คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

6.2 การเขียนประพจนบ์ ลู ีนจากวงจรลอจกิ การเขียนสมการพชี ณิตจากวงจรลอจิกจะใชห้ ลกั การพิจารณารูปวงจรลอจกิ ทีละส่วน โดยเรม่ิ จาก ดา้ นอนิ พตุ แลว้ พิจารณาไปทางเอาตพ์ ตุ ตามลาดบั แลว้ นาสมการในแต่ ละเกตมารวมกนั ตามคณุ สมบตั ิของ เกตนน้ั ๆ ดงั ตวั อย่าง ตวั อยา่ งที่ 1 ใหเ้ ขยี นสมการพีชคณิตของวงจรลอจกิ ตอ่ ไปนี้



6.3 การเขียนวงจรลอจกิ จากประพจนบ์ ูลีน การออกแบบวงจรลอจกิ นนั้ ส่วนใหญ่จะพยายามออกแบบใหใ้ ชเ้ กทนอ้ ยท่สี ดุ เพื่อลด เวลาหนว่ งของเกทในการทางาน ซงึ่ จะตอ้ งลดรูป Boolean Expression ใหส้ นั้ ที่สดุ และในการออกแบบวงจรลอจิก สิ่งที่ตอ้ งคดิ เป็นอนั ดบั แรกคือ ตอ้ งการงานอะไร ใน ลกั ษณะไหน น่นั คือเราจะตอ้ งสรา้ งตารางความจรงิ ใหไ้ ดก้ อ่ น จากนน้ั จึงนาตาราง ความจรงิ ทไี่ ดผ้ ่านลาดบั ขนั้ ตอนตา่ ง ๆ จนไดเ้ ป็นลอจิกไดอะแกรม ซ่ึงขนั้ ตอนในการ ออกแบบวงจรลอจิก มีขนั้ ตอนทพี่ อสรุปไดด้ งั นี้

1) วิเคราะหง์ านหรือความตอ้ งการออกมาเป็นตารางความจริง (Truth table) 2) นาตารางความจรงิ ทไี่ ดม้ าเขียนเป็น Boolean Expression โดยลดรูปใหส้ น้ั ทีส่ ดุ 3) นา Boolean Expression ทล่ี ดรูปไดม้ าเขียนเป็น Logic Diagram ซงึ่ ขนั้ ตอนในการเขียน Boolean Expression จากตารางความจริงนน้ั จะตอ้ งอาศยั ความรูจ้ ากเร่อื งของ Sum Of Product (minterm) และ Product Of Sum (maxterm) มาช่วย โดยมขี นั้ ตอนในการเขียน Boolean Expression จากตารางความจริง คือ 1) ตดั สนิ ใจวา่ จะเลอื กใชร้ ูปแบบของ Sum Of Product (minterm) หรอื Product Of Sum (maxterm) เพียงอยา่ งใดอย่างหนึง่ 2) ถา้ เลือกเขยี นแบบ Sum Of Product (minterm) ใหพ้ จิ ารณาเฉพาะตารางความ จรงิ แถวท่มี ีเอาทพ์ ทุ เป็น “1” เทา่ นนั้ และ ถา้ เลือกเขยี นแบบ Product Of Sum (maxterm) ใหพ้ จิ ารณาเฉพาะตารางความจริงแถวทมี่ ีเอาทพ์ ทุ เป็น “0”เท่านนั้ 3) เขยี น Boolean Expression เฉพาะเทอมท่พี ิจารณาในรูปแบบท่ีเลือกไว้ แลว้ ทา การลดรูปใหส้ น้ั ที่สดุ ตวั อย่างท่ี 1 จงออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจรงิ ตอ่ ไปนี้ โดย ก) ใช้ Function Output ในรูปของ Sum Of Product ข) ใช้ Function Output ในรูปของ Product Of Sum INPUT OUTPUT ABC X

000 1 001 0 010 0 011 0 100 1 101 0 110 1 111 1 ก) เขยี น Function Output ในรูปของ Sum Of Product โดยเขยี นในรูปแบบของ mimterm ต่าง ๆ มา AND กนั ซึ่งใหเ้ ลือกเขยี นเฉพาะเทอมที่มี output เป็น 1 เท่านน้ั ข) เขียน Function Output ในรูปของ Product Of Sum โดยเขยี นในรูปแบบของ maxterm ต่าง ๆ มา OR กนั ซ่งึ ใหเ้ ลือกเขยี นเฉพาะเทอมที่มี output เป็น 0 เท่านน้ั 6.4 การหาค่าผลลัพธข์ องประพจนบ์ ลู ีน การเขยี นตารางค่าความจรงิ ของสมการลอจิกนนั้ ตอ้ งพิจารณาจานวนตวั แปรอนิ พตุ โดยกาหนด สถานะของอนิ พตุ เพียง 2 สถานะเท่านนั้ คอื “0” และ “1” ดงั นนั้ ตาราง ค่าความจรงิ จะมีจานวนเอาตพ์ ตุ เป็นเท่าใดขนึ้ อยกู่ บั จานวนอนิ พตุ คือ จะไดท้ งั้ หมด 2n เม่อื n คือ จานวนอนิ พตุ

