erp256309262133182fe8438de89a4b3c9e4b65eadedeaeaf

บทที่ 4 การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ ท่ีเกดิ จากการทดลองเชิงสุ่มในลักษณะตา่ งๆ สามารถแบ่งดว้ ยลักษณะของการทดลองทีน่ า่ สนใจได้หลายชนดิ ไดแ้ ก่ การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) การแจกแจงปัวส์ซอง (Poisson Distribution) และการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) ซง่ึ การแจกแจงเหลา่ น้มี กั จะพบบ่อย และสามารถทจี่ ะไปประยุกตใ์ ช้ไดอ้ ย่าง กวา้ งขวาง 4.1 การแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่อื ง โดยมลี ักษณะของการ ทดลองเชงิ ส่มุ เป็นดงั นี้ 1. เปน็ การทดลองทีก่ ระทาซา้ ๆ กนั n ครัง้ 2. การทดลองในแต่ละครั้งท้งั n ครัง้ เป็นอสิ ระต่อกัน 3. ผลจากการทดลองแต่ละคร้งั จะแบง่ ได้เป็น 2 แบบ คือ ความสาเรจ็ (success) กบั ไม่ สาเร็จ (failure) และให้ความนา่ จะเป็นท่ีเกดิ ความสาเรจ็ เป็น p ซ่ึงเปน็ คา่ คงท่ี และความน่าจะเปน็ ท่ี เกดิ ไมส่ าเรจ็ เป็น q โดย p + q = 1 ให้ตวั แปรสมุ่ X แทนจานวนครัง้ ทเ่ี กิดความสาเร็จในการทดลองทั้งหมด n ครงั้ โดย X จะ มคี ่าเปน็ 0 , 1 , 2 , 3 , …, n ดังนนั้ ตัวแปรสมุ่ X จะมกี ารแจกแจงแบบทวินามทม่ี พี ารามเิ ตอร์ n, p ซึง่ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ X ~ b (x ; n , p) และฟงั กช์ ันความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบทวินาม คอื f(x) = P(X = x) = n Cx pxqnx ; x = 0, 1, 2, …, n คา่ คาดหวงั และความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ X ทมี่ ีการแจกแจงแบบทวินาม คือ คา่ คาดหวัง E (X) =  = np ความแปรปรวน V (X) = 2 = npq

71 ตัวอยา่ งท่ี 4.1 ถา้ ความน่าจะเปน็ ที่เมล็ดถ่ัวพันธ์หุ นึ่งจะงอกเปน็ 0.85 และจากการเพาะเมล็ดถว่ั พนั ธุน์ จ้ี านวน 10 เมลด็ จงหาความน่าจะเปน็ ที่เมลด็ ถัว่ น้ี ก. จะงอกจานวน 8 เมลด็ ข. จะงอกนอ้ ยกว่า 7 เมล็ด ค. จะงอกอย่างน้อย 7 เมลด็ ง. คาดวา่ มีเมลด็ ถ่วั ที่จะงอกก่เี มลด็ จ. จงหาความแปรปรวนของเมลด็ ถัว่ ทจ่ี ะงอก วิธีทา จากโจทย์ n คอื จานวนเมลด็ ถวั่ ที่เพาะ ; n = 10 p คอื ความนา่ จะเปน็ ท่ีเมล็ดถัว่ พนั ธนุ์ จี้ ะงอก ; p = 0.85 q คอื ความน่าจะเปน็ ท่ีเมล็ดถ่ัวพันธนุ์ ้ีจะไม่งอก ; q = 1 – 0.85 = 0.15 X คือ จานวนเมลด็ ถ่ัวที่จะงอก ; X = 0 , 1 , 2 , …, 10 จะไดว้ า่ เปน็ การทดลองแบบทวนิ ามที่เขียนเปน็ สัญลักษณ์ได้วา่ X ~ b(10 , 0.85) ฟังกช์ ันความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบทวนิ าม คอื f (x) = P(X = x) = n Cx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , …, 10 ก. ความน่าจะเป็นที่เมล็ดถวั่ น้ีจะงอกจานวน 8 เมล็ด คือ P(X = 8)  P(X = 8) = 10 C8 (0.85)8 (0.15)108 P(X = 8) 10! = 8!2! (0.85)8 (0.15)2 = 0.276 ดังน้ัน ความน่าจะเป็นที่เมล็ดถัว่ นีจ้ ะงอกจานวน 8 เมล็ด คือ 0.276 ข. ความน่าจะเป็นท่ีเมล็ดถวั่ น้จี ะงอกน้อยกวา่ 7 เมลด็ คือ P(X < 7)  P(X < 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 0) P(X = 5) + P(X = 6) = 0.000 P(X = 1) = 10 C0 (0.85)0 (0.15)100 = 0.000000326 P(X = 2) = 10 C1 (0.85)1 (0.15)101 = 0.0000083 = 10 C2 (0.85)2 (0.15)102

72 P(X = 3) = 10 C3 (0.85)3 (0.15)103 = 0.0001259 = 0.0012 P(X = 4) = 10 C4 (0.85)4 (0.15)104 = 0.0084 = 0.0400 P(X = 5) = 10 C5 (0.85)5 (0.15)105 P(X = 6) = 10 C6 (0.85)6 (0.15)106 ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ที่เมล็ดถ่วั นี้จะงอกน้อยกว่า 7 เมลด็ คือ 0.0497 ค. ความน่าจะเป็นที่เมล็ดถัว่ นจี้ ะงอกอย่างน้อย 7 เมล็ด คือ P(X ≥ 7)  P(X ≥ 7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) P(X = 7) P(X = 8) = 10 C7 (0.85)7 (0.15)107 = 0.1298 P(X = 9) = 10 C8 (0.85)8 (0.15)108 = 0.2759 P(X = 10) = 10 C9 (0.85)9 (0.15)109 = 0.3474 = 10 C10 (0.85)10 (0.15)1010 = 0.1969 ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ที่เมล็ดถัว่ นจ้ี ะงอกอยา่ งน้อย 7 เมล็ด คือ 0.950 ง. คาดว่ามเี มล็ดถัว่ ท่ีจะงอกกเ่ี มล็ด E(X) = np = 10  0.85 = 8.5 ดงั น้นั คาดวา่ มีเมล็ดถ่ัวท่จี ะงอก ประมาณ 9 เมล็ด จ. จงหาความแปรปรวนของเมล็ดถั่วทจี่ ะงอก V(X) = npq = 10  0.85  0.15 = 1.275 ดังนน้ั ความแปรปรวนของเมล็ดถั่วทจ่ี ะงอก คอื 1.275 เมล็ด2

