  2 รูปท่ี 3 θ= π รูปท่ี 4 θ= 3 2 รูปที่ 5 θ= 5 รูปที่ 6 θ= 13 2 3 3

รูปที่ 7 θ= -2π รูปท่ี 8 θ= −  2 รูปที่ 9 θ= − 3 รูปที่ 10 θ= − 3 4 4 ในกรณที ่ี มมุ ใหญก่ วา่ 2 เชน่ 3,4,5,... แปลวา่ เราตอ้ งเดนิ ทางเพม่ิ มากขน้ึ หรอื ก็คือวนอีกรอบน่นั เอง ถ้า  = 3 แปลว่าจะวน 1 รอบครงึ่ นน่ั เอง ซึ่งจากการสงั เกตจะเห็นว่า  = 3 จะวนมาอยู่ท่ี ตำแหนง่ เดยี วกนั กบั  =  ถ้า  = 4 แปลว่า หลังจากวนได้ 1 รอบได้ 2 แลว้ ตอ้ งเดินทางอกี 1 รอบ ให้ได้ 4 นั่นเอง ซง่ึ จากการสังเกตจะเหน็ ว่า  = 4 จะวนมาอยู่ทต่ี ำแหน่งเดียวกันกับ  = 2 จงึ มกี ารจำงา่ ย ๆ ดงั นว้ี า่ คพี่ าย คู่พาย 4

ลองทำดู θ=  θ=  3 6 θ= 13 θ= 7 3 2  θ= − 37 3 6 θ= − คา่ มุมหลักๆ 5

ลำดบั ถดั ไป สง่ิ ที่สำคัญสำหรับเรอื่ งตรโี กณมติ ินีค้ ือ จะต้องจำ จดุ หยดุ ทัง้ 16 จดุ ของ มมุ พนื้ ฐาน ดังน้ี สงั เกต คา่ ของมมุ จะเป็นบวก หรอื ลบ จะข้นึ กับตำแหนง่ ของ  วา่ ตกอยู่ในควอรนั ดใ์ ด จะเห็นว่าตัวเลขพกิ ัด (x, y) จะเป็นคา่ เดยี วกบั ค่า sin และ cos ของมุม 300 , 450 , 600 ท่เี คยเรยี น โดยเรานยิ ม ใชส้ ัญลักษณ์ P(θ) แทนพกิ ดั ของจดุ ปลายของมมุ เช่น P   = (0,1) P() = (−1,0) 2 P   =  2, 2 P −   =  1 , − 3 4  2 2  3  2 2  ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา P 3  2 วิธที ำ วธิ ที ่ี ① แทนค่า  = 180 จะได้วา่ 3 = 3  180 = 270 2 2 วิธีท่ี ② มองวา่ 3 =  1 + 1   =  +  2 2 2 ดงั นน้ั ไม่วา่ จะทำวิธีไหนกจ็ ะได้ P 3  = ( 0, −1) 2 6

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหา P 7  3 วธิ ที ำ วิธที ่ี ① แทนคา่  = 180 จะไดว้ า่ 7 = 7  180 = 420 โอเ้ ลขเยอะมากมาย 2 3 420 แปลว่าวนมากกว่า 1 รอบแนน่ อน นั่นคือ 420 = 360 + 60 = 60 จุด p ที่ 60 คือ วิธที ่ี ② มองวา่ 7 =  2 + 1   = 2 +  =  3 3 3 3 ดงั นั้นไม่ว่าจะทำวิธีไหนกจ็ ะได้ P 7  =  1 , 3 3  2 2  ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหา P − 2009  4 วธิ ที ำ วธิ ที ี่ ① แทนค่า เลขในข้อนีเ้ ยอะแทนคา่ ไม่สะดวก วิธที ่ี ② มองว่า − 2009 = − 502 + 1   = −502 −  = −  4 4 4 4 ดังนั้น P − 2009  =  2 , − 2 4  2 2  −  4 ตวั อยา่ งที่ 5 P 17  = P 3 −   = P −   =  − 1 ,− 3 6 6 6  2 2  ตวั อยา่ งท่ี 6 P 199  = P 66 +   = P   =  1 , 3 3 3 3  2 2  7

ลองทำดู จงหาพกิ ดั ตอ่ ไปน้ี 1. P    2. P() 2 3. P(3) 4. P    3 5. P  5  6. P − 4  3 3 7. P 103  8. P − 55  2 3 9. P  11  10. P − 13  3 2 8

ใบความรทู้ ่ี 2 คา่ ของฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์  คา่ ของฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซน์ คา่ ของฟงั กช์ ันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริง θ หาไดโ้ ดยดูจากพกิ ดั จดุ ปลายสว่ นโคง้ ที่ยาว |θ| หนว่ ย กำหนด P() = (x, y) จะได้ sin = y และ cos = x ตวั อยา่ งท่ี 1  sin  = 1  sin  −   = -1 2 2  cos = 1  cos(−) = -1  sin = ...............  sin(-2) = ............  cos3 = ..............  cos50 = .............. 9

 พกิ ดั จดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยทย่ี าว  4  cos 3 = 1 หรอื 2  sin 3 = 1 หรอื 2 4 2 2 4 2 2  cos 5 = - 1 หรอื − 2  sin 5 = - 1 หรอื − 2 4 2 2 4 2 2  พกิ ดั จดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยทยี่ าว  3  sin 4 = - 3  cos 4 = - 1 3 2 3 2  sin  − 7  = - 3  cos  − 7  = 1 3 2 3 2 10

 พกิ ดั จดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หนว่ ยทยี่ าว  6  sin 5 = 1  cos 5 = - 3 6 2 6 2  sin  −   = - 1  cos  −   = 3 6 2 6 2 ลองทำดู จงหาคา่ ของ 1. sin 0 =……………………. 2. cos 0 =……………………. 3. sin(-2π) =……………………. 4. cos(-2π) =……………………. 5. sinπ =……………………. 6. cosπ =……………………. 7. sin 3 = ……………….. 8. cos  = ……………….. 2 2 7. sin  = ……………….. 8. cos  = ……………….. 6 6 9. sin 11 = ……………….. 10. cos 7 = ……………….. 4 4 11

12