Matrix

เอกสารประกอบการเรยี น คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 (ค31202) เรอื่ ง เมตรกิ ซ์ สอนโดย ครมู านติ า หมดภยั รวบรวมโดย ชอ่ื ............................................................................ ชั้น.......................เลขท.ี่ ................... ภาคเรยี นท่ี 2 ปีการศกึ ษา 2557 โรงเรยี นสตรสี มทุ รปราการ

วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 2 2 เรื่อง เมทรกิ ซ์ เมทริกซ์และดเี ทอร์มนิ ันต์ (Matrix and Determinant) ใบความรู้ที่ 1 ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์ ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์ บทนิยาม เมทริกซ์ (Martix) คือ กลุ่มของจานวนที่เรียงเป็นรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก โดยที่แต่ละแถวมีจานวนเทา่ ๆ กนั และอยภู่ ายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( ) ก็ได้ a11 a12  a1n  แถวที่ 1 A=   แถวท่ี 2 a 21 a 22  a 2n   แถวท่ี m     a m1  a n2  a mn  mn หลกั ท่ี 1 หลกั ท่ี 2 หลกั ท่ี n แตล่ ะจานวนในเคร่ืองหมาย [ ] วา่ สมาชิกของเมทริกซ์ ตวั เลขท่ีเรียงกนั ในแนวนอน เรียกวา่ แถว (Row) ตวั เลขท่ีเรียงกนั ในแนวต้งั เรียกวา่ หลัก (Column) เรียกเมทริกซ์ท่ีมี m แถว n หลกั วา่ เมทริกซ์มีมิติ m  n หรือ m  n เมทริกซ์ aij คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ซ่ึงอยใู่ นแถวท่ี i หลกั ท่ี j ตวั อย่างท่ี 1 จากเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้ จงหา มิติของเมทริกซ์และบอกสมาชิกแต่ละตวั 1  3 5  2 4 2 4  6 2) B =  3  1) A = 9   0  7 วธิ ีทา มิติของเมทริกซ์ A เทา่ กบั 2  3 ……………………………………………. มีสมาชิก คือ a11  1 , a12   3, a13  5 , ……………………………………………. a21  2 , a22  4 , a23   6 ……………………………………………. …………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 2 3 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ 6  1 2 ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = 4  9 , B = 7 และ C=  3 4 จงหา 5 8 1) 2a11  b11  3c22 = ………………………………………………………………. 2) a11  c11 2a13  b21 = ………………………………………………………………. การเท่ากนั ของเมทริกซ์ บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn และ B = [ bij ] mn A = B กต็ ่อเม่ือ aij = bij หมายความวา่ A = B กต็ อ่ เมื่อ A และ B มีมิติเทา่ กนั และสมาชิกของ A และ B ในตาแหน่งเดียวกนั มีค่าเทา่ กนั ตัวอย่างท่ี 3 จงพจิ ารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเท่ากนั หรือไม่ 1)  2 0 =  2 0  1 3  1 3 2) 3 5 …..….. 1  2 5 1 4 6 3  1 2  3 3)  5 0 3 …..…. 5 0 3  1 7 6 1 7  6 4 2 9  4 2 9 ตวั อย่างที่ 4 ถา้ เมทริกซ์ที่กาหนดใหเ้ ป็ นเมทริกซ์ท่ีเท่ากนั จงหาค่า x และ y 1) x 1 =  4 1  3 0  3 y  x = –4 , y = 0 2) x 1 3 = 6 y  2   2 5  2 5  ……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 4 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ x2 1 2 1 3 2 1   x 1 5 3)  0 1 5  = 0 6 8 2x 1 6 8  5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 4) x3 1 4 x = 0 4 1  0 6 5 x 1 6  5 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 2 5 เร่ือง เมทริกซ์ ใบกจิ กรรมที่ 1 ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์ จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1. ถา้ A = 5 4 3 0 และ B =  6 4 1 6 2 9  8  2  9 7 1) มิติของ A = …….……….. มิติของ B = ………………… 2) จานวนสมาชิกของ A เท่ากบั ................. จานวนสมาชิกของ B เทา่ กบั ................. 3) a11 = …….…. a14 = …………. a22 = ……..….. a23 = ……..…... b21 = …….…. b22 = ……...…. b12 = ….….…. b32 = …….….. 2. จงพจิ ารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเท่ากนั หรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 0 0 0 0 0 .................................................................................... 0 0 .................................................................................... กบั 0 0 0 0 0 0 2) 0 3 กบั 3 0 4 4 3. ถา้ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นเมทริกซ์ที่เทา่ กนั จงหาคา่ x และ y 1) y  3 1 = 9 1 .................................................................................... x  5 6 4 6 .................................................................................... 2) x 3 = y 3 .................................................................................... 2 y  2 2 2x .................................................................................... .................................................................................... 3)  xy  = 1 .................................................................................... y  2x 8 .................................................................................... ....................................................................................

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 6 เร่ือง เมทรกิ ซ์ แบบฝึ กทกั ษะที่ 1 3 4 1 2 1.2 จงเขียนสมาชิกในแถวท่ีสอง 1. ให้ A = 5 6 7 4 6 2 7 5 1.1 จงบอกมิติของเมทริกซ์ A 1.3 จงเขียนสมาชิกในหลกั ท่ีสาม 1.4 จงหาคา่ ของ a13 , a 23 และ a34 1 0 0 จงหาสิ่งต่างๆ ต่อไปน้ีของเมทริกซ์ 1 0 2.2 สมาชิกในแถวที่สอง 2. ให้ B = 0 0 1 0 2.1 มิติ 2.3 สมาชิกในหลกั ที่สอง 2.4 b12 2.5 สาหรับ bij  0 , i และ j มีความสัมพนั ธ์กนั อยา่ งไร 2.6 สาหรับ bij  0 , i และ j มีความสมั พนั ธ์กนั อยา่ งไร 3. จงบอกจานวนสมาชิกของเมทริกซ์ที่มีมิติตามท่ีกาหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 3.1 2  2 เมทริกซ์ 3.2 3  5 เมทริกซ์ 3.3 m  n เมทริกซ์ 3.4 n  n เมทริกซ์ 4. จงหาค่าของตวั แปรท่ีทาใหส้ มการเมทริกซ์ที่กาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ เป็นจริง 4.1 x  y 3 1 = 0 3 y 4.2 x 1 y2 3 = 4 3 3  1 4 x y 4 3   3 1 y 3 1 x  4.3   = 4 y 1  x 1 0 2  0  2x  4 1 6  4 1  4.4  xy 3 = 2 3 2x  2y 2 1 2 5. ถา้ x2 – x + 1 = 0 แลว้ เมทริกซ์ต่อไปน้ีเท่ากนั หรือไม่ x 2 x x2 , x 1 0 0   x 2 1 x   0

