BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

xy  x  y2  t2 . Do đó: 4t2  9 t2  5t  1  t  2 2  2 hay x  y  2 2  2 . 44 4 5 5 Ta có: P  17x2  17y2  16xy  17 x  y2 18xy  17 x  y2 x  y2  25 x  y2  25  2 2  2 2  6  4 2 4  5   18 4 4 Dấu “=” xảy ra khi x  y  2  1 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6  4 2 Câu 33: [TS10 Chuyên Sƣ Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  xyx  2y  6  13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy x  2y  6  13x2  4y2  26x  24y  46        x2  2x y2  6y  13 x2  2x  4 y2  6y  46  x  12  1 y  32  9  13 x  12  1  4 y  32  9  46 Đặt a  x  1, b  y  3 , khi đó:       P  a2 1 b2  9  13 a2 1  4 b2  9  46  a2b2  9a2  b2  9  13a2  13  4b2  36  46  4a2  3b2  a2b2  6 6 Dấu “=” xảy ra khi a 0  x1 0  x  1, y  3 b 0 y  3  0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Câu 34: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dƣơng thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  4 1 1. 1) Chứng minh rằng: 1  1  1  1  2 b2  c2  4  2 c2  a2  4 a2 b2 c2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P  1   2 a2  b2  4 Lời giải 1) Ta có: 50

1  1  1 1 a2 b2 c2  b  2c  2a  2c  2b  2a  2  a  2b  2c  2  ab  bc  ca  4 a  b  c  12  abc  2 ab  bc  ca  4 a  b  c  8  4  ab  bc  ca. Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tƣơng đƣơng, do đó đẳng thức đã cho đƣợc chứng minh. 2) Với x, y dƣơng ta có bất đẳng thức:    2 x2  y2  x  y 2 (*) 1  11  1 (**) xy   4  x y  Thật vậy: *  x  y2  0 (luôn đúng) * *  x  y  1  x  y2  4xy  x  y2  0 (luôn đúng) 4xy x  y Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi x = y. Lần lƣợt áp dụng (*) và (**) ta có:  1  a  1  4  a  2  1  b  2  1  a 1 2  b 1 2  b  4     2 a2  b2  4 Tƣơng tự: 1  1  1  1  ;  1  1  1  1  ; b2  c2 4     4      2  4 b 2 c 2 2 c2  a2  4 c 2 a 2 Cộng theo vế ta đƣợc: P  1  a 1 2  b 1 2  c 1 2   1 .1  1 . 2      2 2 D}u “=” xảy ra khi a = b = c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 Câu 35: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Cho K  ab  4ac  4bc với a, b,c  0 và a + b + 2c = 1. 1) Chứng minh rằng: K  1 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của K. Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 51

4bc  2  b  2c 2  2  a  b 2c 2  1  4bc   1  2   2  2 2 Mặt khác: a, b,c  0  K  ab  4ac  4bc  4bc   1 2 Dấu “=” xảy ra khi a  0, b  1 ,c  1 . 24 Cách khác: Ta có: K  ab  4c a  b  ab  2 1 a  ba  b   ab  2a  b  2 a2  b2  2b2  a  2 b  2a  2a2 Do đó: 2b2  a  2 b  2a  2a2  K  0 * Để tồn tại K thì phƣơng trình (*) Phải có 2 nghiệm:     0  a  22  4.2. 2a  2a2  K  0  8K  20a  17a2  4. Vì a, b,c  0 và a  b  2c  1  0  a  1 . Do đó: 2a 17a2  a20 17a  a 20 17.1  3a  0 Do đó 8K  4  K   1 2 Dấu “=” xảy ra khi a  0, b  1 ,c  1 . 24 2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ab  2c   a  b 2c 2  1 .  2  4 Mặt khác: a, b,c  0  K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a b  2c  a  b  2c2  1 . Dấu “=” 22 xảy ra khi: a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab  0  a  1 , b  0,c  1 24 Vậy giá trị lớn nhất của K là 1 2 Câu 36: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] 52

 0  a,b,c  1  Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a  3b  4c  3 P  a  3b 2  2   b 4a 9  3   c 2a 8 1   4c  8c  3b Lời giải Ta có: P  a  3b 2  2   b 4a 9  3  c 2a 8  1  4c  8c  3b  a  3  2  2  b 6  9  3   c 3  8  1 2a 6b 4c  a 1 2 2a   b 1 3 2b  c 1 4 2c      a2 2a 2a   b2 3b2 b   c2 4c 2 1 1 2 1 2c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a2 1 2a   a a 1 2a 2  1  3  27 Tƣơng tự: b2 1 2b  1 ; c2 1 2c  1 27 27 Suy ra: P  27 2a  3b  4c  81 Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 81. Câu 37: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020] Cho hai số dƣơng a, b thỏa mãn: a + b = 4ab. Chứng minh rằng: a  b 1 4b2  1 4a2  1 2 Lời giải Ta có: a  b  4ab  a  b2  a  b a  b 1  0  a  b 1a  b  0 Lại có: a a 4ab2 a 4ab2  a  ab 4b2  1 4b2  1 4b b 1  b  4a 2 b  b  4a 2 b  a  ab 4a2  4a2  1 4a 53

