เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบือ้ งตน 3. ในการเลือกตงั้ ผแู ทนราษฎรของจังหวดั หน่ึง ซงึ่ มผี แู ทนได 3 คน มีพรรคการเมืองสงผสู มัครทง้ั หมด 5 พรรคๆ ละ 3 คน จะมวี ธิ เี ลือกผแู ทนทั้ง 3 คน ก่วี ิธี เมือ่ 1) ผูแทนทงั้ 3 คน มาจากพรรคเดียวกนั 2) ผูแทนท้ัง 3 คน มาจากตางพรรคกัน 3) ผแู ทน 2 คน มาจากพรรคเดียวกัน 4. คน 10 คน ตางแสดงความยินดดี วยการจบั มอื ซงึ่ กนั และกัน จะมีวธิ กี ารจับมือทั้งหมดกี่วิธี 5. ในการแขงขนั บาสเกตบอลครั้งหนึ่ง มที ีมบาสเกตบอลสมัครเขาแขงขัน 8 ทีม ซึ่งทุกทมี ตองการพบกัน ท้ังหมด คณะกรรมการจดั การแขงขันจะจัดการแขงขนั ไดทั้งหมดกี่วิธี 6. ขอสอบฉบับหน่งึ มี 2 ตอน ตอนที่หนงึ่ มี 15 ขอ ตอนที่ 2 มี 5 ขอ นกั เรยี นทำขอสอบทั้งหมด 10 ขอ โดย ท่ตี องเลือกทำตอนที่ 1 จำนวน 8 ขอ และเลือกทำตอนที่ 2 จำนวน 2 ขอ นกั เรียนจะทำขอสอบฉบบั นี้ได กว่ี ิธี ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 50 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบื้องตน 7. จำนวนวธิ ที ่ีจะเลอื กผูแทน 3 คน จากกลมุ คน 9 คน ซึง่ ประกอบดวยชาย 4 คน และหญิง 5 คน เขารวมใน คณะกรรมการชุดหนงึ่ โดยตองมีชายอยางนอย 1 คน จะมีวิธกี ารเลอื กท้ังหมดกว่ี ธิ ี 8. ในการเลือกกรรมการ 5 คน จากผสู มัคร 11 คน ซ่ึงมีอดุ มพรและเกศราภรณรวมอยดู วย จงหาจำนวนวธิ ี เลือกกรรมการ ซง่ึ อดุ มพรและเกศราภรณจะไดรับเลือกพรอมกนั ไมได 9. คนกลุมหน่งึ มี 8 คน ในจำนวน 8 คน นีม้ ี 2 คน เปนพ่นี องกัน ตองการเลอื กกรรมการ 4 คน จาก คนกลมุ นี้จะเลือกไดกี่วิธี ถา 1) ไมมีเง่ือนไขเพิ่มเติม 2) เลือกไดพ่นี อง 2 คน 3) เลอื กแลวไดพ่ีนองเพยี งคนเดียว 10. ถาตองการเลอื กผลไม 3 ชนิด จากผลไม 6 ชนิด คือ สม ชมพู มังคุด ละมดุ มะมวง และนอยหนา โดยมี ขอแมวา สำหรับมังคดุ กับละมดุ น้นั ถาเลอื กจะตองเลือกทั้งสองชนิด จะมวี ิธเี ลือกทัง้ หมดกี่วธิ ี ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 51 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบอ้ื งตน 10. สโมสรแหงหน่ึงมสี มาชิกหลายอาชพี ไดแก อาชพี ครู 7 คน อาชพี ประกอบธรุ กจิ สวนตวั 8 คน แพทย 5 คน พยาบาล 3 คน รับจาง 7 คน จะเลอื กคณะกรรมการสโมสรชดุ หนึง่ ซ่งึ ประกอบไปดวย สมาชกิ 5 คน ไดก่ีวธิ ีถา 1) ไมมเี ง่ือนไขเพมิ่ เติม 2) ตองการประกอบอาชีพธุรกิจสวนตวั 3 คน ครู 1 คน และแพทย 1 คน 3) ไมมีคนท่ีมีอาชีพประกอบธุรกิจสวนตัวเลย 13. ผูหญิงคนหนง่ึ มีเสื้อท่แี ตกตางกนั 8 ตวั และมีกระโปรงท่ีแตกตางกัน 6 ตวั ถาเธอตองการนำเสื้อ 5 ตวั และกระโปรง 3 ตวั ไปตางจังหวดั เธอจะมวี ิธกี ารเลือกเส้ือและกระโปรงท้ังหมดกี่วิธี 14. ลีลามีแสตมป 5 ดวง นารีมีแสตมป 7 ดวง ทั้ง 2 คน จะแลกแสตมปไดกีว่ ธิ ี ถา 1) แลกกนั 2 ดวง 2) แลกกนั 3 ดวง 3) แลกกัน 5 ดวง 4) แลกดวยจำนวนเทากนั ก่ีดวงก็ได ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 52 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน 15. นักเรยี นคนหน่ึงตองการเลอื กทำขอสอบ 8 ขอ จาก 15 ขอ จะทำไดกี่วธิ ีเมอ่ื 1) ไมมีเงือ่ นไขเพิ่มเติม 2) ตองทำขอ 1 หรือ ขอสดุ ทาย แตไมใชทำ ทง้ั สองขอ 3) ตองเลือกทำอยางนอย 4 ขอ จาก 5 ขอแรก 16. มีจุด 15 จดุ ซ่ึงไมมี 3 จดุ ใดอยบู นเสนตรงเดยี วกนั จะลากเสนตรงเชอื่ มจดุ เหลานี้ไดก่เี สน 17. จงหาจำนวนเสนทแยงมุมของรปู เหล่ยี มตอไปนี้ 2) หาเหลย่ี ม 1) สี่เหลี่ยม 3) หกเหลยี่ ม 4) แปดเหล่ียม 5) หาสิบเหลย่ี ม 6) รอยเหล่ยี ม ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 53 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบือ้ งตน 18. มเี สนตรงทขี่ นานกนั 2 ชดุ ชดุ หน่งึ มี 6 เสน ชุดทีส่ องมี 7 เสน ถาใหเสนตรงท่ีขนานกนั ท้ังสองชดุ ตัดกัน จะเกิดส่ีเหลีย่ มดานขนานทงั้ หมดก่รี ปู 19. จากรูปเสนทอ่ี ยูในแนวนอนอยูหางกัน 1 หนวย เสนที่อยใู นแนวตงั้ อยหู างกนั 1 หนวย จากการตดั กนั ของ เสนขนานทง้ั สองชุด จงหา 1) จำนวนของรูปส่ีเหลยี่ มมุมฉากท้ังหมด 2) จำนวนรปู สี่เหลีย่ มจัตุรัสทั้งหมด 20. ในกลองใบหนึ่งมีลูกบอล 12 ลูก ทกุ ลกู มลี ักษณะแตกตางกันทงั้ หมด เปนลกู บอลสแี ดง 5 ลูก สขี าว 4 ลกู และสีเหลอื ง 3 ลกู หยบิ ลูกบอลขึน้ มา 3 ลูก จากกลองจะหยิบไดกี่วธิ ีเม่อื กำหนดเง่ือนไขดังนี้ 1) หยบิ แลวไดลูกบอลสใี ดก็ได 2) หยิบแลวตองไดสีแดงทงั้ 3 ลูก 3) หยบิ ไดสแี ดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก 4) หยิบไดสีละ 1 ลูก 5) หยิบไมไดสีแดงเลย 6) หยบิ ไดสีเ่ ดียวกนั ท้งั 3 ลูก ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 54 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน 21. กลองใบหนง่ึ มลี กู บอล 9 ลูก ที่แตกตางกันท้ังหมดและเปนลูกบอลสีแดง 4 ลูก สขี าว 3 ลูก สีฟา 2 ลกู หยิบลกู บอลขึน้ มาอยางสุม 3 ลูก จะหยิบไดกีว่ ธิ ี ถา 1) ไดสแี ดงอยางนอย 2 ลกู 2) ไดสีขาวอยางนอย 1 ลูก 3) ไดสีฟาอยางมาก 2 ลูก 4) ไดสฟี า 1 ลูก และสแี ดงอยางนอย 1 ลกู 22. ในกลองใบหน่ึงมีลกู บอลสแี ดง 4 ลูก สขี าว 3 ลกู และสเี หลอื ง 2 ลูก หยิบลูกบอลขึ้นมา 2 ลูก โดยหยิบ ทลี ะหน่งึ ลกู จะหยบิ ไดกว่ี ธิ ี ถา 1) ลกู บอลทง้ั 2 ลกู เปนสใี ดก็ได 2) ลูกบอลท้ัง 2 ลกู เปนสใี ดกไ็ ด โดยหยบิ แลว โดยหยบิ แลวตองใสคนื กลอง ไมตองใสคนื กลอง 3) ลูกบอลทง้ั 2 ลูก เปนสีแดง 4) ไดลูกบอลสแี ดงและสีขาวอยางละ 1 ลูก โดยหยิบแลวตองใสคืนกลอง 5) ลกู บอลทั้ง 2 ลูก เปนสแี ดงโดยหยบิ แลวไมตองใสคนื กลอง 23. กลองใบหนึง่ มีลกู แกวขนาดตางกนั 10 ลูก เปนสีเหลือง 5 ลกู สีแดง 3 ลูก และสีน้ำเงนิ 2 ลกู จงหาจำนวนวธิ ีทจี่ ะหยบิ ลกู แกว 3 ลูก มีสตี างกันทงั้ หมด ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 55 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน 24. กลองใบหน่ึงมีลกู ปงปองสีขาว 4 ลูก สีเหลือง 5 ลกู และสีสม 6 ลกู โดยที่ลกู ปงปองแตละลูกมขี นาดไม เทากัน ถาหยิบลูกปงปองออกมาจากกลองโดยไมมอง 3 ลูก จงหาจำนวนวิธี 1) หยิบลูกปงปอง 3 ลูก จาก 15 ลูก 2) หยิบลกู ปงปองสลี ะ 1 ลูก 25. ไพสำรับหนงึ่ มี 52 ใบ หยบิ ไพขึน้ มา 4 ใบ จะหยบิ ไดกว่ี ิธี ถา 1) ไมมเี ง่ือนไขเพ่ิมเติม 2) เปนชุดเดยี วกันทั้ง 4 ใบ 3) ได K 2 ใบ และ J 2 ใบ 4) ได Q 2 ใบ และไพอนื่ ๆ อีก 2 ใบ 5) ได K อยางนอย 2 ใบ 6) ไดไพโพแดง 2 ใบ โพดำ 2 ใบ 26. หยิบไพ 5 ใบ จากไพสำรับหนง่ึ ซ่งึ มี 52 ใบ จะหยบิ ไดกี่วธิ ี ถา 1) หยิบไดแตม 9, 10, J, Q, K 2) หยบิ ไดโพดำ 2 ใบ โพแดง 2 ใบ และ ดอกจิก 1 ใบ 3) หยิบไดขาวหลามตัด 3 ใบ โพแดง 2 ใบ 4) ไดแตมสาม 4 ใบ 5) ไดคูสองและตองเจด็ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 56 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลกั การนบั เบ้ืองตน กฎขอที่ 14 กฎขอน้บี างครง้ั เรยี กวา “กฎการแบงกลุม” (Partitioning Law) จำนวนวธิ ีแบงคนหรือสิ่งของ n หนวยออกเปน k กลุมท่ีแตกตางกนั โดยใหกลุมที่ 1 มี n1 หนวย กลุมที่ 2 มี n2 หนวย กลุมที่ k มี nk หนวย และ n = n1 + n2 + n3 + ... + nk ซึ่งจะไดจำนวน n! วิธี n1! n2! ... nk! ตวั อยางท่ี 30 ในการฝกสะกดรอยของพลทหารกลุมหน่งึ ซงึ่ มี 10 คน ครูฝกตองการแบงเปนกลุมยอย กลมุ ละ 2 คน 3 คน และ 5 คน จะมวี ธิ ีแบงกลมุ ยอยกีว่ ิธี 1) ถาไมมีเงื่อนไข 2) ถาพลทหารบญุ มาซ่งึ เปน 1 ใน 10 คนนัน้ เคยเปนพรานปามากอน ครฝู กตองการใหอยู ในกลมุ 5 คน เพือ่ จะไดชวยฝกพรรคพวกในกลมุ วิธีทำ 1) แบงคน 10 คน ออกเปน 3 กลมุ ๆ ละ 2, 3 และ 5 ดังนน้ั จะมวี ิธีแบงกลุมได 10! เทากบั 2,520 วธิ ี 2! 3! 5! 2) แยกพลทหารบุญมาออกมา แลวแบง 9 คนที่เหลอื ออกเปน 3 กลมุ ๆ ละ 2, 3 และ 4 คน ดังนนั้ จะมีวิธีแบงกลมุ ได 9! เทากับ 1,260 วิธี 2! 3! 4! ตวั อยางท่ี 31 แบงคน 10 คน ออกเปน 2 กลุมเทาๆ กนั เพอ่ื เลนเกม 2 ชนดิ ไดก่วี ธิ ี วิธีทำ เนอ่ื งจากจำนวนคนในแตละกลมุ จะเทากัน คือ กลุมละ 5 คน แตในทีน่ ี้ถือวาลกั ษณะกลุม แตกตางกัน เพราะเลนเกม 2 ชนิดท่ตี างกัน ดงั นั้น จึงมวี ิธแี บงกลมุ ได 10! เทากับ 252 วธิ ี 5! 5! ตวั อยางที่ 32 จะแบงคน 9 คนเขาพกั ในหอง 3 หอง ซง่ึ แตละหองพักได 4 คน โดยแบงเปน 3 กลุมๆ ละ 2 คน 3 คน และ 4 คน ไดกวี่ ิธี วธิ ที ำ ข้นั ตอนที่ 1 แบงคน 9 คน ออกเปน 3 กลุมๆ ละ 2, 3, และ 4 คน ได 9! = 1,260 วธิ ี 2!3!4! ข้นั ตอนท่ี 2 จัดคน 3 กลมุ เขาหองพัก 3 หอง ซง่ึ กลมุ ใดจะเขาหองใดก็ได จัดได 3! = 6 วิธี ดังน้ัน จะมวี ิธี จดั คนท้งั หมดเขาหองพักได 1,260 x 6 = 7,560 วธิ ี ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 57 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน กฎขอที่ 15 กฎขอนบี้ างครั้งเรียกวา “กฎการแบงกลุม” (Partitioning Law) ในการแบงคนหรือส่งิ ของ n หนวย ออกเปน k กลุมทเี่ หมือนกัน โดยแตละกลุมมี m หนวย จะไดจำนวนวิธีแบงกลมุ เทากับ n! วธิ ี (m!)kk! ตวั อยางที่ 33 แบงคน 10 คน ออกเปน 2 กลุมเทาๆ กัน ไดกว่ี ธิ ี วิธที ำ เน่ืองจากลักษณะกลุม เพราะจำนวนคนในแตละกลมุ เทากัน และไมไดทำกิจกรรมที่ตางกัน ดงั นั้น ตองหารดวยแฟกทอเรียลของจำนวนกลุมท่ีเหมือนกัน น่ันคอื จะมวี ธิ แี บงกลมุ ได 10! 