เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ความน่าจะเป็น

เอกสารประกอบการเรยี น รายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 4 (ค32202) ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2563 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน ความนาจะเปน (Probability) การทดลองสมุ (Random Experiment) บทนิยาม การทดลองสุม หมายถึง การทดลองหรอื การกระทำใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถูกตองแนนอนวาในแตละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเปนอะไรในบรรดาผลลัพธ ทอ่ี าจเปนไปไดเหลานี้ ปรภิ ูมติ วั อยาง (Sample Space) บทนยิ าม ปรภิ ูมิตวั อยาง หรือแซมเปลสเปช (Sample Space) หมายถงึ เซตของผลลัพธทั้งหมดที่เปนไปได จากการทดลองสุม แตละสมาชกิ ของปริภมู ิตัวอยางหรือผลการทดลอง เรยี กวา จุดตวั อยาง (sample point) เหตุการณ (Event) บทนิยาม เหตุการณ (Event) หมายถงึ สบั เซตของปริภูมติ ัวอยาง ตวั อยางท่ี 1 ในการทอดลกู เตา 1 ลกู ถาผลลพั ธท่สี นใจ คอื แตมที่ได จงหา 1) ปรภิ ูมิตัวอยาง 2) เหตุการณท่ีไดแตมเปนจำนวนคู 3) เหตุการณท่ีไดแตมมากกวา 4 4) เหตกุ ารณที่ไดแตมเปนจำนวนเต็มบวก 5) เหตกุ ารณที่ไดแตมมากกวา 6 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 1 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน วธิ ที ำ 1) ให S แทน ปริภูมติ ัวอยางของการทอดลกู เตา 1 ลกู S = {1,2,3,4,5,6} 2) ให E1 แทน เหตกุ ารณที่ไดแตมเปนจำนวนคู E1 = {2,4,6} 3) ให E2 แทน เหตุการณที่ไดแตมมากกวา 4 E2 = {5,6} 4) ให E3 แทน เหตุการณทไ่ี ดแตมเปนจำนวนเตม็ บวก E3 = S 5) ให E4 แทน เหตกุ ารณท่ีไดแตมมากกวา 6 =∅ ตัวอยางท่ี 2 ในการทอดลกู เตา 2 ลกู พรอมกนั ถาผลลัพธทีส่ นใจคือ ผลรวมของแตมบนลูกเตา ทง้ั สอง และให A แทน เหตกุ ารณท่ีผลรวมของแตมเปนจำนวนค่ี B แทน เหตุการณทผี่ ลรวมของแตมเปนจำนวนที่หารดวย 3 ลงตวั C แทน เหตกุ ารณท่ผี ลรวมของแตมเทากับ 6 D แทน เหตกุ ารณทีผ่ ลรวมของแตมเปนจำนวนท่หี ารดวย 4 ลงตวั จงหา 1) A ∪B 2) B∪C 3) C ∩D 4) B∩C 5) D′ วธิ ที ำ ปรภิ ูมติ วั อยาง S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} A = {3,5,7,9,11} B = {3,6,9,12} C = {6} D = {4,8,12} 1) A ∪B = {3,5,6,7,9,11,12} 2) B∪C = {3,6,9,12} 3) C ∩D =∅ 4) B∩C = {6} 5) D′ = {2,3,5,6,7,9,10,11} ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 2 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน แบบฝกหดั ที่ 1 เร่ือง การทดลองสมุ ปริภมู ติ วั อยาง และเหตกุ ารณ 1. โยนเหรียญ 3 เหรยี ญใน 1 ครัง้ ผลลพั ธท่สี นใจ คอื หนาของเหรียญทงั้ สามเหรยี ญที่ขึน้ จงเขียน 1) แซมเปลสเปช S และ n(S) S =.................................................................................................................................................. n(S) =............................... 2) E1 แทน เหตุการณทีเ่ หรียญทงั้ สามเหรยี ญขึน้ หนาเหมือนกัน E1 =.................................................................................................................................................. 3) E2 แทน เหตกุ ารณทเี่ หรียญขึ้นหนาหัวอยางนอย 2 เหรยี ญ E2 =.................................................................................................................................................. 4) E3 แทน เหตุการณที่เหรยี ญขึ้นกอยมากกวาหนาหัว E3 =.................................................................................................................................................. 5) 5.1) E1 ∪E2 =.................................................................................................................... 5.2) E1 ∪E3 =.................................................................................................................... 5.3) E2 ∪E3 =.................................................................................................................... 5.4) E1 ∪E2 ∪E3 =.................................................................................................................... 6) 6.1) E1 ∩E2 =.................................................................................................................... 6.2) E1 ∩E3 =.................................................................................................................... 6.3) E2 ∩E3 =.................................................................................................................... 6.4) E1 ∩E2 ∩E3 =.................................................................................................................... 7) 7.1) E1′ =.................................................................................................................... 7.2) E2′ =.................................................................................................................... 7.3) E3′ =.................................................................................................................... 8) 8.1) E1- E2 =.................................................................................................................... 8.2) E2 - E3 =.................................................................................................................... 8.3) E3 - E1 =.................................................................................................................... ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 3 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 2. โยนเหรียญ 1 เหรยี ญ จำนวน 4 ครง้ั ผลลัพธท่สี นใจ คือ จำนวนครัง้ ทเี่ หรียญข้นึ หนากอย จงเขียน 1) แซมเปลสเปช S และ n(S) S =.................................................................................................................................................. n(S) =............................... 