ตวั อยา่ งท่ี 1 ใหเ้ ขียนตารางค่าความจรงิ ของสมการพีชคณติ ตอ่ ไปนี้ (1) Y = AB + AB โดยท่ีมตี วั แปรอนิ พตุ 2 ตวั ดงั นนั้ จงึ มเี อาตพ์ ตุ ทงั้ หมด 22 = 4 กรณี



6.5 ทฤษฏีบทของพชื คณติ บลู นี เป็นพีชคณติ ทใี่ ชอ้ ธิบายความสมั พนั ธข์ องตวั แปรแบบลอจิก โดยอาศยั ตัวดาเนินการ ทางลอจิกตา่ ง ๆ คน้ พบโดยนกั คณติ ศาสตรช์ าวองั กฤษ จอรช์ บลู (George Boole, 1815-1864) กฎของพชี คณติ บลู ีน (Law of Boolean Algebra) ท่สี าคญั ไดแ้ ก่ 1. กฎการตรงกนั ขา้ ม (Complement Law) A⋅ A = 0 A + A =1 2. คณุ สมบตั ิของศนู ย์ 0⋅ A = 0 0 + A = A 3. คณุ สมบตั ิของหนึง่ 1⋅ A =1 1+ A =1 4. กฎการสลบั ที่ (Commutative Laws) A + B = B + A AB = BA 5. กฎการจดั หมู่ (Associative Laws) A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C

6. กฎการกระจาย (Distributive Law) A(B + C) = AB + AC A+ (BC) = (A+ B)(A+C) 7. กฎของเอกลกั ษณ์ (Identify Law) A+ A+.... = A AA.... = A 8. กฎการลบลา้ ง (Negation) A = A A = A 9. กฎการลดทอน (Redundancy Law) A+ AB = A A+ AB = A+ B A(A+ B) = A A(A+ B)= AB 10. ทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน (Demorgan’s Theorems) A+ B = AB AB = A+ B จากกฎพนื้ ฐานของพีชคณติ เหลา่ นี้ เราสามารถนาไปชว่ ยในการลดรูปของสมการ ลอจกิ ไดท้ าให้ วงจรลอจิกที่ไดม้ ขี นาดเลก็ ลง และตน้ ทนุ ในการผลติ ตา่ ทงั้ ยงั สง่ ผลให้ สามารถทางานไดร้ วดเร็วขนึ้ เนือ่ งจากสญั ญาณอินพตุ ผา่ นลอจิกเกตจานวนนอ้ ย ก่อนการเกิดเป็นสญั ญาณเอาทพ์ ตุ ตวั อยา่ งการใช้ Boolean Algebra เพือ่ หา วงจรไฟฟ้าทเี่ หมอื นกนั แต่ใชจ้ านวนเกตนอ้ ยกว่า พิจารณาตารางคา่ ความจริงสาหรบั สมการลอจกิ AB + BC ในภาพ a และสมการลอจิก A(B + C) ในภาพ b ซึง่ ไดจ้ าก การลดรูปสมการลอกจิกโดยใช้ Boolean Algebra หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 7 เมตรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ (Matrix) คอื กลมุ่ ของสมาชกิ ท่ีเรยี งในแนวนอนเรียกว่า แถว และเรยี งใน แถวตงั้ เรยี กวา่ หลกั เป็นรูปสเ่ี หล่ียมมมุ ฉาก สมาชิกทงั้ หมดอย่ภู ายในวงเล็บ [ ] หรอื ( ) และสมาชิกของเมทรกิ ซท์ ่เี ขยี นเป็นแนวนอนเรยี กว่า สมาชกิ ที่อยใู่ นแถว (Row) ของเมทรกิ ซ์ สมาชกิ ของเมทรกิ ซท์ ่เี ขียนเป็นแนวตงั้ หรือแนวดง่ิ เรียกวา่ สมาชิกทอ่ี ย่ใู น หลกั (Column) ของเมทรกิ ซ์