5!5!2! แบบฝกหัดที่ 8 กฎการแบงกลุม 1. พรรคการเมืองพรรคหน่งึ มีสมาชกิ 11 คน จะแบงเปน 2 กลุม กลุมละ 5 คน และกลุมละ 6 คน จะมี จำนวนวิธีจัดไดทั้งหมดก่ีวธิ ี 2. มีผลไมอยู 10 ผล เม่ือ 2) จะแบงใหเดก็ 2 คนๆ ละ 6 และ 4 ผล 1) จะแบงเปน 2 กองๆ ละ 6 ผล และ 4 ผล 3. แบงผลไม 10 ผล เมื่อ 2) จะแบงใหเด็ก 2 คนๆ ละ 5 ผล 1) จะแบงเปน 2 กองๆ ละ 5 ผล ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 58 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้ืองตน กฎขอท่ี 16 การสรางฟงกชัน ถาใหเซต A มสี มาชกิ m ตวั และเซต B มีสมาชกิ n ตัว จะไดวา 1) จำนวนฟงกชันจาก A ไป B ( f : A →B) ทัง้ หมดเทากับ nm ฟงกชัน 2) จำนวนฟงกชันหนึง่ ตอหน่ึงจาก A ไป B ( f : A 1-1→B) ท้งั หมดเทากับ Pn,m ฟงกชัน ∑onto n (-1)i n (n - i)m → i 3) จำนวนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B ( f : A B ) เทากับ i=0 ตวั อยางที่ 34 ถา A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3,} จงหาจำนวนฟงกชัน f : A → B วธิ ที ำ หาจำนวนฟงกชันจาก A ไป B ( f : A → B) จากสตู ร (n(B))n(A) ดงั น้ัน จำนวนฟงกชันจาก f : A → B คือ 36 เทากับ 729 ฟงกชนั ตวั อยางท่ี 35 กำหนด A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c, d} จงหาฟงกชันหนึ่งตอหนึง่ จาก A ไป B วิธีทำ หาจำนวนฟงกชันหนงึ่ ตอหนึง่ จาก A ไป B จากสตู ร Pn(B),n(A) ดังนนั้ จำนวนฟงกชนั หนึ่งตอหนง่ึ จาก A ไป B คอื P4,3 เทากับ 24 ฟงกชนั แบบฝกที่ 9 เรื่อง การสรางฟงกชัน 1. กำหนด A = {1, 2, 3} และ B = {a, b}แลว 1) จงหาจำนวนฟงกชนั จาก A ไป B 2) จงหาจำนวนฟงกชันจาก A ไปทัว่ ถงึ B 2. ให A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c, d} แลวจำนวนฟงกชัน f : A → Bเมอ่ื f ไมเปนฟงกชนั 1-1 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 59 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบ้ืองตน 3. กำหนด A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} แลว เซต { f f : A 1-1→B และมี x ∈ A ซ่ึง f(x) = x } มีจำนวนสมาชกิ เทากับเทาใด 4. กำหนด A = {1, 2, 3, 4} และ S = {f : A → A f(x) ≤ x+1, ∀x ∈ A} แลวจำนวนฟงกชัน ท้ังหมดทีเ่ ปนสมาชิกของ S เทากบั เทาใด ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 60 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบื้องตน ทฤษฎบี ททวินาม (Binomial Theorem) การกระจาย (x + y)n เมอื่ x, y เปนจำนวนจรงิ ใดๆ และ n