مجلة الرائد في الدوال اللوغاريتمية مرفقة بالحلول -نسخة 2019-2020

h(x) f '(x) f '(x)  h(x) (x  2)² h(x) 0 2; f x 2  f '(x)  f (x)    (C ) y  x 1 () 3 f limf (x)  (x 1)  0  (C ) () : y  x 1 f x limf (x)  (x 1)  lim 2ln(x  2)  0 x x x  2 () : (C ) f f (x)  (x 1) () : (C ) f f (x)  (x 1)  2ln(x  2) (x  2) x 2; (x  2) 0 ln(x  2) (1;0) () (C ) x  1 ln(x  2)  0 () f x 1 ln(x  2) 0 2; 1 () x 1 ln(x  2) 0 1;  A (C ) f (C ) 4 f (C ) f f'' (C ) f ''(x)  h '(x)(x  2)²  2(x  2)h(x) f (x  2)4 f '(x)  h(x) (x  2)² f ''(x)  h '(x)(x  2)  2h(x)  4ln(x  2)  6 (x  2)3 (x  2)3 x  e3  2 3 ln(x  2)  3 f ''(x)  0 2 x  2  e2 x e3  2 f ''(x) 0 x e3  2 f ''(x) 0 ( e3  2; e3 1  3 ) A (C ) 4 e3 f (C ) f 45 0202

g(x)  g(1) g(x)  g(1) g lim lim 1 III x 1 x 1 x 1 x 1 x g(x) g(x)   (x 1)  x 2 2 ln(x  2)  f (x) x 2;1  g(x)  (x  1)  x 2 2 ln(x  2)  f (x) x 1;   lim g(x)  g(1)  lim  f (x)  1 lim 2 . ln(y 1)  3 x 1 x 1 x  1x 1 yy0 y  1  lim g(x)  g(1)  lim f (x)  1 lim 2 .ln(y 1)  3 x 1 x 1 x  1x 1 yy 0 y  1 3  3 1 g 0 1g (1;0) (C ) g (C ) (C ) 3 fg (C ) (C ) g(x)  f (x) x 2;1 fg g(x)  f (x) x 1; (C )  (C ) gf y (C ...) g 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 123 x -1 () -2 (C ) ‫ــــ‬ f -3 46 0202

0214 31 g 1I g g(x)  xln x  x 0;3 g(3)  3ln3  3 lim x ln x  0 lim g(x)  lim (x ln x  x)  0 x 0 x 0 x 0 x e2 ln x  2 0 g'(x)  (x ln x  x)'  1.ln x  x. 1 1  ln x  2 x x  e2 ln x  2  0 g'(x)  0 g'(x) 0 x e2 ln x  2 0 g'(x) 0 x 2 e2 3 g '(x) 0 0 g(x) g(3) 1,45  1,46 0; 3 g(e2 ) g(x)  2 2  g(x)  2 0;3  g(e2 ) 2 g(3) g(3)  3ln 3  3 g(e2 )  e2 e2 ;3 f g()  2  1,45  1,46 g(1,46)  2,01 g(1,45) 1,99 g(x)  2 g()  2  0 g()  2 x0 3 g g(x)  2 g(x)-2 0 (Cf ) 1 II 0f 0 2f 47 0202

f (x)  x  2 ln x  (x  2)ln x;x  0;2  (x  2) ln x; x  2;3 lim f (x)  f (2)  lim (x  2)ln 2  ln 2  f ' (2) g x 2 (x  2) x 2 (x  2) lim f (x)  f (2)  lim (x  2)ln 2  ln 2  f ' (2) d x 2 (x  2) x 2 (x  2) f ' (2)  f ' (2) 2 f gd f 3 f f (x)  x  2 ln x 0;3 f (3)  ln3 lim ln x   lim f (x)  2 lim ln x   x 0 x 0 x 0 f 2;3 0;2 f '(x)   ln x  x 2   g(x)  2 ;x  0;2   x x  ln x x 2 x g(x)  2 ;x  2;3 x f '(x) 2 I 0;2 g(x) 2;3 g(x) f X0  23 f'(x) 0 f () f (3) f (x)  0 (Ch ) x () 1 III 2 h h(x)  (2  cos x)ln(cos x) 0 ;   2  () lim h(x)   lim h(x)   (Ch ) x 2 x  x  2 2 lim (cos x)  0 0 lim (2  cos x)  1 lim ln(cos x)   x   x  x  2 22 h (Ch ) () 48 0202

h(x)  f (cos x) f x  cos x h x  cos x 1 0;1 y f 0 ;   2  (C ) h 0 1 x 0   2  ; h -1 h -2 h(0)  f (cos0)  f (1)  0 x0  2-3 h(x) 0  1 0213 30 1;  g 1I g g(x)  (x 1)²  2  ln(x 1) 1;  0 g '(x)  2(x 1)  1  2(x 1)² 1 x 1; x 1 x 1 g g'(x) 0 x 1; ln( 1)  2  ( 1)² 0,31  0,32  g(x)  0 g(0,31) 0 g(0,32) g(0,31)  g(0,32)  1;  g* g()  0  ln( 1)  2  ( 1)² ( 1)²  2  ln( 1)  0 g()  0 g(x) 3 x1   g(x)  0 1;  g g(x) 0 g(x)  1 II lim f (x) lim f (x) x  1 f (x)  (x 1)²  2  ln(x 1)2 1;  f lim  ln(x 1)   lim f (x)  lim (x 1)²  2  ln(x 1)2  0     1 1 1 limln(x 1)²   lim f (x)  lim (x 1)²  2  ln(x 1)²       x x x 49 0202

