M18 – Inverse Trigonometry 34 Fifth Edition M18. Inverse Trigonometry TABLE OF CONTENTS M18. Inverse Trigonometry 34 M18.1 Introduction to Inverse Trigonometry...........................................................................................................................35 M18.2 Properties of Inverse Trigonometric Functions.........................................................................................................40 M18.3 Solution of Triangles (Basic) ..............................................................................................................................................44 M18.4 Solution of Triangles (Advanced).....................................................................................................................................49 Test Practice Problems .........................................................................................................................................................................53 Answer Key ................................................................................................................................................................................................56
M18 – Inverse Trigonometry 35 PRE-REQUISITE Topics to be focused on: Functions – Domain, Range, Inverse Functions Trigonometry PRE-REQUISITE TEST Q1. When is a function invertible? II. sin 2������ IV. sin (������ − ������) Q2. Find the domain and range of I. sin ������ 2 II. cos ������ III. tan ������ II. ������������, ������ ∈ ������+ III. ������ + 1, ������ ∈ ������ Q3. Determine the value of : I. sin(������ + ������) III. cos 3������ V. tan(−������) Q4. Find the inverse of: I. ������2, ������ ∈ ������+ Q5. If sin ������ = sin ������. Then ������ =_________ 6 NOTE: Please revise the concepts mentioned above if you score less than 5 on the Pre-requisite Test as these concepts will not be re-explained in this chapter. M18.1 Introduction to Inverse Trigonometry CONCEPTS 1. Limit the domain of a trigonometric function to make it invertible. 2. Evaluate the domain and principal range of an inverse trigonometric function. 3. Plot the graphs of inverse trigonometric functions. 4. Determine the values of functions of the form sin(sin−1 ������) , cos−1(cos ������), etc. when ������ lies outside the principal domain 5. Interconvert one inverse trigonometric function into another using formation of right triangles. PRE-READING Category Book Name Chapter Section Topic REQUIRED NCERT Class XII Mathematics – Part 1 2-Inverse Trigonometric 2.1 Introduction Functions 2.2 Basic Concepts
M18 – Inverse Trigonometry 36 SYNOPSIS Inverse Trigonometric Functions: If ������ = sin ������, then ������ = sin−1 ������ , ������ and ������ are said to be inverse of each other. Similarly we can find inverse of other trigonometric functions. Domain and Range of Inverse Trigonometric Function: Function Domain Range ������ = sin−1 ������ −1 ≤ ������ ≤ 1 − ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ = cos−1 ������ −1 ≤ ������ ≤ 1 ������ = tan−1 ������ −∞ < ������ < ∞ 22 ������ = cosec−1 ������ ������ ≤ −1, ������ ≥ 1 ������ = sec−1 ������ ������ ≤ −1, ������ ≥ 1 0 ≤ ������ ≤ ������ ������ = cot−1 ������ −∞ < ������ < ∞ − ������ < ������ < ������ 22 − ������ ≤ ������ ≤ ������ , ������ ≠ 0 22 0 ≤ ������ ≤ ������, ������ ≠ ������ 2 0 < ������ < ������ Trigonometric functions with their own graphs and the graphs of their inverse. Function Graph of the function Graph of the inverse of the function ������ = sin ������ ������ = cos ������ ������ = tan ������ M18.1
M18 – Inverse Trigonometry 37 ������ = cosec ������ ������ = sec ������ ������ = cot ������ PRE-READING EXERCISE Q1. The principal range of sin−1 ������ is _________ Q2. sin−1 (√3)= _________ 2 Q3. tan−1(1)= _________ Q4. sin(sin−1 0.4) = _________ Q5. tan−1 (tan ������) = _________ 6 Revision Exercise: Instructions: Table – I consists of questions and Table – II consists of possible answers. Match the entries from the tables. For example, if A matches with 4 and 5 then fill the answer sheet with ������: 4, 5. Remember, there can be more than one correct option for each question.
M18 – Inverse Trigonometry 38 Table – I B. sin(������ + ������) C. cos 3������ D. sin(������ − ������) E. sin(90° − ������) A. sin 2������ G. cos(−������) H. sin(������ − ������) I. cos(������ + ������) J. cos(������ − ������) F. sin(−������) L. (cos ������)−1 M. tan(−������) N. cos 2������ O. sec(90° − ������) K. cos(������ − ������) Q. sin 3������ R. √1−cos 2������ S. √1+cos 2������ T. √1 − cos2 ������ P. √1 + tan2 ������ 2 2 Table – II 2. cos ������ 3. tan ������ 4. − sin ������ 5. − cos ������ 1. sin ������ 9. cot ������ 10. − cot ������ 6. − tan ������ 7. sec ������ 8. cosec ������ 14. 2 cos ������ 15. 2 cos2 ������ − 1 11. 2 sin ������ cos ������ 19. 1 − 2 sin2 ������ 20. 4 sin3 ������ − 16. sin ������ sin ������ + 12. 2 sin ������ cos ������ 13. 2 sin ������ 24. cos2 ������ − sin2 ������ 3 sin ������ cos ������ cos ������ 17. sin ������ cos ������ + 18. 3 cos ������ − 21. sin ������ cos ������ − sin ������ cos ������ 4 cos3 ������ 25. 3 sin ������ − 4 sin3 ������ sin ������ cos ������ 22. cos ������ cos ������ − 23. 4 cos3 ������ − sin ������ sin ������ 3 cos ������ Answer Sheet: A. ________ B. ________ C. ________ D. ________ E. ________ F. ________ G. ________ H. ________ I. ________ J. ________ K. ________ L. ________ M. ________ N. ________ O. ________ P. ________ Q. ________ R. ________ S. ________ T. ________ IN CLASS EXERCISE 1 Q1. Find the principal value of I. sin−1 (− 1) II. cos−1 (√3) 2 2 III. cot−1 (−1) IV. tan−1(1) + cos−1 (1) + sin−1 (1) √3 22 Q2. Find the value of sin−1 (sin 3������) 4 Q3. Find the value of sin−1 (sin 6������) − sin (sin−1 (1)) 79 Q4. Find the domain and range of cos−1 (������������22 +2) +1 Q5. Find the set of values of ������ satisfying the inequality tan2(sin−1 ������) > 1. Q6. Find the domain and range of sin−1(log(������)) IN CLASS EXERCISE 2 Q7. If ������ = tan−1 3, then find the value of sin ������. M18.1
