แคลคูลัส

หน่วยที่ 1 ทฤษฎบี ททวนิ าม แฟกทอเรียล (Factorial) แฟกทอเรียลของ n เขียนแทนดว้ ย n! อ่านวา่ แฟกทอเรียลเอน็ หรือ เอน็ แฟกทอเรียล ซ่ึงมีนิยามดงั น้ี นยิ าม แฟกทอเรียลของ n เมื่อ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก คือ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……..3.2.1 ตวั อย่างที่ 4.1 จงหาค่าของ 2) 7! 3) 10! 1) 4! วิธีทํา 1) 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ตอบ 2) 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040 ตอบ 3) 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800 ตอบ หมายเหตุ ในทาํ นองเดียวกนั เราสามารถเขียน n! ใหอ้ ยใู่ นรูปของแฟคทอเรียลของจาํ นวนใด ๆ ท่ีมีค่า นอ้ ยกวา่ n ไดด้ งั น้ี n! = n(n-1)! หรือ = n(n-1)(n-2)! หรือ = n(n-1)(n-2)(n-3)! หรือ = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)! จาก n! = n(n-1)! ถา้ ให้ n = 1 จะไดว้ า่ 1! = 1(1-1)! 1 = 1(0!) นน่ั คือ 0! = 1





ทฤษฎบี ทวนิ าม









สามเหลยี่ มปาสคาล (Pascal’s Triangle)





สัมประสิทธ์ิทวินาม (Binomial Coeficient)





หน่วยท่ี 2 เศษส่วนย่อย ฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังกชนั ตรรกยะ เป็นฟังก์ชนั พีชคณิต ซ่ึงนาํ มาใชป้ ระโยชนใ์ นการแกป้ ัญหาการอินติเกรดฟังกช์ นั พีชคณิต ซึงบางคร้ังไม่สามารถอินติเกรดไดโ้ ดยตรงตอ้ งแยกใหเ้ ป็นเศษส่วนยอ่ ยเสียก่อน ฟังกช์ นั ตรรกยะมี 2 ชนิด คือ เศษส่วนยอ่ ย(Partial Fractions) การแยกฟังก์ชันตรรกยะ การแยกฟังกช์ นั ตรรกยะ ใหเ้ ป็นเศษส่วนยอ่ ย ซ่ึงมีรูปแบบเศษส่วนยอ่ ย 4 กรณี ดงั น้ี กรณีท่ี 1 ถา้ q(x) แยกตวั ประกอบไดเ้ ป็นเชิงเสน้ ไมซ่ ้าํ กนั และมีตวั แปรเป็นกาํ ลงั หน่ึง และลดทอน ไม่ได้ เศษส่วน ยอ่ ยจะอยใู่ นรูป

กรณีที่ 2 ถา้ q(x) แยกตวั ประกอบไดเ้ ป็นเชิงเส้นซ้าํ กนั และตวั แปรเป็นกาํ ลงั หน่ึง และลดทอนไม่ได้ เศษส่วนยอ่ ย อยใู่ นรูป กรณีที่ 3 ถา้ q(x) แยกตวั ประกอบไดเ้ ป็นพหุนามกาํ ลงั สองไมซ่ ้าํ กนั และลดทอนไม่ได้ เศษส่วนยอ่ ยจะ อยใู่ นรูป กรณีท่ี 4 ถา้ q(x) แยกตวั ประกอบไดเ้ ป็นพหุนามกาํ ลงั สองซ้าํ กนั และลดทอนไม่ได้ เศษส่วนยอ่ ยจะอยใู่ นรูป สรุปหลกั ทวั่ ไปในการแยกเศษส่วน 1. เศษส่วนท่ีนาํ มาแยกนนั่ ตอ้ งเป็นเศษส่วนที่มี degree ของตวั เศษนอ้ ยกวา่ ตวั ส่วนเสียก่อน ถา้ เศษมีdegree มากกวา่ ตวั ส่วน นนั คือเป็นเศษเกิน ตอ้ งทาํ เป็นเศษคละโดยการหาร 2. ถา้ ตวั ส่วนของเศษส่วนที่นาํ มาแยก แยกแฟกเตอร์ได้ กต็ อ้ งแยกแฟกเตอร์ใหเ้ รียบร้อยเสียก่อน 3. จาํ นวนเศษส่วนยอ่ ยท่ีไดจ้ ะเทา่ กบั จาํ นวนแฟกเตอร์จริง ๆ ของส่วน 4. A, B, C … เป็นคา่ ท่ีมีสมมติข้ึน หาไดโ้ ดยการเทียบสมั ประสิทธิS ของ x ที่มีกาํ ลงั เทา่ กนั หรือใชว้ ธิ ี การแทนคา่ x ทีเหมาะสม เช่น 0, +1, +2 เป็นตน้ ค่า x ที่นาํ มาแทนตอ้ งไม่ทาํ ใหส้ ่วนของเทอมใดเทอมหน่ึงเป็น