f '(x)  2g(x) x 1; 0 x 1 f '(x)  2(x 1)  22  ln(x 1) 1  2(x 1)²  2  ln(x 1)  2g(x) x 1 x 1 x 1 f3 x 1   f '(x)  2g(x) f '(x) f'(x) 0 x 1 g(x) f (x)   f 4 f ()  ( 1)²1 ( 1)2  f () f () f ()  ( 1)²  2  ln( 1)2 2 I ln( 1)  2  ( 1)² f ()  ( 1)²  ( 1)²2  ( 1)²1 ( 1)² f () f ()  ( 1)²1 ( 1)² 0,31  0,32 1 1,31²  1² 1,32².....(2) 1,31  1 1,32 1 1 1,31² 1  1² 1 1,32².....(3) (2) 1 1,31²1,31² f () 1 1,32²1,32² (3) (2) y f () 11 1; 2 5 (C ) 10 f 9 f (2)  3²  (2  ln(3))²  9, 8 AM  f (x) 1 III 7 M(x;h(x)) A (1;2) 6 AM  (x 1)2  (2  ln(x 1)2  f (x) 5 1;  4 k(x)  f (x) k 3 1; fk 0 2 1;  k 1 k k(x)  f (x) -4 -3 -2 -1 0 123456 x k '(x)  f '(x) 1;  2 f (x) 52 0202

f '(x) k '(x) k '(x)  f '(x) 2 f (x) 1;  fk AM () B AM  f (x)  k(x) k()  ln( 1) ; k 1; AM  k ln( 1) k (;ln( 1)) B AB  ( 1) ( 1)² 1 AM  (x 1)2  (2  ln(x 1)2 MB AB  ( 1)2  (2  ln( 1)2  ( 1)²1 ( 1)²  ( 1) 1 ( 1)² 0 0213 33 g 1 g(x)  (x 1)ex g limg(x)  lim xex   limg(x)  lim xex  0 x x x x f x f '(x)  (x 1)ex '  1.ex  (x 1).ex  xex x  0  f'(x) 0  f(x) 0 -1 1 (x 1)ex  0 x  0 g 1 g(x)  1 1 (x 1)ex  0 g(x) 1  0 0;  f 1 II 51 0202

f (x)  ex 1;x 0 0;  f x 0;  f 0 0;  f (0)  1 lim 1  0 f xx 0;  f x0 f '(x) lim f (x)  f (0)  1 0 f x 0 lim f (x)  lim ex 1  1 x 0 xx 0 lim f (x) x lim ex   lim f (x)  lim ex  1  lim ex   xx x xx x xx f '(x)  1 (x 1)ex x 0; 0 x² f '(x)  ex (x) 1(ex 1)  1  ex (x 1) x² x² f 1 (x 1)ex  0 2I  f f '(x)  0 f (x)  1 0;  f 1 III n f (x)  ex 1  n ln x 0; f n nx  n ln x '  n  1  f '(x)  1  ex (x 1)  n  x  n x² x 1  ex (x 1)  0 n 0 f f '(x)  0 x² x limf (x) lim f (x) 0 x n 0 n lim n ln x   lim ex 1  1 lim f (x)  lim ex 1  n ln x    0 x 0 0 n x0 lim n ln x   lim ex 1   lim f (x)  ex 1  n ln x   lim x xx x n xx 50 0202

 C C  3 n 1 n 4 fn1(x)  fn (x)  Cn1 C  5 n f n1 ( x )  f (x)  ex 1  (n  1) ln x  ex 1  n ln x  ln x n x x ln x ln x x 0 1  0 C   Cn1 C   Cn1 n n C   Cn1 n B nB C   Cn1 B(1;e 1) 3 n  0,3 ;0,4 f ( )  0 1 11 f ( )  0  0,3;0,4 11 1 f ff 1 f (0,3)  f (0,4) 0 f (0,4)  0,31 f (0,3)  0,03 11 11 f ( )  0  0,3 ;0,4 1 1 fn (1)  0 n  1 n fn (1)  0 n  1 n x 0;1 f n 1 (x)  f (x) 3 n n 1 n f (x)  f (x) n1 f ( )  0  ;1  nn 1 n f ( )  0   ;1 nn n1 1 III f n f ( )  f (1) 0 f (1)  e 1 0 f ( ) 0 n1 n n n1 f ( )  0   ;1 nn n1 0;1 ex 1  e 1 0;1 x 6 x f f (x)  f (1) ex 1  e 1 11 x 53 0202

