คณิตศาสตร์พื้นฐาน

1) การนาเสนอข้อมลู สถิตโิ ดยปราศจากแบบแผน (Informal Presentation) 1.1 การนาเสนอขอ้ มูลสถติ ิเป็ นบทความ เชน่ \" ในระยะเวลา 1 ปีทผ่ี า่ นมาการเมืองของไทยอยใู่ นสภาพที่ขาดเสถยี รภาพ มี การเดินขบวนเรียกรอ้ งในดา้ นต่างๆมากมาย เนือ่ งจากความเป็นอยทู่ แี่ ตกตา่ งกนั พระบาทสมเดจ็ พระเจา้ อย่หู วั ท่านไดใ้ หแ้ นวทางในการดาเนินชวี ติ แบบเศรษฐกจิ พอเพยี งและแนวทางสมานฉนั ทเ์ พ่ือใหค้ วามเป็นอยทู่ ่ีดีและเกดิ ความปองดองในชาติ\" 1.2 การนาเสนอข้อมลู สถิติเป็ นบทความกึ่งตาราง เป็นการนาเสนอขอ้ มลู ที่มี ขอ้ ความและมสี ่วนหนึ่งนาเสนอขอ้ มลู ดว้ ยตาราง เช่น \"การท่องเท่ยี วจงั หวดั เชียงใหม่ไดม้ ีแผนกลยทุ ธในการจดั การดา้ นการท่องเที่ยว ทาใหม้ ีนกั ท่องเทย่ี วทงั้ นอกประเทศและในประเทศสนใจมาทอ่ งเทย่ี วในจงั หวดั เชยี งใหม่ ไดด้ งั ตาราง พ.ศ ชาวตา่ งชาติ ชาวไทย 2545 1,558,317 1,639,473 2546 1,431,351 1,714,843 2547 1,746,201 1,877,197 2) การนาเสนอข้อมูลสถติ โิ ดยมีแบบแผน (Formal Presentation) 2.1 การเสนอขอ้ มลู สถิตดิ ว้ ยตาราง (Tabular Presentation) การนาเสนอขอ้ มลู ในรูปตาราง เป็นการจดั ขอ้ มลู ท่ไี ดม้ าใหเ้ ป็นแถว (เรียงในแนวนอน) และสดมภ์ (หลกั ,เรยี งในแนวตงั้ ) เป็นการนาเสนอขอ้ มลู ที่สะดวกตอ่ การศกึ ษา และ

การเปรียบเทยี บขอ้ มลู ไดง้ าย เราเรยี กตารางดงั กล่าวว่า “ตารางสถิต”ิ รายละเอยี ด ขององคป์ ระกอบของตารางสถิติ มีดงั นี้ 1. หมายเลขตาราง คอื ตวั เลขท่แี สดงลาดบั ทข่ี องตารางในกรณีทีม่ ีตารางสถิติหลาย ตารางทตี่ อ้ งนาเสนอ โดยท่วั ไปมกั เขียนไวท้ ่ีดา้ นบนซา้ ยของตาราง 2. ชอื่ เรื่อง คอื ชือ่ ของตารางมกั เป็นขอ้ ความท่สี นั้ กะทดั รดั และสอื่ ความหมายของ ตารางได้ ทาใหผ้ อู้ ่านทราบทนั ทีเมอ่ื อา่ นช่ือของตารางแลว้ ตอ้ งรูว้ ่าเป็นตารางเก่ยี วกบั เรือ่ งอะไร ทไ่ี หน และเมอื่ ไร โดยท่วั ไปจะเขียนชือ่ ต่อจากหมายเลขตารางและอยู่ บรรทดั เดียวกนั 3. หมายเหตคุ านา คอื หมายเหตเุ พ่อื เขา้ ใจเนอื้ หาของตาราง หรือส่วนสาคญั บางสว่ น เช่น หน่วยนา้ หนกั , หน่วยความยาว , หน่วยของเงนิ ตราท่ีใชใ้ นตาราง ซ่งึ เป็นขอ้ ความทอี่ ย่ใู ตช้ ่อื เรอื่ ง แต่อยเู่ หนอื ตาราง ตารางสถิติบางตารางอาจจะไมม่ กี ไ็ ด้ 4. ตน้ ขวั้ ประกอบดว้ ย หวั ขวั้ กบั ตวั ขวั้ 5. หวั ขวั้ คือ สว่ นทใ่ี ชอ้ ธิบายเก่ยี วกบั ตน้ ขวั้ ต่างๆ เช่น หวั ขวั้ เป็นประเทศ 6. ตวั ขวั้ คือ รายละเอียดท่รี ะบไุ วต้ ามหวั ขวั้ และตวั ขวั้ แตล่ ะอนั จะบง่ บอกขอ้ มลู ท่ี ปรากฏอยใู่ นแนวนอนของตาราง 7. หวั เรอื่ ง คือ คาอธิบายเก่ียวกบั ขอ้ มลู ที่ปรากฏอย่ใู นแต่ละสดมภต์ ามแนวด่ิง ประกอบดว้ ย หวั สดมภ์ ซง่ึ จะมีเพยี งหวั สดมภอ์ นั เดยี วหรือหลายๆอนั กไ็ ด้ และภายใน หวั สดมภแ์ ตล่ ะอนั อาจแบ่งยอ่ ยไปอกี ก็ได้ 8. ตวั เรื่อง ประกอบดว้ ยขอ้ มลู ท่ีเป็นตวั เลขในแต่ละสดมภ์ 9. หมายเหตลุ า่ ง คอื คาอธิบายขอ้ ความบางตอนในตารางใหช้ ดั เจน

10. หมายเหตแุ หล่งที่มา คือ หมายเหตทุ ี่บอกใหท้ ราบว่าขอ้ มูลทไี่ ดม้ านน้ั มาจากไหน ซึง่ จะชว่ ยใหข้ อ้ มลู นน้ั มคี วามนา่ เชือ่ ถือมากขนึ้ และสามารถตรวจสอบหรือคน้ ควา้ ขอ้ มลู เพิม่ เตมิ เก่ยี วกบั เร่ืองนนั้ ๆไดอ้ กี ดว้ ย ชนิดของตารางสถติ ิ 1) ตารางแสดงความถ่ีหรอื ตารางแจกแจงความถ่ี คือ ตารางท่มี ีตวั เรือ่ งเป็นตวั เลขที่ แสดงจานวนครง้ั (ความถ่)ี ของขอ้ มลู ท่ีปรากฏในตวั ขวั้ เชน่ ตวั อยา่ งที่ 1 ตารางจานวนผถู้ อื ครองทาการเกษตร จาแนกแต่ละภาค ท่วั ราชอาณาจกั รปี สามะโน 2546 ภาค จานวนผู้ถือครอง ภาคกลาง 890,668 ภาคเหนอื 1,379,669 ภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ 2,460,992 ภาคใต้ 787,776 รวม 5,519,135 2). ตารางทางเดยี ว คือตารางที่มรการจาแนกรายการบนหวั เรื่องหรอื ตน้ ขวั้ เพียง ดา้ นเดียวหรอื จาแนกเพยี งลกั ษณะเดยี วเท่านนั้ ตวั อยา่ งท่ี 2 ตารางมลู ค่าการส่งออกทเุ รียนสด , แช่แข็ง , ในเดือนมกราคม – มิถนุ ายน ปี 2554

เดือน จานวนเงิน (ลา้ นบาท ) มกราคม 118.90 กมุ ภาพนั ธ์ 105.00 มีนาคม 147.97 เมษายน 489.57 พฤษภาคม 730.64 มถิ นุ ายน 242.33 รวม 1,834.41 3). ตารางสองทาง คอื ตารางทม่ี ีการจาแนกรายการบนหวั เรอ่ื งและตวั ขวั้ ทงั้ สองดา้ น น่นั คอื มีการแจกแจงทงั้ แนวนอนและแนวตงั้ ตวั อย่างท่ี 3 ตารางมลู ค่าการส่งออกขา้ วรายเดอื นในชว่ งปี 2551 – 2553 เดอื น จานวนเงิน 2551 2552 2553 มกราคม 9,485.84 5,597.65 8,989.09 กมุ ภาพนั ธ์ 8,989.09 7,790.56 8,318.40 มนี าคม 8,318.40 6,342.09 6,715.16 เมษายน 6,715.16 3,875.98 5,306.94 พฤษภาคม 5,306.94 5,142.76 6,825.88

