เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน

คณติ ศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน ตวั อยางท่ี 29 จงหาเซตคำตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 วิธที ำ เน่ืองจาก x4 + 2x2 - 8 = (x2 - 2)(x2 + 4) = (x - 2 )(x + 2 )(x - 2i)(x + 2i) ดังนน้ั เซตคำตอบของสมการ x4 + 2x2 - 8 = 0 คอื { 2, - 2, 2i, 2i} ตวั อยางที่ 30 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 วิธีทำ กำหนด p(x) = x3 - 3x2 + 5x + 9 จำนวนเต็มที่หาร 9 ลงตัว คอื ±1 , ±3, ±9 จากการตรวจสอบ p(1), p(-1), p(3), p(-3), p(9) และ p(-9) พบวา p(-1) = 0 ดงั นัน้ x + 1 เปนตวั ประกอบของ p(x) จะได p(x) = (x + 1)(x2 - 4x + 9) ดังน้ัน x + 1 = 0 หรือ x2 - 4x + 9 = 0 ถา x2 - 4x + 9 = 0 จะได x = 4 ± 16 - 36 i = 2 ± 5i 2 นน่ั คอื เซตคำตอบของสมการ x3 - 3x2 + 5x + 9 = 0 คอื {-1, 2 + 5i, 2 - 5i} ตัวอยางที่ 31 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 วธิ ีทำ กำหนด p(x) = 2x4 + x3 - 2x - 1 เนอ่ื งจากจำนวนเต็มที่หาร -1 คือ ±1 และจำนวนเตม็ ทห่ี าร 2 ลงตวั คอื ±1 , ±2 ดงั น้นั จำนวนตรรกยะ k ทที่ ำให p k = 0 จะอยูในกลุมจำนวนตอไปน้คี ือ ±1 , ± 1 m m 2 จากการตรวจสอบพบวา p(1) = 0 และ p - 1 =0 2 ดังน้นั x - 1 และ x + 1 เปนตัวประกอบของ p(x) 2 จะได p(x) = (x - 1)(2x + 1)(x2 + x + 1) ดังนัน้ x - 1 = 0 หรอื 2x + 1 = 0 หรือ x2 + x + 1 = 0 ถา x2 + x + 1 = 0 แลว x = -1 ± 1- 4i = -1 ± 3i 2 2 นัน่ คือ เซตคำตอบของสมการ 2x4 + x3 - 2x - 1 = 0 คอื - 1 , 1, -1 + 3i , -1 + 3i 22 2 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 50 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพมิ่ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน ตัวอยางที่ 32 จงหาเซตคำตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 วธิ ที ำ กำหนด p(x) = x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 จำนวนเตม็ ที่หาร 4 ลงตัว คือ ±1 , ±2, ±4 จากการตรวจสอบพบวา p(1) = 0 ดังนั้น x - 1 เปนตวั ประกอบของ p(x) จะได p(x) = (x - 1)2(x2 + 4) = (x - 1)2(x + 2i)(x - 2i) จะไดวาสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 มคี ำตอบ 4 คำตอบ คอื 1, 1, 2i และ -2i และมีคำตอบที่แตกตางกนั ทัง้ หมด 3 คำตอบ 1, 2i และ -2i ดงั นัน้ เซตคำตอบของสมการ x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 คอื {1, 2i, -2i} ตวั อยางท่ี 33 กำหนด 2 + 3i เปนคำตอบของสมการ x4 - 7x2 + 20x + 14 = 0 วิธีทำ จงหาเซตคำตอบของสมการน้ี กำหนด p(x) = x4 - 7x2 + 20x + 14 จากทฤษฎบี ท 12 จะไดวา 2 - 3i เปนคำตอบของสมการดวย 2} เนอื่ งจาก (x - (2 + 3i))( x - (2 - 3i)) = x2 - 4x + 7 และเมื่อนำ x2 - 4x + 7 ไปหาร p(x) ไดผลหารเปน x2 + 4x + 2 จะได p(x) = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 2) ดังนัน้ x2 - 4x + 7 = 0 หรือ x2 + 4x + 2 = 0 ถา x2 + 4x + 2 = 0 แลว x = -2 + 2 หรือ x = -2 - 2 ดงั นน้ั เซตคำตอบของสมการนี้ คอื {2 + 3i, 2 - 3i, -2 + 2, -2 - ตวั อยางที่ 34 จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มสี ัมประสิทธ์ิเปนจำนวนเตม็ มี 3, -4 และ 3 + i เปนคำตอบ และมี 1 เปนสัมประสิทธนิ์ ำ วิธีทำ เนอื่ งจาก 3 + i เปนคำตอบของสมการและจากทฤษฎีบท 11 จะได 3 - i เปนคำตอบดวย จะได (x - 3)(x + 4)(x - (3 + i))(x - (3 - i)) = 0 (x2 + x - 12)(x2 - 6x + 10) = 0 x4 - 5x3 - 8x2 + 82x -120 = 0 ดังนน้ั x4 - 5x3 - 8x2 + 82x -120 = 0 เปนสมการพหุนามดกี รี 4 ท่ีมสี มั ประสิทธ์เิ ปน จำนวนเตม็ มี 3, -4 และ 3 + i เปนคำตอบ และมี 1 เปนสัมประสิทธ์ินำ ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 51 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน แบบฝกหดั ที่ 10 เรื่อง