เซตและสับเซต

เซต 1. เซต (set) 1.1 ความหมายของเซต “เซต” เปน็ คาท่ใี ชแ้ ทนการกลา่ วถงึ ‘กลุม่ ’ ของส่ิงต่างๆ ซงึ่ ถา้ จะเปรยี บเทยี บกับคาทใี่ ช้ใน การพูด การเขียน คือ คาว่า ฝูง หมู่ กลุ่ม คณะ ฯลฯ ในการกลา่ วถึงเซตจะใช้กบั การกล่าวถงึ กลมุ่ ท่ีสามารถบอกได้วา่ ส่งิ ใดเปน็ หรือไมเ่ ปน็ สมาชิก ของเซตทีก่ าหนดให้ เชน่ - เซตของจานวนเตม็ บอกหนงึ่ ถึงสิบ - เซตของพยัญชนะในภาษาไทย 1.2 สญั ลกั ษณท์ ใ่ี ชแ้ ทนเซตและวธิ เี ขยี นเซต โดยท่วั ไปจะใช้ วงเลบ็ ปีกกา { } เป็นสัญลักษณ์แทนเซต เชน่ A = {a, b, c} หมายถงึ A เป็นเซตทีม่ ีสมาชกิ 3 ตวั คอื a, b, c และสญั ลักษณ์ แทนคาวา่ เป็นสมาชกิ ของเซต และ แทนคาวา่ ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต ดงั น้นั จะเหน็ ไดว้ า่ a A, b A, c A และ d A เปน็ ต้น วธิ กี ารเขยี นเซตมี 2 วธิ ี คอื 1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก โดยเขยี นสมาชิกทุกตัวของเซตไวใ้ นเครื่องหมาย วงเลบ็ ปีกกาและใช้เครือ่ งหมายจลุ ภาค ( , ) คนั่ ระหว่างสมาชกิ แตล่ ะตวั เช่น A เป็นเซตของจานวนเตม็ บวกหน่ึงถงึ สบิ เขียนแทนดว้ ย A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B เปน็ สมาชกิ ของพยญั ชนะในภาษาไทย เขียนแทนด้วย B= {ก, ข, ฃ, ค, ฅ, ..., ฮ} www.facebook.com/orendatutor 1 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

2. การเขยี นเซตแบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิกในเซต ใช้วธิ บี รรยายลกั ษณะสมาชกิ ในเซต โดยเขียนตัวแปรแทนสมาชกิ ของเซตไวภ้ ายในวงเลบ็ ปกี กา เช่น A เป็นสมาชิกของจานวนนับ เขียนแทนดว้ ย A = {x| x เป็นจานวนนบั } อ่านวา่ A เปน็ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิก x โดยที่ x เปน็ จานวนนบั B เปน็ เซตของจานวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x2 +3x -4 = 0 เขยี นแทนด้วย B = {x R | x2 +3x – 4 = 0} ขอ้ ตกลง จะใช้สัญลักษณ์ตอ่ ไปนี้แทนเซตตา่ งๆ ดังนี้ I แทน เซตของจานวนเต็ม …,-2,-1, 0, 1, 2,… I+, N แทน เซตของจานวนเตม็ บวก, จานวนนบั 1,2,3,4 I- แทน เซตของจานวนเต็มลบ …,-3,-2,-1 Q แทน เซตของจานวนตรรกยะ 0.5, 10.5 R แทน เซตของจานวนจรงิ R+ แทน เซตของจานวนจริงบวก R- แทน เซตของจานวนจริงลบ C แทนเซตของจานวนเชิงซอ้ น www.facebook.com/orendatutor 2 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

Ex 1.1 จงเขียนเซตตอ่ ไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) A = {x I | } 2) B = {x I | x2-9=0} Sol Ex 1.2 จงเขยี นเซตต่อไปน้แี บบบอกเงือ่ นไข 1) A เปน็ เซตของจานวนจรงิ ทอ่ี ยู่ระหว่าง 2 และ 5 2) B = {2, 4, 6, 8, …} Sol www.facebook.com/orendatutor 3 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