73 การหาค่าความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงแบบทวนิ ามโดยใชต้ าราง การหาค่าความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มทมี่ กี ารแจกแจงแบบทวนิ าม นอกจากจะคานวณหา โดยใชฟ้ งั กช์ นั ความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบทวินามแลว้ ยงั สามารถหาคา่ ความนา่ จะเปน็ ได้ จากตารางหาค่าความนา่ จะเป็น ของการแจกแจงแบบทวินาม (ดจู ากภาคผนวกทา้ ยหนงั สือหรือ ตารางสถติ ิ) จากตาราง ให้ตัวแปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงแบบทวินาม X ~ b(x ; n , p) ซงึ่ n คอื จานวนคร้ังของการทดลอง p คอื ความนา่ จะเป็นทเ่ี กิดความสาเร็จในการทดลอง k คอื จานวนคร้ังที่เกิดความสาเร็จในการทดลอง หรือ x ค่าท่ีไดจ้ ากตารางจะเป็นคา่ ความนา่ จะเปน็ แบบสะสม ของตวั แปรสุม่ X หรือเป็นค่าความนา่ จะเป็น k ท่ี X มีคา่ น้อยกว่าหรือเทา่ กับ k โดยตารางจะแสดงค่า P(X  k) หรือ  f(x) x0 เชน่ ถา้ กาหนดให้ n = 15 , p = 0.2 และตอ้ งการหาคา่ P(X = 5) 54 ซ่งึ เทา่ กับ  f (x)   f (x) ก็จะเปิดตารางท่ี n = 15 , p = 0.2 และ k = 5 x0 x0 54 จะไดค้ ่า P(X  5) =  f (x) = 0.939 และที่ k = 4 จะได้ P(X  4) =  f (x) = 0.836 x0 x0 ดังนัน้ จะไดค้ า่ P(X = 5) มีค่าเป็น 0.939  0.836 = 0.103 6 และถ้าต้องการหาค่า P(X  6) จะได้ค่าเทา่ กับ  f (x) = 0.982 x0 ตวั อยา่ งท่ี 4.2 ตุ๊กตาเซรามิคที่ผลติ จากโรงงานแหง่ หน่ึง พบวา่ มีรอยตาหนจิ านวน 20% ถ้าสมุ่ ตัวอยา่ งต๊กุ ตาจากโรงงานน้ีมา 15 ตัว จงหาความน่าจะเป็นทีพ่ บตุ๊กตามีรอยตาหนิ ก. จานวน 2 ตัว ข. ไมเ่ กนิ 4 ตัว ค. มากกว่า 5 ตัว ง. อยา่ งมาก 5 ตัว จ. ตง้ั แต่ 3 ถงึ 6 ตัว

74 วธิ ที า จากโจทย์ n คือ จานวนตุ๊กตาทสี่ ุ่มมา ; n = 15 p คือ ความนา่ จะเป็นที่ตุก๊ ตามรี อยตาหนิ ; p = 0.20 q คอื ความนา่ จะเปน็ ที่ตกุ๊ ตาไม่มีรอยตาหนิ ; q = 1 – 0.20 = 0.80 X คือ จานวนตกุ๊ ตาที่จะมตี าหนิ ; X = 0 , 1 , 2 , …, 15 จะไดว้ ่าเปน็ การทดลองแบบทวินามที่เขยี นเปน็ สัญลักษณ์ไดว้ ่า X ~ b(15 , 0.20) ฟังกช์ นั ความน่าจะเปน็ ของการแจกแจงแบบทวินาม คือ f (x) = P(X = x) = n Cx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , …, 15 ก. ความน่าจะเป็นท่ีพบตุ๊กตามีรอยตาหนิจานวน 2 ตวั คือ P(X = 2) 21  P(X = 2) =  f (x) –  f (x) x0 x0 2 หาคา่ ความน่าจะเป็นจากการเปิดตารางทวินามท่ี n = 15, p = 0.20, k = 2 จะได้  f (x) = x0 1 0.398 และเปดิ ท่ี n = 15, p = 0.20, k = 1 จะได้  f (x) = 0.167 x0  P(X = 2) = 0.398 – 0.167 = 0.231 ดงั นัน้ ความนา่ จะเปน็ ทพ่ี บตุ๊กตามีรอยตาหนิจานวน 2 ตัว คอื 0.231 ข. ความนา่ จะเป็นทพ่ี บตกุ๊ ตามีรอยตาหนไิ มเ่ กิน 4 ตัว คือ P(X ≤ 4)  P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 4 = f(x) x0 4 หาค่าความน่าจะเป็นจากการเปดิ ตารางทวนิ ามที่ n = 15, p = 0.20, k = 4 จะได้  f (x) = x0 0.836  P(X ≤ 4) = 0.836 ดังนนั้ ความน่าจะเป็นทพ่ี บตุ๊กตามีรอยตาหนไิ ม่เกิน 4 ตวั คอื 0.836

75 ค. ความนา่ จะเป็นทพ่ี บตุก๊ ตามีรอยตาหนิมากกว่า 5 ตวั คอื P(X > 5)  P(X > 5 ) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X =8) +….+ P(X = 15) 15 5 = f(x)– f(x) x0 x0 5 = 1 – f(x) x0 5 หาค่าความนา่ จะเป็นจากการเปิดตารางทวนิ ามท่ี n = 15, p = 0.20, k = 5 จะได้  f (x) = x0 0.939  P(X > 5 ) = 1 – 0.939 = 0.061 ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ท่ีพบตุ๊กตามีรอยตาหนมิ ากกวา่ 5 ตัว คือ 0.061 ง. ความนา่ จะเป็นท่ีพบตุก๊ ตามีรอยตาหนิอย่างมาก 5 ตวั คอื P(X ≤ 5)  P(X ≤ 5 ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 = f(x) x0 5 หาคา่ ความนา่ จะเป็นจากการเปิดตารางทวินามท่ี n = 15, p = 0.20, k = 5 จะได้  f (x) = x0 0.939  P(X > 5 ) = 0.939 ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ท่ีพบตุ๊กตามรี อยตาหนิอย่างมาก 5 ตวั คือ 0.939 จ. ความน่าจะเป็นที่พบตกุ๊ ตามีรอยตาหนิตงั้ แต่ 3 ถงึ 6 ตัว คอื P(3 ≤ X ≤ 6)  P(3 ≤ X ≤ 6) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) 62 = f(x) – f(x) x0 x0 หาค่าความนา่ จะเป็นจากการเปดิ ตารางทวนิ ามที่ n = 15, p = 0.20, k = 6