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 2 7 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ เมทริกซ์บางชนิดทคี่ วรรู้ 1. เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) เมทริกซ์ A = [aij]mn จะเป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ก็ต่อเมื่อ m = n แสดงวา่ เมทริกซ์จตั ุรัส คือ เมทริกซ์ท่ีมีจานวนแถวเทา่ กบั จานวนหลกั ถา้ A = [aij]mn เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสแลว้ เส้นทแยงมุมที่ลากจากมุมบนซา้ ยมือมายงั มุมล่าขวามือ จะผา่ นสมาชิก a11 , a22 , a33 , … , amn เส้นทแยงมุมน้ี เรียกวา่ เส้นทแยงมุมหลกั (main diagonal)  0 2 1 7   3  2 ตัวอย่าง เมทริกซ์จตั ุรัส  4 5  3 1 5 1   5 2  9 8  เส้นทแยงมุมหลกั 2. เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) ถา้ A = [aij] mn เราจะเรียก A วา่ เป็ นเมทริกซ์ศูนย์ ก็ต่อเมื่อ aij = 0 เมื่อ i = 1, 2, 3, … , m และ j = 1, 2, 3, … , n กล่าวอยา่ งง่ายๆ วา่ เมทริกซ์ศนู ยเ์ ป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตวั เทา่ กบั ศนู ย์ ถา้ A เป็นเมทริกซ์ศูนยท์ ี่มีมิติ mn เราจะใชส้ ัญลกั ษณ์แทน A ดงั น้ี A = 0mn หรือ A = 0 เมทริกซ์ศนู ยท์ ่ีมีมิติ คือ 0 0 , เมทริกซ์ศนู ยท์ ่ีมีมิติ 33 คือ 0 0 0 0 0 0 0 ตวั อย่าง 22 0 0 0 0 3. เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix) ถา้ A = [aij]mn เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสแลว้ เราจะเรียก A วา่ เป็ น เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ มิติ nn กต็ ่อเม่ือ aij = 1 เมื่อ i  j  เม่ือ i  j 0 ใชส้ ญั ลกั ษณ์ In แทนเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ที่มีมิติ nn ตัวอย่าง I2 = 1 0 , 1 0 0 0 1 I3 = 0 1 0 0 0 1

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 2 8 เร่ือง เมทรกิ ซ์ ใบความรู้ที่ 2 การบวกและการลบเมทริกซ์ การบวกและการลบเมทริกซ์ บทนิยาม ถา้ เมทริกซ์ A = [ ]aij mn และ B = [ bij ] mn 1. A + B = [ a ij + ]bij mn 2. A – B = [ a ij – ]bij mn ข้อสังเกต เมทริกซ์ A และ B จะบวกและลบกนั ได้ กต็ ่อเม่ือ 1. A และ B ตอ้ งมีมิติเท่ากนั 2. ใหน้ าสมาชิกในตาแหน่งเดียวกนั มาบวกกนั 3. ผลลพั ธ์จะมีมิติเทา่ เดิม ในกรณีที่ A – A จะไดเ้ มทริกซ์ใหม่ท่ีมีสมาชิกทุกตวั เป็นศนู ย์ และใชส้ ญั ลกั ษณ์ 0 แทน เมทริกซ์ศูนย์ สมบัติการบวกเมทริกซ์ (A + B เป็น mn เมทริกซ์) (A + B = B + A) ให้ A , B , C เป็น mn เมทริกซ์ ((A + B) + C = A + (B + C)) 1. สมบตั ิปิ ดการบวก (A + 0 = A = 0 + A) 2. สมบตั ิการสลบั ที่การบวก 3. สมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่มการบวก (A + (–A) = 0 = (–A) + A) 4. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การบวก เรียก 0 วา่ เป็ น เอกลักษณ์การบวก 5. สมบตั ิการมีอินเวอร์สการบวกของ A คือ –A ตวั อย่าง จงหาผลลพั ธ์ของเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) 1 2 4 – 1 1 3 = 1  1 2 1 43  = 0 1 1 0 3  5 1 5  4 0 1  3  (5)  5  (4) 1 2 1 2) 2 5 + 3 0 = ……………………………………….…………………… 0 1 5 6

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 2 9 เรอ่ื ง เมทริกซ์ ใบกจิ กรรมท่ี 2 การบวกและการลบเมทริกซ์ 1. กาหนด A = 2 1 , B = 4  4 และ C = 1 0 จงหาคาตอบในแตล่ ะขอ้ 4  3  4 4  0 1 1) (A + B) + C = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 2) A – (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 3) A – (B + C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 4) A + (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 2. จงหาเมทริกซ์ X ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี 1) 4 3 +  2 4 + X = 1 4 8 2  1 3  2  5 …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. 2 1 3  2 0 3  2) 0 2 +X =   2  8 5 1  1 1 0  3 1 1 …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….…………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 2 10 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ 3. กาหนด A = 3 5 จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 4 6 1) A + X = A …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 2) A – X = A …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 3) A + X = 0 …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 4) A–X= 2 4 0 5 …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 5) A + X = 1 0 0 1 …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..……………………………………………………………………………….

วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 2 11 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์ แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2 1. จงพิจารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีบวกกนั ไดห้ รือไม่ ถา้ บวกกนั ไดจ้ งหาผลบวก 1.1 1 3 , 2 5 5 2 3 4 1.2 0 7 5 , 2 3 3 1 2 1 2 1  1.3 6 , 2 7  8 5 1 5 3 2 6  4  9 , 2 1  1.4  2 7 0  1  3 0 1 4 3 2. กาหนด A= 1 4 , B= 0 1 และ C=  2 1 3 5 3 2   5  0 2.1 จงหา (A + B) + C 2.2 จงหา A + (B + C) 2.3 จงพจิ ารณาวา่ (A + B) + C และ A + (B + C) เท่ากนั หรือไม่ 3. ถา้ A เป็น 34 เมทริกซ์ และ B เป็น 43 เมทริกซ์ จะหา A + B ไดห้ รือไม่ 4. ถา้ A=  2 2 จงหาเมทริกซ์ท่ีบวกกบั A แลว้ ได้  3   4 4.1 A 4.2 0 4.3 1 0 0 1 4.4  2 1    1 2  5

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 12 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์ ใบความรู้ที่ 3 การคูณเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง บทนิยาม ถา้ A = [ ]aij mn และ c เป็ นจานวนจริง แลว้ cA = [ ]ca ij mn หลกั การ เม่ือเอาจานวนจริง c คูณสมาชิกทุกตวั ผลลพั ธ์จะมีมิติเท่าเดิม สมบัตกิ ารคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง ถา้ c , d เป็นจานวนจริงใด ๆ A และ B เป็น mn เมทริกซ์ 1. (cd)A = c(dA) 2. c(A + B) = cA + cB 3. (c + d)A = cA + dA 4. (1)A = A 5. (–1)A = –A 6. 0A = 0 7. c0 = 0 ตวั อย่างที่ 1 จงหาผลลพั ธ์ของเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี 1) –4 5  2 1  3 = (4)5 (4) (2) (4)  (1) (4)  (3) =  20 8  4 12 2) 14 6 8 = ………………………………………………………………………….… 2 10  12  4 …………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ A= 3  4 , B =  5 8 จงหา 1   3 2   7 1) 2A = ………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………... 2) 3A – 2B = ………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 13 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn และ B = [ bij ] np ผลคูณ AB = C โดยท่ี C = [ cij ] mp เมื่อ = + + … +cij a i1b1j a i2b2j a in bnj หลกั การ เมทริกซ์คูณกนั ได้ เมื่อจานวนหลกั ของตวั ต้งั เท่ากบั แถวของตวั คูณ สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ถา้ A , B , C เป็น n n เมทริกซ์ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1. สมบตั ิการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ (AB)C = A(BC) 2. สมบตั ิการแจกแจง A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 3. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การคูณ AIn = A = InA เรียก In ว่าเป็ นเอกลกั ษณ์การคูณ 4. c(AB) = (cA)B = A(cB) ตวั อย่างการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ กาหนด A = a11 a12  , B = b11 b12  a 21 a 22  b 2 1 b22  AB = a11b11  a12b21 a11b12  a12b22  a 21b11  a 22b21 a 21b12  a 22b  22  ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A= 3  4 , B =  5 8 จงหา AB 1 2   7 3 วธิ ีทา AB =  (3 (5))  (4 7) (38)  (4 3)  (1 (5))  (2 7) (18)  (2 3) =  15  (28) (24)  (12)  5 14  8  6  =   43 12  19  2

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 2 14 เร่ือง เมทรกิ ซ์ ตวั อย่างท่ี 4 กาหนดให้ A = 3 4 , B = 2 จงหา AB 1 ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................  2 1 0 , B =  0 1 จงหา AB และ BA ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดให้ A = 1    0 1   2 2   3 1 5  4 1  AB = ………………………………………………. BA = ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ตัวอย่างที่ 6 จงหาจานวนจริง x ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี 2x 1   1  1) 1 2 x  1  = x  4 2) 3 x 6  2x x  = 0     3   x วธิ ีทา 2x  2  3x = x  4 ……………………………………………………. 2x + 2 + 3x = x – 4 ……………………………………………………. 5x + 2 = x – 4 ……………………………………………………. 4x = – 6 ……………………………………………………. x = 6 ……………………………………………………. ……………………………………………………. 4 ……………………………………………………. x = 3 2 ดงั น้นั x =  3 2

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 15 เร่ือง เมทริกซ์ ใบกจิ กรรมที่ 3 การคูณเมทริกซ์ 1. กาหนดให้ A = 2 1 , B = 0 1 และ C= 1  2 จงหา 1 2 2 0  1 2  1) A + 2B – 3C ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2) 2[5(A – B) + 3C] ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3) A2 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2. ให้ A= 2 5 1 , B = 3 2 0 และ C = 1 2 5 1 0 4 1 0 5 2 4 0 จงหาเมทริกซ์ X จากสมการ 5 X  2A  2{2X  X  3B} 4C 2 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 16 เรื่อง เมทริกซ์ 3. จงหาผลคูณของเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1 1) 2 5 1 2) 5 2 6  2 6  4  ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………….…… ……………………………………………………. ……………………………………………………. ……………………………………………………. …………………………………………….……… ……………………………………………………. 1 2 2 1 4) 2 1 0  1 1 3 4 3 2  1 0 2   3)  2 0   3  2 ………………………………………………….… …………………………………………….……… ……………………………………………………. ………………………………………………….… ……………………………………………………. …………………………………………….……… …………………………………………….……… ……………………………………………….…… ……………………………………………………. …………………………………………………..… 4. กาหนดให้ A = 0 4 , I= 1 0 จงหา 2 3 0 1 1) AI = ……………………………………...………………………………………….……………. ……………………………………...…………………………………………………….…. 2) I2 = ……………………………………...………………………………………………………. ……………………………………...……………………………………………….………. 3) IA = …………………………..……...……………………………………………………...……. ……………………………………...……………………………………………………….. 5. จงหาคา่ x และ y ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) 1  1  x  = 2 ……………………………………………………………………………….. 1 2  y 4 ……………………………………………………………………………….. 2) 1 0 x = 3 ……………………………………………………………………………….. 0 1  y 12 ……………………………………………………………………………….. 

วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 2 17 เร่อื ง เมทรกิ ซ์ แบบฝึ กทกั ษะที่ 3 1. กาหนดให้ A = 5 6 , B = 1 1 และ C = 1  2 จงหา 2 2  3 0 1  3 1.1 A + 3B – 4C 1.2 - 4 [5(A – B) + 2C] 1.3 2 A + 1 (C + B) 32 2. กาหนดให้ A= 2 5 1 , B= 3 2 7 และ C = 1 3 8 0 1 4 1 0 5  2 4 0 จงหาเมทริกซ์ X จากสมการเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี 2.1 1 (X + A) = 2(X + B) – 3C 2.2 2X + A = 3{X + (2X + B)} + C 2 3. จงหาผลคูณต่อไปน้ี 3.1 4 3 1  2 2 1  5 1 3 3.2 4 5 1 3.3 2 3 4 6 3 2 4 3 1   4 4 2 2 3 2  3 3.4 3 2 1  5 4 0 5 7  0  4. กาหนดให้ A = 0 1 , B = 2 1 , I2 = 1 0 ,0 = 0 0 จงหา 3 5 0  0 1 0 0 3  4.1 BA 4.2 AB 4.3 A2 4.4 IB 4.5 0B 4.6 I22 5. จงพจิ ารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีคูณกนั ไดห้ รือไม่ ถา้ คูณไดจ้ งหาผลคูณ 1 0 4  5.1 2 1 5 4 5.2 2 4 5 7 4 4  1 0 3 3  4 

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 18 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์ ใบความรู้ท่ี 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix) ทรานสโพสของเมทริกซ์ บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn แลว้ เมทริกซ์สลบั เปล่ียนของ A จะเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ At At หมายถึง เมทริกซ์ [ ]bij nm โดยท่ี =bij a ji เม่ือ i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m สมบัตขิ องทรานสโพส 1. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ใด ๆ แลว้ (At )t = A 2. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ใด ๆ แลว้ (kA)t = k At 3. ถา้ A และ B เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ mn แลว้ (A  B) t = At  Bt 4. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ mn และ B เป็ นเมทริกซ์ที่มีมิติ np แลว้ (AB)t = Bt At 5. (A)t = - At 6. (An )t = ( At ) n , n  I ตวั อย่างท่ี 1 จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี  5 8 2) B=  2 1 5 3   4 7 1) A=  7  3   4 0 6 จะได้ =  5 7 At  3 จะได้ Bt = ………………………………………..  8 ……………………………………………………. ……………………………………………………. ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = 6 3 จงหาค่าตวั แปรในแต่ละขอ้ ท่ีทาให้ A = At x y ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 1 2 5 1 0  กาหนด A = 2 3 9 , B= 2 1 จงหา (Bt)t + 2At ตวั อย่างที่ 3 3 2 ………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..…………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 2 19 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์ ใบกจิ กรรมที่ 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix) 1. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่กาหนดใหแ้ ตล่ ะขอ้ 1) = 1 5 0 A t = ………………………………..…………………………….......….. A  6 1 , ………………………………..…………………………….......…..  2 ………………………………..…………………………….......…..  3 0 4  2B t = ………………………………..…………………………….......….. ………………………………..………………………………......... 2) B = 3  2 , ………………………………..………………………………......... 4 5  2. กาหนด A= 2 1 , B = 1 0 และ C = 3 1 จงหา 4 3 5 2 2 5 1) (A + B) t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….… ………………………………………………………………………………….…………………………….…… ……………………………………………………………………………….……………………………………. 2) A t + B t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….… ………………………………………………………………………………….…………………………….…… ……………………………………………………………………………….……………………………………. 3) AB + 2C t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….… ………………………………………………………………………………….…………………………….…… ……………………………………………………………………………….……………………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………….…… ……………………………………………………………………………….…………………………………….

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 20 เร่อื ง เมทริกซ์ แบบฝึ กทกั ษะท่ี 4 1. กาหนดเมทริกซ์ A , B , C , D และ E ดงั น้ี 1 2 0 1 0  3 -1 3 3 - 2 2 - 4 5 A = 2 1 4 , B = 2 1 , C = 4  , D = 2 และ E = 1 1 -1 1 0  0  2 2 0 3 2 2 1  3  จงหา 1.1 AB และ BA 1.2 AB + Dt 1.3 BA – 2C2 1.4 AtBt + 2E 1.5 BA(C + E) 2. กาหนดเมทริกซ์ A , B และ C ดงั น้ี A = 1 3 , B = 1 3 2 และ C= 1 2 2 -1  1 3 0    0 1   3 - 2  จงหา 2.2 AB + ACt 2.1 ABC 2.3 A2 – 2BC 3. กาหนดให้ A = 1 1 2 -1 1  3  จงหาเมทริกซ์ X ที่ทาใหข้ อ้ ความตอ่ ไปน้ีเป็นจริง 3.1 A + X = 2A – X 3.2 AAt = 2I2 + X 3.3 2AtA = X – I3

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 2 21 เรื่อง เมทริกซ์ ใบความรู้ท่ี 5 ดเี ทอร์มนิ ันต์ (Determinant) ดีเทอร์มินันต์ (Determinant) บทนิยาม ดีเทอร์มินนั ต์ (Determinant) คือ ค่าตวั เลขจานวนใดจานวนหน่ึง และมีเพยี งจานวนเดียวเทา่ น้นั ที่สอดคลอ้ งกบั เมทริกซ์จตั ุรัส ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส จะเขียนแทนดเี ทอร์มินันต์ของ A ด้วย det(A) หรือ A การหาค่าดเี อร์มินันต์ 1. ถา้ A = a เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 11 แลว้ det(A) = a ตัวอย่างท่ี 1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) A = [5] det (A) = 5 2) B = [-10] det (B) = ………………………………………………. 3) C = [0] det (C) = ………………………………………………. 4) D = [ 3 ] det (D) = ………………………………………………. 5 2. ถา้ A = a b เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 22 แลว้ det(A) = ad – bc c d ตวั อย่างท่ี 2 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) A= 2 4 det (A) = 2(5) – 3(4) = 10 – 12 = – 2 3 5 det (B) = ………………………………………………. det (C) = ………………………………………………. 2) B= 3 6 det (D) = ………………………………………………. - 5 - 2 det (E) = ………………………………………………. 3) C= 3 0 - 2 0 4) D= 3 0 0 - 2 5) E= 1 1 2 2