สมการพหนุ ามตัวแปรเดียว 1. กำหนดเอกภพสัมพัทธเปนจำนวนเชิงซอน จงหาคาของ x จากสมการ 1) 5x2 - 6x + 5 = 0 2) 3x2 - 2x + 1 = 0 3) x4 + 5x2 - 36 = 0 4) x4 + 4x2 + 4 = 0 5) x4 + 2x3 - x - 2 = 0 6) x3 + x2 + x + 1 = 0 7) x4 - 2x2 - 3x - 2 = 0 8) 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 52 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 9) x4 - 3x3 + 5x2 - 27x - 36 = 0 10) 5x4 + 3x3 + 8x2 + 6x - 4 = 0 11) 125x3 - 27 = 0 12) x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0 ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 53 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 13) x6 + 2x3 + 1 = 0 14) x4 - 2x3 + 12x2 - 8x + 32 = 0 15) x5 - 2x4 - x3 + 6x - 4 = 0 16) x5 + 2x3 - x2 - 2 = 0 ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 54 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพม่ิ เติม 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 2. จงหาผลบวกของคาสมั บูรณของรากของสมการ x3 + x2 + x - 3 = 0 3. ในระบบจำนวนจนิ ตภาพ จงหาเซตคำตอบของสมการ x4 + x3 - 2x2 + 9x - 9 = 0 4. จงหาสมการพหนุ ามกำลงั สี่ ที่มีสมั ประสทิ ธิเ์ ปนจำนวนเตม็ และมี 5i, -5i, 6, -6 เปนคำตอบของสมการนี้ 5. กำหนด 1 - 3i เปนคำตอบหนึง่ ของสมการพหุนาม ax3 + bx2 + 2x + 12 = 0 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 55 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชิงซอน 6. ถา 2 + 5 เปนรากหนึ่งของสมการ x4 - 4x - 1 = 4x3 จงหารากที่เหลอื ของสมการ 7. ในระบบจำนวนเชงิ ซอน จงหาผลบวกของคาสมั บรู ณของรากของสมการ z8 - 13z4 + 36 = 0 8. ในระบบจำนวนเชิงซอนจงหาคาของ x จากสมการ (x3 - 27) - (x4 - 3x)(x - 3) = 0 ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 56 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 9. ถา f(x) เปนพหนุ ามดีกรี 3 ท่ีมสี ัมประสทิ ธเ์ิ ปนจำนวนจรงิ โดยท่ี x - 2 และ x + 1 + i เปนตัวประกอบ ของ f(x) และ f(0) = -12 แลว จงหาวา f(x) หารดวย x - 1 เหลือเศษเทาไร 10. กำหนดให S เปนเซตคำตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เม่ือ z เปนจำนวนเชงิ ซอน เซตในขอใดตอไปนเ้ี ทากับเซต S [PAT 1 (มี.ค. 52)/26] 1) {-cos120o - isin60o , cos60o + isin60o} 2) {cos120o + isin60o , -cos60o + isin60o} 3) {-cos120o - isin120o , -cos60o + isin60o} 4) {cos120o + isin120o , -cos60o - isin60o} ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 57 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพมิ่ เตมิ 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 11. ถา x - 1 + i เปนตวั ประกอบของพหุนาม p(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมื่อ a และ b เปนจำนวนจริง แลวคาของ a2 + b2 เทากบั เทาใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/14] 12. กำหนดให f(x) เปนพหนุ ามกำลงั สาม ซ่ึงมสี ัมประสทิ ธเ์ิ ปนจำนวนจริง โดยท่มี ี x + 1 เปนตัวประกอบของ f(x) และ 5 + 2i เปนคำตอบของสมการ f(x) = 0 และ f(0) = 58 จงหา f(x) ในรูป ax3 + bx2 + cx + d [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/40] ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 58 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 4 (ค32202) จำนวนเชงิ ซอน 13. กำหนดให z1 และ z2 เปนจำนวนเชงิ ซอนที่สอดคลองกับสมการ z2 - 3z + 4 = 0 ( )คาของ z1 2 + z2 2 1+1 เทากบั เทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/17] z1 z2 14. ถา z1, z2 เปนคำตอบท่ีไมใชจำนวนจรงิ ของสมการ z+1 3 z-1 = 8 แลว z1, z2 มคี าเทากบั เทาใด [A - NET 51 /1-6] ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 59 ครูคเณศ สมตระกลู