2) E1 แทน เหตุการณท่ีเหรยี ญข้ึนหนาหัวท้ังหมดสคี่ รัง้ E1 =.................................................................................................................................................. 3) E2 แทน เหตุการณที่เหรยี ญขึ้นหนากอยเปนจำนวนคร้ังเทากับข้นึ หนาหัว E2 =.................................................................................................................................................. 4) E3 แทน เหตกุ ารณที่เหรียญขน้ึ หนาหวั เปนจำนวนครงั้ ไมเทากับขึ้นหนากอย E3 =.................................................................................................................................................. 5) E1 และ E2 เปนเหตุการณทไ่ี มเกิดรวมกนั หรือไม .................................................................................................................................................................. 6) E1 , E2 และ E3 เปนเหตุการณทีไ่ มเกิดรวมกัน หรือไม .................................................................................................................................................................. 3. โยนลูกเตา 3 ลูกใน 1 คร้ัง ผลลัพธทส่ี นใจ คือผลรวมแตมของลูกเตาทั้งสามลกู จงเขยี น 1) แซมเปลสเปช S และ n(S) S =..................................................................................................................................................... n(S) =............................... 2) E1 แทน เหตกุ ารณท่ผี ลรวมของแตมเปนจำนวนคี่ E1 =..................................................................................................................................................... 3) E2 แทน เหตกุ ารณทีผ่ ลรวมของแตมมากกวาหรอื เทากับ 10 E2 =..................................................................................................................................................... 4) 4.1) E1 ∪E2 =........................................................................................................................ 4.2) E1 ∩E2 =........................................................................................................................ 4.3) E1′ =........................................................................................................................ 4.4) E2′ =........................................................................................................................ 4.5) E1 - E2 =........................................................................................................................ 4.6) E2 - E1 =........................................................................................................................ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 4 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 4. โยนลูกเตา 2 ลกู สแี ดงและสีขาว โดยโยนเพียง 1 ครัง้ ผลลัพธท่สี นใจ คือ แตมของลกู เตาท้งั สองลูก 1) แซมเปลสเปช S และ n(S) S =.................................................................................................................................................. n(S) =............................... 2) E1 แทน เหตุการณที่ลูกเตาสีแดงขนึ้ แตมเปนจำนวนค่ี E1 =.................................................................................................................................................. 3) E2 แทน เหตกุ ารณท่ลี กู เตาสีขาวขน้ึ แตมเปนจำนวนเฉพาะ E2 =.................................................................................................................................................. 4) E3 แทน เหตุการณทล่ี กู เตาทัง้ สองลูกขึ้นแตมท่หี ารดวย 3 ลงตัว E3 =.................................................................................................................................................. 5) E1 ∪E2 =................................................................................................................................. E2 ∩E3 =................................................................................................................................. E3 - E1 =................................................................................................................................. E1 ∪E2 ∪E3 =................................................................................................................................. 5. ในกลองใบหน่ึงมลี กู บอลทั้งหมด 6 ลกู ท่ีมีลักษณะเหมอื นกันทุกลกู ซึง่ แยกตามสี ดังนี้ สแี ดง 3 ลูก สีขาว 2 ลกู และสีน้ำเงนิ 1 ลกู สมุ หยิบลกู บอลออกมา 2 ลูก ผลลพั ธทีส่ นใจคอื สีของลูกบอลท้ังสองลูก ท่หี ยบิ มาได จงเขยี น 1) แซมเปลสเปช S และ n(S) S =.................................................................................................................................................. n(S) =............................... 2) E1 แทน เหตุการณทล่ี ูกบอลสีแดงทงั้ สองลูก E1 =.................................................................................................................................................. แทน เหตุการณทลี่ ูกบอลสเี หมือนกัน 3) E2 =.................................................................................................................................................. E2 แทน เหตุการณที่ลกู บอลสตี างกนั =.................................................................................................................................................. 