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 22 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ a b c เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 33 แลว้ 3. ถา้ A = d  e f  g h i  a b c a b det(A) = d  e f  d e = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb) g h i  g h ตวั อย่างที่ 3 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปน้ี 1) A=  4 1 6 4 -1 det (A) = (– 56 + 2 + 90) – (12 + 40 + (– 21))   2 2 3 = 36 – 31 = 5  3 -2 det (B) =…………………………………………..…… 1 5 7 -1 5 =…………………………………………..……  1 4 7 det (C) =…………………………………………..…… 2) B =  2  =…………………………………………..…… 5 8  det (D) = …………………………………………..……  3 6  9 =…………………………………………..…… 2  3  4 3) C = 1 0  2 0  5  6 1  2 3 4) D = 2 0 1 1  2 3 ตวั อย่างท่ี 4 กาหนด A = x 4 ถา้ det (A) = 0 จงหา x 4 x …………………………………………………………………………………….……………………………. ……………………………………………………………………………………………………….…………. ……………………………………………………………………………………………………….…………. ……………………………………………………………………………………………………….………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 2 23 เรื่อง เมทรกิ ซ์ การคานวณหาดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์ วธิ ีน้ีใชไ้ ดส้ าหรับเมทริกซ์จตั ุรัส nn , n  2 บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ]aij mn สญั ลกั ษณ์ M (A) แทนเมทริกซ์ท่ีเกิดจากการตดั แถวที่ i หลกั ท่ี j ij ของ A ออกไป ค่าดีเทอร์มินนั ตข์ อง M (A) เรียกว่า ไมเนอร์ (minor) ของ a ij ij กาหนด A =  4 1 0 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวั ในเมทริกซ์น้ี   2 1 ตัวอย่างที่ 3  3 1 5 0 1) M (A) =  2 1 = 0 – 5 = – 5 2) M (A) = …………………………………… 12 11 5 0 3) M (A) = …………………………………… 4) M (A) = 1 0 = 0 – 0 = 0 13 21 5 0 5) M (A) = …………………………………… 6) M (A) = …………………………………… 22 23 7) M (A) = …………………………………… 8) M (A) = …………………………………… 31 32 9) M (A) = …………………………………… 33 บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ]aij mn โคแฟกเตอร์ (cofactor) ของสมาชิก aij หรือตวั ประกอบร่วมเกี่ยวของ aij ของ A จะเขียนแทนดว้ ย C (A) หมายถึงผลคูณของ M (A) และ (-1) ij ij ij C (A) = (-1) ij M (A) ij ij  1 2  2 จงหา C12(A) , C21(A) , C23(A) , C33(A) ตัวอย่างท่ี 4 กาหนด A = 1 1  2   0 3 1  C12(A) = (-1)1+2M12(A) = (-1) 1 2 = (-1)(-1 – 0) = (-1)(-1) = 1 0 1 C21(A) = ………………………………………………………………………………………………… C23(A) = ………………………………………………………………………………………………… C33(A) = …………………………………………………………………………………………………

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 24 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์ การหาดีเทอร์มินันต์ อาจใชแ้ ถวใดแถวหน่ึง (หลกั ใดหลกั หน่ึง) เป็นหลกั เช่น ใช้แถวที่ 1 เป็ นหลกั จะได้ det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13 (A) + … + a1nC1n (A) ใช้แถวที่ 2 เป็ นหลกั จะได้ det (A) = a12C12(A) + a C22 22 (A) + a32C32(A) + … + am2Cm2 (A) =  4 1 0 กาหนด A   2 1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ A (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์) ตัวอย่างท่ี 5  3 1 5 0 วธิ ีทา det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13 (A) = 4(-1)1+1  2 1 + (-1)(-1)1+2 3 1 + 0 50 1 0 = 4(0 – 5) + 1(0 – (– 1)) = – 20 + 1 = – 19  det (A) = – 19  1 0 1 1  0 จงหา det (A) ตัวอย่างท่ี 6 กาหนด A=  0 2 1  3 1 4  2  6 5 0 1 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 25 เรอื่ ง เมทริกซ์ แบบฝึ กทกั ษะท่ี 5 1. จงหาจานวนจริง x ที่สอดคลอ้ งกบั สมการต่อไปน้ี 2 x1 1.1 x 14 = 2 1.2 1 0 1 = 0 3 11 342 2. จงหาดิเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี 2 1 0  2.1 A = 4 2 1  4 2 1  2.2 B =  2 2 3    1 1 0   0 1 4  2.3 C =  2 1 4    1 4  2   3 6  6  3 8 3 0    2.4 D =  2 3 0 0   4 5 3 0   2  1 0 2  1 1 2  2   2.5 E =  0 12 3  1 0 1 2   2 1 0  1 

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 26 เร่ือง เมทรกิ ซ์ ใบความรู้ที่ 6 สมบตั ิของดีเทอร์มนิ ันต์ กาหนดให้ A = [ aij ] nn และ B = [ bij ] nn โดยท่ี aij และ Rbij  และ n > 2 แล้ว 1. det(A) = det(A t ) ตัวอย่างที่ 1 จงหา det (A) และ det (At) ของเมทริกซ์ A ต่อไปน้ี 1.1 A = 0 0 1.2 B =  3 2 1 2 3  2  0 1  6  4 2 วธิ ีทา det (A) = 0 – 0 = 0 ……………………………………………………… จาก det (A) = det (At)  det (At) = 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 2. det(AB) = det(A) det(B) ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ A = 1 - 2 , B = 2 4 และ C = 3 4 จงหา 3 -1 1 1 1 -1 2.1 det(AB) 2.2 det(BC) วธิ ีทา det(A) = –1 – (– 6) = 5 ……………………………………………………… det(B) = 2 – 4 = – 2 ……………………………………………………… จาก det(AB) = det(A) det(B) ………………………………………………………  det(AB) = 5(– 2) = – 10 ……………………………………………………… 3. det(A n ) = [det(A)] n ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A = 2 1 , B = 3  2 จงหา  3 5 1 4  3.1 det(A2) 3.2 det(B3) วธิ ีทา det(A) = 10 – (– 3) = 13 ……………………………………………………… จาก det(A n ) = [det(A)] n ………………………………………………………  det(A2) = 132 = 169 ………………………………………………………

