แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 2.11 รหัสวชิ า ค31204 รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 2 ตรรกศาสตร์ เร่อื ง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 (เนน้ วิทยาศาสตร)์ ภาคเรยี นท่ี 2 เวลา 5 ชว่ั โมง 1. สาระคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ สาระจานวนและพีชคณิต 1. เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนิ การของจานวน ผลทเ่ี กิดข้นึ จากการดาเนนิ การสมบัติของการดาเนินการ และนาไปใช้ 2. ผลการเรียนรู้ ม.4/2 เขา้ ใจและใช้ความรูเ้ ก่ียวกับตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้นในการสอื่ สาร สอื่ ความหมาย และอ้างเหตผุ ล 3. สาระการเรยี นรเู้ พ่ิมเติม 3.1 การสมมลู กนั ของประโยคท่ีมตี วั บง่ ปริมาณ 3.2 นิเสธของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปริมาณ 4. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 4.1 สามารถหาประโยคหรอื ข้อความทส่ี มมูลกับประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณท่กี าหนดใหไ้ ด้ (K) 4.2 บอกรปู แบบของการเปน็ นิเสธของประโยคทมี่ ีตวั บ่งปริมาณได้ (K) 4.3 แสดงการตรวจสอบการสมมูลของประโยคที่มตี วั บ่งปริมาณได้ (P) 4.4 ตรวจสอบการเปน็ นิเสธของประโยคที่มีตัวบง่ ปริมาณได้ (P) 4.5 รบั ผิดชอบต่อหนา้ ทท่ี ไ่ี ด้รับมอบหมาย (A) 5. สาระสาคญั สมมลู ของประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณสามารถเปล่ียนตามรูปแบบการสมมลู กนั ของประพจน์โดยมีตัวบง่ ปรมิ าณเชน่ เดมิ นเิ สธของประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณสามารถหาไดต้ ามรปู แบบการนเิ สธของประพจน์ 6. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียน 6.1 ความสามารถในการสื่อสาร - การอธบิ ายและการนาเสนอผลงาน 6.2 ความสามารถในการคดิ - ทักษะการระบุ - ทักษะการใหเ้ หตุผล - ทักษะกระบวนการคิดแกป้ ัญหา - ทักษะการนาความรู้ไปใช้ - ทกั ษะการวิเคราะห์

6.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา - การประยุกต์ความร้มู าใชใ้ นการป้องกันและแก้ไขปัญหา 6.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวิต - เรยี นรูด้ ว้ ยตนเองได้เหมาะสมตามวยั - สามารถทางานกลมุ่ ร่วมกบั ผ้อู ื่นได้ - นาความรู้ทีไ่ ด้ไปใชป้ ระโยชนใ์ นชวี ติ ประจาวนั - การยอมรบั ฟังความคิดเห็นที่แตกตา่ ง 6.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี - เลอื กและใช้เทคโนโลยีไดเ้ หมาะสมตามวัย - ทักษะกระบวนการทางเทคโนโลยี - ใชเ้ ทคโนโลยใี นการแก้ปญั หาอย่างสร้างสรรค์ - สามารถนาเทคโนโลยไี ปใช้พัฒนาตนเอง 7. คณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ 7.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั ริย์ 7.2 ซื่อสัตยส์ ุจรติ 7.3 มวี ินยั 7.4 ใฝ่เรยี นรู้ 7.5 อยอู่ ยา่ งพอเพียง 7.6 มงุ่ ม่นั ในการทางาน 7.7 รักความเป็นไทย 7.8 มีจิตสาธารณะ 8. กระบวนการจัดการเรียนรู้ การจดั การเรียนรู้ แบบสืบเสาะหาความรู้ 5E (Inquiry Cycle) ประกอบด้วย 5 ขัน้ ตอน ข้ันท่ี 1 การสร้างความสนใจ (Engagement) 1.1 ผู้สอบทบทวนความรูแ้ ล้วคาถามว่า รูปแบบของประพจน์ทสี่ มมลู กันมกี ฎใดบา้ ง (แนวตอบ - กฎการสลับท่ี p∧q≡q∧p p∨q≡q∨p p↔q≡q↔p - กฎการเปล่ยี นหมู่ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) - กฎการแจกแจง p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) - กฎเดอมอร์แกน ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

- กฎการนเิ สธสองชั้น ~(~p) ≡ p - กฎการสมมูล p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) - กฎการมีเง่ือนไข p → q ≡ ~p ∨ q p → q ≡ ~p ∨ q - กฎการแย้งสลับท่ี p → q ≡ ~q → ~p) 1.2 ผสู้ อนเกริ่นนาว่า ประโยคเปดิ ที่มีเอกภพสมั พัทธแ์ ละมตี ัวบ่งปรมิ าณของตัวแปรทกุ ตวั นนั้ ตอ้ งเป็นประพจน์แลว้ ถามคาถามวา่ “ประโยคท่มี ตี วั บ่งปริมาณจะมรี ูปแบบการสมมูลและเปน็ นเิ สธกนั เหมอื นกับประพจน์หรือไม่” 1.3 ผสู้ อนแจกใบความรู้ เรือ่ ง สมมลู และนเิ สธของประโยคท่ีมตี ัวบง่ ปริมาณ ใชใ้ นการสอน เพ่อื ใหผ้ ู้เรียนสามารถมองเห็นภาพตวั เลขและวธิ ีดาเนินการต่าง ๆ ของเซตไดช้ ดั เจนมากย่งิ ข้ึน ขน้ั ที่ 2 การสารวจและคน้ หา (Exploration) 2.1 ผ้สู อนให้ผู้เรียนศกึ ษาตารางการสมมูลกันของรูปแบบสมมลู กนั ของประพจน์และประโยคเปดิ ในใบความรหู้ น้า 1 จากนน้ั ผู้สอนและผเู้ รียนรว่ มกนั อภปิ ราย เพื่อนาไปสู้ข้อสรปุ ท่วี ่า การสมมลู กันของ ประโยคเปดิ จะใชร้ ปู แบบเดยี วกันกับรปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู กนั 2.2 ผสู้ อนอธิบายเพิม่ เติมวา่ การสมมลู กนั ของประโยคเปดิ เมื่อประโยคเปิดแต่ละประโยคมตี วั บง่ ปริมาณชนดิ เดียวกัน จะได้ประพจนท์ ่สี มมูลกันด้วย คือ ∀x [ P(x) → Q(x) ] ≡ ∀x [~P(x) ∨ Q(x)] แตถ่ ้าประโยคเปิดแตล่ ะประโยคมีตัวบง่ ปรมิ าณคนละชนิดกัน จะได้ประพจนท์ ่ีไมส่ มมลู กนั คือ ∀x [ P(x) → Q(x) ] ไมส่ มมูลกบั ∃x [~P(x) ∨ Q(x)] 2.3 ผู้สอนให้ผู้เรียนจบั คู่กัน แลว้ ยกตัวอยา่ งการสมมูลกนั ของประโยคท่มี ตี ัวบง่ ปรมิ าณ โดย เทยี บรปู แบบทีส่ มมูลของประโยคท่ีมีตวั บ่งปรมิ าณในแต่ละประพจนย์ ่อยกับรูปแบบของประพจน์ทส่ี มมลู กนั ไดม้ าคนละ 1 ประโยค (ผสู้ อนควรให้ผูเ้ รียนเกง่ และผเู้ รียนอ่อนจบั คูก่ ัน) 2.4 ผ้สู อนอธิบายเพ่มิ เติมวา่ ถ้าไม่มีการระบุเอกภาพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซต ของจานวนจรงิ (ℝ) ข้นั ท่ี 3 การอธิบายและลงข้อสรปุ (Explanation) 3.1 ผสู้ อนอธบิ ายตวั อยา่ งที่ 1 จากใบความรหู้ น้า 2 พรอ้ มทั้งแสดงวธิ ที าอย่างละเอียดบน กระดานแลว้ ให้ผู้เรียนทา “ลองทาดู” เปน็ รายบคุ คลเพื่อตรวจสอบความเข้าใจ จากน้นั ผสู้ อนและผู้เรียน รว่ มกันเฉลยคาตอบ 3.2 ผู้สอนให้ผเู้ รยี นทาแบบฝกึ หัดที่ 1 3.3 ในระหวา่ งทีผ่ ู้เรยี นทาแบบฝึกหัด ผ้สู อนจะคอยให้คาปรึกษาและสังเกตพฤติกรรมผู้เรียนใน การทาแบบฝึกหดั 3.4 ผสู้ อนและผเู้ รยี นร่วมกนั เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 1 3.5 ผ้สู อนใหผ้ ้เู รียนพจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของประโยคต่อไปนี้ เมอ่ื กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ U = { 1, 2, 3, 4, 5} 2) ∃x[x + 2 ≤ 3] 1) ∀x[x + 2 > 3] 3) ∃x[x + 2 > 3] 4) ∀x[x + 2 ≤ 3]