Do đó: a  b   a  b   2ab   a  b  a  b  1 a  b  1 4b2 4a2  2 2  1 1 2 Dấu “=” xảy ra khi a  b  1 2 Câu 38: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020] Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x2  y2  z2  3y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 1  y 4  z 8  12  22  32 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1  1  11  1 2  8 (*) b2 2  a b  ab 2  a2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: P  1  1  8  8  8  64 .  12 x  12  y z  32  x  y  2 2 z  32  x  y  z  5 2  2   2   2       Mặt khác:    x  z  2 x2  z2  2 3y  y2  2  3y  y2 . 2 64  64 1  P  y2  6  2 y  1 y 2 2 8  1 2 2  2  2  Dấu “=” xẩy ra khi x, y,z  1,2,1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Câu 39: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn: 1  1  1  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a1 b1 c1 P  a2 a3 b2  b2 b3  c2 c3  ab   bc  c2  ca  a2 Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1  1  1  9 (với x, y,z  0 ) (*) x y z xyz Thật vậy: (*)  a  b  c   1  1  1   9  a b c  54

Áp dụng AM – GM ta đƣợc: a  b  c   1  1  1  33 abc. 3 3  9 a b c  abc Vậy bất đẳng thức (*) đƣợc chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z. Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: 1 1  1  1  9 abc39abc6 a1 b1 c1 abc3 Đặt Q  a2 b3 b2  b2 c3  c2 a3  ab   bc  c2  ca  a2 Ta có: PQ  a3  b3  b3  c3  c3  a3 a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2      a  b a2  ab  b2 b  c b2  bc  c2 c  a c2  ca  a2   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2  a  bbcc a 0 Do đó: P = Q    Mặt khác: x2  xy  y2  1 x2  xy  y2 * * 3 Thật vậy:    x2  xy  y2  1 x2  xy  y2  3x2  3xy  3y2  x2  xy  y2  2 x  y 2  0 3 Sử dụng (**) ta đƣợc: P Q  a3  b3  b3  c3 c2  c3  a3 a2  ab  b2 b2  bc  c2  ca  a2      a  b a2  ab  b2 b  c b2  bc  c2 c  a c2  ca  a2   a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2  1 a  b 1 b c 1 c a 333  2 a  b  c  2 .6  4 33 Mà P  Q  P  2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. Câu 40: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c dƣơng thỏa mãn abc  a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1  1  1 a2  b2 b2  c2 c2  a2 55

Lời giải. Từ abc  a  b  c  2  a  bb  1c  1  a  1b  1  b  1c  1  c  1a  1  1  1  1 1 a1 b1 c1 Đặt 1  x, 1  y, 1  z  x,y,z  0 a1 b1 c1 x  y  z  1. Khi đó: a  1 x  y  z ; b  z  x ; c  x  y xx y z Nên P  1  1  1  1  1  1  1    a2  b2 b2  c2 c2  a2 2  ab bc ca   1  x.y  y.z  x z y . y x z  2  yz zx zx xy     1  y.x  z.y  x x y . y z z  2  yz zx zx xy     2 1  y y z  z x x    z z x  x y y    x x y  y z z  2                    1  x  y    y  z    z  x   3 2 2             2  x y x y   y z y z  z x z x 4 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z hay a  b  c Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 3 2 khi a = b = c = 2. 4 Câu 41: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020]  Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn 5 x2  y2  z2  9xy  z 18yz  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q  2x  y  z . Lời giải yz Ta có:    5 x2  y2  z2  9x y  z  18yz  0  5x2  9x y  z  5y  z2  28yz  0 56

 5x2  9x y  z  5y  z2  7.4yz  7 y  z2  5x2  9xy  z  2y  z2  0   y x z 2  9. y x z  2  0 5      Đặt: t  x t  0 khi đó: yz 5t2  9t  2  0  5t  1t  2  0  t  2 do 5t  1  0  x 2 yz Ta có: Q  2x  y  z  2. x  1  2.2  1  3 yz yz Dấu “=” xảy ra khi y  z  x . 4 Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3. Câu 42: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  3. Tìm GTLN. GTNN của biểu thức M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25 Lời giải Ta có: M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25  3  x2  16  3  y2  16  3  z2  16 Đặt a  3  x,b  3 y,c  3 z, Khi đó:  a bc  6 0  a, b,c  3 M  a2  16  b2  16  c2  16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M  a2  16  b2  16  c2  16  a  b  c2  4  4  42  6 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 a2  16  a  12 *  Tìm GTLN Sử dụng phƣơng ph{p UCT với điều kiện 0  a  3 ta đƣợc 3 Thật vậy: 57