4) E3 แทน เหตกุ ารณท่ีลกู บอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก E3 =................................................................................................................................................ 5) E4 E4 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 5 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 6) (E1 ∩E2 ) ∪E3 =.................................................................................................................... 7) ((E2 - E1) ∪E4 )′ =.................................................................................................................... ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ บทนยิ าม ความนาจะเปนของเหตุการณ หมายถงึ ตัวเลขท่ีบอกใหทราบวาเหตกุ ารณน้นั ๆ มีโอกาสเกิดขนึ้ ไดมากนอย เพียงใด ถา S แทน แซมเปลสเปช โดยที่สมาชิกแตละตัวใน S มโี อกาสเกดิ ขึ้นไดเทาๆ กนั E แทน เหตุการณใดๆ และ P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตุการณ E แลว P(E) = n(E) n(S) หมายเหตุ n(E) คอื จำนวนสมาชกิ ในเหตกุ ารณ E n(S) คอื จำนวนสมาชกิ ในแซมเปลสเปช S ตัวอยางท่ี 3 ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครง้ั จงหาความนาจะเปนที่ลูกเตาหงายแตมเปน 4 วิธีทำ S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 E = {4} n(E) = 1 จากสูตร P(E) = n(E) n(S) แทนคา P(E) = 1 6 ดงั นัน้ ความนาจะเปนทลี่ กู เตาหงายแตมเปน 4 คือ 1 6 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 6 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน แบบฝกหัดท่ี 2 เร่ือง ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ 1. โยนเหรียญ 6 เหรยี ญ ใน 1 ครงั้ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี 1) เหรยี ญทั้ง 6 เหรยี ญ ขึน้ หนาเหมอื นกนั n(S) = ............................. n(E) = ............................. P(E) = ........................... = ............................ 2) เหรยี ญขน้ึ หัว 3 เหรียญ และขึ้นกอย 3 เหรยี ญ n(S) = ............................. n(E) = ............................. P(E) = ........................... = ............................ 3) เหรยี ญขนึ้ กอยมากกวาขึน้ หัว n(S) = ............................. n(E) = ............................. P(E) = ........................... = ............................ 2. สุมหยิบลูกบอล 2 ลกู พรอมกนั จากกลองใบหนึ่ง ซ่ึงมีลูกบอลสแี ดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสนี ำ้ เงนิ 4 ลูก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี 1) ลูกบอลสแี ดงทั้งสองลกู n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ลูกบอลไมใชสีแดงทัง้ สองลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ลกู บอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 4) ลกู บอลสีแดงหรอื สีน้ำเงินเทานน้ั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3. กลองใบหน่ึงมีลกู บอลสขี าว 4 ลูก และสดี ำ 2 ลกู กลองอีกใบหน่ึงมีลกู บอลสีขาว 3 ลกู และสดี ำ 5 ลูก ถาสมุ หยิบลกู บอลจากกลองๆ ละ 1 ลกู จงหาความนาจะเปน 1) ลูกบอลสขี าวทั้งสองลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ลกู บอลสีดำทัง้ สองลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ลูกบอลสีตางกัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 7 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 4. จากการโยนลกู เตา 2 ลกู 1 ครงั้ จงหาความนาจะเปนที่ 1) ผลรวมของแตมมากกวาหรอื เทากบั 10 n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ผลรวมของแตมเปนจำนวนคู n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ลูกเตาข้ึนแตม 1 อยางนอยหนง่ึ ลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 5. ถาโยนลกู เตาท่ีมีสีตางกัน 3 ลูก ใน 1 ครัง้ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี 1) ลกู เตาทั้ง 3 ลูก ขึน้ แตมเหมอื นกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ลกู เตาทั้ง 3 ลกู ขึน้ แตมตางกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ผลรวมแตมของลกู เตาทัง้ 3 ลูก เทากับ 10 n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 6. ครูคนหนึ่งทำสลาก 20 ใบ ในจำนวนนม้ี ีสลากทีไ่ ดรบั รางวัล 2 ใบเทานน้ั ถาครูคนน้ใี หเด็กคนหนึง่ ออกมา สุมหยิบสลาก 2 ใบ พรอมกัน จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ 1) เด็กคนน้ีถกู รางวัลทง้ั 2 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) เดก็ คนน้ีไมถูกรางวลั เลย n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 6.3 เด็กคนน้ถี ูกรางวัลเพียง 1 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 7. มคี นกลุมหน่ึงจำนวน 8 คน ในจำนวนนม้ี นี าย ก , นาย ข และนาย ค รวมอยูดวย ถาสมุ เลือกคนเหลาน้ี ออกมา 4 คน จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ 1) ไดท้ังนาย ก , นาย ข และนาย ค n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ไดนาย ก แตไมไดนาย ข n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ไดนาย ก , นาย ข และนาย ค เพยี ง 3 คน เทานน้ั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 8 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 8. สมุ หยบิ ไพ 3 ใบ ออกจากไพสำรับหน่งึ ซง่ึ มี 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปน้ี 1) ไดไพหมายเลขเดยี วกนั ทัง้ สามใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ไดไพชุดเดยี วกันทง้ั 3 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ไพทงั้ สามมาจากชุดตางๆ กนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 9. กลองใบหนึ่งมีลูกแกวขนาดที่แตกตางกนั 