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 27 เร่อื ง เมทริกซ์ 4. det(A 1 ) = 1 det(A) ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ A= 1 2 , B = 2 6 จงหา  3 4  3  5  4.1 det(A-1) 4.2 det(B-1) วธิ ีทา det(A) = – 4 – (– 6) = 2 ……………………………………………………… จาก det(A-1) = 1 ……………………………………………………… ……………………………………………………… det(A)  det(A-1) = 1 2 5. เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix) ถา้ det(A) = 0 เรียก A วา่ เมทริกซ์เอกฐาน หรือ ซิงกลู าร์เมทริกซ์ ถา้ det(A)  0 เรียก A วา่ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน หรือ นอนซิงกูลาร์เมทริกซ์ ตวั อย่างท่ี 5 จงตรวจสอบวา่ เมทริกซ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี เป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรือเมทรืกซ์ไมเ่ อกฐาน 5.1 A = 2 6 4 0  1 3 5.2 B =   1  0  2 วธิ ีทา det(A) = 6 – 6 = 0 ………………………………………………………  เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ……………………………………………………… 5.3 C =  2 1 1  4 0  3  3 0 5.4 D = 2 1 0  3 1 ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 2 28 เรื่อง เมทรกิ ซ์ 6. ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสท่ีมีสมาชิกแถวใดแถวหน่ึง (หลกั ใดหลกั หน่ึง) เป็นศูนยท์ ุกตวั แลว้ det(A) = 0 ตวั อย่างท่ี 6 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี 6.1 A = 0 0 1  4 0  3 2 6.2 B = 2 1 0 วธิ ีทา เน่ืองจากแถวท่ี 1 มีสมาชิกทุกตวั เทา่ กบั 0  det(A) = 0 3 1 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… 7. ถา้ A มีสมาชิกสองแถว (หรือ 2 หลกั ) ใดๆ เหมือนกนั แลว้ det(A) = 0 ตัวอย่างที่ 7 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี 7.1 A = 1 1 1 1 0 2 2 7.2 B = 3  1 4  1 1 0 วธิ ีทา เน่ืองจากหลกั ที่ 1 และหลกั ที่ 2 ……………………………………………………… มีสมาชิกซ้ากนั ………………………………………………………  det (A) = 0 ……………………………………………………… 8. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลบั แถว (หลกั ) คูใ่ ดคู่หน่ึงของ A แลว้ det (B) = – det (A) ตัวอย่างท่ี 8 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี 8.1 A =  1 2 1 8.2 B = 1 2 1       2 1 1   1 1 2  1 1 0  0 1 1  ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 29 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ จากสมบตั ิในขอ้ ที่ 8 ระบุเพยี งวา่ ใหส้ ลบั ระหวา่ งแถว หรือสลบั ระหวา่ งหลกั เพยี งคูเ่ ดียว แต่ในบางคร้ังจะ พบวา่ B เป็นเมทริกซ์ท่ีเกิดจากเมทริกซ์ A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถว หรือสลบั กนั ระหวา่ งหลกั มากกวา่ 1 คู่ เช่น a b c d e f  A = d  , B = g  e f  h i  g h i  a b c จะพบวา่ B เกิดจากการสลบั ที่ระหวา่ งแถวท่ี 1 และแถวท่ี 3 และนาผลท่ีไดม้ าสลบั กนั ระหวา่ งแถวที่ 1 และแถวที่ 2 อีกคร้ังหน่ึง ลกั ษณะเช่นน้ีเรากล่าววา่ B เกิดจาก A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถวสองคู่ การกระทา ดงั กล่าว ถา้ เราทราบคา่ ดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ A เราจะทราบค่าดีเทอร์มินนั ตข์ อง B ดว้ ย ดงั น้ี a b c g h i  d e f  A = d  C = d  B = g  e f  e f  h i  g h i  a b c a b c det(A) = k det(C) = - k det(B) = - (- k) = k ดงั น้นั เราสามารถสรุปเป็นสมบตั ิของดีเทอร์มินนั ตไ์ ดอ้ ีก 1 ประการ ดงั สมบตั ิขอ้ ท่ี 9 9. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจาก A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถว หรือสลบั กนั ระหวา่ งหลกั จานวน k คู่ แลว้ det(B) = (-1) k det(A) a b c และ det(A) = 2 จงหาค่าดีเทอร์มินนั ทข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ A = d  e f  g h i  c a b  e d f  9.1 B = f  d e  9.2 C = b a c i g h h g i  วธิ ีทา หลกั ที่ 1 สลบั กบั หลกั ที่ 3 ……………………………………………………… ……………………………………………………… และหลกั ที่ 2 สลบั กบั หลกั ท่ี 3 ……………………………………………………… ……………………………………………………… จะเห็นวา่ มีการสลบั กนั 2 คู่ ……………………………………………………… ……………………………………………………… จาก det(B) = (-1) k det(A) ……………………………………………………… ……………………………………………………… = (-1) 2  2 = 12 =2  det(A) = 2

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 30 เรอ่ื ง เมทริกซ์ 10. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง (หรือคูณหลกั ใดหลกั หน่ึง) ของเมทริกซ์ A ดว้ ยคา่ คงตวั k  0 แลว้ det(B) = k det(A) ประโยชนข์ องสมบตั ิขอ้ ท่ี 10 คือ ช่วยทาใหส้ มาชิกของเมทริกซ์ที่ตอ้ งการหาดีเทอร์มินนั ตม์ ีขนาดเลก็ ลง เพอ่ื สะดวกในการกระจาย ตวั อย่างท่ี 10.1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี 6 3 9 6 3 9 2 1 3 2 1 1 10.1.1 4  4 6 = 22 2 3 = 232 2 3 = 2332 2 1 1 1 6 1 1 6 1 1 6 1 1  2 2 1 1 2 1 = 18(5 – 0) = 90 = 18 2  2 1 2  2 1 1  2 1 1 53 1 10.1.2 10 6  2 = ………………………………………………………………………………. 5 3 3 = ………………………………………………………………………………. 5 31 10.1.3 10 6 4 = ………………………………………………………………………………. 15  3 3 = ………………………………………………………………………………. abc ตัวอย่างท่ี 10.2 กาหนดให้ d e f = 3 จงหาค่าของ ghi 2a 3b 4c 10.2.1 2d 3e 4f 2g 3h 4i ……………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….…………………………………… d e f 10.2.2 3a 3b 3c ghi ……………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….……………………………………