นยิ าม 1.1 เรยี กเซตท่ไี มม่ สี มาชิกวา่ เซตวา่ ง เขยี นแทนด้วย หรือ { } Ex 1.3 ให้ A = {x I- | x > 1} นยิ าม 1.2 เอกภพสมั พัทธ์ หมายถึง เซตท่ีกาหนดข้นึ โดยมขี ้อตกลงวา่ จะไมก่ ลา่ วถึงสิ่งใด นอกเหนือจากสมาชกิ ของเซตทก่ี าหนดขนึ้ น้ี เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ใชส้ ัญลกั ษณ์ U นยิ ามที่ 1.3 เซตจากดั (Finite set) คอื เซตวา่ งหรือเซตทม่ี จี านวนสมาชกิ จากดั และเรยี กเซต ท่ีไมเ่ ปน็ เซตจากดั วา่ เซตอนนั ต์ (Infinite set) Ex 1.4 จงพจิ ารณาว่าเซตต่อไปนีเ้ ป็นเซตจากดั หรอื เซตอนันต์ 1) A = {x I+ | x < 10} 2) B = {x R | x < 10} 3) C = {x | x2 -3x -18 = 0 } Sol www.facebook.com/orendatutor 4 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

1.3 การเทา่ กนั ของเซต นยิ าม 1.4 เซต A และ เซต B จะเทา่ กันกต็ อ่ เม่อื สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต A เปน็ สมาชกิ ของ เซต B และสมาชกิ ทกุ ตัวของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนด้วย A=B และใช้ สญั ลกั ษณ์ A B แทนเซต A ไม่เทา่ กับ B นยิ าม 1.5 เซต A เทียบเท่ากบั เซต B ก็ต่อเม่อื A และ B มีจานวนสมาชกิ เทา่ กัน Ex 1.5 A = {6, -3} B = {x I | x2 -3x -18 = 0} A = B หรือไม่ Sol Ex 1.6 A = {x I+ | x 8} B = {x I|- } A เทยี บเท่า B หรอื ไม่ Sol www.facebook.com/orendatutor 5 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

2. สบั เซต นิยาม 2.1 เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ เซต B เขียนแทนด้วย และใช้สัญลักษณ์ แทนเซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ขอ้ สงั เกต 1. ถ้ามสี มาชิกใน A อย่างนอ้ ย 1 ตวั ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ B A จะไม่เป็นสบั เซตของ B 2. เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตวั เอง นัน่ คอื ถ้า A เปน็ เซตใดๆ แล้ว 3. เซตวา่ งเป็นสับเซตของทุกเซต นน่ั คอื ถ้า A เปน็ เซตใดๆ แลว้ A 4. สาหรับเซต A และ B ใดๆ A=B กต็ ่อเมอ่ื และ 5. เซต A เป็นสบั เซตแทข้ องเซต B ก็ตอ่ เมื่อ และ Ex 2.1 จงหาสบั เซตทั้งหมดของเซต A={1,2,3} Sol นยิ าม 1.2.2 ถ้า A เป็นเซตใดๆ เซตที่มสี มาชกิ เป็นสับเซตทง้ั หมดของเซต A จะเรียกวา่ เพาเวอรเ์ ซตของเซต A เขยี นแทนด้วย P(A) Ex 2.2 จงหาเพาเวอร์เซตของเซต A = {a,b} Sol www.facebook.com/orendatutor 6 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

ขอ้ สงั เกต 1. ถ้า A เป็นเซตจากดั ที่มสี มาชิก n ตวั แล้ว P(A) จะมีสมาชกิ 2n ตัว 2. ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A P(A) 3. ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว P(A) Ex 2.3 ให้ S={2,3} จงหา P(S) และ n(P(S)) Sol Ex 2.4 ให้ A= {1, {1},2} 7 B= {1, 2} C= {{1}, {2}} จงพจิ ารณาว่าตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดถกู ขอ้ ใดผิด 1. A=B 2. B A 3. B C Sol www.facebook.com/orendatutor @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

3. แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ (Vann-Euler diagrams) เพื่อท่ีจะเป็นการง่ายต่อการทาความเข้าใจเก่ียวกับเร่ืองเซต ได้มีนักคณิตศาสตร์ 2 ท่าน คือ จอนเวนน์ กับเลโอนารด์ ออยเลอร์ ไดค้ ัดแผนภาพเพือ่ แสดงเร่ืองราวท่ีเกี่ยวกับเซต ซ่ึงต่อมา เรยี กกนั ส้ันๆ ว่าแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ โดยเขยี นรูปสีเ่ หลย่ี มผืนผ้าแทนเซตเอกภพสัมพัทธ์และ วงกลม วงรี หรือรปู พื้นทจ่ี ากัดแทนเซต ดงั รูป U AB C จากรูป แสดงว่า เซต A, B และ C ต่างก็เปน็ สับเซตของ U และเซต A กับเซต B มสี มาชิก รว่ มกนั อยูบ่ างตวั Ex 3.1 U AB C A= {1,2,3} B= {1,4,5} C= {6,7} www.facebook.com/orendatutor 8 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

4. การดาเนนิ การของเซต 4.1 การยเู นยี น (Union) นยิ าม 1.3.1 ให้เซต A, B เปน็ เซตใดๆ เซต A ยูเนียนกบั เซต B คอื เซตท่ปี ระกอบดว้ ย สมาชิกของเซต A หรอื เซต B เขียนแทนดว้ ย A∪B ดงั นน้ั A∪ B = {x∊U | x∊A หรอื x∊B} Ex 4.1 ให้ A= {1, 2, 3, 4, 5} และ B={4, 5, 6, 7} จงหา A∪B A∪B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ขอ้ สงั เกต 1. สมาชิกทกุ ตัวของ A และสมาชกิ ทกุ ตัวของ B เปน็ สมาชกิ ของ A∪ B 2. สามารถแสดงเซต A ยูเนยี นกบั เซต B โดยใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ไดด้ งั น้ี AB AB A และ B ไมม่ สี มาชกิ รว่ มกนั เลย A และ B มสี มาชกิ รว่ มกนั บางสว่ น www.facebook.com/orendatutor 9 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

คณุ สมบตั ขิ องยเู นย่ี น กาหนด A,B เปน็ เซตใดๆ 1. A∪A=A 2. A∪U=U 3. A∪⏀=A 4. A∪B=B∪A 5. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 6. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 7. A∪ ’=U 8. (A∪ )’ = ’∩ ’ 9. A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C) www.facebook.com/orendatutor 10 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

4.2 การอนิ เตอรเ์ ซกชนั (Intersection) นยิ าม 1.3.2 ให้เซต A,B เปน็ เซตใดๆ เซต A อนิ เตอร์เซกชนั กับเซต B คือเซตท่ี ประกอบดว้ ยสมาชิกซงึ่ เป็นสมาชกิ ของทง้ั เซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A∩B ดงั นนั้ A∩B ={x∊U |x∊A และ x∊B} Ex 4.2 ให้ A= {a, b, c, d} และ B= {1, 2, 3, a, b} จงหา A∩B A∩B={a, b} ขอ้ สงั เกต 1. สมาชกิ ทกุ ตวั ของ A∩B จะตอ้ งเป็นสมาชกิ ของ A และเปน็ สมาชิกของ B ดว้ ย 2. สามารถแสดงเซต A อันเตอรเ์ ซกชนั กับเซต B โดยใช้แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ได้ดังนี้ AB A และ B ไมม่ ีสมาชกิ ร่วมกนั เลย A และ B มีสมาชกิ ร่วมกนั บางสว่ น www.facebook.com/orendatutor 11 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

คณุ สมบตั ขิ องอนิ เตอรเ์ ซก็ ชนั กาหนด A,B เปน็ เซตใดๆ 1. A∩A=A 2. A∩U=A 3. A∩⏀=⏀ 4. A∩B=B∩A 5. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 6. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 7. A∩ ’=⏀ 8. (A∩ )’ = ’∪ ’ 9. A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) 4.3 คอมพลเี มนต์ (Complement) นยิ าม 4.3 สาหรับเซต A ซงึ่ เปน็ สบั เซตของเซตเอกภาพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของเซต A คอื เซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกของ U แต่ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย ’, Ac ดงั นนั้ ’={ ∊U | x A} A={1,2,3} จงหา ’ Ex 4.3 ให้ U= {1,2,3,4,5} ’= {4,5} www.facebook.com/orendatutor 12 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