76 จะได้ 6 f ( x) = 0.982 และเปิดที่ n = 15, p = 0.20, k = 2 จะได้ 2 f (x ) = 0.398   x0 x0  P(3 ≤ X ≤ 6) = 0.982 – 0.398 = 0.584 ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ทีพ่ บตุ๊กตามีรอยตาหนิต้ังแต่ 3 ถงึ 6 ตัว คือ 0.584 4.2 การแจกแจงแบบปัวสซ์ อง (Poisson Distribution) เปน็ การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรส่มุ ชนิดไม่ต่อเนื่องเหมอื นกัน แต่ลักษณะของ การแจกแจงนี้จะเป็นการศกึ ษาถงึ จานวนครั้งของการเกดิ เหตกุ ารณ์ที่สนใจ ทเี่ กดิ ข้ึนในช่วงเวลาใด ชว่ งเวลาหน่งึ หรอื ขอบเขตใดขอบเขตหนงึ่ เช่น จานวนผ้มู าใช้บรกิ ารในธนาคารแหง่ หน่งึ ใน ช่วงเวลาหนึ่ง จานวนคนไข้ท่ีเขา้ รบั การตรวจโรคทั่วไป ต่อวันของโรงพยาบาลแห่งหน่งึ เปน็ ตน้ ถา้ ให้ตวั แปรสมุ่ X แทนจานวนของความสาเร็จทีเ่ กิดขึ้นในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง หรอื ขอบเขตใดๆที่กาหนด โดย X จะมคี ่าเป็น 0 , 1 , 2 , 3 , … ดงั นั้นตัวแปรสุม่ X จะมีการแจกแจง แบบปวั สซ์ อง ที่มีพารามเิ ตอร์  ซ่งึ เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ X ~ p(x ; ) โดย  แทนค่าเฉล่ียของจานวนความสาเรจ็ ท่ีเกิดขึน้ ในช่วงเวลาใด หรือขอบเขตใดๆ ที่ กาหนด และต้องเปน็ ชว่ งเวลาหรือขอบเขตเดยี วกนั กับ ตัวแปรสุ่ม X และฟงั ก์ชนั ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวสซ์ อง คอื f (x) หรือ P(X = x) = e  x ; x = 0, 1, 2, … x! ค่าคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสมุ่ ที่มีการแจกแจงแบบปวั สซ์ อง คือ ค่าคาดหวงั E (X) =  = E(X) =  ความแปรปรวน V (X) = 2 = E(X) =  ตัวอยา่ งที่ 4.3 โรงพยาบาลแหง่ หนงึ่ พบวา่ โดยเฉลย่ี จะมีผปู้ ว่ ย 6 คนเข้ารับการรักษาในหอ้ งฉกุ เฉิน ในชว่ งเวลา 22.00 – 24.00 น. จงหาความนา่ จะเป็นทใี่ นช่วงเวลาดังกล่าวของวันพรงุ่ น้ีจะมผี ูป้ ่วยเขา้ รบั การรกั ษาในหอ้ งฉกุ เฉิน ก. จานวน 7 คน ข. จานวนนอ้ ยกว่า 4 คน ค. อย่างน้อย 4 คน ง. จงหาคา่ คาดหวงั ของจานวนผูป้ ว่ ยท่ีเขา้ รบั การรกั ษาในห้องฉกุ เฉิน

77 จ. จงหาความแปรปรวนของจานวนผู้ป่วยท่ีเขา้ รบั การรักษาในหอ้ งฉกุ เฉนิ วิธที า จากโจทย์  คอื จานวนผ้ปู ่วยเฉลีย่ ท่ีเข้ารับการรักษาหอ้ งฉกุ เฉินในชว่ งเวลาดงั กลา่ ว ;  = 6 X คอื จานวนผู้ปว่ ยทเ่ี ข้ารับการรักษาห้องฉุกเฉนิ ในชว่ งเวลาดังกลา่ ว ; x = 0, 1, 2, … จะไดว้ า่ เป็นการทดลองแบบปัวส์ซองที่เขยี นเปน็ สัญลกั ษณ์ ได้วา่ X ~ p(x ; 6) ฟังก์ชันความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ f (x) = P(X = x) = e  x ; x = 0, 1, 2, … x! ก. ความน่าจะเป็นทมี่ ีผปู้ ว่ ยเข้ารับการรักษาในหอ้ งฉุกเฉนิ จานวน 7 คน คือ P (X = 7)  P (X = 7) = e  x x! e6 67 = 7! = 0.1377 ดังนน้ั ความนา่ จะเปน็ ที่มีผูป้ ่วยเข้ารับการรักษาในห้องฉุกเฉินจานวน 7 คน คือ 0.1377 ข. ความนา่ จะเป็นที่มผี ู้ป่วยเขา้ รับการรักษาในหอ้ งฉุกเฉินจานวน น้อยกว่า 4 คน คือ P (X < 4)  P (X < 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = e6 60 + e6 61 + e6 62 + e 6 63 0! 1! 2! 3! = 0.0025 + 0.0149 + 0.0446 + 0.0892 = 0.1512 ดงั น้ัน ความนา่ จะเปน็ ที่มีผปู้ ่วยเขา้ รับการรกั ษาในห้องฉุกเฉิน น้อยกว่า 4 คน คือ 0.1512 ค. ความน่าจะเป็นท่ีมผี ้ปู ่วยเข้ารับการรกั ษาในห้องฉกุ เฉิน อย่างนอ้ ย 4 คน คอื P (X ≥ 4)  P (X ≥ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + …… = 1 – (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) ) = 1 – ( e 6 60 + e6 61 + e6 62 + e6 63 0! 1! 2! 3!

78 = 1 – (0.0025 + 0.0149 + 0.0446 + 0.0892) = 0.8488 ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นท่ีมีผปู้ ่วยเขา้ รับการรกั ษาในห้องฉุกเฉนิ อย่างน้อย 4 คน คือ 0.8488 ง. หาคา่ คาดหวังของจานวนผู้ป่วยท่ีเขา้ รบั การรักษาในห้องฉุกเฉิน E(X) =  =6 ดงั นน้ั คาดวา่ จานวนผปู้ ว่ ยท่ีเขา้ รับการรกั ษาในห้องฉกุ เฉิน คือ 6 คน จ. ความแปรปรวนของจานวนผู้ปว่ ยท่เี ข้ารับการรักษาในห้องฉกุ เฉนิ V(X) =  =6 ดงั นั้น ความแปรปรวนของจานวนผู้ป่วยท่เี ข้ารบั การรกั ษาในหอ้ งฉกุ เฉิน คอื 6 คน2 การหาค่าความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงแบบปัวสซ์ องโดยใชต้ าราง การหาคา่ ความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่ ทมี่ กี ารแจกแจงแบบปวั สซ์ อง นอกจากจะ คานวณหาโดยใชฟ้ งั กช์ นั ความน่าจะเปน็ ของการแจกแจงแบบปัวส์ซองแลว้ ยงั สามารถหาคา่ ความ น่าจะเปน็ ได้จากตารางหาค่าความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงแบบปวั ส์ซอง (ดูจากภาคผนวกท้าย หนังสอื หรือตารางสถติ ิ) จากตาราง ให้ตวั แปรสุม่ X มกี ารแจกแจงแบบปวั ส์ซอง X ~ p(x ; ) ซง่ึ  คือคา่ เฉล่ยี ของจานวนความสาเรจ็ ทเ่ี กิดขึน้ ในการทดลอง x คือจานวนครง้ั ของความสาเร็จในการทดลอง ค่าที่ไดจ้ ากตารางจะเป็นคา่ ความนา่ จะเปน็ สะสม ของตวั แปรสุ่ม X หรอื เป็นคา่ ความน่าจะเป็นท่ี X x มคี า่ น้อยกว่าหรือเท่ากบั x โดยตารางจะแสดงคา่ P(X  x) หรือ  f(x) x0 เช่น ถ้ากาหนดให้  = 4.2 และต้องการหาคา่ P(X = 5) 54 ซ่งึ เทา่ กบั  f (x)   f (x) ก็จะเปดิ ตารางที่  = 4.2 และ x = 5 x0 x0