0210 34 ba 1 g '(1)  4 4 A(1; 1) g g(1)  1 a  2 g(1) 1²  a  bln(1) 1 a  1 b2 g '(1)  2  b  4 g '(x)  2x  b 1 x g 0;  g(x)  x²  2  2ln(x) lim ln x   lim g(x)  lim x²  2  lim ln x  2     x 0 x 0 x 0 x 0 limg(x)  limx²  2  limln x       limln x   x x x x g '(x)  2x  2 0;  f x g 0;  x g'(x) 0 x 0  g g'(x) g(x)  0 g(x)  g limg(x)   lim g(x)   x x 0  0;  0; g()  0 0; g(x) x 0; g(x) 0 g(0;)  ;0 x ; g(x) 0 g(;)  0; lim f (x) lim f (x) 1 II x x 0 f (x)  x  2  2ln(x) 0; f x lim ln(x)   lim f (x)  lim x  2  2ln(x)  2  lim 2ln(x)   xx 0 x xx 0 x 0 x 0 lim ln(x)  0 lim f (x)  lim x  2  2ln(x)   xx x x x 54 0202

f '(x)  g(x) f '(x) x²  1 .x  1.ln x  x ²  2 1  ln x  g(x)  x  f '(x)  1  2   x² x² x² f f '(x) X0   f '(x)  g(x) f '(x) f'(x) 0 x² f (x)   g(x) f f () () (C ) (C ) yx2 () 2 f f limf (x)  (x  2)  0 (C ) y  x  2 () f x lim ln(x)  0 lim f (x)  (x  2)  lim 2ln(x)  0 xx x x x f (x)  (x  2)  2 ln x () (C ) f x x0 1  () 0 (C ) (C ) () f f () (C ) f (T) () (T) (C ) f f '(x )  1 1 (T) () (T) (C ) 0 f x e 2  2ln(x )  0 g(x )  x2 g(x ) 1 f '(x )  1 0 0 00 0 0 x² 0 55 0202

y  x 2 2 y  f '(e)(x  e)  f (e) (T) e f xx f(x)  0 f 21 f (0,6)  f(0,7) 0 0; f (x )  0 0,7 0,6 α 1 f (2,7)f(2,8) 0 ; f(x )  0 2,7 2,8 β 2 y (C ) (T) () f 4 (C ) f () 3 2 (T) 1 0 123456 x -1 -2 (m  2)x  2ln(x)  0...(1) 3 y  x  m x  m  f (x) m  2  2ln(x) 1 y  f (x) x (C ) y  x  m f 1 m  2  2 2 1 m 2  2 1 e e 1 m  2 4 1 2  2 m 2 3 e 56 0202

0211 35 ba 1 f '(1)  0 1  2 (C ) A( ;1) f (1)  1 f2 2 b .4x²  8x(a  b ln(2x) b  2(a  bln(2x) f (x)  a  bln(2x) x 4x3 4x² f '(x)  4x²²  a 1 f (1)  a  1 f (1)  1 21 2 b  2 b  2a b  2a  0 f '(1)  0 2 lim g(x) lim g(x) 0 x 0 x g(x)  1 2ln(2x) 0; g 4x² lim ln(2x)  0 limg(x)  lim 1  lim 2ln(2x)  0 x (2x)² 4x² (2x)²x x x lim 4x²  0 lim 1 2ln(2x)   lim g(x)  lim 1 2ln(2x)   x 0 x 0 x 0 x 0 (2x)² g g '(x) 2 .4x²  8x(1 2 ln(2x )) 8x(1  1  2 ln(2x ))  ln(2x) x g '(x)    (4x²)² 16x 4 x3  ln(2x)) g '(x) 57 0202

x1 g'(x)  0 x  1 g'(x)  0 x  1 g'(x)  0 2 2 2 x0 1 g f'(x) 2  f (x) 0 g(x)  0 0;  f(1) 2 (1 2ln(2x))  0 g(x)  0  x 1 ln(2x)   1 0 2e 2 y (C ) 1 f (C ) x 1 f 2e 0 1 2 3x -1 0212 36 x1  x g g'(x) g(x) g(x)  2x  ln x 1;  g 2 limln x   limg(x)  lim2x  limln x   x x x x g  g'(x) 0 g '(x)  2  1 x 1;  g  g 58 0202

g(x)  0 x 1; g(x)  2 2; g 1; g g(x)  0 x 1; 6ln x 0 f (x)  x 2  ln x x 6ln x 6ln x f (x)  x  x  6ln x . x  6ln x 2  ln x 2x  ln x x 2x  ln x 2x  ln x xx lim f (x) x lim ln x  0 lim f (x)  0  0 f (x) xx x 20 ff 6 (2x  ln x)  (2  1 )(6ln x) 12  6ln x  12ln x  6ln x 12(1 ln x) x x x x x f '(x)    (2x  ln x)² (2x  ln x)² x(2  ln x)² x1 e  f '(x) f'(x) 0 f (x) 1 ln x f (e) 0 f '(x) 0 x  e f '(x)  0 0 x e f '(x) 0 x e 1;  f f (x)  k k x 1; 0 f (x) f (e) f 59 0202

f (e)  6 k   0; 6  0 k f (e) 2e 1  2e  1 ( ) 1 (C ) ( ) 1 f1 3 y  3x  3 y  3(x 1) y  f '(1)(x 1)  f (1) h h h(x)  f (ex ) 1; h(1)  f (e)  6 limf (x)  0 limex   limh(x)  limf (ex )  0 2e  1 x x x x h '(x)  exf '(ex )  12(1 x) (2ex  x)² x1  1; (1 x) 0 h '(x) 0 h'(x) 0 1;  h h(x) h(1) 0 y 6 y  0(x 1)  (C ) ( ) ( ) 2e 1 h2 2 y y  h '(1)(x 1)  h(1) (C ) (C ) ( ) ( ) 3 h f 21 ( ) 1 ( ) 2 (C ) 2 1 f -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x -1 -2 (C ) h 62 0202