M18 – Inverse Trigonometry 39 Q8. If ������ = cos−1 0.6, then find the value of cot ������. Q9. Find the value of ������ satisfying tan(sec−1 ������) = sin (cos−1 1 ) Q10. √5 Express tan−1 (cos ������−sin ������) in the simplest form, for − ������ < ������ < 3������. cos ������+sin ������ 44 HOMEWORK LEVEL 1 II. cot−1(−√3) Q1. Find the values of ������ for which cosec−1(cos ������) is defined. Q2. Find the principal value of I. cos−1 (− 1) 2 III. sin−1 ( 1 ) + tan−1(−1) √2 Q3. If ������ + 1 = 2, then find the value of sin−1 ������. ������ LEVEL 2 Q4. Find the principal value of cos−1 (cos (−17������)) 15 Q5. The value of sin [������ − sin−1 (− √3)] is ______ 22 Q6. Find the value of tan {������ + 1 cos−1 ������} + tan {������ − 1 cos−1 ������} , if ������ ∈ [−1, 1] − {0}. 42 42 Q7. Find the possible values of ������ for which tan−1(tan √1 − ������) = √1 − ������ is true. Q8. Find the value of cos {tan−1 (tan 15������)} 4 Q9. Find the domain and range of sin−1(sin−1(������)) LEVEL 3 Q10. Find the set of values of ������ for which ������2 − ������������ + sin−1(sin 4) > 0 for all ������ ∈ ������ Q11. Prove that tan−1 √������ = 1 sin−1 2√������ if ������ ∈ [0,1] 2 1+������ Q12. Find the domain and range of log������(cos−1 ������) Q13. Find the range of ������ for which sin−1 {sin (2������������22++14)} < ������ − 3
M18 – Inverse Trigonometry 40 M18.2 Properties of Inverse Trigonometric Functions CONCEPTS 1. Simplify complex inverse trigonometric functions using method of substitution. 2. Use properties of inverse trigonometry to simplify composite functions 3. Use properties of inverse trigonometry for compound angles. PRE-READING Category Book Name Chapter Section Topic REQUIRED NCERT Class XII Mathematics – Part 1 2. Inverse Trigonometry 2.3 Properties of Inverse Trigonometric Functions SYNOPSIS Properties of Inverse Trigonometric Functions: 1. PROPERTY I : 2. PROPERTY II : 3. PROPERTY III : = − sin−1 ������ For all ������ ∈ [−1,1] I. sin−1(−������) = ������ − cos−1 ������ For all ������ ∈ [−1,1] II. cos−1(−������) = − tan−1 ������ For all ������ ∈ ������ III. tan−1(−������) = − cosec−1 ������ For all ������ ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) IV. cosec−1(−������) = ������ − sec−1 ������ For all ������ ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) V. sec−1(−������) = ������ − cot−1 ������ For all ������ ∈ ������ VI. cot−1(−������) M18.2
M18 – Inverse Trigonometry = cosec−1 ������ 41 = sec−1(������) 4. PROPERTY IV : = cot−1(������) For all ������ ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) I. sin−1 (1) For all ������ ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) For ������ > 0 ������ II. cos−1 (1) ������ III. tan−1 (1) ������ 5. PROPERTY V : 6. PROPERTY V : I. II. 7. PROPERTY VI : I. 2 tan−1 ������ = sin−1 (1+2������������2), if −1 ≤ ������ ≤ 1 II. 2 tan−1 ������ = cos−1 (11+−������������22), if ������ ≥ 0 III. 2 tan−1 ������ = tan−1 (1−2������������2), if −1 < ������ < 1
M18 – Inverse Trigonometry 42 8. INTERCONVERSION USING RIGHT ANGLED TRIANGLE: M18.2 I. sin−1 ������ = cos−1 √1 − ������2 = tan−1 ������ = cot−1 √1−������2 = sec−1 ( 1 ) = cosec−1 (1). √1−������2 ������ √1−������2 ������ II. cos−1 ������ = sin−1 √1 − ������2 = tan−1 (√1−������2) = cot−1 ( ������ ) = sec−1 (1) = cosec−1 ( 1 ) ������ √1−������2 ������ √1−������2 III. tan−1 ������ = sin−1 ( ������ ) = cos−1 ( 1 ) = cot−1 (1) = sec−1 √1 + ������2 = cosec−1 (√1+������2) √1+������2 √1+������2 ������ ������ PRE-READING EXERCISE Q1. sin−1(������) = cosec−1(5), then ������ = __________ B) − cos−1(0.2) D) None of these Q2. sin−1 0.3 + cos−1 0.3 = __________ Q3. cos−1(−0.2) = __________ A) cos−1(0.2) C) ������ − cos−1 0.2 Q4. tan−1(0.5) + tan−1(1.5) = __________ IN CLASS EXERCISE LEVEL 1 Q1. Prove that 2 tan−1 1 = tan−1 3 34 Q2. Find the set of values of ������ for which tan−1 ������ = sin−1 ������ holds true. √1−������2 Q3. Show that tan−1 1 + tan−1 2 = tan−1 3. 2 11 4 LEVEL 2 Q4. Find the value of cot−1 9 + cosec−1 √41. 4 Q5. Find the maximum value of (sin−1 ������)2 + (cosec−1������)2. Q6. If ∑���2���=������1 sin−1 ������������ = ������������, then find the value of ∑2������=������1 ������������. Q7. Show that tan−1 ������ + tan−1 (1−2������������2) = tan−1 (31���−���−3������������23) for |������| < 1 . √3 Q8. If 0 < ������ < 1, then find the value of sin {tan−1 1−������2 + cos−1 11−+������������22}. 2������ Q9. Solve for ������ if sin−1 ������ = cos−1 ������ + sin−1(3������ − 1). LEVEL 3 Q10. If tan−1 √1+������2−√1−������2 = ������, then find the value of ������2. √1+������2+√1−������2 Q11. Find the set of values of ������, satisfying |sin−1 ������| < |cos−1 ������|. Q12. Find the value of tan−1 1 + tan−1 1 + tan−1 1 + ⋯ + tan−1 1 + ⋯ to ∞ 3 7 13 ������2+������+1