79 จะไดค้ ่า P(X  5) = 5 f (x ) = 0.753 และที่ x=4 จะได้ P(X  4) = 4 f (x ) = 0.590   x0 x0 ดงั นัน้ จะไดค้ า่ P(X = 5) มีค่าเป็น 0.753  0.590 = 0.163 4 และถา้ ตอ้ งการหาค่า P(X < 5) จะได้ค่าเท่ากบั  f (x) = 0.590 x0 ตวั อยา่ งท่ี 4.4 จานวนอุบตั ิเหตทุ ี่เกิดข้ึนในโรงงานแห่งหนึ่งมกี ารแจกแจงแบบปัวสซ์ อง โดยมี คา่ เฉลยี่ 2 ครั้งต่อปี จงหาความนา่ จะเป็นทีจ่ ะเกดิ อบุ ัตเิ หตุ ก. 3 คร้งั ในปนี ี้ ข. มากกวา่ 5 ครัง้ ในปีน้ี ค. น้อยกวา่ 4 ครั้ง ในสองปี วธิ ที า จากโจทย์  คือ จานวนอุบัติเหตุเฉล่ียท่ีเกดิ ขึ้นในโรงงานต่อปี ;  = 2 X คอื จานวนอุบตั ิเหตุทจ่ี ะเกดิ ขน้ึ ในโรงงานตอ่ ปี ; X = 0 , 1 , 2 , … จะได้ว่าเปน็ การทดลองแบบปวั ส์ซองท่ีเขยี นเปน็ สัญลักษณไ์ ดว้ า่ X ~ p( 2 ) ฟงั กช์ นั ความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบปวั ส์ซอง คือ f (x) = P(X = x) = e  x ; x = 0 , 1 , 2 , …. x! ก. ความน่าจะเป็นที่เกิดอบุ ตั ิเหตุ 3 คร้ังในปีน้ี คือ P(X = 3) 32  P(X = 3) =  f (x) –  f (x) x0 x0 3 หาค่าความนา่ จะเป็นจากการเปิดตารางปัวส์ซองที่  = 2 , k = 3 จะได้  f (x) = 0.857 และเปิดท่ี x0 2  = 2 , k = 2 จะได้  f (x)= 0.677 x0  P(X = 3) = 0.857 – 0.677 = 0.180 ดังนั้น ความน่าจะเปน็ ที่เกิดอุบัตเิ หตุ 3 คร้งั ในปีนี้ คือ 0.180

80 ข. ความนา่ จะเป็นท่ีเกดิ อบุ ตั ิเหตุมากกวา่ 5 ครัง้ ในปีนี้ คือ P(X > 5)  P(X > 5 ) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X =8) +…. =  f (x ) – 5  f(x) x0 x0 5 = 1 – f(x) x0 5 หาค่าความน่าจะเป็นจากการเปิดตารางปัวสซ์ องที่  = 2 , k = 5 จะได้  f (x) = 0.983 x0  P(X > 5 ) = 1 – 0.983 = 0.017 ดังนนั้ ความน่าจะเป็นท่ีเกดิ อุบัตเิ หตมุ ากกว่า 5 คร้งั ในปีน้ี คือ 0.017 ค. ความนา่ จะเป็นทีเ่ กิดอบุ ัติเหตุน้อยกว่า 4 ครั้ง ในสองปี คือ P(X < 4)  คือ จานวนอบุ ตั ิเหตุเฉลยี่ ทเ่ี กดิ ขนึ้ ในโรงงานต่อสองปี ;  = 4 X คอื จานวนอบุ ตั ิเหตุท่ีจะเกิดขึ้นในโรงงานตอ่ สองปี ; X = 0 , 1 , 2 , …  P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 3 = f(x) x0 3 หาค่าความนา่ จะเป็นจากการเปดิ ตารางปัวส์ซองที่  = 4 , k = 3 จะได้  f (x)= 0.433 x0  P(X < 4) = 0.433 ดงั นนั้ ความน่าจะเป็นที่เกดิ อุบตั ิเหตนุ อ้ ยกวา่ 4 คร้งั ในสองปี คือ 0.433 4.3 การประมาณคา่ การแจกแจงแบบทวนิ ามดว้ ยการแจกแจงแบบปวั ส์ซอง ถ้าให้ตวั แปรสุม่ X มีการแจกแจงแบบทวินาม X ~ b(x; n, p) แลว้ n มคี ่ามาก (n) และ p มคี ่านอ้ ย (p0) จะสามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามได้ดว้ ยการแจกแจง แบบปวั ส์ซอง p(x; ) โดย  = np ซง่ึ เปน็ ค่าคงที่

81 ตัวอย่างท่ี 4.5 สมมุตวิ ่าความน่าจะเปน็ ที่แตล่ ะคนจะหูหนวกมคี ่าเท่ากบั 0.001 จงหาความน่าจะเป็น ทส่ี ่มุ คนมา จานวน 1,500 คน แล้วจะพบคนท่ีหูหนวก ก. อยา่ งมาก 2 คน ข. มากกว่า 4 คน วิธที า จากโจทย์ n คอื จานวนคนที่ถูกสุม่ มา ; n = 1,500 p คอื ความน่าจะเปน็ ท่ีแต่ละคนจะหหู นวก ; p = 0.001 q คือ ความนา่ จะเป็นที่แตล่ ะคนหไู ม่หนวก ; q = 1 – 0.001 = 0.999 X คอื จานวนคนท่ีจะหูหนวก ; X = 0 , 1 , 2 , …, 1,500 จะได้วา่ เปน็ การทดลองแบบทวินามที่เขยี นเปน็ สญั ลักษณ์ไดว้ า่ X ~ b(1,500 , 0.001) ฟงั ก์ชันความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบทวนิ าม คือ f (x) = P(X = x) = n Cx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , …, 1,500 เนือ่ งจาก n , p0 ดังนน้ั สามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามด้วยการแจกแจง แบบปวั สซ์ องได้ โดย  = np = 1,500 x 0.001 = 1.5 จะไดว้ า่ เป็นการทดลองแบบปวั สซ์ องที่เขียนเปน็ สัญลกั ษณไ์ ด้ว่า X ~ p( 1.5 ) ก. ความนา่ จะเปน็ ท่ีพบคนที่หหู นวก อยา่ งมาก 2 คน คือ P(X  2) 2 P(X  2) =  f(x) x0 เปดิ ตารางหาคา่ ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปวั ส์ซองท่ี  = 1.5 และ x = 2 จะได้ 2 ค่า  f(x) = 0.809 x0  P(X  2) = 0.809 ข. ความนา่ จะเป็นที่พบคนที่หหู นวก มากกวา่ 4 คน คอื P(X > 4) 4 P(X > 4) = 1 –  f(x) x0