0219 77 1 x  2xln x  0 0  x 1 1 x  2xln x  0 x 1 1 1 x  2xln x  0 1 x  0 2xln x  0 ln x  0 x 1 1 x  2xln x  0 1 x  0 2xln x  0 ln x  0 0  x 1 2 f0 lim x ln x  0 lim f (x)  f (0)  lim f (x)  lim (1 x ln x)  1  fd '(0) x  0 x x 0 x 0 x 0 x 0 (Cf ) () y  f ' (0)(x  0)  f(0)  x O (Cf ) d (Cf ) () ln x f (x)  x  x²ln x () (Cf ) ln x  0 0  x 1 () (Cf ) ln x  0 x 1 (1;1) () (Cf ) ln x  0 x 1 (0;0) () (Cf ) x²  0 x  0 lim f (x) x lim f (x)  lim x(1 x ln x)   x x f f '(x) 1 2x ln x  x 0;  f f1 1;  f 1 x  2xln x  0 x 1 0;1 f 1 x  2xln x  0 0  x 1 1  x0 f '(x) 0 1 f (x) 0  y  f '(a)(x  a)  f(a) () (Cf ) (T) 4 () (Cf ) (T) 121 0202

a 1 () f '(a)  1 a 1 a  0 2ln a 1  0 a(2ln a 1)  0 f '(a)  1 e yx 1 y  f 1 )(x  1 )  1 ) 2e '(e 2 e2 f(e 2 1,76  1,77  1; f (x)  0 0;1 limf (x)   f (1)  1 1; f x f ()  0  1,76  1,77 f (1,77)  0,01 f (1,76)  0,9 f (1,76).f (1,77) 0 (;0) () (d) (;0) () (d) y  x   y 1(x  )  f() (Cf ) () (d) (T) y (d) 1 (Cf ) () 0 12 x (T) 0; 5 -1 x²ln x  m  0 y  x  m f (x)  x  m x  x²ln x  x  m x²ln x  m  0 y  f (x) (Cf ) m 0;  yxm 0m 1 0m 1 2 2e m 1 3 2e m 1 4 2e 120 0202

0218 78 2f1 lim f (x)  f (0) 1 0f x 0 lim ln x   lim f (x)  lim  x 1 1  1 lim 1 1  ln x  ln x x 0 x 0 x 0 x 0 lim f (h)  f (0) h 0 h lim ln h   lim f (h)  f (0)  lim h 1 1 1 lim 1   h 0 h 0 ln h   h 0 ln h h 0 h h (Cf ) lim f (h)  f (0)   h 0 h . lim f (x) lim f (x) lim f (x) 2 x 1 x 1 x lim x   lim ln x   lim f (x)  lim (x)  lim 1   x x x x x ln x lim ln x  0 lim f (x)  2  lim 1   x 1 x 1 ln x x 1 lim ln x  0 lim f (x)  2  lim 1   x 1 x 1 ln x x 1 f f '(x)  1 1 0;1 1; f f x(ln x)  f 1 x0 f '(x) f (x)   1  (Cf ) () f (x)  x 1 1 ; 7 lim f (x)  (x 1)   lim 1  0 ln x x x ln x (Cf ) (Cf ) y  x 1 () (Cf ) f (x)  (x 1) () () 127 0202

ln x f (x)  (x 1)  1 ln x () (Cf ) ln x  0 x 0;1 () (Cf )  ln x  0 x 1;  1,49   1,5  (Cf ) 4  (Cf ) f(x)  0  1,49   1,5 1;  f (1,49)  0,01 f(1,5)  0,03 f (1,49).f(1,5)  0  f(x)  0  (Cf ) 1,49   1,5 f()  0 y  (  3  1 )(x  )  (Cf )  y  f '()(x  )  f()  (Cf ) f '()  1 1  1 ( 1)²    3  1 (ln )²   y  (  3  1 )(x  )  5  6 (Cf ) () h(x) 1; h h(x) 1 x  x ln x 1;  h h '(x)  1 ln x  x. 1  ln x 1; x x 1;  1;  h '(x)  0 h x h1 1;  h(1)  0 lim h(x)  lim x( 1 1 ln x)   2 x xx 1;  x h(x)  0 21 f(x)  x  1  h(x) x 1 x 1 x ln x x ln x f (x)  x  1 1 1  1  xln x  x 1  h(x) xln x ln x xln x xln x xln x 124 0202

x  1  f(x)  x 1 x 1 x ln x f(x)  x  1 f(x)  x 1 x  1  f(x)  x 1 x 1 x ln x x ln x f(x)  x 1 x 1 f (x)  (x 1)   1  0 ln x f(x)  x  1 x 1 f(x)  x  1  h(x)  0 x ln x x ln x x ln x 1 (e²  ²)  ln( 1)  A  1 (e  )(e    2) 7 22 x  1  f(x)  x 1 x 1 x ln x e ( x  x 1 x )dx  e f (x)dx e ( x  1)dx ln       1 x)e e (x  x 1 x )dx  e (x  x )dx  1 x²  ln(ln  1 e²  1 ²  ln(ln )  1 (e²  ²)  ln( 1) ln ln x  2 2 2 2     e  1)dx  1 x²  x e  1 e²  e  1 ²    1 (e  )(e    2)  2  2 2 2  (x  1 (e²  ²)  ln( 1)  A  1 (e  )(e    2) 22 y 5 () 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x -1 (Cf ) -2 -3 125 0202