M18 – Inverse Trigonometry 43 HOMEWORK LEVEL 1 Q1. Show that cos−1 12 + sin−1 3 = sin−1 56. 13 5 65 Q2. If tan−1 ������ + 2 cot−1 ������ = 2������, then find the value of ������. 3 LEVEL 2 Q3. If tan(������ + ������) = 33 and ������ = tan−1 3, then find the value of ������ if ������ ∈ (− ������ , ������). 22 Q4. Find the value of sin (2 tan−1 1) + cos(tan−1 2√2). 3 Q5. If sin−1 2������ + sin−1 2������ = 2 tan−1 ������, then solve for ������ (where ������, ������ > 0, |������| < 1 and |������| < 1). 1+������2 1+������2 Q6. If tan−1 ������ > cot−1 ������, then find the interval where ������ belongs. Q7. Let (������, ������) be such that sin−1(������������) + cos−1 ������ + cos−1(������������������) = ������ and ������ + ������ ≥ 0. If ������ = 1 and ������ = 2, then find the 2 curve that (������, ������) lies on. Q8. Find the roots of the equation 17������2 + 17������ tan (2 tan−1 1 − ������) − 10 = 0 54 Q9. If 0 ≤ ������ ≤ 1, then find the value of tan {1 sin−1 2������ + 1 cos−1 11+−������������22}. 1+������2 2 2 Q10. Solution of the equation tan−1(������ − 1) + tan−1 ������ + tan−1(������ + 1) = tan−1 3������ is ������ = __________ LEVEL 3 Q11. Find the value of tan{sin−1(cos(sin−1 ������))} × tan{cos−1(sin(cos−1 ������))}, where ������ ∈ (−1,1) − {0}. Q12. Find the value of 2 tan−1[cosec (tan−1 ������) − tan(cot−1 ������)] if ������ ≠ 0. Q13. If sin−1 (������ − ������2 + ������3 − ⋯ ) + cos−1 (������2 − ������4 + ������6 − ⋯ ) = ������ for 0 < |������| < √2, then find the value of ������. 2 4 2 4 2 Q14. In a ∆������������������, if ������ = tan−1 2 and ������ = tan−1 3, then find C.
M18 – Inverse Trigonometry 44 M18.3 Solution of Triangles (Basic) CONCEPTS 1. Find the solution of any triangle using the concepts of Sine Law, Cosine Law and Projection Formulae 2. Derive the Half Angle Formulae, Hero’s Formulae and Napier’s Analogies and use them to determine the area of a triangle. PRE-READING In any ∆������������������, the side ������������, opposite to the angle ������ is denoted by ������; the sides ������������ and ������������ opposite to the angles ������ and ������ respectively are denoted by ������ and ������ respectively. Semi perimeter of the triangle is denoted by ������, where ������ = ������+������+������ and 2 its area by ∆. We shall discuss various relations between the sides ������, ������, ������ and the angles ������, ������, ������ of ∆ ������������������. 1. Sine Rule: The sides of any triangle are proportional to the sines of the angle opposite to them. This means, that in ∆������������������, we have: ������ = ������ = ������ sin ������ sin ������ sin ������ Proof: In ∆������������������, ������������ is the altitude. Now, in ∆������������������, sin ������ = ������������ (i) ������ In ∆������������������, sin ������ = ������������ (ii) ������ Dividing (i) and (ii) we get, sin ������ = ������ sin ������ ������ ⇒ sin ������ = sin ������ ������ ������ Now, this can be extended to all the three angles as, sin ������ = sin ������ = sin ������ ������ ������ ������ Note: The sine rule is a very useful tool to express sides of a triangle in terms of sines of angles and vice-versa in the following manner: ������ = ������ = ������ = ������ (Let) sin ������ sin ������ sin ������ ⇒ ������ = ������ sin ������ , ������ = ������ sin ������ , ������ = ������ sin ������ 2. Cosine Formulae: Cosine of any angle in a triangle is sum of squares of adjacent sides subtracted by the square of opposite side divided by two times the product of adjacent sides. This means that in any ∆ ������������������: cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ Proof: In ∆������������������, ������������ is the altitude Now, in ∆������������������, cos ������ = ������������ ������������ ⇒ ������������ = ������ cos ������ ⇒ ������������ = ������ − ������ cos ������ Again sin ������ = ������������ ⇒ ������������ = ������ sin ������ ������ Using Pythagoras theorem in ∆������������������, M18.3
M18 – Inverse Trigonometry 45 ������2 = (������ − ������ cos ������)2 + (������ sin ������)2 ⇒ ������2 = ������2 + ������2 cos2 ������ − 2������������ cos ������ + ������2 sin2 ������ ⇒ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ Similarly, cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ Note: The formulae are cyclic in nature. If you remember one, the others can also be written similarly. 3. Projection Formulae: In any ∆������������������, ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������. Proof: In ∆������������������, ������������ is the altitude. In ∆������������������, cos ������ = ������������ ������ ⇒ ������������ = ������ cos ������ (i) In ∆������������������, cos ������ = ������������ (ii) ������ ⇒ ������������ = ������ cos ������ Adding (i) and (ii), ⇒ ������������ + ������������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ⇒ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ Similarly, ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������. Note: The formulae are cyclic in nature. If you remember one, the others can also be written similarly. 4. Half Angle Formulae: In any ∆ ������������������, we have I. sin ������ = √(������−������)(������−������) , sin ������ = √(������−������)(������−������) , sin ������ = √(������−������)(������−������) 2 ������������ 2 ������������ 2 ������������ Proof: We know that 1 − cos ������ = 2 sin2 ������ 2 By cosine rule we get, 1 − (������2+������2−������2) = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ 2������������−������2−������2+������2 = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ ������2−(������2−2������������+������2) = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ ������2−(������−������)2 = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ (������+������−������)(������−������+������) = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ (������+������+������−2������)(������+������+������−2������) = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ (2������−2������)(2������−2������) = 2 sin2 ������ 2������������ 2 ⇒ (������−������)(������−������) = sin2 ������ ������������ 2 ⇒ sin ������ = √(������−������)(������−������) 2 ������������
M18 – Inverse Trigonometry 46 II. cos ������ = √������(������−������) , cos ������ = √������(������−������) , cos ������ = √������(������−������) M18.3 2 ������������ 2 ������������ 2 ������������ (This can be obtained by cos ������ = √1 − sin2 ������) 22 III. tan ������ = √(������−������)(������−������) , tan ������ = √(������−������)(������−������) , tan ������ = √(������−������)(������−������) 2 ������(������−������) 2 ������(������−������) 2 ������(������−������) (This can be obtained by tan ������ = csoins���2���2������) 2 5. Area of a Triangle: If ∆ is the area of triangle ������������������, then I. ∆= 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ 222 Proof: In ∆������������������, ������������ is the altitude Area of triangle ∆= 1 × ������������ × ������������ 2 And ������������ = ������ sin ������ ⇒ ∆= 1 × ������ × ������ sin ������ 2 ⇒ ∆= 1 ������������ sin ������ 2 Similarly, ∆= 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ 222 II. ∆= √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) (Hero’s formula) Proof: As proved earlier ∆= 1 ������������ sin ������ 2 ⇒ ∆= 1 ������������ (2 sin ������ cos ������) 2 22 ⇒ ∆= ������������√(������−������)(������−������) √������(������−������) = √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) ������������ ������������ Hence, the required area of ∆������������������ = √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) 6. Napier’s Analogy: In any ∆ ������������������, tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 Proof: In ∆������������������, by Sine Rule, we have, ������ = ������ = ������ = ������ sin ������ sin ������ sin ������ Consider ������−������ = ������ sin ������−������ sin ������ ������+������ ������ sin ������+������ sin ������ = sin ������−sin ������ = 2 cos������+2 ������ sin������−2 ������ sin ������+sin ������ 2 sin������+2 ������ cos������−2 ������ = cot (������+������) tan (������−������) 22 = cot (������ − ������) tan (������−������) (∵ ������+������+������ = ������) 22 2 22 = tan ������ tan (������−������) 22 ⇒ (������−������) = tan ������ tan (������−������) ⇒ tan (������−������) = (������−������) cot ������ ������+������ 2 2 2 ������+������ 2
M18 – Inverse Trigonometry 47 PRE-READING EXERCISE Q1. In ∆������������������, if ������ = 20������������, ������ = 20√2������������ and ������ = 30°, then ������ = __________ Q2. In ∆������������������, if ������ = 2������������, ������ = 3������������, ������ = 3������������, then ������ = __________ Q3. In ∆������������������, if ������ = 5������������, ������ = 7������������, ������ = 6������������, then ������ = __________ Q4. If ������ = 5������������, ������ = 6������������, ������ = ������ , ������ = ������, then ������ = __________ 43 Q5. If ������ = 5������������, ������ = 8������������, ������ = ������, then area of ∆������������������ = __________ 6 IN CLASS EXERCISE LEVEL 1 Q1. In ∆������������������ ������ = 2, ������ = 3 and sin ������ = 2 , then find ∠������. 3 Q2. In ∆������������������ prove that ������(������ cos ������ − ������ cos ������) = ������2 − ������2. Q3. Prove that area of ∆������������������ is ������(������ − ������) tan ������ = ������(������ − ������) tan ������ = ������(������ − ������) tan ������ 2 22 LEVEL 2 Q4. In ∆������������������, if ∠������ = 45°, ∠������ = 60° and ∠������ = 75°, find the ratio of its sides. Q5. Show that ������−������ cos ������ = cos ������ ������−������ cos ������ cos ������ Q6. In ∆������������������, if ������ = 13, ������ = 14, ������ = 15, find the values of I. cos ������ II. sin ������ III. Area of Δ������������������ 2 Q7. Show that if sin2 ������ + sin2 ������ = sin2 ������, then ∆������������������ is a right angled triangle. Q8. In any ∆������������������, find the value of ������(sin ������ − sin ������) + ������(sin ������ − sin ������) + ������(sin ������ − sin ������) Q9. In ∆������������������ prove that ������(cos ������ − cos ������) = 2(������ − ������) cos2 ������ . 2 Q10. In ∆������������������ prove that (������−������) = tan���2��� − tan���2��� ������ tan���2���+tan���2��� Q11. In ∆������������������, prove that cot ������ + cot ������ + cot ������ = ������+������+������ cot ������ 2 2 2 ������+������−������ 2 LEVEL 3 Q12. In ∆������������������, if ∠������ = 30° and ������: ������ = 2: √3, find ∠������. Q13. In ∆������������������, if ������, ������, ������ are in A.P., then show that cot ������, cot ������, cot ������ are also in A.P. 222 HOMEWORK LEVEL 1 Q1. Find the angles of a triangle with sides: ������ = 2, ������ = 1, ������ = √3