82 เปดิ ตารางหาค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปวั ส์ซองท่ี  = 1.5 และ x = 4 จะได้ 4 ค่า  f (x) = 0.981 x0  P(X > 4) = 1 – 0.981 = 0.019 4.4 การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) การแจกแจงแบบปกติ เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุม่ ชนิดต่อเน่ือง ทีม่ ี ความสาคัญ และมีประโยชนม์ าก เพราะขอ้ มลู สว่ นใหญใ่ นธรรมชาตทิ ่ีมีอย่มู ักจะมกี ารแจกแจงท่ี ใกลเ้ คยี งกบั รปู แบบการแจกแจงแบบปกติ เช่น ข้อมลู ปรมิ าณผลผลติ การสง่ ออกขา้ ว รายได้ น้าหนัก ส่วนสูง ฯลฯ ถา้ ใหต้ ัวแปรสุม่ X เป็นตวั แปรสมุ่ ชนิดตอ่ เนื่องทมี่ ีการแจกแจงแบบปกติ โดยมี  คือ คา่ เฉลีย่ และ 2 คอื ความแปรปรวน เป็นพารามเิ ตอร์ ซึ่งเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ X ~ N(, 2) และฟงั ก์ชันความหนาแน่นน่าจะเป็น (Probability Density Function ; p.d.f.) ของการแจกแจงแบบ ปกติ คือ f(x) = 1 e 12  x 2 ; - < x <  , - <  <  , 2  0 โดย 22  X คือ ตวั แปรสมุ่ ชนิดตอ่ เนื่องท่มี ีการแจกแจงแบบปกติ  คือ ค่าเฉล่ยี ของประชากร 2 คือ ความแปรปรวนของประชากร  มีค่าเทา่ กบั 3.14159…. e มีค่าเทา่ กบั 2.71828… จากฟงั กช์ นั ความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ X ทีม่ กี ารแจกแจงแบบปกติ ถ้าทราบ ค่าพารามเิ ตอร์  และ 2 และจากการแทนค่า X ก็จะไดค้ า่ ความน่าจะเป็นของแตล่ ะคา่ X ออกมา และเมอ่ื นาค่าความน่าจะเปน็ เหลา่ น้ันมาลงจุด กจ็ ะไดก้ ราฟเปน็ เสน้ โค้ง ซึง่ เรยี กวา่ โคง้ ปกติ (Normal curve)

83 คุณสมบตั ิของโค้งการแจกแจงแบบปกติ 1. เป็นกราฟเส้นโคง้ รปู ระฆงั ควา่ ทีม่ ีจุดยอดเพยี งจุดเดยี ว 2. เสน้ โค้งปกติจะมีแกน X โดยปลายรูปทัง้ สองข้างจะลู่เขา้ ใกลแ้ กน X แตจ่ ะไมพ่ บแกน 3. เส้นโค้งปกติจะมี ค่าเฉลีย่ มธั ยฐาน และฐานนิยม ที่มีคา่ เท่ากนั และอยู่ ณ ตาแหน่งตรง กลางรูป 4. ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสมุ่ X คอื  และ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X คือ 2 5. เส้นโค้งปกติจะมีลักษณะสมมาตรรอบคา่ เฉลี่ย  โดยมจี ุดเปลีย่ นโค้งท่ี X =    6. พน้ื ท่ภี ายใต้เส้นโคง้ ทอี่ ย่เู หนือแกน X ทั้งหมดจะเทา่ กบั 1 และแกนทตี่ งั้ ลากผา่ น  จะ แบ่งพ้ืนทภ่ี ายใตเ้ สน้ โคง้ ออกเปน็ 2 สว่ นทเ่ี ทา่ ๆ กัน ดงั รปู f(x) 0.5 0.5 2  X การคานวณค่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกติ เปน็ การคานวณหาพ้นื ท่ีภายใตเ้ ส้นโค้งโดยอาศยั ฟังกช์ ันของการแจกแจงแบบปกติ ท่ที ราบ ค่าพารามเิ ตอร์ และ 2 เชน่ ตอ้ งการหาพื้นทีภ่ ายใต้เส้นโค้งที่อยู่ระหวา่ ง X = a และ X = b กค็ ือ การหา P (a < X < b) จะได้ f(x) 2 X a b b = b 1 e 12 x 2 dx ; - < x <  2   f (x) dx   a a

84 ซงึ่ จะเห็นวา่ การคานวณคอ่ นขา้ งยุ่งยากมาก เนือ่ งจากเสน้ โค้งของการแจกแจงแบบปกติจะมี ลักษณะท่ีหลากหลายไม่เหมือนกัน โดยข้ึนอย่กู ับคา่ พารามิเตอร์ และ 2 ทีเ่ ปลย่ี นไป จึงไดม้ กี าร พยายามสรา้ งตารางการคานวณค่าความน่าจะเป็นขึ้นมา เพอ่ื ความสะดวก แต่ตารางดงั กล่าวจะ สามารถใช้หาคา่ ความนา่ จะเปน็ ได้เฉพาะในกรณีที่ตวั แปรสุ่มแบบปกติ X น้ัน มีค่าเฉล่ยี เปน็ 0 ( = 0) และความแปรปรวนเปน็ 1 (2= 1) เท่าน้นั ซึง่ เรยี กวา่ ตัวแปรส่มุ นีว้ า่ ตัวแปรสุ่มแบบปกติ มาตรฐาน 4.5 การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) จากเหตุผลที่กล่าวมา จึงต้องมีการปรบั ค่าตัวแปรสุ่มท่ีมกี ารแจกแจงแบบปกติ X~N(, 2) ซงึ่ มคี ่าพารามิเตอร์  และ 2 ใด ๆ ให้เปน็ ตัวแปรสุ่มทม่ี กี ารแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน Z (Standard Normal Distribution ) โดยที่ Z มีการแจกแจงแบบปกติท่ีมีคา่ เฉลย่ี เปน็ 0 ( = 0) และ ความแปรปรวนเปน็ 1 (2= 1) ซึ่งเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ Z ~ N( 0 , 1) โดย Z = x  และฟงั ก์ชนั ความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน คือ f(z) = 1 e  1 Z2 ; - < z <  2 2 ลักษณะเส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานจะเป็นรปู ดังนี้ 2 = 1 Z =0 การหาค่าความน่าจะเปน็ ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานโดยใชต้ าราง การหาคา่ ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน สามารถหาไดจ้ ากตารางสถิติ หรือตารางจากภาคผนวกทา้ ยหนงั สือ โดยค่าในตารางจะแสดงค่าความนา่ จะเป็นหรือพื้นทีภ่ ายใต้ เส้นโค้ง นับจากจุด  = 0 ถงึ จุด z ทก่ี าหนดให้ ดังรปู

85 Z 0z ตัวอยา่ งที่ 4.6 จงหาค่าความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐาน Z ดงั ต่อไปนี้ ก) P(0 < Z < 2.17) ข) P(-2.31 < Z < 0) ค) P(Z < 2.2) ง) P(Z < -1.75) จ) P(Z > 1.46) ฉ) P(Z > -0.92) ช) P(-2.04 < Z < 2) ซ) P(-2.92 < Z <-0.59) ฌ) P(0.68 < Z < 2.44) วิธที า ก. P(0 < Z < 2.17) 0.4850 Z 0 461 2.17 P(0 < Z < 2.17) = 0.4850 ข. P(-2.31 < Z < 0) 0.4896 Z - 2.31 821 0

86 P(-2.31 < Z < 0) = 0.4896 ค. P(Z < 2.2) 0.50 0.4861 Z 0 2.2 Z P(Z < 2.2) = 0.50 + P(0 < Z < 2.2) = 0.50 + 0.4861 = 0.9861 ง. P(Z < -1.75) 0.50 – 0.4599 0.4599 -1.75 0 Z = 0.5 – P(-1.75 < Z < 0) P(Z < -1.75) = 0.5 – P(0 < Z < 1.75) = 0.5 – 0.4599 = 0.0401 จ. P(Z > 1.46) 0.4279 0.5 – 0.4279 0 1.46 Z = 0.5 – P(0 < Z < 1.46) P(Z > 1.46) = 0.5 – 0.4279 = 0.0721