มถิ นุ ายน 6,825.88 9,485.84 6,825.88 กรกฎาคม 7,980.43 8,989.09 7,980.43 สงิ หาคม 5,45.67 8,318.40 5,45.67 กนั ยายน 3,986.77 6,715.16 3,986.77 ตลุ าคม 9,789.08 5,306.94 9,789.08 พฤศจิกายน 3,569.77 6,825.88 9,485.84 ธันวาคม 3,623.79 6,825.88 8,989.09 รวม 4). ตารางหลายทาง คอื ตารางทจี่ าแนกรายการบนั ทึกบนหวั เร่ืองหรอื รายการบนตน้ ขวั้ ใหย้ ่อยออกไปอีกจากตารางสองทาง 2.2 การเสนอขอ้ มลู สถิตดิ ว้ ยกราฟและรูป (Graphic Presentation) เทคนิคการนาเสนอข้อมูลสถติ ดิ ว้ ยกราฟและรูป 1. เม่ือตอ้ งการเสนอขอ้ มลู สถิตโิ ดยขอ้ มลู ทจี่ ะนาเสนอนน้ั มเี พยี งชดุ เดยี ว เชน่

การเสนอข้อมูลสถิติด้วยกราฟ 1.1 แผนภูมิแท่งเชิงเดยี ว (Simple Bar Chart) ตวั อยา่ งรูปที่ 1.3 เป็นการเสนอขอ้ มลู ใชแ้ ผนภมู ิแทง่ เชงิ เดียวแบบแนวตงั้ และรูปท่ี 1.4 เป็นการนาเสนอขอ้ มลู ดว้ ยแผนภมู แิ ท่งเชงิ เดียวแบบแกนนอน

1.2 ฮสิ โตแกรม (Histogram) ฮสิ โตแกรมจะมีลกั ษณะเหมือนแผนภมู ิแท่งทกุ ประการ ตา่ งกนั เฉพาะตรงทีฮ่ สิ โตแก รมนน้ั แตล่ ะแท่งจะตดิ กนั ดรู ูปท่ี 1.5

2. เมอื่ ตอ้ งการนาเสนอขอ้ มลู สถิติในเชิงเปรียบเทียบ เมอ่ื ตอ้ งการนาเสนอในเชิง เปรียบเทียบขอ้ มลู ตงั้ แต่ 2 ชดุ ขนึ้ ไป ควรนาเสนอขอ้ มลู ดว้ ยกราฟดงั นี้ 2.1แผนภูมิแท่งเชิงซ้อน (Multiple Bar Chart) ขอ้ มลู สถติ ิท่ีจะนาเสนอดว้ ยแผนภมู ิ แทง่ ตอ้ งเป็นขอ้ มลู ประเภทเดยี วกนั หนว่ ยของตวั เลขเป็นหนว่ ยเดียวกนั และควรใช้ เปรยี บเทียบขอ้ มลู เพียง 2 ชดุ เท่านนั้ ซ่ึงอาจเป็นแผนภมู ิในแนวตงั้ หรอื แนวนอน กไ็ ด้ สิ่งทสี่ าคญั ตอ้ งมกี ญุ แจ (Key) อธิบายว่าแท่งใดหมายถงึ ขอ้ มลู ชดุ ใดไวท้ กี่ รอบล่าง ของกราฟ ดตู วั อย่างจากรูปท่ี 1.6 2.2 แผนภมู เิ สน้ หลายเสน้ (Multiple Line Chart) ถา้ ตอ้ งการเปรียบเทยี บขอ้ มลู สถติ ิหลายประเภทพรอ้ มๆกนั ควรจะนาเสนอดว้ ยแผนภมู เิ สน้ ซ่ึงสามารถนาเสนอ ขอ้ มลู ที่มีหนว่ ยเหมือนกนั หรอื มหี น่วยตา่ งกันไดด้ รู ูปที1่ .7

3. เม่ือตอ้ งการนาเสนอข้อมูลสถติ ิในเชิงสว่ นประกอบ การนาเสนอขอ้ มลู ในเชงิ ส่วนประกอบมีวธิ ีเสนอได้ 2 แบบ คือ 3.1 แผนภมู วิ งกลม (Pie Chart) สูตรหาเปลยี่ นข้อมูลเป็ นร้อยละ และหาองศาของมมุ ตวั อยา่ งของตาราง หัวขอ้ จากตารางขอ้ มูล ปรมิ าณร้อยละ ขนาดของมุม ท่จี ุด ศูนยก์ ลาง (องศา)

หวั ขอ้ ยอ่ ยจาก ข้อมลู ยอ่ ย x 100 ข้อมลู ย่อย x 360 ตารางขอ้ มลู ข้อมูลรวม ข้อมูลรวม 3.2 แผนภมู ิแทง่ เชงิ ประกอบ(Component Bar Chart) แผนภมู แิ ทง่ เชงิ ประกอบเหมาะจะนาไปใชเ้ สนอขอ้ มลู เชิงเปรียบเทยี บ วิธีทาคือเมื่อ คดิ องคป์ ระกอบตา่ งๆเป็นรอ้ ยละของทงั้ หมดแลว้ จะใหค้ วามสงู ของแผนภมู แิ ท่ง แทน องคป์ ระกอบทงั้ หมดความสงู ขององคป์ ระกอบแตล่ ะสว่ นเป็นไปตามสดั ส่วนของ องคป์ ระกอบนนั้ ๆจะเรยี งลาดบั องคป์ ระกอบทม่ี ีความสาคญั มากใหอ้ ยขู่ า้ งล่าง 4.การนาเสนอขอ้ มลู สถิตดิ ว้ ยแผนภมู ิภาพ (Pictograph) การนาเสนอขอ้ มลู สถิติดว้ ย วธิ ีนจี้ ึงเป็นการเสนอสถิติทเ่ี ขา้ ใจง่ายที่สดุ เชน่

5.การเสนอขอ้ มลู สถติ ิดว้ ยแผนทส่ี ถิติ เป็นการนาเสนอขอ้ มลู ทเ่ี ก่ยี วขอ้ งกบั สภาพ ภมู ศิ าสตรห์ รือสถานที่ เชน่ สถิติเก่ยี วกบั ความยากจนของประชากรตามภมู ภิ าคของ ประเทศไทยเป็นตน้ การแจกแจงความถ่ี 1) การแจกแจงความถ่ที ่ีไม่จดั ขอ้ มลู เป็นกลมุ่ (Ungrouped data) ***สามารถใชก้ บั ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพและเชงิ ปริมาณ*** 1.1) การแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ

Ex. นกั ศกึ ษาระดบั ปรญิ ญาตรี ชน้ั ปี ที่ 1 ประจาปี การศึกษา 2547 ของคณะ วิทยาศาสตร์ สถาบนั เทคโนโลยีราชมงคล ทงั้ หมด 367 คน แยกเป็นภาควชิ า คณิตศาสตร์ 25 คน ภาควิชาเคมี 35 คน ภาควชิ าชีววิทยา 31 คน ภาควิชาวทิ ยาการ คอมพิวเตอร์ 250 คน และภาควิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ 26 คน จงสรา้ งตารางแจก แจงความถ่ี 1.2) การแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มลู เชิงปริมาณ Ex. ในการสารวจความสงู ของนกั ศึกษา 25 คน ซึง่ วดั เป็นเซนตเิ มตร ดงั นี้ 165 172 167 170 164 163 171 171 166 168 167 167 165 167 165 170 166 170 163 167 167 163 166 168 163 จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี

2) การแจกแจงความถ่ที ่ีจดั ขอ้ มลู เป็นหมวดหมู่ (grouped frequency table) *** สามารถใชก้ บั ขอ้ มลู เชิงปริมาณเทา่ นนั้ *** ขนั้ ตอน 1) หาคา่ ต่าสดุ และสงู สดุ ของขอ้ มลู 2) หาคา่ พสิ ยั ของขอ้ มลู โดยการนาค่าสงู สดุ ของขอ้ มลู ลบดว้ ยคา่ ตา่ สดุ ของขอ้ มลู พิสยั = R = XMax – XMin 3) คานวณหาจานวนชน้ั ขอ้ มลู ในตาราง จานวนชนั้ = k = 1 + 3.322 log N (ถา้ มีทศนยิ มใหป้ ัดขนึ้ เป็นจานวนเตม็ เสมอ) 4) คานวณหาคา่ อนั ตรภาคชนั้ อนั ตรภาคชน้ั (I) I=R/k (ถา้ มีทศนยิ มใหป้ ัดขนึ้ ตามขอ้ มลู ทน่ี ามาแจกแจง ความถ่)ี

5) สรา้ งชนั้ ขอ้ มลู โดยใหช้ น้ั ขอ้ มลู ครอบคลมุ ขอ้ มลู ทกุ คา่ ที่มอี ยู่การสรา้ งชน้ั ขอ้ มลู อาจจะสรา้ งโดยเรมิ่ จาก ค่าตา่ สดุ หรือคา่ สงู สดุ กไ็ ด้ 6. อ่านขอ้ มลู ทรี่ วบรวมมาทีละคา่ แลว้ ขดี รอยขดี (Tally) ใหต้ รงกบั ชน้ั ขอ้ มลู ทีส่ รา้ ง ไวใ้ นขอ้ 5 จนหมดขอ้ มลู Ex. ส่วนสงู ของนกั เรียน 60 คนดงั นี้ (หนว่ ย : เซนติเมตร) จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีแบบแบง่ ชว่ งชนั้ วธิ ีทา 1) คา่ ตา่ สดุ คือ 145 และคา่ สงู สดุ คือ 165 2) หาค่าพสิ ยั R = 165 –145 = 20 3) คานวณจานวนชนั้ ขอ้ มลู k = 1 + 3.322 log N = 1 + 3.322 log 60 = 6.91 =7

4) คานวณอนั ตรภาคชนั้ I = R/k = 20/7 = 2.86 =3 5)สรา้ งชนั้ ขอ้ มลู โดยเร่มิ จากค่าตา่ สดุ ไดต้ ารางแจกแจงความถ่ี ดงั นี้

คาศพั ทท์ ีค่ วรทราบเก่ยี วกบั การสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี 1) ขดี จากดั ชนั้ (Class Limit) คือ คา่ ทีบ่ อกช่วงของขอ้ มลู ทอ่ี ยใู นชน้ั ขอ้ มลู มี 2 ประเภท คือ ขีดจากดั ชน้ั ล่าง และขีดจากดชนั้ บน 2) ขอบเขตชนั้ (Class Interval: I) คอื มี 2 คา่ เชน่ เดยี วกบั ขีดจากดั ชนั้ คือ ขอบเขต ลา่ งหรอื ขดี จากดั ลา่ งจรงิ (Lower Class Boundary) และขอบเขตบนหรอื ขดี จากดั บนจรงิ (Upper Class Boundary) ขอบเขตชนั้ สามารถหาไดด้ งั นี้ 3) อนั ตรภาคชน้ั (Class Interval : I) การคานวณอนั ตรภาคชน้ั ทาไดโ้ ดย

4)จดุ ก่ึงกลางชนั้ (Midpoint) Ex. จงหาคา่ ขอบเขตชนั้ จดุ กง่ึ กลางชนั้ และความกวา้ งของชน้ั 5) การแจกแจงความถ่สี มั พทั ธ์ (Relative Frequency Distribution) ความถ่สี มั พทั ธข์ องขอ้ มลู คือ อตั ราสว่ นระหว่างความถ่ขี องขอ้ มลู ในแตล่ ะชน้ั กบั จานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด โดยการแสดงความถ่สี มั พทั ธอ์ าจจะแสดงในรูปของสดั สว่ น หรอื แสดงในรูปรอ้ ยละก็ได้ 6) การแจกแจงความถ่สี ะสม (Cumulative frequency distribution) ความถ่สี ะสม หมายถงึ ผลรวมของความถ่ตี งั้ แต่ชน้ั ตา่ สดุ หรอื ชน้ั สงู สดุ จนถงึ ชน้ั ที่ตอ้ งการ การแจกแจงความถ่ีสะสมสามารถแบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ 6.1) ความถ่สี ะสมแบบนอ้ ย 6.2) ความถ่สี ะสมแบบมาก

Ex. จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่สี มั พทั ธ์ EX. จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่สี ะสม และรอ้ ยละความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์ การแจกแจงความถีโ่ ดยใช้กราฟ การแจกแจงความถ่โี ดยใชก้ ราฟ กราฟท่ใี ชแ้ สดงการแจกแจงความถ่ี มีดงั นี้ ฮสิ โทแกรม (Histogram) ฮิสโทแกรม มวี ิธีการสรา้ งตามลาดบั ขนั้ ดงั นี้ ขนั้ ท่ี 1 หาขอบล่างของทกุ ๆอนั ตรภาคชน้ั และขอบบนของอนั ตรภาคชนั้ ที่มคี า่ สงู สดุ ขนั้ ท่ี 2 กาหนดแกนพกิ ดั ฉาก แนวนอนเป็นแกนของขอ้ มลู ซ่ึงอาจแทนดว้ ยขอบเขต ชน้ั หรอื จดุ กึ่งกลางชนั้ แนวตงั้ เป็นแกนของความถ่ี

ขนั้ ที่ 3 เขยี นแท่งส่เี หลยี่ มผืนผา้ โดยใหค้ วามกวา้ งเท่ากบั ความกวา้ งของอนั ตรภาค ชนั้ ขนั้ ที่ 4 หาความสงู ของแทง่ สเี่ หล่ียม แบง่ เป็น 2 กรณี กรณีที่ 1 ในกรณีที่ความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั เท่ากนั หมด ความสงู ของแตล่ ะแทง่ จะเทา่ กบั ความถ่ขี องอนั ตรภาคชนั้ นนั้ กรณีที่ 2 ถา้ ความกวา้ งของละอนั ตรภาคชนั้ ไม่เท่ากนั ความสงู ของแท่ง สีเ่ หล่ยี มมมุ ฉาก หาไดจ้ าก ความถ่ขี องชน้ั นน้ั หารดว้ ย ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั นน้ั ๆ ตวั อย่าง จากตารางแจกแจงความถ่ขี องนา้ หนกั ของนกั เรยี นกล่มุ หนง่ึ เป็นดงั นี้ จงเขียนฮิสโทแกรมของขอ้ มลู ชดุ นี้ วิธที า ตารางแจกแจงความถ่ที ่ีโจทยก์ าหนดใหม้ คี วามกวา้ งของแตล่ ะอนั ตรภาคชนั้ เทา่ กนั สามารถทาได2้ วิธีดงั นี้ วิธีที่ 1 หาขอบล่างของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั ตามลาดบั คอื 34.5, 39.5, 44.5, 49.5, 54.5 และ 59.5 และหาขอบบนของอนั ตรภาคชนั้ สงู สดุ คอื 59.5 นาขอบล่าง และขอบบนกาหนดในแนวนอน

วธิ ีท่ี 2 หาจดุ ก่ึงกลางของแต่ละอนั ตรภาคชนั้ ได้ 37, 42, 47, 52, 57 นาจดุ กึ่งกลางชน้ั กาหนดในแนวนอน ตวั อยา่ ง จากตารางแจกแจงความถ่ตี ่อไปนี้ จงเขียนฮสิ โทแกรม วิธีทา จากตารางแจกแจงความถ่ที ี่โจทยก์ าหนดให้ มคี วามกวา้ งของแตล่ ะอนั ตรภาค ชน้ั ไมเ่ ทา่ กนั สรา้ งตารางใหมเ่ ป็น ดงั นี้