M18 – Inverse Trigonometry 48 Q2. Prove that (������ + ������) cos ������ + (������ + ������) cos ������ + (������ + ������) cos ������ = ������ + ������ + ������ Q3. Show that tan ������ × tan ������ = ������+������−������ 2 2 ������+������+������ LEVEL 2 Q4. Prove that ������−������ = tan(������−2 ������) ������+������ tan(������+2 ������) Q5. Prove that cos ������ + cos ������ + cos ������ = ������2+������2+������2 ������ cos ������+������ cos ������ ������ cos ������+������ cos ������ ������ cos ������+������ cos ������ 2������������������ Q6. Show that sin ������ × sin ������ × sin ������ = ∆2 2 2 2 ������������������������ Q7. In ∆������������������, prove that (������ + ������ − ������) tan ������ = (������ + ������ − ������) tan ������ = (������ + ������ − ������) tan ������ 222 Q8. Show that (������2 − ������2 + ������2) tan ������ = (������2 − ������2 + ������2) tan ������ = (������2 − ������2 + ������2) tan ������ Q9. Find the angles of a triangle in which ������ = (√3 + 1), ������ = (√3 − 1) and ∠������ = 60° Q10. If in ∆������������������, cos ������ = cos ������, then show that ∆������������������ is isosceles in nature. ������ ������ Q11. In a ∆������������������, 2������������ sin ������−������+������ = 2 A) ������2 + ������2 − ������2 B) ������2 + ������2 − ������2 C) ������2 − ������2 − ������2 D) ������2 − ������2 − ������2 Q12. In ∆������������������, prove that cos 2������ − cos 2������ = 1 − 1 ������2 ������2 ������2 ������2 LEVEL 3 Q13. Prove cosine rule using projection formulae. M18.3
M18 – Inverse Trigonometry 49 M18.4 Solution of Triangles (Advanced) CONCEPTS 1. Find the solution of any triangle using the concepts of Sine Law, Cosine Law and Projection Formulae 2. Derive the Half Angle Formulae, Hero’s Formulae and Napier’s Analogies and use them to determine the area of a triangle. 3. Apply the properties of inscribed circle and circumscribed circle in solution of triangles. Note: This topic has one In-Class exercise for Solutions of Triangles, and one In-Class exercise for miscellaneous problems on the entire chapter. PRE-READING In any ∆������������������, the side ������������, opposite to the angle ������ is denoted by ������; the sides ������������ and ������������ opposite to the angles ������ and ������ respectively are denoted by ������ and ������ respectively. Semi perimeter of the triangle is denoted by ������ = ������+������+������ and its area by 2 ∆. We shall discuss various relations between the sides ������, ������, ������ and the angles ������, ������, ������ of ∆ ������������������. Note: The proofs of the following formulae (only 1 to 6) are present in M18.3. 1. Sine Rule: The sides of any triangle are proportional to the sines of the angle opposite to them. This means, that in ∆������������������, we have: ������ = ������ = ������ sin ������ sin ������ sin ������ Note: The sine rule is a very useful tool to express sides of a triangle in terms of sines of angles and vice-versa in the following manner: ������ = ������ = ������ = ������ (Let) sin ������ sin ������ sin ������ ⇒ ������ = ������ sin ������ , ������ = ������ sin ������ , ������ = ������ sin ������ 2. Cosine Formulae: Cosine of any angle in a triangle is sum of squares of adjacent sides subtracted by the square of opposite side divided by two times the product of adjacent sides. This means that in any ∆ ������������������: cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ cos ������ = ������2+������2−������2 2������������ Note: The formulae are cyclic in nature. If you remember one, the others can also be written similarly. 3. Projection Formulae: In any ∆������������������, ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������ ������ = ������ cos ������ + ������ cos ������. Note: The formulae are cyclic in nature. If you remember one, the others can also be written similarly. 4. Half Angle Formulae: In any ∆ ������������������, we have I. sin ������ = √(������−������)(������−������) , sin ������ = √(������−������)(������−������) , sin ������ = √(������−������)(������−������) 2 ������������ 2 ������������ 2 ������������
M18 – Inverse Trigonometry 50 II. cos ������ = √������(������−������) , cos ������ = √������(������−������) , cos ������ = √������(������−������) 2 ������������ 2 ������������ 2 ������������ III. tan ������ = √(������−������(������������)−(������������−) ������) , tan ������ = √(������−������(���������)���−(������������−)������) , tan ������ = √(������−���������(������)���−(������������−) ������) 2 2 2 5. Area of a Triangle: If ∆ is the area of triangle ������������������, then I. ∆= 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ = 1 ������������ sin ������ 222 II. ∆= √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) (Hero’s formula) III. sin ������ = 2∆ = 2 √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) ������������ ������������ sin ������ = 2∆ = 2 √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) ������������ ������������ sin ������ = 2∆ = 2 √������(������ − ������)(������ − ������)(������ − ������) ������������ ������������ Note: This property can be proved by Half Angle Formulae as sin ������ = 2 sin ������ cos ������ 22 Further, from III, we obtain sin ������ = sin ������ = sin ������ = 2∆ ������ ������ ������ ������������������ 6. Napier’s Analogy: In any ∆ ������������������, tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 tan (������−������) = ������−������ cot ������ 2 ������+������ 2 7. Circumcircle of a Triangle: A circle passing through the three vertices of a triangle is called the circumcircle of the triangle. The centre of the circumcircle (denoted by ������) is called the circumcentre of the triangle and it is the point of intersection of the perpendicular bisectors of the sides of the triangle. The radius of the circumcircle is called the circumradius of the triangle and is usually denoted by ������ and is given by the following formula 2������ = ������ = ������ = ������ = ������������������ sin ������ sin ������ sin ������ 2∆ where ∆ is area of triangle. Proof: In ∆������������������, ������������ is the altitude. The circumcircle with centre ������ is drawn ������������ is the diameter. ∠������������������ = ∠������������������ (angle subtended by same arc ������������) ⇒ sin ������ = sin ������ ⇒ ������������ = ������ ������ 2������ ⇒ ������������ = ������������ (∵ ������������ = 2������) 2������ Also, area of ∆������������������ = 1 × ������ × ������������ 2 ⇒ Δ = ������������������ 4������ ⇒ ������ = ������������������ 4Δ Hence, ������ = ������ = ������ = ������������������ = 2������ sin ������ sin ������ sin ������ 2∆ M18.4