 *  9 a2  16  a  122  8a2  24a  0  a a  3  0 (đúng) Ho|n to|n tƣơng tự và suy ra: M  14 Đẳng thức xảy ra khi a, b,c  0,3,3 và các hóa vị. Câu 43: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z là các số dƣơng thỏa mãn xy  yz  zx  1 . Chứng minh rằng: 1  1  1  2  x  y  z 3 (1)   1  x2 1  y2 1  z2 3  1  x2 1  y2 1  z2  Lời giải Ta có: 1 x2  xy  yz  zx  x2  x  yx  z Tƣơng tự: 1 y2  x  yy  z; 1 z2  x  zy  z Do đó: VT1  x  1  z  x  1  z  x  1  y  x  2x yz  x yy  zz yx yy zz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  2           x y z xyz x  y  z 1 x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 z2 1  z2    x  y  z    x  x y  z   x  y y y  z  x  z z  y     y  z  2x  y  zxy  yz  zx  x yyzzx 2x yz  x yyzzx. Suy ra: VP1  4x  y  z  x y z   yy  zz  1 x2 1 y2 . 3x  x  1  z2  Nhƣ thế để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh: x  y  z 3 2 1 x2 1 y2 1 z2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x x x z  1  x x y  x x z  1 x2 2      yx    58

Tƣơng tự: y  1  x y y  y y z  ; z  1  z z x  y z z  1 y2 2     1 z2 2         Cộng theo vế 3 bất đẳnng thức trên ta đƣợc bất đẳng thức (2). B|i to{n đƣợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 3 Câu 44: [TS10 Chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019-2020] Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0; 2 thỏa mãn điều kiện: x  y  z  3. a) Chứng minh rằng: x2  y2  z2  6 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x3  y3  z3  3xyz Lời giải a) Ta có: 2  x2  y2  z  0  8  4 x  y  z  2 xy  yz  zx  xyz  0     x2  y2  z2  x2  y2  z2  8  4 x  y  z  2 xy  yz  zx  xyz  x  y  z2  4 x  y  z  8  xyz  9  4.3  8  xyz  5  xyz  5  6 b) Ta có:   P  x3  y3  z3  3xyz  x  y  z x2  y2  z2  xy  yz  zx     3 1  3  2 x2  y2  z2 2 x2  y2  z2  2xy  yz  zx     33 2 2 x2  y2  z2  xyz   3 3.5  9 2 9 Dấu “=” xảy ra khi x, y,z  2,1,0 và các hoán vị. Câu 45: [TS10 Chuyên Hòa Bình, 2019-2020] Cho x, y, z là các số thực dƣơng thỏa mãn: xy  yz  4zx  32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  16y2  16z2 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x2  8y2  4xy 2 x2  8z2  4xz 2 8y2  8z2  16yz 59

 Cộng theo vế ta đƣợc: P  x2  16y2  16z2  4 xy  xz  4yz  128 Dấu “=” xảy ra khi x = 4y = 4z , thay v| điều kiện ta đƣợc: x  8 6 ; y  z  2 6 33 Câu 46: [TS10 Chuyên Quốc Học Huế, 2019-2020] Cho ba số dƣơng x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh rằng: x  2y  4z  1 2x2  y2  5 6y2  z2  6 3z2  4x2  16 2 Lời giải Ta có: +) 2x2  y2  5  x2  y2  x2  1 4  2xy  2x  4  2x2 x  5  2xy x  4  2  xy x  2  y2  2x x ) 6y2  z2  6  4y2  z2  2y2  2  4  4yz  4y  4  6y2 2y  6  4yz 2y  4  2  yz y  1  z2  4y y Do đó: VT  2  xy x x  2  2  yz y y  1  zx  z  2   2z  2  xy  x  xyz  2  yz y y  1  xyz  yz  2y x  2yz  2  yz 1 y  1  2  yz y y  1  2  yz  1   yz  y  2 yz  y  1 yz  y  1 1 2 Dấu “=” xảy ra x = y = 1, z = 2. Câu 47: [TS10 Chuyên Tin Hòa Bình, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng x, y thỏa mãn: x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   1  1  1 x2y2  x y    Lời giải Theo AM-GM ta có: 1  x  y  2 xy  xy  1  xy  1  1  4 2 4 xy 60

Do đó: P   1  1  1 x2y2  2 1  x2y2  2 1  xy  x y  xy xy   Suy ra: P  2 1  xy  2 1  xy  15  2 2 1 .xy  15 xy 16xy 16xy 16xy 16xy  P  2 1  15 .4  17 2 16 Dấu “=” xảy ra khi x  y  1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17 Câu 48: [TS10 Chuyên Tiền Giang, 2019-2020]  Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn 2 x3  y3  6xyx  y  2  x  y2 xy  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T  1 x  y   y x  1 2   Lời giải Ta có:  2 x3  y3  6xy x  y  2  x  y2 xy  4  2x  y3  12xy  x  y2 xy  4 Đặt a  x  y, b  xy a, b  0 khi đó:   2a3  12b  a2 b  4  b a2  12  2a3  4a2  Do VT > 0 nên 2a3  4a2  0  2a2 a  2  0  a  2 Ta có: T  1  x  y    1  x2  y2  xy   1  a2    a2  1  a4  12a2  1 2  y x 1 2  xy  2  b 1 2b 2 4a3  8a2 2       Ta sẽ chứng minh: T  5 2 a  6 2 a2 4a2 a  2    Thật vậy: T 5  a4  12a2 3 0 (luôn đúng a  2 ) 2 4a3  8a2 Dấu “=” xảy ra khi a = 6, b = 6 hay x  3  3, y  3  3 hoặc x  3  3, y  3  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 5 2 61