ศูนย์ หรือใชท้ ้งั สองวิธีพร้อมกนั ตวั อยา่ งการแยกใหเ้ ป็นเศษส่วนยอ่ ย… หน่วยที่ 3 ลมิ ติ และความต่อเนื่อง ลมิ ติ ของฟังก์ชัน โดยทวั่ ๆ ไปเม่ือ L เป็นจาํ นวนจริงและฟังกช์ นั่ f นิยามในยานขา้ งเคียงของจาํ นวนจริง c แต่ไม่จาํ เป็นตอ้ งนิยาม ที่ c สญั ลกั ษณ์ lim f (x) = L x→c อา่ นวา่ “ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ c เทา่ กบั L” หมายถึง เม่ือ x มีคา่ เขา้ ใกล้ c แลว้ f(x) จะมีค่าเขา้ ใกล้ L

นยิ ามของลมิ ติ ลมิ ิตของฟังก์ชัน ( Limit of a function) เขียนแทนดว้ ย หมายถึง x มีค่าเขา้ ใกล้ a แลว้ f(x) จะมี ค่าเขา้ ใกล้ L สาํ หรับฟังกช์ นั y = f(x) ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์ เป็นสับเซตของเซตจาํ นวนจริงลิมิตทางซา้ ย ของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีคา่ เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย ลิมิตทางขวาของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีคา่ เขา้ ใกล้ a ทางขวา การหาค่าลมิ ิตของฟังก์ชัน วิธีหา ค่าลมิ ติ ของฟังก์ชัน (1). เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถา้ ผลที่ไดเ้ ป็นจาํ นวนจริงค่าน้นั คือค่าลิมิต (2). เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แลว้ ปรากฏผลออกมาในรูป ให้พจิ ารณาลกั ษณะของฟังก์ชัน ดงั นี้ (2.1) ถา้ สามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณของตวั ประกอบได้ ก็ใหแ้ ยกแลว้ ขจดั ตวั ประกอบร่วมของเศษและส่วน ออก หลงั จากน้นั ก็เอาคา่ a ไปแทน x ถา้ ผลที่ไดเ้ ป็นจาํ นวนจริง คา่ น้นั คือคา่ ลิมิต (2.2) ถา้ แยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ เน่ืองจาก f(x) มกั อยใู่ นรูx กใ็ หน้ าํ คอนจูเกตคูณท้งั เศษและส่วน แลว้ ขจดั ตวั ประกอบที่ทาํ ใหส้ ่วนเป็นศูนยอ์ อก หลงั จากน้นั ก็เอา คา่ a ไปแทน x ถา้ ผลที่ไดเ้ ป็นจาํ นวนจริง คา่ น้นั ” คอื คา่ ลิมิต “

ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลมิ ิต กาํ หนด a, A, B เป็นจาํ นวนจริงใด ๆ ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ นั 1. เมื่อ c เป็นคา่ คงตวั 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ลมิ ติ ทางซ้ายและลมิ ติ ทางขวา