0217 79 g 1I x 0; g'(x) 0 g '(x)   1  1 x² x 0;  0 1,76;1,77  g g(1,77)  0,006 g(1,76)  0,0029 0; g(x)  0 g 1,76  1,77 g()  0  0; g(x) g(x) 0 x ; g(x) x 0; g(x) 0 f 1 II 2 f (x)  x 1 ;x 0 0;  f  x  ln x f (0)  0 lim f (x)  f(0)  0 0 f x 0 lim ln x   lim f (x)  lim x 1   lim 1  0 x 0 x 0 x  ln x ln xx 0 x 0 f (x) lim xx 0 lim x ln x  0 lim f (x)  lim x 1  1 xx 0 x 0 x²  x ln x x 0 lim f (x)  f(0)  1  f '(0) f (x) x  0x 0 lim xx 0 O1 (Cf ) 0 f f '(x)  g(x) 0; x 2 (x  ln x)² (x  ln x)  (1 1)(x 1) ln x  1 g(x) f (x)  x 1 x x x  ln x f '(x)  x(x  ln x)² (x  ln x)² (x  ln x)² limf (x) 3 x 126 0202

limf (x)  lim 1  lim ln x  0 limf (x)  lim x 1  lim x(1 1 ) 1 x x xx x x x  ln x x x(1  ln x ) x x x f f g(x) f '(x) 0  x 0  f '(x) f (x) f () 1 0 4 h(x) 0 x h h(x)  x  ln x 0;  x 1; h '(x) h '(x)  x 1 x 0; x  1 h '(x)  0 h(1)  1 h(x) 0 x 0 x 0;1 h '(x) 0 h(x) 1 x 0; y 1 (Cf ) f (x) 1 y 1 (Cf ) f (x) 1  x 1 1  1 ln x  1 ln x x  ln x x  ln x h(x) h(x) 0 1 ln x x 0 e1  1 ln x 0 (T) (Cf ) (T) (Cf ) (T) (Cf ) (Cf ) y 3 (Cf ) 2 1 y 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 127 0202

0217 42 g(x) g I g g(x)  x  2  ln x 0;  g g '(x) x 1 g '(x)  1 1  x 1 xx x  1 g'(x)  0 .0;1 g x 0;1 g'(x) 0 1;  x 1; g'(x) 0 g g(x)  3 g(1)  3 0; x 0; x g(x) f '(x)  g(x²) x 1 II 2x² f (x)  1  x  e  ln(x²)  * f 2  x  f '(x)  1 (1  2x 1ln(x²)   1  x²  2  ln(x²)   g(x²) 2 x ) 2  x²  2x² x² f g(x²) f '(x) f '(x)  g(x²) g(x) 2x² g(x²) 0 g(x²) 0 f f (x)  f (x) x 2 f (x)  f (x)  1  x  e  ln(x²)    x  e  ln(x²)   e 2  x   x  f (2(0)  x)  f (x)  2(1 e) f (x)  f (x)  e 2 (0; 1 e) (Cf ) 2 limf (x) lim f (x) limf (x) lim f (x) x x 0 x x 0 128 0202

lim   ln(x ²)    lim f (x)  1 lim  x  e  ln(x²)     x  2  x  x 0 x 0 x 0 limx  e   lim   ln(x ²)   0 lim f (x)  1 lim  x  e  ln(x²)     x  2  x  x x x x f (x)  e  f (x) f (x)  f (x)  e limf (x)  e  limf (x)   lim f (x)  e  lim f (x)   x x x 0 x 0 f x  0  f '(x) f (x)     .(C ) y1x e () 3 f 22 lim f (x)  ( 1 x  2e )  0 y1x e () 2 22 x lim   ln(x ²)   0 lim f (x)  ( 1 x  2e )  1 lim   ln(x²)   0  x  2 2  x  x x x () (C ) f f (x)  y   1 ln(x²) () (C ) 2x f 11 () (C ) x 1;1 x² 1  ln(x²)  0 f x x  1 0 1  00  ln(x ²) x 00 () (C ) x 1;0  1;  ln(x²) 0 f x 0 4 () (C ) x ;1  0;1  ln(x²) f x 1 (Cf ) 2 129 0202

f '(x 0 )   1 2 x0  e x0  e ln x02  2 g( x 2 )  x 2 g(x²)   1 f '( x 0 )   1 0 0 2x² 2 2 e (T1 ) (T1 ) y   1 (x  e)  f (e)   1 x  1 e  1 (T1 ) 2 2 2e e (T2 ) (T2 ) y   1 (x  e)  f (e)   1 x  1 e  1 (T2 ) 2 2 2e  (Cf ) limf (x)   lim f (x)   ;0 f x x 0  f (0,4) f (0,5) 0 0,5  0,4 f ()  0 limf (x)   lim f (x)   0; f x x 0 f (2) f (2,1) 0  2  2,1 f ()  0 (Cf ) () 5 y (T2 ) 3 (T1) 2 (Cf ) 1 -4 -3 -2 -1 0 1234x () -1 -2 x(e  2m)  ln(x²) m 6 112 0202