Câu 49: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng x, y. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2  y2  2  x xy y2 x2 y Lời giải Ta có: P x2  y2  2  xy  x4  2x2y2  y4  xy y2 x2 x y x2y2 xy   x2  y2 2  xy  x2  y2  xy  xy  xy xy xy    P   x2  y2    x xy  2  x  y2  x xy  2  xy 2 y y  xy  Đặt t  xy .Theo AM – GM thì: x  y  2 xy  xy  1  t  1  1  2 xy xy 2 2t Khi đó: P  1  t  2   t  t  1   15  2 t2  2 2 16t2  16t 2    33 t . t . 1 2  15 .22 2 2 2 16t 16  3. 1  15  2 44 5 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 2 Câu 50: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Với x, y là các số thực thỏa mãn 1  y  2 và xy  2  2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x2 4 y2 1 Lời giải. Theo giải thiết ta có: 4xy  8  8y. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x2  y2  4xy. Suy ra: 4x2  y2  8  4xy  8  8y.      Do đó: 4 x2  4  8  8y  y2  4 y2  1  5y  22  y  4 y2  1 . 62

Suy ra: x2 4  y2 1M  x2  4 1 y2  1 Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1. Câu 51: [TS10 Chuyên Hƣng Yên, 2019-2020] Với x, y là cá số thực thỏa mãn 2  xy  1  9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 A  x4  4x3  6x2  4x  2  y4  8y3  24y2  32y  17. Lời giải Ta có: A  x4  4x3  6x2  4x  2  y4  8y3  24y2  32y  17  1 x  14  1 y  24 Đặt a  x  1, b  y  2 , ta đƣợc A 1 a4  1 b4 Từ giả thiết ta đƣợc: a  1b  1  9  a  b  ab  5 44 Theo AM – GM ta có:  4a2  1  4a  a2  b2  a  b  1 (1) 4b2  1  4b 2  a2  b2  2ab  1 a2  b2  ab 2 2  Cộng theo vế (1) v| (2) ta đƣợc: 3 a2  b2  a  b  ab  1  5  1  3  a2  b2  1 2 2 42 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc: 1 1 2  a2  b2 2  2     A 1 a4  1 b4  a2  b2 4   1 2  4  17  2  2 Dấu “=” xảy ra khi a  b  1  x   1 ,y  5 . 2 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 2 Câu 52: [TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020] Cho các số dƣơng x, y, z thỏa xyz  1 . Chứng minh rằng: 2 x2 yz z  y2 zx x  z2 xy y   xy  yz  zx. y z  x  63

Dấu “=” xảy ra khi nào: Lời giải Ta có: x2 yz z  y2 zx x   z2 xy y   xy  yz  zx y z  x  111 y2  x2  11  z2  1  1  1  1 11 11 2  x y   z  yz xz xy Đặt a  1 , b  1 ,c  1  abc  2 x yz Khi đó ta cần chứng minh: a2  b2  c2  a  b  c bc ac ab 2 Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: VT  a2  b2  c2  a  b  c2  abc  VP (đpcm) bc ac ab 2a  bc 2 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z. Câu 53: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020] Cho x; y; z là ba số thực dƣơng thỏa mãn x(x  z)  y(y  z)  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y3  x2  y2  4 x2  z2 y2  z2 xy Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi x3  x  xz2  x  xz2  x  z . x2  z2 x2  z2 2xz 2 Tƣơng tự y3  y  z . Suy ra P  x  y  z  x2  y2  4 . y2  z2 2 xy Theo gt z  x2  y2  P  x  y  4  4 . xy xy Vậy Pmin  4  x  y  z  1 . Câu 54: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 a2  b2  5 1 b2  c2  5 1 c2  a2  5 P   ab  a  4 bc  b  4 ca  c  4 Lời giải 64