ลมิ ติ เกย่ี วกบั อนนั ต์









ความต่อเนื่อง





หน่วยท่ี 4 อนุพนั ธ์









อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน







ความหมายของอนุพนั ธ์ในทางเรขาคณติ





การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันพชี คณิตโดยสูตร





กฎลูกโซ่ ถา้ y เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ไดท้ ่ี u และ y = (u) u เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ x และ u = g(x) x เป็นฟังกช์ นั ที่หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี t และ x = h(t) ถา้ y เป็นฟังกช์ นั ที่หาอนุพนั ธ์ไดท้ ่ี x ดงั น้นั ถา้ y เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ t ดงั น้นั ถา้ y = un และ n เป็นจาํ นวนจริง

ดงั น้นั การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั โดยปริยายที่ผา่ นมาเราไดศ้ ึกษาการหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ท่ีอยใู่ นรูปy=f(x) ซ่ึงคา่ ของตวั แปรตามyสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นของตวั แปรตน้ xเพยี งตวั เดียวไดเ้ ราเรียกฟังกช์ นั ที่มีลกั ษณะเช่นน้ีวา่ ฟังกช์ นั ชดั แจง้ (explicit function) แต่ในบางกรณีสมการที่แสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งxและyอาจทาํ ใหเ้ ราไม่ สามารถเขียนyในรูปของxไดอ้ ยา่ งชดั แจง้ เช่น x2+y2= 1 โดยทว่ั ไปการหาอนุพนั ธ์ของ y เทียบกบั x ของฟังกช์ นั โดยปริยายสามารถทาํ ไดต้ าม ข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี ข้นั ที่ 1: หาอนุพนั ธ์ท้งั สองขา้ งของสมการเทียบกบั ตวั แปร x และเน่ืองจาก y เป็นฟังกช์ นั ของ x เมื่อเราหาอนุพนั ธ์ ของพจน์ท่ีเป็นฟังกช์ นั ของ y จะสามารถใชก้ ฎลกู โซ่ทาํ ใหม้ ี dy/dx คูณอยเู่ สมอ ข้นั ที่ 2: จดั สมการใหพ้ จนท์ ่ีมี dy/dx อยขู่ า้ งหน่ึงของสมการและพจนท์ ่ีไม่มี dy/dx อยอู่ ีกขา้ งหน่ึงของสมการ ข้นั ที่ 3: ทางดา้ นของสมการที่มี dy/dx ใหแ้ ยกตวั ประกอบโดยดึงตวั ร่วม dy/dx ออกจากทุกพจน์ ข้นั ท่ี 4 : แกส้ มการเพอื่ หาค่าของ dy/dx โดยการหารตลอดท้งั สองขา้ ง อนุพนั ธ์อนั ดบั สูง ถา้ เป็นฟังกช์ นั ที่สามารถหาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ x แลว้ '(x) = เมื่อลิมิตหาค่าได้ และถา้ ' เป็นฟังกช์ นั ท่ีสามารถหาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้ อนุพนั ธ์ของ ' จะเขียนแทนดว้ ย '' ซ่ึงนิยามวา่ ''(x) = เม่ือลิมิตหาค่าไดแ้ ละเรียก '' วา่ “อนุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ีสองของ ” นน่ั คือ '' = ( ')' ''' = ( '')' และเรียกวา่ ''' วา่ “อนุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ีสามของ ” เป็นเช่นน้ีตอ่ ไปเร่ือย ๆ จะไดอ้ นุพนั ธ์อนั ดบั ที่สี่อนั ดบั ท่ีหา้ ...ของ

โดยทว่ั ไปจะเรียก n วา่ เป็นอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ n ของ นอกจากสญั ลกั ษณ์ดงั กลา่ วแลว้ ถา้ กาํ หนดฟังกช์ นั y = (x) เราอาจใชส้ ญั ลกั ษณ์ หน่วยท่ี 5 การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันอดศิ ัย การหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