นามาสรา้ งฮสิ โทแกรมได้ ดงั นี้ แผนภาพตน้ - ใบ (Stem and Leaf plot) แผนภาพตน้ ใบ เป็นแผนภาพท่จี ดั ขอ้ มลู เป็นกลมุ่ ทแ่ี สดงการแจกแจงความถ่ี และ วเิ คราะหข์ อ้ มลู เบือ้ งตน้ ไปพรอ้ มๆกนั เน่อื งจาก การสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี และฮิสโทแกรมเป็นการจดั ขอ้ มลู ทมี่ อี ย่เู ป็นช่วงๆ จึงทาใหไ้ ม่สามารถบอกไดว้ า่ ขอ้ มลู ทมี่ อี ย่มู คี ่าใดบา้ ง แผนภาพตน้ ใบ สามารถทาได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอยา่ ง ผลการทดสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนกล่มุ หน่ึง จานวน 30 คน เป็น ดงั นี้ 22 37 18 43 56 42 41 50 24 44

39 12 44 23 55 48 47 21 52 20 14 37 46 23 45 14 40 41 41 48 จงแจกแจงความถ่ขี อ้ มลู ชดุ นดี้ ว้ ยแผนภาพตน้ ใบ วธิ ที า แบง่ กลมุ่ คะแนนออกเป็น 5 กลมุ่ ดงั นี้ กลมุ่ ท่ี 1 คะแนนสอบตงั้ แต่ 10 ถึง 19 คะแนน กล่มุ ท่ี 2 คะแนนสอบตงั้ แต่ 20 ถงึ 29 คะแนน กลมุ่ ที่ 3 คะแนนสอบตงั้ แต่ 30 ถงึ 39 คะแนน กล่มุ ที่ 4 คะแนนสอบตงั้ แต่ 40 ถงึ 49 คะแนน กล่มุ ที่ 5 คะแนนสอบตงั้ แต่ 50 ถึง 59 คะแนน นาเลขโดดจากหลกั สิบของแตล่ ะกลมุ่ นาไปสรา้ งลาตน้ ดงั นี้ ชว่ ง 10 - 19 เลขโดดจากหลกั สบิ คอื 1 ช่วง 20 - 29 เลขโดดจากหลกั สิบคือ 2 ชว่ ง 30 - 39 เลขโดดจากหลกั สบิ คือ 3 ชว่ ง 40 - 49 เลขโดดจากหลกั สบิ คือ 4 ช่วง 50 - 59 เลขโดดจากหลกั สิบคือ 5 จะไดล้ าตน้ ดงั นี้

สาหรบั ใบ ในแผนภาพตน้ ไมใ้ ชเ้ ลขโดดในหลกั หนว่ ยของขอ้ มลู ในแต่ละกล่มุ เชน่ คะแนนสอบตงั้ แต่ 10 ถึง 19 มีอย่ทู งั้ หมด 4 จานวน ไดแ้ ก่ 18, 12, 14, 14 เลขโดดใน หลกั หน่วยทจี่ ะใชแ้ ทนใบ คือ 8, 2, 4, 4 ตามลาดบั คะแนนสอบตงั้ แต่ 20 ถึง 29 มีอยู่ ทงั้ หมด 6 จานวน ไดแ้ ก่ 22, 24, 23, 21, 20, 23 เลขโดดในหลกั หน่วยทจี่ ะใชแ้ ทนใบ คอื 2, 4, 3, 1, 0, 3 ตามลาดบั เป็นตน้ จากแผนภาพตน้ ใบ จะไดว้ ่า 1. คะแนนในช่วง 40 - 49 จะมีจานวนขอ้ มลู มากทีส่ ดุ

2. คะแนนในชว่ ง 30 - 39 จะมจี านวนขอ้ มลู นอ้ ยทสี่ ดุ 3. คะแนนสงู สดุ ของขอ้ มลู ชดุ นี้ คอื 56 4. คะแนนตา่ สดุ ของขอ้ มลู ชดุ นี้ คอื 12 5. จานวนนกั เรียนทไี่ ดค้ ะแนนนอ้ ยกว่า 20 คะแนน มี 4 คน 6. จานวนนกั เรียนทไ่ี ดค้ ะแนนมากกว่าหรือเทา่ กบั 50 คะแนน มี 4 คน ตวั อย่าง จากการช่งั นา้ หนกั ของนกั เรียนชายจานวน 24 คน และนกั เรยี นหญิงจานวน 24 คน ไดผ้ ลดงั นี้ 1. จงใชแ้ ผนภาพตน้ ใบ ในการแจกแจงขอ้ มลู ชดุ นี้ 2. จงหานา้ หนกั สงู สดุ และนา้ หนกั ตา่ สดุ ของนกั เรยี นชายและนกั เรยี นหญิง 3. นา้ หนกั สงู สดุ ของนกั เรยี นชายมากกว่านา้ หนกั สงู สดุ ของนกั เรยี นหญิงอยเู่ ท่าใด 4. ส่วนใหญ่นกั เรยี นชายและนกั เรยี นหญิงมีนา้ หนกั อย่ใู นช่วงใด 5. จงหารอ้ ยละของจานวนนกั เรียนหญิงท่ีมนี า้ หนกั อย่ใู นชว่ ง 60 - 69 กิโลกรมั วิธีทา 1. นาขอ้ มลู ทงั้ หมดมาเขยี นแผนภาพตน้ ใบ ไดด้ งั นี้

2. นกั เรียนชายมีนา้ หนกั สงู สดุ 86 กิโลกรมั และนา้ หนกั ต่าสดุ 33 กโิ ลกรมั นกั เรียนหญิงมีนา้ หนกั สงู สดุ 84 กโิ ลกรมั และนา้ หนกั ตา่ สดุ 30 กโิ ลกรมั 3. นา้ หนกั สงู สดุ ของนกั เรยี นชายมากกวา่ นา้ หนกั สงู สดุ ของนกั เรยี นหญิงเทา่ กบั 88 - 84 = 4 กิโลกรมั 4. สว่ นใหญ่นกั เรียนชายจะมีนา้ หนกั อยใู่ นช่วง 60 - 69 กโิ ลกรมั 5. ช่วง 60 - 69 มจี านวนนกั เรยี นหญิงเทา่ กบั 9 คน คิดเป็นรอ้ ยละ 9/24x100 = 37.5 ของจานวนนกั เรียน หญิงทงั้ หมด การแจกแจงความถีส่ ะสมโดยใชก้ ราฟ ตารางแจกแจงความถึ่ขอ้ มลู เป็นอนั ตรภาคชน้ั เป๋็นการนาเสนอขอ้ มลู อีกอยา่ งหนง่ึ โดยนาขอ้ มลู มาแบ่งออก เป็นช่วงๆ แตล่ ะชว่ งของขอ้ มลู ทแี่ บ่งเรียกว่า อนั ตรภาคชน้ั การสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีขอ้ มลู เป็นอนั ตรภาคชน้ั นน้ั มีวธิ ีการทาดงั ต่อไปนี้ ตารางแจกแจงความถขี่ ้อมลู เป็ นอันตรภาคชน้ั