Với x, y dƣơng ta có: x  y2  0  x  y2  4xy  x 1 y  xy  x 1 y  1  1  1  (*)  4xy  4  x y    Dấu “=” xảy ra khi x = y. Ta có: 1 a2  b2  5  a2  b2  2a  6  2ab  2a  6  2 ab  a  4  2  2  2 ab  a  4 ab  a  4 ab  a  4 ab  a  4 ab  a  4 Tƣơng tự: 1 b2  c2  5 2 2 1 c2  a2  5 2 ; 2 ca  c  4 bc  b  4 bc  b  4 ca  c  4 Do đó: P  6  2  ab 1 4  bc 1 4  1   6  2Q  a 4 ca  c  4  Áp dụng (*) ta đƣợc: 1  1  1  ab 1  1  1  . ab  a  4 4  a 3  ab  a  1  3  Tƣơng tự: 1  1  bc 1  1  1  ; 1  1  ca 1  1  1  bc  b  4 4  b 3  ca  c  4 4  c 3  Do đó: Q  1  ab 1  1  bc 1  1  ca 1  1  1  2Q  1  ab 1  1  bc 1  1  ca 1  1  1 4  a b c  2  a b c     P  6  1  ab 1  1  bc 1  1  ca 1  1  1 2  a b c  6  1  abc c  c  bc.ac ac  1  ca 1  1  1 2   ac  abc c  6  1  ca c  1  ca ac  1  ca 1  1  1 2  c c c  6  1 .2 2 5 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5. Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] Cho các số thực dƣơng a, b, c. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  1 a  b  c a  b  2c b  c  2a c  a  2b 4 Lời giải Với x, y dƣơng ta có: x  y2  0  x  y2  4xy  x 1 y  xy  x 1 y  1  1  1  (*)  4xy  4  x y    Dấu “=” xảy ra khi x = y. Sử dụng (*) ta đƣợc: ab  a  ab b  c   ab  a 1 c  b 1 c  a  b  2c 4     c   65

Tƣơng tự: bc  bc  b 1 a  a 1 c  ; ca  ca  c 1 b  b 1 a  b  c  2a 4     c  a  2b 4     Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: ab  bc  ca a  b  2c b  c  2a c  a  2b  ab  a 1 c  b 1 c   bc  b 1 a  a 1 c   ca  c 1  b 1  4     4     4  b a   1  ab  bc  ab  ca  bc  ca  4  c  a b  c a  b   1  b a c  a bc   c a  b  4    ac bc ab   1 a  b  c dpcm 4 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn: abc  1. Chứng minh rằng: a  b  c 3 b  ac c  ab a  bc 2 Lời giải Ta có: b  ac  b  a  c  a  2b  c  b  ac  a  2b  c 22 2 2  a  a 2  2 2a  4 2a Mặt khác: 1 b  ac a  2b  c b  ac a  2b  c 4a  2b  c a  2b  c  4 a  b  c  33 abc  3  4 a  b  c  4  4 2a  12 2a 3 a  2b  c  4 7a  10b  7c VT  12 2  7a a  7c  7b b  7a  10a  c  7c    10b  10c 7b  Do đó: a  b  c2   122  17 ab  bc  ca 7 a2  b2  c2      a2  b2  c2  ab  bc  ca  7 a2  b2  c2  17 ab  bc  ca  8 a  b  c 2 12 2 a  b  c2 12 2 a  b  c2  Mặt khác:   3 dpcm 7   8a  b  c2 2 a2  b2  c2  17 ab  bc  ca Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 66

Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  4 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a a  b b  c c . a3 b b3 c c3 a Lời giải Ta có: P a a  b b  c c a3 b b3 c c3 a  a2  b2  c2 a  3 ab b  3 bc c  3 ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: P  a2  b2  c2 a  3 ab b  3 bc c  3 ac a  b  c2   a  b  c  3 ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM: ab  bc  ca  a  b  b  c  c  a  a  b  c 222 Do đó: P  a  b  c2  a  b c  1 b  c  3a  b  4 a  c Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c. Chứng minh: a  b  c  a  b  c  4 . b c a 3. a2  b2  c2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: VT  a2  b2  c2  abc a  b  c2 ab  bc  ca  ab bc ca 3. a2  b2  c2 ab  bc  ca a2  b2  c2  a2  b2  c2  2  ab  bc  ca ab  bc  ca a2  b2  c2  a2  b2  c2 1 ab  bc  ca  1 ab  bc  ca  a2  b2  c2  ab  bc  ca 2 a2  b2  c2 2 a2  b2  c2  ab  bc  ca     2  2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta đƣợc: 67

 VT  33 a2  b2  c2 . 1 ab  bc  ca . 1 ab  bc  ca  1 2 a2  b2  c2 2 a2  b2  c2 2 2 ab  bc  ca 2  3  1  2  4 dpcm 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn ab  bc  ca  1. Chứng minh rằng: a b2  1  b c2  1  c a2  1  2 Dấu “=” xảy ra khi nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc:      a b2  1  b c2  1  c a2  1  ab 2  a2  bc 2  b2  ca 2  c2  ab  bc  ca2  a  b  c2  ab  bc  ca2  3ab  bc  ca  1 3  2 dpcm Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 3 Câu 60: [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c là các số dƣơng thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: R  a  b  c 1 b2 1 c2 1  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: a  a  ab2  a  ab2  a  ab 1 b2 1 b2 2b 2 Tƣơng tự: b  b bc ; c c ca 1 c2 2 1 a2 2 Cộng theo vế 3 bất đẳng trên ta đƣợc: R  a b c  a  b  c  ab  bc  ca 1 b2 1 c2 1 a2 2  a  b  c  a  b  c2  3  32  3 6 62 Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của R là 3 2 Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] 68

Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  3 . Chứng minh rằng: 2 x  2xy  4xyz  2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: x  2xy  4xyz  x  x.4y  z  1   2   x  x. y  z  1 2  x  x  3  x  1 2 2   2 2   x  x2  x2  x  2  x2  x2  2   x  2 1 x2  2x  2  x  2x  12  2 Do x  y  z  3  0  x  2  x  2  0 . Vì thế: x  2xy  4xyz  x  2x 12  2  2 (đpcm) 2 Dấu “=” xảy ra khi x  1, y  1 , z  0 2 Câu 62: [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Cho a, b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn a  bb  cc  a  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1  1  1  1 3 abc a  2b b  2c c  2a Lời giải. Trƣớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: a  bb  cc  a  8 a  b  cab  bc  ca 9 Thật vậy: a  bb  cc  a  a  b  cab  bc  ca abc a  b bc c a a  bbcc a Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab. bc. ca  . .  222 8 Suy ra: a  bb  cc  a  a  b  cab  bc  ca abc  a  b  cab  bc  ca  a  bb  cc  a 8 Suy ra đpcm: a  bb  cc  a  8 a  b  cab  bc  ca 9  ab  bc  ca  9 abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có: 69

1  1  1  9  3  ab  bc  ca  2b  2c  2a b b 3 a b c 3a  c a   c  Lại có:  ab  bc  ca 2  3 ab2c  a2bc  abc2  3abc a  b  c  92  3abc a  b  c  1  a  b  c2  1  a bc abc abc 3 a  b  c2 27 3 Suy ra: P  1  1  1  1  a  b  c  3  2 3 abc a  2b b  2c c  2a 3 a  b  c a  bb  cc  a  8  Dấu “=” xảy ra khi:  abc abc1  3  abc   abc 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi a = b = c = 1. Câu 63: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn 1  1  1  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: abc P 1  1  1 a2  ab  3b2  1 b2  bc  3c2  1 c2  ca  3a2  1 Lời giải Ta có:    a2  ab  3b2  1  a2  2ab  b2  ab  b2  1  b2   a  b2  ab  b2  1  b2  b2  ab  2b  b a  b  2 a2  ab  3b2  1  ba  b  1  1  1 a2  ab  3b2  1 ba  b  1 Tƣơng tự: 1  1 ; 1  1 b2  bc  3c2  1 c b  c  2 c2  ac  3a2  1 a c  a  2 Với x, y dƣơng ta có: x  y2  0  x  y2  4xy  1 y  xy  1  1  1  1  (*) x 4xy xy 4  x y    Dấu “=” xảy ra khi x = y. Cộng theo vế và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: 70

P 1  1  1 ba  b  2 cb  c  2 ac a  2  222 4ba  b  2 4c b  c  2 4a c  a  2 AMGM  1  a  1  2    1  b  1  2    1  c  1  2   4b b   4c c   4a a          1  1  1  1    a  1  2  b  1  2  c  1  2  4  a b c   b c a  Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc: P  1  1  1  1   1  1  1   1  1  1   1  1  1  4  a b c     2  4  b 2  4   2     4  a b   c   c a   3  1  1  1  1  1  1   1  1  1   1  1  1  4  8 8 16  a b  16  b c  16  c a   8  3  3  1  1  1  1  4  8  a b c   8  333  3 488 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy giá trị nhỏ là P là 3 . 2 Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] Chứng minh a  b  c3  9abc  4a  b  cab  bc  ca với x, y, z là các số thực không }m. Đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c là số thực không âm thì: aa  ba c bbcbacc ac b  0 Biến đổi ta đƣợc hệ quả: a3  b3  c3  3abc  a2 b  c  b2 c  a  c2 a  b Mặt kh{c ta có đẳng thức: a  b  c3  a3  b3  c3  3a  bb  cc  a Khi đó ta có: a  b  c3  9abc  a3  b3  c3  9abc  3a  bb  cc  a Do đó: VT  a2 b  c  b2 c  a  c2 a  b  9abc  3a  bb  cc  a Ta l| có 2 đẳng thức: ) a2 b  c  b2 c  a  c2 a  b  9abc  a  b  cab  bc  ca ) abc  a  bb  cc  a  a  b  cab  bc  ca 71