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 2 31 เรื่อง เมทรกิ ซ์ 11. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสมิติ nn และ k เป็นคา่ คงตวั จะไดว้ า่ det(kA) = k n det(A) ตัวอย่างท่ี 11 กาหนดให้ A , B และ C เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ 2 2 , 33 และ 4 4 ตามลาดบั และถา้ det(A) = 10 , det(B) = - 15 และ det(C) = 8 แลว้ จงหา 11.1 det(5A) = …………………………………………………………….………………………………… 11.2 det(- 4B) = …………………………………………………………….………………………………… 11.3 det( 1 C ) 2 = …………………………………………………………….………………………………… ข้อสังเกต ถา้ A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ nn จะไดว้ า่ det(-A) = det((-1)A) = (-1)ndet(A) = det(A) เม่ือ n เป็นจานวนคู่่่  เมื่อ n เป็นจานวนค่่่ ่ี ่ - det(A) 12. ถา้ A เป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมหรือเมทริกซ์ทแยงมุม det(A) เทา่ กบั ผลคูณของสมาชิกในแนวเส้น ทแยงมุมหลกั หรือ det(A) = a11 a22 a33 ...ann ตวั อย่างที่ 12 จงหาดีเทอร์มินนั ตต์ ่อไปน้ี 300 3 1 0 4 12.2 0 3 0 12.1 0 2 1 1 003 0 0 2 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… 0 0 01 วธิ ีทา เนื่องจากเป็ นเมทริกซ์สามเหลี่ยมดา้ นบน det(A) = (-3)2(-2) 1 = 12 13. det(In) = 1 14. det(0) = 0 เม่ือ In เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ 000 10 0 ตัวอย่างท่ี 14 0 0 0 = 0 ตวั อย่างท่ี 13 0 1 0 = 111 000 0 01

วิชา ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 32 เรอื่ ง เมทริกซ์ ใบกจิ กรรมท่ี 6 ดีเทอร์มนิ ันต์ (Determinant) 1. จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) A = [9] det(A) = ……………………………………………………………..………. 2) B= 3 5 det(B) = ……………………………………………………………..……….  4  9 det(C) = ……………………………………………………………..………. 3) C = 0 1 7 8 det(D) = ……………………………………………………………..………. ……………………………………………………………..………. 4) D =  2  3  4   det(E) = ……………………………………………………………..……….  0 5 7  ……………………………………………………………..……….  1 6  5  2  5 1 5) E =  3 1 6  4 2 3 2. กาหนด A = 1 3 , B= 3 6 จงหา 2 4 1 3 1) det(AB) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2) det(A t ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 2 33 เรอ่ื ง เมทริกซ์ 3) det(B 1 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4) det(A + B) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 5) det(A 2 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 6) det(3B) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 3. กาหนด A = x2 4 , B= 3  4 ถา้ det(A) = det(B) จงหา x  1 2  1  x ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 2 34 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์  3 1 2 0  0  3 5 4. กาหนด A=  4 M (A) และ C (A)  0 6 0 0 32 32  1 3  4 2  ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 5. จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์) 1) A= 1 0 2     5 3 4   2 0  6 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2 0 1 3 2) B = 1 2 0 3 3 1 2 0 0 2 1 3 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 2 35 เร่ือง เมทรกิ ซ์ 1 0 2 1 3) C = 2 0 1 1 1 0 1 2 2 0 1 1 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….  1 1 5 2   4) D =  2 0 1 2  1  3 8 0  2 1  1 1 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 2 36 เรื่อง เมทรกิ ซ์ แบบฝึ กทกั ษะท่ี 6 xyz pq r 1. ถา้ p q r = -1 1.2 3s 3t 3u stu xyz st u 1.1 p q r x yz ab c 2. ให้ A = p q r และ det(A) = 3 xyz จงหา det(3B-1) เมื่อ B =  4x 4y 4z  2c   2a 2b  p  q  r  3. ให้ A , B และ C เป็น nn เมทริกซ์ เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 2 และ det(A) = 1 , det(B) = 2 , det(C) = -3 แลว้ จงหา 3.1 det(A2BC-1B-1) 3.2 det(BC-1AB-1Ct)

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 37 เรื่อง เมทรกิ ซ์ ใบความรู้ที่ 7 อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์ อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์ บทนิยาม ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ อินเวอร์สของเมทริกซ์ A เขียนแทนดว้ ย A 1 มีสมบตั ิวา่ A A 1 = A 1 A = I n *** อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์ อาจเรียกว่า ตวั ผกผนั การคูณของเมทริกซ์ 1. อนิ เวอร์สของการคูณของ 2 2 เมทริกซ์ เมื่อ A = a b โดยท่ี ad – bc  0 (det A  0) c d A 1 = 1 d  b = 1 d  b ad  bc  c  det(A)  c  a  a  ตวั อย่างที่ 1 จงหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) A= 2 5 2) B= 1 2 3 8 2 4 วธิ ีทา det(A) = 16 – 15 = 1 …………………………………………………….. A-1 = 1 8  5 …………………………………………………….. 1  3  …………………………………………………….. 2  = 8  5  3  2  ตัวอย่างท่ี 2 กาหนด A = 2 1 จงหา A 2 3 1 วธิ ีทา A-2 = (A2)-1 A2 = 2 1  2 1 = 4  3 2 1 = 7 3 3 1 3 1 6  3 3 1 9 4 det(A2) = 28 – 27 = 1 (A2)-1 = 1 4  3 = 4  3 1  9 7   9 7   A 2 = 4  3  9 7 

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 38 เรื่อง เมทรกิ ซ์ 2. อนิ เวอร์สการคูณของ nn เมทริกซ์ เมื่อ n > 2 บทนิยาม ให้ A = [ ]aij nn เมื่อ aij และ n เป็ นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 1 1. เมทริกซ์ผกู พนั (Adjoint Matrix) ของ A เขียนแทนดว้ ย adj(A) คือ ทรานโพสของ เมทริกซ์ [C (A)] ij nn adj(A) = [C ij (A)] t nn 2. A(adj A) = adj(A)A = det(A) I n 3. ถ้า det(A)  0 แลว้ A 1 = 1 adj(A) det(A) สมบตั ขิ องอนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์ กาหนด A , B เป็ นเมทริกซ์มิติ nn ท่ีสามารถหา A 1 และ B 1 ได้ 1. (A 1 ) 1 = A 2. (AB) 1 = B A1 1 3. (A t ) 1 = (A 1 ) t 4. (A n ) 1 = (A 1 ) n 5. (kA) 1 = A1 1 , kR , k 0 6. det(A 1 ) k =1 det ( A) 1 0 1 ตวั อย่างที่ 3 กาหนด A = 3 1  2 จงหา 2 5 8  3.1 det(A) ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….………………….