ตัวอย่างท่ี 1 จงนาขอ้ มลู ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาตรซ์ ่งึ มคี ะแนนเตม็ 30 คะแนน ของนกั เรยี น 20 คนต่อไปนี้ ไปสรา้ งเป็นตารางแจกแจงความถ่ี โดยใหม้ คี วามกวา้ ง ของอนั ตรภาคชน้ั เป็น 5 12 14 18 26 28 17 19 21 22 20 18 16 14 18 18 21 24 25 29 11 กอ่ นทเี่ ราจะสรา้ งตารางแจกความถ่ขี อ้ มลู เป็นอนั ตรภาคชนั้ ได้ เราตอ้ งรูส้ ่ิงตอ่ ไปนี้ กอ่ น 1. พิสยั พิสยั = ขอ้ มลู สงู สดุ - ขอ้ มลู ต่าสดุ ซึ่งจากขอ้ มลู คะแนนในโจทยข์ อ้ มลู สงู สดุ คือ 29 ขอ้ มลู คะแนนตา่ สดุ คือ 11 ดงั นนั้ พสิ ัย = 29 - 11 = 18 2.ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ัน โจทยก์ าหนดมาใหว้ า่ ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ ตอ้ งเป็น 5 ความกว้างของอันตรภาคชน้ั คอื จานวนของขอ้ มลู ทงั้ หมดทม่ี ีอยใู่ นแตล่ ะอนั ตร ภาคชน้ั 3. จานวนอนั ตรภาคชัน้ จานวนอนั ตรภาคชนั้ หาไดจ้ ากสตู ร จานวนอันตรภาคชัน้ = พสิ ยั /ความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ ดงั นน้ั จานวนอนั ตรภาคชน้ั = 18 = 3.6 5

ในการคานวณหาจานวนอนั ตรภาคชนั้ นนั้ ถา้ ค่าท่คี านวณออกมาไดน้ นั้ เป็นทศนิยม ใหป้ ัดขนึ้ เป็นจานวนเต็ม เชน่ 3.6 ปัดขนึ้ เป็น 4 เลย ในการคานวณหาจานวนอนั ตรภาคชนั้ นน้ั ถา้ ค่าทคี่ านวณออกมาไดน้ นั้ เป็นจานวน เต็ม ใหบ้ วกเพม่ิ ขนึ้ อกี หนงึ่ เช่น คานวนได้ 6 ใหบ้ วกเพ่ิมขนึ้ เป็น 7 4. ขอ้ มลู ต่าสุด ตอ้ งอยู่ในอันตรภาคช้ันแรก เท่านน้ั และข้อมลู สงู สุดตอ้ งอยู่ใน อันตรภาคช้ันสุดท้าย 5.ความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั ในแต่ละชน้ั อาจจะไม่เท่ากันก็ได้ เมื่อไดค้ ่าพสิ ยั แลว้ ไดค้ ่าจานวนอนั ตรภาคชนั้ แลว้ เราก็เรมิ่ สรา้ งตารางแจกแจความถ่ึ ขอ้ มลู เป็นอนั ตรภาคชนั้ ไดเ้ ลย คะแนนสอบ ความถ่ี 10-14 4 15-19 7 20-24 5 25-29 4 รวม 20 จากตารางขา้ งบน อธิบายไดด้ งั นี้ จากตารางแจกแจงความถ่ขี อ้ มลู เป็นอนั ตรภาคชนั้ นี้ มีทงั้ หมด 4 อนั ตรภาคชนั้ อันตรภาคช้นั ท่ี 1 คือ ชว่ งคะแนน ตงั้ แต่ 10-14 อันตรภาคช้นั ที่ 2 คือ ช่วงคะแนน ตงั้ แต่ 15-19 อนั ตรภาคชั้นท่ี 3 คือ ชว่ งคะแนน ตงั้ แต่ 20-24

อนั ตรภาคชน้ั ท่ี 4 คือ ช่วงคะแนน ตงั้ แต่ 25-29 จากอันตรภาคช้ันท่ี 1 แสดงคะแนนทงั้ หมด 5 จานวน คอื 10,11,12,13,14 ซึ่ง กล่าวไดว้ า่ อนั ตรภาคชนั้ ท่ี 1 นมี้ คี วามกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ เป็น 5 จากอันตรภาคชนั้ ท่ี 2 แสดงคะแนนทงั้ หมด 5 จานวน คือ 15,16,17,18,19 ซงึ่ กล่าวไดว้ ่า อนั ตรภาคชนั้ ที่ 2 นมี้ มี ีความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ เป็น 5 อนั ตรภาคช้ันท่ี 1 มคี วามถ่เี ทา่ กบั 4 น่นั หมายความว่า มคี นสอบไดค้ ะแนนในช่วง 10-14 อยู่ 4 คน อันตรภาคชน้ั ท่ี 2 มคี วามถ่เี ท่ากบั 7 น่นั หมายความว่า มคี นสอบไดค้ ะแนนในช่วง 15-19 อยู่ 7 คน 1.รูปหลายเหลยี่ มของความถ่ี (Frequency Polygon) รูปหลายเหลย่ี มของความถ่ี (Frequency polygon) คอื รูปหลายเหลย่ี มทีเ่ กิดจากการ ต่อจดุ ก่งึ กลางของยอดแทง่ ส่เี หล่ียมมมุ ฉากของฮีสโทแกรมและจดุ กงึ่ กลางของอนั ตร ภาคชนั้ ทตี่ ่ากว่าและสงู กว่าบนแกนนอน

2.เส้นโค้งของความถี่ (Frequency curve) เสน้ โคง้ ของความถ่ี (Frequency curve) คอื เสน้ ที่ไดจ้ ากการปรบั ดา้ นของรูปหลาย เหลี่ยมของความถ่ใี หเ้ รยี บขนึ้ โดยใหพ้ นื้ ทภ่ี ายใตเ้ สน้ โคง้ มขี นาดใกลเ้ คียงกบั รูปหลาย เหลยี่ มของความถ่ี หน่วยท่ี 6 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง การวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ว่ นกลาง (measures of central tendency)

การวดั แนวโนม้ เขา้ ส่สู ่วนกลางเป็นระเบยี บวิธีทางสถติ ใิ นการหาคา่ เพียงคา่ เดยี ว ที่จะใชเ้ ป็นตวั แทนของขอ้ มลู ทงั้ ชดุ คา่ ทห่ี าไดน้ จี้ ะทาใหส้ ามารถทราบถงึ ลกั ษณะของ ขอ้ มลู ทงั้ หมดทเ่ี ก็บรวบรวมมาได้ ค่าท่หี าไดน้ จี้ ะเป็นคา่ กลาง ๆ เรยี กวา่ คา่ กลาง ประเภทของการวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ว่ นกลาง การวดั แนวโนม้ เขา้ ส่สู ว่ นกลางมีอยู่ หลายวิธีดว้ ยกนั ทนี่ ยิ มกนั มาก ไดแ้ ก่ 1. ค่าเฉล่ยี เลขคณิต (Arithmetic Mean) 2. มธั ยฐาน (Median) 3. ฐานนิยม (Mode) สัญลกั ษณแ์ ทนผลบวก (Summation) หรือ ซัม หรือ ซิกมา่ ใชส้ าหรบั เขยี นแทนการบวกของจานวนหลายๆจานวนที่มีรูปแบบแนน่ อนหรอื มี ลกั ษณะเป็นลาดบั เช่น 1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 99 2. 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 50 3. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + … + x10 สามารถเขียนโดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ แทนไดด้ งั นี้ 1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 99 เขียนแทนดว้ ย 2. 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 50 เขยี นแทนดว้ ย

3. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + … + x10 เขียนแทนดว้ ย ตัวอยา่ ง การใช้ เขียนแทนการหาผลบวกของจานวนต่างๆ 1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = 2. 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = 3. 2x2 + 3x2 + 4x2 + 5x2 + 6x2 = 4. 4 + 9 + 14 + 19 + … + (5n-1) = 5.(x1+y1) + (x2+y2) + (x3+y3) + … + (xn+yn) = สมบตั ิของผลบวก 1. 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = 2. 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = 3. 2x2 + 3x2 + 4x2 + 5x2 + 6x2 =

4. 4 + 9 + 14 + 19 + … + (5n-1) = 5. (x1+y1) + (x2+y2) + (x3+y3) + … + (xn+yn) = สมบตั ขิ องการแจกแจง 1. บวกหรือลบ แยกกนั ได้ (สมบตั กิ ารแจกแจง) 2. แยกตวั เลขมาคณู ทหี ลงั ได้ (สมบตั กิ ารแจกแจง) : เมอ่ื k คอื คา่ คงตวั 3. การบวกค่าคงตวั หลายๆจานวน