Do đó: a2 b  c  b2 c  a  c2 a  b  9abc  3a  bb  cc  a  4a  b  cab  bc  ca Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho 3 số dƣơng x, y, z. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2x  xy  z  2y  yz  x  zx z2y x2z 2z  y2x  y Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta đƣợc: 2 xy  zx  yz  2x  z2y  z  x  x  zy  z  y  Do đó: xy  xy  xy  xy z2y  2x  z2y  z  2x  z 2 xy  yz  zx xy  yz  zx Tƣơng tự: 2y  yz  x  xy  yz ; 2z  zx  y  zx zx  yz xy  zx  yz x2z y2x Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta đƣợc: P  xy  zx  yz  1 xy  zx  yz Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy giá trị lớn nhất của P là 1. Câu 66: [TS10 Chuyên Bình Phƣớc, 2019-2020] 1) Cho x, y là các số dƣơng thỏa mãn xy  1. Chứng minh rằng: 11 2 1  x 1  y 1  xy 2) Cho x, y là các số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện: x  y3  4xy  12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  1  1  2018xy 1x 1y Lời giải 1) Ta có: 72

1  1  1 2   1  1 1  1  1 1   0 1 x 1 y xy  1 x xy    1 y xy  1  xy  1  x 1  xy  1  y   0    1 x 1 xy 1 y 1 xy    xy  x 1 y  xy  y 1 x  0  1 x1 y 1 xy    x y  x 1 y  y x  y 1 x  0  1 x1 y 1 xy    yx  xy x y x y    xy  0 1 x1 y 1      y   x  x  y  xy y x   0  1 x1 y 1 xy     y  1  x  y x xy   1 x1 y 1 xy  0    2  0 (đúng xy  1 ) (1) y  x xy  1   xy 1 x1 y 1 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Bất đẳng thƣc (1) đúng c{c phép biến đổi l| tƣơng đƣơng nên b|i to{n đƣợc chứng minh. 2) Sử dụng AM-GM ta có: 3 xy  4xy  8xy  12  x  y3  4xy  2 xy  4xy Đặt xy  t t  0 , khi đó: 8t3  4t2  12  0  2t3  t2  3  0  2t3  2t2  3t2  3  0   2t2 t  1  3t 1t  1  0  t 1 2t2  3t  3  0 t1 Áp dụng bất đẳng thức ở ý 1 ta có: P  1  1  2018xy  2  2018xy  2  2018t2 1x 1y 1 xy 1 t Ta sẽ chứng minh: 2  2018t2  2019 * 1 t Thật vậy: 73

 *  2 1   1  t   2018 t2 1 0  1 t  2018t  1t  1  0 1 t  1  t  1  2018  t  1   0 (đúng do 0  t  1 )  1 t  Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 2019. Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho 3 số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  3. Chứng minh rằng: a3  b3  b3  c3  c3  a3  2 a  2b b  2c c  2a Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: ) a3  b3  c3  a4  b4  c4 a  2b b  2c c  2a a2  2ab b2  2bc c2  2ca  a2  b2  c2 2  a2  b2  c2 2   a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca a2  b2  c2  2 a2  b2  c2  a2  b2  c2  3 32 ) b3  c3  a3  b4  c4  a4 a  2b b  2c c  2a ab  2b2 bc  2c2 ca  2a2  a2  b2  c2 2  a2  b2  c2 2     ab  bc  ca  2 a2  b2  c2 a2  b2  c2  2 a2  b2  c2  a2  b2  c2  3 (đpcm) 32 Cộng theo vế ta đƣợc: a3  b3  b3  c3  c3  a3  2 a  2b b  2c c  2a Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  2 3 Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3; y  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T   1   3  y  1  . 21 x  y  x   Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 74

T   x  1   3  y  1    x  3    7y  21   62 x  2 y 21 y   x   3 x   3 y  3 3      2 x . 3  2 7y . 21  62 .3  2 .3 3x 3 y 3 3  2  2.7  62  2  80 Dấu “=” xảy ra khi x = y = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80. HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Bài 1.Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  8x2  4x  1 15 . 4x2 Bài 2.Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4x2  3x  1  2011. 4x Bài 3.Cho x  y  0 và xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H  x2  y2 . x y Bài 4.Cho a 1; b 1. Chứng minh a b 1  b a 1  ab . Bài 5.Cho a  9; b  4; c 1. Chứng minh ab c 1  bc a  9  ca b  4  11abc . 12 Bài 6.Cho a  0; b  0; a2  b2  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a ba  2b  b a b  2a . Bài 7.Cho x  0; y  0; x2  y2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 14x 10y  y 14y 10x . Bài 8.Cho x  0; y  0 và xy  x  y  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y . Bài 9.Cho a,b, c  0 và ab  bc  ca 1. b c. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  b2 1 c2 1 a2 1 Bài 10.Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 chứng minh ab  bc  ca  3 c  ab a  bc b  ca 2 Bài 11.Cho a  0, b  0, c  0 và ab  bc  ca  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a2  b2  c2      c c2  a2 a a2  b2 b b2  c2 Bài 12.Cho a  0, b  0, c  0 và a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a b c 1 9b2 1 9c2 1 9a2 75