เปนจำนวนเตม็ บวก พจิ ารณาการกระจายตอไปนี้ (x + y)1 = x+y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 +y3 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 พิจารณา (x + y)n = (x + y)(x + y) ... (x + y) n วงเลบ็ ในการกระจายเลอื ก x และ y อยางใดอยางหนึง่ ของแตละวงเล็บนำมาคูณกนั แลวนำผลคูณท่ไี ดมา บวกกัน เชน เลอื ก y จาก 2 วงเลบ็ และเลือก x จาก n - 2 วงเลบ็ ท่ีเหลือ จะไดพจน xn-2y2 ดงั นน้ั แตละ พจนของการกระจาย (x + y)n อยใู นรูป xn-ryr เมอื่ r∈{0,1,2,...,n} เน่ืองจาก xn-ryr ประกอบดวย x จำนวน n - r ตวั และ y จำนวน r ตัว ดงั นั้น พจน xn-r yr มีทง้ั หมด n! = n พจน (n -r)!r! r นัน่ คือ สัมประสทิ ธ์ิของ xn-ryr เทากบั n r การกระจาย (x + y)n สรปุ เปนทฤษฎีบทไดดังน้ี กฎขอที่ 17 ทฤษฎบี ททวินาม (Binomial Theorem) ถา x, y เปนจำนวนจรงิ และ n เปนจำนวนเต็มบวก คอื (x + y)n = n xn + n xn-1y + n xn-2y2 + ... + n xn-ryr + ... + n yn 0 1 2 r n ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 61 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน nnn n n จำนวน 0 , 1 , 2 , ... , r , ... , n ท่ีเปนสมั ประสิทธข์ิ องแตละพจนในการ กระจาย (x + y)n เรยี กวา สมั ประสิทธิท์ วินาม (Binomial Theorem) ตัวอยางที่ 36 จงกระจาย (x + y)5 โดยใชทฤษฎบี ททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ วิธีทำ (x + y)5 = 5 x5+ 5 x4y + 5 x3y2 + 5 x2y3 + 5 x y4 + 5 y5 0 1 2 3 4 5 (x + y)5 = x5 + 5! x4y + 5! x3y2 + 5! x2y3 + 5! x y4 + y5 (x + y)5 = 4!1! 3!2! 2!3! 1!4! (x + y)5 = 5×4! 5×4×3! 5×4×3! 5×4! x5+ 4!1! x 4 y + 3!2! x3 y 2 + 2!3! x2 y3 + 1!4! x y4 + y5 x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + y5 ตวั อยางท่ี 37 จงกระจาย (x - y)5 โดยใชทฤษฎบี ททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ วธิ ที ำ 5 x5+ 5 x4 (-y) + 5 x3 (-y)2 + 5 x2 (-y)3 + 5 x(-y)4 + 5 (-y)5 0 1 2 3 4 5 (x - y)5 = x5 - 5! x 4 y + 5! x3 y2 - 5! x2y3 + 5! x y4 - y5 (x - y)5 = 4!1! 3!2! 2!3! 1!4! (x - y)5 = x5 - 5×4! x4y + 5×4×3! x3y2 - 5×4×3! x2y3 + 5×4! x y4 - y5 (x - y)5 = 4!1! 3!2! 2!3! 1!4! x5 - 5x4y + 10x3y2 - 10x2y3 + 5x y4 - y5 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 62 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) หลกั การนบั เบือ้ งตน ตัวอยางท่ี 38 จงกระจาย (2a - 3b)4 โดยใชทฤษฎีบททวินามและทำใหเปนผลสำเร็จ วิธีทำ (2a - 3b)4 = (2a + (-3b))4 (2a - 3b)4 = 4 (2a)4 + 4 (2a)3 (-3b) + 4 (2a)2 (-3b)2 + 4 (2a)(-3b)3 + 4 (-3b)4 0 1 2 3 4 (2a - 3b)4 = 24a4 + 4! (23a3 )(-3b) + 4! (22a2 )(-3)2b2 + 4! (2a)(-3)3b3 + (-3)4b4 3!1! 2!2! 1!3! 4×3! 4×3×2! 4×3! (2a - 3b)4 = 16a4 + 3! (-24a3b) + 2!