ค่าเฉลยี่ เลขคณิต (Arithmetic Mean) หมายถงึ การหารผลรวมของขอ้ มลู ทงั้ หมดดว้ ยจานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด การหา คา่ เฉล่ยี เลขคณติ สามารถหาได้ 2 วธิ ี 1. ค่าเฉลียเลขคณติ ของขอ้ มลู ที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี สามารถคานวณไดจ้ ากสตู ร 2. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี สามารถคานวณไดจ้ ากสตู ร มธั ยฐาน (Median) มธั ยฐาน หมายถึง คา่ กง่ึ กลางของขอ้ มลู ชดุ นน้ั หรือคา่ ทอ่ี ยใู่ นตาแหนง่ กึ่งกลางของ ขอ้ มลู ชดุ นน้ั เมือ่ ไดจ้ ดั เรียงคา่ ของขอ้ มลู จากนอ้ ยทส่ี ดุ ไปหามากท่ีสดุ หรอื จาหมากท่ี

สกุ ไปหานอ้ ยที่สดุ คา่ ก่งึ กลางจะเป็นตวั แทนทแ่ี สดงว่ามีขอ้ มลู ที่มากกว่าและนอ้ ยกวา่ นอี้ ยู่ 50 % การหารคา่ มธั ยฐาน สามารถหาได้ 2 วิธี 1. การหามธั ยฐานของขอ้ มลู ทไ่ี ม่แจกแจงความถ่ี ซงึ่ มีวิธีหาไดด้ งั นี้ 1.1 เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยิ ไปมาก หรือจากมากไปนอ้ ย ฐานนิยม(Mode) ฐานนยิ มหมายถึง คา่ ของคะแนนทซ่ี า้ กนั มากทส่ี ดุ หรอื คา่ คะแนนทม่ี ีความถ่สี งู ทสี่ ดุ ในขอ้ มลู ชดุ นน้ั การหารคา่ ฐานนยิ ม สามารถหาได้ 2 วิธี

1. ฐานนิยมของขอ้ มลู ทไ่ี ม่แจกแจงความถ่ี พจิ ารณาคา่ ของขอ้ มลู ทซ่ี า้ กนั มาก ทีส่ ดุ คอื ฐานนิยม 2. ฐานนิยมของขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถ่ี ขอ้ สงั เกตและหลกั เกณฑท์ ส่ี าคญั ในการใชค้ ่ากลางชนิดตา่ ง ๆ 1) ค่าเฉลย่ี เลขคณติ เป็นคา่ กลางท่ไี ดจ้ ากการนาทกุ ๆ คา่ ของขอ้ มลู มาเฉลย่ี มธั ยฐาน เป็นค่ากลางท่ใี ชต้ าแหนง่ ทข่ี องขอ้ มลู และฐานนิยมเป็นคา่ กลางที่ไดจ้ ากขอ้ มลู ที่มี ความถ่มี ากท่ีสดุ 2) ถา้ ในจานวนขอ้ มลู ทงั้ หมดมขี อ้ มลู บางคา่ ทม่ี ีค่าสงู หรอื ต่ากว่าขอ้ มลู อ่นื ๆ มากจะมี ผลกระทบตอ่ ค่าเฉล่ียเลขคณิต กล่าวคืออาจจะทาใหค้ ่าเฉลีย่ เลขคณติ ที่ไดม้ คี ่าสงู หรือตา่ กวา่ ขอ้ มลู ท่ีมีอยสู่ ว่ นใหญ่ แต่จะไมม่ ผี ลกระทบต่อมธั ยฐานหรือฐานนยิ ม 3) มธั ยฐานและฐานนยิ มใชเ้ มอ่ื ตอ้ งการทราบค่ากลางของขอ้ มลู ทงั้ หมด โดยประมาณ และรวดเรว็ ทงั้ นเี้ นอ่ื งจากการหามธั ยฐานและฐานนยิ มบางวธิ ีไม่ จาเป็นตอ้ งมีการคานวณซึ่งอาจใชเ้ วลามาก 4) ถา้ การแจกแจงความถ่ีของขอ้ มลู ประกอบดว้ ยอนั ตรภาคชน้ั ทมี่ ชี ว่ งเปิดอาจเป็น ชน้ั ต่าสดุ หรือชน้ั สงู สดุ ชน้ั ใดชนั้ หนง่ึ หรอื ทงั้ สองชน้ั การหาคา่ กลางโดยใชค้ า่ เฉลีย่ เลข คณติ ไม่สามารถทาได้ แต่สามารถหามธั ยฐานหรอื ฐานนิยมได้

5) การแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มลู ท่มี คี วามกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชนั้ ไมเ่ ทา่ กนั อาจจะมผี ลทาใหค้ า่ เฉล่ียเลขคณติ หรอื ฐานนยิ มคลาดเคล่อื นไปจากท่ีควรจะเป็นได้ บา้ งแต่จะไมม่ ีผลกระทบตอ่ มธั ยฐาน 6) ในกรณีท่ขี อ้ มลู เป็นประเภทขอ้ มลู คณุ ภาพ จะสามารถหาค่ากลางไดเ้ ฉพาะฐาน นยิ มเท่านนั้ แต่ไม่สามารถหาค่าเฉลีย่ เลขคณิต หรอื มธั ยฐานได้ หน่วยท่ี 7 การวัดตาแหน่งของข้อมลู การวดั ตาแหน่งของขอ้ มลู (Measures of Position) ในการกล่าวถึงตาแหน่งหรือลาดบั ทีข่ องขอ้ มลู ชดุ ใดชดุ หน่งึ โดยไม่มีขอ้ มลู อ่ืนๆ ประกอบ ทาใหไ้ มท่ ราบว่าตาแหนง่ หรือลาดบั ทที่ ่ีกล่าวถึงนนั้ อย่ตู รงสว่ นไหนของ ขอ้ มลู และไม่สามารถสรุปไดว้ ่าอยใู่ นตาแหนง่ หรอื ลาดบั ทด่ี หี รอื ไม่ เชน่ ในการ สอบแขง่ ขนั ตอบปัญหาคณติ ศาสตร์ นายปฐมสอบไดต้ าแหนง่ ท่ี 13 การสอบได้ ตาแหนง่ ท่ี 13 ของนายปฐมจะไมท่ ราบวา่ เป็นตาแหน่งทดี่ ีหรอื ไม่ แตถ่ า้ ทราบขอ้ มลู อน่ื ๆเพิ่มเตมิ ว่า การแข่งขนั การตอบปัญหาครงั้ นี้ มผี เู้ ขา้ แขง่ ขนั ก่คี น เชน่ มี 90 คนจงึ สามารถสรุปไดว้ า่ นายปฐมสอบไดต้ าแหนง่ ทที่ ่อี ย่ใู นกล่มุ หนง่ึ ในสอ่ี นั ดบั แรก เมอื่ เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก ดงั นนั้ ในทางสถติ ิจงึ ใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ต์ ไทล์ ในการวดั ตาแหนง่ และสามารถบอกไดว้ า่ ตาแหน่งหรอื ลาดบั ทนี่ นั้ ดหี รอื ไม่ เพียงไรในกล่มุ แตก่ ารวดั ตาแหน่งทีน่ ยิ มใชแ้ ละคนสว่ นใหญ่ส่อื สารแลว้ เขา้ ใจงา่ ย และรวดเรว็ คอื เปอรเ์ ซนตไ์ ทล์ เพราะเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทลเ์ ป็นการแบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 100 สว่ นเท่าๆกนั แตเ่ ปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทลม์ ขี อ้ เสยี ตรงทว่ี า่ ในกรณที่ขอ้ มลู ท่ตี อ้ งการวดั ตาแหน่ง นนั้ มีจานวนนอ้ ย จะไม่มีความละเอยี ด ดงั นนั้ จึงใชก้ ารวดั ตาแหน่งดว้ ย ควอไทลแ์ ละ เดไซลแ์ ทน