Bài 13.Cho a,b, c  0 và 1  1  1  2 . Chứng minh rằng abc  1 . 1 a 1b 1c 8 Bài 14.Cho a  0, b  0, c  0 và a2  b2  c2  1. Chứng minh : a) ab  bc  ca  a  b  c b) bc  ca  ab  3 c ab ab c Bài 15.Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của ABC . Chứng minh a  b  cb  c  ac  a  b  abc Bài 16.Cho a  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  5 . a Bài 17.Cho x  0, y  0 và x  y  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y  6  24 . xy Bài 18.Cho x  0, y  0 và x  y  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2x2  y2  28  1 . xy Bài 19.Cho 2  x  3, 4  y  6, 4  z  6 và x  y  z  12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xyz . Bài 20.Cho x  0, y  0 và x  8  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K  x  2 y . 2y yx Bài 21.Cho x  0, y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x  y 12  xy  x  y . A  x  y 12 xy  x  y Bài 22.Cho x  0, y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  xy . xy x  y Bài 23.Cho a  0, b  0, c  0 thỏa mãn b2  c2  a2 .  Tìm giá trị nhỏ 1  1 1  nhất của biểu thức P a2 b2  c2  a2  b2  c2  . Bài 24.Cho x  0, y 0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   1  1 1 x2 y2 .  x   y  Bài 25.Cho x  0, y0 và x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 1 y2  1  4xy .  xy Bài 26.Cho x  0, y0 và x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K   x  1 2   y  1 2 .  x   y    Bài 27.Cho x  0, y0 và x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  1 x  1 3  1 y  1 3 . x   y   Bài 28.Cho x  0, y  0 và 2x2  2xy  y2  2x  8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  4  2x  3y . xy    Bài 29.Cho a  0, b  0, c  0 thỏa mãn 2 b2  bc  c2  3 3  a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a  b  c  2  2  2 . abc Bài 30.Cho a  0, b  0 và a3  b3  6ab  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1  3  ab . a2  b2 ab 76

Bài 31.Cho a  0, b  0 và a2  b2  a  b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a4  b4  2020 . a  b2   Bài 32.Cho x  0, y  0 và x 1 y 1  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2 . yx II.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA Bài 1.Cho 4x  9y  13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  4x2  9y2 . Bài 2.Cho 4x  3y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  4x2  3y2 . Bài 3.Cho x  0, y  0, z  0 và x  y  z  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  z2 . Bài 4.Cho 3x2  2 y2  6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  2x  3y . 35 Bài 5.Cho 4a2  25b2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H  6a  5b . 10 Bài 6.Cho x2  y2  z2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y  z . 4 Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 1  3 x khi 1  x  3 . Bài 8.Cho a  0, b  0, c  0 và a  b  c  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K  4a  5  4b  5  4c  5 . Bài 9.Cho a  0, b  0, c  0 và a  b  c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  b  c  c  a  a  b . Bài 10.Cho a,b, c  0 và a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a  b  b  c  c  a . 222 III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài 1. Cho x  2 , y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  y  2 x  2  4 y 1  24 . Bài 2. Cho x   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E  5x  6 2x  7  4 3x 1  2 3 Bài 3. Cho x  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T  x  x 1  3 x  7  28 . Bài 4. Cho x  15 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  F  x2  x  x2 15 x  3  x2 15  x  3  38 . Bài 5. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c  6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  a2  4ab  b2  b2  4bc  c2  c2  4ca  a2 . Bài 6. Cho x  0, y  0, z  0, x  y  z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x2  xy  y2  y2  yz  z2  z2  zx  x2 . Bài 7. Cho 2  a, b,c  3 và a2  b2  c2  22 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  a  b  c . Bài 8. Cho x  0, y  0, z  0 thỏa mãn x  y  z  6 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A  x2  y2  z2 . 77

Bài 9. Cho a, b,c  0 và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: K  3a 1  3b 1  3c 1 . Bài 10. Cho 0  a, b,c  2 và a  b  c  3 . Chứng minh: ab  bc  ca  2 . Bài 11. Cho a 1, b 1,c 1 và ab  bc  ca  9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  a2  b2  c2 . Bài 12. Cho 1 x, y, z 1, x  y  z  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  x  y  z . Bài 13. Cho 2  a, b,c  2 và a  b  c  0 . Chứng minh: a4  b4  c4  32 . Bài 14. Cho 0  x, y, z 1 và x  y  z  3 . 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  x2  y2  z2 . Bài 15. Cho 0  x, y, z  2 và x  y  z  3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: M  x4  y4  z4 121 x1 y1 z . Bài 16. Cho 0  a, b,c  4 và a  b  c  6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  a2  b2  c2  ab  bc  ca . Bài 17. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P bc ca  ab. Bài 18. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c  3 .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P bc ca  ab. Bài 19. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F  3a 1  3b 1  3c 1 . Bài 20. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2a2  3a  4  2b2  3b  4  2c2  3c  4 . Bài 21. Cho x, y  0 thỏa mãn: x  y  10 .   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x4 1 y4 1 . Bài 22. Cho a  b  4ab  4a2  4b2 .    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  20 a3  b3  6 a2  b2  2013 . --------Hết------ 78

79