 1 x  m  f (x) m  1 (e  ln(x²)) x(e  2m)  ln(x²) 2 2x  1 x  m  f (x) y   1 x  m....(1) 2 2 y  f (x)......(2) (C ) y   1 x  m f2 (m ) m 1e1 m 1e1 2e 2e 0216 41 g 1I g g '(x) 0;  g '(x)  (1 x²)' (2ln x)'  2x  2 x g x 0 g'(x) 0 0,52  0,53  g(x)  0 0 g(0,53)  0.011 g(0,52)  0.037 0; g g()  0  0; g(x) 7 g(x) g(x) 0 x ; g(x) 0 x 0; limf (x) lim f (x) 1 II x x 0 f (x)  x  3  2ln x 0; f x lim 1   lim 2ln(x)   lim f (x)   xx 0 x 0 x 0 lim x   lim ln(x)  0 limf (x)   xx x x f '(x)   g(x) 0; 0 x² 111 0202

(3  2ln x)' 2 .x 1(3  2ln x) x² 1 2ln x) g(x) x f '(x)  (x) '  1     x x² x² x² f g(x) f '(x) f '(x)   g(x) x² x 0  f '(x) 0  f () f (x)   f () f ()  2( 1  )  2ln()  1 ² g()  0 f ()    3  2ln()  f ()    3 1 ²    2    2( 1  )   1.88 1 1.92.....(2) 0,52  0,53...(1)  2,71 f () 2,80....(3) 1,39 1   1,40....(3) (2) (1)  7 limf (x)  x x lim 3  0 lim ln(x)  0  lim  3  ln x  xx xx  x x  x f (x)  x  lim 2  0 x  (Cf ) y  x limf (x)  x  limf (x)  (x)  0 x x () : y  x (Cf ) f (x)  (x)  3  2ln x () (Cf ) x x0  1 3  2ln x  0 f (x)  (x)  0 ee 3  2ln x x0 x  0 0 () (Cf ) () (Cf ) () (Cf ) 110 0202

() (Cf ) (T) f '(a)  1 () (T) () (T) a 1 g(a)  a²  g(a)  1 f '(a)  1 e a² f( 1 ) 1 2 e y  x  2 e y  1(x  1 )  f ( 1 ) (T) ee ee x1 x0 (Cf ) 4 f (0,22)  f(0,23) 0 0; f f (x0)  0 0,23 0,22 x0 f f (2,11)  f(2,13) y 0 ; f (x1)  0 () 3 2,11 2,11 x1 2 (C ) (T) () 1 f -2 -1 0 12345 6 7 8 9x -1 -2 3  2ln x  mx  0 (T) -3 x  m  f (x) (C) -4 (Cf ) -5 5 y  x  m 3  2ln x  mx  0...(1) y  f (x) y  x  m m  3  2ln x (1) x (1) (1) 0  m  2 e 2 (1) m  0 1 (1) m 2 e 4 (1) m  2 e 3 117 0202

0215 40 2f 1I f (0)  1 0; f (x)  1 x² ln(x) lim f (x)  f (0)  1 0 f x 0 lim x² ln x  0 lim f (x)  lim (1 x² ln x)  1 x 0 x 0 x 0 0f lim f (x) 1 0 x 0 x lim f (x) 1  lim x² ln x   lim x ln x  0 x 0 x x 0 x x 0 lim f (x)  f (0)  f '(0)  0 lim f (x) 1  0 x  0x 0 x 0 x 0 f(C ) 0 f limf (x) 0 x limf (x)  lim(1 x² ln x)   x x f0 0;  f (x)  1 x² ln(x) x1 f '(x)  2x ln x². 1  x(1  2ln x) 2e x x  0 x(1 2ln x)  0 f '(x)  0 1 x   1 ;  x(1 2ln x) 0 f '(x) 0  e x  0; 1 x(1 2ln x) 0 f '(x) 0 e  f x0 x  f '(x) 2 0 f (x ) 2 f (x)  1 0;   f(x)  0 7 114 0202

limf (x)   f(x )  1,183 x ; f 2 2 x  f(x)  0  f ()  0 1,531  1,532 1,531  1,532 f (1,532)  f (1,531)  0,00012 g4 g(x)  f ( x ) g g(x)  f ( x )  f ( x )  g(x) x  x  (C )  (C )  2; 2 g gf g(x)  f (x) (C ) (C ) (C ) g(x)  f (x) g f g y x 0;2 x 2;0 1 (C ) g -2 -1 0 1 2x -1 0214 47 1 f f f (x)  (1 2ln x)(1 ln x) 0; lim (ln x)   lim f (x)   lim(ln x)   limf (x)   x 0 x x 0 x f f '(x)  ( 2)(1 ln x)  ( 1)(1 2ln x)  1 (1 4ln x) x xx 115 0202