M18 – Inverse Trigonometry 51 8. Incircle of a Triangle: The circle which can be inscribed in a triangle so that it touches all its three sides is called the incircle of the triangle. The centre of the incircle is called the incentre of the triangle (denoted by ������) and it is the point of intersection of the internal bisectors of the angles of the triangle. The radius of the incircle is called the inradius of the triangle and is usually denoted by ������ and is given by the following formulae I. ������ = ∆ ������ II. ������ = 4������ sin (������) × sin (������) × sin (������). 222 Proof: In ∆������������������, ������������, ������������ and ������������ are the respective angle bisectors of ������, ������ and ������. An incircle with centre ������ is drawn. The radii are ������������, ������������ & ������������. Let ������������ = ������������ = ������������ = ������ Area (∆������������������) = Area (∆������������������) + area (∆������������������) + area (������������������) = 1 × ������ × ������ + 1 × ������ × ������ + 1 × ������ × ������ (i) 222 = ������ (������+������+������) = ������������ 2 ⇒ ������ = ∆ ������ Now, 2������ = ������������������ ⇒ 4������ = ������������������ (ii) 2∆ ������������ Further, 4������ sin ������ sin ������ sin ������ = 4������√(������−������)(������−������) × √(������−������)(������−������) × √(������−������)(������−������) 2 2 2 ������������ ������������ ������������ (Half Angle Formulae) ⇒ 4������ sin ������ sin ������ sin ������ = ������������������ × (������−������)(������−������)(������−������) (Using (ii)) 2 2 2 ������������ ������������������ ⇒ 4������ sin ������ sin ������ sin ������ = ∆2 (Hero’s Formulae) 2 2 2 ������������2 ⇒ 4������ sin ������ sin ������ sin ������ = ������ (Using (i)) 222 IN CLASS EXERCISE 1 Q1. In a triangle ������������������, angle ������ is greater than angle ������. If the measures of angles ������ and ������ satisfy the equation 3 sin ������ − 4 sin3 ������ − ������ = 0, (where 0 < ������ < 1), then the measure of angle ������ is: A) ������ B) ������ C) 2������ D) 5������ 3 2 3 6 Q2. In a triangle ������������������, ∠������ = ������ and ∠������ = ������. Let ������ divide ������������ internally in the ratio 1: 3, then sin ∠������������������ is equal to: 34 sin ∠������������������ A) 1 B) 1 C) 1 D) √3 √6 3 √3 2 Q3. If in a triangle ������������������, sin ������ , sin ������ , sin ������ are in A.P., then: A) The altitudes are in A.P. B) The altitudes are in H.P. C) The altitudes are in G.P. D) None of these Q4. In a triangle ������������������, let ∠������ = ������. If ������ is the inradius & ������ is the circumradius of the triangle, then 2(������ + ������) is equal to: 2 A) ������ + ������ B) ������ + ������ C) ������ + ������ D) ������ + ������ + ������
M18 – Inverse Trigonometry 52 Q5. Which of the following pieces of data does not uniquely determine an acute-angled triangle ������������������ (������ being the radius of the circumcircle)? A) ������, sin ������, sin ������ B) ������, ������, ������ C) ������, sin ������, ������ D) ������, sin ������, ������ Q6. If the angles of a triangle are in the ratio 4: 1: 1, then the ratio of the longest side to the perimeter is: A) √3: (2 + √3) B) 1: 6 C) 1: (2 + √3) D) 2: 3 Q7. The sides of a triangle are in the ratio 1: √3: 2, then the angles respectively opposite to these sides are in the ratio: A) 1: 1: 1 B) 2: 3: 1 C) 3: 2: 1 D) 1: 2: 3 Q8. In a ∆������������������, which of the following is true? A) (������ + ������) cos ������ = ������ sin (������+������) B) (������ + ������) cos (������−������) = ������ sin ������ 22 22 C) (������ − ������) cos (������−������) = ������ cos (������) D) (������ − ������) cos ������ = ������ sin (������−������) 22 22 IN CLASS EXERCISE 2 Q9. If sin−1 ������ + sin−1 ������ + sin−1 ������ = 3������, then the value of 3000(������ + ������ + ������) − 816 is equal to __________ ������2+������2+������2 2 Q10. Which of the two angles ������ = 2 tan−1(2√2 − 1) and ������ = 3 sin−1 (1) + sin−1 (3) is greater? 35 Q11. Plot the graph of sin−1(sin ������) if ������ ∈ [−������, ������] Q12. If ������ = cot−1 √cos ������ − tan−1 √cos ������ (for ������ ∈ [− ������ , ������]), then sin ������ is equal to: 2 2 A) tan2 (������) B) cot2 (������) C) tan2 ������ D) cot2 ������ 2 2 Q13. If ������ ∈ [1 , 1] then the value of cos−1 ������ + cos−1 (������ + 1 √3 − 3������2) is equal to Q14. 2 22 A) ������ B) ������ C) ������ D) 0 6 3 If ������ > 1 & ������, ������, ������, ������ ∈ (0,1) such that tan−1 ������ + tan−1 ������ + tan−1 ������ + tan−1 ������ = ������ , then ������4 − (������2 ∑ ������������) + ������������������������ is ������ ������ ������ ������ 2 equal to A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 Q15. Find tan ������, if ������ = lim ∑������������=1 tan−1 (2+���2���2������+������4) Q16. ������→∞ Q17. Show that tan−1 ������1 + tan−1 ������2 + ⋯+ tan−1 ������������ = tan−1 (������1−������3+������5−������7+⋯) for suitable values of the domain of ������������ , where ������������ = 1−������2+������4−������6+⋯ Sum of the products of ������1, ������2, … , ������������, taken ������ at a time. Using the above result, solve the following: If ������1, ������2, ������3 are the roots of 64������3 − 56������2 + 14������ − 1 = 0, then find the value of ∑3������=1 tan−1 ������������ For suitable values of ������, ������, ������, let there exist a ������, such that: ������ = tan−1 √������(������+������+������) + tan−1 √������(������+������+������) + tan−1 √������(������+������+������) ������������ ������������ ������������ Then find the value of tan ������. M18.4