×2×1 (36a2b2 )+ 3! (-54ab3 ) + 81b4 (2a - 3b)4 = 16a4 - 96a3b + 216a2b2 - 216ab3 + 81b4 ตัวอยางที่ 39 จงกระจาย ( 2 - x2 )4 โดยใชทฤษฎีบททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ x วธิ ที ำ (2 - x2)4 = ( 2 + (- x2 ))4 x x ( 2 - x2 )4 = ( 2 )4+ 4 ( 2 )3 (-x2 ) + 4 ( 2 )2 (-x2 )2 + 4 ( 2 )(-x2 )3 + (-x2 )4 x x 1 x 2 x 3 x ( 2 - x2 )4 = 2 4 4! ( 23 )(x2 ) + 4! ( 22 )(x4 ) - 4! ( 2 )(x6 ) + (x8 ) x x4 3!1! x3 2!2! x2 1!3! x - (2 - x2)4 = 16 - 4×3! ( 8 ) + 4×3×2! (4x2 ) - 4×3! (2x5 ) + x8 x x4 3! x 2×1×2! 3! ( 2 - x2 )4 = 16 - 32 + 24x2 - 8x5 + x8 x x4 x ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 63 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนบั เบ้อื งตน ในการกระจาย (x + y)n เม่อื n∈{0,1,2,...} สมั ประสิทธขิ์ องแตละพจนแสดงได ดังน้ี การกระจาย สัมประสทิ ธิ์ 0 (x + y)0 (x + y)1 0 (x + y)2 11 (x + y)3 01 222 012 3333 0123 ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ การเรยี งสัมประสิทธิข์ างตนเรียกวา รูปสามเหล่ียมปาสกาล (Pascal’s triangle) โดยการ คำนวณหาคาสมั ประสิทธท์ิ วินาม จะไดรปู สามเหลยี่ มปาสคาล ดงั นี้ การกระจาย สมั ประสทิ ธิ์ 1 (x + y)0 (x + y)1 11 (x + y)2 1 21 (x + y)3 13 31 (x + y)4 14 6 41 (x + y)5 1 5 10 10 5 1 (x + y)6 1 6 15 20 15 6 1 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 64 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบอ้ื งตน ดงั น้ัน การกระจาย (x + y)4 สามารถบอกสมั ประสิทธข์ิ องพจนตางๆ ได โดยดจู ากตวั ท่ี 5 ของรปู สามเหล่ียมปาลกาล ซง่ึ จะไดวา (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 ขอสรปุ จากการกระจาย nn 1. จำนวนแรกและจำนวนสุดทายในแตละแถว คอื 1 เพราะวา 0 = n = 1 2. ในแตละแถว จำนวนแตละจำนวนยกเวนจำนวนแรกและจำนวนสุดทาย จะเทากับผลบวกของ จำนวนสองจำนวน ซง่ึ ปรากฏอยูทางซายและทางขวาของจำนวนน้นั และอยใู นแถวน้ัน เชน 211 322 1 = 0 + 1 และ 2 = 1 + 2 3. เมือ่ กระจาย (x + y)n จะได n + 1 พจน nnn n 4. สมั ประสทิ ธขิ์ องแตละพจนจะเริ่มจาก 0 , 1 , 2 ไปเรอื่ ยๆ จนถึง n 5. เลขช้กี ำลงั ของ x จะเริ่มจาก n แลวลดลงทีละ 1 จนถงึ 0 สวนกำลังของ y เร่มิ จาก 0 เพิม่ ข้ึน ทีละ 1 จนถึง n 6. ในพจนเดียวกนั ของการกระจาย เลขชก้ี ำลังของ x และ y รวมกันไดเทากับ n แบบฝกหัดที่ 10 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ททวนิ าม 1. จงกระจาย (x + y)6 โดยใชทฤษฎบี ททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 65 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบอื้ งตน 3. จงกระจาย (2x - y)5 โดยใชทฤษฎบี ททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ 4. จงกระจาย (3x + 2y)4 โดยใชทฤษฎบี ททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ 5. จงกระจาย (x2 + 1 )4 โดยใชทฤษฎีบททวนิ ามและทำใหเปนผลสำเร็จ x 6. จงกระจาย ( a + b)3 โดยใชทฤษฎีบททวินามและทำใหเปนผลสำเร็จ 2 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 66 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) หลักการนับเบ้อื งตน พจนท่ัวไปของการกระจาย (x + y)n เม่ือ n เปนจำนวนเต็มบวก (x + y)n = n xn + n xn-1y + n xn-2y2 + ... + n xn-ryr + ... + n yn 0 1 2 r n พิจารณาการกระจาย (x + y)n เมอื่ n เปนจำนวนเตม็ บวกตอไปน้ี จะเหน็ วา พจนท่ี 1 คือ n xny0 พจนท่ี 2 คอื 0 พจนท่ี 3 คือ n xn-1y 1 n x n-2 y 2 1 พจนท่ี r คือ n xn-(r-1) yr-1 r-1 พจนที่ r+1 คือ n xn-r yr r เรียกพจนที่ r + 1 วา พจนทั่วไปของการกระจาย (x + y)n เขยี นแทนดวย Tr+1 สรปุ เปนกฎได ดังน้ี กฎขอที่ 18 พจนทั่วไปของการกระจาย (x + y)n เม่อื n เปนจำนวนเตม็ บวก คือ Tr+1 = n xn-r yr r ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 67 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้อื งตน ตวั อยางที่ 40 จงหาพจนที่ 8 ของการกระจาย (2x + y)10 วิธีทำ จากสตู ร Tr+1 = n xn-r yr r พจนที่ 8 T7+1 = 10 (2x)10-7 y 7 7 T7+1 = 10! (2x)3 y7 3!7! T7+1 = T7+1 = 120(8x3 )y7 960x3y7 ตวั อยางท่ี 41 จงหาพจนที่ 8 ของการกระจาย (2x - 3y)8 วธิ ีทำ ถากระจาย (2x - 3y)8 จะได 9 พจน ดงั น้ันพจนกลาง คือ พจนท่ี 5 จากสูตร Tr+1 = n xn-r yr r พจนที่ 5 T4+1 = 10 (2x)8-4 (-3y)4 7 T7+1 = 8! (2x) 4 (-3)4 y 4 4!4! T7+1 = T7+1 = 70(16x4 )(81y4 ) 90,720x 4 y 4 ตวั อยางท่ี 42 จงหาพจนท่ีไมมี x จากการกระจาย (x - 1 )10 x วธิ ที ี่ 1 ใหพจนที่ไมมี x คอื พจนท่ี r + 1 จากสูตร Tr+1 = n xn-r yr r Tr+1 = 10 x10-r (- 1 )r r x Tr+1 = 10 x10-r (-x-1 )r r ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 68 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) หลักการนับเบือ้ งตน Tr+1 = 10 x10-r (-1)rx-r r Tr+1 = (-1)r 10 x10-2r r พจนท่ไี มมี x เปนพจนท่ี x0 เมอื่ ตองการเลขช้กี ำลงั ของ x เปน 0 น่นั คอื 10 - 2r = 0 จะได r = 5 ดังน้ัน พจนที่ไมมี x คอื พจนท่ี 5 + 1 พจนท่ี 5 + 1 T5+1 = (-1)5 10 x10-2(5) 5 = - 10! x0 5!5! = -252 วิธที ี่ 2 จากการกระจาย (x - 1 )10 x แลวตองการพจนที่ไมมี x น่ันคือ x0 ซึ่งไดจาก x5 (- 1 )5 x ดงั นั้น พจนที่ไมมี x คอื 10 x 5 (- 1 )5 = 10! (x5 ) (-1)5 5 x 5!5! x5 10 x5 (- 1 )5 = -252 x0 5 x 10 x 5 (- 1 )5 = -252 5 x ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 69 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลักการนับเบอื้ งตน แบบฝกหัดที่ 11 เรื่อง พจนทัว่ ไปของการกระจาย (x + y)n 1. จงหาพจนที่ 5 ของการกระจาย (x + 2y)10 2. จงหาพจนที่ 7 ของการกระจาย ( x - 2y)10 3 3. จงหาพจนกลางของการกระจาย (x2 - 3y)8 ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 70 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้อื งตน 4. จงหาพจนที่ไมมี x จากการกระจาย (x - 1 )6 x 5. จงหาพจนท่ีไมมี x จากการกระจาย (x2 + 1 )9 x 7. จงหาพจนทีม่ ีตวั แปร y6 จากการกระจาย (x2 - y)11 8. จงหาพจนท่ีมีตัวแปร x8 จากการกระจาย (x - 3 )12 x ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 71 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบอื้ งตน การหาสมั ประสิทธิ์ของพจนตางๆ ของการกระจาย (x + y)n เมอ่ื n เปนจำนวนเตม็ บวก ตวั อยางที่ 43 จงหาสมั ประสทิ ธ์ิของ x3y5 จากการกระจาย (2x + y)8 วธิ ที ำ พจนทมี่ ี x3y5 คอื 8 (2x) 3 y 5 5 = 8! (23 )x3 y 5 3!5! = 56(8x3 )y5 = 448x3y5 ดังนัน้ สัมประสิทธ์ขิ อง x3y5 คือ 448 ตวั อยางที่ 44 จงหาสัมประสิทธ์ขิ อง x14y9 จากการกระจาย (2x2 + 3y3 )10 วิธที ำ พจนที่มี x14y9 คือ 10 (2x2 )7 (3y3 )3 3 = 10! (27 )(x2 )7 (33 )(y3 )3 7!3! = (120)(128)(x14 )(27)(y9 ) = 414,720x14y9 ดงั นั้น สัมประสทิ ธิข์ อง x14y9 คือ 414,720 ตัวอยางท่ี 45 จงหาสัมประสิทธิข์ อง x2 จากการกระจาย (2x - 1 )11 วิธที ี่ 1 x2 พจนท่มี ี x2 จากการกระจาย (2x - 1 )11 คือ x2 11 (2x)8 (- 1 )3 = 11! (28 x 8 ) (-1)3 3 x2 8!3! (x2 )3 = (165)(256x8 ) (- 1 ) x6 = -42,240x2 ดังน้นั สัมประสิทธิ์ของ x2 คอื -42,240 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 72 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 4 (ค32202) หลักการนบั เบอ้ื งตน วธิ ที ่ี 2 ใหพจนทมี่ ี x2 เปนพจนท่ี r + 1 หรอื Tr+1 จากสูตร Tr+1 = n xn-r yr r = 11 (2x)11-r (- 1 )r r x2 = 11 (211-r )(x11-r )(-1)r (x-2r ) r = (211-r )(-1)r 11 (x11-r-2r ) r = (211-r )(-1)r 11 (x11-3r ) r ถาตองการพจนท่ีมี x2 จะไดวา 11 - 3r = 2 3r = 9 r =3 ฉะนน้ั Tr+1 = T3+1 = 11 (2x)8 (- 1 )3 3 x2 = -42,240x2 ดังนน้ั สมั ประสิทธ์ิของ x2 คอื -42,240 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 73 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบื้องตน แบบฝกหัดที่ 12 เรื่อง การหาสัมประสทิ ธ์ขิ องการกระจาย (x + y)n 1. จงหาสมั ประสิทธข์ิ อง x5y3 จากการกระจาย (x + 2y)8 2. จงหาสมั ประสทิ ธข์ิ อง x6y10 จากการกระจาย (x3 + 2y2 )7 3. จงหาสัมประสทิ ธ์ิของ x8y6 จากการกระจาย (3x2 + 2y3 )6 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 74 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 4 (ค32202) หลกั การนับเบ้อื งตน 4. จงหาสัมประสิทธขิ์ อง x4 จากการกระจาย (x - 1 )10 x 5. จงหาสัมประสทิ ธ์ขิ อง x9 จากการกระจาย (x3 - 1 )8 x2 6. จงหาสมั ประสิทธข์ิ อง y จากการกระจาย (y - 5 )7 y2 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 75 ครคู เณศ สมตระกูล