ขอ้ สงั เกต 1. สามารถแสดง ’ โดยใช้แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ไดด้ ังน้ี AU คณุ สมบตั ขิ องคอมพลเี มนต์ ’ 1. ( ’)’= 2. ⏀’=U 3. U’=⏀ 4. A∪ ’=U 5. A∩ ’=⏀ 6. A B ตอ่ เมือ่ ’ ’ 7. A∩B=⏀ ต่อเม่อื ’ 4.4 ผลตา่ งระหวา่ งเซต (difference) นิยาม 4.4 ให้เซต A,B เปน็ เซตใดๆ ผลตา่ งของ A และ B คือ เซตท่ีประกอบด้วยสมาชิกของ เซต A แตไ่ ม่ได้เปน็ สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A-B ดงั นนั้ A-B={x| x∊A และ x B} www.facebook.com/orendatutor 13 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

Ex 4.4 ให้ A={1,2,3,4,5} B={2,4,5} จงหา A-B และ B-A A-B={1,3} B-A=⏀ ขอ้ สงั เกต 1. A-B=A∩ ’ 2. สามารถแสดงเซต A-B โดยใช้แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ไดด้ งั น้ี Ex 4.5 ถ้า U={ ,2, ,…, } , ={ ,2, ,4} , ={ ,4, ,8, } , C={ , } จงเขียนเซตต่างๆ ตอ่ ไปนี้ 1. (A∪B)∩C เนือ่ งจาก A∪B={1,2,3,4,5,8,10} ดังนน้ั (A∪B)∩C={3,5} 2. A-(B∩C) เนื่องจาก B∩C={3,5} ดงั นน้ั A-(B∩C) ={1,2,4} 3. (A-B)∪C เนื่องจาก A-B={1,2} ดังน้ัน (A-B)∪C={1,2,3,5} www.facebook.com/orendatutor 14 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

คณุ สมบตั ขิ องผลตา่ งระหวา่ งเซต 1. A-A=⏀ 2. A-⏀=A 3. ⏀-A=⏀ 4. A- ’= 5. A-U=⏀ 6. A-B A 7. A-B=A ต่อเมื่อ A∩B=⏀ 8. A-B=⏀ ต่อเมอื่ A B Ex 4.6 จงเขียนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และแรเงาสว่ นท่ีแทนเซตต่างๆ เหลา่ นี้ 1. A∩(B∪C) 2. A∪(B∩C) 2. A-(B∪C) 4. ’∩(B∩C) www.facebook.com/orendatutor 15 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

4.5 คณุ สมบตั ทิ สี่ าคญั บางประการของการกระทาของเซต ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ ท่ีเปน็ สบั เซตของ U 1. ถ้า A B และ B C แลว้ A C 2. ถ้า A,B เปน็ เซตจากดั และ A B แลว้ n(A) n(B) 3. A∪A = A A∩A = A 4. A∩⏀ = ⏀ A∪⏀ = A 5. A∩U = A A∩U = U 6. A∩B = B∩A A∪B = B∪A 7. A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (สลับวงเลบ็ ได้ เมื่อเครือ่ งหมายเหมอื นกัน) 8. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (เครือ่ งหมายไม่เหมอื นกัน เปล่ยี นวงเล็บไม่ได้) 9. (A∪ )’ = ’∩ ’ (union เจอ complement เปน็ intersection) (A∩ )’ = ’∪ ’ (intersection เจอ complement เป็น union) 10. ( ’)’= 11. ⏀’ = U (ไมเ่ อาเซตวา่ ง ก็เลยเป็นเอาทง้ั หมด) 12. A∩ ’ = ⏀ A∪ ’ = U www.facebook.com/orendatutor 16 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com

13. n(A∪B) = n(A) + n(B) เมือ่ A∩B=⏀ 14. n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) 15. n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C) www.facebook.com/orendatutor 17 @orendatutor www.youtube.com/orendatutor www.theorendatutor.com