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 2 39 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ 3.2 adj(A) วธิ ีทา c11(A) c12 (A) c13(A)  t c22 (A) c 2 3 (A) adj(A) = c21(A) c32 (A) c 33 (A)  c31(A) 1  2 3  2 3 1  t     5 8 2 8 2 5  =  0 1 1 1  1 0     5 8 2 8 2 5    0 1 1 1 1 0    1  2 3 1 3 2  2  28 17t =  5 10  5 1 1 1   2  5 1t =  28 10 1  17  5 1 3.3 A-1 ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ………………………………………………………………………………………….…………………. ชีวิตต้องสู้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 40 เรอ่ื ง เมทริกซ์ ใบกจิ กรรมท่ี 7 อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์ 1. จงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ต่อไปน้ี (ถา้ มี) 1.1) 4 3 1 2 …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… 1.2) 0 1 4 3 …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… 1.3) 3 1 6  2 …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… 1.4) 2 3 1 1  2 2  …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 2 41 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ 2. กาหนด A = 5 3 จงหา A 1 , A 2 3 2 …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… 2 1 3 3. กาหนด A = 3 2 5 A มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ ถา้ มีจงหา A 1 1 6 8 …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 42 เรื่อง เมทรกิ ซ์ 3 0 1 4. กาหนด A = 2 1  2 A มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ ถา้ มีจงหา A 1 4  3 1  …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 2 43 เรื่อง เมทริกซ์ แบบฝึ กทกั ษะที่ 7 1. จงหาตวั ผกผนั การคูณของเมทริกซ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1.1 A =  3 4 1.2 B = 2  4  2 3 1  2 1.3 C =  3 2 1 1.4 D=  3 4 2  5 6  1  4  6 3  2  3 1  4  7  8 5 1  3 1.5 E = 1  12 4  1 6 3  2. กาหนดให้ 1 1 2 , 1 1 1 A = 1  B = 0  จงหา 2 1  1 2  1 2 3 0 5  3 2.1 det(2A-1B) 2.2 det(Atadj(B)) 2.3 det(BAtadj(A)) 2.4 det(2adj(A2)B)

วชิ า ค 31202 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 2 44 เรื่อง เมทริกซ์ ใบความรู้ที่ 8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นโดยใช้ เมทริกซ์ บทนิยาม ระบบสมการเชิงเส้น หมายถึง ชุดสมการที่ทุกสมการเป็นสมการเชิงเส้น และจานวน สมการในระบบเท่ากบั จานวนตวั แปร ระบบสมการเชิงเส้น + + … +a11x1 a12x2 a1n xn = b1 + + … +a21x1 a22x2 a2n xn = b2   + + … + =an1x1 an2 x2 ann xn bn สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ไดด้ งั น้ี a11 a12  a1n   x1  b1  =a21    b2  a22  a2n   x 2        an1    b3  an2  ann   x n   AX B เรียก A วา่ เมทริกซ์สัมประสิทธ์ิ (coefficient matrix) a11 a12 a13  b1  วา่ เมทริกซ์แต่งเตมิ (augmented matrix) เรียก [A : B] = a21  a22 a23  b2  a31 a32 a33  b3  การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ สามารถทาได้ 3 วธิ ี คือ 1. ใชอ้ ินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 2. ใชก้ ฎของคราเมอร์

วิชา ค 31202 คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 45 เร่อื ง เมทริกซ์ 1. ใช้อนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์ จาก AX = B และ det(A)  0 จะได้ X = A B1 ตัวอย่างที่ 1 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น 2x – 3y = -1 ………… (1) -3x + 5y = 2 ………… (2) วธิ ีทา จาก AX = B จะได้ 2  3 x  =  1  3 5  y  2 A 1 = 1 d  b = 1 5 3 det(A)  c a  1 3 2 จะได้ X = A B1 x = 5 3 1 =  5  6 = 1  y 3 2  2  3  4 1  x = 1 และ y = 1 ตวั อย่างท่ี 2 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น 2x + y + 2z = 3 ………… (1) x+y–z= 1 ………… (2) ………… (3) 2 3x + 2y – 2z = – 2 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 2 46 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์ 2. ใช้กฎของคราเมอร์ บทนิยาม ถา้ A เป็นเมทริกซ์ nn โดยท่ี det(A)  0 แลว้ ระบบสมการเชิงเส้นท่ีเขียนในรูป สมการเมทริกซ์ AX = B เมื่อ x1 , x2 , ... , xn คือตวั ไมท่ ราบค่า และ b1 , b2 , ... , bn เป็ นตวั คงที่ x1  b1    b  โดยท่ี X =  x 2  , B = 2         x n   b 3  จะมีคาตอบคือ x1 = det (A1 ) , x2 = det(A2 ) , ... , xn = det(An ) det(A) det(A) det(A) เมื่อ A คือเมทริกซ์ที่ไดจ้ ากการแทนหลกั ท่ี i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B i ตวั อย่างท่ี 2 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นท่ีกาหนดให้โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 2x + y + z = 1 x – 2y – 3z = 1 3x + 2y + 4z = 5 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม 2 47 เรื่อง เมทรกิ ซ์ ใบกจิ กรรมที่ 8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนีโ้ ดยใช้เมทริกซ์ 1. 2x + 2y = 7 x + 2y = 4 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2. x + y + z = 6 x–y+z = 2 x+y–z = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 2 48 เร่ือง เมทรกิ ซ์ 3. x + 3y = 0 y – 5z = 3 2x + z = -1 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4. 2x – 3y + z = 8 -x + 4y + 2z = -4 3x – y + 2z = 9 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

วชิ า ค 31202 คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 2 49 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์ แบบฝึ กทกั ษะที่ 8 1. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ีโดยใชอ้ ินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 1.1 y – x = 4 1.2 x + 2y – z = 3 2x + 3y = 22 3x + y = 6 2x + y = 1 2. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 2.2 3x + 6y = 5 2.1 3x + 4y = -2 6x + 14y = 11 5x + 3y = 4 2.4 x – 2y + 3z = 9 2.3 2x + y – z = 5 - x + 3y = - 14 3x – 2y + 2z = -3 x – y – 3z = -2 2x – 5y + 5z = 17