7.1 ความหมายและชนิดของเมทรกิ ซ์ เมทรกิ ซ์ หมายถึง กล่มุ ของจานวนจริงที่นามาจดั เรียนงกนั ใหเ้ ป็นแถว แตล่ ะแถวมี จานวนท่เี ทา่ ๆกนั โดยมีวงเล็บเล็ก ( ) หรือวงเลบบ็ [ ] ปิดลอ้ มไว้ เชน่ โดยท่วั ไปแลว้ เรามกั นยิ มใชอ้ กั ษร A , B , C , ... แทนเมทริกซ์ และใชต้ วั อกั ษรพิมพ์ เล็ก a , b , c , ... แทนสมาชิกของเมทริกซ์ แต่ถา้ สมาชิกของเมทริกซม์ จี านวนมาก เราจะใชอ้ กั ษรเพียงตวั เดียวแทนสมาชิกและเขียนจานวนตอ่ ทา้ ยตวั อกั ษรดงั กลา่ ว เพือ่ บอกตาแหนง่ ในระดบั ทตี่ า่ ลงไปเลก็ นอ้ ย เช่น จานวนทเ่ี ขียนตามหลงั ตวั อกั ษรนน้ั จาทาหนา้ ท่ีบง่ บอกถึงตาแหนง่ ของสมาชิก เช่น เป็นสมาชกิ ในตาแหนง่ แถวท่ี 1 หลกั ที่ 1 เป็นสมาชิกในตาแหนง่ แถวท่ี 3 หลกั ที่ 1 เป็นสมาชิกในตาแหนง่ แถวท่ี 3 หลกั ที่ 3 สรุป หมายถงึ สมาชกิ ในตาแหน่ง แถวท่ี i หลกั ท่ี j พดู กนั แบบงา่ ยก็คอื ตวั เลข ตวั หนา้ คือ แถว ตวั หลงั คือ หลกั น่นั เอง ถา้ เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซม์ ิติ เราสามารถเขยี นสญั ลกั ษณแ์ ทนเมทรกิ ซ์ A ไดด้ งั นี้

แตใ่ นการเขยี นเชน่ นีค้ ่อนขา้ งยืดยาว เราจงึ นิยมใชเ้ ขียนเป็น แทน โดยท่ี i (แถว) = 1 , 2 , 3 , .... , m j (หลกั ) = 1, 2, 3, ...., n หรืออาจจะเขยี นใหส้ นั้ กวา่ นไี้ ดอ้ กี ดงั นี้ ดงั นนั้ ถา้ นกั เรยี นเห็นสญั ลกั ษณน์ ี้ ตอ้ ง ทราบทนั ท่วี ่า เมทริกซ์ A มมี ิติ และมี เป็นตวั แทนของสมาชิกโดยท่วั ไป ตวั อย่าง ถา้ แสดงวา่ เมทรกิ ซ์ A มี 2 แถว 2 หลกั แตล่ ะจานวนทปี่ ระกอบขนึ้ เป็นเมทรกิ ซเ์ รียกวา่ สมาชิก (Elements) ของเมทรกิ ซ์ กาหนดให้ a เป็นเมทริกซใ์ ดๆ ตาแหนง่ สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ a มิติ ถา้ เมทรกิ ซ์ M1M1 มีสมาชกิ mm แถว และ nn หลกั เราเรยี กเมทรกิ ซน์ นั้ ว่า เมท รกิ ซ์ M1M1 มีมิติ m×nm×n หรอื เรยี กวา่ เมทริกซ์ M1M1 มขี นาด m×nm×n

พิจารณาเมทรกิ ซ์ M1,M2,M3M1,M2,M3 จากตวั อยา่ งขา้ งบนเราจะได้ เมทริกซ์ M1M1 มีมิติ 2×32×3 เมทรกิ ซ์ M2M2 มีมิติ 3×23×2 เมทรกิ ซ์ M3M3 มีมิติ 2×22×2 7.2 ทรานสโพสของเมทรกิ ซ์ ให้ Aเป็นเมทริกซม์ ีมิติ m×nm×n เขียนแทนดว้ ย A=[aij]m×nA=[aij]m×n ซึ่งทราน โพสของ Aเขียนแทนดว้ ย AtAt คือ At=[aij]m×n=[aji]n×mAt=[aij]m×n=[aji]n×m คอื เมทรกิ ซท์ ่ีเกดิ จากการนาสมาชิกในเมทรกิ ซ์ AA สลบั กนั ระหว่างแถวกบั หลกั ตวั อยา่ งของเมทรกิ ซท์ ราสโพส ให้ A=[142536]A=[123456] และ B=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥B=[123456789] ดงั นน้ั At=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥At=[142536] และ Bt=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥ 7.3 การเทา่ กันของเมทรกิ ซ์ บทนยิ าม ให้ และ A= B ก็ตอ่ เมือ่ ทกุ ๆ ค่าของ i และ j จากบทนยิ าม เป็นการกาหนดว่า เมทรกิ ซส์ องเมทริกซจ์ ะเท่ากนั ไดต้ อ้ ง ประกอบดว้ ยเงอ่ื ไข 2 ขอ้ ดงั นี้ (1) เมทริกซท์ งั้ สองตอ้ งมมี ติ เิ ทา่ กนั (2) สมาชกิ ท่ีอย่ใู นตาแหนง่ เดยี วกนั ตอ้ งเทา่ กนั