x 0 1  1 4ln x f '(x) f '(x)  e4 1 f (x) 0 x  e4 f '(x)  0 9  4 1 f '(x) 0 x e4 1 f '(x) 0 0 x e4  y  f '(e)(x  e)  f (e) y  f '(a)(x  a)  f (a) (T) y 3x3 y  3 (x  e)  0 ee e C  C  f f f (x)  0 (1 ln x)  0 (1 2ln x)  0 (1 2ln x)(1 ln x)  0 f (x)  0 xe (1 ln x)  0 x  1 (1 2ln x)  0 ( 1 ;0) (e;0) e e C  f g2 g(x)  1 ln x 0; g lim g(x)  lim (1 ln x)   limg(x)  lim(1 ln x)   x 0 x 0 x x x 0  f g '(x)  g'(x) 0 g '(x)   1 g(x)  x g 116 0202

0 ; e²  C  C   C  C  g f g f f (x)  g(x) C  C  gf f (x)  g(x)  (1 2ln x)(1 ln x)  (1 ln x)  2(1 ln x)(1 ln x) x1 xe (1 ln x)(1 ln x)  0 f (x)  g(x)  0 e C  C  e  x0 gf (1 ln x) 1 e 0 (1 ln x) 0 0 C  C  C  C  C  C  gf gf gf x1 xe C  C  e g f y 0 ; e²  C  C  g f 4 (C ) f 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 (7C ) x -1 g 117 0202

0217 44 u 1I u(x)  ex  3x  4  e 0;  u u'(x)  ex  3 0 x ln3 u'(x) 0 x ln3 u'(x) 0 ex  ln3 u'(x)  0 0;ln 3 ln 3; u ex  e 3x  4 x 0; u(ln3)  7  3ln3  e ex  3x  4  e 0 u ex  e 3x  4 u(x) 0 x 0; v'(1)  0 2 v(x)  3x3  4x² 1 ln x 0; v v '(1)  0 v'(x)  9x2  8x  1  9x3  8x² 1 xx v(x)  0 x 0; v '(1)  0 9x3  8x² 1  (x 1)(9x²  8x 1) v '(x) v '(x) x 0; (9x²  8x 1) 0 (x 1) x 1 v'(x) 0 x 1 v'(x) 0 v(x)  0 v(1)  0 v 1 ln x  3x  4 x 0; x² 1 ln x  3x  4 3x3  4x² 1 ln x  0 v(x)  0 I2 x² ex  e  1 ln x  0 x0; 3 x² 1 ln x  3x  4...(2) 1 ln x  3x  4 ex  e 3x  4...(1) x² x² 118 0202

ex  e  1 ln x  0 21 x² lim f (x) lim f (x) 1 II x x 0 f (x)  ex  ex  ln x 0; f x lim ln x   lim f (x)  lim ex 1 lim f (x)  lim ex  ex  ln x   xx 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 lim ln x  0 lim ex   lim f (x)  lim ex  ex  ln x  lim ex  e  ln x)   x( x ²x  xx x x x xx x² 0;  f2 y 3 2 1 .x  ln x 1 ln x x f '(x)  ex e  ex e  1 x² x² -1 0 1 2 3x I3 f '(x)  0 -1 0; 2, 5 (C ) f (1) 3 f -2 (C ) f (1)  0 f A(1;0) -3 0210 45 g 1I g(x)  2ln(x 1)  x 1; 3 g x 1 lim (x 1)ln(x 1)  0 lim g(x)  lim 2(x 1)ln(x 1)  x  lim x   (x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x -1 1 3 g'(x)  2  1  2x 1 2 g(3) x 1 (x 1)² (x 1)² g '(x) 0 g(x)  x  1 2x 1  0 g'(x)  0 g( 1) 2 2 2x 1 g '(x) g 119 0202

0,8  0,7  g(x)  0 2 g(0,8)  g(0,7) 0  1;  1  g  2  g()  0 0,8  0,7  g(0)  0 g(x)  0 x g(x) 3 g(x) g(x) 0 x ;0 g(x) 0 x 1;  0;3 g '(x) g(x) h '(x) 4 h h(x)  g(x)² 1; 3 gh h '(x) h '(x)  2g(x).g'(x) h h '(x) x -1  1 0 3 h '(x)  2g(x).g'(x) g(x) 2 0 h '(x) 0 g'(x) 0 g(x).g '(x) h '(x) 00 0 lim h(x)  lim g(x)²   x 1 x 1 h x -1  1 0 3 2 0 h '(x) 00  h(x) h( 1) h(3) 2 h() h(0) 102 0202