M18 – Inverse Trigonometry 53 Test Practice Problems No. of questions: 22 Total time: 66 Minutes Time per question: 3 Minutes Purpose: To practice a mixed bag of questions in a speed based format similar to what you will face in entrance examinations. In most entrance examinations, you will get not more than 3 minutes to attempt a question. Hence, you need to be able to attempt a question in less than 3 minutes, and at the end of 3 minutes skip the question and move to the next one. Approach: Attempt the Test Practice Problems only when you have the stipulated time available at a stretch. Start a timer and attempt the section as a test. DO NOT look at the answer key / solutions after each question. DO NOT guess a question if you do not know it. Competitive examinations have negative marking. Fill the table at the end of the TPP and evaluate the number of attempts, and accuracy of attempts, which will help you evaluate your preparedness level for the chapter. Q1. The domain of √1 + sin−1(������) is A) [−1,1] B) (−1,1) C) [−1, sin(−1)] D) [sin(−1) , 1] D) [0, ������] Q2. The range of |tan−1(������)| is 2 A) [0, ������) B) [������ , ������] C) [− ������ , ������) D) (−1,1) 2 42 22 D) 2 Q3. The domain of |sin−1(√1 − ������2)| is 3 A) [−1,1] B) [0,1] C) [−1,0] D) 3������ + 10 D) ������ − ������ Q4. The value of tan (cos−1 (−2) − ������ ) is D) ������ D) −������ + ������ 72 D) 3 A) 2 B) 2 C) 3 √5 3√5 √5 Q5. sin−1(sin(10)) = A) 10 B) 4������ − 10 C) 3������ − 10 Q6. If ������ ∈ [0, ������), then tan−1(tan(11������ + ������)) = 2 A) ������ B) −������ C) ������ + ������ Q7. The value of tan−1 1 + cos−1 (− 1) + sin−1 (− 1) is 22 A) ������ B) ������ C) 3������ 4 2 4 Q8. If ������ ∈ [������ , 3������], then sin−1(sin ������) equals C) 2������ − ������ 22 A) ������ B) ������ − ������ Q9. If sin−1 ������ + sin−1 ������ + sin−1 ������ = 3������ and ������(1) = 2, ������(������ + ������) = ������(������)������(������) for all ������, ������ ∈ ������. Then, 2 ������ ������(1) + ������ ������(2) + ������������(3) − ( ������+������+������ ) is equal to ������������(1)+������������(2)+������������(3) A) 0 B) 1 C) 2
M18 – Inverse Trigonometry 54 Q10. Range of ������(������) = sin−1 ������ + cot−1 ������ + tan−1 ������ (where |������| ≤ 1) is A) [0, ������] B) [������ , ������] C) [������ , ������] D) [−������, ������] D) ������ ∈ [−1, ∞] 2 4 Q11. If sin−1 (������24+������ 4) + 2 tan−1 (− ������) is independent of ������, then C) ������ ∈ [−1,1] 2 A) ������ ∈ [−3,4] B) ������ ∈ [−2,2] Q12. If cos−1 (1+69������������2) = ������ − 2 tan−1 3������, then, 2 A) ������ ∈ [1 , ∞) B) ������ ∈ [− 1 , 1] C) ������ ∈ (−∞, −1) D) ������ ∈ [0, 1) 3 33 3 Q13. If (������ − 1)(������2 + 1) > 0, then sin (1 tan−1 (1−2������������2) − tan−1 ������) is equal to 2 A) 1 B) 1 C) −1 √2 D) None of these Q14. If sin−1 ������ ∈ (0, ������), then find the value of tan [cos−1(sin(cos−1 ������))+sin−1(cos(sin−1 ������))] 22 A) 1 B) √3 C) tan(sin 1) D) None of these Q15. If tan−1 (������−1) + tan−1 (������+1) = ������, then the value of ������ is ������−2 ������+2 4 A) 1 B) ± 1 C) ± 1 D) ± 1 2 3 √3 √2 Q16. If ∑������������=1 cos−1 ������������ = 0, then find the value of ∑������������=1 ������������ C) 1 D) 0 A) ������ B) ������ − 1 Q17. If ������ ∈ (− 1 , 1 ) and tan−1 2������ + tan−1 3������ = ������, then the value of ������ is √6 √6 4 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 6 3 4 5 Q18. If 0 < ������ < 1, then tan−1 (√1−������2) is equal to B) cos−1 √1+������ 1+������ 2 A) 1 cos−1 ������ D) All the above 2 C) sin−1√1−������ 2 Q19. If sin−1 √������2 + 2������ + 1 + sec−1 √������2 + 2������ + 1 = ������ , ������ ≠ 0, then the value of 2 sec−1 ������ + sin−1 ������ is equal to 2 22 A) − ������ only B) {− 3������ , ������} C) 3������ only D) − 3������ only 2 22 2 2 Q20. If cot−1 ������ > ������ , ������ ∈ ������, then the maximum value of ������ is ������ 6 A) 1 B) 5 C) 9 D) None of these Q21. If log2 ������ ≥ 0, then log 1 {sin−1 2������ + 2 tan−1 ������} is equal to 1+������2 ������ A) log1(4tan−1������) B) 0 D) None of these ������ C) −1 T.P.P.
M18 – Inverse Trigonometry 55 Q22. Total number of integral values of ������ such that the equations cos−1 ������ + (sin−1 ������)2 = ������������2 and (sin−1 ������)2 − 4 cos−1 ������ = ������2 are consistent, is equal to: 16 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 DATA ANALYSIS Guide A # of questions Total problems in TPP B # Attempts Total attempts in OMR C # Correct Total questions correct D # Incorrect Out of the ones marked in OMR E # Unattempted ������ − ������ F Percentage attempts ������ ������ × 100 G Percentage Accuracy ������ ������ × 100 Question type # Correct (C) # Incorrect (I) # Unattempted (U) Easy Medium Hard Tip: To begin with, your accuracy must be high, typically > 60%. Percentage attempts should be > 50% As time progresses, your percentage attempts should increase without a reduction in accuracy. Additionally, you should be able to get > 80% Level 1 questions correct, as they involve basic recall of the concepts and formulae of the chapter.