จากนน้ั ผ้สู อนแทนคา่ x จากเอกภพสมั พัทธล์ งในแต่ละขอ้ เพื่อใหผ้ ู้เรยี นเหน็ วา่ ประพจน์ ∀x[x + 2 > 3] มคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ ∃x[x + 2 ≤ 3] และ ∃x[x + 2 > 3] มีคา่ ความจริง ตรงขา้ มกบั ประพจน์ ∀x[x + 2 ≤ 3] เพื่อนาไปสู่ข้อสรุปทว่ี ่า ประพจน์ท่ีจะเป็นนิเสธกนั จะต้องมีคา่ ความ จรงิ ตรงขา้ มกันทุกกรณี และเขยี นบทนยิ ามลงในสมดุ 3.6 ผสู้ อนถามคาถามเพื่อตรวจสอบความเขา้ ใจของผู้เรียน ดังน้ี 1) นเิ สธของ ∀x[x + 1 > 0] คืออะไร และสมมูลกับประโยคใด (แนวตอบ นิเสธของ ∀x[x + 1 > 0] คือ ~∀x[x + 1 > 0] ซง่ึ สมมูลกบั ∃x[x + 1 ≤ 0]) 2) “จานวนเต็มทุกจานวนไม่เป็นจานวนคี่” ขอ้ ความนม้ี ีนิเสธว่าอย่างไร (แนวตอบ นเิ สธของข้อความ คือ “มจี านวนเตม็ บางจานวนเปน็ จานวนค่ี”) 3.7 ผู้สอนยกตัวอย่างที่ 2 จากใบความรู้หน้า 3 พร้อมอธิบายใหผ้ ู้เรียนเข้าใจ จากนั้นให้ผ้เู รียน ศกึ ษาตัวอยา่ งท่ี 3 3.8 ผสู้ อนให้ผเู้ รยี นจับคทู่ า “ลองทาด”ู แล้วตรวจสอบคาตอบกบั คู่ของตนเอง แลว้ สุ่มผูเ้ รียนมา 3 คู่ ออกมาเฉลยหนา้ ช้ันเรยี น จากนั้นผ้สู อนและผูเ้ รยี นรว่ มกนั อภปิ รายคาตอบที่ได้ โดยผู้สอนตรวจสอบ ความถูกต้อง 3.9 ผูส้ อนใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั ท่ี 2 เปน็ รายบคุ คลเพื่อตรวจสอบความเข้าใจ แล้วผูเ้ รยี น ร่วมกันเฉลยคาตอบโดยผ้สู อนตรวจสอบความถูกตอ้ ง 3.10 ผสู้ อนให้ผู้เรยี นทาแบบฝึกหัดท่ี 3 จากนั้นผสู้ อนสมุ่ ผู้เรยี นออกมาเฉลยคาตอบหน้าชัน้ เรียน โดยผูส้ อนตรวจสอบความถกู ต้อง ข้นั ท่ี 4 การขยายความรู้ 4.1 ผสู้ อนให้ผเู้ รยี นแบ่งกลุม่ กลุ่มละ 3 – 4 คน แล้วทาแบบฝึกหดั ท่ี 4 จากน้ันให้แต่ละกลมุ่ ส่ง ตวั แทนออกมานาเสนอคาตอบหนา้ ชนั้ เรยี น โดยผู้ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 4.2 ผู้สอนใหผ้ ู้เรียนทาแบบฝึกหดั ที่ 5 4.3 ในระหว่างทีผ่ ้เู รียนทาแบบฝกึ หัด ผู้สอนจะคอยให้คาปรกึ ษาและสงั เกตพฤติกรรมผเู้ รียนใน การทาแบบฝึกหัด 4.4 ผสู้ อนและผู้เรียนรว่ มกันเฉลยแบบฝึกหัดที่ 5 โดยผู้สอนตรวจสอบความถูกต้อง 4.5 ใหผ้ ู้เรยี นแบง่ กลุ่ม 5 กลุม่ กล่มุ ละเท่า ๆ กัน แล้วศกึ ษา “กิจกรรมคณิตศาสตร์” เร่ือง “ปริศนาจับแกะ” โดยให้แตก่ ลมุ่ กาหนดตวั ละครดังนี้ - กลุ่มที่ 1 แสดงเปน็ A - กลุ่มที่ 2 แสดงเปน็ B - กล่มุ ที่ 3 แสดงเป็น C - กล่มุ ท่ี 4 แสดงเป็น D - กลุ่มที่ 5 แสดงเปน็ E และใหแ้ ต่ละกลมุ่ จาลองสถานการณ์ใน “ปรศิ นาจับแกะ” แล้วให้ตวั แทนกลุ่มแต่ละกล่มุ ออกมา เขียนตารางค่าความจรงิ บนกระดาน จากนั้นผู้สอนและผู้เรียนรว่ มกันอภปิ รายกรณีท่เี ป็นไปได้ทง้ั หมด จนได้ ขอ้ สรปุ วา่ E เปน็ แกะ แลว้ แตล่ ะกลุ่มสรปุ ลงในกระดาษ A4 ส่งผสู้ อน 4.6 ผสู้ อนใหผ้ ู้เรียนแบง่ กลมุ่ 3 กลมุ่ กลมุ่ ละเทา่ ๆ กัน แล้วศกึ ษา “กิจกรรมคณติ ศาสตร์” เรอื่ ง “ปริศนาสามทหารเสือ” โดยให้แต่ละกล่มุ กาหนดตวั ละคร ดงั นี้

- กลุ่มท่ี 1 แสดงเป็น ผพู้ นั ยอดชาย - กลมุ่ ท่ี 2 แสดงเปน็ พลตรอี งอาจ - กลุม่ ที่ 3 แสดงเป็น นายพลเยี่ยมยทุ ธ์ จากนั้นใหแ้ ต่ละกลุ่มออกมานาเสนอคาตอบหน้าช้ันเรยี นแลว้ ร่วมกนั อภปิ รายสถานการณ์ และ ตอบคาถามจากกิจกรรม 4.7 ผู้สอนและผ้เู รียนร่วมกนั สรปุ ความรทู้ ี่ไดจ้ ากการเรียน เรือ่ ง สมมลู และนิเสธของประโยคทม่ี ี ตวั บ่งปรมิ าณ ขั้นที่ 5 การประเมนิ ผล (Evaluation) 5.1 ประเมินคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงคจ์ ากการตัง้ ใจเรียนแลว้ รว่ มกนั ตอบคาถามในข้ันท่ี 1 การ สรา้ งความสนใจ (Engagement) เพอื่ ให้ผูเ้ รยี นรับผิดชอบต่อหน้าทที่ ี่ไดร้ ับมอบหมาย 5.2 ประเมินคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงคจ์ ากการตัง้ ใจเรียนแลว้ รว่ มกันตอบคาถามในขัน้ ท่ี 2 การ สารวจและคน้ หา (Exploration) เพอื่ ให้ผเู้ รียนรบั ผดิ ชอบตอ่ หนา้ ทท่ี ่ีได้รบั มอบหมาย 5.3 ประเมนิ การทาแบบฝึกหดั ที่ 1 ในขนั้ ท่ี 3 การอธบิ ายและลงข้อสรุป (Explanation) เพอ่ื ให้ ผเู้ รยี นสามารถหาประโยคหรือข้อความทส่ี มมูลกับประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปรมิ าณทก่ี าหนดให้ได้ 5.4 ประเมินการทาแบบฝึกหดั ท่ี 2 ในขั้นที่ 3 การอธิบายและลงข้อสรุป (Explanation) เพ่ือให้ ผู้เรยี นแสดงการตรวจสอบการสมมลู ของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณได้ 5.5 ประเมนิ การทาแบบฝกึ หัดท่ี 3 ในขน้ั ท่ี 3 การอธบิ ายและลงข้อสรปุ (Explanation) เพ่อื ให้ ผู้เรยี นสามารถหาประโยคหรือข้อความที่สมมูลกับประโยคท่ีมีตวั บง่ ปริมาณที่กาหนดใหไ้ ด้ 5.6 ประเมินการนาเสนอหนา้ ช้นั เรยี นจากการทา “ลองทาด”ู ในขัน้ ที่ 3 การอธิบายและลง ขอ้ สรุป (Explanation) เพ่ือให้ผู้เรยี นรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ไดร้ ับมอบหมาย 5.7 ประเมนิ การนาเสนอหน้าชนั้ เรียนจากการทาแบบฝกึ หัดท่ี 3 ในขน้ั ที่ 3 การอธิบายและลง ข้อสรปุ (Explanation) เพื่อใหผ้ เู้ รียนรบั ผดิ ชอบตอ่ หน้าที่ท่ีได้รับมอบหมาย 5.8 ประเมนิ การทาแบบฝึกหัดที่ 4 ในข้ันที่ 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพ่ือให้ผู้เรยี น ตรวจสอบการเป็นนิเสธของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณได้ 5.9 ประเมินการทาแบบฝกึ หัดท่ี 5 ในข้ันท่ี 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพ่ือให้ผ้เู รยี น ตรวจสอบการเป็นนเิ สธของประโยคทมี่ ตี ัวบง่ ปริมาณได้ 5.10 ประเมนิ การนาเสนอหนา้ ช้นั เรียนจากการทาแบบฝกึ หดั ที่ 4 ในขั้นที่ 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพอ่ื ใหผ้ ู้เรยี นรับผิดชอบตอ่ หน้าที่ท่ไี ดร้ ับมอบหมาย 5.11 ประเมินพฤติกรรมการทางานกลมุ่ ในการช่วยกันทาแบบฝึกหัดท่ี 4 ในขน้ั ที่ 4 การขยาย ความรู้ (Elaboration) เพื่อใหผ้ ้เู รียนรบั ผิดชอบต่อหนา้ ท่ีที่ไดร้ บั มอบหมาย 5.12 ประเมินพฤติกรรมการทางานกลุ่มในการช่วยกนั ทา “กิจกรรมคณิตศาสตร์” เรอ่ื ง “ปรศิ นาจบั แกะ” ในขั้นท่ี 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพ่ือใหผ้ ู้เรยี นรบั ผิดชอบต่อหน้าที่ที่ไดร้ ับ มอบหมาย 5.13 ประเมินการนาเสนอหน้าช้ันเรียนจากการทา “กิจกรรมคณติ ศาสตร์” เรอ่ื ง “ปริศนาสาม ทหารเสือ” ในขั้นที่ 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพ่ือใหผ้ ู้เรยี นรับผดิ ชอบต่อหน้าทที่ ีไ่ ด้รับมอบหมาย 5.14 ประเมินพฤติกรรมการทางานกลุ่มในการช่วยกันทา “กจิ กรรมคณิตศาสตร์” เรือ่ ง “ปริศนาสามทหารเสือ” ในข้ันที่ 4 การขยายความรู้ (Elaboration) เพ่ือให้ผเู้ รยี นรบั ผดิ ชอบต่อหนา้ ที่ท่ไี ด้รบั มอบหมาย

9. สอ่ื การเรียนรู้และแหล่งการเรยี นรู้ ส่อื การเรยี นรู้ แหล่งการเรียนรู้ - หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.4 - ครผู ู้สอน เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 2 ตรรกศาสตร์ - Google - ใบความรู้ เร่ือง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั - Youtube บ่งปรมิ าณ - ใบกจิ กรรม “กจิ กรรมคณิตศาสตร์” 10. การวดั และการประเมนิ ผล จุดประสงคก์ าร วิธกี ารวัดและประเมนิ เครื่องมอื ท่ีใช้วดั ประเมิน เกณฑก์ ารวดั เรยี นรู้ - แบบฝึกหดั ที่ 1 และประเมนิ ร้อยละ 60 ด้านความรู้ (K) - ตรวจแบบฝึกหดั ท่ี 1 ผ่านเกณฑ์ รอ้ ยละ 60 - ตรวจแบบฝกึ หดั ท่ี 3 - แบบฝกึ หัดที่ 3 ผา่ นเกณฑ์ ร้อยละ 60 ดา้ นทกั ษะ/ - ตรวจแบบฝกึ หัดที่ 2 - แบบฝึกหัดท่ี 2 ผ่านเกณฑ์ กระบวนการ (P) - ตรวจแบบฝึกหดั ท่ี 4 - แบบฝึกหัดท่ี 4 รอ้ ยละ 60 ผา่ นเกณฑ์ - ตรวจแบบฝึกหดั ที่ 5 - แบบฝกึ หัดที่ 5 รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์ - สงั เกตพฤติกรรมการ - แบบประเมินการสังเกตพฤติกรรม ระดบั คุณภาพ ทางานกลุม่ (แบบฝกึ หดั การทางานกลุม่ 2 ผ่านเกณฑ์ ท่ี 4) ระดบั คุณภาพ - สงั เกตพฤติกรรมการ - แบบประเมินการสังเกตพฤติกรรม 2 ผ่านเกณฑ์ ทางานกลุ่ม (“ปรศิ นาจับ การทางานกลมุ่ แกะ”) - สงั เกตพฤติกรรมการ - แบบประเมนิ การสังเกตพฤติกรรม ระดับคุณภาพ ทางานกลุม่ (“ปริศนา การทางานกลุ่ม 2 ผ่านเกณฑ์ สามทหารเสือ”) - แบบประเมนิ คุณลักษณะอันพึง ระดบั คุณภาพ ด้านคณุ ลกั ษณะอนั - สงั เกตคุณลกั ษณะอัน ประสงค์ 2 ผา่ นเกณฑ์ พึงประสงค์ (A) พงึ ประสงค์

10. บนั ทกึ ผลหลังการจัดการเรียนรู้ 10.1 ผลทีเ่ กดิ ขึน้ จากการเรียนรู้ ......................................................................................................................................................... ..................... .............................................................................................................. ................................................................ 10.2 ปญั หาและอุปสรรค ............................................................................................................................. ................................................. .............................................................................................................................................................................. 10.3 แนวทางแกไ้ ขและข้อเสนอ .................................................................................................................. ............................................................ ............................................................................................................................. ................................................. ลงชือ่ ผู้เขียนแผนการจดั การเรียนรู้ (นายสุธิปตั ธ์ สาวาฬ) 25 / ต.ค. / 2563 ลงชื่อ ผู้ตรวจ (นางสาวโสภติ า จันทรเทพ) ............../...................../.............. ลงชือ่ ผู้อนุมัติ (อาจารยธ์ รี พงษ์ จนั เปรยี ง) ............../...................../..............

ใบความรู้ เรอ่ื ง สมมูลและนิเสธของประโยคท่มี ีตัวบ่งปรมิ าณ นักเรยี นทราบมาแล้ววา่ ประโยคเปิดท่ีมีเอกภพสมั พัทธ์และมีตัวบง่ ปรมิ าณตัวแปรทกุ ตัวเป็นประพจน์ ดังนั้น ประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปรมิ าณจงึ มีรูปแบบการสมมูลและนิเสธกนั ของประโยคเช่นเดียวกันกับประพจน์ 1. การสมมลู กนั ของประโยคทมี่ ีตัวบง่ ปรมิ าณ กาหนดให้ P(x), Q(x) และ R(x) เปน็ ประโยคเปิดใด ๆ การสมมูลกันของประโยคเปดิ จะใชร้ ูปแบบ เดียวกนั กบั รูปแบบของประพจนท์ ส่ี มมลู กัน ดงั นน้ั ประพจน์ ประโยคเปิด 1. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. p ∨ q ≡ q ∨ p P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x) 3. p → q ≡ ~q → ~p P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x) 3. p → q ≡ ~p ∨ q 4. p ↔ q ≡ q ↔ p P(x) → Q(x) ≡ ~Q(x) → ~P(x) 4. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) P(x) → Q(x) ≡ ~P(x) ∨ Q(x) 5. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q 6. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q P(x) ↔ Q(x) ≡ Q(x) ↔ P(x) 7. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q P(x) ↔ Q(x) ≡ (P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → P(x)) 8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 9. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ~P(x) ∨ ~Q(x) ~(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ~P(x) ∧ ~Q(x) ~(P(x) → Q(x)) ≡ P(x) ∧ ~ Q(x) P(x) ∧ (Q(x) ∨ R(x)) ≡ (P(x) ∧ Q(x)) ∨ (P(x) ∧ R(x)) P(x) ∨ (Q(x) ∧ R(x)) ≡ (P(x) ∨ Q(x)) ∧ (P(x) ∨ R(x)) จากการสมมลู กนั ของประโยคเปิดดังกล่าว เมอ่ื ประโยคเปิดแต่ละประโยคมตี ัวบ่งปรมิ าณชนิดเดยี วกนั จะไดป้ ระพจน์ทีส่ มมลู กันด้วย เชน่ ∀x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∀x[Q(x) ∧ P(x)] ∀x[~(P(x) ∧ Q(x))] ≡ ∀x[~P(x) ∧ ~Q(x)] ∃x[~(P(x) → Q(x))] ≡ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] เน่อื งจากประโยคเปิดอาจประกอบดว้ ยประโยคย่อย ๆ หลายประโยค มากกว่าสองประโยคและเป็น ประพจนเ์ ม่อื แต่ละประโยคมีตัวบง่ ปรมิ าณและเอกภพสัมพัทธ์ ดังนนั้ นกั เรียนสามารถเทียบรปู แบบท่สี มมลู ของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปรมิ าณในแต่ละประพจนย์ ่อยกบั รปู แบบของประพจน์ท่ีสมมลู กันได้ เชน่ จาก p → q ≡ ~q → ~p จะไดว้ า่ ∀x[P(x)] → ∀x[Q(x)] ≡ ~∀x[Q(x)] → ~∀x[P(x)] หรอื ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] ≡ ~∃x[Q(x)] → ~∃x[P(x)]

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้พิจารณาวา่ ประโยคในข้อใดต่อไปนีส้ มมูลกนั 1) ∀x[~(P(x) ∧ Q(x))] กบั ∀x[~P(x) ∧ ~Q(x)] 2) ∃x[(P(x) → Q(x)) → R(x)] กับ ∃x[P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] 3) ∀x[~(P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] กบั ∀x[Q(x)] ∨ ∀x[~(P(x)] 4) ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] กับ ~∀x[Q(x)] → ~∃x[P(x)] วธิ ที า 1) จาก ~P(x) ∧ ~Q(x) ≡ ~P(x) ∨ Q(x) วิธที า 1) ดงั นั้น ∀x[~(P(x) ∧ Q(x))] กับ ∀x[~P(x) ∧ ~Q(x)] ไมส่ มมูลกัน วิธที า 2) จาก (P(x) → Q(x)) → R(x) ≡ (~P(x) ∨ Q(x)) → R(x) วิธีทา 2) จาก (P(x) → Q(x)) → R(x) ≡ ~(~P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x) วิธีทา 2) จาก (P(x) → Q(x)) → R(x) ≡ (P(x) ∧ ~Q(x)) ∨ R(x) วิธที า 2) ดงั นนั้ ∃x[(P(x) → Q(x)) → R(x)] กบั ∃x[P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] ไม่สมมูลกัน วิธีทา 3) จาก ~P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ ~P(x) วธิ ที า 3) ดงั นนั้ ∀x[~(P(x)] ∨ ∀x[Q(x)] กบั ∀x[Q(x)] ∨ ∀x[~(P(x)] สมมูลกนั วธิ ีทา 4) จาก P(x) → Q(x) ≡ ~Q(x) → ~P(x) วธิ ที า 3) ดงั น้นั ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] กับ ~∀x[Q(x)] → ~∃x[P(x)] สมมูลกัน ลองทาดู ใหพ้ จิ ารณาวา่ ประโยคในข้อใดตอ่ ไปนส้ี มมลู กัน 1) ∀x[(P(x) → Q(x)) ∨ R(x)] กับ ∀x[(R(x) ∨ Q(x)) ∨ ~(P(x)] 2) ∃x[P(x)] ↔ ∀x[Q(x)] กบั ∀x[~P(x)] ↔ ∀x[Q(x)] 2. นเิ สธของประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปรมิ าณ เน่อื งจากค่าความจริงของประพจน์ทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณ ต้องพจิ ารณาวา่ เม่อื แทนคา่ ของตวั แปรในเอก ภพสมั พทั ธ์ มีสมาชิกสอดคลอ้ งหรือไม่สอดคล้องกับตวั บง่ ปรมิ าณ และนเิ สธของประพจน์ท่มี ตี วั บง่ ปรมิ าณตอ้ ง มคี า่ ความจริงตรงข้ามกับประพจน์นนั้ ดงั น้นั การหานิเสธของประพจน์ท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณจึงต้องใช้นิเสธของตวั บ่งปรมิ าณและตัวเชือ่ มของประพจนด์ ว้ ย กาหนด U = { 1, 2, 3, 4, 5} ให้พิจารณาค่าความจรงิ ของประโยคต่ไปนี้ (1) ∀x[x + 2 > 3] (2) ∃x[x + 2 ≤ 3] (3) ∃x[x + 2 > 3] (4) ∀x[x + 2 ≤ 3]

พจิ ารณาเปรยี บเทยี บคา่ ความจริงของประพจน์ (1) กับ (2) และ (3) กบั (4) ประพจน์ (1) เมื่อแทน x ดว้ ย 1 จะได้ 1 + 2 > 3 มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ประพจน์ (2) เม่ือแทน x ด้วย 1 จะได้ 1 + 2 ≤ 3 มีค่าความจรงิ เป็นจริง ประพจน์ (3) เม่ือแทน x ด้วย 2 จะได้ 2 + 2 > 3 มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ ประพจน์ (4) เมื่อแทน x ดว้ ย 2 จะได้ 1 + 2 ≤ 3 มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ จะเหน็ ว่า ประพจน์ ∀x[x + 2 > 3] มคี ่าความจริงตรงขา้ มกบั ประพจน์ ∃x[x + 2 ≤ 3] และประพจน์ ∀x[x + 2 ≤ 3] มคี ่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ ∃x[x + 2 > 3] จากความหมายของประพจน์ท่ีเปน็ นิเสธกนั “ประพจน์ท่จี ะเป็นนเิ สธกัน จะต้องมคี า่ ความจริงตรง ข้ามกนั ทกุ กรณี” น่ันคือ นเิ สธของ ∀x[x + 2 > 3] คือ ~∀x[x + 2 > 3] นิเสธของ ∀x[x + 2 > 3] และ ∃x[x + 2 ≤ 3] เปน็ นิเสธกัน ดังนนั้ ~∀x[x + 2 > 3] สมมลู กบั ∃x[x + 2 ≤ 3] และนเิ สธของ ∃x[x + 2 > 3] คือ ~∃x[x + 2 > 3] และนิเสธของ ∃x[x + 2 > 3] คอื ∀x[x + 2 ≤ 3] เปน็ นิเสธกนั ดงั นน้ั ~∃x[x + 2 > 3] สมมูลกบั ∀x[x + 2 ≤ 3] บทนยิ าม ให้ U = { a1, a2, … , an} ∀x[P(x)] ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧ … ∧ P(an) ∃x[P(x)] ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an) ~∀x[P(x)] ≡ ~P(a1) ∨ ~P(a2) ∨ … ∨ ~P(an) ≡ ∃x[~P(x)] ~∃x[P(x)] ≡ ~P(a1) ∧ ~P(a2) ∧ … ∧ ~P(an) ≡ ∀x[~P(x)] ตัวอยา่ งที่ 2 ใหห้ านเิ สธของข้อความตอ่ ไปนี้ 1) ∀x[x + 4 > 0] 2) จานวนจรงิ ทุกจานวนเป็นจานวนเฉพาะ 3) จานวนจรงิ ทกุ จานวนไมเ่ ปน็ จานวนคู่ วธิ ีทา 1) นิเสธของขอ้ ความ ∀x[x + 4 > 0] คือ ~∀x[x + 4 > 0] วิธที า 1) ซ่งึ สมมูลกบั ∃x[x + 4 ≤ 0] วธิ ที า 2) นิเสธของข้อความ “จานวนจริงทุกจานวนเปน็ จานวนเฉพาะ” คือ “มจี านวนจรงิ บางจานวน วิธีทา 2) ไมเ่ ปน็ จานวนเฉพาะ” วิธที า 3) นิเสธของข้อความ “จานวนจริงทุกจานวนไมเ่ ปน็ จานวนคู่” คือ “มีจานวนจรงิ บางจานวนเปน็ วิธที า 3) จานวนค”ู่

ตวั อย่างท่ี 3 ใหห้ านิเสธของข้อความต่อไปนี้ 1) ∃x[|x − 1| < 0] 2) มีจานวนเตม็ x บางจานวน ทาให้ x2 + 1 = 0 3) มีจานวนจริง x บางจานวนท่ไี ม่เป็นจานวนอตรรกยะ วิธที า 1) นิเสธของข้อความ ∃x[|x − 1| < 0] คือ ~∃x[|x − 1| < 0] วิธีทา 1) ซง่ึ สมมลู กับ ∀x[|x − 1| ≥ 0] วธิ ีทา 2) นิเสธของขอ้ ความ “มจี านวนเต็ม x บางจานวน ทาให้ x2 + 1 = 0” คอื วิธที า 2) “มีจานวนเต็ม x ทุกจานวน ทาให้ x2 + 1 ≠ 0 วิธที า 3) นิเสธของขอ้ ความ “มีจานวนจรงิ x บางจานวนที่ไมเ่ ป็นจานวนอตรรกยะ” คือ วิธที า 3) “มจี านวนจรงิ x ทุกจานวนเป็นจานวนอตรรกยะ” ลองทาดู ให้หานิเสธของข้อความตอ่ ไปน้ี 1) ∃x[x − 1 ≥ 0 ∨ x + 1 < 5] 2) จานวนเฉพาะทุกจานวนเป็นจานวนเตม็ 3) มจี านวนจรงิ x บางจานวนไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ

กิจกรรมคณิตศาสตร์ นกั เรยี นทราบแลว้ วา่ ตรรกศาสตรเ์ ป็นวิชาเก่ยี วข้องกบั การใหเ้ หตผุ ล แตก่ ารฝึกสมองให้คิดอย่างเปน็ เหตุเปน็ ผลและเปน็ ระบบอาจดไู ม่สนุก ใหน้ ักเรยี นลองจนิ ตนาการถงึ นักหมากรุก 2 คน กาลังขบคิดวางแผน วางกลอุบายเพื่อให้ชนะฝ่ายตรงข้าม หรอื การแก้โจทยป์ ัญหายาก ๆ และมคี วามซบั ซอ้ นทางคณติ ศาสตร์ท่ยี งั คดิ เทา่ ไรกค็ ิดไม่ออก แต่ถ้าพูดถงึ เกมนกั เรยี นหลาย ๆ คน คงจะยม้ิ ออก และกลบั มาสนใจเร่ืองนอ้ี ีกคร้งั ด้วยความก้าวหนา้ ทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยจี งึ ได้มกี ารวิจัยและพัฒนารปู แบบเกมต่าง ๆ เปน็ จานวนมาก ทจี่ ะช่วยพัฒนาระบบการคดิ ในเชงิ ตรรกะ การวางแผนและการแก้ปญั หาอย่างเป็นระบบ ให้นักเรยี นพจิ ารณาและศกึ ษากระบวนการแก้ปญั หาจากสถานการณ์ต่อไปนี้ ปริศนาจับแกะ มนี ักเรียน 5 คน กาลังวิ่งเลน่ ไล่จับ โดยนักเรยี นหนึง่ คนจะรับบทบาทเป็นแกะคอยหนกี ารไล่จบั จาก เพื่อน ๆ คุณครูทเ่ี ดนิ ผา่ นมาเกดิ ความสนใจ จงึ ถามนกั เรยี นว่า “ใครเล่นเปน็ แกะคะ” นักเรยี นแตล่ ะคนจึงตอบ ครูคนละหนงึ่ ประโยค และมีนักเรยี น 3 ใน 5 คน เท่านน้ั ที่พูดจริง ดงั ตอ่ ไปน้ี D เปน็ แกะครบั E ไมได้เปน็ แกะครับ A พดู จรงิ ครับ หนูไมไ่ ด้เปน็ A พูดไม่จริงค่ะ แกะค่ะ A CE BD นักเรียนคิดว่า ข้อมลู ทัง้ หมดเพียงพอทีจ่ ะใหผ้ ลสรปุ ว่าใครเป็นแกะไดห้ รือไม่ ถา้ สรปุ ผลได้ นักเรียนคน ใดเปน็ แกะ

กิจกรรมคณติ ศาสตร์ นกั เรยี นทราบแล้วว่าตรรกศาสตร์เปน็ วชิ าเกยี่ วขอ้ งกับการใหเ้ หตุผล แตก่ ารฝึกสมองใหค้ ิดอย่างเปน็ เหตเุ ป็นผลและเป็นระบบอาจดไู มส่ นุก ใหน้ ักเรยี นลองจนิ ตนาการถึงนักหมากรกุ 2 คน กาลังขบคิดวางแผน วางกลอุบายเพ่อื ใหช้ นะฝา่ ยตรงข้าม หรอื การแก้โจทยป์ ัญหายาก ๆ และมีความซบั ซ้อนทางคณติ ศาสตร์ท่ยี งั คิดเทา่ ไรกค็ ิดไม่ออก แต่ถ้าพูดถึงเกมนักเรยี นหลาย ๆ คน คงจะย้ิมออก และกลับมาสนใจเร่ืองนอ้ี ีกครง้ั ดว้ ยความกา้ วหน้าทางวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยจี งึ ได้มกี ารวิจยั และพฒั นารปู แบบเกมต่าง ๆ เปน็ จานวนมาก ทจ่ี ะช่วยพัฒนาระบบการคิดในเชิงตรรกะ การวางแผนและการแกป้ ญั หาอย่างเป็นระบบ ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาและศึกษากระบวนการแก้ปัญหาจากสถานการณ์ต่อไปนี้ ปริศนาสามทหารเสือ นายทหารหนุ่มใหญส่ ามคนแห่งกองทัพ ผู้พันยอดชาย พลตรอี งอาจ และนายพลเย่ยี มยุทธ์ นดั กันไป ซอ้ มยงิ ปนื ในค่าย หลังจากแต่ละคนยงิ ครบจึงออกไปตรวจสอบคะแนนบนเปา้ ยิงของตนเอง ผ้พู นั ยอดชาย : “ผมยงิ ได้คะแนนรวม 180 คะแนน” ผพู้ ันยอดชาย : “คะแนนของผมมากกว่าท่านนายพลตั้ง 40 คะแนน” ผู้พันยอดชาย : “แตค่ ะแนนของผมน้อยกว่าคะแนนของพลตรีองอาจอยู่ 20 คะแนน” พลตรอี งอาจ : “คะแนนของท่านนายพลสงู ท่ีสุด คอื 240 คะแนน” พลตรอี งอาจ : “คะแนนของผมหา่ งจากทา่ นนายพลตงั้ 60 คะแนน” พลตรีองอาจ : “แตค่ ะแนนของผมไมเ่ ป็นท่ีโหล่หรอกนะ” นายพลเยี่ยมยุทธ์ : “ผมได้คะแนนน้อยกว่าพลตรอี งอาจแฮะ” นายพลเยยี่ มยุทธ์ : “ผพู้ นั ได้คะแนน 220 คะแนน” นายพลเย่ียมยุทธ์ : “สว่ นพลตรอี งอาจได้คะแนนมากกวา่ ผู้พนั ยอดชาย 60 คะแนน” คากลา่ วอ้างของสามทหารเสือแต่ละคนมี 1 ประโยคที่ไม่เปน็ จรงิ นักเรยี นทราบหรอื ไม่วา่ ประโยค ใดบา้ งท่ีไม่เปน็ จริง และแตล่ ะคนยิงปนื ได้คะแนนคนละเท่าไหร่

แบบฝึกหดั ที่ 1 เรือ่ ง สมมูลและนเิ สธของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปรมิ าณ คาชแี้ จง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอยี ดใหถ้ กู ต้อง (ข) ∀x[x ≠ 2 ∧ x + 1 = 3] 1. ให้ตรวจสอบว่าประพจน์ตอ่ ไปน้สี มมลู กับขอ้ ใด 1) ∀x[x + 1 = 3 ∧ x ≠ 2] 1) (ก) ∀x[x + 1 = 3 ∨ x = 2] 2) ∃x[x + 1 = 0] ↔ ∀x[x = −1] (ข) ∀x[x = −1] ↔ ∃x[x + 1 = 0] 1) (ก) ∀x[x ≠ −1] ↔ ∃x[x + 1 ≠ 0] 3) ไมจ่ ริงที่วา่ มีจานวนนบั ใดเป็นจานวนอตรรกยะ 3) (ก) จานวนนับทุกตัวเป็นจานวนตรรกยะ 3) (ข) จานวนนบั บางตวั เป็นจานวนอตรรกยะ

แบบฝึกหดั ที่ 2 เร่ือง สมมลู และนิเสธของประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปริมาณ คาช้แี จง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอยี ดใหถ้ ูกต้อง 2) ∃x[(x = 2 ∧ x ≠ 3) → x < 0] 1. ให้หานิเสธของข้อความต่อไปน้ี 4) ∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x − 3 > 0] 1) ∀x [1 + 2 = 4] x 3) ∀x[|x| = x → (x > 0 ∨ x < 0)] 2. ใหพ้ จิ ารณาวา่ ประโยคในข้อตอ่ ไปน้ี สมมูลกนั หรือไม่ 1) ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] กบั ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 2) ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] กับ ∀x([~P(x) ∨ Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨ P(x)]) 3) ~∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] กบั ∃x[P(x)] ∧ ∀x[Q(x)] 4) ∀x[~P(x) → Q(x)] กับ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)]

แบบฝกึ หดั ที่ 3 เรือ่ ง สมมลู และนิเสธของประโยคทมี่ ีตวั บง่ ปริมาณ คาชแี้ จง : เตมิ คาตอบลงในช่องว่างใหถ้ ูกต้อง 1. พจิ ารณาประโยคตอ่ ไปนี้สมมูลกันหรือไม่ 1) ~[P(x) ∨ Q(x)] กบั ~[P(x) ∧ ~Q(x)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 2) ∀x[P(x) ∧ Q(x)] กับ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 1) ........................................................................................................................................................... 3) ∃x[P(x) ↔ Q(x)] กับ ∃x([~P(x) ∨ Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨ P(������)]) 1) ........................................................................................................................................................... 4) ∀x[~(P(x) → Q(x))] กบั ∀x[~P(x) ∧ Q(x)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 5) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] กับ ∀x[Q(x) ∧ P(x)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 2. ให้นักเรียนหานเิ สธของตัวบ่งปรมิ าณต่อไปนี้ 1) ∀x[ |x| = 0 ] 1) ............................................................................................................................. .............................. 2) ∃x[x ≠ 0] 1) ........................................................................................................................................................... 3) ∃x[ x + 1 > 0 ∧ x ≤ 0 ] 1) ............................................................................................................................. .............................. 4) ∃x[ x ≠ 1] → ∀x[ x เป็นจานวนตรรกยะ] 1) ............................................................................................................................. .............................. 5) ∀x[ x > 0 ∨ x + 1 ≤ 0 ] 1) ................................................................................................................................... ........................

แบบฝึกหดั ที่ 4 เรอื่ ง สมมลู และนเิ สธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปรมิ าณ คาช้แี จง : จงแสดงวธิ ีทาอย่างละเอียดให้ถูกต้อง 1. ใหพ้ จิ ารณาข้อความตอ่ ไปนวี้ ่าเป็นจรงิ หรอื เท็จ เพราะเหตุใด 1) นิเสธของขอ้ ความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอื ∃x[P(x) ∧ ~Q(x) ∧ ~R(x)] 2) ใหเ้ อกภพสมั พัทธ์เป็นเซตจานวนเต็ม นเิ สธของข้อความ ∀x[x > 0 → x3 > x2] 2) คอื ∃x[(x < 0) ∧ (x3 < x2)]

แบบฝกึ หัดที่ 5 เรอ่ื ง สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ คาชแี้ จง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอยี ดให้ถูกต้อง 1. ตรวจสอบวา่ ประพจน์แต่ละคสู่ มมูลกนั หรือไม่ เมื่อกาหนดเอกภพสมั พัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง 1) ∃x[(x + 4 = 7) ∧ (x ∈ ℕ)] กับ ∃x[(x + 4 ≠ 7) ∧ (x ∉ ℕ)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ................................................................................................................................................ ........... 2) ~∃x[√x = 9 ∧ x ≠ 81] กับ ∀x[√x = 9 → x = 81] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ............................................................................................................................. .............................. 3) ∀x[x ∈ ℤ] → ∃x[x ∈ ℕ] กับ ∀x[x ∉ ℕ] → ∃x[x ∉ ������] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ............................................................................................................................. .............................. 4) ~∃x[x + 4 > 7] ∧ ∃x[x2 ≤ 1] กบั ~∀x[x + 4 > 7] ∧ ∀x[x2 ≤ 1] 1) ........................................................................................................................................................ ... 1) .......................................................................................................................... ................................. 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 5) สับเซตของเซตจานวนนบั ทกุ เซตไมเ่ ปน็ เซตจากัด กับไม่เปน็ จริงท่ีวา่ มสี บั เซตของเซตจานวนนบั 5) เปน็ เซตจากัด 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 2. หานเิ สธของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี เมื่อกาหนดเอกภพสมั พัทธ์ คอื เซตของจานวนจริง 1) ∃x[x + 4 ≤ 0] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ......................................................................................................................................... ..................

2) ∀x[x ≠ 4] → ∃x[x > 1] 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 3) ∃x[P(x) ∨ ~Q(x)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 4) ∃x[(x > 3) ∨ ~(x + 2 ≥ 2)] 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ................................................................................................................................. .......................... 5) ∀x[x2 ≥ 0 → x < 0] 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 6) จานวนเฉพาะทุกจานวนเป็นจานวนจรงิ 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) ................................................................................................................................. .......................... 1) ........................................................................................................................................................... 7) จานวนจรงิ บางจานวนมากกว่าหรอื เทา่ กบั ศนู ย์ และมจี านวนจริงบางจานวนเมอ่ื ยกกาลงั สองแลว้ 7) นอ้ ยกวา่ ศนู ย์ 1) ........................................................................................................................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 1) .................................................................................................................................................. ......... 1) .................................................................................................................... ....................................... 1) ............................................................................................................................. ..............................

เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 1 เรือ่ ง สมมูลและนเิ สธของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ คาช้ีแจง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอยี ดใหถ้ กู ต้อง (ข) ∀x[x ≠ 2 ∧ x + 1 = 3] 1. ใหต้ รวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้สมมลู กบั ขอ้ ใด 1) ∀x[x + 1 = 3 ∧ x ≠ 2] 1) (ก) ∀x[x + 1 = 3 ∨ x = 2] 2) ∃x[x + 1 = 0] ↔ ∀x[x = −1] (ข) ∀x[x = −1] ↔ ∃x[x + 1 = 0] 1) (ก) ∀x[x ≠ −1] ↔ ∃x[x + 1 ≠ 0] 3) ไม่จริงท่ีว่ามจี านวนนับใดเป็นจานวนอตรรกยะ 3) (ก) จานวนนบั ทุกตัวเปน็ จานวนตรรกยะ 3) (ข) จานวนนับบางตวั เป็นจานวนอตรรกยะ วธิ ที า 1) จาก p ∧ q ≡ q ∧ p วธิ ที า 1) ดงั นน้ั ∀x[x + 1 = 3 ∧ x ≠ 2] ≡ ∀x[x ≠ 2 ∧ x + 1 = 3] ข้อ (ข) ข้อ (ข) 2) จากรูป p ↔ q ≡ q ↔ p ขอ้ (ก) 2) ดังนน้ั ∃x[x + 1 = 0] ↔ ∀x[x = −1] ≡ ∀x[x = −1] ↔ ∃x[x + 1 = 0] 3) ให้ P(x) แทน จานวนนบั 3) ให้ Q(x) แทน จานวนอตรรกยะ 3) จาก ~(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ~P(x) ∨ ~Q(x) 3) ดังน้ัน ~∃x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x(~P(x) ∨ ~Q(x)) 3) ~∃x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x(P(x) → ~Q(x)) 3) น่นั คือ ขอ้ ความ “ไมจ่ ริงท่ีวา่ มจี านวนนบั ใดเปน็ จานวนอตรรกยะ” 3) นั่นคือ สมมูลกับข้อความ “จานวนนับทกุ ตวั เปน็ จานวนตรรกยะ”

เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 2 เรอ่ื ง สมมูลและนเิ สธของประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณ คาชแี้ จง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอยี ดให้ถูกต้อง 1. ให้หานิเสธของข้อความต่อไปน้ี 1) ∀x [1 + 2 = 4] 2) ∃x[(x = 2 ∧ x ≠ 3) → x < 0] x 4) ∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x − 3 > 0] 3) ∀x[|x| = x → (x > 0 ∨ x < 0)] วิธที า 1) นเิ สธของขอ้ ความ ∀x [1 + 2 = 4] คือ ~∀x [1 + 2 = 4] xx 2) ซ่งึ สมมลู กบั ∃x [1 + 2 ≠ 4] x 2) นิเสธของข้อความ ∃x[(x = 2 ∧ x ≠ 3) → x < 0] คอื ~∃x[(x = 2 ∧ x ≠ 3) → x < 0] 2) ซ่งึ สมมูลกบั ∀x[(x = 2 ∧ x ≠ 3) ∧ x ≥ 0] 3) นเิ สธของขอ้ ความ ∀x[|x| = x → (x > 0 ∨ x < 0)] คอื ~∀x[|x| = x → (x > 0 ∨ x < 0)] 2) ซง่ึ สมมูลกับ ∃x[|x| = x ∧ (x ≤ 0 ∧ x ≥ 0)] 4) นเิ สธของขอ้ ความ ∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x − 3 > 0] คอื ~(∀x[x ≠ 0] ∨ ∃x[x − 3 > 0]) 2) ซ่ึงสมมลู กบั ~∀x[x ≠ 0] ∧ ~∃x[x − 3 > 0] 2) ซ่งึ สมมลู กับ ∃x[x = 0] ∧ ∀x[x − 3 ≤ 0] 2. ให้พิจารณาวา่ ประโยคในข้อต่อไปน้ี สมมูลกนั หรือไม่ 1) ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] กบั ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 2) ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] กับ ∀x([~P(x) ∨ Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨ P(x)]) 3) ~∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] กบั ∃x[P(x)] ∧ ∀x[Q(x)] 4) ∀x[~P(x) → Q(x)] กับ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] วธิ ีทา 1) ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∀x[~P(x) ∨ ~Q(x)] 1) ดงั นั้น ~∃x[P(x) ∧ Q(x)] ≢ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 2) ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] ≡ ~∃x[(P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → P(x))] 2) ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] ≡ ~∃x[(~P(x) ∨ Q(x)) ∧ (~Q(x) ∨ P(x))] 2) ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] ≡ ∀x[(P(x) ∧ ~Q(x)) ∨ (Q(x) ∧ ~P(x))] 2) ดังนั้น ~∃x[P(x) ↔ Q(x)] ≢ ∀x([~P(x) ∨ Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨ P(x)]) 3) ~∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] ≡ ∃x[~P(x)] ∧ ∀x[~Q(x)] 3) ดงั นนั้ ~∀x[P(x)] ∧ ~∃x[Q(x)] ≢ ∃x[P(x)] ∧ ∀x[Q(x)] 4) ∀x[~P(x) → Q(x)] ≡ ∀x[~(~P(x)) ∨ Q(x)] 4) ∀x[~P(x) → Q(x)] ≡ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 4) ดงั นน้ั ∀x[~P(x) → Q(x)] ≢ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)]

เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 3 เร่ือง สมมลู และนิเสธของประโยคท่มี ตี วั บง่ ปรมิ าณ คาชีแ้ จง : เตมิ คาตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง 1. พจิ ารณาประโยคตอ่ ไปน้ีสมมูลกันหรือไม่ 1) ~[P(x) ∨ Q(x)] กับ ~[P(x) ∧ ~Q(x)] 1) .....ส..ม...ม..ูล............................................................................................................................................... 2) ∀x[P(x) ∧ Q(x)] กับ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] 1) .....ไ..ม..ส่..ม...ม..ูล............................................................................................................. .............................. 3) ∃x[P(x) ↔ Q(x)] กับ ∃x([~P(x) ∨ Q(x)] ∧ [~Q(x) ∨ P(������)]) 1) .....ส..ม...ม..ลู................................................................................................................. .............................. 4) ∀x[~(P(x) → Q(x))] กับ ∀x[~P(x) ∧ Q(x)] 1) .....ไ..ม..ส่..ม...ม..ลู............................................................................................................. .............................. 5) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] กับ ∀x[Q(x) ∧ P(x)] 1) .....ไ.ม...ส่..ม...ม..ลู........................................................................................................................................ ... 2. ให้นักเรียนหานิเสธของตัวบง่ ปริมาณตอ่ ไปนี้ 1) ∀x[ |x| = 0 ] 1) .....∃..x...[..|..x..|...≠.....0...]................................................................................................................................ 2) ∃x[x ≠ 0] 1) .....∀...x..[...x...=.....0....].................................................................................................... .............................. 3) ∃x[ x + 1 > 0 ∧ x ≤ 0 ] 1) .....∀...x..[..x...+.....1...≤.....0....∨....x...>.....0..]............................................................................... .............................. 4) ∃x[ x ≠ 1] → ∀x[ x เป็นจานวนตรรกยะ] 1) .....∃..x...[..x....≠.....1...]...∧....∃..x...[..x....เ.ป..็น...ไ..ม..่จ..า..น...ว..น...ต..ร..ร..ก..ย...ะ..]............................................................ .................. 5) ∀x[ x > 0 ∨ x + 1 ≤ 0 ] 1) .....∃..x...[.x....≤.....0...∧....x...+.....1....>....0...].............................................................................................................

เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 4 เรอ่ื ง สมมลู และนิเสธของประโยคที่มีตัวบง่ ปริมาณ คาชี้แจง : จงแสดงวธิ ีทาอย่างละเอียดใหถ้ กู ต้อง 1. ให้พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนวี้ า่ เปน็ จรงิ หรือเท็จ เพราะเหตุใด 1) นเิ สธของขอ้ ความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอื ∃x[P(x) ∧ ~Q(x) ∧ ~R(x)] วิธีทา 1) นิเสธของขอ้ ความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอื 1) ~∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] ≡ ~∀x[~P(x) ∨ Q(x) ∨ R(x)] 1) ~∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] ≡ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x) ∧ ~R(x)] 1) ดงั นัน้ นิเสธของข้อความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอื 1) ดังนนั้ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x) ∧ ~R(x)] เปน็ ขอ้ ความท่ีเป็นจรงิ 2) ใหเ้ อกภพสมั พัทธเ์ ป็นเซตจานวนเตม็ นิเสธของข้อความ ∀x[x > 0 → x3 > x2] 2) คือ ∃x[(x < 0) ∧ (x3 < x2)] วิธีทา 2) นิเสธของข้อความ ∀x[x > 0 → x3 > x2] คือ ~∀x[x > 0 → x3 > x2] 2) ~∀x[x > 0 → x3 > x2] ≡ ~∀x[~(x > 0) ∨ (x3 > x2)] 2) ~∀x[x > 0 → x3 > x2] ≡ ∃x[(x > 0) ∧ (x3 ≤ x2)] 2) ดังนั้น นเิ สธของขอ้ ความ ∀x[x > 0 → x3 > x2] คอื 2) ดงั นั้น ∃x[(x < 0) ∧ (x3 < x2)] เปน็ ข้อความท่เี ป็นเท็จ

เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 5 เรือ่ ง สมมูลและนเิ สธของประโยคทม่ี ีตวั บ่งปรมิ าณ คาชแี้ จง : จงแสดงวิธีทาอย่างละเอียดใหถ้ กู ต้อง 1. ตรวจสอบวา่ ประพจน์แต่ละคสู่ มมลู กนั หรือไม่ เม่ือกาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตของจานวนจริง 1) ∃x[(x + 4 = 7) ∧ (x ∈ ℕ)] กบั ∃x[(x + 4 ≠ 7) ∧ (x ∉ ℕ)] 1) .ใ..ห..้..P..(.x..)...แ..ท...น....x...+....4....=.....7.................Q...(.x..)...แ..ท...น...x....∉....ℕ......................................................................... 1) .จ..ะ...ไ.ด...้ .∃...x..[..P..(..x..)...∧....Q...(..x..)..]...ส...ม..ม...ูล..ก..บั....∃...x..[..Q...(..x..)...∧....P...(.x...)..].................................... .............................. 1) .ซ...งึ่ .เ..ข..ยี..น...แ..ท...น...ด..้ว..ย....∃..x...[.(..x....∈....ℕ...)...∧....(..x...+.....4....=....7...)..].............................................. .............................. 1) .ด...งั .น...น้ั....∃...x..[..(..x...+....4....=.....7...)...∧...(..x....∈....ℕ...)..]...ไ.ม...ส่ ..ม...ม..ลู...ก..บั....∃...x..[..(.x....+....4....≠.....7..)...∧....(..x....∉....ℕ...)..]...................... 2) ~∃x[√x = 9 ∧ x ≠ 81] กบั ∀x[√x = 9 → x = 81] 1) .ใ..ห..้..P..(.x..)...แ..ท...น....√...x...=.....9......................Q...(.x..)...แ..ท...น....x...≠.....8...1..................................................................... 1) .จ..ะ...ไ.ด...้ .~...∃...x..[..P...(..x..)...∧....Q...(.x...)..]...ส..ม..ม...ูล..ก...บั ....∀...x..[.~....P..(..x...)...∨...~....Q...(..x..)..].......................... .............................. 1) .ส...ม..ม...ูล..ก..ับ....∀...x..[..P...(..x..)...→.....~....Q...(..x..)..]...ซ..่งึ ..เ.ข..ยี...น..แ...ท..น...ด..ว้..ย....∀...x..[..√...x...=.....9....→.....x....=.....8..1...]............................... 1) .ด...งั .น...้นั....~...∃...x..[..√...x....=....9....∧....x...≠.....8...1..]...ส...ม..ม..ูล...ก..บั....∀...x...[.√...x....=....9....→......x...=.....8..1...]........... .............................. 3) ∀x[x ∈ ℤ] → ∃x[x ∈ ℕ] กบั ∀x[x ∉ ℕ] → ∃x[x ∉ ������] 1) .ใ..ห..้..P..(.x..)...แ..ท...น....x...∈....ℤ..........................Q...(.x..)...แ..ท...น....x...∈....ℕ........................................... .............................. 1) .จ..ะ...ไ.ด...้ .∀...x..[..P..(..x...)..]..→......∃..x..[..Q...(..x..)..]...ส...ม..ม..ูล...ก..ับ....~....∃..x..[..Q...(..x..)..]...→.....~....∀...x..[..P..(..x..)..]........................................ 1) .ส...ม..ม...ูล..ก..บั....∀...x..[..~...Q...(..x...)..]..→......∃..x...[.~....P..(..x..)..]...ซ...่งึ ..เ.ข..ีย..น...แ..ท...น...ด..้ว..ย....∀...x..[..x...∉....ℕ....]...→.....∃...x.[..x...∉.....���.���.].................. 1) .ด...งั .น...นั้....∀...x..[..x...∈.....ℤ..]...→.....∃...x..[..x....∈....ℕ...]...ส..ม...ม..ูล...ก..บั....∀...x..[..x....∉....ℕ...]...→.....∃...x..[..x...∉.....���.���.]........ .............................. 4) ~∃x[x + 4 > 7] ∧ ∃x[x2 ≤ 1] กับ ~∀x[x + 4 > 7] ∧ ∀x[x2 ≤ 1] 1) .ใ..ห..้..P..(.x..)...แ..ท...น....x...+....4....>.....7.................Q...(.x..)...แ..ท...น....x..2...≤.....1.................................................. .................... 1) .จ..ะ...ไ.ด...้ .~...∃...x..[..P...(..x..)..]..∧....∃...x..[..Q...(..x..)..]...ส..ม...ม..ูล...ก..บั ....∀...x..[..~...P...(..x..)..]..∧....~....∀..x...[.~...Q...(..x..)..]..................................... 1) .ซ...่ึง.เ..ข..ีย..น...แ..ท...น...ด..้ว..ย....∀...x..[..x...+....4....≤.....7...]..∧....~...∀...x...[.x...2...>.....1..]........................................ .............................. 1) .ด...ัง.น...ั้น....~...∃...x..[..x...+.....4....>....7...]..∧....∃...x..[..x..2....≤....1...]...ไ.ม...่ส..ม...ม..ลู...ก..บั....~...∀...x..[..x...+.....4....>.....7..]...∧....∀...x..[.x...2...≤.....1...]......... 5) สบั เซตของเซตจานวนนบั ทุกเซตไม่เป็นเซตจากดั กบั ไม่เปน็ จรงิ ท่ีวา่ มสี บั เซตของเซตจานวนนับ 5) เป็นเซตจากัด 1) .พ...ิจ..า..ร..ณ....า.ป...ร..ะ..โ..ย..ค....ส..บั...เ.ซ..ต...ข..อ...ง.เ..ซ..ต...จ..า..น..ว..น...น...บั ..ท...ุก..เ..ซ..ต..ไ..ม..่เ..ป..น็...จ..า..ก...ดั ................................................... ..... 1) .ใ..ห..้..P..(.x..)...แ..ท...น....x...เ.ป...น็..ส...ับ...เ.ซ..ต...ข..อ..ง..เ.ซ...ต..จ..า..น...ว..น...น..ับ..............Q...(.x..)...แ..ท...น....x...เ.ป...น็ ..เ..ซ..ต..จ..า..ก..ัด............................... 1) .จ..ะ...ไ.ด...้ .∀...x..[..P..(..x...)...→.....~...Q...(..x...)..]..ส...ม..ม...ูล..ก...บั ....∀..x...[.~....P..(..x..)...∨....~....Q...(..x..)..]........................ .............................. 1) .ส...ม..ม...ลู ..ก..ับ....~....∃..x...[.P...(..x..)...∧....Q...(..x..)..]......................................................................................................... 1) .เ.ข...ีย..น...แ..ท...น..ด...ว้ ..ย...ไ..ม...เ่ .ป..็น...จ..ร..ิง..ท...วี่ ..่า..ม..ีส...ับ..เ..ซ..ต..ข...อ..ง..เ.ซ...ต..จ..า..น...ว..น..น...บั...เ.ป...น็ ..เ..ซ..ต..จ...า..ก..ัด.............. .............................. 1) .ด...ัง.น...น้ั....ข..้อ...ค..ว..า..ม...ท..งั้..ส...อ..ง..ข..้อ..ค...ว..า..ม..ส...ม..ม...ูล..ก..นั............................................................... .............................. 2. หานิเสธของข้อความตอ่ ไปน้ี เมือ่ กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คอื เซตของจานวนจรงิ 1) ∃x[x + 4 ≤ 0] 1) .น...ิเ.ส..ธ....ค..ือ....~...∃...x..[..x...+.....4...≤.....0...]...ส..ม...ม..ลู..ก...บั ....∀...x..[..x...+....4....>.....0...].................................. .............................. 1) ...........................................................................................................................................................