87 ฉ. P(Z > -0.92) 0.3212 0.50 Z - 0.92 P(Z > -0.92) = P(-0.92 < Z < 0) + 0.50 = P(0 < Z < 0.92) + 0.50 = 0.3212 + 0.50 = 0.8212 ช. P(-2.04 < Z  2) 0.4793 0.4772 Z -2.04 0 2 P(-2.04 < Z < 2) = P(-2.04 < Z < 0) + P(0 < Z < 2) = P(0 < Z < 2.04) + 0.4772 = 0.4793+ 0.4772 = 0.9565 ซ. P(-2.92 < Z <-0.59) .2224 0.4983 Z P(-2.92 < Z <-0.59) -2.92 -0.59 0 = P(-2.92 < Z < 0) – P(-0.59 < Z < 0)

88 = P(0 < Z < 2.92) – P(0 < Z < 0.59) = 0.4983 – 0.2224 = 0.2759 ฌ. P(0.68 < Z < 2.44) 0.2518 0.4927 Z P(0.68 < Z < 2.44) 0 0.68 2.44 = P(0 < Z < 2.44) – P(0 < Z < 0.68) = 0.4927 – 0.2518 = 0.2409 ตัวอยา่ งท่ี 4.7 อายุการใชง้ านของหลอดภาพยหี่ ้อหนึ่ง มีการแจกแจงแบบปกตดิ ้วยค่าเฉลย่ี 4.2 ปี และสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 0.5 ปี จงหาความน่าจะเป็นทห่ี ลอดภาพยหี่ ้อดงั กลา่ วนี้ หนึ่ง หลอดจะมีอายกุ ารใชง้ านนาน ก. อย่างนอ้ ย 5 ปี ข. ไมเ่ กิน 5.5 ปี วธิ ีทา จากโจทย์ X คือ อายกุ ารใช้งานของหลอดภาพ  คือ อายกุ ารใช้งานโดยเฉลยี่ ของหลอดภาพ ;  = 4.2  คอื ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายกุ ารใชง้ านของหลอดภาพ ;  = 0.5 เขียนเปน็ สัญลกั ษณ์ ไดว้ า่ X ~ N( = 4.2 , 2 = 0.5 2) ก. ความน่าจะเปน็ ท่ีหลอดภาพมีอายกุ ารใชง้ าน อย่างน้อย 5 ปี คอื P(X ≥ 5) เนือ่ งจาก X ~ N( = 4.2 , 2 = 0.5 2 ) ปรับค่า X ให้เปน็ Z ~ N( = 0, 2 = 1) โดยใช้สูตร x Z = 

89 จาก X = 5 จะได้ Z= 5  4.2 = 1.6  P(X ≥ 5) 0.5 = P(Z ≥ 1.6) 0.4452 0.5 – 0.4452 0 1.6 Z P(Z ≥ 1.6) = 0.5 – P(0 < Z < 1.6) = 0.5 – 0.4452 = 0.0548 ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ท่ีหลอดภาพมอี ายุการใชง้ าน อยา่ งน้อย 5 ปี คอื 0.0548 ข. ความน่าจะเป็นทห่ี ลอดภาพมอี ายกุ ารใช้งาน ไมเ่ กิน 5.5 ปี คือ P(X ≤ 5.5) จาก X = 5.5 จะได้ Z= 5.5  4.2 = 2.6 0.5  P(X ≤ 5.5) = P(Z ≤ 2.6) 0.50 0.4953 0 2.6 Z P(Z  2.6) = 0.50 + P(0 < Z  2.6) = 0.50 + 0.4953 = 0.9953 ดังนน้ั ความนา่ จะเป็นที่หลอดภาพมีอายุการใช้งาน ไมเ่ กนิ 5.5 ปี คอื 0.9953

90 4.6 การประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามดว้ ยการแจกแจงแบบปกติ ตัวแปรสุ่ม X ทมี่ ีการแจกแจงแบบทวนิ าม X ~ b(x; n, p) แล้ว n มคี า่ มาก (n ) และ p มคี า่ เขา้ ใกล้ 0.5 (p 0.5) จะสามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามได้ด้วยการแจกแจงแบบ x  np ปกติ โดย  = np และ 2 = npq ทาใหไ้ ด้คา่ ดังนี้ Z= npq และจะต้องมกี ารปรับค่าตัวแปรสุ่ม X ก่อน เนื่องจากในการแจกแจงแบบทวนิ าม ตัวแปร สุม่ X เปน็ ตัวแปรสุ่มชนดิ ไม่ต่อเน่ือง แต่ตัวแปรสุ่ม X ในการแจกแจงปกตเิ ปน็ ตัวแปรสุ่มชนิด ต่อเนอ่ื ง ดงั น้นั การประมาณคา่ การแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ จงึ จาเปน็ ตอ้ ง ปรบั ตวั แปรสุม่ ชนิดไมต่ อ่ เนื่อง ใหเ้ ปน็ ชนดิ ตอ่ เน่อื งก่อน ซง่ึ ท่ัวไปจะปรับด้วยคา่  0.5 การปรับคา่ ตวั แปรจากตวั แปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเนอื่ งเป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนอ่ื ง X discreteเป็นตัวแปรสุ่มชนดิ ไมต่ ่อเนอื่ ง X continuousเป็นตวั แปรสุม่ ชนิดตอ่ เนือ่ ง P( Xd = a) = P(a – 0.5 < Xc < a + 0.5) P( Xc > a + 0.5) P( Xd > a) = P( Xc < a – 0.5) P( Xd < a) = P( Xc  a – 0.5) P( Xd  a) = P( Xc  a + 0.5) P( Xd  a) = เชน่ 1. P( Xd = 4) = P(3.5 < Xc < 4.5) 2. P( Xd > 4) = P( Xc > 4.5) 3. P( Xd < 4) = P( Xc < 3.5) 4. P( Xd  4) = P( Xc  3.5) 5. P( Xd  4) = P( Xc  4.5) 6. P(2  Xd  4) = P(1.5  Xc  4.5) 7. P(3  Xd < 5) = P(2.5  Xc < 4.5) 8. P(2 < Xd < 4) = P(2.5 < Xc < 3.5)

91 ตัวอย่างที่ 4.8 นกั บาสเกตบอลผหู้ นง่ึ มีความแม่นยาในการโยนลกู บาสลงหว่ ง 80% ในฤดกู าล แขง่ ขันครงั้ หนึ่ง ถ้านักบาสเกตบอลผู้น้ีพยายามโยนลกู บอลลงห่วง 120 คร้ัง จงหาความนา่ จะเป็นท่ี จะโยนได้สาเร็จ ก. นอ้ ยกว่า 95 ครงั้ ข. 100 คร้งั วธิ ที า จากโจทย์ n คอื จานวนที่นักบาสพยายามโยนลงห่วง ; n = 120 p คือ ความน่าจะเปน็ ท่ีเขามีความแม่นยาในการโยนลูกบาสลงหว่ ง ; p = 0.80 q คอื ความน่าจะเป็นท่ีเขาโยนไม่ลงหว่ ง ; q = 1 – 0.80 = 0.20 X คือ จานวนท่ีเขาจะโยนลกู บาสลงหว่ งไดส้ าเร็จ ; X = 0 , 1 , 2 , …, 120 จะได้ว่าเป็นการทดลองแบบทวินามที่เขียนเป็นสญั ลักษณ์ได้ว่า X ~ b(120 , 0.80) ฟังก์ชันความนา่ จะเป็นของการแจกแจงแบบทวนิ าม คอื f (x) = P(X = x) = n Cx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , …, 120 เน่ืองจาก n  , p0.5 ดงั นนั้ สามารถประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามดว้ ยการแจกแจง แบบปกตไิ ด้ โดย  = np = 120 x 0.80 = 96 และ  2 = npq = 120 x 0.80 x 0.20 = 19.2 เขยี นเป็นสัญลักษณ์ ได้ว่า X ~ N( = 96 , 2 = 19.2) ปรับคา่ X ให้เปน็ Z ~ N( = 0, 2 = 1) โดยใชส้ ตู ร x Z =  ก. ความนา่ จะเป็นท่ีนกั บาสจะโยนลูกลงห่วงได้สาเรจ็ นอ้ ยกว่า 95 ครง้ั คือ P ( Xd < 95) P( Xd < 95) = P( Xc < 94.5) 94.5  96 4.382 จาก Xc = 94.5 จะได้ Z = = - 0.34 P( Xc < 94.5) = P(Z < - 0.34)

92 0.50 – 0.1331 0.1331 -0.34 0 Z P(Z < -0.34) = 0.5 – P(-0.34 < Z < 0) = 0.5 – P(0 < Z < 0.34) = 0.5 – 0.1331 = 0.3669 น่ันคอื ความน่าจะเป็นท่นี กั บาสจะโยนลูกลงห่วงได้สาเรจ็ นอ้ ยกวา่ 95 คร้งั คือ 0.3669 ข. ความนา่ จะเป็นท่นี กั บาสจะโยนลูกลงห่วงไดส้ าเร็จ จานวน 100 คร้ัง คือ P ( Xd = 100) P( Xd = 100) = P(99.5 < Xc < 100.5) 99.5  96 จาก Xc = 99.5 จะได้ Z = 4.382 = 0.798 = 0.80 จาก Xc = 100.5 จะได้ Z = 100.5  96 = 1.03 4.382 P(99.5 < Xc < 100.5)= P( 0.80< Z < 1.03) 0.2881 0.3485 0 0.80 1.03 Z P(0.80 < Z < 1.03) = P(0 < Z < 1.03) – P(0 < Z < 0.80) = 0.3485 – 0.2881 = 0.0604 ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นท่ีนกั บาสจะโยนลกู ลงห่วงไดส้ าเรจ็ จานวน 100 ครั้ง คือ 0.0604

93 4.7 การประมาณคา่ การแจกแจงแบบปัวส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติ ถ้าตัวแปรส่มุ X มกี ารแจกแจงแบบปัวสซ์ อง p(x; ) แลว้  มคี า่ มาก (  ) จะ สามารถประมาณคา่ การแจกแจงแบบปัวสซ์ องได้ด้วยการแจกแจงแบบปกติ โดย  =  และ 2 =  ทาใหไ้ ด้คา่ ดงั น้ี Z = x    และจะต้องมีการปรบั คา่ ตัวแปรสุม่ X กอ่ น ซงึ่ เน่อื งจากในการแจกแจงแบบปวั ส์ซอง ตัว แปรสุ่ม X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่อง แตต่ ัวแปรสุ่ม X ในการแจกแจงปกติ เป็นตัวแปรส่มุ ชนิดต่อเน่ือง ดังนั้นการประมาณค่าการแจกแจงแบบปวั ส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติ จงึ จาเป็นตอ้ งปรับตวั แปรสุ่มแบบไมต่ อ่ เน่ือง ใหเ้ ปน็ แบบต่อเน่อื ง ดว้ ยค่า  0.5 เช่นเดียวกบั การ ประมาณคา่ การแจกแจงแบบทวนิ ามดว้ ยการแจกแจงแบบปกติ ตวั อยา่ งท่ี 4.9 จากการสารวจพบว่า หา้ งสรรพสนิ คา้ แห่งหนึง่ จะมผี ู้มาใชบ้ ริการ โดยเฉลี่ยชัว่ โมง ละ 55 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทหี่ า้ งแห่งน้ีจะมีผเู้ ข้ามาใช้บรกิ าร ก. มากกวา่ 60 คนในหนึง่ ช่วั โมง ข. ไมเ่ กนิ 62 คน ในหนงึ่ ชวั่ โมง วธิ ที า จากโจทย์  คอื จานวนผมู้ าใชบ้ รกิ ารหา้ งโดยเฉลีย่ ในหน่งึ ช่ัวโมง ;  = 55 X คอื จานวนผู้มาใช้บริการหา้ งในหนึ่งช่ัวโมง ; X = 0 , 1 , 2 , … จะไดว้ า่ เป็นการทดลองแบบปวั ส์ซองที่เขยี นเป็นสัญลักษณไ์ ด้ว่า X ~ p( 55 ) ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปวั สซ์ อง คือ f (x) = P(X = x) = e  x ; x = 0 , 1 , 2 , …. x! เน่ืองจาก   ดงั น้นั สามารถประมาณคา่ การแจกแจงแบบปวั ส์ซองด้วยการแจกแจงแบบปกติ ได้ โดย  =  = 55 และ  2 =  = 55 เขียนเปน็ สัญลกั ษณ์ ไดว้ ่า X ~ N( = 55 , 2 = 55) ปรับคา่ X ให้เป็น Z ~ N( = 0, 2 = 1) โดยใช้สูตร x Z = 

94 ก. ความน่าจะเปน็ ท่ีหา้ งนีจ้ ะมผี ู้เข้ามาใชบ้ ริการมากกวา่ 60 คนในหน่ึงชั่วโมง คือ P( Xd >60) P( Xd > 60) = P( Xc > 60.5) 60.5  55 7.416 จาก Xc = 60.5 จะได้ Z = = 0.742 P( Xc > 60.5) = P(Z > 0.742) 0.2704 0.5 – 0.2704 0 0.742 Z P(Z > 0.742) = 0.5 – P(0 < Z < 0.742) = 0.5 – 0.2704 = 0.2296 ดงั นั้น ความน่าจะเป็นท่ีห้างนจ้ี ะมีผู้เข้ามาใชบ้ ริการมากกวา่ 60 คนในหนึง่ ชั่วโมง คอื 0.2296 ข. ความน่าจะเป็นทห่ี ้างน้ีจะมผี เู้ ข้ามาใช้บริการไม่เกนิ 62 คนในหนง่ึ ช่วั โมง คือ P( Xd ≤62) P( Xd ≤ 62) = P( Xc < 62.5) 62.5  55 จาก Xc = 62.5 จะได้ Z = 7.416 = 1.01 P( Xc < 62.5) = P(Z < 1.01) 0.50 0.3438 0 1.01 Z P(Z < 1.01) = 0.50 + P(0 < Z  1.01) = 0.50 + 0.3438 = 0.8438 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีหา้ งน้จี ะมผี ู้เขา้ มาใช้บรกิ ารไม่เกิน 62 คนในหน่ึงชั่วโมง คือ 0.8438