0 (C ) Tf 0 f 1 II f (x)  x² ;x  0 1; 3 f  ln(x  1) f (0)  0 L lim f (x)  f (0)  L 0 f x 0 x  0 lim ln(x 1)  1 f (x)  f (0)  x  lim 1 1 x lim lim ln(x 1) x 0 x 0 x  0 x 0 ln(x 1) x 0 x y  f '(0)(x  0)  f (0) 0 (C ) T f yx T f (0)  0 f '(0)  1 f f '(x)  xg(x) ² x 1;0  0;3 2 ln(x 1) 2x.ln(x 1)  x² x(2 ln(x  1)  x ) xg(x) x 1 x  1 f '(x)   ln(x  ln(x 1)² ln(x 1)² 1)² xg(x) f '(x) f '(x)  xg(x) ² ln(x 1) x -1  0 3 g(x) 0 0 + 1; f x 0+ f () ;3 f '(x) - f ()  2( 1) f ()  ²  2²( 1)  2( 1) ln( 1)   g()  0 ln( 1)  2( 1) 0,2  1 0,3 0,8  0,7 101 0202

0,2 0,7 ( 1) 0,3 0,8 0,48 f () 0,28 2.0,3 0,8 2( 1) 2.0,2 0,7 f lim f (x) f (3) x  1 lim ln(x 1)   lim f (x)  lim x²  0 f (3)  9 x 1 x 1 ln(x  1) ln 4 x 1 f x -1  03 f '(x) 0 0 0 f (x) f () f (3) 0 x  ln(x 1)  0 x 1; 3 3 h(x)  0 x 1; 3 h(x)  x  ln(x 1) 0h x h '(x)  x x 1 x  ln(x 1)  0 h(x)  0 f (x)  x  x(x  ln(x 1))  xh(x) T (C ) ln(x 1) ln(x 1) T f (C ) f (x)  x  0 x 1; 3 x f h '(x) T (C ) f 3 (C ) T T' 4 f y  ax  b T' 100 0202

a  1 T T' b  f (3)  3  9  3 (3;f (3)) T' ln 4 y x3 9 T' ln 4 (C ) T' T f 5 (C ) y f 6 (T ') 5 4 3 2 (T) 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x -1 6 f(x)  x  m y  x  m f(x)  x  m y  f (x) yxm (C ) f T' T m0 2 m 01 0 m1 3 1 m  f (3) 4 107 0202

0211 46 g 1 g g(x)  x²  ln(x2) 1 0; lim x²  ln(x²) 1   lim g(x)  lim x²  ln x² 1   x x 0 x 0 x 0 1  g '(x)  2x  2 g '(x) x g g'(x) 0 g(x)  g(1)  0 x0 g(x) g(x) g(x) g(1)  0 1  0 f '(x)  g(x) 0;  f 2 x3 f f 0;  f (x)  (1  1 )(ln x) 0; x² 0;  f '(x)  2 ln x  1 (1 1 )  2 ln x  x² 1  x² 1 ln ²  g(x) x3 x x² x3 x3 x3 x3 f x0 1  f '(x)  g(x) f '(x) 0 x3 f (x)   g(x) f '(x) f 0 limf (x)   lim f (x)   x x 0 104 0202

1  C  lim ln x f x ²x f (x)  ln x   ln x  C  f x² ln x x0 1  0  C   C  1  1 ln x 2 f f x²  2 x   C  lim ln x  lim  0 f x x limf (x)  ln x  0 lim 1 ln x  0 x ²x  x  C   f C   f y (C ) 3f 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7x -1 -2 () -3 105 0202

0212 47 lim g(x) 1 g x 0 g(x)  x 1 2ln x 0;  (C ) x  0 lim g(x)  lim x 1 2ln x   g x 0 x 0 limg(x)   2 x lim ln x  lim 1  0 lim g(x)  lim x 1 2 ln x  lim x 1  1  2 ln x    xx xx x x  x x x g x 01 2   g'(x) 1 2  x  2 g '(x)  0 xx g(x) 0  x2 0 g(2) g(1)  0 g(1) 3,5  3,6  g(x)  0  g(1)  0 1 g(x)  0 g(3,5)  g(3,6) 0 2; g 3,5  3,6 g()  0 3,5  3,6  x0 1   g( 1 ) g(x) g(x) 0 0 x g(x) x0 1 1  x 1 x 1 g(1)  0 g( 1 ) 0  x  x 0 g( 1 ) x 106 0202

f (x) 3 lim xx 0 f (x)  x²  x  x² ln x ;x 0 0;  f f (0)  0 lim (x ln x)  0 lim f (x)  lim (x 1 x ln x)  1 xx 0 x 0 x 0 1 f lim f (x)  f (0)  f '(0) lim f (x)  1 x  0x 0 xx 0  f limf (x)  lim(x²  x  x² ln x)  lim(x²)(1 1  ln x)   x x x x f f '(x)  xg( 1 ) 0; x x f '(x)  2x 1 2x ln x  x  x 1 2x ln x  x(1 1  2ln 1)  xg( 1) xx x g( 1 ) f '(x) f '(x)  xg( 1 ) x x f(1) f(1)   1 f   2² x0 1   f ( 1 )   1  1  1 ln 1  ²  ²  f '(x) 00  1   ln  ² f (x) 1  0 f () ln   1  g()  0 2 f(1)  1   1    1 2  ² 2² 24,5 2² 25,92...(2) 2,5  1 2,6....(1) 3,5  3,6 107 0202

0,10 f () 0,11 2,5  1 2,6 21 25,92 2² 24,5 0;3 f (C ) 4 f y 2 1 0 1 2 3 4x 108 0202