M18 – Inverse Trigonometry 56 Answer Key M18.1 INTRODUCTION TO INVERSE TRIGONOMETRY PRE-REQUISITE TEST Q2. ������ Q1. A function is invertible if it is one-one and onto. 4 Q2. I. Domain: ������ Q3. ������ − 1 Range: [−1, 1] 79 II. Domain: ������ Range: [−1, 1] Q4. Domain: ������ and Range: ������ Q5. ������ ∈ (−1, −1) − [− 1 , 1 ] III. Domain: ������ − {(2������ + 1) ������} (where ������ ∈ ������) √2 √2 2 Q6. Domain: [1 , ������] and Range [− ������ , ������] Range: ������ ������ 2 2 IN CLASS EXERCISE 2 Q3. I. sin ������ cos ������ + cos ������ sin ������ Q7. 3 II. 2 sin ������ cos ������ III. 4 cos3 ������ − 3 cos ������ √10 IV. cos ������ V. − tan ������ Q8. 0.75 Q4. I. √������ Q9. 3 II. log������ ������ Q10. √5 III. ������ − 1 ������ − ������ Q5. ������������ + (−1)������ ������ 4 6 HOMEWORK PRE-READING EXERCISE LEVEL 1 Q1. [− ������ , ������] Q1. ������ = ������������, ������ ∈ ������. 22 Q2. I. 2������ Q2. ������ 3 3 II. 5������ Q3. ������ 6 4 III. 0 Q3. ������ Q4. 0.4 Q5. ������ 2 6 LEVEL 2 REVISION EXERCISE Q4. 13������ A. 11 B. 17 C. 23 D. 1 E. 2 15 F. 4 G. 2 H. 21 I. 22 J. 5 K. 16 L. 7 M. 6 N. 15,19,24 O. 8 Q5. 1 P. 7 Q. 25 R. 1,4 S. 2,5 T. 1,4 2 IN CLASS EXERCISE 1 Q6. 2 Q1. I. − ������ ������ 6 Q7. 4−������2 < ������ ≤ 1 II. ������ 4 6 Q8. 1 III. 2������ √2 3 Q9. Domain: [sin(−1) , sin(1)] and Range: [− ������ , ������] IV. 3������ 22 4 LEVEL 3 Q10. No values Q11. Proof Q12. Domain: [−1,1) and Range: (−∞, 1] Q13. ������ ∈ (−1,1) Ans.
M18 – Inverse Trigonometry 57 M18.2 PROPERTIES OF INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS PRE-READING EXERCISE Q7. Proof Q4. 14 Q1. 1 Q8. 1 Q9. ������ = 0 15 5 Q5. ������ = ������+������ Q2. ������ 1−������������ 2 Q6. ������ ∈ [1, ∞) Q3. C Q4. tan−1 8 LEVEL 3 Q7. ������2 + ������2 = 1 IN CLASS EXERCISE Q10. sin 2������ Q8. 1, − 10 Q9. LEVEL 1 Q11. [−1, 1 ) Q10. 17 Q1. Proof Q12. 2������ Q2. (−1, 1) √2 1−������2 Q3. Proof ������ 4 ������ = 0, ± 1 LEVEL 2 Q4. ������ 2 4 HOMEWORK LEVEL 3 LEVEL 1 Q5. ������2 Q1. Proof Q11. 1 Q2. √3 Q12. tan−1 ������ 2 Q13. ������ = 1 LEVEL 2 Q14. ������ Q6. 2������ Q3. ������ = tan−1(0.3) 4 M18.3 SOLUTION OF TRIANGLES (BASIC) PRE-READING EXERCISE Q6. I. 33 Q2. Proof Q3. Proof Q1. 45° 65 LEVEL 2 Q2. cos−1 1 II. 1 Q4. Proof 3 √5 Q5. Proof Q6. Proof Q3. 9������������ III. 84 Q7. Proof Q7. Proof Q8. Proof Q4. 5 + 3√2������������ Q8. 0 Q9. ∠������ = 105°, ∠������ = 15°, 2 Q9. Proof Q10. Proof ������ = √6 Q5. 10������������2 Q11. Proof Q10. Proof Q11. B IN CLASS EXERCISE LEVEL 3 Q12. Proof Q12. ∠������ = ������ LEVEL 1 Q1. ������ 2 2 Q13. Proof Q2. Proof HOMEWORK Q3. Proof LEVEL 2 LEVEL 1 LEVEL 3 Q13. Proof Q4. ������: ������: ������ = 2: √6: √3 + 1 Q1. ∠������ = ������ , ∠������ = ������ and ∠������ = ������ Q5. Proof 26 3
M18 – Inverse Trigonometry 58 IN CLASS EXERCISE 1 M18.4 SOLUTION OF TRIANGLES (ADVANCED) Q1. C Q2. A Q11. Q3. B Q4. A Q12. A Q5. D Q13. B Q6. A Q14. B Q7. D Q15. 1 Q8. D Q16. Proof, tan−1 1.1 Q17. 0 IN CLASS EXERCISE 2 Q9. 8728 Q10. ������ > ������ TEST PRACTICE PROBLEMS Q. No. Ans. Mark (C) / (I) / (U) Q. No. Ans. Mark (C) / (I) / (U) as appropriate as appropriate Q1. D Q12. B Q2. A Q13. C Q3. A Q14. A Q4. B Q15. D Q5. C Q16. A Q6. A Q17. A Q7. C Q18. D Q8. B Q19. C Q9. C Q20. B Q10. A Q21. C Q11. B Q22. A Ans.
Search
Read the Text Version
- 1 - 25
Pages: