เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิตมิ มุ ขนาดสามเทา สตู รของฟงกชันตรีโกณมิติมุมขนาดสามเทา 1. sin3A = 3sinA - 4sin3A 2. cos3A = 4cos3A - 3cosA 3. tan3A = 3tanA - tan3A 4. cot3A = cot3A - 3cotA 1 - 3tan2A 3cot2A - 1 ฟงกชันตรโี กณมติ มิ มุ ขนาดครงึ่ เทา สตู รของฟงกชันตรโี กณมิติมุมขนาดคร่ึงเทา 1. sin A = ± 1 - cosA 2. cos A = ± 1 + cosA 2 2 2 2 3. tan A = ± 1 - cosA 4. tan A = 1 sinA 2 1 + cosA 2 + cosA ตวั อยางที่ 35 กำหนด tanA = 3 จงหา tan3A 4 ( ) ( )วิธีทำ 3 3 3 4 4 3tanA - tan3A 3 - = 117 16 - 117 1 - 3tan2A 64 (-11) 44 จาก tan3A = = 1-3 3 2( )4 × = ตวั อยางที่ 36 จงหาคาของ tan22.5o วิธที ำ เนอื่ งจาก 22.5 เปนคร่งึ หนึ่งของมมุ 45o จะได tan22.5o= tan 45o =± 1 - cosA =± 1- 2 = ±( 2 - 1) 2 1 + cosA 1+ 2 2 2 เน่ืองจากมมุ 22.5o เปนมุมในจตภุ าคท่ี 1 จะมีคา tan เปนบวก นน่ั คอื tan22.5o= 2 - 1 ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 50 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ แบบฝกหดั ที่ 8 เรือ่ ง ฟงกชันตรีโกณมติ มิ มุ ขนาดสองเทา มมุ ขนาดสามเทา และมุมขนาดครึง่ เทา 1. กำหนดให 3π <A < 2π และ cosA = 3 จงหาคาของ 2 5 1) sinA 2) sin2A 3) cos2A 4) sin4A 2. จงใชสตู รมมุ สองเทา เพ่ือหาคาในแตละขอตอไปน้ี 2) cos22.5osin22.5o 1) 2sin15ocos15o 3) sin15osin75o 4) sin1osin88osin89o sin4o ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 51 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 5) (sin15o - cos15o)2 6) cosec10o - 3sec10o 7) cos22.5o - sin22.5o 8) 2sin18ocos36o sin22.5o cos22.5o 3. กำหนดให tanA = 2 จงใชสูตรมมุ สองเทา เพื่อหาคาของ 1) sin2A 2) cos2A 3) tan2A 4) cot2A ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 52 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 4. กำหนดให π < A <π และ sinA = 3 จงใชสูตรมมุ สามเทา เพอ่ื หาคาของ 5 2 1) sin3A 2) cos3A 3) tan3A 4) cot3A 5. จงใชสตู รมมุ ครึง่ เทา เพ่ือหาคาของ sin15o 6. กำหนดให sinθcosθ = 1 จงหาคาของ cos2 2θ 8 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 53 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ 7. จงหาคาของ (sinθ + cosθ)2 8. จงหาคาของ sin1osin2osin3o… sin89o 9. จงหาคาของ sin4θ - cos4θ 10. ให θ เปนจำนวนจริงใดๆ ถา a และ b เปนคามากสุดของ cos4θ - sin4θ และ 3sinθ + 4cosθ ตามลำดบั แลว a + b เทากบั เทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/29] ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 54 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 11. คาของ sin30o - cos30o เทากบั เทาใด [PAT 1 (ก.ค.52)/11] sin10o cos10o 12. ถา cosθ - sinθ = 5 แลวคาของ sin2θ เทากบั เทาใด [PAT (ม.ี ค.52)/11] 3 ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 55 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 13. ถา sin15o และ cos15o เปนคำตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลว คาของ a4 - b เทากับเทาใด [PAT 1 (ก.ค.53)/13] 14. (3 - 4sin29o) (3 - 4sin227o) (3 - 4sin281o) (3 - 4sin2243o) มีคาเทากับเทาใด [PAT 1 (ต.ค.58)/4] ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 56 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 15. ถา 2cot θ = (1 + cotθ)2 และ 0<θ < π แลวคาของ (1 + sinθ)sec2θ เทากบั เทาใด cos2θ 2 2 [PAT 1 (ต.ค.58)/5] 16. ถา acos5θ + bcos3θ + ccosθ เมือ่ θ เปนจำนวนจรงิ ใดๆ แลวคาของ a2 + b2 + c2 เทากบั เทาใด [PAT 1 (เม.ย.57)/33] ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 57 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 17. ถา sin4x + cos4x = 1 สำหรับบาง x > 0 แลวคาของ sin2 (2x) + cos2 (2x) เทากบั เทาใด 5 7 12 57 [PAT 1 (พ.ย.57)/29] 18. กำหนดให x เปนจำนวนจรงิ ถา sinx + cosx = a และ sinx + cosx = a และ sinx - cosx = b แลวคาของ sin4x เทากับเทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.53)/7] 19. กำหนดให (sin1o )(sin3o )(sin5o )...(sin89o ) = 1 คาของ 4n เทากบั เทาใด 2n [PAT 1 (ต.ค.53)/32] ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 58 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมติ ิ การหาตวั ผกผนั ของฟงกชนั ทำไดโดยการสลบั ทร่ี ะหวางสมาชกิ ตัวหนาและสมาชิกตัวหลงั ของแตละ คูอนั ดบั ทีเ่ ปนสมาชิกของฟงกชนั โดยฟงกชนั 1 - 1 เทาน้ันทม่ี ตี ัวผกผันเปนฟงกชนั เนื่องจากฟงกชันตรีโกณมิติไมเปนฟงกชัน 1 - 1 ดังนั้น ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติจึงไมเปน ฟงกชัน เชน ฟงกชันไซนมีคูอันดับ (0, 0), ( π , 0) และ ( 2π , 0) เปนสมาชิก ดังนั้น คูอันดับ (0, 0), (0, π ) และ ( 2π , 0) จึงเปนสมาชิกของตัวผกผันของฟงกชนั ไซน ซึ่งจะพบวาตัวผกผันของฟงกชนั ไซนไมเปนฟงกชัน แตถากำหนดโดเมนของฟงกชนั ตรโี กณมติ ใิ หเหมาะสม จะพบวาตัวผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมติ จิ ะเปนฟงกชัน { }กำหนด f = (x, y)∈ π บทนยิ าม 4 × y = sinx , - π ≤x ≤ 2 2 { }เรียกฟงกชนั ผกผนั f-1= (x, y)∈ × x = siny , - π ≤y ≤ π วา arcsine 2 2 เขยี นฟงกชนั ผกผัน arcsine แทนดวย arcsin หรอื sin-1 โดยท่ี y = arcsinx หรอื y = sin-1x ก็ตอเม่ือ x = siny บทนิยาม 5 กำหนด f = {(x, y)∈ × y = cosx, 0 ≤ x ≤ π} เรียกฟงกชันผกผนั f -1= {(x, y)∈ × x = cosy, 0 ≤ y ≤ π} วา arccosine เขียนฟงกชนั ผกผัน arccosine แทนดวย arccos หรือ cos-1 โดยท่ี y = arccosx หรอื y = cos-1x ก็ตอเมื่อ x = cosy { }กำหนด f = (x, y)∈ บทนยิ าม 6 × y = tanx , - π <x < π 2 2 { }เรียกฟงกชนั ผกผนั f-1= (x, y)∈ × π x = tany , - π <y < วา arctangent 2 2 เขียนฟงกชนั ผกผนั arctangent แทนดวย arctan หรือ tan-1 โดยท่ี y = arctanx หรอื y = tan-1x ก็ตอเมอื่ x = tany ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 59 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ { }กำหนด f = (x, y)∈ × π บทนยิ าม 7 y = cosecx , - π ≤x ≤ , x≠0 2 2 { }เรียกฟงกชนั ผกผนั f-1= (x, y)∈ × x = cosecy , - π ≤y ≤ π , y≠0 วา 2 2 arccosecant เขยี นฟงกชันผกผนั arccosecant แทนดวย arccosec หรือ cosec-1 โดยท่ี y = arccosecx หรอื y = cosec-1x ก็ตอเมือ่ x = cosecy { }กำหนด f = (x, y)∈ x π,x π บทนิยาม 8 × y = secx , 0 ≤ ≤ ≠ 2 { }เรยี กฟงกชนั ผกผัน f-1= (x, y)∈ y π,y π × x = secy , 0 ≤ ≤ ≠ วา 2 arcsecant เขยี นฟงกชนั ผกผนั arcsecant แทนดวย arcsec หรือ sec-1 โดยท่ี y = arcsecx หรอื y = sec-1x ก็ตอเมื่อ x = secy บทนิยาม 9 กำหนด f = {(x, y)∈ × y = cotx , 0 < x < π} เรยี กฟงกชนั ผกผนั f -1= {(x, y)∈ × x = coty , 0 < y < π} วา arccotangent เขยี นฟงกชนั ผกผนั arccotangent แทนดวย arccot หรอื cot-1 โดยที่ y = arccotx หรือ y = cot-1x ก็ตอเม่ือ x = coty สรุปเกี่ยวกับโดเมนและเรนจของตัวผกผนั ของฟงกชันตรโี กณมติ ิ กลุมท่ีมีมมุ อยูในชวย -90o ถึง 90o กลมุ ท่ีมีมมุ อยูในชวย 0o ถงึ 180o โดเมน เรนจ โดเมน เรนจ arcsin [-1, 1] arccos [-1, 1] [0, ] arctan arcsec arccosec arccot (0, ) ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 60 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ เนื่องจากฟงกชันอารคเปนการแปลงยอนกลับ ดังนั้น arcsin(sinx) = x และ sin(arcsinx) = x แตตองอยาลืมวา ประโยคดังกลาวจะเปนจริงเฉพาะเมื่อ x อยูในขอบเขตของโดเมนกับเรนจเทานั้น กลาวคือ sin(arcsinx) = x เปนจริงเฉพาะเมื่อ x อยูในเรนจของ sin นั่นคือ เมื่อ x∈[-1, 1] และ arcsin(sinx) = x เป นจริงเฉพาะเมื่อ x อยูในเรนจของ arcsin นั่นคือ เมื่อ x∈ -π, π ดังนั้นจะเห็นได จาก 2 2 arcsin(sin150o ) = arcsin 1 = 30o ≠ 150o 2 และเนื่องจาก sin(arcsinx) = x ดังนั้น arcsinx คือ “มุมที่ sin แลวไดคา x” นั่นคือจะสามารถใช สามเหล่ียม แสดง “มุมที่ sin แลวไดคา x” ไดดังรูปที่ 22 C จากรูปที่ 22 จะไดว า AB = 12 - x2 = 1 - x2 x1 และจะสามารถหาฟงกชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของมุม arcsinx ได คือ B arcsinx A cos(arcsinx) = 1 - x2 , tan(arcsinx) = x เป นตน รปู ท่ี 22 1 - x2 ในกรณที เ่ี ปนฟงกชนั อารคของเลขติดลบ ใหแยกคิดเครอื่ งหมายกบั ตวั เลข ดงั น้ี 1. ตอนคิดเครอ่ื งหมาย ใหพิจารณาจตุภาคของฟงกชันอารคเปนหลักโดยไมตองสนใจตวั เลข 2. ตอนคิดตัวเลข ใหเปลี่ยนเลขติดลบเปนเลขบวก แลวคิดเปนมุมในจตุภาคที่ 1 แลวจึงนำเอา เครือ่ งหมายลบและตวั เลขท่ไี ดมาประกอบกันแลวตอบเปนคำตอบ ตัวอยางท่ี 37 จงหาคาของ arcsin 3 วธิ ที ำ 2 ให arcsin 3 = θ จะได sinθ = 3 2 2 หาคา θ ท่ี - π ≤θ ≤ π และ sinθ = 3 2 2 2 เนอ่ื งจากในชวง - π , π มี π เพยี งคาเดยี วท่ี sin π = 3 33 2 2 2 ดังนั้น arcsin 3 = π 2 3 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 61 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ ตวั อยางที่ 38 จงหาคาของ arcsin - 1 วธิ ีทำ 2 ให arcsin - 1 = θ จะได sinθ = - 1 2 2 หาคา θ ที่ - π ≤θ ≤ π และ sinθ = - 1 2 2 2 เนอ่ื งจากในชวง - π , π มี - π เพียงคาเดยี วท่ี sin -π = -1 6 2 2 2 6 ดังนั้น arcsin - 1 = - π 26 ตัวอยางท่ี 39 จงหาคาของ arccos0 วิธีทำ ให arccos0 = θ จะได cosθ = 0 หาคา θ ท่ี 0 ≤ θ ≤ π และ cosθ = 0 เนือ่ งจากในชวง [0, π] มี π เพียงคาเดยี วท่ี cos π =0 2 2 ดังน้ัน arccos0 = π 2 ตวั อยางท่ี 40 จงหาคาของ arctan(- 3 ) วิธีทำ ให arctan(- 3 ) = θ จะได tanθ = - 3 หาคา θ ที่ -π <θ < π และ tanθ = - 3 2 2 เนอื่ งจากในชวง -π, π มี - π เพียงคาเดยี วที่ tan -π =- 3 22 3 3 ดงั นั้น arctan(- 3) = -π 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 62 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ ตวั อยางท่ี 41 จงหาคาของ sin arcsec -5 4 วิธที ำ ให arcsec - 5 = θ จะได secθ = - 5 โดยท่ี θ∈ 0, π ∪ π , π 4 4 2 2 เน่อื งจาก secθ < 0 และ θ∈ 0, π ∪ π , π ดังนั้น θ∈ π , π 2 2 2 จาก sec2θ - tan2θ = 1 จะได tanθ = sec2θ - 1 หรอื tanθ = - sec2θ - 1 เน่อื งจาก θ∈ π , π จะได tanθ < 0 น่ันคอื tanθ = - sec2θ - 1 2 จาก sin arcsec - 5 = sinθ 4 = sinθ ⋅ cosθ cosθ tanθ = secθ = ( )- - 5 2 4 = -1 = = - 5 = 4 4 25 - 16 × 5 16 9 × 4 16 5 3 × 4 4 5 3 5 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 63 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ ตัวอยางที่ 42 จงหาคาของ cosec arctan -4 วิธที ำ 3 ให arctan - 4 = θ จะได tanθ = - 4 โดยที่ -π <θ< π 3 3 2 2 เนอื่ งจาก tanθ < 0 จะไดวา θ∈ -π, 0 และจะวาดรปู สามเหล่ียมจาก tanθ ไดดงั นี้ 2 C 4 A B 3 จะได cosec arctan - 4 = -cosecθ 3 = -cosecθ = -5 4 ตัวอยางที่ 43 จงหาคาของ sin(2arctan2) วิธีทำ ให arctan2 = θ จะได tanθ = 2 โดยที่ -π <θ< π 2 2 เน่ืองจาก tanθ > 0 จะไดวา θ∈ 0, π 2 จากสตู ร sin2A = 1 2tanA + tan2A จะได sin(2arctan2) = sin2θ = 2tanθ 1 + tan2θ 2(2) = 1 + 22 = 4 5 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 64 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ สตู รของตัวผกผันของฟงกชันตรโี กณมิติทีค่ วรรู 1. sin(arcsinx) = x 2. cosec(arccosecx) = x 3. cos(arccosx) = x 4. sec(arcsecx) = x 5. tan(arctanx) = x 6. cot(arccotx) = x 7. sin(arccosecx) = 1 8. cosec(arcsinx) = 1 x x 1 1 9. cos(arcsecx) = x 10. sec(arccosx) = x 11. tan(arccotx) = 1 12. cot(arctanx) = 1 x x 13. arcsin(-x) = -arcsinx 14. arccosec(-x) = -arccosecx 15. arccos(-x) = π - arccosx 16. arcsec(-x) = π - arcsecx 17. arctan(-x) = -arctanx 18. arccot(-x) = π - arccotx 19. arcsinx + arccosx = 90o 20. arctanx + arccotx = 90o 21. arcsecx + arccosecx = 90o 22. sin(arccosx) = 1 - x2 23. cos(arcsinx) = 1 - x2 ตวั อยางที่ 44 จงแกสมการ arcsinx = arccosx arccosx วธิ ีทำ arcsinx = sin(arccosx) sin(arcsinx) = x= 1 - x2 x2 = 1 - x2 x = 1 ±2 แทน x = 1 จะได arcsin 1 = arccos 1 = 45o เปนจริง 2 22 แทน x=- 1 จะได arcsin - 1 = -45o และ arccos - 1 = 135o จะได - 1 2 2 2 2 ไมเปนคำตอบของสมการน้ี ดงั นั้นคำตอบของขอนจ้ี ึงมเี พียง x = 1 หรือ x = 2 22 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 65 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ แบบฝกหดั ท่ี 9 เรอ่ื ง ตัวผกผนั ของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 1. จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 2) arccos0 1) arcsin 2 2 3) arctan(- 3 ) 4) arccosec(-1) 5) arccos - 2 6) arcsin - 2 2 2 2. จงหาคาในแตละขอตอไปนี้ 2) cos arcsin 3 1) sin arcsin 1 4 3 3) sin arccos - 2 4) sec arctan - 3 3 4 ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 66 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 6) cot(arccot2 - arccot3) 5) sin arcsin 1 + arccos 1 3 2 7) tan(arctan3 + arctan2 + arccot1) 3. จงแกสมการตอไปนี้ 2) sin(2arctanx) = - 3 1) arcsinx = - π 5 3 3) arccos2x + arccosx = π 4) sin(arctanx) = 3 10 10 2 ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 67 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 4. ถา x เปนจำนวนจรงิ ทีม่ ากท่ีสดุ โดยท่ี 0 < x < 1 และสอดคลองกับ arctan(1 - x) + arccot 1 = 2arcsec 1 + 2x(1 - x) แลวคาของ cosπx เทากับเทาไร 2x 5. กำหนด x เปนจำนวนจรงิ ถา arcsinx = π แลวคาของ sin π + arccos(x2 ) อยูในชวงใด 4 15 [PAT 1 (ก.ค.53)/6] 1) 0, 1 2) 1, 1 2 2 2 3) 1 , 3 4) 3 , 1 2 2 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 68 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 6. cot arccos 2 - arccos 1 + 6 มีคาเทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.57)/12] 3 2 3 7. คาของ sec2 2arctan 1 + arctan 1 เทากับเทาใด [PAT 1 (ต.ค.55)/28] 37 ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 69 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 8. ถา arcsecx = arcsin 1 - 2arccos 2 แลว cot π + arcsecx เทากับเทาใด 17 5 2 [PAT 1 (ต.ค.55)/10] 9. คาของ cot(arccot7 + arccot13 + arccot21 + arccot31) เทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค.54)/7] ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 70 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 10. ถา arcsin(5x) + arcsin(x) = π แลวคาของ tan(arcsinx) เทากับเทาใด [PAT 1 (ก.ค.52)/13] 2 11. กำหนดให 0 < θ <15o คาของ y = arctan 3cosθ - arccot cosθ เทากับขอใด 1 - 3sinθ 3 - sinθ [PAT 1 (เม.ย.57)/12] 1) arctan(cotθ) 2) arctan(tanθ) 3) arctan(sinθ) 4) arctan(cosθ) ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 71 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ เอกลักษณของฟงกชนั ตรีโกณมิติ การพิสูจนเอกลักษณเปนการแสดงใหเห็นวาจำนวนทั้งสองฝงของเครื่องหมายเทากับของสมการ เทากันจริง โดยใชความรูเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติ การพิสูจนเอกลักษณจึงชวยใหเห็นความสัมพันธตางๆ ระหวางฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ และเอกลกั ษณทพ่ี ิสูจนแลวสามารถนำไปอางอิงในการพสิ จู นเอกลักษณอื่นๆ ได ตัวอยางที่ 45 จงพสิ จู นวา 2cos2θ - sin2θ + 1 = 3cosθ วธิ ที ำ cosθ 2cos2θ - sin2θ + 1 = 2cos2θ - (1 - cos2θ) + 1 cosθ cosθ = 3cos2θ cosθ = 3cosθ ตัวอยางที่ 46 จงพสิ จู นวา cosθ = 1 + sinθ วิธที ำ 1 - sinθ cosθ cosθ = cosθ 1 + sinθ 1 - sinθ 1 - sinθ 1 + sinθ = cosθ(1 + sinθ) = 1 - sin2θ cosθ(1 + sinθ) = cos2θ 1 + sinθ cosθ ตัวอยางที่ 47 จงพิสจู นวา cos3x - cos5x = tanx sin3x + sin5x 3x + 5x 3x - 5x cos3x - cos5x -2sin 2 sin 2 sin3x + sin5x วิธที ำ = 2sin 3x + 5x cos 3x - 5x 2 2 = -2sin4xsin(-x) = 2sin4xcos(-x) -(-sinx) = tanx cos(x) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 72 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ ตัวอยางที่ 48 จงพิสูจนวา sinx = tan x 1 + cosx 2 วธิ ีทำ sinx = ( )sin2 x 1 + cosx 2 ( )1 + cos2x 2 = 2sin x cos x 22 1 + 2cos2 x - 1 2 = 2sin x cos x 22 2cos2 x 2 sin x 2 = x = cos 2 tan x 2 ตัวอยางที่ 49 จงพสิ ูจนวา sin2θ + sinθ = tanθ วธิ ที ำ sin2θ + cosθ + 1 sin2θ + sinθ sin2θ + cosθ + 1 = 2sinθcosθ + sinθ = (2cos2θ - 1) + cosθ + 1 sinθ(2cosθ + 1) = = 2cos2θ + cosθ sinθ(2cosθ + 1) cosθ(2cosθ + 1) tanθ ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 73 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ แบบฝกหัดท่ี 10 เร่ือง เอกลักษณของฟงกชันตรโี กณมติ ิ 1. จงพิสูจนวา 2) cosx + sinx = 1 1) cosecθcosθ = cotθ secx cosecx 3) cosθ(tanθ + cotθ) = cosecθ 4) (secθ - 1)(secθ + 1) = tan2θ ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 74 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 5) sin2θ(1 + cot2θ) = 1 6) (sinθ + cosθ)2 + (sinθ - cosθ)2= 2 7) (sin2x)(cot2x) + (tan2x)(cos2x) = 1 8) 2sin2x - 1 = 1 - 2cos2x ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 75 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมิติ 9) 3sin2A + 4sin2A = 3 + cos2A 10. secA + sinA = 2tanA cosecA cosA 11) sec4A - sec2A = tan4A + tan2A 12) 1 - cos2A = sinA 1 + sinA ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 76 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 13) 1 + tanA = cotA + 1 14) 1 + sinA = cosecA + 1 1 - tanA cotA - 1 1 - sinA cosecA - 1 15) cosecA - sinA = cosAcotA 16) secA - tanA = cosA 1 + sinA ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 77 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 17) sin2A = tanA 18) sin A - cos A 2 1 + cos2A 22 = 1 - sinA 19) tan3A = 3tanA - tan3A 20) sin8A + sin2A = tan5A 1 - 3tan2A cos8A + cos2A ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 78 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ สมการของฟงกชันตรโี กณมติ ิ การแกสมการตรีโกณมิติทำไดในทำนองเดียวกันกับการแกสมการทั่วไป เชน สมการเอกซโพเนน - เชยี ลหรือสมการลอการิทึม โดยอาศยั ความรูเกยี่ วกับฟงกชันตรีโกณมิติ เพอ่ื หาคำตอบของสมการ เนื่องจากฟงกชันตรีโกณมิติไมเปนฟงกชัน 1 - 1 คาของฟงกชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุม ใดๆ อาจจะซำ้ กนั ได ดังน้ัน ในการหาคำตอบของสมการ ถาโจทยไมกำหนดใหคำตอบอยูในชวงใดชวงหน่ึงแลว คำตอบควรจะอยใู นรูปของคาท่วั ไป ตวั อยางที่ 50 จงหาคำตอบของสมการ cosx = 1 , 0 < x < π วธิ ีทำ 2 2 เนื่องจากคาของ x ในชวง 0, π ท่ที ำให cosx = 1 คอื π เพยี งคาเดียว 2 23 { }ดงั น้นั เซตคำตอบ คือ π 3 ตัวอยางท่ี 51 จงแกสมการ sinθ = 1 วิธีทำ 2 1 5π คาของ θ ในชวง [0, 2π] ทีท่ ำให sinθ = 2 คอื π และ 6 6 เน่อื งจาก sin 2nπ + π = sin π = 1 เมือ่ n∈ 2 6 6 เนือ่ งจาก sin 2nπ + 5π = sin 5π = 1 เมือ่ n∈ 6 62 ดงั น้นั คาท่วั ไปของ θ ทีท่ ำใหสมการเปนจริง คือ 2nπ + π และ 2nπ + 5π เม่ือ n∈ 6 6 ตวั อยางท่ี 52 จงแกสมการ tanA = 1 วธิ ที ำ คาของ A ในชวง [0, 2π] ทท่ี ำให tanA = 1 คือ π และ 5π 4 4 5π เมอ่ื 4 ดงั น้นั คาทว่ั ไปของ A ทีท่ ำใหสมการเปนจรงิ คือ 2nπ + π และ 2nπ + n∈ 4 { }นนั่ คอื จะสามารถเขยี นเซตคำตอบใหมไดคือ คือ x nπ + π, n∈ 4 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 79 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ ตัวอยางที่ 53 จงแกสมการ sinA + cosA = 1 วิธีทำ sinA + cosA = 1 (sinA + cosA)2 = 1 sin2A + 2sinAcosA + cos2A = 1 2sinAcosA + 1 = 1 2sinAcosA = 0 sin2A = 0 พิจารณาจะไดวา 2A = 0 หรือ 2A = π หรอื 2A = 2π หรือ 2A = 3π หรอื 2A = 4π น่ันคอื A = 0 หรือ A= π หรือ A=π หรอื A= 3π หรือ A = 2π เมื่อ A ∈[0, 2π] 2 2 ตรวจคำตอบ แทน A = 0 ในสมการ sinA + cosA = 1 sin0 + cos0 = 1 1 = 1 เปนจรงิ แทน A = π ในสมการ sinA + cosA =1 2 sin π + cos π = 1 2 2 1 = 1 เปนจรงิ แทน A = π ในสมการ sinA + cosA = 1 sin π + cos π = 1 -1 ≠ 1 เปนเทจ็ แทน A = 3π ในสมการ sinA + cosA = 1 2 3π 3π sin 2 + cos 2 = 1 -1 = 1 เปนเท็จ แทน A = 2π ในสมการ sinA + cosA = 1 sin2π + cos2π = 1 1 = 1 เปนจริง จะไดคำตอบของสมการ sinA + cosA = 1 ในชวง [0, 2π] คือ 0, π และ 2π 2 ดงั น้ันคำตอบท่วั ไปของสมการ คอื 2nπ และ 2nπ + π เมอ่ื n เปนจำนวนเต็ม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 80 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ ตัวอยางท่ี 54 จงแกสมการ 2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 เมื่อ 0o ≤ θ ≤ 360o วิธที ำ 2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 2(1 - cos2θ) + 3cosθ - 3 = 0 2 - 2cos2θ + 3cosθ - 3 = 0 2cos2θ - 3cosθ + 1 =0 ให A = cosθ จะได 2A2 - 3A + 1 =0 (2A - 1)(A - 1) =0 A = 1, 1 2 1 ดังนัน้ cosθ = 2 หรือ cosθ = 1 θ= 0o และ 360o 60o และ 300o θ= นนั่ คือ คาของ θ ในชวง [0o , 360o ] ที่ทำใหสมการเปนจริง คือ 0o, 60o, 300o และ 360o ตวั อยางที่ 55 จงแกสมการ cos2x = cosx วธิ ที ำ cos2x = cosx 2cos2x - 1 = cosx 2cos2x - cosx - 1 = 0 (2cosx + 1)(cosx - 1) = 0 cosx = - 1 , 1 2 เนือ่ งจาก cos 2nπ + 2π = cos 2π = -1 เมื่อ n∈ แลว 3 3 2 cos 2nπ + 4π = cos 4π = - 1 เม่ือ n∈ 3 3 2 cos0 = cos(2nπ + 0) = 1 เม่อื n∈ cos2π = cos(2nπ + 2π) = cos(2(n+1)π + 0) = 1 เมือ่ n∈ นั่นคือ x มีคาเทากบั 2nπ + 2π , 2nπ + 4π และ 2nπ 3 3 ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 81 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ แบบฝกหัดท่ี 11 เรื่อง สมการของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. กำหนดให θ∈[0, 2π] จงแกสมการ 1) cosecθ = 1 2) secθ = 1 2 2 3) cotθ = 1 4) cotθ = - 3 2. จงแกสมการตอไปน้ี 2) secθ = -2 1) cosecθ = 2 3) tanθ = 3 4) sinθ = - 1 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 82 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 2) sec2A - 2tanA = 0 3. จงแกสมการตอไปนี้ 1) 4sin2A = 1 3) sin2A = cosx 4) cotA + 2sinA = cosecA ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 83 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ 2) 2cos2θ + sinθ - 1 = 0 4. จงแกสมการตอไปนี้ เมื่อ 0 ≤ θ <2π 1) 2cos2θ + cosθ = 0 3) sinθ + cosθ = 2 4) sinθtanθ + tanθ = 0 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 84 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ 5) 4sin3θ - sinθ = 0 6) sin2θ - cosθ + 5 = 0 7) 2sin2θ - 3cosθ - 3 = 0 8) cos3θ = cosθ ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 85 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ 5. ให A เปนเซตคำตอบของ cosx = cos x จำนวนสมาชิกในเซต A ∩ (0, 24π) เทากับเทาใด 4 [PAT 1 (ม.ี ค.54)/33] 6. กำหนดให sinθ - sin2θ + sin3θ = 0 โดยท่ี 0 <θ< π 2 ถา a = tanθ - tan2θ และ b = sin3θ + sin4θ + sin5θ แลวคาของ a4 + b4 เทากบั เทาใด cosθ - cos2θ cos3θ + cos4θ + cos5θ [PAT 1 (มี.ค.57)36] ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 86 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ กฎของโคไซนและกฎของไซน กฎของโคไซน กำหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC มีดานตรงขามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดับจะได a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = c2 + a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC ตัวอยางท่ี 56 กำหนดรปู สามเหลยี่ ม ABC มีดานตรงขามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย วธิ ที ำ ตามลำดับ ถา a = 12, b = 7, C = 40o และ cos40o ≈ 0.766 จงหาคาของ c จากกฎของโคไซน c2 = a2 + b2 - 2abcosC จะได c2 = 122 + 72 - 2(12)(7)cos40o ≈ 144 + 49 - 2(12)(7)(0.766) ≈ 64.312 ดงั นนั้ c ≈ 8.02 ตัวอยางที่ 57 จากรูปจงหา AB C 5 60o 6 B A x วิธีทำ จากกฎของโคไซน จะได AB2 = AC2 + BC2 - 2(AC)(BC)cosC = 52 + 62 - 2(5)(6)cos60o = 25 + 36 - 30 = 31 AB = 31 ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 87 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ กฎของไซน กำหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC มีดานตรงขามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดบั จะได sinA = sinB = sinC abc ตวั อยางท่ี 58 กำหนดรูปสามเหล่ียม ABC มีดานตรงขามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย วิธที ำ ตามลำดบั ถา a = 10, B = 42o, C = 51o , sin42o ≈ 0.6691และ sin87o ≈ 0.9986 จงหาคาของ b เนือ่ งจาก A + B + C = 180o ดงั น้นั A = 180o - (42o + 51o) = 87o จากกฎของไซน sin87o = sin42o 10 b b = 10sin42o sin87o 10(0.6691) ≈ 0.9986 ≈ 6.7 ตวั อยางที่ 59 ใหสามเหลย่ี ม ABC มีดานทงั้ สามยาว 3, 5 และ 7 หนวย ตามลำดบั จงหาวา วิธีทำ สามเหลยี่ ม ABC เปนสามเหล่ียมมมุ แหลม สามเหลี่ยมมมุ ฉาก หรอื สามเหลยี่ มมมุ ปาน เนอื่ งจากการตรวจสอบชนิดสามเหล่ยี ม ตองพจิ ารณามมุ ที่ใหญทส่ี ดุ ของสามเหล่ยี มวาเปน มมุ แหลม มุมฉาก หรอื มุมปาน จะได 72 = 52 + 32 - 2(3)(5)cosx 2(3)(5)cosx = 25 + 9 - 49 30cosx = cosx = -15 73 x cosx = - 15 30 5 x= 1 x= - 2 arccos - 1 2 120o ดังนนั้ สามเหลย่ี มทโี่ จทยกำหนดเปนสามเหลยี่ มมมุ ปาน ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 88 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ ครูคเณศ สมตระกลู ตวั อยางท่ี 60 จากรปู ถา sinA = 1 และกำหนดให B เปนมมุ ปาน จงหา cosB 3 C 6 3 AB วธิ ที ำ เนอื่ งจาก sinA = sinB = sinC a b c จะได sinA = sinB ab sinA = sinB 36 sinB = 2sinA = 2 3 จากเอกลักษณ sin2B + cos2B = 1 จะได cosB = ± 1 - sin2B = ± 1- 22 3 = = ± 1- 4 = 9 = เนอ่ื งจากมมุ B เปนมมุ ปาน ดังนั้นจะได ± 1- 4 cosB = 9 5 ±9 5 ±3 5 -3 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 89

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ สตู รการหาพืน้ ทข่ี องรปู สามเหลี่ยม ใหรูปสามเหล่ียม ABC มดี านตรงขามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดับ แลว 1. พืน้ ท่ีรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 × ความสงู × ความยาวของฐาน = 1 ⋅bc ⋅ sinA 2 2 1 1 2. พนื้ ทร่ี ปู สามเหลยี่ ม ABC = 2 × ความสงู × ความยาวของฐาน = 2 ⋅ca⋅sinB 3. พ้ืนทรี่ ปู สามเหลีย่ ม ABC = 1 × ความสงู × ความยาวของฐาน = 1 ⋅ ab ⋅ sinC 2 2 ตัวอยางท่ี 61 จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ยี ม ABC ที่มีดานตรงขามมมุ A และ B ยาว 15, 20 หนวย ตามลำดบั และมีมมุ C เทากับ 65o วิธที ำ จากสูตรการหาพ้ืนทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม จะได พนื้ ทรี่ ปู สามเหล่ียม ABC = 1 × ความสูง × ความยาวของฐาน 2 1 = 2 ⋅ ab ⋅ sinC = 1 × (15)(20) × sin60o 2 = 1 × (15)(20) × 3 22 = (15)(5) × 3 = 75 3 ดงั นัน้ พน้ื ทีข่ องรปู สามเหลยี่ ม ABC คือ 75 3 ตารางหนวย ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 90 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ แบบฝกหัดท่ี 12 C เรือ่ ง กฎของโคไซนและกฎของไซน 120o x 7B 1. จากรูปจงหาคาของ x 5 2) 3 1) C A 60o 4 Ax B 3) C 4) A 30o x 5 C x A7 B 45o B ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 91 ครูคเณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิม่ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ 2. กำหนดสามเหล่ียม ABC มีดานตรงขามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดับ จงใชกฎของโคไซนเพือ่ หาคาตอไปนี้ 1) คาของ a 2) คาของ b เมอ่ื กำหนด A = 60o, b = 40 และ c = 60 เมือ่ กำหนด B = 120o, a = 4 และ c = 6 3) คาของ c 4) ขนาดของมุม B เมือ่ กำหนด C = 133o, a = 193 และ b = 80 เม่อื กำหนดให a = 12, b = 7 และ c = 8 3. กำหนดรสามเหล่ียม ABC มดี านตรงขามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดบั จงใชกฎของไซนเพื่อหาคาตอไปนี้ 1) คาของ c 2) คาของ a เมือ่ กำหนด A = 45o, C = 60o และ b = 20 เมื่อกำหนด B = 65o, A = 30o และ c = 32 3) คาของ a และ c เมื่อกำหนดให A = 105o, C = 60o และ b = 4 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 92 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 4. จงหาพืน้ ที่ของรปู สามเหลีย่ ม ABC ท่มี ีดานตรงขามมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หนวย ตามลำดบั เมอ่ื กำหนดให 1) a = 15, b = 20 และ C = 65o 2) b = 80, c = 5.5 และ A = 103.5o 3) a = 14, c = 27.4 และ B = 112o 5. กำหนดสามเหล่ียม ABC มีมุม A = 30o และมมุ C = 105o จงหาคาของ AC BC 6. กำหนดให ABC เปนรูปสามเหลยี่ มทม่ี ีมมุ A เทากับ 60o, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2B) เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.52)/12] ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 93 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพมิ่ เตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมติ ิ 7. ให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มโดยมี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมมุ A, B และ C ตามลำดับ ถามมุ C เทากับ 60o, b = 5 และ a - c = 2 แลวความยาวของเสนรอบรปู สามเหล่ียม ABC เทากับเทาใด [PAT 1 (มี.ค.55)/6] 8. กำหนดให ABC เปนรปู สามเหลี่ยมใดๆ ถาดานตรงขามมมุ A ยาม 14 หนวย ความยาวของเสนรอบรปู สามเหลย่ี มเทากับ 30 หนวย และ 3sinB = 5sinC แลว sin2A เทากบั เทาใด [PAT 1 (ม.ี ค.56)/16] ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 94 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมติ ิ 9. กำหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มท่มี ีมุม B และมุม C เปนมุมแหลม โดยที่ 25cosB - 13cosC = 15, 65(cosB + cosC) = 77 และดานตรงขามมุม C ยาว 20 หนวย ความยาวของเสนรอบรูปสามเหลย่ี ม ABC เทากบั เทาใด [PAT 1 (เม.ย.57)/32] 10. กำหนดให ABC เปนรปู สามเหลี่ยมโดยมีความยาวของดานตรงขามมุม A มุม B และมุม C เทากับ a หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลำดับ สมมุตวิ ามมุ A มขี นาดเปนสามเทาของมมุ B และ a = 2b ขอใดตอไปน้ถี ูกบาง [PAT 1 (เม.ย.57)/3] 1) ABC เปนสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 2) ถา a = kc แลว k สอดคลองกบั 3x3 - 9x2 - x + 3 = 0 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 95 ครูคเณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ การหาระยะทางและความสูง ในการแกปญหาเกี่ยวกับการหาระยะทางและความสงู สามารถทำไดโดยอาศยั ความรเู รื่องฟงกชนั ตรีโกณมติ ิ ซึง่ จะมีขนาดของมุมเขามาเกี่ยวของรวมท้งั มุมกม (angle of depression) และ มมุ เงย (angle of elevation) มุมกมและมุมเงยเปนมุมท่เี กดิ จากแนวเสนระดับสายตา และแนวเสนจากตาไปยังวัตถุ ถาวตั ถอุ ยตู ่ำ กวาแนวเสนระดบั สายตา มุมทีไ่ ดเรียกวา มุมกม แตถาวตั ถุอยูสูงกวาแนวเสนระดบั สายตา มุมทไ่ี ดเรียกวา มุมเงย ดงั รปู โดยขนาดของมุมกมและมุมเงยจะเปนจำนวนจรงิ บวกเสมอ รปู ท่ี 24 ตวั อยางที่ 62 เนตรยนื อยบู นสนามแหงหนงึ่ มองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 15 องศา แตเม่ือเดนิ ตรงเขาไป หาเสาธงอกี 60 เมตร เขามองเหน็ ยอดเสาธงเปนมุมเงย 75 องศา ถาเนตรสงู 150 เซนติเมตร แลวจงหาความสงู ของเสาธง วธิ ที ำ D 75o 15o A C B 60 เมตร ให A เปนจดุ ทีเ่ นตรยนื มองยอดเสาธงในครั้งแรก B เปนจุดทเ่ี นตรยืนมองยอดเสาธงในครัง้ หลัง และ CD เปนความสูงของเสาธงสวนที่เหนอื ระดบั สายตา ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 96 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟงกชนั ตรีโกณมิติ จะได ระยะ AB เทากบั 60 เมตร เนื่องจาก CAD = 15o และมุม CBD = 75o จะได ABD = 180o - 75o= 105o ADB = 180o - 105o - 15o= 60o พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD จากกฎของไซน จะได sin15o = sin60o BD BD = AB ABsin15o พิจารณารูปสามเหลยี่ ม BCD จะได sin60o CD = BDsin75o = ABsin15o (sin75o ) sin60o = 60 2 sin15osin75o 3 = 60 (2sin15ocos15o ) 3 = 60 3 sin2(15o ) 3 = 20 3sin30o = 20 3 1 2 = 10 3 ≈ 17.32 เนือ่ งจากเนตรสูง 1.50 เมตร ดงั นน้ั เสาธงสงู ประมาณ 17.32 + 1.50 หรือ 18.82 เมตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 5 หนา 97 ครคู เณศ สมตระกูล

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) ฟงกชันตรโี กณมิติ ตวั อยางท่ี 63 จากหนาผาซ่งึ สูง 200 เมตร จากระดบั น้ำทะเลปานกลาง ผสู งั เกตการณคนหนึ่งมองเห็นเรือ วธิ ีทำ สองลำทอดสมออยใู นทะเลเปนมุมกม 40 และ 60 องศา จากเสนระดับสายตาเสนเดยี วกนั จงหาวาเรอื ทั้งสองลำน้ัน อยูหางกันเทาใด D 40o 60o AB C x เมตร ให A และ B เปนตำแหนงของเรอื สองลำ โดยใหเรือทง้ั สองหางกนั x เมตร และ CD เปนความสูงของหนาผา จะไดวา CD = 200 และ ADB = 60o - 40o= 20o โดยใชความรูเร่ืองเสนขนาน จะไดวา DAB = 40o และ DBC = 60o พิจารณารูปสามเหล่ยี ม BCD จะได sinDBC = CD BD 200 sin60o = BD BD = 400 3 3 พจิ ารณารปู สามเหล่ยี ม ADB จากกฎของไซน จะได sinADB = sinDAB x = BD x BDsin20o sin40o = 400 3 sin20o 3 2sin20ocos20o ≈ 122.88 ดงั นั้น เรอื สองลำอยูหางกนั ประมาณ 122.88 เมตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 98 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เติม 3 (ค32201) ฟงกชันตรีโกณมิติ แบบฝกหัดท่ี 13 เรื่อง การหาระยะทางและความสงู 1. กานยนื อยบู นดาดฟาของตึกสูง 15 ชั้น หลังหนึง่ เขามองเห็นปอมยามท่ีอยูทางทิศตะวนั ออกของตึก เปนมุมกม 60 องศา และมองเห็นรถบรรทุกคนั หน่ึงจอดอยูทางทิศใตของปอมยามนัน้ เปนมุมกม 30 องศา อยากทราบวารถบรรทุกอยหู างจากปอมยามเทาใด ถาตึกน้ันสูงช้นั ละ 4 เมตร 2. เรอื 2 ลำ ทอดสมออยูหางกัน 60 เมตร และอยูในแนวเดียวกับประภาคาร ทหารในเรอื แตละลำมองเห็น ยอดประภาคารเปนมมุ เงย 45 องศา และ 30 องศา จงหาวาเรอื ลำที่อยูใกลประภาคารอยหู างจาก ประภาคารเทาไร 3. พิเชษฐยืนอยูหางจากตึกหลงั หน่ึงเปนระยะทางตามแนวราบ 18 เมตร เขามองเห็นยอดตกึ และยอด เสาอากาศซึ่งอยบู นยอดตกึ เปนมมุ เงย 45 และ 60 องศา ตามลำดบั จงหาความสูงของเสาอากาศ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 99 ครูคเณศ สมตระกลู