95 แบบฝึกหัดบทท่ี 4 1.ในการสุม่ ตวั อยา่ งสนิ คา้ มาตรวจสอบเพื่อตัดสนิ ใจในการยอมรับผลิตภัณฑท์ ั้งลอตหรอื ไม่ ผู้ผลิต การันตีวา่ มีสนิ คา้ ทบ่ี กพร่องเพยี ง 1% หากจานวนสนิ ค้าที่สงั่ มาลอตหนง่ึ มจี านวน 200 ชน้ิ เจ้าหนา้ ท่ีจะสมุ่ ตัวอยา่ งสินค้ามาตรวจสอบ 6 ช้ินถ้าพบสินค้าบกพรอ่ งแมเ้ พียงช้ินเดยี วก็จะไม่ ยอมรับสนิ ค้าลอตน้ี จงคานวณ ก. ความนา่ จะเปน็ ที่จะยอมรับสินคา้ ลอตน้ี ข. ความนา่ จะเป็นทจี่ ะไมพ่ บสนิ คา้ บกพร่องเลย 2. นกั บาสเกตบอลคนหนึ่งมีสถิตชิ ูตลกู บาสลงห่วงโดยความน่าจะเป็น 0.75 ถ้าให้เขาทดลองชตู ลกู บาส 10 คร้งั จงคานวณความนา่ จะเปน็ ทเ่ี ขาจะชตู ลูกบาสลงห่วง ก. 8 คร้ัง ข. ไม่เกนิ 5 ครั้ง ค. อยา่ งน้อย 7 คร้ัง 3. โรงงานแหง่ หนง่ึ ศกึ ษาถงึ อตั ราการเกิดอุบัตเิ หตรุ ะหว่างการทางานจนเปน็ เหตุให้เครือ่ งจักรต้อง หยดุ เดินเครื่อง พบว่ามีอบุ ตั ิเหตุเกดิ ข้ึนด้วยอัตราเฉลี่ย 0.20 คร้งั ต่อปี จงคานวณคา่ ก. ความนา่ จะเป็นที่จะเกิดอุบตั เิ หตุ 1 ครงั้ ในช่วงเวลา 3 ปี ข. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดอุบัตเิ หตุไมเ่ กิน 2 ครงั้ ในชว่ งเวลา 5 ปี ค. ในชว่ งเวลา 10 ปี คาดว่าจะเกิดอุบตั ิเหตุก่ีครัง้ 4. Catt Telecom เปิดบริการโทรศพั ท์ทางไกลระหว่างประเทศโดยให้กด 077 กอ่ นสาหรบั ชว่ งน้มี ี โปรโมช่นั นาทลี ะ 6 บาทท่ัวโลก จากการเปิดบรกิ ารท่ีผ่านมาทาให้ทราบว่าโดยเฉลี่ยแลว้ จะมผี ตู้ อ่ สายเขา้ ระบบชวั่ โมงละ 132 สาย จงหาความนา่ จะเป็นท่ใี น 3 นาทจี ะมีผู้ต่อสายเข้าระบบอย่างนอ้ ย 4 สาย 5. การทดลองเพาะพันธุก์ ลา้ ไมช้ นดิ หนึ่งซ่ึงมอี ัตราการงอก 90 % ถ้าหากนักวิจัยใช้เมล็ดในการ เพาะจานวน 120 เมล็ด จงคานวณคา่ ก. ความนา่ จะเปน็ ที่จะมกี ลา้ ไมไ้ ม่งอก 5 เมลด็ ข. ความน่าจะเป็นท่ีจะมีกลา้ ไม้ไมง่ อกไม่เกิน 10 เมล็ด ค. ความน่าจะเป็นทจี่ ะมกี ลา้ ไม้งอก 108 เมลด็

96 6. กระบวนการบรรจนุ า้ ผลไม้กระปอ๋ งพบวา่ จะมจี านวน 2% ทีเ่ คร่ืองบรรจุน้าผลไมไ้ ดน้ ้อยกวา่ ที่ ระบุไวข้ า้ งฉลาก ในการสั่งซ้ือนา้ ผลไมก้ ระปอ๋ ง 200 กระป๋อง จงคานวณค่า ก. ความนา่ จะเปน็ ที่จะพบมีจานวนกระป๋องท่ีบรรจนุ ้าผลไม้น้อยกวา่ ท่ีระบุ 4 กระป๋อง ข. ความนา่ จะเป็นที่จะพบพบมจี านวนกระป๋องทบี่ รรจุน้าผลไมน้ ้อยกว่าที่ระบุ มากกวา่ 3 แต่ไม่เกนิ 7 กระป๋อง 7. ขอ้ มลู จากสรรพากรจังหวดั เชยี งใหมพ่ บว่า อตั ราการเสยี ภาษีของประชาชนมีการแจกแจงแบบ ปกติ เสยี ภาษโี ดยเฉล่ียรายละ 4,200 บาทและมีคา่ เบย่ี งเบนมาตรฐาน 1,600 บาท เม่ือสมุ่ ผู้เสยี ภาษี ทอี่ ยู่ในเขตจังหวัดเชียงใหม่มา 1 คน จงคานวณค่า ก. ความนา่ จะเปน็ ท่ีเขาจะเสียภาษีมากกวา่ 4,100 บาท ข. ความน่าจะเป็นที่เขาจะเสียภาษไี มเ่ กิน 5,800 บาท ค. ความน่าจะเป็นท่เี ขาจะเสียภาษรี ะหว่าง 3,000 ถงึ 7,000 บาท 8. อายุการใช้งานของหลอดไฟยีห่ ้อday มีการแจกแจงแบบปกติ มอี ายกุ ารใช้งานเฉล่ยี 15,000 ช่ัวโมง ถา้ หลอดไฟยี่หอ้ น้ี 96% มอี ายุการใชง้ านไม่เกนิ 15,500 ชว่ั โมง จงหาคา่ เบี่ยงเบน มาตรฐานของอายุการใชง้ านของหลอดไฟ 9. กระทรวงสาธารณสุขรายงานวา่ ชว่ งนี้ไก่ชนมีโอกาสจะเป็นไข้หวัดนกร้อยละ 55 ตรวจสอบไก่ ชนจากชมุ ชนแหง่ หน่งึ จานวน 200 ตวั จงคานวณคา่ ก. ความน่าจะเปน็ ท่ีจะพบไก่ชนเปน็ ไข้หวัดนกไมเ่ กนิ 90 ตัว ข. ความนา่ จะเป็นที่จะพบไก่ชนเป็นไข้หวัดนกตั้งแต่ 100 ถงึ 115 ตัว 10. ผู้ใช้มือถือ 40 % นยิ มเปลีย่ นเคร่ืองใหม่ในเวลาไม่เกิน 1 ปี ถ้าตดิ ตามผ้ทู ่ซี ้ือเครอื่ งโทรศัพท์ ใหม่จานวน 500 คน จงคานวณค่าความน่าจะเป็นที่จะมผี ู้ทีเ่ ปล่ียนเคร่ืองใหมใ่ นระยะเวลาไม่เกิน 1 ปีจานวน 180 – 200 คน 11. ถา้ มีโทรศัพทเ์ ข้ามายังพนกั งานรับโทรศพั ทข์ องโรงพยาบาล A โดยเฉลี่ย 2.4 คร้งั ต่อ 5 นาที จงคานวณ ก. ความน่าจะเป็นที่จะมีสายเขา้ 6 สายในช่วงเวลา 15 นาที ข. ความน่าจะเป็นท่ีจะมสี ายเขา้ 40 – 65 สายในหน่ึงช่ัวโมง ค. คาดว่าใน 1 ช่ัวโมงจะมสี ายเขา้ กี่สาย