8. เมทริกซท์ แยงมมุ (diagonal matrix) หรอื เมทรกิ ซเ์ ฉียง Aจะเป็นเมทริกซท์ แยงมมุ กต็ อ่ เม่ือ Aเป็นเมทริกซจ์ ตรุ สั เช่น 9. เมทรกิ ซเ์ ชิงสเกลาร์ (scalar matrix) A จะเป็นเมทรกิ ซเ์ ชิงสเกลาร์ ก็ตอ่ เมอ่ื A เป็น เมทริกซจ์ ตรุ สั เช่น 10. เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ (identity matrix) A จะเป็นเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ กต็ ่อเมอื่ A เป็นเมทรกิ ซจ์ ตรุ สั เช่น
11. เมทริกซส์ ามเหลี่ยมดา้ นบน (upper triangular matrix) A จะเป็นเมทรกิ ซ์ สามเหลย่ี มดา้ นบน ก็ตอ่ เมอ่ื A เป็น เมทรกิ ซจ์ ตรุ สั เชน่ 12. เมทริกซส์ ามเหลีย่ มดา้ นล่าง (lower triangular matrix) A จะเป็นเมทริกซ์ สามเหล่ยี มดา้ นลา่ ง ก็ตอ่ เมื่อ A เป็น เมทรกิ ซจ์ ตรุ สั เชน่ 5.4 การเท่ากันของเมทริกซ์
บทนิยาม ให้ และ A= B กต็ อ่ เมือ่ ทกุ ๆ ค่าของ i และ j จากบทนยิ าม เป็นการกาหนดว่า เมทรกิ ซส์ องเมทริกซจ์ ะเทา่ กนั ไดต้ อ้ ง ประกอบดว้ ยเงอื่ ไข 2 ขอ้ ดงั นี้ (1) เมทริกซท์ งั้ สองตอ้ งมมี ติ ิเทา่ กนั (2) สมาชกิ ท่อี ยใู่ นตาแหน่งเดียวกนั ตอ้ งเทา่ กนั การบวกเมทรกิ ซ์ การบวกเมทริกซ์ ในทางคณิตศาสตร์ เป็นการดาเนนิ การการบวกบนสองเมทรกิ ซ์ โดย บวกสมาชิกทสี่ อดคลอ้ งกนั เขา้ ดว้ ยกนั เป็นเมทรกิ ซใ์ หม่ ผลบวกแยกสมาชิก การบวกเมทรกิ ซโ์ ดยท่วั ไปจะนิยามใหเ้ มทรกิ ซส์ องเมทริกซม์ ีมติ เิ ทา่ กัน ผลบวกของ เมทริกซ์ A และ B ทม่ี ีมติ ิ m×n เขียนแทนดว้ ย A + B และไดผ้ ลลพั ธอ์ อกมาเป็นเมท รกิ ซข์ นาด m×n ทม่ี สี มาชกิ เป็นผลบวกบนตาแหนง่ ทตี่ รงกนั ตวั อยา่ งเช่น ผลบวกโดยตรง การดาเนินการการบวกอกี อย่างหนง่ึ ซึ่งมีทใ่ี ชน้ อ้ ยกวา่ คอื การบวกโดยตรง เรา สามารถบวกเมทริกซ์ A มติ ิ m×n กบั เมทรกิ ซ์ B มิติ p×q ไดโ้ ดยไม่จาเป็นตอ้ งมีมิติ เทา่ กนั ผลลพั ธจ์ ะออกมาเป็นเมทริกซท์ ี่มีมติ ิ (m + p) × (n + q) ตามทนี่ ิยามไวด้ งั นี้
การลบเมทริกซ์ บทนิยาม จากบทนิยามขา้ งตน้ นกั เรยี นจะสงั เกตว่า การนาเมทริกซ์ 2 เมทริกซม์ าลบกนั จะมี เงื่อนไข 2 ประการ เช่นเดยี วกนั คือ 1. เมทริกซท์ จี่ ะนามาลบกนั ตอ้ งมีมติ ิเทา่ กนั 2. นาสมาชกิ ท่อี ยตู่ าแหน่งเดยี วกนั มาลบกนั การคูณเมตริกดว้ ยค่าคงท่ี สาหรบั เมตริกใดๆ เม่อื คณู กบั คา่ คงทจี่ ะไดผ้ ลคณู เป็นเมตริกท่มี จี านวนแถว และ จานวนสดมภเ์ ทา่ เดมิ แต่มีสมาชิกใหมซ่ งึ่ เป็นผลคณู ของสมาชิกเดิมกบั คา่ คงทน่ี น้ั น่นั คือ ถา้ A = (ai j)m x n และ c เป็นคา่ คงที่ จะได้ cA = (cai j)m x n น่นั คือ cA เป็นเมตริกท่มี ีคา่ ของแตล่ ะสมาชกิ เป็น c เทา่ ของสมาชกิ ของ A ดงั ตวั อย่าง
การคณู เมตริกกบั เมตริก จะเหน็ ว่า A เป็นเมตรกิ 1 x 3 B เป็นเมตริก 3 x 1 หาผลคณู ได้ และผลคณู AB เป็นเมตริก 1 x 1 A เป็นเมตริก 1 x 3 C เป็นเมตรกิ 3 x 2 หาผลคณู ได้ และผลคณู AC เป็นเมตรกิ 1 x 2 D เป็นเมตริก 2 x 2 E เป็นเมตรกิ 2 x 2 หาผลคณู ได้ และผลคณู DE เป็นเมตรกิ 2 x 2 โดยท่วั ไป เมอื่ c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + … + a1p bp1 สมาชกิ ของ ci j ใดๆ จะมาจากสมาชิกแถวท่ี i ของ A และสดมภท์ ี่ j ของ B ดงั ตอ่ ไปนี้ คอื เมื่อ ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + … + aip bpj แทนสมาชิกใดๆ ของ AB การหาเมตริกผลคณู AB จะหาไดก้ ็ตอ่ เม่ือจานวนสดมภข์ อง A (คือ p) เท่ากบั จานวน แถวของ B เช่น แตห่ าผลคณู BA ไมไ่ ด้ เน่ืองจากจานวนสดมภ์ ของ B (คอื 1) ไม่เทา่ กบั จานวนแถว ของ A (คอื 3) จงึ ทาใหห้ าสมาชิกในตาแหน่งตา่ งๆ ของ BA ไม่ได้ ดงั เชน่ แถวท่ี 1 ของ B มสี มาชกิ เพียงหนึง่ ตวั คอื 2 สดมภท์ ่ี 1 ของ A มีสมาชกิ 3 ตวั คอื 4 5 6 จงึ จบั ค่ตู วั ตงั้ กบั ตวั คณู ไมไ่ ดค้ รบทกุ ตาแหนง่ เมทริกซส์ ลับเปลีย่ น ในพชี คณิตเชงิ เสน้ เมทริกซส์ ลบั เปล่ียน (ทบั ศพั ทว์ ่า ทรานสโพส) คอื เมทริกซท์ ี่ไดจ้ าก
การสลบั สมาชิก จากแถวเป็นหลกั และจากหลกั เป็นแถว ของเมทริกซต์ น้ แบบ เมท รกิ ซส์ ลบั เปล่ยี นของ A ที่มีมติ ิ m×n จะเขยี นแทนดว้ ย AT (บางครง้ั อาจพบในรูปแบบ At, Atr, tA หรือ A′) ซ่ึงจะมมี ติ เิ ป็น n×m (สลบั กนั ) นิยามโดย ไมเนอรแ์ ละโคแฟกเตอร์
บทที่ 6 การดาเนินการเมทริกซ์ 6.1 การบวกเมทริกซ์ การบวกเมทริกซ์ บทนยิ าม ให้ และ โดยที่ จากความหมายของการนาเมทริกซ์ A มาบวกกบั เมทริกซ์ B ขา้ งจน้ จะ เกดิ ขนึ้ ไดต้ อ้ งมเี งอ่ื นไข 2 ประการ คอื 1. เมทริกซ์ A และ B ตอ้ งมมี ติ เิ ท่ากนั 2. สมาชกิ ของผลลพั ธน์ น้ั เกิดจากการนาสมาชกิ ในเมทริกซ์ A และสมาชกิ ในเมท รกิ ซ์ B มาบวกกนั แต่ตอ้ งเป็นสมาชกิ ทีอ่ ยใู่ นตาแหน่งเดียวกยั ทงั้ หมด ตวั อยา่ ง ให้
จากตวั อยา่ งนกั เรยี นจะพบวา่ ตัวอยา่ ง ให้ = = จากตวั อย่างนี้ สรุปไดว้ า่ การบวกเมทรกิ ซ์ เราสามารถใชส้ มบตั กิ าร เปล่ียนกล่มุ ได้ น่นั คอื ตวั อยา่ ง ให้ และ จงหา (1) (2) วิธีทา (1) + , (2) +
น่นั คอื = สมบัตขิ องเมทริกซเ์ กีย่ วกับการบวก ให้ S เป็นเซตของเมทรกิ ซม์ ิติ ถา้ การดาเนนิ การระหวา่ งสมาชิก คือ การ บวก แลว้ เซต S กบั การบวก จะมสี มบตั ิดงั ตอ่ ไปนี้ 1. สมบตั ิปิ ด กลา่ วคอื ถา้ นาสมาชกิ ในเซต S สองสมาชิกใดมาบวกกนั ผลที่ไดย้ งั คง เป็นสมาชิกของ S น่นั คือ ให้ A , B เป็นสมาชกิ ใน S แสดงวา่ A และ B มมี ติ ิ จะได้ A + B มี มติ ิ น่นั คือ A + B ตอ้ งเป็นสมาชกิ ใน S 2. สมบตั สิ ลับท่ี กล่าวคอื ถา้ A < B เป็นสมาชกิ ใน S แลว้ A + B = B + A 3. สมบตั กิ ารเปล่ียนกลุ่ม กล่าวคอื ถา้ A , B และ C เป็นสมาชิกใน S แลว้ (A + B) + C = A +( B + C) 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ กล่าวคอื ในเซต S จะมีเมทริกซพ์ ิเศษอยเู่ มทรกิ ซห์ น่งึ คอื เมทริกซศ์ นู ย์ โดยทเี่ มทรกิ ซศ์ นู ย์ เมือ่ นาไปบวกกบั เมทริกซใ์ ด ผลที่ไดเ้ ท่ากบั เมทรกิ ซ์ นนั้ เสมอ น่นั คอื เราเรียก วา่ เมทรกิ ซเ์ อลกั ษณส์ าหรบั การบวก 5. สมบตั ิการมีอินเวอรส์ กล่าวคอื ถา้ A เป็นสมาชิกใด ๆ ใน S เราสามารถหาเมท ริกซใ์ น S ไดอ้ ีกหน่ึงเมทรกิ ซ์ ซ่งึ เมื่อนาเมทรกิ ซท์ งั้ สองมาบวกกนั จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 6.2 การลบเมทริกซ์ บทนิยาม ให้ และ จะไดว้ ่า โดย ที่ จากบทนยิ ามขา้ งตน้ นกั เรยี นจะสงั เกตวา่ การนาเมทรกิ ซ์ 2 เมทริกซม์ าลบกนั จะมี เงือ่ นไข 2 ประการ เชน่ เดียวกนั คือ
1. เมทรกิ ซท์ ีจ่ ะนามาลบกนั ตอ้ งมีมติ ิเท่ากนั 2. นาสมาชกิ ท่ีอยตู่ าแหน่งเดียวกนั มาลบกนั ตวั อย่าง ให้ , -= 6.3 การคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยสเกลาร์ บทนยิ าม ให้ และ k เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ า่ ตัวอยา่ ง ให้ จงหา , และ วิธีทา สรุปลกั ษณะการคูณจานวนจรงิ กับเมทรกิ ซ์ ให้ a , b เป็นจานวนจรงิ และ A , B เป็นเมทริกซท์ ่มี ีมิติ 1. aA = Aa 2. (ab)A = a(bA) = b(aA)
3. a(A + B) = aA + aB 4. (a +b)A = aA + aB 6.4 การคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์ ถา้ A และ B เป็นเมทริกซ์ 2 เมทริกซใ์ ด ๆ การนาเมทรกิ ซ์ A มาคณู กบั เมทรกิ ซ์ B จะเกดิ ผลขนึ้ อยา่ งใดอย่างหนงึ่ ใน 2 อยา่ งต่อไปนี้ 1. ไม่สามารถหาผลคณู ได้ 2. สามารถหาผลคณู ได้ ปัญหาทเ่ี ราจะตอ้ งทราบกค็ ือ ถา้ หาผลคณู ไดต้ อ้ งมเี งือ่ นไขอยา่ งไร และสมาชิกของ เมทรกิ ซท์ ี่เป็นผลคณู จะหามาไดอ้ ย่างไร ใหน้ กั เรียนดหู ลกั การต่อไปนี้ 1. มติ ขิ องเมทริกซท์ ่ีนามาหาผลคูณ ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์ B เป็นเมทรกิ ซ์ ผลคณู AB จะเกดิ ขนึ้ ไดเ้ มอ่ื และ AB จะมีมิติ 2. ลกั ษณะสมาชกิ ของเมทริกซท์ ี่เป็ นผลคูณ (ถ้าหาผลคณู ได้) หลกั การหาสมาชิกโดยท่วั ๆ ไป สามารถหาไดด้ งั นี้ \"สมาชิกของผลคณู ของเมทริกซใ์ นแถวที่ i หลักท่ี j จะเกดิ สมาชิกในแถวท่ี i ของเมทริกซท์ อ่ี ยู่หน้า คณู กับ สมาชิกในหลกั ที่ j ของเมทริกซห์ ลักเป็ นคู่ ๆ แล้วนามาบวกกัน\" ลองมาดตู ัวอยา่ งกัน ตวั อยา่ ง ให้ จงหา AB และ BA วธิ ีทา (1)
ใชห้ ลกั การแถว คณู หลกั ข้อสังสงั เกตในการคณู ถา้ ใชแ้ ถวใด คณู ผลลพั ธท์ ีไ่ ดก้ ็จะเป็นแถวนนั้ ถา้ คณู หลกั ใด กไ็ ดห้ ลกั นน้ั ของเมทริกซผ์ ลลพั ธ์ เชน่ - แถวที่ 1 คณู หลกั ท่ี 1 ผลลพั ธก์ จ็ ะอยตู่ าแหน่ง แถวท่ี 1 หลกั ท่ี 1 ของเมทรกิ ซ์ ผลลพั ธ์ - แถวท่ี 1 คณู หลกั ท่ี 2 ผลลพั ธก์ ็จะอย่ตู าแหน่ง แถวท่ี 1 หลกั ท่ี 2 ของเมทริกซ์ ผลลพั ธ์ - แถวที่ 1 คณู หลกั ที่ 3 ผลลพั ธก์ ็จะอย่ตู าแหน่ง แถวท่ี 1 หลกั ที่ 3 ของเมทริกซ์ ผลลพั ธ์ - แถวท่ี 2 คณู หลกั ท่ี 1 ผลลพั ธก์ ็จะอยตู่ าแหน่ง แถวที่ 2 หลกั ท่ี 1 ของเมทริกซ์ ผลลพั ธ์ - แถวที่ 2 คณู หลกั ท่ี 2 ผลลพั ธก์ จ็ ะอยตู่ าแหน่ง แถวท่ี 2 หลกั ท่ี 2 ของเมทรกิ ซ์ ผลลพั ธ์ - แถวท่ี 2 คณู หลกั ที่ 3 ผลลพั ธก์ จ็ ะอย่ตู าแหน่ง แถวท่ี 2หลกั ที่ 3 ของเมทริกซ์ ผลลพั ธ์ 6.5 เมทริกซส์ ลบั สบั เปลี่ยน
เมทรกิ ซส์ ลบั เปลี่ยน คือเมทรกิ ซท์ ไ่ี ดจ้ ากการสลบั สมาชิก จากแถวเป็นหลกั และ จากหลกั เป็นแถว ของเมทรกิ ซต์ น้ แบบ เมทริกซส์ ลบั เปลี่ยนของ A ท่มี มี ิติ m×n จะ เขยี นแทนดว้ ย AT (บางครงั้ อาจพบในรูปแบบ At, Atr, tA หรือ A′) ซึ่งจะมีมติ ิเป็น n×m (สลบั กนั ) นยิ ามโดย สาหรบั ทกุ ค่าของ i และ j ที่ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m ตวั อยา่ งเช่น คณุ สมบตั ิ กาหนดใหเ้ มทริกซ์ A, B และสเกลาร์ c คุณสมบตั ิของเมทรกิ ซส์ ลบั เปลี่ยนมีดงั นี้ 1.เมทรกิ ซท์ สี่ ลบั เปลย่ี นสองครง้ั จะไดเ้ มทริกซต์ น้ แบบ 2.การสลบั เปลีย่ นของเมทริกซม์ ีคณุ สมบตั กิ ารกระจายในการบวก เมอื่ เมทริกซท์ งั้ สอง สามารถบวกกนั ได้ 3.การสลบั เปลี่ยนของเมทรกิ ซม์ คี ณุ สมบตั กิ ารกระจายในการคณู เม่อื เมทริกซท์ งั้ สอง สามารถคณู กนั ได้ โปรดสงั เกตว่าลาดบั ของการคณู จะเรียงยอ้ นกลบั ไมว่ า่ จะมีก่เี มท รกิ ซก์ ็ตาม
4.การสลบั เปลีย่ นของสเกลาร์ กจ็ ะไดส้ เกลารต์ วั เดิม จงึ สามารถดงึ ตวั รว่ มออกมาได้ 5.ดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซจ์ ะมคี า่ เท่ากบั ดเี ทอรม์ แิ นนตข์ องเมทรกิ ซส์ ลบั เปล่ียน 6.ผลคณู จดุ (dot product) ของเวกเตอรส์ องคอลมั น์ a กบั b สามารถคานวณไดจ้ าก 7.เมทริกซผ์ กผนั ของการสลบั เปลี่ยน เท่ากบั เมทรกิ ซส์ ลบั เปลี่ยนของการผกผนั 6.6 เมทริกซผ์ กผันสาหรบั การคูณที่มีมติ ิ 2 x 2 เมทรกิ ซผ์ กผัน เมทรกิ ซท์ จ่ี ะหาค่าเมทรกิ ซผ์ กผนั จะตอ้ งเป็นเมทรกิ ซม์ ใิ ชเ่ อกฐานซง่ึ สามารถหาไดด้ งั นี้ เมทริกซท์ ี่มมี ิติ 2x2 การหาเมทริกซผ์ กผนั ใหใ้ ชส้ ตู รดงั นี้ ให้ A = ดงั นนั้ เมทรกิ ซผ์ กผนั คอื A-1 =
ตวั อยา่ ง 1 ให้ A เป็นเมทรกิ ซท์ ่ีมีมติ ิ 2x2 A= จงหาค่าของเมทรกิ ซผ์ กผนั A วธิ ีทา เมทริกซผ์ กผนั A-1 = = เมทริกซม์ ิติ มากกว่า 2x2 การหาคา่ เมทริกซผ์ กผนั อาจใช้ ก. สตู ร ข.ใชว้ ิธีดาเนนิ การตามแถว ก. สูตร สาหรบั เมทริกซม์ ิติ มากกว่า 2x2 ใชส้ ตู รดงั นี้ A-1 = เมอื่ adj A เป็นเมทริกซผ์ กู พนั (adjoint A) ซง่ึ เป็น สลบั เปลย่ี นของเมท ริกซต์ วั ประกอบรว่ มเก่ยี ว Cij ตัวอยา่ ง 2 ให้ A เป็นเมทรกิ ซม์ ติ ิ 3x3 A= จงหา A-1
วิธีทา การหาคา่ ของ det A = 23 ดงั นน้ั A เป็นเมทริกซ์ มใิ ชเ่ อกฐาน จงึ หาคา่ ของ A-1 ได้ ก่อนอน่ื คานวณหาคา่ ของเมทริกซผ์ กู พนั adj A = = = = = A-1 = ดงั นน้ั คานวณหาคา่ ของเมทรกิ ซผ์ กผนั A-1 เป็น = บทที่ 7 ดเี ทอรม์ ิแนนต์
7.1 การหาค่าดีเทอรม์ ิแนนตไ์ มเ่ กนิ อนั ดับสอง 7.1.1 ดเี ทอรม์ ิแนนตอ์ ันดับที่ 1 ให้ ซงึ่ เราจะหา ดงั นน้ั เราจงึ สรุปไดว้ า่ ถา้ ดีเทอรม์ แิ นนตข์ องเมทรกิ ซจ์ ตรุ สั ใดๆ คอื ตวั ทต่ี ดั สินว่าเมทรกิ ซน์ น้ั ๆ จะมอี ินเวอร์ สการคณู หรอื ไม่ ในจานวนจริงนนั้ 0 เป็นเพียงค่าเดียวทีไ่ มม่ ี เอกลกั ษณก์ ารคณู ( ไมม่ ี ) ส่วนในเมทริกซน์ น้ั สมาชกิ ท่ไี ม่มีเอกลกั ษณก์ ารคณู อาจมไี ดห้ ลายตวั (ทกุ ๆ ตวั ท่มี คี ่า ดีเทอรม์ นี ลั ตเ์ ป็น 0) เชน่ ลว้ นแต่ไมม่ เี อกลกั ษณก์ ารคณู ทงั้ สนิ้ 7.1.2 ดเี ทอรม์ ิแนนตอ์ นั ดับที่ 2 ให้ ดีเทอรม์ ิแนนตข์ อง A ซงึ่ เขียนแทนดว้ ย det A และ |A| สามารถ หาไดด้ งั นี้ detA=|A|=ad−cb ดงั รูป
ตวั อย่างของดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซข์ นาด 2×2 ให้ ดงั นน้ั 7.2 การหาค่าเทอรม์ ิแนนตอ์ นั ดบั สาม 7.2.1 โดยการเพ่มิ หลักที่ 1 และหลักที่ 2 ให้ ดงั นน้ั
7.2.2 โดยการกระจายโคเฟกเตอร์ ให้ ไมเนอรข์ อง aij คือ ดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซท์ ไ่ี ดจ้ ากการตดั แถวท่ี i และหลกั ที่ j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนดว้ ย Mij(A) โคแฟกเตอรข์ อง aij คอื (−1) i+j Mij(A) เขยี นแทนดว้ ย Cij (A)=(−1)i+j Mij(A) ให้ จากรูป
ดงั นนั้ ตวั อยา่ งของโคแฟกเตอร์
7.3 การประยกุ ตใ์ ช้ดเี ทอรม์ ิแนนตห์ าผลเฉลยของระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 1. เลอื กแถวหรอื หลกั ของเมทรกิ ซ์
การเลือกแถวหรอื หลกั แนะนาให้เลือก แถวหรอื หลกั ท่ีมี 00 ปรากฏอยูเ่ ยอะ ๆ เพือ่ งา่ ยต่อการคานวณ 2. ถา้ เราเลือกแถวที่ i จะไดว้ ่า det(A)=ai1Ci1(A)+ai2Ci2(A)+…+ainCin(A) 3. ถา้ เราเลอื กหลกั ท่ี j จะไดว้ ่า det(A)=a1jC1j(A)+a2jC2j(A)+…+anjCnj(A) ตัวอยา่ งการหาดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซโ์ ดยกระจายโคแฟกเตอร์ ถา้ เลอื กหลกั ที่ 1 (เพราะ 0 เยอะ) จะไดว้ ่า ถา้ เลือกแถวที่ 33 (เพราะ 00 เยอะ) จะไดว้ ่า
Search