13 ลูก เปนสีแดง 6 ลูก สขี าว 4 ลกู นอกน้ันเปนสีเหลอื ง ถาสุมหยิบลกู แกวออกมา 3 ลูก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ 1) ไดลกู แกวสตี างกันท้ัง 3 ลูก n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ไดลูกแกวสตี างกนั 2 สี n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... แบบฝกหัดที่ 3 เร่ือง ความนาจะเปนโดยใชความรเู รือ่ งการเรียงสับเปลีย่ น 1. ในการจดั นกั เรียน 6 นงั่ ประชุมรอบโตะกลม จงหาความนาจะเปนที่นกั เรียน 2 คน คือ นายเอ และนายบี ตองยนื ตดิ กันเสมอ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2. ในการเขาแถวตรงของคน 7 คน ในจำนวนนี้มีนายเอ และนายบีรวมอยดู วย จงหาความนาจะเปนที่ 1) นายเอยนื ติดกบั นายบี n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) นายเอยนื แยกกับนายบี n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3. ในการจดั ชาย 4 คน หญงิ 4 คน มานงั่ เกาอ้ีเปนแถวตรง จงหาความนาจะเปนท่ีชายหญิงตองนัง่ สลบั เพศกัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 4. สามีภรรยา 3 คู นั่งรอบโตะกลม จงหาความนาจะเปนท่สี ามภี รรยาแตละคูตองนงั่ ติดกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 9 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 5. ในการจดั ตวั อักษรในคำวา infinite จงหาความนาจะเปนท่ีสระอยตู ดิ กนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 6. ในการจดั ตัวอักษรจากคำวา second จงหาความนาจะเปนทส่ี ระตองอยแู ยกกัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 7. ในการจัดตวั อักษรจากคำวา wooton จงหาความนาจะเปนทส่ี ระและพยญํ ชนะตองอยูสลบั กัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 8. กำหนดตัวเลข 0,1,2,3,4,5 จงหาความนาจะเปนในการสรางเลข 3 หลัก โดยไมซ้ำกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 9. มนี กหงสหยกตวั ผู 1 ตัว ตวั เมยี 5 ตวั มกี รงสำหรบั ใสนก 4 กรง จงหาความนาจะเปนทจ่ี ะนำนกใสกรงโดย นกตัวผูอยูกรงหนึง่ เพยี งตัวเดียวเทาน้นั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 10. สลบั ตัวอักษรในคำวา together อยางสุมๆ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณท่ี e 2 ตัวอยตู ิดกนั และ ตัว t 2 ตัวอยูตดิ กัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 11. ชาย 3 คน เดินเขาไปในรานอาหารแหงหนงึ่ ทม่ี ีเกาอ้วี าง 6 ที่ ซ่งึ เรยี งเปนแนวเสนตรง ถาชายแตละคน เลือกที่นง่ั อยางสมุ จงหาความนาจะเปนที่ชายทงั้ 3 คน นงั่ ติดกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 12. มคี น 8 คน ในท่ีน้ีมีชอื่ เอ, บ,ี ซี รวมอยดู วย นำคนทัง้ หมดมานั่งรอบโตะกลม จงหาความนาจะเปนท่ี เอนง่ั ตดิ กบั บี n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 13. พอ แม และลูกอกี 5 คน นงั่ รบั ประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาความนาจะเปนทีล่ ูกคนเลก็ ตองน่งั ระหวางพอ แมเสมอ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 14. มหี นงั สือคณิตศาสตร 1 เลม ภาษาไทยเหมือนกนั 2 เลม หนังสอื เคมีเหมือนกัน 3 เลม หนงั สอื ฟสิกส เหมอื นกนั 4 เลม นำมาเรียงเปนวงกลม จงหาความนาจะเปนท่หี นังสือชนิดเดยี วกันอยูติดกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 15. จากตวั เลข 1,2,3,4 นำมาสรางเปนเลข 3 หลัก โดยแตละหลักซำ้ กันได จงหาความนาจะเปนท่จี ะได จำนวนเลขทม่ี ากกวา 300 n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 10 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 16. มีรถยนตยี่หอนิสสัน 3 คน โตโยตา 2 คน และเปอรโยอกี 1 คนั นำมาจอดเรียงกันอยางสมุ เปนแถวหนา กระดาน จงหาความนาจะเปนทดี่ านซายสดุ และดานขวาสุดเปนรถยหี่ อโตโยตา n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 17. มีตวั อกั ษร “ส” 4 ตัว “ก” 3 ตัว นำมาเรยี งเปนแนวเสนตรง จงหาความนาจะเปนที่ได “ก” ทัง้ 3 ตัว อยูติดกนั เสมอ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 18. จากตัวเลข 0,1,1,2,2,2 มาจดั เรยี งเปนเลข 6 หลกั จงหาความนาจะเปนในการสรางจำนวนท่มี คี ามากกวา 200,000 n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... แบบฝกหดั ที่ 4 เร่ือง ความนาจะเปนโดยใชความรเู ร่ืองการจดั หมู 1. กลองใบหน่ึงบรรจุปากกา 1 โหล เปนปากกาสีแดง 3 ดาม สีเขียว 4 ดาม และสีดำ 5 ดาม จงหา ความนาจะเปนที่สุมหยิบมา 3 ดามไดครบทุกสี n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2. ในการจำหนายสลากชงิ รางวัล 15 ใบ ซึง่ มเี พยี ง 2 รางวัล คอื รางวลั ที่ 1 กบั รางวลั ที่ 2 ถานายดำซื้อสลาก มา 5 ใบ จงหาความนาจะเปนที่นายดำจะถกู รางวัล n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3. ครูคนหนงึ่ ทำสลาก 20 ใบ ในจำนวนนี้มสี ลากทไี่ ดรับรางวัล 2 ใบเทานนั้ ถาครูคนนใ้ี หเด็กคนหนงึ่ หยิบ สลากออกมาอยางสุมจำนวน 2 ใบ พรอมกนั จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ 1) เด็กคนน้ีถกู รางวลั ท้ัง 2 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) เด็กคนนี้ไมถกู รางวัลท้งั 2 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) เดก็ คนนี้ถูกรางวัลเพียง 1 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 4. ถงุ ใบหนึง่ มลี ูกอมสีแดง 3 เมด็ สเี ขียว 2 เมด็ และสสี ม 1 เม็ด สุมหยบิ ลูกอมออกมา 2 เม็ด จงหา ความนาจะเปนที่หยิบแลวไมไดลูกอมสแี ดงพรอมกนั ทั้งสองเม็ด n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 11 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 5. มีคนกลมุ หนึง่ จำนวน 8 คน ในจำนวนนี้มี ก, ข และ ค รวมอยูดวย ถาสมุ คนจำนวนนีม้ า 4 คน จงหา ความนาจะเปนของเหตกุ ารณตอไปนี้ 1) ไดทั้ง ก, ข และ ค n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) เอา ก แตไมเอา ค n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ได ก, ข และ ค เพยี ง 2 คน เทานัน้ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 6. กลองใบหน่ึงบรรจุถงุ เทาสดี ำ 5 คู และสีนำ้ ตาล 3 คู ใสปนเปกัน ใหชายคนหนึง่ หยบิ ถุงเทา 2 คอู ยางสมุ จากกลองใบน้ี จงหาความนาจะเปนทจี่ ะหยิบไดถงุ เทาสเี ดียวกัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 7. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผเู ขาประชุม 10 คน เปนหญิง 4 คน ตองการเลือกกรรมการมา 4 คน จงหา ความนาจะเปน 1) กรรมการตองเปนหญงิ และชายจำนวนเทากัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) กรรมการตองเปนผชู ายอยางนอย 3 คน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 8. ถงุ 2 ใบ มีลกู ปดถุงละ 5 เม็ด ถุงใบท่ี 1 มีลูกปดสีแดง 3 เม็ด สขี าว 1 เมด็ สดี ำ 1 เม็ด ถุงใบทส่ี องมี ลูกปดสีแดง 2 เมด็ สขี าว 3 เมด็ ถาหยิบลกู ปดออกจากถงุ 2 เม็ด ถงุ ละ 1 เม็ด จงหาความนาจะเปนทหี่ ยิบ ไดสีเดียวกนั ทัง้ 2 เมด็ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 9. มสี ามีภรรยา 6 คู ถาเลือกคนเหลานอ้ี อกมาเปนกรรมการจำนวน 4 คน จงหาความนาจะเปน 1) ทัง้ 4 คน ไมมีใครเปนสามีภรรยากันเลย n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) เปนชาย 2 คน หญงิ 2 คน และเปนสามภี รรยากัน 1 คู n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) เปนสามีภรรยากัน 2 คู n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 12 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 10. กลองใบที่ 1 มลี ูกหนิ สดี ำ 3 เมด็ สีขาว 3 เม็ด กลองใบที่ 2 มลี ูกหนิ สแี ดง 4 เม็ด สีเขียว 2 เม็ด สุมหยบิ ลกู หิน 1 ลูก ออกมาจากกลองใบที่ 1 ใสกลองใบที่ 2 หลงั จากน้นั สุมหยบิ ลูกหนิ ออกจากกลองใบที่ 2 ออกมา 1 ลกู จงหาความนาจะเปน 1) ลูกบอลท่ีหยิบออกจากกลองใบที่ 2 เปนสแี ดง n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ลูกบอลท่ีสุมหยิบออกจากกลองใบที่ 2 เปนสีขาว n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 11. ในการหยิบไพ 3 ใบ จากสำรับหนง่ึ 52 ใบ จงหาความนาจะเปน 1) ไดไพ 3 ใบไมซำ้ แตมกนั n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 2) ไดไพ 3 ใบไมซ้ำชดุ กัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 3) ไดไพสีเดียวกัน n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 4) ได K 1 ใบ A 1 ใบ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... 12. ขอสอบมี 5 ขอ แตละขอมีตัวเลอื ก 5 แบบ มีคำตอบถูกตอง 1 แบบ นายเอเลือกทำขอสอบ 5 ขอ โดยการเดาสมุ จงหาความนาจะเปนทีเ่ ขาเดาถกู 3 ขอ n(S) = ........................ n(E) = ........................ P(E) = ...................... = ....................... ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 13 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน กฎท่ีสำคญั บางประการของความนาจะเปน กฎที่จะกลาวตอไปนี้จะนำไปใชแกปญหาสำหรับโจทยความนาจะเปนที่มีเหตุการณ 2 เหตุการณ มากระทำกันทางเซต กลาวคือ เหตุการณ 2 เหตุการณ นั้นมายูเนียนกัน มาอินเตอรเซกชันกัน หรือถูก คอมพลีเมนต หรือนำมาลบกนั (ผลตาง) ซึ่งกฎดังกลาวจะเปนดังนี้ กฎของทฤษฎขี องความนาจะเปน ให A และ B เปนเหตุการณใดๆ ในแซมเปลสเปช S แลว กฎขอที่ 1 P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) กฎขอท่ี 2 P(A ∪B) = P(A) + P(B) เมือ่ A และ B คอื เหตกุ ารณที่ไมเกิดรวมกัน กฎขอที่ 3 P(A - B) = P(A) - P(A ∩B) กฎขอที่ 4 P(A) + P(A′) = 1 หมายเหตุ จากกฎขอ 4 เราอาจจะเขียนใหมไดดังน้ี P(A′) = 1 - P(A) P(A) = 1 - P(A′) สมบตั ิของเซตทีจ่ ะนำมาประยกุ ตใชกับกฎของความนาจะเปน ถา A และ B เปนเซตใดๆ แลว A - B = A ∩ B′ (A ∪B)′ = A′∩ B′ (A ∩B)′ = A′∪ B′ ตัวอยางท่ี 4 กำหนดให A และ B เปนเหตุการณในแซมเปลสเปช S ซงึ่ P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 , และ P(A - B) = 0.3 จงหาคาของ 1. P(A ∩B) 2. P(A ∪B) 3. P(A ∪B)′ 4. P(A′ - B′) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 14 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน วิธีทำ 1. จาก P(A - B) = 0.3 P(A) - P(A ∩B) = 0.3 P(A ∩B) = P(A) - 0.3 0.5 - 0.3 = 0.2 P(A ∩B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) 2. จาก P(A ∪B) = 0.5 + 0.3 - 0.2 0.6 = 1 - P(A ∪B) P(A ∪B) = 1 - 0.6 3. จาก P(A ∪B)′ = 0.4 P(A′) - P(A′∩B′) = 0.5 - 0.4 P(A ∪B)′ = 0.1 4. จาก P(A′ - B′) = = P(A′ - B′) = ตัวอยางที่ 5 จากการตรวจสุขภาพของนกั เรียนหองหนึง่ ซ่งึ มี 40 คน พบวา มนี ักเรยี นสายตาสน้ั 15 คน มนี กั เรยี นทเ่ี ปนโรคฟน 20 คน และมนี ักเรียนท่ีเปนทง้ั โรคฟนและสายตาสั้น 4 คน ถาครู คนหน่ึงสุมเลอื กนักเรยี นหองนม้ี า 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกั เรียนคนน้ีจะเปนโรคฟน หรอื สายตาสนั้ วิธีทำ ให S แทน แซมเปลสเปช E1 แทน เหตุการณท่ีนักเรียนคนนี้เปนโรคฟน E2 แทน เหตกุ ารณท่นี ักเรยี นคนนส้ี ายตาสั้น ∴ E1 ∩ E2 แทน เหตุการณท่ีนักเรยี นคนนส้ี ายตาสนั้ และเปนโรคฟน n(S) = 40 1 = 40 n(E1 ) = 20 = 20 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 15 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน n(E2 ) = 15 = 15 n(E1 ∩E2 ) = 1 =4 4 1 ดงั น้ัน = P(E1) + P(E2 ) - P(E1 ∩E2 ) P(E1 ∪E2 ) = 20 + 15 - 4 40 40 10 = 31 40 ตวั อยางที่ 6 ในการสำรวจการลงทะเบยี นวิชาคณิตศาสตร ฟสิกส และภาษาองั กฤษ ของนกั เรียนชั้นปท่ี 1 ของมหาวทิ ยาลยั แหงหน่งึ จำนวน 100 คน พบวา มีนักเรียนทีล่ งทะเบียนเรยี งทั้ง 3 วิชา จำนวน 26 คน มีผูเรยี นคณติ ศาสตรและฟสิกสจำนวน 39 คน มผี ูเรยี นฟสิกสและ ภาษาอังกฤษแตไมเรียนคณติ ศาสตรจำนวน 15 คน มผี เู รียน 2 วิชา จาก 3 วิชา จำนวน 45 คน มผี ูเรียนภาษาอังกฤษจำนวน 60 คน มผี ูเรยี นฟสกิ สจำนวน 59 คน และมีผเู รียน เพียงวิชาเดยี ว 10 คน ถาสุมเลือกนกั เรยี นจากกลุมน้ี 1 คน จงหาความนาจะเปนท่ีนักเรียน คนนี้จะเลือกเรียน 1) คณติ ศาสตรหรือฟสิกส 2) ฟสิกสหรอื ภาษาอังกฤษ 3) ภาษาองั กฤษหรือคณติ ศาสตร วิธที ำ สมมุติให S แทน แซมเปลสเปช M แทน เหตุการณท่นี ักเรยี นคนนี้เรียนวิชาคณิตศาสตร P แทน เหตกุ ารณที่นักเรยี นคนน้ีเรยี นวิชาฟสกิ ส E แทน เหตกุ ารณทน่ี ักเรยี นคนนี้เรยี นวิชาภาSษาอังกฤษ จากทกี่ ำหนดให เราสามารถเติมจำนวนคนในแตละเซตในแผนภาพไดดงั น้ี ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 16 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน P 13 M 5 3 26 15 17 2E 1) P(M∪P) = P(M) + P(P) - P(M∩P) = 59 + 59 - 39 = 79 100 100 100 100 2) P(P∪E) = P(P) + P(E) - P(P∩E) = 59 + 60 - 41 = 39 100 100 100 50 3) P(M∪E) = P(M) + P(E) - P(M∩P) = 59 + 60 - 43 = 19 100 100 100 25 แบบฝกหดั ท่ี 5 เรื่อง กฎท่สี ำคัญบางประการของความนาจะเปน 1. กำหนดให A และ B เปนเหตุการณในแซมเปลสเปช S ซึง่ P(A′) = 2 , P(A ∩B) = 1 , P(A ∪B) = 3 3 4 4 จงหาคาของ 1) P(A) 2) P(B) 3) P(A′∩B′) 4) P(A ∩B′) ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 17 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 2. กำหนดให A และ B เปนเหตุการณในแซมเปลสเปช S ซงึ่ P(A) = 1 , P(B′) = 1 , P(A ∪B) = 3 จงหา 2 4 4 1) P(A ∩B) 2) P(A′∩B′) 3) P(A′∪B′) 4) P(B ∩ A′) 3. หองเรยี นหองหน่ึงมนี ักเรียนชาย 10 คน และนักเรยี นหญงิ 20 คน ในจำนวนน้ี พบวาครงึ่ หนึง่ ของ นักเรยี นชาย และครึง่ หน่งึ ของนกั เรียนหญงิ สายตาสั้น ถาสุมเลอื กนักเรยี นออกมา 1 คน จงหา ความนาจะเปนของเหตกุ ารณตอไปนี้ 1) ไดนักเรียนชาย หรือนกั เรยี นทีส่ ายตาสนั้ 2) ไดนักเรียนหญิง หรอื นักเรียนที่สายตาไมสนั้ 4. มีนกั เรยี นจำนวน 120 คน ในจำนวนนี้พบวา มีนกั เรยี นทช่ี อบเรียนคณิตศาสตร 60 คน มนี ักเรียนทีช่ อบ เรยี นภาษาอังกฤษ 50 คน และมนี ักเรยี นทีช่ อบเรียนท้ังสองวชิ า 20 คน ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คน จงหา ความนาจะเปนที่นกั เรียนคนนีจ้ ะ 1) ชอบเรยี นอยางนอย 1 วชิ า 2) ไมชอบเรียนทั้งสองวิชา ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 18 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 5. ความนาจะเปนทส่ี มศักด์ิสอบผานวิชาคณิตศาสตรและวชิ าเคมเี ปน 2 และ 4 ตามลำดบั ถา 3 9 ความนาจะเปนทเ่ี ขาจะสอบผานทัง้ สองวิชาเปน 1 แลวจงหาความนาจะเปนท่ีเขาจะสอบไมผานทั้งสอง 4 วิชาน้ี 6. แมวเตรียมตวั เดนิ ทางไปทองเทย่ี วตางประเทศ ความนาจะเปนทีเ่ ธอจะไปเท่ยี วยโุ รปเทากับ 0.6 ความนาจะเปนที่เธอจะไปเท่ียวอเมริกาเทากบั 0.7 และความนาจะเปนที่เธอจะไปเที่ยวทัง้ ยโุ รปและ อเมรกิ าเทากับ 0.5 จงหาความนาจะเปนที่ 1) แมวจะไปเที่ยวยุโรปหรืออเมรกิ า 2) แมวไมไปเทย่ี วยโุ รปและไมไปเทย่ี วอเมริกา 7. ความนาจะเปนในการสอบผานวิชาวทิ ยาศาสตรของนักเรยี นคนหนง่ึ เทากับ 2 และสอบผานวิชาภาษาไทย 3 เทากับ 4 ถาความนาจะเปนของการสอบผานอยางนอย 1 วชิ าเทากับ 4 จงหา 9 5 1) ความนาจะเปนทน่ี ักเรยี นคนนี้ 2) ความนาจะเปนทน่ี ักเรยี นคนน้จี ะสอบผาน สอบผานทั้งสองวิชา อยางมาก 1 วชิ า ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 19 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน แบบฝกหดั ท่ี 6 เร่ือง กฎทส่ี ำคญั บางประการของความนาจะเปน 1. กำหนดเหตุการณ E1 และ E2 โดยให P(E1 ) = 1 , P(E2 ) = 5 , P(E1 ∩E2 ) = 5 จงหา 2 8 8 1) P(E1 ∪E2 ) 2) P(E1 ∪E2 )′ 3) P(E1 ∩E2 )′ 4) P(E1′ - E′2 ) 2. นักเรยี น ม.5 จำนวน 100 คน ชอบกฬี า 50 คน ชอบดนตรี 30 คน ชอบทง้ั ดนตรีและกฬี า 10 คน สุม นกั เรยี นออกมา 1 คน จงหาความนาจะเปน 1) ชอบดนตรีหรือกีฬา 2) ไมชอบกีฬาเลย 3) ชอบดนตรแี ตไมชอบกีฬา ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 20 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 3. นกั เรยี น ม.6/1 จำนวน 40 คน มี 8 คน ไมชอบกฬี าอะไรเลย มี 25 คน ชอบเลนฟุตบอล มี 20 คน ชอบเลนวอลเลยบอล สุมนกั เรยี นออกมา 1 คน จงหาความนาจะเปน 1) ชอบเลนกีฬาท้งั 2 ชนิด 2) เลนกฬี าเพียงชนิดเดยี ว 3) เลนกีฬาอยางนอย 1 อยาง 4. ความนาจะเปนทีฝ่ นจะตกวนั นีเ้ ทากับ 0.3 ความนาจะเปนที่นำ้ จะทวมเทากบั 0.8 ความนาจะเปนทจ่ี ะเกดิ เหตกุ ารณอยางนอย 1 อยาง เทากับ 0.9 จงหาความนาจะเปน 1) เกดิ เหตุการณอยางมาก 1 อยาง 2) เกดิ เหตุการณเพียง 1 อยาง ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 21 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 5. กำหนด A และ B เปนเหตกุ ารณใดๆ ซง่ึ P(A) = 1 , P(B) = 1 , P(A ∪B) = 2 แลว P(A ′ ∪ B) มีคา 2 2 3 เทาใด 6. ในการสอบวิชาภาษาองั กฤษและวชิ าเคมีของนายอดทน ความนาจะเปนทสี่ อบผานอยางมาก 1 รายวิชา เทากบั 0.9 ความนาจะเปนที่สอบผานอยางนอย 1 วิชา เทากับ 0.6 จงหาความนาจะเปน 1) สอบผานวิชาเคมแี ละภาษาองั กฤษ 2) สอบตกท้ัง 2 วิชา 3) สอบตกวิชาเดยี ว ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 22 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 7. ในการสำรวจความตองการในเรื่องใชเวลาวางของนักเรียนจำนวนหนง่ึ ปรากฏวาความนาจะเปนที่นักเรียน ชอบเลนเกมเทากับ 0.55 ความนาจะเปนที่ชอบเลนกีฬา 0.35 ความนาจะเปนที่ใชเวลาวางทำกิจกรรม อื่นๆ ท่ไี มใชทั้งสองอยางเทากบั 0.15 จงหาความนาจะเปน 1) ทำกจิ กรรมท้ังสองอยาง 2) ทำกจิ กรรมอยางนอย 1 อยาง 3) เลนเกมอยางเดียว 4) ทำกจิ กรรมอยางมาก 1 อยาง 8. นำนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนแหงหนึ่งมี 100 คน พบวามี นร.เรียนฟสิกส เคมี คณิต จำนวน 50, 40, 33 คน ตามลำดบั นร.เรียนทงั้ 3 วชิ ามี 5 คน เรยี นคณติ วิชาเดียว 10 คน เรียนเคมอี ยางเดียว 12 คน เลอื กเรียนทงั้ เคมแี ละคณิต 13 คน จงหาความนาจะเปน 1) เรยี น 2 วชิ า 2) ไมเรียนคณิต ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 23 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 9. หมูบานแหงหนึ่งมี 100 ครอบครัว มี 25 ครอบครัวไมเลี้ยงสัตวอะไรเลย ที่เหลือจะเลี้ยงสัตว 3 ชนิด คือ เปด ไก และหาน ปรากฏวา 40 ครอบครัวเลี้ยงไก, 37 ครอบครัวเลี้ยงเปด, 33 ครอบครัวเลี้ยงหาน, 16 ครอบครัวเลีย้ งเปดและไก, 12 ครอบครวั เลี้ยงไกและหาน, 11 ครอบครัวเลี้ยงเปดและหาน สุมมา 1 ครอบครัว จงหาความนาจะเปน 1) เลยี้ งสัตวทัง้ 3 ชนิด 2) เลีย้ งสตั วทงั้ 2 ชนิด ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 24 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน แบบฝกหดั ท่ี 7 เร่ือง การประยกุ ตความรูเรอื่ งความนาจะเปน 1. นาย ก และนางสาว ข พรอมดวยเพือ่ นผชู ายอีก 3 คน และเพ่ือนผหู ญงิ อีก 3 คน นง่ั รบั ประทานอาหาร รอบโตะกลม โดยที่ นาย ก และนางสาว ข น่ังตรงขามกัน และมเี พ่อื นผหู ญงิ 2 คน นัง่ ติดกนั กบั นางสาว ข จะมจี ำนวนวธิ จี ดั ท่นี ง่ั รอบโตะกลมดังกลาวไดเทากับขอใดตอไปน้ี 1) 30 วิธี 2) 72 วธิ ี 3) 96 วธิ ี 4) 120 วธิ ี 5) 144 วธิ ี 2. กลองใบหนึ่งบรรจลุ กู แกวสแี ดง 2 ลกู ลกู แกวสีขาว 3 ลกู และลกู แกวสเี ขียว 3 ลูก สุมหยิบลกู แกวออกมา จากกลอง 8 ครง้ั ครงั้ ละลูกโดยไมตองใสคนื ความนาจะเปนทสี่ มุ หยิบลกู แกว 8 คร้ัง โดยครง้ั ที่ 1 ได ลกู แกวสขี าวหรือหยบิ ครงั้ ท่ี 8 ไมไดลูกแกวสแี ดง เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 3 2) 5 3) 29 4 8 56 4) 7 5) 6 8 7 ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 25 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 3. ในการจดั นักเรียนชาย 4 คน และนกั เรยี นหญิง 4 คน มายืนเรียงเปนแถวตรงเพยี งหนง่ึ แถว ความนาจะ เปนทไี่ มมนี กั เรียนชายสองคนใดเลยยนื ตดิ กนั หรอื ไมมนี ักเรียนหญิงสองคนใดเลยยืนตดิ กนั มคี าตรงกบั ขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 1 3) 4 70 35 35 4) 1 5) 2 7 7 4. ตองการสรางจำนวนหาหลกั จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยทแี่ ตละหลกั มตี วั เลขซำ้ กันได และจำนวนหาหลัก ประกอบดวยตัวเลข 1 อยางนอย 1 หลัก ตวั เลข 2 อยางนอย 1 หลกั และตัวเลข 3 อยางมาก 2 หลกั จะมี จำนวนหาหลักดงั กลาวไดทั้งหมดกี่จำนวน ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 26 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลขนาดเดียวกนั 7 ลกู เปนลกู บอลสขี าว 4 ลกู และเปนลกู บอลสีแดง 3 ลกู สุมหยิบลูกบอลจากกลองใบน้ีมา 6 ลกู นำมาจดั เรยี งเปนแถวตรง พิจารณาขอความตอไปน้ี (ก) ความนาจะเปนที่การจดั เรียงแถวตรงของลกู บอล โดยหวั แถวเปนลกู บอลสขี าว หรอื ทายแถวเปน ลกู บอลสแี ดง เทากับ 2 7 (ข) ความนาจะเปนท่ีการจดั เรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหวั แถวเปนลกู บอลสีขาว มากกวา ความนาจะเปนทีท่ ายแถวเปนลกู บอลสแี ดง ขอใดตอไปนี้ 1) (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2) (ก) ถูก แต (ข) ผดิ 3) (ก) ผิด แต (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ 6. กำหนดให S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} จงหาจำนวนสบั เซต A ⊂ S ทั้งหมดที่ เซต A มีจำนวนสมาชกิ อยางนอย 2 ตัว และ a - b > 1 สำหรับทุกสมาชกิ a และ b ใน A ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 27 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 7. มกี ระเบ้ืองสเี หลี่ยมจัตุรัสสีแดง สขี าว และสเี ขียว เปนจำนวนอยางนอยสลี ะ 5 แผน (แตละสีเหมอื นกนั และ มขี นาดเทากันท้ังหมด) ตองการนำกระเบ้ือง 7 แผน มาจดั เรียงเปนแถวตรง โดยมีกระเบื้องแตละสีอยาง นอยหน่ึงแผน จะจัดเรียงกระเบอื้ งดังกลาวไดทัง้ หมดกว่ี ิธี 8. ให S = {1, 2, 3, ... , 15} และให A เปนสับเซตของ S โดยมจี ำนวนสมาชิกของเซต A เทากับ 4 ความนาจะเปนท่จี ะไดเซต A โดยท่สี มาชิกในเซต A จัดเรยี งเปนลำดบั เลขคณิต ซึง่ มีผลตางรวมเปน จำนวนเตม็ บวก เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 3 2) 4 435 435 3) 1 4) 2 91 91 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 28 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 9. นิยาม จำนวนสามหลักลด คอื จำนวน ABC โดยท่ี A, B, C ∈ {0, 1, ... , 9} และ A > B > C จำนวนวธิ สี รางจำนวนสามหลกั ลด ท่ีมคี ามากกวา 500 มีจำนวนทงั้ หมดเทากบั ขอใดตอไปน้ี 1) 119 2) 117 3) 114 4) 110 10. กำหนดให C = {1, 2, 3, 4, 5} ให S เปนเซตของคอู นั ดบั (A, B) ทง้ั หมด โดยที่จำนวนสมาชกิ ของเซต A ∩B เทากบั 2 เม่ือ A และ B เปนสบั เซตของ C จำนวนสมาชกิ ของเซต S เทากบั เทาใด ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 29 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 11. จากตวั เลข 1, 2, 3, …, 9 นำมาสรางจำนวนหาหลักใชเลขซำ้ ได ความนาจะเปนทจี่ ะไดจำนวนหาหลักโดย ทใ่ี นแตละหลกั เปนตวั เลขทแ่ี ตกตางกนั เพยี ง 3 จำนวนเทานั้น มคี าเทากบั ขอใดตอไปน้ี 12. มเี กาอสี้ ีขาวเหมือนกนั 3 ตัว และเกาอี้สีแดงเหมือนกัน 3 ตวั นำมาจัดเรยี งรอบโตะกลม จำนวนวิธเี รียง สับเปลี่ยนทแี่ ตกตางกนั ท้ังหมดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 วิธี 2) 6 วธิ ี 3) 10 วิธี 4) 20 วธิ ี ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 30 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 13. ตองการจดั เรยี งตวั อักษร P, P, P, A, A, A, T, T, T ทง้ั หมด (ไมคำนงึ ถงึ ความหมาย) โดยมีเงือ่ นไขวา ตัวอักษร P ทั้งสามตวั ตองอยูแยกกนั ทั้งหมดและตัวอักษร T ทั้งสามตัวตองอยูแยกกนั ท้งั หมด จะมีวธิ ีการ เรยี งตวั อกั ษรดังกลาวไดทั้งหมดกีว่ ธิ ี 14. ตองการเขียนจำนวนทีม่ ีหกหลกั ABCDEF โดยท่ี A, B, C, D, E, F ∈ {1, 2, ... , 9} A + B = 14 และ C - D > D - E > E - F > 0 จะสรางไดทง้ั หมดกจ่ี ำนวน ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 31 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 15. ในคนกลมุ หนง่ึ ประกอบดวยชาย 6 คน และหญิงจำนวนหนึ่ง ความนาจะเปนท่ีเลอื กกรรมการ 2 คน เปน ชายทั้งสองเทากบั 1 ความนาจะเปนทีจ่ ะเลอื กกรรมการ 5 คน เปนชายไมนอยกวา 3 คน เทากับขอใด 8 ตอไปนี้ 1) 171 2) 22 3) 175 4) 43 728 91 728 91 16. ตองการสรางจำนวนสามหลกั โดยท่ีมตี ัวเลข 5 อยางนอย 1 หลกั แตไมมีตวั เลข 7 ในหลกั ใดเลย มจี ำนวน วธิ สี รางจำนวนสามหลกั เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 128 2) 136 3) 153 4) 200 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 32 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 17. กำหนดให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ E ถา A และ B เปนเหตุการณใดๆ ในแซมเปลสเปช โดยท่ี P(A) = 1, P(B′) = 5 และ P(AB′∩) = ′ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ 2 8 4 (ก) P(A ′ ∪ B) = 5 (ก) P(A ∪B′) = 3 8 4 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2) (ก) ถูก แต (ข) ผดิ 3) (ก) ผดิ แต (ข) ถูก 4) (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ 18. ในการโยนลกู เตาสองลูกจำนวนหนึ่งครั้ง ความนาจะเปนทจ่ี ะไดผลคณู ของแตมบนลกู เตาทั้งสองหารดวย 4 ลงตัว เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 6 2) 11 3) 15 4) 27 36 36 36 36 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 33 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 19. ตองการนำเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 ทง้ั 6 ตัวมาจัดเรียงเปนจำนวนทมี่ ี 6 หลัก จะสรางจำนวนท่มี ี 6 หลัก ไดท้ังหมดก่ีจำนวน เม่ือ เลข 1 ท้ังสองตวั ไมติดกันและเลข 3 ทั้งสองตวั ไมตดิ กัน 20. จังหวดั แหงหนงึ่ มอี ำเภอ 6 อำเภอ แตละอำเภอสงผแู ทนอำเภอละ 2 คน เปนชาย 1 คน และเปนหญงิ 1 คน ถาตองการคดั เลือกกรรมการ 4 คน เปนชาย 2 และหญงิ 2 คน จากตวั แทนทงั้ 12 คน โดยใน บรรดากรรมการ 4 คน นี้จะตองเปนชายและหญงิ อยางนอย 1 คู มาจากอำเภอเดียวกัน จะมีวิธีการ คัดเลือกกว่ี ิธี ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 34 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 21. ในการทอดลกู เตาสองลกู พรอมกนั ความนาจะเปนท่ีหนาลูกเตาลกู หนง่ึ ข้ึนแตม a และหนาลกู เตาอกี ลกู ขน้ึ แตม b โดยที่ 1 + 1 = 1 เทากบั ขอใดตอไปนี้ a b 2 1) 1 2) 1 3) 1 4) 1 9 6 8 12 22. กำหนดให A = {1, 2, 3, ... , k} เมอื่ k เปนจำนวนเตม็ บวก และ ให B = {(a,b)∈A × A 0 < b - a ≤ 7} คาของ k เทากับเทาใดท่ีทำใหจำนวนสมาชิกของเซต B เทากบั 714 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 35 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 23. นกั เรียนกลุมหนง่ึ มี 16 คน ซง่ึ แตละคนเปนสมาชกิ ของชมรมวชิ าการ หรือชมรมกีฬา หรอื ชมรมดนตรี อยางนอย 1 ชมรม และพบวา มี 8 คน เปนสมาชิกของชมรมวิชาการ มี 10 คน เปนสมาชิกของชมรม กฬี า มี 10 คน เปนสมาชกิ ของชมรมดนตรี มี 6 คน เปนสมาชกิ ของชมรมดนตรีและชมรมกฬี า มี 5 คน เปนสมาชกิ ของชมรมวชิ าการและชมรมกีฬา และมี 3 คนเปนสมาชกิ ของชมรมวิชาการและชมรมดนตรี ตองการเลือกผแู ทน 1 คน ของแตละชมรมโดยท่ีแตละคนตองเปนสมาชิกเพียงชมรมเดียวเทานนั้ จำนวน วิธีเลือกดงั กลาวมที ั้งหมดเทากบั เทาใด 24. กำหนด A และ B เปนเหตกุ ารณใดๆ ในแซมเปลสเปช และกำหนดให P(E) แทน ความนาจะเปนของ เหตกุ ารณ E ถา P(B) = 0.30, P(A ∩B) = 0.06 และ P((AB)∪- (A ∩B)) = 0.38 แลวคาของ P(A - B) เทากบั เทาใด ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 36 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 25. กำหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สมุ หาสบั เซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตวั ความนาจะเปนทีจ่ ะได สับเซต {a, b, c}⊂ A โดยท่ี a < b < c และ a, b, c เปนลำดับเลขคณิต เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 2) 9 3) 6 4) 9 210 210 35 35 26. ให S เปนเซตของพหนุ าม f(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยที่ a, b, c, d เปนสมาชกิ ในเซต {0, 1, 2, ...} ซ่ึงมสี มบตั ิสอดคลองกบั 2a + b + c + d = 4 จำนวนสมาชกิ ของเซต S เทากับเทาใด ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 37 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 27. มีหนังสอื ที่แตกตางกนั 5 เลม คือ หนังสอื ก หนังสือ ข หนงั สือ ค หนังสอื ง และหนงั สือ จ สมุ เลือก หนงั สือเหลานม้ี าครัง้ ละ 3 เลม ความนาจะเปนทจี่ ะไดหนังสือ ก หรือ หนังสือ ข เทากับเทาใด 28. จงหาจำนวนวธิ ีทั้งหมดในการจดั ชาย 3 คน และหญงิ 3 คน ซงึ่ มนี าย ก และนาย ข รวมอยดู วย ใหยนื เปนแถวตรง 2 แถวๆ ละ 3 คน โดยทีน่ าย ก และนางสาว ข ไมไดยืนติดกันในแถวเดียวกนั ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 38 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 29. ในการจดั คน 12 คน (มี GAT และ PAT รวมอยูดวย) นัง่ รับประทานอาหารรอบโตะกลม จงหาความนาจะ เปนที่ GAT และ PAT ไมไดน่งั ตดิ กนั 1) 1 2) 2 3) 9 4) 10 11 11 11 11 30. กำหนดให A และ B เปนเหตกุ ารณในปริภูมิตวั อยาง ถา P(B - A) = 0.2, P(B) = 0.6 และ P(A′∪B) = 0.8 แลวจงหา P(A ∪B′) ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 39 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 31. สุมเลือกจำนวนตั้งแต 1 ถึง 15 มา 5 จำนวน จงหาจำนวนวิธีทจ่ี ะไดจำนวนซ่ึงมีผลรวมของท้ัง 5 จำนวน หารดวย 3 ลงตัว 32. โยนเหรยี ญบาท (เทยี่ งตรง) หนงึ่ เหรยี ญ จำนวน 10 ครั้ง ความนาจะเปนที่ไดหัวอยางนอย 2 ครงั้ ตดิ กัน เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 193 2) 314 3) 9 4) 55 512 512 64 64 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 40 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) ความนาจะเปน 33. มีถงุ ยงั ชีพ 5 ถงุ ตองการแจกใหครอบครัวท่ีถกู น้ำทวม 4 ครอบรวั ครอบครวั ละไมเกิน 2 ถุง ความนาจะเปนทค่ี รอบครัวของสมชายซึ่งเปนหน่งึ ในสีค่ รอบครวั น้ันไมไดรับของแจกเลยเทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.6 34. ถา S เปนผลบวกของจำนวนเต็มบวกท้งั หมดที่สรางมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรอื 4 โดยทีต่ ัวเลขในแตละ หลักไมซำ้ กนั แลวเศษเหลือจากการหาร S ดวย 9 เทากับเทาใด ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 41 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) ความนาจะเปน 35. มีเลขโดด 3, 4, 6 และ 7 นำมาจดั เรียงสรางจำนวน 4 หลกั โดยทแ่ี ตละหลักไมซำ้ กัน จะมจี ำนวน 4 หลกั ท้ังหมดกจ่ี ำนวนท่หี ารดวย 44 ไมลงตัว 36. ในการทอดลกู เตา 2 ลูกพรอมๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลบวกของหนาลกู เตาทง้ั สองเทากบั 7 หรอื ผลคูณ ของหนาลกู เตาทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 1 2) 1 3) 2 4) 4 86 9 9 ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 42 ครคู เณศ สมตระกลู