ความหมายของควอไทล์ เดไซลแ์ ละเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล(์ Quartiles Deciles and Percentiles) ควอไทล์ (Quartiles) เป็นการวดั ตาแหนง่ ของขอ้ มลู ทแี่ บง่ ขอ้ มลู ทงั้ หมดออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั เมือ่ เรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก ค่าที่แบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 4 สว่ น เท่าๆกนั มี 3 คา่ คอื ควอไทลท์ ี่ 1 (Q1) ควอไทลท์ ี่ 2 (Q2 ) ควอไทลท์ ี่ 3 (Q3 ) ตามลาดบั เดไซล์ (Deciles) เป็นการวดั ตาแหน่งของขอ้ มลู ทแี่ บง่ ขอ้ มลู ทงั้ หมดออกเป็น 10 ส่วน เท่าๆกนั เมื่อเรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก คา่ ท่ีแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกนั มี 9 คา่ คือเดไซลท์ ี่ 1 (D1) เดไซลท์ ี่ 2 (D2 ) ควอไทลท์ ี่ 3 (D3 ) จนถงึ เดไซลท์ ่ี 9 (D9 )ตามลาดบั

เปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ (Percentiles) เป็นการวดั ตาแหนง่ ของขอ้ มลู ที่แบง่ ขอ้ มลู ทงั้ หมด ออกเป็น 100 สว่ นเท่าๆกนั เม่ือเรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามาก ค่าทีแ่ บ่งขอ้ มลู ออกเป็น 100 สว่ นเท่าๆกนั มี 99 ค่า คอื เปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทลท์ ี่ 1 (P1) เปอรเ์ ซนตไ์ ทลท์ ี่ 2 (P2 ) เปอรเ์ ซนตไ์ ทลท์ ี่ 3 (P3 ) จนถึง เปอรเ์ ซนตไ์ ทลท์ ่ี 99 (P99 )ตามลาดบั การหาค่าควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ ตวั อยา่ ง เดก็ กลมุ่ หนึ่งจานวน 7 คน มอี ายดุ งั นี้ 14, 13, 19, 12, 17, 14 และ 16 ปี จง หา Q1,Q3 ,D5 วธิ ีทา ดาเนินตามขนั้ ตอนดงั นี้

ขนั้ ท่ี 1 เรยี งลาดบั ขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามากไดด้ งั นี้ 12 13 14 14 16 17 19 ขนั้ ที่ 2 หาตาแหนง่ ท่ตี อ้ งการ ขนั้ ท่ี 3 คานวณคา่ ในตาแหนง่ ท่ตี อ้ งการ ค่าที่อยใู่ นตาแหนง่ ที่ 2 ตรงกบั 13 พอดี ดงั นนั้ Q1 =13 ปี คา่ ที่อย่ใู นตาแหนง่ ที่ 6 ตรงกบั 17 พอดี ดงั นนั้ Q3 =17 ปี คา่ ทอ่ี ย่ใู นตาแหน่งที่ 4 ตรงกบั 14 พอดี ดงั นนั้ D5 =14 ปี ตวั อย่าง ผลการช่งั การนา้ หนกั (หนว่ ยเป็นกโิ ลกรมั ) ของนกั เรียนชน้ั ม. 5 หอ้ งหนงึ่ จานวน 31 คน เป็นดงั นี้ 42 53 68 49 68 56 44 38 60 51 48 45 44 58 62 45 50 66 54 62 43 57 65 70 52 57 69 65 64 48 62 1. จงหาวา่ นา้ หนกั จะตอ้ งตรงกบั ก่กี โิ ลกรมั จงึ จะทาใหน้ กั เรียนประมาณสาม ในส่ีของหอ้ งมนี า้ หนกั มากกว่า

2. จงหาวา่ นา้ หนกั จะตอ้ งตรงกบั ก่กี โิ ลกรมั จึงจะทาใหน้ กั เรียนประมาณหกใน สิบของหอ้ งมนี า้ หนกั มากกวา่ วธิ ีทา เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปหามากก่อน ดงั นี้ 38 42 43 44 44 45 45 48 48 49 50 51 52 53 54 56 57 57 58 60 62 62 62 64 65 65 66 68 68 69 70 1. นา้ หนกั ท่ีมนี กั เรยี นประมาณสามในสขี่ องหอ้ งที่มนี า้ หนกั มากกวา่ แสดงวา่ ตอ้ งการหานา้ หนกั ทม่ี ีนกั เรียนประมาณหนึง่ ในส่ีของหอ้ งที่มนี า้ หนกั นอ้ ยกว่า น่นั คือ ตอ้ งการหานา้ หนกั ทต่ี รงกบั P25 น่นั เอง 2. นา้ หนกั ที่มนี กั เรยี นประมาณหกในสบิ ของหอ้ งท่ีมนี า้ หนกั นอ้ ยกว่า มี ความหมายเชน่ เดยี วกบั นา้ หนกั ทม่ี ีนกั เรียนประมาณ 60 ใน 100 ของหอ้ งท่มี นี า้ หนกั นอ้ ยกวา่ ซง่ึ ตรงกบั นา้ หนกั ที่ P60 นา้ หนกั ในลาดบั ที่ 19 และ 20 คอื 58 และ 60 ตามลาดบั

ตาแหน่งต่างกนั 20 - 19 = 1 นา้ หนกั ต่างกนั 60 - 58 = 2 กิโลกรมั ตาแหนง่ ตา่ งกนั 19.2 - 19 = 0.2 นา้ หนกั ตา่ งกนั 2x0.2=0.4 กิโลกรมั ดงั นนั้ P60 = 58 +0.4 = 58.4 กิโลกรมั หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 8 การจัดการกระจายของขอ้ มูล การวดั การกระจาย (Measure of Dispersion) การใชส้ ถติ เิ ก่ยี วกบั การวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ่วนกลาง ซ่ึงเป็นคา่ ทีท่ า หนา้ ทีเ่ ป็นตวั แทน กล่มุ ขอ้ มลู เพยี งอยา่ งเดียว เมอื่ แปลความหมายขอ้ มลู จงึ ยงั ไม่สมบรู ณ์ ไมช่ ดั เจน และ มีโอกาสคลาดเคลื่อนได้ สิ่งที่ ควรน3มาพิจารณาควบคไู่ ปกบั การวดั แนวโนม้ เขา้ สสู่ ่วนกลางก็คอื ลกั ษณะการกระจายของกลมุ่ ขอ้ มลู ซ่ึงสถติ ิทใ่ี ชค้ ือ การวดั การ กระจาย การที่ขอ้ มลู แต่ละชดุ มีคา่ ต่าง ๆ กนั นน้ั เราเรยี กวา่ ขอ้ มลู มกี ารกระจาย ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นน้ั ประกอบ ดว้ ยคา่ แตกตา่ งกนั มาก เรียกวา่ ขอ้ มลู มกี ารกระจายมาก ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นนั้ ประกอบดว้ ยคา่ ต่าง ๆ แตกต่าง กนั นอ้ ย หรอื มคี ่าใกลเ้ คียงกนั เรียกวา่