ตัวอย่าง (1) เพราะวา่ เป็นเมทรกิ ซ์ เหมือนกนั และสมาชกิ ในตาแหนง่ เดยี วกนั เท่ากนั ทกุ ๆ ตาแหนง่ 7.4 การบวกและการลบเมทรกิ ซ์ การบวกลบเมทรกิ ซ์ ในการท่เี มทริกซต์ งั้ แต่ 2 เมทรกิ ซข์ นึ้ ไปจะนามาบวกลบกนั ไดจ้ ะตอ้ งมีมติ เิ ดยี วกนั หลงั จากนน้ั ใหน้ าสมาชกิ ทีอ่ ย่ใู นตาแหนง่ แถว และตาแหนง่ สดมภต์ รงกนั มาบวกลบ กนั ได้ ผลลพั ธท์ ่ีไดใ้ สไ่ วท้ ต่ี าแหนง่ แถว และสดมภน์ น้ั ของเมทริกซท์ เ่ี กบ็ ผลลพั ธข์ อง การบวกและลบ ซึ่งจะมมี ติ เิ ทา่ กบั มิตขิ องเมทริกซท์ นี่ ามาบวก ลบกนั ตวั อย่าง 1 แสดงถงึ เมทริกซใ์ ดทส่ี ามารถบวก ลบกนั ได้ ให้ A = [1 2 3] B= C = [7 8 9] จะเหน็ วา่ เมทริกซท์ ่ีสามารถบวกลบกนั ไดน้ น้ั มีเมทรกิ ซ์ A กบั C เทา่ นน้ั เพราะวา่ เมทริกซ์ A กบั C มีมิติเดยี วกนั คอื 1x3 ซ่งึ สญั ลกั ษณส์ าหรบั การบวก ลบ คือ + - ดงั นนั้ A+C = [1 2 3] + [7 8 9] A+C = [ 1+7 2+8 3+9 ]

สมาชิกทอ่ี ยใู่ นตาแหนง่ เดียวกนั สามารถ บวกกนั ไดเ้ ชน่ สมาชกิ 1,7 อย่ใู นตาแหน่ง เดยี วกนั คอื อย่ทู ่ีแถวท่ี 1 และสดมภท์ ่ี 1 = [ 8 10 12 ] A-C = [1 2 3] - [7 8 9] A-C = [ 1-7 2-8 3-9 ] สมาชิกที่อยใู่ นตาแหน่งเดยี วกนั สามารถ ลบกนั ได้ = [ -6 -6 -6 ] จากการบวกลบเมทรกิ ซ์ สามารถเขียนเป็นรูปท่วั ไปของการบวกลบไดด้ งั นี้ ให้ A = [aij] และ B = [bij] ที่เป็นเมทรกิ ซม์ ิติ mxn แลว้ ผลบวกของเมทรกิ ซ์ A กบั เมทรกิ ซ์ B เป็น A+B ซ่งึ มคี ่าเป็น [aij + bij] มิติ mxn ผลลบของเมทรกิ ซ์ A กบั เมท ริกซ์ B เป็น A-B ซงึ่ มีค่าเป็น [aij - bij] มิติ mxn ตัวอยา่ ง 2 บริษทั แหง่ หน่ึงมี 2 สาขา จาหน่ายอะไหล่รถจกั รยานยนต์ เชน่ หมวก กนั น๊อค ซง่ึ แตล่ ะสาขาไดแ้ สดงขอ้ มลู ของการจาหน่ายหมวกกนั น๊อค เป็นจานวนใบ ต่อวนั แยกตามสแี ละแบบ ดงั นี้ สาขาท่ี 1 สาขาที่ 2

อยากทราบว่าจาหนา่ ยหมวกกนั นอ๊ คทงั้ หมดของทงั้ 2 สาขา แยกตาม สแี ละแบบ จานวนก่ใี บ วิธีทา จากขอ้ มลู สาขาที่ 1 แปลงเป็นเมทรกิ ซไ์ ดเ้ ป็น และสาขาที่ 2 แปลงเป็นเมทริกซเ์ ป็น ดงั นนั้ ทงั้ สองเมทริกซ์ คานวณหาคา่ ของผลรวมของเมทริกซไ์ ดด้ งั นี้ += = จากผลลพั ธท์ ไี่ ดน้ ามาแปลงกลบั เป็นตารางไดด้ งั นี้ 7.5 การคณู เมทริกซ์ การคณู เมทริกซ์ บทนยิ าม ให้ และ k เป็นจานวนจริงใด ๆ จะไดว้ า่ วิธีทา

ตวั อยา่ ง ให้ จง หา , และ สรุปบลกั ษณะการคณู จานวนจรงิ กบั เมทริกซ์ ให้ a , b เป็นจานวนจริง และ A , B เป็นเมทริกซท์ ม่ี ีมติ ิ 1. aA = Aa 2. (ab)A = a(bA) = b(aA) 3. a(A + B) = aA + aB 4. (a +b)A = aA + aB 7.6 ดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ ดีเทอรม์ ิแนนทข์ องเมตริกซ์ คอื คา่ หรือตวั เลขทีไ่ ดจ้ ากการปฏบิ ตั ิการภายในสมาชิก ของ เมตริกซ์ ซงึ่ จะเป็นเมทริกซจ์ ตั รุ สั เท่านน้ั คอื จานวนแถว และหลกั เท่ากนั ดีเทอร์ มิแนนทข์ อง A จะเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “det A” หรอื “|A|” 1. การหาดีเทอรม์ แิ นนทข์ องเมทริกซข์ นาด 1x1 ให้ A = [a11] จะได้ det(A) = a11 เชน่ A = [5] จะได้ det A = 5

ให้ A=[aij]n×nA=[aij]n×n ซึ่งเราจะหา A−1A−1 จากสตู ร A−1=1detAadj(A) A−1=1detAadj⁡(A) เมอ่ื detA≠0ดงั นน้ั เราจงึ สรุปไดว้ ่าถา้ ในจานวนจรงิ นน้ั 00 เป็นเพียงค่าเดยี วท่ีไมม่ ี เอกลกั ษณก์ ารคณู ( ไม่มี 0−10−1)สว่ นในเมทรกิ ซน์ น้ั สมาชกิ ทไ่ี มม่ ีเอกลกั ษณก์ าร คณู อาจมีไดห้ ลายตวั (ทกุ ๆ ตวั ท่ีมีคา่ ดีเทอรม์ นี ลั ตเ์ ป็น 00) เชน่ [0000],[1212],[4836][0000],[1122],[4386] ลว้ นแต่ไมม่ ีเอกลกั ษณ์การคณู ทงั้ สนิ้ 2. การหาดเี ทอรม์ แิ นนทข์ นาด 2x2 7.7 อินเวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์ อินเวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์ คงจากนั ไดน้ ะ อนิ เวอรส์ การคณู ของจานวนจริง a คือ จานวนจรงิ ทนี่ ามาคณู กบั จานวนจรงิ a แลว้ ไดผ้ ลเท่ากบั เอกลกั ษณ์ 1 และเราใชส้ ญั ลกั ษณ์ แทนอนิ เวอร์ สการคณู ของจานวนจรงิ a น่นั คอื

ในทานองเดยี วกนั อนิ เวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ A กค็ อื เมทริกซ์ ซ่ึงเมื่อนามาคณู กบั เมทรกิ ซ์ A แลว้ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กบั เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ I และเราใช้ สญั ลกั ษณ์ แทน อินเวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ น่นั คือ แตง่ เน่ืองจาก กบั นนั้ ตอ้ งมสี มบตั กิ ารสลบั ที่สาหรบั การคณู ซง่ึ การทีจ่ ะเกดิ ลกั ษณะนไี้ ด้ และ ตอ้ งเป็นเมทริกซท์ ม่ี ีมติ เิ ทา่ กนั สรุป ถา้ นกั เรียนตอ้ งการแสดงวา่ เมทริกซ์ B เป็นอินเวอรส์ ของเมทริกซ์ A นกั เรียนตอ้ งแสดงใหไ้ ดว้ า่ AB = BA = I ตัวอย่าง จงแสดงว่า อนิ เวอรส์ การคณู ของเมทริกซ์ คือเมท ริกซ์ วิธที า หา AB = = = =I BA = = = = I แสดงว่า AB = BA = I ดงั นน้ั 7.8 การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยวิธีนจี้ ะใชไ้ ดส้ ะดวกทสี่ ดุ เมือ่ ระบบสมการเชิงเสน้ มี 22 ตวั แปรแต่เม่อื ระบบสมการเชิงเสน้ ของเรามตี วั แปรมากกว่า 33ตวั แปร ใน บางครง้ั การแกร้ ะบบสมการโดยวิธีนคี้ ่อนขา้ งจะย่งุ ยากจึงไมเ่ ป็นท่นี ยิ ม การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ 22 ตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 8 พืชคณิตเส้นตรง สมการ (Equation) เป็นประโยคท่ีแสดงการเท่ากนั ของจานวนโดยมีสญั ลกั ษณ์ = บอกการเท่ากนั (สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี,2553 : 83) สมการ (Equation) คือ การเท่ากนั ของนิพจน์ 2 นิพจน์ (ขอ้ ความ 2 ขอ้ ความ) โดยใช้ เครื่องหมาย = และใชต้ วั แปรแทนสญั ลกั ษณข์ องสมการ ดงั นน้ั สมการ (Equation) หมายถงึ จานวน 2 จานวนทแี่ สดงการเท่ากนั โดยใช้ เครื่องหมาย = แทนการเท่ากนั ตวั แปร (Variable) คอื จานวนท่ไี มท่ ราบค่า จะใชส้ ญั ลกั ษณแ์ ทน เชน่ x,y,z เป็น ตน้ การแกส้ มการ คอื การหาคาตอบของสมการหรือการหาคา่ ตวั แปร คาตอบของสมการ คือ จานวนที่แทนตวั แปรในสมการแลว้ ทาใหส้ มการเป็นจริง

การตรวจคาตอบของสมการ คอื การนาคาตอบของสมการไปแทนคา่ ตวั แปรแลว้ ทาใหค้ ่าของสมการทงั้ สองขา้ งเทา่ กนั 8.1 สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว นยิ าม สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว คือ สมการท่มี ตี วั แปรหรือตวั ไม่ทราบ ค่า (unknow)และเลขชีก้ าลงั ของตวั แปรเป็น 1 ตวั แปรอาจปรากฎเพยี งขา้ งใดขา้ งหนึง่ ของเครื่องหมาย “ = ” หรอื ปรากฏทงั้ สองขา้ งแต่เมื่อจดั รูปใหอ้ ยใู่ นรูปผลสาเร็จโดยมี x เป็นตวั แปร a , b เป็นคา่ คงตวั และ a ไมเ่ ทา่ กบั 0 จะอย่ใู นรูปแบบ สมการเป็น ax + b = 0 สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว จะมคี ่าคาตอบเพยี งค่าเดยี วเท่านนั้ คอื จานวนทเ่ี ม่ือ นาไปแทนคา่ ตวั แปรใน สมการแลว้ ทาใหส้ มการนนั้ เป็นจริง บางครงั้ จะเรยี กคาตอบของสมการว่า ราก ของสมการ คาส่งั ของโจทยป์ ระเภทนมี้ กั ใชค้ าวา่ จงแกส้ มการ จงหาคา่ x (ตวั แปรใน สมการ) จงหารากของสมการหรอื จงหารคาตอบของสมการ สมการ 2 สมการจะสมมลู กนั กต็ ่อเมือ่ คาตอบของสมการ ทงั้ สองตอ้ งเทา่ กนั 8.2 การแก้สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว สาหรบั การแกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว พดู งา่ ยๆก็คอื การหาคาตอบของสมการ ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคาตอบของ x+2=14x+2=14