2) ∀x[x ≠ 1] → ∃x[x > 1] 1) .น...ิเ.ส..ธ....ค..อื....~...{..∀...x..[..x...≠.....1...]..→......∃..x...[.x....>.....1..]..}...ส..ม...ม..ลู...ก..ับ....∀...x..[..x...≠.....1...]..∧....∀...x..[..x....≤....1..]............................ 1) ............................................................................................................................. .............................. 3) ∃x[P(x) ∨ ~Q(x)] 1) .น...เิ .ส..ธ....ค..อื....~...∃...x..[..P..(..x...)..∨....~....Q...(..x..)..]...ส..ม...ม..ูล..ก...ับ....∀..x...[.~....P..(..x..)...∧....Q...(..x..)..]................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 4) ∃x[(x > 3) ∨ ~(x + 2 ≥ 2)] 1) .น...เิ .ส..ธ....ค..ือ....~...∃...x..[..(..x...>.....3...)..∨....~....(.x....+....2....≥.....2...).]...ส...ม..ม...ลู ..ก..ับ.....∀..x...[.(..x....≤.....3..)...∧....(..x...+.. ..2....≥.....2..)..]............... 1) ........................................................................................................................................................... 5) ∀x[x2 ≥ 0 → x < 0] 1) .น...เิ .ส..ธ....ค..ือ....~...∀...x..[..x..2....≥....0....→......x...<.....0..]...ส...ม..ม...ลู ..ก..ับ....∃...x..[..x...2...≥.....0...∧....x....≥....0...]............. .............................. 1) ............................................................................................................................. .............................. 6) จานวนเฉพาะทุกจานวนเป็นจานวนจรงิ 1) .ใ.ห...้.P...(.x..)..แ...ท..น....x....เ.ป...น็ ..จ...า.น...ว..น...เ.ฉ..พ...า..ะ.................Q....(.x..)..แ...ท..น....x...เ..ป..็น...จ..า..น...ว..น..จ...ร..งิ ......................................... 1) .จ..ะ..ไ..ด..้..∀...x..[.P...(..x..)....→.....Q...(..x..)..]...............น..เิ..ส..ธ...ค...อื ....~...∀...x..[..P..(..x...)...→.....Q...(..x..)..].................. .............................. 1) .ส..ม...ม..ูล...ก..บั....∃...x..[..~...(..P...(..x..)...→.....Q...(..x..)..)...]..ส...ม..ม...ูล..ก...บั ....∃..x...[.P...(..x..)...∧....~...Q...(..x..)..].................. .............................. 1) .ซ..่งึ..เ.ข...ยี ..น...แ..ท...น..ด...้ว..ย...ม...จี..า..น...ว..น..เ..ฉ..พ...า..ะ..บ...า..ง.จ...า..น..ว..น...ท...ไี่ .ม..ใ่..ช..จ่..า..น...ว..น...จ..ร..งิ ......................................................... 1) ............................................................................................................................. .............................. 7) จานวนจริงบางจานวนมากกวา่ หรอื เทา่ กบั ศนู ย์ และมีจานวนจรงิ บางจานวนเม่อื ยกกาลงั สองแล้ว 7) นอ้ ยกวา่ ศูนย์ 1) .ใ.ห...้.P...(.x..)..แ...ท..น....x....เ.ป...็น..จ...า.น...ว..น...จ..ร..งิ...ซ...่ึง...x...≥.....0...................Q...(.x..)..แ...ท..น....x....เ.ป...็น..จ..า..น...ว..น...จ.ร..งิ...ซ...ึ่ง...x..2....<.....0........ 1) .จ..ะ..ไ..ด..้..∃..x...[.P...(..x..)..]...∧....∃..x...[.Q...(..x..)..]............................................................................. .............................. 1) .น...เิ .ส..ธ....ค..อื....~...{..∃...x..[.P...(..x..)..]...∧....∃..x...[.Q...(..x..)..]..}...ส...ม..ม...ลู ..ก..ับ....∀...x..[..~...P...(..x..)..]..∨....∀...x..[..~...Q...(..x..)..]............................... 1) .ซ..ึ่ง..เ.ข...ีย..น...แ..ท...น..ด...้ว..ย...จ...า..น..ว..น...จ..ร..ิง..ท...ุก..จ..า..น...ว..น...น..้อ...ย..ก..ว..่า..ศ...นู ..ย...์ .ห...ร..อื ....จ..า..น..ว..น...จ..ร..ิง..ท...กุ ..จ..า..น...ว.น...เ.ม...ือ่ ..ย...ก..ก..า..ล...งั .ส...อ..ง... 1) .แ..ล...้ว..ม..า..ก...ก..ว..า่..ห...ร.อื...เ.ท...า่ ..ก..ับ...ศ..นู...ย..์........................................................................................................ .....

แบบประเมนิ คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ 8 ประการ คาชแ้ี จง : ใหผ้ สู้ อนสังเกตพฤตกิ รรมของนกั เรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในช่องว่างท่ี ตรงกับระดับคะแนน รกั ชาติ ซอื่ สัต มีวินัย ใฝ่ อยู่ ม่งุ มน่ั รกั มีจติ รวม ศาสตร์ ย์สจุ ริต เรยี นรู้ อย่าง ในการ ความ สาธารณะ 24 ลาดับ ชือ่ – สกลุ กษตั ริย์ พอ ทางาน เปน็ คะแนน เพยี ง ไทย 1231231231231231231231 2 3 ลงช่ือ ผู้ประเมนิ (นายสุธิปัตธ์ สาวาฬ) ............../...................../.............. เกณฑก์ ารให้คะแนน พฤติกรรมที่ปฏิบตั ชิ ดั เจนและสม่าเสมอ = ดี ให้ 3 คะแนน ให้ 2 คะแนน พฤติกรรมท่ีปฏบิ ตั ชิ ดั เจนและบ่อยครั้ง = พอใช้ ให้ 1 คะแนน พฤติกรรมท่ปี ฏิบตั บิ างคร้งั = ปรบั ปรุง เกณฑก์ ารตัดสนิ คณุ ภาพ ชว่ งคะแนน ระดับคุณภาพ 17 – 24 ดี 9 – 16 พอใช้ 1 - 8 ปรับปรงุ

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานกลมุ่ ................. คาชแี้ จง : ให้ผสู้ อนสังเกตพฤติกรรมของนกั เรียนในระหวา่ งเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในช่องวา่ งที่ ตรงกบั ระดับคะแนน มคี วามร่วมมอื ร่วมการแสดง รับฟงั ความ มงุ่ มนั่ ตงั้ ใจ การร่วม รวม 20 ทางานเป็นทมี ความคดิ เห็น คิดเหน็ ของ ทางานให้ ปรับปรงุ คะแนน สมาชกิ สาเร็จ ทางานกล่มุ ลาดบั ที่ ชอ่ื – สกลุ ปฏบิ ตั ติ าม บทบาทท่ี ได้รบั 43214321432143214321 เกณฑ์การให้คะแนน ดีมาก ให้ 4 คะแนน ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมอย่างสมา่ เสมอ = ดี ให้ 3 คะแนน ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยคร้ัง = พอใช้ ให้ 2 คะแนน ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบางครั้ง = ปรบั ปรงุ ให้ 1 คะแนน ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมน้อยครั้ง = เกณฑก์ ารตัดสินคุณภาพ ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ 16 – 20 ดีมาก 11 – 15 ดี 6 - 10 พอใช้ 1 - 5 ปรบั ปรุง ลงชอ่ื ผสู้ ังเกต (นายสุธปิ ตั ธ์ สาวาฬ) ............../...................../..............

แบบประเมินการนาเสนอ/อภปิ รายหน้าชั้นเรยี นกล่มุ ..................... คาช้ีแจง : ใหผ้ สู้ อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งการนาเสนอ/อภิปรายหน้าชั้นเรยี น แล้วขดี ลง ในช่องว่างท่ีตรงกบั ระดบั คะแนน มกี ารวาง มคี วามพร้อมใน ความน่าสนใจ มีความคดิ ประโยชน์-ความ รวม 20 ลาดบั ที่ ชื่อ – สกุล แผนการทางาน การนาเสนอ ในการนาเสนอ สรา้ งสรรค์ ถูกต้องของงาน คะแนน นาเสนอ 43214321432143214321 เกณฑ์การประเมิน ระดบั คณุ ภาพ คะแนน ดมี าก 4 ดี 3 พอใช้ 2 ปรบั ปรงุ 1 เกณฑก์ ารตัดสินคุณภาพ ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ 16 – 20 ดมี าก 11 – 15 ดี 6 - 10 พอใช้ 1 - 5 ปรบั ปรุง ลงช่ือ ผู้ประเมนิ (นายสุธปิ ตั ธ์ สาวาฬ) ............../...................../..............