ขอ้ มลู มีการกระจายนอ้ ย ถา้ ขอ้ มลู นน้ั ประกอบดว้ ยคา่ ต่าง ๆ เท่ากนั หมด เรียกวา่ ขอ้ มลู ไม่มกี ารกระจาย ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 1 : 9 , 12 , 37 , 73 , 105 ขอ้ มลู ชดุ ที่ 2 : 52 , 60 , 63 , 61 , 65 ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 3 : 35 , 35 , 35 , 35 , 35 จากขอ้ มลู ทงั้ 3 ชดุ เมื่อเปรยี บเทียบแลว้ พบวา่ ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 มกี ารกระจายมาก ทส่ี ดุ ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 มีการกระจายรองลงมา ส่วนขอ้ มลู ชดุ ท่ี 3 ไมม่ กี ารกระจาย ในการ เปรยี บเทยี บขอ้ มลู หลาย ๆ ชดุ ว่าแตกตา่ งกนั หรือไม่ ควรจะตอ้ งพิจารณาถงึ ค่าเฉลี่ย และ การกระจายของขอ้ มลู ควบค่กู นั ไปดว้ ย เพือ่ จะช่วยใหส้ รุปหรอื แปลความหมาย ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง เชน่ เดก็ นกั เรียนกลมุ่ หนง่ึ วดั คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยได้ 75 , 87 , 115 , 118 , 130 เดก็ นกั เรียนกลมุ่ สองวดั คะแนนสอบวิชาภาษาไทยได้ 100 ,100 , 105 ,110 , 110 คา่ เฉลยี่ ของคะแนน 2 ชุดนเี้ ทา่ กนั คือ 105 ถา้ พจิ ารณาเฉพาะ คา่ เฉล่ียจะสรุปไดว้ ่านกั เรียน 2 กล่มุ นี้ มีคะแนนสอบวิชาภาษาไทยอย่ใู นระดบั เดียวกนั แต่เม่ือพิจารณาจากคะแนนแตล่ ะชดุ จะพบวา่ คะแนนสอบวชิ าภาษาไทย ของนกั เรียนกล่มุ หนงึ่ แตกตา่ ง กนั มากกว่า คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนกั เรียนใน กลมุ่ ทส่ี อง น่นั คือ ตามขอ้ สรุปแลว้ คะแนนสอบ วิชาภาษาไทยของนกั เรยี น 2 กลมุ่ นี้ แตกต่างกนั ดงั นนั้ จงึ สรุปไดว้ า่ ถา้ ตอ้ งการบรรยายลกั ษณะของขอ้ มลู ใหถ้ กู ตอ้ ง สมบรู ณจ์ ะตอ้ งวดั แนวโนม้ เขา้ ส่สู ว่ นกลางควบคไู่ ปกบั การวดั การกระจายดว้ ยเสมอ การวดั การกระจาย แบง่ ได้ 2 1.การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) เป็นการวดั การกระจายขอ้ มลู เพยี งชดุ เดียว มีดงั นี้

1. พิสยั (Range : R) 2. สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) พสิ ัย (Range : R) พิสยั หมายถงึ การหาการกระจายของขอ้ มลู โดยนาขอ้ มลู ท่ีมีคา่ สงู ที่สดุ ลบกบั ขอ้ มลู ท่มี ีคา่ ต่าทสี่ ดุ เพ่ือใหไ้ ดค้ า่ ทเี่ ป็นช่วงของการกระจาย ซง่ึ สามารถบอกถึงความ กวา้ งของขอ้ มลู ชดุ นนั้ ๆ สาหรบั สตู รท่ีใชใ้ นการหาพสิ ยั คอื พสิ ยั (R) = Xmax - Xmin Ex1. จงหาพิสยั จากขอ้ มลู ชดุ นี้ 25,19,32,29,19,21,22,31,19,20,15,22,23,20 วธิ ีทา สตู ร พิสยั (R) = Xmax - Xmin = 32 - 15 = 17 ขอ้ มลู ชดุ นมี้ พี สิ ยั (R) เทา่ กบั 17 ดงั นน้ั ความแตกต่างของขอ้ มลู สงู สดุ กบั ขอ้ มลู ต่าสดุ มีคา่ เท่ากบั 17 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.,S,s) สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเป็นคา่ วดั การกระจายทสี่ าคญั ทางสถติ ิ เพราะเป็นค่าทีใ่ ช้ บอกถึงการกระจายของขอ้ มลู ไดด้ กี วา่ ค่าพสิ ยั และค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถหาได้ 2 วิธี 1.การหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน(S.D.) ในกรณีขอ้ มลู ไมไ่ ดม้ กี ารแจกแจงความถ่ี

สามารถหาไดจ้ ากสตู ร สตู รท่ี 1 หรือ สตู รท่ี 2 เมอื่ S.D. คอื สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน คือ ขอ้ มลู ( ตวั ท่ี 1,2,3...,n) คอื ค่าเฉล่ยี เลขคณิต คือ จานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด หมายเหตุ ในกรณีท่ี เป็นทศนยิ มทาใหเ้ กดิ ความย่งุ ยากในการคานวณ จงึ ควร เลือกใชส้ ตู รท่ี 2 Ex2.จากขอ้ มลู ตอ่ ไปนจี้ งหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1, 2, 4, 6, 8, 9 วิธีทา ใชส้ ตู รท่ี 2 = หาค่า = 1 + 4 + 16 + 36 + 64 + 91 = 212 หาค่า =1+2+4+6+8+9

= 30 = 302 = 900 =6 แทนค่าในสตู ร S.D. = 3.52 2.การหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (S.D.) ในกรณีขอ้ มลู มกี ารแจกแจงความถ่ี สามารถหาไดจ้ ากสตู ร 1. หรือ 2. S.D. คือ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คอื ความถ่ี คอื จดุ กงึ่ กลางชน้ั คอื คา่ เฉลี่ยเลขคณิต

คอื จานวนขอ้ มลู Ex3.จากตารางขอ้ มลู ตอ่ ไปนจี้ งหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คะแนน ความถ่(ี ) 5-9 3 10-14 6 15-19 7 20-24 8 25-29 10 30-34 12 35-39 14 วธิ ที า ใชส้ ตู รที่ 2 สรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี คะแนน 37 49 21 147 5-9 6 12 144 72 864 10-14 7 17 289 119 2023 15-19 8 22 484 176 3872 20-24 10 27 729 270 7290 25-29 12 32 1024 384 12288 30-34 14 37 1369 148 19166 35-39 = 60 . . = 1190 . = 45650

1. หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต จากสตู ร = = = 19.83 2.หาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสตู ร = = = 8.79 * หมายเหต*ุ ความแปรปรวน หาไดจ้ าก (S.D)2 2.การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ (relative Variation) คือ การหาคา่ เพ่อื เปรียบเทยี บการกระจายระหว่างขอ้ มลู มากกว่าหน่งึ ชดุ โดยใชอ้ ตั ราสว่ น การเปรียบเทยี บการกระจายของขอ้ มลู ระหวา่ งชดุ ทน่ี ยิ มใชม้ ี 2 ชนดิ คือ 1. สมั ประสิทธิ์ของพสิ ยั (coefficient of range) 2.สมั ประสิทธิ์ของการแปรผนั (coefficient of variation) 1. สัมประสิทธข์ิ องพิสัย (coefficient of range) คือ อตั ราส่วนระหว่างผลต่างของ ค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสดุ กบั ผลบวกของคา่ สงู สดุ และต่าสดุ ของขอ้ มลู ชดุ นนั้

หาไดจ้ ากสตู ร Ex4. จงหาสมั ประสทิ ธิพ์ ิสยั จากขอ้ มลู ชดุ นี 25,19,32,29,19,21,22,31,19,20,15,22,23,20 วธิ ีทา สตู ร = = = = .3617 ทาเป็นเปอรเ์ ซน็ ตด์ ว้ ยการ x 100 = 36.17% ดงั นน้ั สมั ประสทิ ธิพ์ ิสยั ของขอ้ มลู ชดุ นี้ = 36.17% 2. สมั ประสิทธิข์ องการแปรผนั (coefficient of variation) ตวั ยอ่ (C.V.) อตั ราสว่ น ระหวา่ งสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานกบั ค่าเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นน้ั สตู ร เมื่อ C.V. คอื สมั ประสทิ ธิ์ของการแปรผนั s คือส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน คือคา่ เฉลี่ยเลขคณิต

จาก Ex3. จงหาสมั ประสิทธื์การแปรผนั จะได้ = 19.83 จะได้ S (S.D.) = 8.79 = 8.79 19.83 = 0.3584 ทาเป็นเปอรเ์ ซน็ ตด์ ว้ ยการ x 100 ดงั นนั้ สมั ประสิทธิพ์ สิ ยั ของขอ้ มลู ชดุ นี้ = 35.84 %