เราตอ้ งการหาคา่ x วา่ x คือตวั อะไรท่ีมีบวกกบั เลข 2 แลว้ มีคา่ เทา่ กบั 14 โจทยข์ อ้ นเี้ ป็นโจทยง์ ่ายๆ ไม่ซบั ซอ้ น สามารถท่จี ะคิดในใจได้ เลยว่า x กค็ ือ 12 น่นั เอง (เพราะ 12+2 = 14 ดงั นนั้ x = 12) วธิ ที ่ี 1 จากโจทย์ x + 2 = 14 เราตอ้ งการหาคา่ x นะ่ ครบั ดงั นน้ั เราตอ้ ง กาจดั 2 ออกจาก x โดยการนา 2 ไปลบออกทงั้ สองขา้ งของสมการจะได้ x + 2 - 2 = 14 - 2 (นา 2 ลบออกทงั้ สองขา้ งของสมการ) x + 0 = 12 x = 12 ตอบ x = 12 วธิ ที ี่ 2 จริงๆแลว้ วธิ ีที่ 2 กเ็ ป็นวิธีเดียวกนั กบั วิธีที่ 1 ครบั แต่ใชว้ ิธีการอธิบายท่ี แตกต่างกนั แต่จริงๆแลว้ เป็นวิธีเดียวกนั น่นั แหล่ะครบั มาดกู นั วา่ วธิ ีที่ 2 ทากนั ยงั ไง จากโจทย์ x + 2 = 14 จะเห็นไดว้ า่ 2 บวกอยกู่ บั x เราจะยา้ ย 2 ออกจาก x ไป หา 14 ท่ีนีห้ ลักการย้ายขา้ งมีอยูว่ ่า 1. ถา้ จานวนนนั้ เป็นจานวนจริงบวก เวลายา้ ยขา้ งไปจะเป็นจานวนจรงิ ลบ (พดู งา่ ย ๆ จากบวกจะกลายเป็นลบ) 2. ถา้ จานวนนนั้ เป็นจานวนจริงลบ เวลายา้ ยขา้ งไปจะเป็นจานวนจริงบวก (พดู งา่ ยๆ จากลบจะกลายเป็นบวก) 3. ถา้ จานวนนน้ั คณู อยู่ เวลายา้ ยขา้ ง จะยา้ ยไปหาร

4. ถา้ จานวนนน้ั หารอยู่ เวลายา้ ยขา้ ง จะยา้ ยไปคณู 2. ถา้ จานวนนนั้ เป็นจานวนจรงิ ลบ เวลายา้ ยขา้ งไปจะเป็นจานวนจริงบวก (พดู ง่ายๆ จากลบจะกลายเป็นบวก) จากโจทย์ x - 5 = 20 x = 20 + 5 (5 ลบอย่ยู า้ ยไปฝ่ังขวาของสมการจะกลายเป็น -5 ) จะได้ x = 25 ตอบ x = 25 ตวั อย่างที่ 3 จงหาคาตอบของ 5x = 40 วิธีทา ใชห้ ลกั การยา้ ยขา้ งใชข้ อ้ ที่ 3 3. ถา้ จานวนนน้ั คณู อยู่ เวลายา้ ยขา้ ง จะยา้ ยไปหาร จาก 5x = 40 (5 คณู อย่กู บั x ยา้ ยไปขา้ งไปหาร) จะได้ x=405x=405 x= 8 ตอบ x = 8 ตัวอย่างที่ 4 จงหาคาตอบของ 12x-1 = 11 วธิ ีทา จาก 12x-1 = 11 (ยา้ ย 1 ไปอย่ฝู ่ังขวา จากลบจะกลายเป็นบวก) จะได้ 12x = 11 + 1 12x = 12 (ต่อไปยา้ ย 12 ไปหาร) จะได้

x=1212=1x=1212=1 ตอบ x = 1 ตัวอย่างที่ 5 จงหาคาตอบของ x2=12x2=12 วธิ ที า ใชห้ ลกั การยา้ ยขา้ งครบั ใชข้ อ้ 4 ขอ้ 4 ถา้ จานวนนน้ั หารอยู่ เวลายา้ ยขา้ ง จะยา้ ยไปคณู น่ะครบั (พดู งา่ ยๆก็คื่อ ถา้ หาร อย่ยู า้ ยไปคณู ) จากโจทย์ x2=12x2=12 จะได้ x = 12(2) (จาก 2 หารอยเู่ วลายา้ ยขา้ งจะยา้ ยไปคณู ครบั จะได้ 12 คณู กบั 2 ซ่งึ ได้ 24) x = 24 ตอบ x = 24 การแกส้ มการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว ตอ้ งอาศยั สมบตั กิ ารเทา่ กนั ของจานวน ท่ีว่า จานวน 2 จานวน ทีเ่ ทา่ กนั เม่อื เพม่ิ หรอื ตดั ออกเท่ากนั ยอ่ มเทา่ กนั ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ 2x – 5 = 8 วิธีทา จากสมการ 2x – 5 = 8 จะได้ 2x – 5 + 5 = 8 + 5 (นา 5 ไปบวกทงั้ สอง ขา้ ง) x+7 = 9

จะได้ x + 7 – 7 = 9 – 7 (นา -7 ไปบวกทงั้ สอง ขา้ ง) 3x = 15 1/3 . 3x = 15 . 1/3 (นา 1/3 ไปคณู ทงั้ สองขา้ ง) (1)x = 5 x=5 น่นั คอื x = 5 8.3 สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ระบบสมการเชงิ เสน้ คือ สมการเชงิ เสน้ มากกว่า 1 สมการขนึ้ ไป แต่ละสมการจะ มีตวั แปรมากกว่า 1 ตวั ถา้ ตวั แปร 2 ตวั จะเรยี กว่า สมการเชิงเส้นสองตัว แปร ซึ่งในระบบนจี้ ะมีสมการอย่างนอ้ ย 2 สมการ จงึ จะหาคา่ คาตอบของตวั แปร ทงั้ สองได้ เช่นเดียวกบั สมการเชงิ เสน้ 3 ตวั แปร ก็ตอ้ งมีสมการอย่าง นอ้ ย 3 สมการ จงึ จะหาคาตอบของตวั แปรได้ โดยตวั แปรทกุ ตวั ในสมการ จะตอ้ ง อย่ใู นรูปกาลงั หนง่ึ และอย่ใู นรูปผลบวก หรือผลต่างระหวา่ งตวั แปรเหล่านนั้ 1. สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร รูปแบบระบบสมการสองตวั แปร คือ a1x+b1y = c 1 เมอื่ a 1 และ b 1 ไมเ่ ป็น ศนู ยพ์ รอ้ มกนั a 2 x + b2 y = c 2 เม่อื a 2 และ b 2 ไม่เป็น ศนู ยพ์ รอ้ มกนั ส่วนระบบสมการเชิงเสน้ มากกว่าสองตวั แปร จะกลา่ วถงึ เล็กนอ้ ยเทา่ นน้ั

ในชนั้ นจี้ ะศึกษาเก่ยี วกับการหาค่าตวั แปร 2 ตวั แปรจาก ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ซึ่งถา้ นาสมการทงั้ สองมาเขยี นกราฟเสน้ ตรง และ จดุ ทีก่ ราฟทงั้ สองตดั กนั จะเป็นคาตอบของสมการนี้ 8.4 การแก้สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยใชว้ ธิ ีเขยี นกราฟจะไมส่ ะดวก เนอื่ งจาก เสยี เวลามาก บางครงั้ คาตอบทไ่ี ดจ้ ากกราฟอาจพจิ ารณาหาคาตอบไดย้ ากเพราะคาตอบอาจไมใ่ ช้ จานวนเตม็ บางครงั้ เป็นเศษส่วน (จานวนตรรกะ) จึงยากท่จี ะระบจุ านวนใดเป็นคาตอบของ ระบบสมการนี้ การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ยงั คงใชส้ มบตั กิ ารเท่าเทียมกนั กบั การบวก และการคณู เชน่ เดียวกบั การแกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว น่นั คอื สมบตั เิ ก่ยี วกบั การบวก และการคูณดว้ ยจานวนที่เทา่ กนั ย่อมเทา่ กนั หลกั การสาคญั ทีใ่ ชแ้ กร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 1. โดยวธิ ีแทนค่าตวั แปรตวั หน่งึ ในรูปตวั แปรอีกตวั หนง่ึ 2. โดยการเขียนตวั แปรตวั หนงึ่ ในรูปของตวั แปรอกี ตวั หนึ่งทงั้ สองสมการแลว้ นามา เทา่ กนั เขา้ สมการใหม่ 3. โดยการทาสมั ประสทิ ธิ์ตวั แปรตวั ใดตวั หนง่ึ ทงั้ สองสมการใหเ้ ท่ากนั เท่ากบั ค.ร.น. ของสมั ประสิทธิเ์ ดิม ของตวั แปรนีท้ งั้ สองสมการ แลว้ นามาบวกหรือลบกัน

ขอ้ สงั เกต ถงึ แมว้ ่าโจทยข์ อ้ นจี้ ะทาสมั ประสิทธิ์ของ x ใหเ้ ทา่ กนั แลว้ นามาลบกนั ก็ ไดแ้ ตไ่ ม่นิยมนาสมการมาลบกนั เนอื่ งจากอาจผดิ พลาดเรื่องเครื่องหมาย 35x + 42y = 497 35x – 25y = 95 67y = 402 ตอ้ งระวงั 42y – (-25y) บางครงั้ อาจผิดพลาดเรื่องเคร่ืองหมาย จึงนยิ มทา สมั ประสทิ ธิต์ วั แปรเดิมท่ีมเี คร่อื งหมายตรงกนั ขา้ มกนั แลว้ นามาบวกกนั จะไดไ้ ม่ ตอ้ งกงั วลเรื่องเครื่องหมาย